1. Aşağıdakilerden hangisi AB ve CD kenarlarının orta dikmeleri AC köşegeni üstündeki bir noktada kesişen he ABCD dışbükey dörtgeni için doğrudur?
A) BA AD BC CD B) BD AC C) AC BD
D) AD DC AB BC E) Hiçbiri
Çözüm :
GE ; AB nın orta dikmesi ise AE EB
FE ; CD nın orta dikmesi ise DE EC BDE üçgeninde BE ED BD AC BD
A
B
C
D E
F G
x
y
y x
2. x 1 65 polinomunun kaç katsayısı 65’e bölünmez?
A)20 B)18 C)16 D)3 E)Hiçbiri
Çözüm: 5’in ve 13’ün katlarını denediğimizde
65
n formundaki katsayılardan n=0, 5, 10, 15, 25, 30, 35, 40, 50, 60, 65
N=0, 13, 26, 39, 52, 65 için 65’e bölünmez.
16 katsayı bölünmez.
3. 1 n29n20 n27n 12 eşitsizliğini sağlayan kaç n pozitif tam sayısı vardır?
A)1 B)2 C)3 D)4 E)Hiçbiri
Çözüm:
2
1 n 4. n 5 n 4. n 3 1 n 4. n 3 n 5
1 n 3 n 5
n 4
n 3 n 5 2
n 3 n 5 2 n 4 n 3 n 5 4 n 4
n 3 n 5 2 n 3 n 5 2 n 3 n 5
2 n 3 n 5 n 3 n 5
Elde edilir ki n5 için A-G-O eşitsizliği gereği bu ifade doğru olmaz.
n 1, 2, 3, 4 için eşitsizlik sağlanır.
4.
1, 2, 3,..., 20
kümesinin 8 elemanlı alt kümelerinden kaçı ardışık sayılar içermez?A) 13 8
B) 13 9
C) 14 8
D) 14 9
E) 20 15
Çözüm: Kümede olan ve olmayan elemanları belirtmek için olanlar yerine 1, olmayanlar yerine 0 yazalım.
8 tane 1 kullanmalıyız. a , a , a ,..., a 1’lerin arasındaki 0’ların sayısını temsil etsin. 1 2 3 9
1 2 3 9
a 10a 10a 10...1a yazılışında 8 tane 1, 7 tane 0 kullanılmıştır. Bu durumda a1a2a3... a 9 5 Denkleminin negatif olmayan tam sayı çözümlerinin sayısı= 9 5 1 13
9-1 8
elde edilir.
5. m ABC
90o olmak üzere ABC üçgeninin AB kenarını çap alan çember AC kenarını D noktasında, çembere D de teğet olan doğru da BC yi E noktasında kesiyor. EC 2 ise AC2 AE2 nedir?A) 18 B) 16 C) 12 D) 10 E) Hiçbiri
Çözüm :
Yandaki şekle göre DE BE x2olur.
2 2 2
2 2 2
AC CB AB ve
AE EB AB eşitlikleri taraf tarafa çıkarılırsa
2 2 2 2
AC AE CB EB 16412 elde edilir.
A
B C
D
E 2
x x
6. Kaç p asal sayısı için p486 sayısı da asaldır?
A)0 B)1 C)2 D)3 E)4
Çözüm : p486 ifadesini 5 modunda inceleyelim. p≠5 için p486 0 mod 5
olduğundan p486 asal olamaz. p=5 için 625-86=539 asaldır.7. x ve 1 x sayıları 2 x25x 7 denkleminin farklı gerçel kökleri ise 0
3 2 2
1 1 1 1 2 2
x 5x 4x x x 4x nedir?
A)15 B) 175 25 53 C)-50 D)20 E)Hiçbiri
Çözüm : x1x2 5 ve x .x1 2 7
3 2 2 2
1 1 1 2 1 2 1 1 2
5 0
x 5x x x 4 x x x x x 5 20 20
8. Pozitif tam sayılardan oluşan n elemanlı her kümenin toplamları 6 ile bölünen 6 elemanı bulunabiliyorsa, n en az kaç olabilir?
A)13 B)12 C)11 D)10 E)9
Çözüm: Sayılarımızı 6 modunda düşünebiliriz.
n=10 için olmadığını gösterelim.0, 0, 0, 0, 0,1, 1, 1, 1, 1 bu kümenin elemanlarının 6’lı toplamları 1 ile 5 arasındadır. n=11 için doğruluğunu ispatlayalım.
Lemma:5 elemanlı herhangi bir pozitif tam sayı kümesinin öyle 3 elemanı vardır ki toplamları 3’e bölünür.
İspat: 3 modunda 3 farklı eleman olabilir. 1 ve 2 çeşit eleman için en az 3 tane birbirine denk eleman vardır.
Bu 3 elmanın toplamı 3’e bölünür. 3 modunda 3 çeşit elman varsa her denklik sınıfından birer tanesinin toplamı 3’e bölünür. n=11 olsun. İçlerinden herhangi bir beşli alalım.3 tanesinin toplamı 3’e bölünür.
Bunlar a , a , a olsun. Kalan 8 tanesinden 5 tanesini alalım. 3 tanesinin toplamı 3’e bölünür. Bunlar da 1 2 3
1 2 3
b , b , b olsun. Son 5 tanesinin de 3 tanesinin toplamı 3’e bölünür. Bunlarsa c , c , c olsun. 1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
a a a 3k
b b b 3m
c c c 3n
olsun. 3k, 3m, 3n’den en az ikisi çift veya en az ikisi tektir. 2 modunda birbirine denk olan iki tanesinin toplamı hem 2’ye hem 3’e bölünebilir.
9. m ADC
90o olan bir ABCD dışbükey dörtgeninde D den geçen ve BC ye paralel olan doğru AB doğrusunu E noktasında kesiyor. m DAC
m DAE , AB
3 ve AC 4 ise AE ?A) 5
6 B) 1
3 C) 1
2 D) 1 E) 3
4
Çözüm :
Yandaki şekilde CDBAF olsun. ACF üçgeni ikizkenar üçgendir.
AE x EF 4x olur. Ayrıca D noktası CF nin orta noktası ve
DE BC olduğundan FE EB yani 4x3x buradan x 1
2
bulunur.
E A B
C
D
F
4
x 3
10. 0x, y, z2011 olmak üzere, xy+yz+zx0 mod 2011
ve x+y+z 0 mod 2011
koşullarını sağlayan kaç(x, y, z) tam sayı üçlüsü vardır?
A)2010 B)2011 C)2012 D)4021 E)4023
Çözüm: z
xy mod 2011
z’yi yerine koyalım. x2xyy2 0 mod 2011
2
2 2 2 2
4x 4xyy 3y mod 2011 2xy 3y mod 2011
olur. Eğer bunu sağlayan (x, y) ikilileri varsa lineer denklemde yerine yazarak z’nin tek değeri bulunabilir. Bu denkliğin sağlanması için -3, 2011 modunda kare kalan olmalıdır.
1 1
2 . 2
( 1)
p q
p q q p
1005.1
3 2011
( 1) 1
2011 3
2011; 4 modunda 3’tür. -1;2011 modunda kare kalan olamaz. 2011 1
3 3 1
olur. O zaman 3
2011 1
olur. 3 3 1
2011 2011 2011 1
olduğundan -3 2011 modunda kare kalandır. 0a1005 için
2 3 mod 2011
a olsun.
2xy
2 a y2 2
mod 2011
2xy
ay
mod 2011 veya 2
xy
ay
mod 2011
1’den 2010’a kadar x’e verdiğimiz her değer için 2 denklikten 2 tane y çözümü buluruz.
x 0 için her iki denklikte de y olur. Toplam =2010.2+1=4021 0
11. x5x44x37x27x polinomunun farklı gerçel köklerinin toplamı nedir? 2
A)0 B)1 C)2 D)-2 E)7
Çözüm:
x2
x22x 1 x
2 x 1
0İlki -2, ikincisinin toplamı +2, üçüncüde reel kök yok. -2+2=0
12. Bir okuldaki 100 öğrenciden her biri aynı okuldaki istediği 50 öğrenciye mesaj yollamıştır. Karşılıklı olarak mesajlaşmış öğrenci çiftlerinin sayısı en az kaç olabilir?
A)100 B)75 C)50 D)25 E)Hiçbiri
Çözüm: a ; i numaralı kişiye mesaj gönderen kişi sayısı olsun. i
*Bir öğrenci 49 kişiye mesaj göndermemiştir.
b i. kişinin karşılıklı mesajlaştığı kişi sayısı i
i i
a 49b
1 1
a 49b
2 2
a 49b
…
100 100
a 49b
i i
a 4900 b
Gönderilen mesaj sayısı=Toplam alınan mesaj sayısı
ai 100.505000100
bikarşılıklı mesajlaşan kişi sayısı toplamı 2 kişi içinde sayıldığından, yarısı bu çiftlerin sayısını verecektir. 50≤
Karşılıklı mesajlaşan çiftler
NOT:Herkesin 50 mesaj atıp kendisine göndermeyen 49 kişiye mesaj gönderdiği durum için çift sayısı 50’ye eşittir.
13. Dar açılı ABC üçgeninin A,B,C köşelerine ait yüksekliklerin ayakları sırasıyla D,E,F dir. DF 3, FE 4,
DE 5 ise DE ye teğet olan C merkezli çemberin yarıçapı nedir?
A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) 3
Çözüm :
DH,EH,FH doğruları ABC üçgeninin açı ortaylarıdır. Ayrıca A,B,C noktaları da DEF üçgeninde dış açı ortayların kesim noktalarıdır. C merkezli DE ye teğet olan çember de bu kenara ait dış teğet
çemberidir.
a a a
a
Alan DEF =3.4 6 2
Alan DEF = u a r 6 5 r r r 6
A
B D C
E F
3 4
5 H
14.
20112011
2011
2011
2011
sayısının 19 ile bölümünden kalan nedir?
A)5 B)4 C)3 D)2 E)1
Çözüm: 201118 1 mod19
20112011
2011
2011 ? mod18
6
φ 18 6 2011 1 mod18
20112011
2011 ? mod 6
2011 2011 2011
2011 2011 2011
2011 1 mod 2 ve 2011 1 mod 3 2011 1 mod 6
20112011
2011 1
2011 2011 mod18 13 mod18
13 4 3
13 3
2011 mod19 3 mod19 3 . 3 mod19 5 . 3 mod19
11. 3 mod19 5 mod19
15. Aşağıdaki(a, b) ikililerinin hangisi için x+2y<a ve xy>b eşitsizliklerini sağlayan hiçbir (x, y) pozitif gerçel sayı ikilisi yoktur?
A) 15 4 7 7,
B) 18 1
11 3,
C) 5 1
7 6,
D) 6 1
7 11,
E)Hiçbiri
Çözüm: 2 2xy x2ya , xy b 8xya2 8b8xya28ba2 olmalıdır.A,B,C ve D şıklarında bu şart sağlanmaktadır.
16. Ağırlıkları herhangi pozitif tam sayı olan 2011 taş, biri diğerinin 2 katı ağırlıkta 2 taş içermeyen n bölgeye ayrılabiliyorsa n en az kaç olabilir?
A)102 B)51 C)12 D)11 E)Hiçbiri
Çözüm: Ağırlıkları küçükten büyüğe dizelim. a , a , a ,,, a1 2 3 2011 Ağırlıkları aynı olan taşları aynı bölgeye koyabiliriz. b1b2 b3 ...bk k tane farklı ağırlıktaki taş grupları olsun.
Bir taşın 2 katı ağırlığındaki taş o taştan büyüktür. Önce en küçükten başlayarak taşları öbeklere koymaya başlayalım. Aynı ağırlıktaki taşlar aynı öbekte olacağından ve sırası gelen taşın yarısı ağırlığındaki taş sadece 1 öbekte bulunabileceğinden; 2 öbek olduğunda her taş için bu 2 öbekten birine koyabiliriz.
17. ABC eşkenar üçgeninin iç bölgesindeki bir D noktası için AD 2, BD 3 ve CD 5 ise m ADB
nedir?
A) 120o B) 105o C) 100o D) 95o E) 90o
Çözüm :
ABDACD ' olacak şekilde yandaki çizimi yapalım. ADD’
üçgeni eşkenar üçgen olur. DD ' 2 CDD’ üçgeninde kosinüs teoremi yazarsak:
5 2 9 2. 2.3.cos x cos x 1
2
x45o
o o om ADB 60 45 105
A
B C
D 2
3 5
D' 2
3 2
60 x
18. Kaç pozitif tam sayı n n
21 n
23 n
25
ifadesini n nin tüm pozitif tam sayı değerleri için böler?A)16 B)12 C)8 D)4 E)Hiçbiri
Çözüm: P(n)= n n
21 n
2 3 n
25
=
n 1 n n 1 n
23 n
25
n=2 için P(2)=2.3.9.7
n=3 için P(3)=3.8.9.14 (P(3),P(2))=2.9.7 olur.
2 2
2 2 2
2
2 ( 1) 2 ( ) 3 ( 1)( 1)
9 ( ) 3 ( 3)( 5)
7 ( 1)( 3)( 5) 7 ( )
2.3 .7 ( ) (1 1)(2 1)(1 1) 12
n n P n
n n n
P n
n n
n n n n P n
P n
19. Aşağıdaki eşitsizliklerin hangisinin xy düzleminde tanımladığı bölge ile kesişimi tam olarak iki noktadan oluşan bir doğru bulunur?
A) x2y2 B) 1 xy xy 1 C) x3 y3 D) 1 x y 1 E)
1 1
2 2
x y 1
Çözüm :
A) B) C)
D) E)
20. 100 öğrencinin girdiği bir sınavda 5 soru sorulmuş ve her soruyu tam olarak 50 öğrenci çözmüştür.
Çözdüğü soru sayısı 2’yi aşmayan öğrencilerin sayısı en az kaç olabilir?
A)21 B)18 C)17 D)16 E)Hiçbiri
Çözüm: Toplam çözülen soru sayısı=250
2’den fazla çözenlerin sayısı k olsun. 100-k 2’yi aşmayan sayıda soru çözenlerdir. 2’den fazla soru çözenler en az 3 soru çözmüştür. 3k≤250 k≤250\3 50\3≤ 100-k 17≤ 2’yi aşmayan sayıda soru çözenler
NOT: 83.3+1=250 83 kişinin 3’er, 1 kişinin 1 soru, 16 kişinin 0 soru çözdüğü duruma örnektir.
21. Bir ABCD eşkenar dörtgeninin iç bölgesinde yer alan bir E noktası AE EB , m EAB
11 ve o
om EBC 71 koşullarını sağlıyorsa m DCE
kaçtır?A) 72o B) 71o C) 70o D) 69o E) 68o
Çözüm :
ABE üçgenine eş olacak şekilde BCE’ üçgenini çizelim. Yandaki gibi açılar yerleştirilince BEE’ üçgeni eşkenar üçgen olur.
o
om CE 'E 142 m CEE ' m ECE ' 19
o
om ECB 30 ve m DCB 98 olduğundan m DCE
68o olur.A B
D C
E
11 11
60 11 60 60
11
E'
22. f(0)=0, f(1)=1 ve her n≥1 için, f(3n-1)=f(n)-1,
f(3n)=f(n), f(3n+1)=f(n)+1 ise, f(2011) nedir?
A) 7 B) 5 C) 3 D) 1 E) 0
Çözüm: f(2011)=f(670)+1 f(670)=f(223)+1 f(223)=f(74)+1 f(74)=f(25)-1 f(25)=f(8)+1 f(8)=f(3)-1
f(3)=f(1) ise f(2011)=3 tür.
23. xy düzlemindeki tam sayı koordinatlı noktalardan koordinatları çarpımı 6 ile bölünenler kırmızıya, bölünmeyenler ise beyaza boyanıyor. Kenarları koordinat eksenlerine paralel çok büyük bir karenin içinde kalan tam sayı koordinatlı noktalardan beyaz olanların sayısının kırmıza olanların sayısına oranı
aşağıdakilerden hangisine en yakındır?
A) 7
5 B) 3
2 C) 2 D) 4
3 E) 5
4
Çözüm: Koordinat düzleminde 1. bölgede k kenarlı bir karenin tam sayı koordinatlı noktalarını inceleyelim.
Bu çok büyük karenin içindeki tabanı 6 br. lik bir parçaya baktığımızda;
x=6a+1 için k/6 x=6a+2 için k/3 x=6a+3 için k/2 x=6a+4 için k/3 x=6a+5 için k/6
x=6a+6 için k tane nokta şartı sağlar ve kırmızıdır. Bu şekilde seçtiğimiz 6k noktanın 5k/2 tanesi şartı sağlar.
7k/2 tanesi sağlamaz. Noktaları 6’lı, 6’lı gruplandırdığımızda oranları değişmez.
7k
B 2 7
K 5k 5
2
24. r , r ,..., r renklerinde sırasıyla, 1 2 n a , a ,..., a topun bulunduğu bir torbadan , her seferinde çekilen top 1 2 n torbaya geri konmak koşuluyla, birer birer rasgele n top çekildiğinde bu toplardan en az ikisinin aynı renkte olma olasılığını p a , a ,..., a
1 2 n
ile gösterirsek aşağıdakilerden hangisi en küçüktür?A) p(2, 2, 2, 1) B) p(1, 1, 1, 1) C) p(2, 2, 3) D) p(2, 2, 1) E) p(1, 1, 1)
Çözüm: Hepsinin farklı renkte olma olasılığı en büyük olan şıkkı arayalım.
2, 2, 2,1
4!2 2 2 1 1927 7 7 7 2401
p
1,1,1,1
4!1 1 1 1 244 4 4 4 256
p
2, 2,3
3!2 2 3 727 7 7 343
p
2, 2,1
3!2 2 1 245 5 5 125
p
1,1,1
3!1 1 1 63 3 3 27
p
25. ABCDE düzgün dışbükey beşgeninin alanının kenarları AC,CE,EB,BD,DA doğruları üstünde yer alan düzgün dışbükey beşgenin alanına oranı nedir?
A) 41
6 B) 3 5 5
2
C) 4 5 D) 7 3 5
2
E) Hiçbiri
Çözüm :
KLMNP beşgeninin kenar uzunluğuna 1 br diyerek başlayalım.
Açılar yerleştirilirse AEP üçgeni ve EPK üçgeni benzer olur.
2 2
x 1
x x 1 x x 1 0 x 1 x
2
1,2
1 1 4.1. 1 1 5
x 2 2
ve x uzunluk olduğundan
1 5 3 5
x AE
2 2
Beşgenlerin alanları oranı benzerlik oranının karesi olduğundan:
2
3 5 14 6 5 7 3 5
2 4 2
A
B
D C
E K L
M
N P
36
36
36 72
72 1 x
x
x x+1
26. 0 a 22008 ve 0b8tam sayıları 7 a
22008b
1 mod 22011
denkliğini sağlıyorsa, b nedir?A) 3 B) 5 C) 6 D) 7 E) Hiçbiri
Çözüm: 7 a
22008b
1 mod 22011
7a22008b 1 mod 2
2011
2011 2008 2011
2008 2008
0 7a 2 0 2 b 1 2
7a 2 b 1 2 b 1 mod 7 2b 1 mod 7 b 3 mod 7
0b 8 b3
27.
an n 1 gerçel sayı dizisi a1 1, a3 4 ve n 2 için an 1 an 1 2.an koşulunu sağlıyorsa, 1 a2011 nedir?A) 22010 B)2021056 C)1010528 D)3016 E)2011
Çözüm: bn an 1 an olsun. bn bn 1 olur. 1
a2 2 olmak üzere
b1a2a1 1
2 1
3 1
n 1
n n 1
n 1 n 2
2 1
b b 1
b b 2
...
b b n 1 n
a a n 1
a a n 2
...
a a 1
Eşitliklerinin taraf tarafa toplanmasıyla
n 1 2011
n n 1 n n 1
a a 1 a 1 1005.2011
2 2
2021056
28. 1, 2,...,4022 sayıları 2x2011 bir satranç tahtasının birim karelerine, iki sayı aynı birim karede olmamak ve ardışık olan sayılar ortak bir kenarı olan birim karelerde yer almak koşuluyla kaç farklı biçimde
yerleştirilebilir?
A)161168444 B)12168440 C)10088242 D)8084224 E)Hiçbiri
Çözüm: Her sayı bir karıncanın dikdörtgen üzerinde yapacağı hamleleri göstersin. Karınca kenarları ortak olan kareler arasında bir kareye bir kere basmak koşuluyla yürüsün. Karıncanın nx2’lik tahtanın bir köşesinden başlayarak o tahtayı dolaşma şekillerinin sayısına a diyelim. Sol üst köşeden başlayıp sağa doğru hareket n ederse 2 hamle yapabilir. Yana hamle yaparsa sonuna gelmeden diğer satıra geçerse böldüğü
dikdörtgenin bir tarafını dolaşamaz. Sağa doğru gidip alta geçerse ikiye ayrılan yolun bir tarafını gidemez.
Sonuna gelince diğer satıra geçip o yolu bitirmek zorundadır. (1 farklı şekilde). Diğer satıra ilk hamlede geçerse bu sefer
n 1 x2
’lik bir dikdörtgeni dolanmış olur (an1 farklı şekilde). a 2 2 an n2x2011’lik tahtada i. sütundan giriş yapsın.Yukarı çıkmaz. Herhangi bir yanı seçip o tarafı bitirip kalan dikdörtgeni bitirmelidir.
2011 2011
1 2011
1 1
2. i i 2. 2010 2.2010.2011 8084220 4 8084224
i i
T a a
29. ABC üçgeninin B ve C köşelerinden geçen bir çember AB kenarını D, AC kenarını da E noktasında kesiyor. ACD üçgeninin çevrel çemberi BE doğrusunu BE dışındaki F noktasında kesiyor. AD 4
ve BD 8 ise , AF nedir?
A) 3 B) 2 6 C) 4 6 D) 6 E) Hiçbiri
Çözüm :
DBCE ve DCFA kirişler dörtgenlerinde
m DEB m CED m AFD olduğu için BFA ve FDA üçgenleri benzer olur.
12 4 3
4
AF AF
AF olur.
A
B
C
D E
F 4
8
19
38
38 38
(3 2 )( 4 ) m=4 icin (3x+2y)(x-4y)=2
3 2 2
4 2 14 2 3.2 (mod 7)
a
a a a
x y x y m
x y
x y y
2k
0
1
2
3
2 1(mod 7) 2 2(mod 7) 2 4(mod 7) 2 1(mod 7)
30. m’nin hangi değeri için, 3x2 10xy8y2 m19eşitliğini sağlayan hiçbir (x, y) tam sayı ikilisi yoktur?
A)7 B)6 C)5 D)4 E)3
Çözüm:
7 modunda nın kalanlarını inceleyelim.
m=4 için çözüm yoktur.
31. i2 j2k2 2011 koşulunu sağlayan i, j, k tam sayıları için i+j+k ifadesinin alabileceği en büyük değer nedir?
A)71 B)73 C)74 D)76 E)77
Çözüm:
i j k
2
i2 j2k2
.36033 ise i j k 77i=29, j=27, k=21 için i²+j²+k²=2011 eder.
32. Başlangıçta bir öbekte n taş bulunuyor. İki oyuncu sırayla hamle yapıyorlar ve her hamlede sırası gelen oyuncu istediği bir i 0 sayısı için, öbekteki taşlardan 2i tanesini alıyor. Son taşı alan oyuncu oyunu
kazanıyor. Oyun n=1000, 2000, 2011, 3000, 4000 değerlerinin her biri için birer kez oynanırsa, bu oyunlardan kaçını oyunu başlayan oyuncu kazanmayı garantileyebilir?
A)4 B)3 C)2 D)1 E)Hiçbiri
Çözüm: Altı çizili olanlar 1. oyuncunun, olmayanlar 2. oyuncunun kazandığı durumlar olsun.
n=1 2 3 4 5 6 7 8 9 olduğu görülür.
Teorem: Oyunu n 3’e bölünüyorsa 2. oyuncu, bölünmüyorsa 1. oyuncu kazanır. Güçlü tümevarımla ispatlamaya çalışalım.
İspat: n’e kadar tüm 3’ün katları 2. oyuncu 3’e bölünmeyenleri 1.oyuncu kazansın.
n=3k+1 için 1. oyuncu 1 taş alır. n=3k+2 için 1. oyuncu 2 taş alsın. 2. oyuncu n=3k oyununun 1. oyuncusu olur.
3k<n olduğu için n=3k oyununu o oyunun birinci oyuncusu kaybeder. Yani n=3k+1 veya n=3k+2 oyununun 2.
oyuncusu kaybeder.
n=3m için 1. oyuncu n’den daha küçük bir sayıda taş bırakacaktır. Eğer 3’ün katı sayıda taş bırakamazsa oyunu kaybeder. 3m2i 3solması gerekir. 3
m s
2i3 2i olmalıdır. Çelişki. Demek ki 3’ün katı olursa 2.oyuncu kazanır.
33. Bir birim küreye içten ve köşeleri bu küre üzerinde yer alan düzgün dörtyüzlünün bir yüzüne de dıştan teğet olan bir kürenin hacmi en çok ne olabilir? yarıçapı sorulmak istenmiş
A) 1
3 B) 1
4 C) 1 1 1
2 3
D) 1 2 2 1 2 3
E) Hiçbiri
Çözüm :
M merkezli küre aranan küre olsun. H noktası bu kürenin dörtyüzlünün bir yüzüne değme noktası ise O, büyük kürenin merkezi olmak üzere
OH BCD olduğunda M merkezli kürenin yarı çapı en büyük olur.
Bu durumda da A,O,H,M noktaları doğrusal olur. O noktasını A,B,C ve D noktalarıyla birleştirelim.
1
V O,BCD Alan BCD . OH
3
V A,BCD V O,BCD V O, ACD V O,ABC V O, ABD
1
V A,BCD 4.V O,BCD 4. Alan BCD . OH
3 ………..1
1
V A,BCD Alan BCD . AH
3 ………..2 1 ve 2 nolu eşitliklerden AH 4 OH ve AO 1 OH 1
3
ve
1 1 3 1
HM 2 3
A
B
C D
O
M H
34. n pozitif bir tam sayı olmak üzere, 2n sayısının on tabanına göre yazılımında sağdan en çok kaç basamakta aynı rakam yer alabilir?
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) Hiçbiri
Çözüm:
k tane
2n 10 .ka b .111...1 olsun.
1b9çünkü: b=0 olursa 2n, 5 ile bölünür. Çelişki.
b rakam olduğu için en fazla 2 ile tam bölünebilir. 3 b=8 olsun.
k tane
2n 10 .ka8.111...1 3 3
k tane
2n 2k.5 .ka 111...1
olur.Bu eşitliğin sağlanabilmesi için
3
k tane
2k.5 .ka ifadesinin çift olması gerekir. k=3 olur. 111...1 2n 10 .3a888 olur.
3
2n 888 mod1000 2n 111 mod125
Elde edilir ki n 39 için bu denklik sağlanır. 239 549755813888
35. Aşağıdaki fonksiyonlar arasında pozitif gerçel sayılar kümesinde aldığı en büyük değer en küçük olan hangisidir?
A)
2
1 12
x x
B)
3
1 11
x x
C)
4
1 10
x x
D)
5
1 9
x x
E)
6
1 8
x x
Çözüm: Paydalara 1 1 . . . .
G O A O uygulanırsa
6
2 2 2 5
5 12
12
26
5
1 1 1 1 1
1 1 6
5 5 5 5 5 6
5
x x x
x x x
3 3 11 8 3
11 11 11
11
8 .3
1 1 1
1 11
3 3 3 8 8 ... 8
x x
x x x
x
5
4 4 2 3
10 10
10
2 .3
1 1 1
1 5
2 2 3 3 3
x x
x x
x
9
5 5 5 4
9 9 9
9
5 .4
1 1 1 1
1 9
5 5 ... 5 4 4 4 4
x x
x x x
x
en küçük
8
6 6 6 2
8 8 8
8
6 .2
1 1
1 8
6 6 ... 6 2 2
x x
x x x
x
36. Boyları birbirinden farklı 14 öğrenci başlangıçta nasıl sıralanmış olurlarsa olsunlar, her adımda yan yana duran iki öğrencinin yerini değiştirerek en az kaç adımda öğrencileri boy sırasına sokmak mümkün olur?
A) 42 B) 43 C) 45 D) 52 E) Hiçbiri
Çözüm:
X- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Y- 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
Boy sırası 2 şekilde olabilir.Elemanlarımızın bulundukları yerler x sıralamasına göre
1, 2,..., 14
a a a olsun.
Her elemanın kendi yerine geçebilmesi için yapması gereken hamle sayısı (yol farklı) x’e göre dizileceklerse i a i , y’e göre dizileceklerse 14 i ai
Toplam yol farkı x’e göre T , y’ye göre x Ty olsun.
1 2 14
1 2 ... 14
Tx a a a
1 2 14
14 13 ... 1
Ty a a a
Her iki durumda da iki kişinin yerini 1 sıra değiştireceğimizden yol farkı her hamlede 2 olur.
i. Tx ve Ty ikisi de çifttir.
İspat: Mutlak değerler açılınca x x
mod 2
olduğundan bütün terimlerin işareti artıymış gibi düşünebiliriz.
1 2 14
2 1 2 ... 14 ... 0 mod 2
x y
T T a a a ii. TxTy 182
İspat: iai 15 i ai 13 (farklı şekillerde yapılabilir.)
i 15
ia olsun. (i ve 15-i simetrik olduğundan i i15i kabul edebiliriz.)
15 15 2 13
i i
i a i a i
i 15
a i olsun. i i a i 15 i ai 15 2 i13
15 i
i i a ise i a i 15 i ai 2ai 15 13,
ai 14
1 1 2 2 14 14
1 14 2 13 ... 14 1 13.14 182
x y
T T a a a a a a
x ve y
T T çift olduklarından en az biri 90 dan küçük veya eşittir.
90 45
2
x x
T T hamlede herkes boy sırasına geçebilir.
ÇÖZÜMLER İZMİR FEN LİSESİ MATEMATİK OLİMPİYAT TAKIMINA AİTTİR.