Bu sabit bir noktaya (do¼ gruya veya düzleme) göre olan I eylemsizlik momenti,

Eylemsizlik Momenti

Verilen bir W cisminin sabit bir noktaya ya da bir do¼ gru veya bir düzleme uzakl¬¼ g¬ r olsun.

Bu sabit bir noktaya (do¼ gruya veya düzleme) göre olan I eylemsizlik momenti,

I = ZZZ

W

r ² (x; y; z) dm

ya da

I = ZZZ

W

(x; y; z) r ² dzdydx

formülü ile verilir.

1) Bir P (a; b; c) noktas¬na göre eylemsizlik momenti,

I _p = ZZZ

W

(x a) ² + (y b) ² + (z c) ² dm

¸ seklindedir. Özel olarak O(0; 0; 0) noktas¬na göre eylemsizlik momenti,

I _o = ZZZ

W

x ² + y ² + z ² dm

olarak bulunur.

2) Uzayda koordinat eksenlerine göre eylemsizlik momentleri

I _0x = ZZZ

W

(x; y; z) (y ² + z ² ) dzdydx

I _0y = ZZZ

W

(x; y; z) (x ² + z ² ) dzdydx

I _0z = ZZZ

W

(x; y; z) (x ² + y ² ) dzdydx

1

3) Koordinat düzlemlerine göre eylemsizlik momentleri

I _y0z = ZZZ

W

(x; y; z) x ² dzdydx

I _z0x = ZZZ

W

(x; y; z) y ² dzdydx

I _x0y = ZZZ

W

(x; y; z) z ² dzdydx

ifadeleri ile verilirler.

Örnek 1. x ² + y ² = a ² ; a ² z = x ² + y ² ve z = 0 yüzeyleri taraf¬ndan s¬n¬rlanan

= kz ^m yo¼ gunluklu W cisminin Oz eksenine göre eylemsizlik momentini cismin M kütlesi cinsinden hesaplay¬n¬z.

Çözüm:

Cisim W olsun.

8 >

> >

<

> >

> :

x = r cos y = r sin z = z

olmak üzere silindirik koordinatlara geçilirse,

W = (z; r; ) : 0 z r ²

a ² ; 0 r a; 0 2

elde edilir.

P 2 W noktas¬nda;

Yo¼ gunluk: (P ) = kz ^m Hacim eleman¬: dv = rdzdrd

Kütle eleman¬: dm = k rz ^m dzdrd ¸ seklindedir. Cismin kütlesi,

M =

ZZZ

W

dm = k Z 2

0

Z a 0

r Z

=a

0

rz ^m dzdrd

M = ka ²

(m + 1)(m + 2) birim kütle

2

olarak bulunur.

W cisminin Oz eksenine göre eylemsizlik momenti,

I _0z = ZZZ

W

(x ² + y ² )dm = ZZZ

W

r ² dm

= k Z 2

0

Z a 0

r Z

=a

0

r ³ z ^m dzdrd

= ka ⁴

(m + 1)(m + 3)

bulunur. O halde eylemsizlik momentinin cismin M kütlesi cinsinden de¼ geri,

I _0z = a ² (m + 2) m + 3 M

¸ seklindedir.

3