ÜN‹TE I

 ^{ÜN‹TE I}

A) TEKRAR EDEN, YANSIYAN VE DÖNEN fiEK‹LLER a) Fraktallar

b) Yans›yan ve Dönen fiekiller ALIfiTIRMALAR

ÖZET TEST I-I

B) ÜSLÜ SAYILAR

a) Bir Tam Say›n›n Negatif Kuvveti

b) Tekrarl› Çarp›mlar› Üslü Say› Olarak Yazma c) Üslü Say›larla Çarpma ve Bölme ‹fllemleri ç) Bilimsel Gösterim

ALIfiTIRMALAR ÖZET

TEST I-II

C) H‹STOGRAM

a) Histogram Oluflturma ALIfiTIRMALAR

ÖZET TEST I-III

Bu bölümü kavrayabilmek için;

* Aç›klamalar› dikkatle okuyunuz

* Örnekleri dikkatlice inceleyiniz ve 8. s›n›f matematik ders kitaplar›ndan çözülmüfl örnekleri anlamaya çal›fl›n›z.

* Uyar›lar› dikkate al›n›z.

* Konularla ilgili de¤iflik kaynaklardan sorular çözünüz.

* Çözemedi¤iniz sorular için çevrenizdeki bilenlerden yard›m al›n›z.

Bu bölümü çal›flt›¤›n›zda;

* Do¤ru, çokgen ve çember modellerinden örüntüler infla edebilecek, çizebilecek ve bu örüntülerden fraktal olanlar› belirleyebilecek,

* Koordinat düzleminde bir çokgenin eksenlerden birine göre yans›ma, her hangi bir do¤ru boyunca öteleme ve orijin etraf›ndaki dönme alt›ndaki görüntülerini belirleyebilecek,

* fiekillerin ötelemeli yans›mas›n› belirleyebilecek ve infla edebilecek,

* Bir tam say›n›n negatif kuvvetini belirleyebilecek ve rasyonel say› olarak ifade edebilecek,

* Ondal›k kesirlerin veya rasyonel say›lar›n kendileriyle tekrarl› çarp›m›n› üslü say›

olarak yazabilecek ve de¤erini belirleyebilecek,

* Üslü say›larla çarpma ve bölme ifllemlerini yapabilecek,

* Çok büyük ve çok küçük pozitif say›lar› bilimsel gösterimle ifade edebilecek,

* Histogram oluflturabilecek ve yorumlayabileceksiniz.

BU ÜN‹TEN‹N AMAÇLARI

☞

NASIL ÇALIfiMALIYIZ?

✍

❂

ÜN‹TE I FRAKTALLAR

Do¤ru, çokgen ve çember modelleri hal›, kilim ve duvar ka¤›d› desenleri oluflturmada s›kça kullan›l›r.

Afla¤›da verilen kilim desenini oluflturan flekillerdeki örüntüler nelerdir?

ÖRNEK

Afla¤›da bir eflkenar üçgenin kenarlar›n›n oran›nda küçültülmesiyle oluflturulan örüntü modeli verilmifltir. ‹nceleyiniz.

Bir fleklin orant›l› olarak küçültülmüfl yada büyütülmüflleri ile infla edilen örüntüler 1

2

ÖRNEK

Afla¤›da bir fraktal örne¤i verilmifltir. 1. flekilde bir eflkenar üçgen çizilmifltir. Bu üçgenin her kenar› üç efl parçaya ayr›l›p her birinin ortas›ndaki parçadan d›flar› do¤ru bakan eflkenar üçgen çizilmifltir. Bu ifllem devam ettirildi¤inde 3. flekil, ve 4. flekil elde edilir.

ÖRNEK

Bir çember çizilir. Çember üzerinde eflit aral›klarla 12 nokta belirlenir. Noktalar üçer üçer birlefltirilerek eflkenar üçgenler oluflturulur.

ÖRNEK

Afla¤›da verilen fraktal örneklerini inceleyiniz.

1. şekil 2. şekil 3. şekil 4. şekil

ALIfiTIRMALAR

1. Afla¤›daki örüntü devam ettirildi¤inde oluflan flekli aç›klay›n›z.

2. Afla¤›daki flekillerin efl ve benzerlerini kullanarak farkl› örüntüler oluflturunuz. Bu örüntülerden fraktal olanlar› belirleyiniz.

3. Afla¤›daki fraktal örne¤ini bir ad›m daha devam ettiriniz.

5. Do¤ada bulunan fraktallardan örnekler bulunuz.

YANSIYAN VE DÖNEN fiEK‹LLER

Afla¤›da verilen flekillerdeki yans›malar› inceleyiniz.

4. Afla¤›da verilen fraktallar›n nas›l elde edildi¤ini aç›klay›n›z.

ÖRNEK

Köfle noktalar›n›n koordinatlar› K (1, 3), L (2, 1) ve M (4, 2) olan KLM üçgenini koordinat ekseninde çizelim. Daha sonra KLM üçgeninin x eksenine göre yans›mas›n›

çizelim.

K, L ve M noktalar›n›n x eksenine göre yans›malar› K′ (1, -3), L′(2, -1) ve M′(4, -2) dir.

Her iki fleklin koordinatlar› aras›ndaki iliflkiyi inceleyelim.

K (1, 3) K′ (1, -3) L (2, 1) L′ (2, -1) M (4, 2) M′ (4, -2)

Köfle noktalar›n›n koordinatlar› verilen bir fleklin x eksenine göre yans›mas›

alt›ndaki görüntüsü bulunurken fleklin ordinat› (-1) ile çarp›l›r.

Bu durum cebirsel olarak (x,y) (x,-y) fleklinde gösterilir.

Köfle noktalar›n›n koordinatlar› verilen bir fleklin y eksenine göre yans›mas›

alt›ndaki görüntüsü bulunurken fleklin apsisi (-1) ile çarp›l›r.

Bu durum cebirsel olarak (x,y) (-x, y) fleklinde gösterilir.

➠

ÇÖZÜM

Kesiflimleri afla¤›da görüldü¤ü gibi kenar uzunluklar› 2 birim ve 4 birim olan dikdörtgendir.

Alan› = 4.2 = 8 birimkare olarak bulunur.

ÖRNEK

Afla¤›daki flekilde verilen KLMN dörtgeninin y eksenine göre yans›mas› ile PRST dörtgeninin kesifliminin alan› kaç birimkaredir?

ÖRNEK

Köfle noktalar›n›n koordinatlar› P (1, 1), R (3, 1) , S (2, 3) ve T (1, 3) olan PRST dik yamu¤unu x ekseninde 2 birim sa¤a, y ekseninde 5 birim afla¤›ya öteleyerek görün- tüsünü çizelim.

PRST dik yamu¤unun ve P′R′S′T′ dik yamu¤unun koordinatlar›n› yazal›m.

P (1, 1) P′(3, -4) R (3, 1) R′(5, -4) S (2, 3) S′(4, -2) T (1, 3) T′(3, -2)

Öteleme sonucunda PRST yamu¤unun köfle noktas›n›n apsisine 2 eklenir, ordi- nat›ndan 5 ç›kar›l›r. Bu durum cebirsel olarak (x, y) (x + 2, y + (-5)) fleklinde ifade edilir.

Do¤ruya göre öteleme yap›l›rken x ve y eksenleri boyunca belirtilen yönde ve belirtilen birim kadar, bütün noktalar paralel ötelenir.

➠

ÖRNEK

Köfle noktalar›n›n koordinatlar› D(0, 1), E (0, 3) ve F(2, 0) olan DEF üçgeni çizelim.

Çizdi¤imiz üçgeni orijin etraf›nda saat yönünde 90° döndürelim ve oluflan flekli D′E′F′ fleklinde adland›ral›m.

DEF ve D′E′F′ üçgenlerinin köfle noktalar›n›n koordinatlar›n› karfl›laflt›ral›m.

90° dönme

D(0, 1) D′(1, 0)

E(0, 3) E′(3, 0)

F(2, 0) F′(0, -2)

Sizde;

D′E′F′ üçgenini orijin etraf›nda saat yönünde 90° döndürün ve oluflan flekli D″E″F″ fleklinde adland›r›n. DEF üçgeni kaç derece döndürülürse D″E″F″ üçgeni elde edilir?

ÖRNEK

Afla¤›daki flekli orijin etraf›nda üç defa saat yönünde 90° döndürelim. Oluflan flekillerin koordinatlar› aras›ndaki iliflkiyi inceleyelim.

fiekli orijin etraf›nda üç defa saat yönünde 90° döndürdü¤ümüzde afla¤›daki flekli elde ederiz.

Geometrik flekillerin döndürülmesi ile afla¤›daki gibi süsleme modelleri oluflturabiliriz.

fieklin döndürülmesiyle koordinatlar›n nas›l de¤iflti¤ini inceleyelim.

fieklin D noktas› orijin üzerinde bulunmaktad›r. fiekil orijin etraf›nda döndü- rüldü¤ünden D noktas›n›n koordinatlar› de¤iflmez.

A(-1, 2) A′(2, 1) A′′(1, -2) A′″(-2, -1)

B(0, 3) B′(3, 0) B′′(0, -3) B′″(-3, 0)

C(1, 2) C′(2, -1) C′′(-1, -2) C′″(-2, 1)

Koordinatlar›ndan biri (a, b) olan bir flekli, orijin etraf›nda 90° döndürdü¤ümüzde (a, b) koordinat› (b, -a), 180° döndürdü¤ümüzde (a, b) koordinat› (-a, -b) olur. 360°

döndürdü¤ümüzde ise (a, b) koordinat› de¤iflmez.

ÖRNEK

Köfle noktalar›n›n koordinatlar› A(1, 2), B(2, 3) ve C(3, 0) olan üçgeni orijin etraf›nda saat yönünde 90° ve 180° döndürelim. Dönme hareketi sonucunda oluflan yeni fleklin köfle noktalar›n›n koordinatlar›n› belirleyelim.

ABC üçgenini saat yönünde 90° döndürdü¤ümüzde A′B′C′ üçgeni oluflur.

A′B′C′ üçgeni ile ABC üçgeninin koordinatlar›n› karfl›laflt›ral›m.

A(1, 2) A′(2, -1)

B(2, 3) B′(3, -2)

C(3, 0) C′(0, -3)

1. dönme 2. dönme 3. dönme

➠

1. dönme

ABC üçgenini saat yönünde 180° döndürdü¤ümüzde A′′B′′C′′ üçgeni oluflur.

A′′B′′C′′ üçgeni ile ABC üçgeninin koordinatlar›n› karfl›laflt›ral›m.

A(1, 2) A′′(-1, -2)

B(2, 3) B′′(-2,-3)

C(3, 0) C′′(-3, 0)

ÖRNEK

Afla¤›daki flekli d do¤rusu boyunca 4 birim sa¤a öteleyip yans›mas›n› çizelim.

Afla¤›daki fleklin önce d do¤rusuna göre yans›mas›n› çizip daha sonra do¤ru boyunca 4 birim sa¤a öteleyelim.

Bir fleklin, bir do¤ru boyunca yans›mas›ndan sonra ötelenmesi ile ötelenmesinden sonra yans›mas› ayn›d›r.

Ötelemeli yans›mada hiçbir nokta ve yans›ma do¤rusundan baflka hiçbir do¤ru sabit kalmaz.

2. dönme

➠

ALIfiTIRMALAR

1. Afla¤›daki koordinat düzleminde verilen fleklin x eksenine göre yans›mas›n›

çiziniz.

2. Afla¤›daki koordinat düzleminde verilen ABCD yamu¤unun y eksenine göre yans›mas›n› çiziniz.

3. Afla¤›daki flekilde verilen ABCD dörtgeninin y eksenine göre yans›mas› ve EFGH dörtgeninin x eksenine göre yans›mas›n›n kesifliminin alan› kaç birimkaredir?

4. Afla¤›daki grafiklerden hangisinde öteleme, hangisinde yans›ma oldu¤unu belirle yiniz.

5. ABC üçgeni 7 birim afla¤›ya ötelenerek A′B′C′ üçgeni oluflturuluyor. A′B′C′

üçgeninin y eksenine göre yans›mas› alt›ndaki görüntüsünün koordinatlar›n›

yaz›n›z.

6. Afla¤›daki tabloya göre, a, b ve c noktalar›n› bulunuz.

7. Köfle noktalar›n›n koordinatlar› A(1, 1), B(1, 3), C(3, 3) ve D(4, 1) olan ABCD yamu¤u y ekseninde 3 birim afla¤›ya, x ekseninde 4 birim sola öteleniyor. Bu yamu¤un görüntüsünü çiziniz ve köfle noktalar›n›n koordinatlar›n› bulunuz.

8. Afla¤›daki CEM üçgeninin saat yönünde, orijin etraf›nda 90° döndürülmesiyle oluflan C′E′M′ üçgeninin köfle noktalar›n›n koordinatlar›n› bulunuz.

9. Köfle noktalar›n›n koordinatlar› P (-2, 3), R(-1, 6) ve S(1, 5) olan PRS üçgeni orijin etraf›nda 180° döndürülüyor. Oluflan P′R′S′ üçgeninin köfle noktalar›n›n koordinatlar›n› belirleyiniz.

10. Afla¤›daki flekilde belirtilen birim kadar, d do¤rusu boyunca ötelemeli yans›mas›n›

çiziniz.

DEF üçgeninin köfle noktalar›n›n koordinatlar›

DEF üçgeninin x eksenine göre yans›mas›n›n köfle noktalar›n›n koordinatlar›

D(3, 0) D′(3, 0)

E(a, 0) E′(4, 0)

F(2, 3) F′(b, c)

ÖZET

Bir fleklin orant›l› olarak küçültülmüfl yada büyültülmüflleri ile infla edilen örün- tüler “fraktal” olarak adland›r›l›r.

Köfle noktalar›n›n koordinatlar› verilen bir fleklin x eksenine göre yans›mas›

alt›ndaki görüntüsü bulunurken fleklin ordinat› (-1) ile çarp›l›r. Bu durum cebirsel olarak (x, y) → (x, -y) fleklinde gösterilir.

Köfle noktalar›n›n koordinatlar› verilen bir fleklin y eksenine göre yans›mas›

alt›ndaki görüntüsü bulunurken fleklin apsisi (-1) ile çarp›l›r. Bu durumda cebirsel olarak (x, y) → (-x, -y) fleklinde gösterilir.

Do¤ruya göre öteleme yap›l›rken x ve y eksenleri boyunca belirtilen yönde ve belirtilen birim kadar bütün noktalar paralel ötelenir.

Koordinatlar›ndan biri (a, b) olan ve bir flekli, orijin etraf›nda 90°

döndürdürdü¤ümüzde (a, b) koordinat› (b, -a), 180° dördürdü¤ümüzde (a, b) koordinat›

(-a, -b) olur. 360° döndürdü¤ümüzde ise (a, b) koordinat› de¤iflmez.

Bir fleklin, bir do¤ru boyunca yans›mas›ndan sonra ötelenmesi ile ötelenmesinden sonra yans›mas› ayn›d›r.

Ötelemeli yans›mada hiçbir nokta ve yans›ma do¤rusundan baflka hiçbir do¤ru sabit kalmaz.



✎

^{1. TEST I-I}

Yukardaki örüntünün 4.ad›m›nda gelmesi gereken flekil afla¤›dakilerden hangisidir?

2.

Yukardaki fraktal örne¤i bir ad›m daha devam ettirildi¤inde oluflan flekil afla¤›da kilerden hangisidir?

3. Köfle noktalar›n›n koordinatlar› K(2, 2), L(2, 4), M(6, 5) ve N(6, 2) olan KLMN dörtgenin y eksenine göre yans›mas› olan K′L′M′N′ dörtgeninin koordinatlar›

nedir?

A) K′(-2, 2) , L′(-2, 4) , M′(-6, 5) N′(-6, 2) B) K′(2, -2) , L′(2, -4) , M′(6, -5) N′(6, -2) C) K′(2, 2) , L′(4, 2) , M′(5, 6) N′(2, 6) D) K′(2, 0) , L′(2, -2) , M′(6, 1) N′(6, 4)

4. Afla¤›daki flekle göre S′R′T′ üçgeni hangi yönde ve kaç birim ötelenerek elde e d i l m i fl t i r ?

A) 2 birim sa¤a, 3 birim afla¤›ya B) 5 birim sa¤a, 3 birim afla¤›ya C) 2 birim sa¤a, 5 birim afla¤›ya D) 5 birim sola, 5 birim afla¤›ya

5.

6. Afla¤›dakilerden hangisi köfle noktalar›n›n koordinatlar› A(1,-1), B(2,-3) ve C(4, -1) olarak verilen ABC üçgeninin x eksenine göre yans›mas› olan A′B′C′ üçgenidir?

Yukar›daki flekil, afla¤›daki flekillerden hangisinin 4 birim sa¤a, 3 birim yukar›

ötelenmesi ile oluflan görüntüsüdür?

7.

Yukar›daki fleklin 6 birim sa¤a, 3 birim afla¤›ya ötelenmesi ile oluflan görüntüsü afla¤›dakilerden hangisidir?

8. Köfle noktalar›n›n koordinatlar› M(1, 2), N(2, 3) ve R(4, 1) olan MNR üçgeni orijin etraf›nda saat yönünde 90° döndürülüyor. Oluflan M′N′R′ üçgeninin köfle noktalar›n›n koordinatlar› nedir?

A) M′(2, -1) , N′(3, -2), R′(1, -4) B) M′(2, 1) , N′(3, 2), R′(1, 4) C) M′(-1, -2), N′(-2, -3), R′(-4, -1) D) M′(-2, -1), N′(-3, -2), R′(-1, -4)

9. ABC üçgeninin saat yönünde orijin etraf›nda 180° dönme alt›ndaki görüntüsü A′B′C′ üçgenidir. ABC üçgeninin köfle noktalar›n›n koordinatlar› nedir?

A) A(3, -4) , B(3, -1), C(1, -1) B) A(4, -3) , B(-1, -3), C(-1, -1) C) A(3, -4) , B(3, -1), C(1, -1) D) A(4, -3) , B(1, -3), C(1, -1) 10. Afla¤›daki grafiklerden hangisi yans›mad›r?

➠

ÜSLÜ SAYILAR

Tam Say›lar›n Kuvvetleri

Yukar›daki örüntüyü inceledi¤imizde her bir ad›m 2’ye bölünerek 2 say›s›n›n negatif kuvvetlerine ulafl›lm›flt›r.

ÖRNEK

Afla¤›da verilen negatif kuvvetli tam say›lar›n de¤erlerini rasyonel say› olarak yazal›m.

a) 3^-1 b) 4^-2 c) 5^-3

2⁵ = 2. 2. 2. 2. 2 = 32

2⁴ = 2 . 2 . 2. 2 = 16

2³ = 2. 2. 2 = 8

2² = 2. 2 = 4

2¹ = 2

2⁰ = 1

2^-1 = 1

2¹ = 1 2

2^-2 = 1

2² = 1 4

2^-3 = 1

2³ = 1 8

: 2 : 2 : 2 : 2 : 2

: 2

: 2

: 2

a ≠ 0 olmak üzere, bir a tamsay›s›n›n n. dereceden negatif kuvveti yani a-n nin de¤eri 1

aⁿ dir.

a^-1 = 1a , a^-2 = 1

a² , a^-3 = 1

a³ ,..., a^-n = 1

aⁿ dir .

ÇÖZÜM a) 3^-1 = 1

3¹ = 1 3 b) 4^-2 = 1

4² = 1 4 . 1

4 = 1 16 c) 5^-3 = 1

5³ = 1 5 . 1

5 . 1 5 = 1

125 d) 10^-4 = 1

10⁴ = 1 10 . 1

10 . 1 10 . 1

10 = 1 10 000

10^-3 = 1

10³ = 1

1000 =0,001 3x10^-2 = 3x 1

10² = 3x 1 100 = 3

100 = 0,03 8x -4^-2 = 8x 1

-4² = 8x 1

-4 -4 = 8 16 = 1

2 = 0,5 23 x 23^-1 = 23x 1

23 = 23 x 1 23 = 1

= 3 x 100 + 4 x 10 + 8 x 1 + 5 x 1

10 + 9 x 1

100 + 3 x 1

1000 + 2 x 1 10 000 ÖRNEK

10^-3 , 3x 10^-2, 8 x (-4)^-2 , 23 x (23)^-1 say›lar›n›n de¤erlerini bulal›m.

ÇÖZÜM

ÖRNEK

348,5932 ondal›k kesrini 10 say›s›n›n kuvvetlerini kullanarak çözümleyelim.

ÇÖZÜM

348,5932 = 3 x 100 + 4 x 10 + 8 x 1 + 5 x 0,1 + 9 x 0,01 + 3 x 0,001 + 2 x 0,0001

= 2 x 10²+ 4 x 10¹+ 8 x 10⁰+ 5 x 10^-1+ 9 x 10^-2+ 3 x 10^-3+ 2 x 10^-4

ÖRNEK

Çözümlenmifl hali 3 x 10³+ 6 x 10²+ 4 x 10⁰+ 5 x 10^-1 + 2 x 10^-2+ 9 x 10^-4olan rasyonel say›y› bulal›m.

ÇÖZÜM

3 x 10³+ 6 x10²+ 4 x 10⁰+ 5 x 10^-1+ 2 x 10^-2+ 9 x 10^-4

= 3 x 1000 + 6 x 100+ 4 x 1 + 5 x 0,1 + 2 x 0,01 + 9 x 0,0001

= 3000 + 600 + 4 + 0,5 + 0,02 + 0,0009

= 3604 + 0,5209

= 3604,5209 ÖZELL‹KLER

1. a. Pozitif say›lar›n tüm kuvvetleri pozitiftir.

b. Negatif say›lar›n çift kuvvteleri pozitiftir.

c. Negatif say›lar›n tek kuvvetleri negatiftir.

5³ = 5 . 5 . 5 = 125 1

5

2= 1 5 . 1

5 = 1 25 3^-3 = 1

3³ = 1

3. 3. 3 = 1 27

- 2³ = -2 . -2 . -2 = - 8

-2^-5 = 1

-2 . -2 . -2 . -2 . -2 = - 1 32 -3² = -3 . -3 = 9

-3⁴ = -3 . -3 . -3 . -3 = 81 -3^-2 = 1

-3² = 1

-3 . -3 = 1 9 - 13

4 = - 1 3 . - 1

3 . - 1 3 . - 1

3 = 1 81

➠

Pozitif bir tam say›n›n tek ve çift kuvvetleri pozitiftir. Negatif bir tam say›n›n kuvveti tek ise sonuç negatif tam say›, çift ise sonuç pozitif tam say› olur.

ÖRNEK

Tekrarl› çarp›mlar› verilen ondal›k kesir ve rasyonel say›lar› üslü olarak yazal›m ve de¤erlerini belirleyelim.

a) (0,2) . (0,2) = (0,2)²= 0,04

b) (0,3) . (0,3) . (0,3) = (0,3)³= 0,027 c) (-0,5) . (-0,5). (-0,5) = ( -0,5)³= -0,125

2. a. S›f›rdan farkl› bir reel say›n›n s›f›r›nc› kuvveti 1’dir.

b. 1 say›s›n›n bütün kuvvetleri 1 dir.

c. Bütün say›lar›n 1. kuvvetleri say›n›n kendisine eflittir.

d) 3 4 .3

4 . 3 4 . 3

4 = 3 4

4 = 3⁴ 4⁴ = 81

256 e ) - 1

2 . - 1 2 . - 1

2 = - 1 2

3

= -1³ 2³ = - 1

8

5⁰ = 1 , 1 5

0 = 1 0,005⁰ = 1

1¹ = 1 1⁵= 1 , 1^-6 = 1 1^-7 = 1

1¹ = 1, 1 3

1 = 1

3 , - 4 5

1 = - 4 5

a) 2^-3 = 1

π b) 1

9 = π^-2 c) 125 = 5π ç) 1

36 = 6π d) 1

10 000 = 10π e) 8^-2 = 1 π

a) 1

9 ... 3² c) 4^-2 ... 1

16 e) 10³ ... 3^{1 0}

b) 3²... 2³ d) -2⁴ ... -2⁴ f) -3³ ... 3³

B = 1 10 . 1

10 . 1 10

oldu¤una göre, A

B oran› kaçt›r?

ALIfiTIRMALAR 1. Afla¤›da verilen üslü ifadelerin de¤erlerini bulunuz.

a) 3^-4 b) (-3)^-3 c) 4^-3 d) (-4)^-2

2. 10 say›s› (-10)^-1 say›s›na eflit midir? Neden?

3. Afla¤›daki eflitliklerde “π“ yerine yaz›lmas› gereken say›lar› bulunuz.

4. Afla¤›daki ondal›k kesirleri 10 say›s›n›n kuvvetlerini kullanarak çözümleyiniz.

a) 32,3245 b) 21,405 c) 18,049 d) 604,007

5. Afla¤›daki boflluklara “>, <, =” sembollerinden uygun olan›n› yaz›n›z.

7. Afla¤›daki üslü say›lar› ifllem yapmadan ondal›k kesir olarak yaz›n›z.

a) 10^-2 b) -10^-4

6. A = (-0,1) . (-0,1) . (-0,1) . (-0,1)

➠

ÜSLÜ SAYILARLA ‹fiLEMLER ÖRNEK

Afla¤›daki tabloyu inceleyiniz ve boflluklar› doldurunuz.

Çarpma Çarp›m Çarp›m›n Üslü gösterimi

10¹.10¹ 100 10²

10¹.10² 1000 10³

10¹.10³ 10 000 10⁴

10¹.10⁴ 100 000 10⁵

10².10³ 100 000 10⁵

10².10⁴ 1 000 000 10⁶

10³.10^{4 ... ...}

10⁴.10^{5 ... ...}

Her bir çarpma ifllemi ile çarp›m›n üslü gösterimi aras›nda nas›l bir iliflki vard›r?

10²⁵ say›s›n› hangi say› ile çarparsak sonuç 10³²olur?

Tabanlar› ayn› olan üslü ifadeler ile çarpma ifllemi yap›l›rken ortak taban çarp›ma taban olarak yaz›l›r. Üsler toplanarak ortak tabana üs olarak yaz›l›r.

a^m. aⁿ= a^m+n ÖRNEK

Afla¤›daki çarpma ifllemlerini inceleyiniz.

a) 10⁵. 10³= 10⁵⁺³= 10⁸ b) 2⁷. 2³= 2⁷⁺³= 2¹⁰ c) 3⁸. 3⁷= 3⁸⁺⁷= 3¹⁵ ç) 5⁴. 5^-2= 5^{4 + (-2)}= 5²

d) 4⁵. 2^-4= (2²)⁵. 2^-4= 2¹⁰ . 2^-4= 2^{10 + (-4)} = 2⁶ e) 10⁵. 10⁷. 10¹⁰= 10^{5 + 7 + 10} = 10²²

f) 2⁵. 3^-4. 2^-4. 3⁶= 2^{5 + (-4)}. 3^{(-4) + 6} = 2¹. 3²= 2 . 9 = 18

➠

ç) 10⁷

10³ = 10^{7 - 3} = 10⁴ d) 1

3

4

: 1 3

-7

= 3^-1

4

: 3^-1

-7

= 3^-4 : 3⁷ = 3^{-4 - 7} = 3-^{1 1}

Bölme Bölüm Bölümün Üslü gösterimi

10¹: 10¹ 1 10⁰

10²: 10¹ 10 10¹

10³: 10¹ 100 10²

10⁴: 10¹ 1000 10³

10⁵: 10² 1000 10³

10⁶: 10² 10 000 10⁴

10⁷: 10^{2 ... ...}

10⁸: 10^{3 ... ...}

10⁹: 10^{5 ... ...}

ÖRNEK

Afla¤›daki tabloyu inceleyiniz ve boflluklar› doldurunuz.

Her bir bölme ifllemi ile bölümün üslü gösterimi aras›nda nas›l bir iliflki vard›r?

10³² say›s›n› hangi say› ile bölersek sonuç 10²⁴ olur?

Tabanlar› ayn› olan üslü ifadeler ile bölme ifllemi yap›l›rken ortak taban bölüme taban olarak yaz›l›r. Bölünenin (pay›n) üssünden bölenin (paydan›n) üssü ç›kar›larak ortak tabana üs olarak yaz›l›r.

a^m : aⁿ= a^m-n ÖRNEK

Afla¤›daki bölme ifllemlerini inceleyiniz.

a) 2⁵: 2²= 2^5-2= 2 b) 3⁸: 3⁴= 3^8-4= 3⁴ c) 5⁸

5² = 5^{8 - 2} = 5⁶

ÖRNEK

ÇÖZÜM

ÖRNEK

8⁵say›s›n›n yar›s› kaçt›r?

ÇÖZÜM

ALIfiTIRMALAR

1. Afla¤›daki ifllemleri yap›n›z.

2. Afla¤›daki ifadelerde “π” yerine yaz›lmas› gereken say›lar› bulunuz.

3. Afla¤›daki ifadelerde ifllemleri yap›n›z.

27^-2 . 3³

9^-2 iflleminin sonucu kaçt›r?

27^-2.3³

9^-2 = 3^3-2. 3³ 3^2-2

= 3^-6.3³

3^{- 4} = 3^{-6 + 3} 3^-4 = 3^-3

3^-4 = 3^{-3 + 4} = 3'tür.

8⁵

2 = 2^{3 5} 2 = 2^{1 5}

2 = 2^{15 - 1} = 2^{1 4} tür.

a) 2³ . 2⁵ b) 3^-4 . 3^-7 c) 27³

-3⁴ d) 19⁷ 19²

a) 10⁷ . 10^π= 10⁹ b) 3⁸ . 3^-3= 3^π c) 4⁵ : 4^π = 4³ d) 5^π: 5^-8 = 5^-12

a) 2⁷. 4³

8² b) 5^-3 . 25⁴

125² c) 3⁴ . 3^-7

27² d) 5³. 5² 5². 5^-4

4. 64 . 2^-4 iflleminin sonucunu bulunuz.

5. 3⁴. 9^-4 . 27³ iflleminin sonucunu bulunuz.

❂

ÇOK BÜYÜK VE ÇOK KÜÇÜK POZ‹T‹F SAYILAR ÖRNEK

Merkür’ün Günefl’e olan uzakl›¤› : 57 900 000 km Ay ile Dünya aras›ndaki uzakl›k : 384 400 000 m AIDS virüsünün uzunlu¤u: 0,00011 mm

Güneflin yar›çap›n›n uzunlu¤u: 700 000 km

Yukar›daki say›sal verileri bilimsel gösterimle ifade edelim.

Bir say›y› bilimsel gösterimle ifade edebilmek için o say›y›, çarpanlar›ndan biri 1 ile 10 aras›nda, di¤eri 10’un kuvveti olacak flekilde iki say›n›n çarp›m› fleklinde yaz- mam›z gerekir.

Buna göre;

Merkür’ün Günefl’e olan uzakl›¤› : 57 900 000 km = 5,79 x 10⁷km Ay ile Dünya aras›ndaki uzakl›k : 384 400 000 = 3,844 x 10⁸m AIDS virüsünün uzunlu¤u : 0,00011 mm = 1,1x 10^-4mm

Güneflin yar›çap›n›n uzunlu¤u: 700 000 km = 7 x 10⁵km olarak bilimsel biçimde göstermifl oluruz.

a bir gerçek say›, 1 ≤ a ≤ 10 ve n ∈ Z olmak üzere a x 10ⁿgösterimi “bilimsel gösterim”dir.

ÖRNEK

Afla¤›daki say›lar› bilimsel olarak gösterelim.

a) 6 000 000 b) 32 000 000 c) 0,000072 d) 0,0000018

ÇÖZÜM

a) 6 000 000 = 6 x 10⁶ b) 32 000 000 = 3,2 x 10⁷ c) 0,000072 = 7,2 x 10^-5 d) 0,0000018 = 1,8 x 10^-6

ALIfiTIRMALAR 1. Afla¤›daki say›lar› bilimsel gösterimle yaz›n›z.

a) 28 000 000 000 b) 202 000 000

ÖZET

a ≠ 0 olmak üzere, bir a tam say›s›n›n n. dereceden negatif kuvveti, yani aⁿ nin de¤eri

Pozitif bir tam say›n›n tek ve çift kuvvetleri pozitiftir. Negatif bir tam say›n›n kuvveti tek ise sonuç negatif tam say›, çift ise sonuç pozitif tam say› olur.

Tabanlar› ayn› olan üslü ifadeler ile çarpma ifllemi yap›l›rken ortak taban çarp›ma taban olarak yaz›l›r. Üsler toplanarak ortak tabana üs olarak yaz›l›r. a^m. aⁿ= a^m+n

Tabanlar› ayn› olan üslü ifadeler ile bölme ifllemi yap›l›rken ortak taban bölüme taban olarak yaz›l›r. Pay›n üssünden paydan›n üssü ç›kar›larak ortak tabana üs olarak yaz›l›r.

Bir say›n›n bilimsel gösterimi a x 10ⁿ fleklindedir.

(a say›s› 1 ≤ a < 10 olacak flekilde bir rasyonel say›, n ise bir tam say›d›r.) a1ⁿ dir.

a^-1 = 1a , a^-2 = 1

a² , a^-3 = 1

a³ , ... a^-n = 1

aⁿ dir.

a^m

aⁿ = a^{m - n}



TEST I-II 1. 2^-5 ifadesinin efliti afla¤›dakilerden hangisidir?

3. Afla¤›dakilerden hangisinin sonucu negatif bir say›d›r?

A) 2^-4 B) (-2)^-6 C) -3⁴ D) -(-3)³

4. Afla¤›daki ifllemlerden hangisinin sonucu di¤erlerinden farkl›d›r?

5. Afla¤›daki eflitliklerden hangisi yanl›flt›r?

6.

A) -3 B) -1 C) 1 D) 3 7. Afla¤›daki üslü ifadelerden hangisi 1’e eflittir?

A)(-1)²⁰⁰¹ B)- (-1)²⁰⁰⁰ C) (-1205)⁰ D) (-2300)^-1

8. 4²¹ . 4^-21iflleminin sonucu kaçt›r?

A) 1 B) 2 C) 4 D) 8 2.

A) - 1

32 B) - 10 C) 1

10 D) 1

32 - 13

-3 ifadesinin efliti afla¤›dakilerden hangisidir?

A) - 27 B) - 1

27 C) 1

27 D) 27

A) -4^-2 = 1

16 B) -3^-3 = - 1

27 C) - 1 5

-2= 25 D) - 1 2

-5= 32 A) 10^-8. 10⁵ B) 10⁸

10^-5 C) 10^-2

10 D) 10^-4 : 10^-1

0,5^-3 = 1

0,5^x oldu¤una göre x kaçt›r?

✎

A) 10⁵. 10⁶ B) 1⁵. 10^{2 5} C) 10^{3 6}: 10⁶ D) 10^{3 5} 10^-5

9. Afla¤›daki ifllemlerden hangisinin de¤eri 10³⁰ dur?

10.

A) 12 B) 36 C) 54 D) 98

11.

12.

A) 0,01 B) 0,1 C) 1 D) 10

13.

A) 3⁴ B) 3^-4 C) -3^-4 D) -3⁴

14. 32,807 = 3x10^a+ 2x10^b+ 8x10^c+ 7x10^doldu¤una göre a + b + c + d kaçt›r?

A) 1 B) 2 C) -3 D) -5 15. 8²+ 8²+ 8²+ 8² iflleminin yar›s› afla¤›dakilerden hangisidir?

A) 2⁴ B) 2⁶ C) 2⁷ D) 2⁸

16. 2¹⁰= 1024 ise 2⁸ ifadesinin de¤eri kaçt›r?

A) 128 B) 256 C) 512 D) 640 3⁶ . 9² . 2⁸

27³ . 8² iflleminin sonucu kaçt›r?

8 25

-3 0 iflleminin sonucu kaçt›r?

A) 5 2

3 B) 2 5

3 C) - 2 5

3 D) 1

10^-8 . 10² 10^-7 . 10⁰ : 10⁷

10⁵ iflleminin sonucu afla¤›dakilerden hangisidir?

-3³ . - 1 3

4

-3³ iflleminin sonucu afla¤›dakilerden hangisidir?

17. a = 3²

3⁵ , b = 3²

3^-2 , c = 3^-4

3 oldu¤una göre, a, b ve c'nin küçükten büyü¤e do¤ru s›ralan›fl› afla¤›dakilerden hangisidir?

A) a < b < c B) a < c < b C) c < a < b D) c < b < a 18. 0,00000324 say›s›n›n bilimsel gösterimi afla¤›dakilerden hangisidir?

A) 0,324 x10^-5 B) 3,24 x10^-6 C) 32,4 x10^-7 D) 324 x10^-8 19. 370 000 00 say›s›n›n bilimsel gösterimi afla¤›dakilerden hangisidir?

A) 370 x10⁵ B) 37 x10⁶ C) 3,7 x10⁷ D) 0,37 x10⁸ 20. Güneflin dünyaya uzakl›¤› 150 000 000 km’dir. Bu uzakl›¤›n bilimsel gösterimi

afla¤›dakilerden hangisidir?

A) 150 x10⁶ B) 15 x10⁷ C) 1,5 x10⁸ D) 0,15 x10⁹

Histogram Oluflturma

Histogram oluflturulurken öncelikle say›sal verilere ihtayaç vard›r. Veriler haz›r oldu¤unda, önce veri grubunun aç›kl›¤› bulunur. Aç›kl›k, veri grubundaki en büyük de¤er ile küçük de¤er aras›ndaki farka denir. Daha sonra verileri ay›raca¤›m›z grup say›s›na göre grup geniflli¤ini buluruz. Grup geniflli¤i bulunurken aç›kl›k, istenen grup say›s›na bölünür. Bulunan say›ya en yak›n tek say› grup geniflli¤i olarak al›n›r. Bu grup geniflli¤indeki verilere göre histogram çizilir.

ÖRNEK

45, 46, 48, 48, 48, 49, 49, 49, 49, 49, 50, 50, 50, 50, 50, 51, 52, 52, 53, 55, 55, 56, 57, 58, 59, 59, 60, 61, 62, 62, 63, 64, 64, 65, 66, 67, 68, 68, 69, 69, 69, 70, 71, 72, 72, 73, 74, 75, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 80, 81, 83, 85, 85, 86, 87, 87, 88, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 93, 94

Yukar›daki veriler 100 soruluk bir Matematik testinden 8.s›n›ftaki ö¤rencilerin do¤ru cevapland›rd›¤› soru say›s›n› göstermektedir. Bu verilere ait histogram oluflutaral›m.

Veri grubunun aç›kl›¤›n› bulal›m.

94 - 45 = 49

Veri grubunun aç›kl›¤› 49’dur. Verileri 10 gruba ay›rarak grup geniflli¤ini bulal›m.

Grup geniflli¤i bulunurken aç›kl›k, istenilen grup say›s›na bölünür. Bulunan en yak›n tek say› grup geniflli¤i olarak al›n›r.

Bulunan say›ya en yak›n tek say› 5 oldu¤u için veri grubunun geniflli¤i 5 olarak al›n›r.

Tablo: Matematik Testi Do¤ru Cevap Say›lar›

45 49 10

50 54 9

55 59 7

60 64 7

65 69 8

70 74 6

75 79 6

80 84 4

85 89 8

90 94 6

Grafikte yatay eksende 1-45 aral›¤›nda hiç veri olmad›¤›ndan yanl›fl yorumlara yol açmamak için “zikzak” kullan›mfl›t›r.

ÖRNEK

10, 11, 11, 12, 12, 13, 13, 13, 13, 14, 14, 15, 17, 18, 18, 19, 19, 20, 20, 20, 21, 22, 23, 23, 24, 24, 24, 25, 26, 26, 27, 27, 27, 27, 28, 28, 29, 29, 30, 30, 31, 31, 32, 33, 33, 34, 34, 34, 35, 35, 35, 36, 36, 36, 36, 37, 37, 38, 38, 38, 39, 40, 40, 41, 41, 41, 42, 42, 43, 43, 44, 44, 44, 46, 46, 47, 47, 48, 48, 49, 50, 51, 52, 52, 53, 54, 54, 54, 55, 55, 56, 57, 57, 57, 58, 58, 58, 59, 59

Yukar›daki veriler bir tatil köyüne A¤ustos ay›nda gelen kiflilerin yafllar›n› göster- mektedir. Bu verilere ait histogram olufltural›m.

Veri grubunun aç›kl›¤›n› bulal›m.

59 - 10 = 49

Veri grubunun aç›kl›¤› 49’dur. Verileri 10 gruba ay›rarak grup geniflli¤ini bulal›m.

Bulunan say›ya en yak›n tek say› 5 oldu¤u için veri grubunun geniflli¤i 5 olarak al›n›r.

Tablo: Tatil Köyüne A¤ustos Ay›nda Gelenlerin Yafllar›

Yafl Kifli Say›s›

10 14 11

15 19 6

20 24 10

25 29 11

30 34 10

35 39 13

40 44 12

45 49 7

50 54 8

59 - 10

10 = 4,9

ALIfiTIRMALAR 1. Grafik: Kitap Okuma Süresi

Bir okulda bütün ö¤renciler kitap okumaktad›r. Bu okuldaki ö¤rencilerin günlük kitap okuma süreleriyle ilgili histogram yukar›da verilmifltir. Grafi¤e göre afla¤›daki sorular› cevaplay›n›z.

a) Veri grubunun aç›kl›¤› kaçt›r?

b) Veri grubunun geniflli¤i kaçt›r?

c) Bu okulda kaç ö¤renci vard›r?

ç) En uzun süre kitap okuyan ö¤renci say›s› kaçt›r?

d) En k›sa süre kitap okuyan ö¤renci say›s› kaçt›r?

2. Afla¤›daki tabloda bir s›n›ftaki ö¤rencilerin boy uzunluklar› verilmifltir. Tablodaki verilerle histogram oluflturunuz.

Uzunluk (cm) Kifli say›s›

142 - 150 4

151 - 159 5

160 - 168 7

169 - 177 6

178 - 186 8

3. Afla¤›daki tablo bir okuldaki ö¤rencilerin Matematik s›nav›ndan ald›klar› puanlar›

göstermektedir. Tablodaki verilerle histogram oluflturunuz. Bu veri grubunun aç›kl›¤› kaçt›r?

4. Afla¤›da bir s›n›ftaki ö¤rencilerin kütleleri verilmifltir.

40 41 41 43 44 44 45 45 46

47 47 48 48 49 50 50 50 51

51 52 53 53 54 55 55 56 57

58 59 59 60 61 63 63 65 66

67 67 68 70 70 70 71 72 73

a) Veri grubunun aç›kl›¤›n› bulunuz.

b) Veri grubunun geniflli¤ini belirleyerek tablo oluflturunuz.

c) Elde etti¤iniz tablodaki verilerle histogram oluflturunuz.

Puanlar Kifli say›s›

28 - 34 35 - 41 42 - 48 49 - 55 56 - 62 63 - 69 70 - 77 78 - 84 85 - 91 92 - 98

5. Afla¤›da bir yolcu otobüsündeki yolcular›n yafllar› verilmifltir.

3 4 4 10 14 15 17 18 18 18

20 20 21 22 23 24 25 25 26 27

28 29 32 33 35 37 40 41 42 47

50 51 53 54 55 55 57 57 58 59

59 61 61 63 64 65 66 66 67 72

Yukar›daki verilerle oluflturulan afla¤›daki tabloyu tamamlay›n›z.

Yafl Kifli say›s›

3 3 9 7 4 3 3 7 6 4

ÖZET

Histogram oluflturulurken öncelikle say›sal verilere ihtiyac vard›r. Veriler haz›r oldu¤unda, önce veri grubunun aç›kl›¤› bulunur. Aç›kl›k, veri grubundaki en büyük de¤er ile en küçük de¤er aras›ndaki farka denir. Daha sonra verileri ay›raca¤›m›z grup say›s›na göre grup geniflli¤ini bulunuz. Grup geniflli¤i bulunurken aç›kl›k, istenilen grup say›s›na bölünür. Bulunan say›ya en yak›n tek say› grup geniflli¤i olarak al›n›r. Bu grup geniflli¤indeki verilere göre histogram çizilir.



Grafi¤e göre 15 sorular› cevaplay›n›z.

1. Bu ifl yerinde kaç kifli çal›flmaktad›r?

A) 240 B) 365 C) 445 D) 540

2. Bu verilerin aç›kl›¤› kaçt›r?

A) 5 B) 10 C) 49 D) 52

3. Bu verilerin geniflli¤i kaçt›r?

A) 4 B) 5 C) 6 D) 10

TEST I-III

Afla¤›daki histogram bir ifl yerinde çal›flanlar›n, evleri ile ifl yerleri aras›ndaki uzakl›¤› göstermekmektedir.

✎

4. Evinin, ifl yerine uzakl›¤› 28 km - 32 km olan kaç kifli vard›r?

A) 70 B) 80 C) 90 D) 100

5. Evinin, ifl yerine uzakl›¤› 3 km - 27 km olan kaç kifli vard›r?

A) 70 B) 90 C) 130 D) 165 6.

50 soruluk bir Matematik testinde 8/A s›n›f›ndaki ö¤rencilerin netleri yukar›daki tabloda verilmifltir. Yukar›daki verilere uygun histogram hangisinde do¤ru verilmifltir?

Tablo: Ö¤rencilerin Matematik Netleri Netler Kifli say›s›

1 - 10 2

11 - 20 4

21 - 30 8

31 - 40 10

41 - 50 6

Tablo: 200 m koflusu süresi

Süre Kifli (saniye) say›s›

30 346 35 394 40 445 45 498 50 547

Tablo: 200 m koflusu süresi

Süre Kifli (saniye) say›s›

30 345 35 393 40 444 45 496 50 546

Tablo: 200 m koflusu süresi

Süre Kifli (saniye) say›s›

30 347 35 395 40 447 45 499 50 548

Tablo: 200 m koflusu süresi

Süre Kifli (saniye) say›s›

30 347 35 395 40 448 45 499 50 541

Beden E¤itimi Dersinde ö¤renciler aras›nda 200 m koflusu yap›lm›fl ve koflu sonuçlar› afla¤›da saniye cinsinden verilmifltir?

30 31 32 33 33 34 35 37 38 39

40 41 42 43 44 45 45 46 46 47

48 49 49 50 50 51 51 52 52 54

Yukar›daki verilere göre 7., 8. ve 9. sorular› cevaplay›n›z.

7. 200 m koflusuna kat›lan kaç ö¤renci vard›r?

A) 22 B) 24 C) 26 D) 30

8. Bu veri grubunun aç›kl›¤› kaçt›r?

A) 12 B) 24 C) 25 D) 30

9. Bu veriler 5 gruba ayr›ld›¤›ndaki tablo afla¤›dakilerden hangisidir?

A) B) C) D)

Bir okuldaki 8. s›n›f ö¤rencilerinin tümü her gün Matematik testi çözmektedir. Bu s›n›ftaki ö¤rencilerin günlük çözdükleri soru say›lar› ile ilgili histogram yukar›da veril- mifltir. Buna göre, 10, 11, 12, 13, 14 ve 15. sorular› cevaplay›n›z.

10. Veri grubunun aç›kl›¤› kaçt›r?

A) 31 B) 40 C) 44 D) 50

11. Veri grubunun geniflli¤i kaçt›r?

A) 4 B) 5 C) 9 D) 10

Grafik: Çözülen Matematik Soru Say›s›

En fazla çözülen soru say›s› = 94 En az çözülen soru say›s› = 50

12. 8. s›n›fta kaç ö¤renci vard›r?

A) 72 B) 80 C) 85 D) 90

13. Çözülen soru say›s› 50 64 olan kaç ö¤renci vard›r?

A) 8 B) 12 C) 14 D) 24

14. Grafi¤e göre kifli say›s› en fazla olan grubun günlük çözdükleri soru say›s› hangi say› aral›¤›ndad›r?

A) 64 69 B) 68 73

C) 70 74 D) 74 79

15. Grafi¤e göre kifli say›s› en az olan grubun günlük çözdükleri soru say›s› hangi say›

aral›¤›ndad›r?

A) 55 59 B) 56 61

C) 60 64 D) 62 67