()() Çal ı ş ma Sorular ı –2 Diferansiyel Denklemler I

Çalışma Soruları –2 1/18 Diferansiyel Denklemler I

Çalışma Soruları –2 29.10.2014

A. Aşağıda istenilenleri elde ediniz!

1. (xe^y+x dy). +(e^y+ky dx). = denkleminin tam diferansiyel denklem olabilmesi için 0 uygun k sayısını belirleyiniz. Bu k sayısı için tam diferansiyel denklemin genel çözümünü bulunuz.

2. a nın hangi değeri için ^{m =}

(

^x2+y2

)

^{a: xdy-(x2+y2+y dx).} = denkleminin (tam ⁰ diferansiyel hale getiren) bir integrasyon çarpanı olur? belirleyiniz, bu çarpanı kullanarak denklemin çözümünü bulunuz.

B. Aşağıda verilen denklemlerin; “hangi tip denklem olduklarını (nedenleri ile belirterek) belirleyiniz! “tüm çözümlerini (genel çözüm ve varsa tekil çözümlerini) çözümün geçerli olduğu değişkenlerin tanım aralıklarını da vererek” bulunuz.

1. ² 1 ^{. 2 .}

(xy )dx (x y ny dy) 0

+x + - =

2. y¢ +ycotx=sin 2x

3. dy+(y-sin ) cosx x dx. = 0 4. ( cosx y-sin² y dy)^. -siny dx. = 0

5. y

x y ny

 y

+ =

¢

6. (y-5 )x dx^. + -(x 5 )y dy^. = 0

7. ₂ 1

tan 1

cos

y y

y x

¢ - =

8. cos

y y

x y

¢ = - +

9. 1^{.. .}

(y x )dx (x y dy) 0

- +x + + =

10. (

0 ) .

) . (

(^{x n xy} xy dy) (^{y n xy} xy dx)

x y x y

 

- + - =

+ +

Çalışma Soruları –2 2/18 Not: Çözümler-Yol göstermeler kontrol amaçlıdır, yazım hatası - eksiklikler vs.. olabilir..

kendi çözümlerinizle mutlaka karşılaştırınız..

Çözümler…

(son güncelleme : 29.10.2014)

………

Önbilgi .1 (Bazı Diferansiyeller)

Tablo

d u^. x u^.

u d y

x dy

¶ ¶

= +

¶ ¶ , u=u( , )x y

1 d( )xy =y d^. x+x^.dy

2 d(x²y²)=2

(

x^.dxy^.dy

)

3

. .

( )y x d 2

x

y y d

d x

- x

=

4

. .

2 2

(arctan ) x d y d

d x

y y

x y

x

= - +

………

Çalışma Soruları –2 3/18

………

Önbilgi .2 (İntegrasyon Çarpan Araştırması)

Tablo

.d N. 0

M x+ dy= Denk. için m İntegrasyon Çarpanı Araştırması

Koşullar integrasyon çarpanı Açıklamalar

1 ( )

N x M

y x

N j

¶ ¶

¶ - ¶ = m=m( )x =eò^{j( )x.dx}

( )x j (yalnızca x-e bağlı)

bir fonksiyon

2 ( )

N x M

y y

M j

¶ -¶

¶ ¶ =

-

.

( )y e ^j( )^{y dy}

m=m = ò

( )y j (yalnızca y-ye bağlı)

bir fonksiyon

3 ( )w

w N

x N x

M y

M w y

j

¶ -¶

¶ ¶ =

¶ - ¶

¶ ¶

.

( )w e ^j( )^{w dw}

m=m = ò

( , ) w=w x y

(hem x-e hem y-ye bağlı), ( )w

j

(yalnızca w-ya bağlı) bir fonksiyon

Not.

1.durum: yalnızca x-e bağlı;

2.durum: yalnızca y-ye bağlı;

3.durum: hem x-e hem y-ye bağlı

üïïï ï ïï

: integrasyon çarpanı araştırmalarında kullanılacaktır!

………

Çalışma Soruları –2 4/18 A1. (xe^y+x dy)^. +(e^y+ky dx)^. = için 0 M dx^. +N dy^. = yazımından: 0

M =ey+ky N=xey+ x

üïï ï

ï ^

M y

y e k

¶ = +

¶ , N ^y 1

x e

¶ = +

¶

Denklemin Tam Dif.Denk. olabilmesi için M N x y

¶ ¶

¶ = ¶ şartı sağlanmalıdır:

 e^y+ =k e^y+  1 k=1 bulunur.

Şimdi (xe^y+x dy)^. +(e^y+y dx)^. = 0 Tam Dif. Denk. in çözümünü bulalım:

. x .

d u u

u d y

x dy

¶ ¶

= +

¶ ¶

u=

ò

^..M^.dx+ f y( ) =

ò

^..(e^y+y dx)^. + f y( )

=xe^y+xy+ f y( ) …(A1-i)

u=

ò

^..N^.dy+g x( )

=

ò

^..(xe^y+x dy)^. +g x( ) =xe^y+xy+g x( ) …(A1-ii)

(A1-i) ve (A2-ii) den: ( )g x = , ( )0 f y = bulunur. 0  u=xe^y+xy olur. Genel Çözüm u=c idi.

 xe^y+xy=c [Genel Çözüm] I : -¥ < < ¥ x

Çalışma Soruları –2 5/18 A2. a yı belirlemek için iki yol izleyebiliriz:

I.yol: ^{m =}

(

^x2+y2

)

^{a yani m=m(x2+y2)} formunda bir integrasyon çarpanı araştırması ile.

II.yol: Denklemin her iki tarafını ^{m =}

(

^x2+y2

)

^a ile çarpıp M N x y

¶ =¶

¶ ¶ eşitliğinden.

I.yoldan yapalım! (İntegrasyon Çarpanı ile Tam Diferansiyel hale getirilebilen denklem)

.

2 2

( ) 0

xdy- x +y +y dx= için M dx^. +N dy^. = yazımından: 0

2 2

x y y

M = - - - N= x

üïï ï

ï ^

^{y 2 1 1 x}

N

M y

¶ = - - ¹ =¶

¶ ¶

 Denklem: Tam Dif. DEĞİL!

2 2

w=x +y 

ìïï ïí ïï ïî

w 2 x x

¶ =

¶ w 2 y y

¶ =

¶

Hem x-e hem y-ye bağlı integrasyon çarpanı, genel formda w=w( , )x y için aşağıdaki şekilde araştırılıyor idi:

2 2 2 2 2 2

2 1 1 2 2

(2 ) ( )

. . (2 ) 2( ) 2 ( )

M y

M N

y y

x x x y y y x

x

N y

w y x

w y

x y

¶ -¶

- - - - -

¶ ¶ = =

¶ - ¶ + + + + + +

¶ ¶

₂ ²₂ ² ₂ ¹ ₂ ¹ ( )(2 2)

. ( )

y

x y y x y w

- -

= = - = -

+ + + (y ¹ - ) 1

yukarıdaki eşitlik sonucu, yalnızca w-ya bağlı bir fonksiyon elde edildi.

O halde Önbilgi2-Tablo: 3 den

Çalışma Soruları –2 6/18

1.

2 2

.

1 1

( ) ^{wdw nw}

d N

x M

y M y w w N x

w e

w e x

e y

m ^{- -} w

¶ -¶

¶ ¶

¶ - ¶

¶ ¶ ò

= = = = =

+

ò



 intergrasyon çarpanı: ₂ ¹ ₂

x y

m = + .

………..,,…….

II.yol: Denklemin

(

^{2 2}

)

^{( 2 2 ).}

(

^{2 2}

)

⁰

x x +y ^ady- x +y +y x +y ^adx=

 ^{M = - -}

(

^{x2 y2-y}

)(

^x2+y2

)

^{a , N=x x}

(

^2+y2

)

^a

 ìïïïï ïïïí ïïïï ïïïî

(

^{2y 1}

) (

^{x2 y2}

)

^{2 y}

(

^{x2 y2 y}

)(

^{2 2}

)

¹

M

y a x y a

a ^-

¶ = - - + + - - - +

¶

(

^{x2 y2}

)

^{2 x x2}

(

^{2 y2}

)

¹

N x

 a a

a ^-

¶ = + + +

¶

 ^{M N}

y x

 

¶ =¶

¶ ¶ den her iki tarafı

(

^x2+y2

)

^a-1 e bölelim 

(

^-2y-1

) (

^x2+y2

)

^+2ay

(

^{- -x2 y2-y}

)

^=x2+y2+2ax2

 -2

(

y+ay+ +a 1

)

x²-2

(

y+ay+ +a 1

)

y²= 0  y+ay+ + =  a 1 0 a= - 1

………..,,…….

Şimdi denklemin her iki tarafını ₂ ¹ ₂

x y

m=

+ ( y¹  ) ile çarpalım ve denklemin Tam Dif. x Denk. haline geldiğini kontrol edip, çözelim.

 ₂ x ₂ (1 ₂ y ₂)^. 0

dy dx

x y - +x y =

+ +

Bu son denklem için M dx^. +N dy^. = yazımından: 0

Çalışma Soruları –2 7/18

2 2

1 y

M y

= - -x +

2 2

N x

x y

= +

üïï ïï

ïï ïï



₂² _{2 2}^2...

( )

x y

x y

N M

y x

¶ - + ¶

= =

¶ + ¶

 Denklem: Tam Dif.

. x .

d u u

u d y

x dy

¶ ¶

= +

¶ ¶

u=

ò

^..M^.dx+ f y( )

..

1

2 .

2 ( )

I

x y dx f y

x y

=

= - - +

ò

+



arctan x ( )

x f y

- y+

=- …(A2-i)

u=

ò

^..N^.dy+g x( ) ^{.. .}

. 2

2 2 ( )

I

x dy g x

x y

=

= +

ò

+



arctanx ( ) y g x

- +

= …(A2-ii)

I1 için ₁ ^.. _{2 2} ^.. ₁

2

1 1

( )

a 1

arct n

y dx y dx k

x y x y

y

I x

= - = y = +

+ +

ò ò

- ^,

I2 için benzer şekilde I₂ arctan y ₂ x k

= + bulunur, “ 1

arctan arctan k 2

k

+ =p ” özelliğinden

3

2 3

diyelim

2 arctan arct

2 ( an

( ) )

k

x x

I k k

y y

p

=

= - + + =- +

 yazılabilir.

(A2-i) ve (A2-ii) den: ( )g x = - , ( ) 0x f y = bulunur.

 arctanx

x y

u= - - olur. Genel Çözüm u= -c idi.

0

y = , y¹  için çözüm araştırması: x

 arctanx

x c

+ y= _[Genel Çözüm_]

I : y ¹ , y0 ¹  x

Çalışma Soruları –2 8/18 0

y = denklemi sağlamaz dolayısıyla çözüm değildir. y¹  denklemin çözümleridir. x Genel çözüme dikkat edilirse, bu çözümler denklemin birer Tekil-Çözümü olduğu görülür (gözlemleyiniz!).

B1. (Tam Diferansiyel denklem)

. .

2 1 2

(xy )dx (x y ny dy) 0

+x + - = için M dx^. +N dy^. = yazımından: 0

2 1

M xy

= + x

x y2 y N= -n

üïï ï ï



M 2xy N

y x

¶ ¶

= =

¶ ¶

 Denklem: Tam Dif.

. x .

d u u

u d y

x dy

¶ ¶

= +

¶ ¶

u=

ò

^..M^.dx+ f y( ) ^{.. 2} 1 ^.

(xy )dx f y( )

=

ò

+x +

^{2 2 . . .} ( ) 2

x y n x f y

= + + …(B1-i)

u=

ò

^..N^.dy+g x( )

=

ò

^..(x y² -^ny dy)^. +g x( )

^{.. .}

.1

2 2

2 ( )

I

x y ny dy g x

=

= +

ò

_^ _+

2 2

2 ( )

x y -y ny + +y g x

= …(B1-ii)

(I₁ için kısmi integrasyon ile: I₁=y ny - + bulunur (inceleyiniz!).) y k₁

(A1-i) ve (A1-ii) den: g x( )=n x^{. . .} , f y( )= -y y ny bulunur.

 ^{2 2 .. .} 2

x y n y

u= + x + -y ny olur. Genel Çözüm u=c idi.

 ^{. . .}

2 2

2

x y +n x + -y y ny = c [Genel Çözüm]

I : x ¹0, 0y >

Çalışma Soruları –2 9/18 B2. (Lineer Diferansiyel denklem)

cot sin 2

y¢ +y x= x , y¢ +p( )x y=q( )x  p x( )=co xt , si 2q(x)= n x

I.yol: y=uv dönüşümü yaparak:

y=uv, u=u x( ), v=v x( ) cot sin 2 y¢ +y x= x

y¢=u v uv¢ + ¢

üïï ï ï



0

cot . ( (cot ). ) sin2

uv uv x uv v u x u uv x

=

¢ + ¢+ = ¢+ + ¢=

 cotu¢ + x u. = 0

 ^{( ). cot . (sin )} 1

sin

dx x

p x dx n x

u=e^-ò =e^-ò =e^- = x (dikkat, integral sabiti 0 seçiliyor)

 uv¢=sin 2x  v¢=sin sin 2x x  ^{. .}

.1

sin sin 2

I

x x d

v x

=

=

ò

_{}

I1 integralini hesaplayalım:

. . .

1 2sin2xcos

I =

ò

x dx

 sin x=t dönüşümü uygulanırsa ^. 1 dx cos dt

x

æ ö÷

ç = ÷

ç ÷

çè ø :

. .

2 3 3

1 3. s

2 2 32 n

t i

t dt c x c

I =

ò

= + = +

 2 ³

3sin

v= x+c ( v nin tespitinde: c integral sabitini eklemeyi UNUTMAYINIZ! )

 genel çözüm: y uv= den 1 ^{. 3 .}

in n

s

2si

3 x

y= xæçççè +cö÷ø÷÷

 idi y uv=

 2 ²

3sin sin

y x c

= + x [Genel Çözüm]

I : x¹np ,n=0, 1,...

Çalışma Soruları –2 10/18 II.yol: v=eò ^{p x( ).dx} şeklinde integrasyon çarpanı bularak:

cot

. . (si

( )^{x dx xdx} n ) sin

p n x

v=eò =eò =e^ = x bulunur.

Şimdi denklemin her iki tarafını v=sinx ile çarpalım:



( ) (sin . ) oldugu görülür!

sin . cos . sin s n 2i

x y vy

x y x y x x



= ¢= ¢

¢ + =



(

^{sinx y.}

)

^{¢ =sin sin 2x x}

Şimdi son denklemin her iki tarafının integralini alalım:

 sin x y. =

ò

^.sin sinx 2x dx^{. , I1 den}

 2 ³

3sin

sinx.y= x+c

 1 ^.2 ^{3 .}

sin 3sin

y x c

x

æ ö÷

= çççè + ÷÷ø

B3. (İntegrasyon Çarpanı ile Tam Diferansiyel hale getirilebilen denklem) ( sin ) cos . 0

dy+ y- x x dx= için M dx^. +N dy^. = yazımından: 0



idi y uv=

 2 ²

3sin sin

y x c

= + x [Genel Çözüm]

I : ,x¹np n=0, 1,...

Çalışma Soruları –2 11/18 cos sin cos

y x x x

M = -

1 N=

üïï ï

ï ^

^{cosx 0}

M N

x y

¶ = ¹ =¶

¶ ¶

 Denklem: Tam Dif. DEĞİL!

Ancak denklem, “integrasyon çarpanı “ ile Tam Dif. denklem haline getirilebilir mi?

inceleyelim!

cos 0

1 cos M

y x

x N

x N

¶ -¶

¶ ¶ = - =

yalnızca x-e bağlı bir fonksiyon elde edildi. O halde Önbilgi2-Tablo:1 den

. cos . sin

( )

N x x M

d x

y

N dx x

e e

x e

m

¶ ¶

¶ -¶

ò ò

= = =

 intergrasyon çarpanı: m( )x =e^sinx.

Şimdi denklemin her iki tarafını m( )x =e^sinx ile çarpalım ve denklemin Tam Dif. Denk.

haline geldiğini kontrol edip, çözelim.

 e^sinxdy+ -(y sin ) cosx x e. ^sinx.dx= 0

Bu son denklem için M dx^. +N dy^. = yazımından: 0

(y sin ) cx osx e. sin^x

M = -

sin x

N =e

üïï ï

ï ^

s . sin

co x e ^x N M

y x

¶ ¶

= =

¶ ¶

 Denklem: Tam Dif.

Çalışma Soruları –2 12/18

. x .

d u u

u d y

x dy

¶ ¶

= +

¶ ¶

u=

ò

^..M^.dx+ f y( )

^{.. .}

.1

( sin ) cos . sin^x ( )

I

y x x e dx f y

=

=

ò

- +

.

sin^x ( 1 sin ) sin^x ( ) ye + - + x e + f y

= …(B3-i)

u=

ò

^..N^.dy+g x( ) =

ò

^..e^sinx.dy+g x( ) =ye^sinx+g x( ) …(B3-ii)

(I₁ için sin x=t dönüşünü yapılarak;

1

.. . . .. . .. .

int

1 ( )

kısmi egrasyo t

n

t t

y t e dt y e d

I =

ò

- =

ò

t+

ò

_te dt_ şeklinde bulunur (inceleyiniz!).)

(B3-i) ve (B3-ii) den: g x( )= - +( 1 sin )x e^{. sinx}, ( )f y = bulunur. 0

 u=ye^sinx+ - +( 1 sin )x e^{. sinx}=(y- +1 sin )x e^{. sinx} olur. Genel Çözüm u=c idi.

B4. (İntegrasyon Çarpanı ile Tam Diferansiyel hale getirilebilen denklem)

.

( cosx y-sin2 y dy) -siny dx. = için 0 M dx^. +N dy^. = yazımından: 0

sin M = - y

cos sin2

x y y

N= -

üïï ï

ï ^

^{cosy cos}

N x

y y

¶M = - ¹ =¶

¶ ¶

 Denklem: Tam Dif. DEĞİL!

Ancak denklem, “integrasyon çarpanı “ ile Tam Dif. denklem haline getirilebilir mi?

inceleyelim!

 (y- +1 sin )x e^{. sinx} =c [Genel Çözüm] I : -¥ < < ¥ x

Çalışma Soruları –2 13/18 cos cos 2cos

sin sin 2cot

y y y

y y N

M

y x

M y

¶ -¶

- -

¶ ¶ = = - = -

-

yalnızca y-ye bağlı bir fonksiyon elde edildi. O halde Önbilgi2-Tablo:2 den

2cot 2 (si

2

. n )

. 1

( ) sin

d y

M

y y

M dy

N x

n y

y e e e

m y

¶ -¶

¶ ¶

- -

ò - ò

= = = ^ =

 intergrasyon çarpanı: ( ) ¹₂ sin y

m y = .

Şimdi denklemin her iki tarafını ( )m y ile çarpalım ve denklemin Tam Dif. Denk. haline geldiğini kontrol edip, çözelim:

 cos₂ ^. 1

( 1)

i . 0

s n sin

x y

dy dx

y - - y = ( sin y ¹ ) 0

Bu son denklem için M dx^. +N dy^. = yazımından: 0

1 M sin

= - y

2

cos 1 sin

N x y

= y -

üïï ï ï



^cos₂

sin

M y

y N

y x

¶ = =¶

¶ ¶

 Denklem: Tam Dif.

. x .

d u u

u d y

x dy

¶ ¶

= +

¶ ¶

Çalışma Soruları –2 14/18

u=

ò

^..M^.dx+ f y( ) ^.. 1 ^.

sin dx f y( )

= -

ò

y + ( )

sin

x f y

y+

=- …(B4-i)

u=

ò

^..N^.dy+g x( )

^{.. cos}₂ 1^. ( ) (^xsin ^y )dy g x

=

ò

y - +

^{.. .}

1

2 .

cos ( )

sin

I

y x y dy g x

y

=

- +

= +

ò



( ) sin

y x g x

- - y+

= …(B4-ii)

(I₁ için sin y= dönüşünü yapılarak; sonuçta t ₁ 1 ₁

sin k

I = - y+ bulunur (inceleyiniz!).)

(B4-i) ve (B4-ii) den: g x = , ( )( ) 0 f y = - bulunur. y



sin x

u= - -y y olur. Genel Çözüm u= -c idi.

y=np için çözüm araştırması:

Denklemi sağlar (gözlemleyiniz!) dolayısıyla denklemin bir çözümüdür. Genel çözüme dikkat edilirse, Tekil-Çözümü olduğu görülür (gözlemleyiniz!).

B5. ( x-e göre Lineer Diferansiyel denklem) x y ny y

 y

+ =

¢

1

dx x ny

dy-y = dx p y( ) ( )

y x q y

d + =  ( ) 1

p y = - , y q y( )=  ny

integrasyon çarpanı bulma metodu ile çözelim:

 sin

y x c

+ y= _[Genel Çözüm_]

I : ,y¹np n=0, 1,...

Çalışma Soruları –2 15/18

1

( ).dy y.^dy ny 1

e p y e e

v y

-ò -

= ò = = ^ = bulunur.

Şimdi lineer denklemin her iki tarafını 1

v= y ile çarpalım: ( dx x¢ =dy )



( )

2

1 oldugu görülür!

1 1

yx vx

x x ny

y y y

æ ö÷¢ ç ÷

= ¢=çççè ø÷÷

¢- =



 (y ¹ ) 0

 1 ny

yx y

æ ö÷¢

ç ÷ =

ç ÷

ç ÷

çè ø



Şimdi son denklemin her iki tarafının integralini alalım:

. .

.1

1 1

I

ny d

yx y

y

=

=

ò







I hesaplanırsa: 1 ₁ 1 ² 1

2 n 2

I =  y+ c bulunur (inceleyip, ara işlemleri yapınız!).

 1 ²

2

1x n y c

y =  +

B6.

I. yol : Homojen denklemden çözüm bulunabilir!

II.yol : B1 deki yapılanlara benzer şekilde Tam Dif. denklemden çözüm bulunabilir!

III.yol : Gruplandırma: Önbilgi1-Tablo: 1 ve 2 den yararlanarak

 ^x=yæçè^çç^.1₂^{n y c2 + ÷..ö÷}ø÷ ^[Genel Çözüm^]

I : y > 0

Çalışma Soruları –2 16/18

. .

(y-5 )x dx+ -(x 5 )y dy= 0 

2 2

1 ( )

( ) 2

5 ( ) 0

d x y d xy

ydx xdy xdx ydy

= =

+

+

- + =

 

 5 ^{2 2}

( ) ( ) 0

d xy -2d x +y =  5 ^{2 2}

( ) 0

( 2 )

d xy- x +y =

B7. (Özel formda Lineer Denklem haline getirilebilen)

Bu denklem, aşağıdaki dönüşüm ile lineer hale daha getirilebilir:

2

1 tan

os 1

c

y 1

x y

y ¢- =

tan y= , z z=z x( )

( )

2

1 cos

1 tan2 y

y y z

=

+ ¢= ¢



 1 1

z z

¢-x = (lineer denklem) elde edilir.

( ) ( ) y¢ +p x y=q x

 ( ) 1

p x = - , x q x( )= 1

Şimdi lineer denklemi, z=uv dönüşümü ile çözelim :

z=uv, ( )u=u x , ( )v=v x

1 1

z z

¢-x = z¢=u v uv¢ + ¢

üïï ïï

ïï ïï



0

1 1

1

. ( . )

v v v

u uv u u u uv

x x

=

¢ + ¢- = ¢- + ¢=



 1. 0

u u

¢-x =

 ^{( ). .}

1xdx x

p x dx n

e e e

u= ^-ò = ò = ^ =x

(dikkat, integral sabiti 0 seçiliyor)

 5 ^{2 2}

( )

xy-2 x +y = c [Genel Çözüm] I : -¥ < < ¥ x

Çalışma Soruları –2 17/18

 uv¢=  1 1

v¢=  x ^.1^. x dx v=

ò

 v=n x^{. .} +c ( v nin tespitinde: c integral sabitini eklemeyi UNUTMAYINIZ! )

 genel çözüm: z=uv den ^z=x

(

^n.x.+c

)

(2 1) / 2

y= n- p için çözüm araştırması: diferansiyel denklemi sağlamadığı için çözüm değildir.

B8. Gruplandırma: Önbilgi1-Tablo: 1 den yararlanarak

cos y y

x y

¢ = -

+  ^.

( )

5

cos

0

d xy

ydx xdy

y dy

=

+ + =





ò

^.d xy( )= -

ò

^..cosy dy^.

B9.

I. yol : B1 deki yapılanlara benzer şekilde Tam Dif. denklemden çözüm bulunabilir!

II.yol : Gruplandırma: Önbilgi1-Tablo: 1 ve 2 den yararlanarak

. . .

(y x 1)dx (x y dy) 0

- +x + + = 

2 2 . .

1 ( ) ( )

( ) 2 .

1 0

( )

d xy d x y d n x

ydx xdy xdx ydy dx x



 

- =

= =

-

+ + - + + =

tan idi

z= y

 ^{tany=x n x}

(

^{ . . .+ c}

)

[Genel Çözüm]

I : x ¹0,y¹(2n-1) / 2 ,p n=0, 1,...

 xy=-siny c+ [Genel Çözüm] I : y¹arccos(- x)

Çalışma Soruları –2 18/18

 1 ^{2 2}

( ) ( ) ( ) 0

d xy -2d x -y +d nx =  1 ^{2 2 .. .}

( ) 0

d xyç -æçèç 2 x -y +n xö÷÷÷ø=

B10. Gruplandırma:

( ) . 0

) . (

(^{x n xy} xy dy) (^{y n xy} xy dx)

x y x y

 

- + - =

+ +

 ^{n xy( )}

[

^{xdy ydx}

]

^{xydx xydy}

x y

 + = +

+



[ ] [ ]

( ) ( )

( )

d xy d x y

n xy xdy ydx xy dx dy x y

= = +

+ = +

+ 





 ) ( ) ( ) )

( (

n xy d xy x y d x y xy

 = + +

şimdi her iki tarafın integrali alınırsa, ² ₁

. nu. n u2

du k

u

 = +

ò

(inceleyip, ara işlemleri

yapınız!) ve

2

. . 2

2 wdw=w +k

ò

bilgilerinden;

2 ( )2

2 2 2

( )

n xy x y c

 +

= + bulunur.

 1 ^{2 2 . . .}

( )

xy-2 x -y +n x = c _[Genel Çözüm_]

I : x ¹0

 n xy²( )=(x+y)²+c ^[Genel Çözüm^]

I : y¹ - , x xy > 0