İstatistik-II Dersi
4.Bölüm: Hipotez Testleri-IV
İKİ ANAKÜTLE PARAMETRELERİ İLE İLGİLİ HİPOTEZ TESTLERİ
Bu testlerin amacı karşıt hipotezde ileri sürülen iddianın kabul edilip edilmeyeceğinin ortaya çıkartılmasıdır. Ancak karşıt hipotezi test etmek mümkün olmadığından, önce sıfır hipotezi test edilir ve bu sonuç karşıt hipotez için genellenir. İki anakütlenin parametreleriyle ilgili hipotez testinin varsayımları:
Örneklemlerin alındığı anakütle normal dağılışlıdır.
Örneklemlerdeki birimler iadeli olarak ve eşit olasılıkla seçilmiş veya anakütleler sonsuz büyüktür.
İki anakütledeki örneklem seçimi birbirinden bağımsızdır.
Bağımsız Örnekler ile Ortalama Farkına İlişkin Hipotez Testi
İki ortalama arasındaki farkın testi yapılırken, kullanılacak test istatistikleri anakütle varyansının bilinmesi ve örnek büyüklüğü dikkate alınarak aşağıdaki şekilde bir sınıflama yapılabilir. Gözlemler Normal dağılış gösteriyorsa ve
1) Popülasyon (anakütle) varyansları biliniyor veya popülasyon varyansları bilinmiyor ancak örnekler büyükse (n 30)
2) Popülâsyon varyansları bilinmiyor fakat eşit kabul edilebiliyorsa 3) Popülâsyon varyansları bilinmiyor fakat eşit kabul edilemiyorsa
4) Gruplar bağımlı ise yani eşli gözlemler varsa, farklı her durum için uygun test istatistikleri kullanılarak ilgili testler yapılabilir.
Örnek-1: Bulaşık deterjanını plastik kaplara doldurmak için iki makine kullanılıyor.
Birinci makineden n1=10 plastik kap, ikinci makineden n2=12 plastik kap seçiliyor. Bu kaplar incelendiğinde birinci makine ortalama 30.87 birim sıvı, ikinci makine ortalama 30.68 birim sıvı doldurmuştur. Varyansları ise sırasıyla 0.0225 ve 0.0324 bulunmuştur.
a) Varyansları homojen kabul ederek, %95 güven düzeyinde (%5 anlamlılık düzeyinde) birinci makinenin daha fazla sıvı doldurduğu söylenebilir mi? t-tablo=1,725
b) Varyansları heterojen kabul ederek, %95 güven düzeyinde birinci makinenin daha fazla sıvı doldurduğu söylenebilir mi? t-tablo=1,717
Karar: İki makineden birinci makinenin daha fazla sıvı doldurduğu %95 güvenilirlikle söylenebilir.
Karar: Varyanslar heterojen olduğunda birinci makinenin daha etkin olduğu söylenebilir.
Örnek-2: Ekonometri ve İstatistik bölümü öğrencilerinin, istatistik dersinden geçme notlarının aynı oldukları iddia edilmektedir. Bunun için ekonometri bölümünden 186 öğrenci, istatistik bölümünden 211 öğrencinin not ortalamaları hesaplanmıştır. Buna göre ekonometri bölümü öğrencilerinin not ortalamaları 65.8 ve istatistik bölümü öğrencilerinin not ortalamaları 71.6 olarak bulunmuştur. Önceden hesaplanan anakütle varyansları ise sırasıyla 12.3 ve 19.8 ise %5 anlamlılık düzeyinde kararınız ne olur?
Örnek-3: Konserve zeytin üretimi yapan fabrikaların birincisinden tesadüfi olarak seçilen 100 konservenin ortalama dayanma süresi 130 gün ve standart sapması 15 gün; ikincisinden alınan 125 konservenin ise ortalama dayanma süresi 136 gün ve standart sapması 21 gün olarak hesaplanmıştır. %5 önem seviyesinde, ikinci fabrikada üretilen konservelerin ortalama dayanma süresinin daha fazla olduğunu söyleyebilir miyiz?
Örnek-4: A marka teknoloji marketinde satılan bilgisayarların fiyatlarının varyanslarının 68 TL ve B marka teknoloji marketinde satılan bilgisayarların fiyatlarının varyansının 120TL olduğu bilinmektedir. A teknoloji marketinde satılan 316 bilgisayarın ortalama fiyatı 863 TL ve B teknoloji marketinde satılan 188 bilgisayarın ortalama fiyatı 917 TL olarak hesaplandığına göre, %1 önem seviyesinde, bu 2 market arasında fark olup olmadığı hakkında ne karar verirsiniz?
Bağımlı (Eşli Gözlemler) Örnekler ile İki Ortalama Farkına İlişkin Hipotez Testi Aynı fert üzerinde farklı zamanlarda ölçümler alındığında ve bunların karşılaştırılması söz konusu olduğu durumlarda bağımlı (eşli) grup ortaya çıkar. Eşleştirilmiş fertlerle yapılan testlerde kullanılan test istatistiği daha önceki grup karşılaştırmalarında kullanılanlardan daha farklıdır. Çünkü grup karşılaştırmalarında X1 ile X2 değişkenlerinin birbirinden bağımsız olduğu varsayılmaktaydı. Eşleştirilmiş gözlemlerde ise X1 ve X2 ölçümleri aynı birey üzerinde veya çok benzer bireyler üzerinden yapıldığı için bağımlı olacaktır. Yani n1 = n2 = n (gözlem çifti sayısı ) olacaktır.
Örnek-5: 22 hastada ameliyattan önceki ve sonraki şeker değerleri aşağıda verilmiştir. Buna göre ameliyat şeker değeri düşürmüş müdür olup olmadığını %95 güven düzeyinde araştırınız (Veriler normal dağılışlı olduğu varsayılıyor.) t-tablo=1.721
Örnek-6: Bir bölgede rasgele seçilen 8 binanın ocak ve haziran ayı fiyatları aşağıdaki gibidir.
Fiyatlar arasında %5 anlam düzeyinde istatistiksel olarak anlamlı bir farklılık var mıdır?
Örnek-7: 2013 yılına ait 12 aylık enflasyon değerlerinin, aynı dönemlere ait 2014 yılı değerlerinden farklı olduğu iddia edilmektedir. %5 anlam düzeyi için aşağıda verilen 2 yıllık ÜFE değerleri yardımıyla iddiayı test ediniz.
2013 2014 Ocak 7.31 7.75 Şubat 7.03 7.89 Mart 7.29 8.39 Nisan 6.13 9.38 Mayıs 6.51 9.66 Haziran 8.3 9.16 Temmuz 8.88 9.32 Ağustos 8.17 9.54 Eylül 7.88 8.86 Ekim 7.71 8.96 Kasım 7.32 9.15 Aralık 7.4 8.17
İki Oran Farkı İçin Hipotez Testi
Bu testlerde karşıt hipoteze örnek olarak şunlar verilebilir:
A ve B bölümü öğrencilerinin başarı oranları farklıdır.
Lise mezunlarının üniversiteye girme oranı Anadolu liselerinkinden düşüktür.
Futbol seyretme oranı erkeklerde daha yüksektir.
Örnek-8: İki mahalledeki eski bina oranlarının farklı olduğu iddia edilmektedir. Bu amaçla I.
mahalleden rastgele seçilen 40 binanın 30’u, II. Mahalleden ise 50 binanın 35’i eskidir. %5 anlamlılık düzeyine göre iddianın doğruluğunu test ediniz. Z-tablo=1,96
Örnek-9: Bir ildeki okur yazar oranının il merkezinde kırsal kesime göre daha yüksek olduğu iddia edilmektedir. Rasgele il merkezinden seçilen 1000 kişiden 850’sinin ve kırsal kesimden 1500 kişiden 975’inin okur-yazar olduğu belirlenmiştir. %1 anlamlılık düzeyine göre kararınız ne olur? Z-tablo=2.33
Örnek-10: Samsun’da eğitim veren Anadolu liseleri ve fen liselerinden mezunlarından mühendislik fakültelerini kazananların oranları karşılaştırılmak istenmektedir. Son 3 yıllık verilere göre, Anadolu liselerinden mezun olan 869 öğrenciden 435’inin, fen liselerinden mezun olan 369 öğrenciden 298’inin mühendislik bölümlerini kazandıklarını belirlenmiştir.
%1 anlamlılık düzeyinde Anadolu Lisesi mezunu olup kazananların oranının fen lisesi mezunu olup kazananlardan az olduğu iddiasını araştırınız.
İki Varyansa İlişkin Hipotez Testi
Varyansları 𝜎12ve 𝜎22olan normal dağılımlı iki anakütleden n1 ve n2 gözlemli bağımsız iki örneğin varyansları 𝑠12 ve 𝑠22olsun. İki anakütle varyansının birbirine eşit olup olmadığını test etmek için n1-1, n2 -1 serbestlik dereceli F dağılımı kullanılır. Test istatistiği:
şeklindedir.
Örnek-11: İki farklı yöntem ile üretilen demir çubuklarının kırılma dirençlerine ilişkin varyansların karşılaştırılması istenmiştir. Karşılaştırmayı yapabilmek için A yöntemi ile üretilen 11 ve B yöntemi ile üretilen 21 tane ürün rastgele seçilmiştir. A ve B yöntemleri ile üretilen ürünlerin varyansları sırasıyla 529 ve 361 olarak elde edildiğine göre, 0,05 anlamlılık düzeyinde A yöntemi ile üretilen ürünlerin kırılma dirençlerine ait varyansın daha büyük olup olmadığını test ediniz.
Yorum: 0,05 anlamlılık düzeyinde, bu iki farklı yöntem ile üretilen ürünlerin demir çubukların kırılma dirençlerine ait varyansın eşit olduğu söylenebilir.
Örnek-12: Aynı işi yapan iki işçinin bu işi yapım sürelerinin varyanslarının eşit olup olmadığı karşılaştırılmak isteniyor. Bu amaçla 1. işçinin yaptığı rasgele 13 iş gözlemlenmiş varyansının 25 dk. olduğu görülmüştür. Aynı şekilde 2. işçinin yaptığı 16 iş gözlemlenmiş varyansının 40 dk. olduğu görülmüştür. İki işçinin bu işi yapım sürelerinin varyanslarının farklı olup olmadığını %5 anlam düzeyinde test edip karar veriniz.
Yorum: İki işçinin bu işi yapma varyanslarının farklı olduğunu söylemek mümkün değildir.
Örnek-13: A marka eşya üreticisi, ürettikleri ev tipi merdivenlerin varyansının B marka eşya üreticisinin ürettiklerinden daha fazla olduğunu iddia etmektedir. Bu iddiayı test etmek için A üreticisinden 8, B üreticisinden 7 ev tipi merdivenin ağırlıkları ölçülmüş ve aşağıda verilmiştir. %5 önem seviyesinde iddiayı test ediniz.
A 12.6 12.8 12.75 12.58 12.66 12.68 12.58 12.88 B 12.56 12.59 12.53 12.58 12.6 12.61 12.66
Yararlanılan Kaynaklar
1. Newbold, P. (2005). İşletme ve İktisat İçin İstatistik. (Ü. Şenesen, Çev.). İstanbul:
Literatür Yayıncılık.
2. Erilli, N.A. (2018). İstatistik-2. Ankara: Seçkin Yayıncılık.
3. Spiegel, M. R., & Stephens, L. J. (1988). İstatistik. Çev. Erdal Öney ve Nahit Töre.
Ankara: AÜ Basımevi.
4. McClave, J. T., & Sincich, T. (2006). Statistics (No. QA 276.12. M33 2006).
5. Cengiz, M. A. & Terzi, Y. (2020) Hipotez Testleri Ders Notları
