Trigonometrik fonksiyonların Jeodezik dairede
geometrik olarak gösterilmesi
Sait TANRIÖĞEN
Trigonometrik fonksiyonların Jeodezik dairede geometrik olarak gösterilmesi
• Bir açının trigonometrik fonksiyonlarının değerleri doğru parçaları ile gösterilir.
• Bunun için trigonometrik daireden faydalanılır.
Birimsel daire de denilen trigonometrik daire;
yönü ve yarıçapı birim uzunluğa eşit bir dairedir.
(Aşağıdaki Şekil 3.1.) de trigonometrik daire ile bunun merkezinde açısı görülmektedir.
• Benim anlatacağım Jeodezik birim dairedir.
• Yukarıdaki trigonometrik oranların hepsinde payda uzunluk birimine eşit olduğundan oranların birer doğru parçası ile gösterilebileceği anlaşılmaktadır.
• OPK ve OP1A üçgenleri benzer üçgenler olduklarından
yazabiliriz. Bu orandaki doğru parçaları yerine trigonometrik fonksiyonlar yazılırsa;
tan sin
cos bulunur.
§ 4. Trigonometrik fonksiyon kavramının genelleştirilmesi ve bu fonksiyonların değişimleri
• Trigonometrik dairede birbirine dik A'A ve B'B gibi iki çapa koordinat eksenleri olarak alalım. Şekil 4.1.
• Trigonometrik dairede yayların başlangıcı A noktası nihayeti P noktası olsun.
• P noktasının çember üzerinde pozitif yönde (ok yönü) gezindiğini kabul edelim.
• P ' noktası A ile çakışık iken AP yayı ve onun karşı1ığı olan = POA açısının değeri sıfırdır.
• P noktası A ve B noktaları arasında iken 0 < < 90º dir. B ye geldiği
zaman =90°, A' ye geldiği anda ise = 180º dir.
• P noktası B' ile çakıştığı zaman = 270° dir.
• Tam bir tur yaparak tekrar A ya geldiği zamanda = 360° olur.
• P noktasından eksenlere PK ve PL diklerini indirelim.
Bu takdirde:
,
doğru parçaları, P noktasının apsis ve ordinatlarıdır.
§ bölüm 3 deki tanımlara göre sin , cos
dir.
• Eksenler trigonometrik daire düzlemini dört bölgeye ayırırlar.
• I. nci bölgede x ve y koordinatları pozitif, II. nci bölgede x ler negatif y ler pozitif, III. ncü bölgede hem x ler hem y ler negatif, IV. ncü bölgede ise x ler
pozitif y ler negatiftir.
• Koordinatların bu işaretleri aşağıdaki tabloda gösterilmiştir.
I. Bölge II. Bölge III. Bölge IV. Bölge
Y + + ‐ ‐
X + ‐ ‐ +
• P noktası I. nci bölgede iken trigonometrik fonksiyonların § bölüm 3 de açıklanan gösterilişlerine eklenecek bir şey yoktur.
• P noktası, B den ileri giderek diğer bölgelere geçince açısı dar açı olmaktan çıkar.
• Dolayısıyla 90º den büyük bir açıyı bir dik üçgen içinde göstermek imkânı kalmaz.
• Bu sebeple trigonometrik fonksiyonların daha
genel bir şekilde tanımlanması zorunluğu vardır.
• Trigonometrik fonksiyonların daha genel olarak tamamlanmaları, P noktasının koordinatları ile yapılır:
sin , cos , tan , cot
trigonometrik daire yerine yarıçapı r olan bir daire çevresinde bulunuyorsa:
sin , cos , tan , cot
yazabiliriz.
• Koordinatların işaretleri olduğundan trigonometrik fonksiyonların da işaretleri vardır.
• Bunların işaretlerini de bir tablo içinde göstermek mümkündür.
Bölge I II III IV
sin + + - -
cos + - - +
tg + - + -
cotg + - + -
Tablo 4.1
4.1 Trigonometrik fonksiyonların değişimleri
4.1 a sinüs fonksiyonunun değişimi
• Değişimi incelemek için P noktasını A dan itibaren pozitif yönde harekete geçirelim. Şekil 4.1.
• P A ile çakışık iken y = 0 dır.
• P, B ye yaklaştıkça y nin büyüdüğü ve tam B ye geldiği zaman +1 olduğu aşikârdır.
• B ile A' arasında y tekrar küçülür ve A’ de sıfıra eşit olur.
• A' ile B' arasında P noktası +x ‐x ekseninin aşağısına geldiği için y yani sin negatiftir.
• Tam B' de değeri ‐1 olur. B' den A ya gelirken sin negatiftir.
• A ya gelince sin tekrar sıfır olur.
• Bu değişim (4.3.) tablosu 4.2. ile belirtilmiştir.
4.1 b Cosinus fonksiyonunun değişimi :
• P, A ile çakışık iken (Şekil 4.1) açı sıfır ve cosinüs + 1 e eşittir.
• P, B ye yaklaştıkça fonksiyonun küçüldüğü ve tam B ye geldiği zaman sıfır olduğu görülür.
• II. nci bölgede cosinüs negatif olur.
• A' noktasında açı 180° dir.
• Bu anda cosinüs eşit ‐ 1 dir.
• Açı 270° iken fonksiyon tekrar sıfır ve 360° iken +1 olur.
• Cosinus fonksiyonunun tablo ve eğrisi aşağıda
gösterilmiştir.
Aşağıda cosinüs fonksiyonunun değişimini gösteren iki adet
animasyon verilmiştir. Dikkatlice inceleyin.
4.1 c Tanjant, fonksiyonunun değişimi Bu fonksiyonun tablo ve eğrisi aşağıdadır:
4.1 d Cotanjant, fonksiyonunun değişimi Bu fonksiyonun tablo ve eğrisi aşağıdadır.
