Üçgende Alan Bölüm
5.2
5.2.1. Üçgenin Alanı
Başlarken
İnşaat sektöründe ustalar, çatı, duvar ya da zemini kaplamadan önce ne kadar malzeme kullanacak- larını belirlemede geometrik şekillerin alanından yararlanırlar. Örneğin yandaki şekilde bir üçgenin alanını bularak tüm çatı için gerekli olan toplam cam miktarı belirlenebilir.
Hatırlayalım
Daha önceki yıllarda bir üçgenin alanının, bir kenarının uzunluğu ile o kenara ait yüksekliğin uzunluğunun çarpımının yarısına eşit olduğunu öğrenmiştik.
A
E ha D
ha
hc
ha
hb = c hc = b
hc hb
B H C
a
c b
A
B H
a C
Dar açılı üçgen Dik üçgen
Geniş açılı üçgen
hb a b
c A
F
B
H C
E
( ) · · ·
A ABC a h b h c h
2 1
2 1
2 1
a b c
= = =
D
Neler Öğreneceğiz?
• Üçgenin alanını veren bağıntılar ve üçgenin alanıyla ilgili uygula- maları
Anahtar Terimler
• Üçgenin alanı
• A ABC( D )
Sembol ve Gösterimler
Bu bölümde bir üçgenin iki kenarının uzunluğu ve bu kenarların oluşturduğu açının ölçüsü verildiğinde üçgenin alanının nasıl hesaplanabileceğini öğreneceğiz. Aşağıdaki teorem bu hesaplamayı ifade etmektedir.
A
B a
b
C c
Bir üçgenin alanı, iki kenar uzunluğu ve bu kenar- ların oluşturduğu açının ölçüsünün sinüs değeri- nin çarpımının yarısına eşittir. Yandaki ABC üçge- ninde,
( ) · · · ·
· · ·
sin sin
sin
A ABC a a
A
b B
b
C c
c 2
1
2 1
2 1
= =
=
D
Teorem
Sinüs Alan Formülü
İspat:
Verilenler: ABC bir üçgen, |BC| = a, |AC| = b, |AB| = c
İstenen: (A ABC) · · ·a b sinC · · ·a c sinB · · ·b c sinA 2
1
2 1
2
= = = 1
D
A
B
b
C c
a
H ha
ABC üçgeninin BC kenarına ait yüksekli- ği çizelim. Yüksekliğin BC kenarını kestiği nokta, H olsun.
ABH üçgeninde sinB h ca
= olduğundan ha = c · sin B dir.
ABC üçgeninin alanı,
( ) · · · ·
A ABC BC AH a h
2 1
2 1
= = a
D oldu-
ğundan bu ifadede ha yerine eşiti olan c · sin B yazılırsa
( ) · · · sin
A ABC a h a c B
2 1
2
1 ·
= a=
D elde edilir.
Benzer şekilde ABC üçgeninin alanını veren ifadenin (A ABC) · · · sina b C 2
= 1
D veya
( ) . . . sin
A ABC b c A
2
= 1
D olduğu gösterilebilir.
Üçgende Alan Bölüm
5.2
1
A
B
C 4
30° 6
Yandaki ABC üçgeninde
( ) °
m ABC% =30
|AB| = 4 br
|BC| = 6 br ise
( )
A ABCD değerini bulalım.
ABC üçgeninin alanı AB BC sinB 2
1· · · olduğundan,
( ) · · ·sin ° · · ·
A ABC 1 4 6 30 br
2 1 4 6
2
1 6
2 2
= = =
D olarak bulunur.
2
A
B
D C 150°
6 2
4
Yandaki şekilde [AD] ⊥ [BD]
( ) °
m ADC% =150
|AD| = 4 cm
|BD| = 6 cm ve
|DC| = 2 cm olduğuna göre
( )
A ABCD değerini bulalım.
( ) ( ) ( ) °
m ADB% +m BDC% +m CDA% =360
ve °90 +m BDC(%)+150°=360°
eşitliğinden
( ) °
m BDC% =120
bulunur.
( ) ( ) ( ) ( )
A ABCD =A ADBD +A ADCD +A BDCD olduğundan
( ) · ·
· ·sin ° · · ·sin °
A ABC AD
BD AD
DC BD DC
2 2
1 150
2
1 120
= + +
D olur.
( ) ·
A ABC 2 4 6
2 1 4 2
2 1
2 1 6 2
2 3
· · · ·
= + +
D eşitliğinden
( )
A ABCD =14 3 3+ cm2 bulunur.
Bunu biliyor muydunuz
Birçok tarihi eserde farklı süslemelere yer verilmekte- dir. Yukarıda Sultan Ahmet Camii’nin tavanını kaplayan süslemeler görülmektedir.
3
A
B C
D 5 8
10
Yandaki şekilde [AB] ⊥ [BC]
[AC] ⊥ [CD]
|AC| = 10 cm
|BC| = 8 cm ve
|CD| = 5 cm olduğuna göre
( )
A BCDD nin değerini bulalım.
A
B C
D 5 8
10 α
β α
ABC üçgeninde (m BAC%)=a ve
( )
m ACB% =b
olsun. ABC üçgeninin iç açı ölçüleri toplamından a + b = 90° bulunur.
( ) ( ) °
m ACB% +m BCD% =90
olduğundan
( )
m BCD% =a olur.
ABC dik üçgeninde sin 10 a = 8 ve
( ) · · · sin
A BCD 21 BC CD a
D =
olduğundan
( ) · · ·
A BCD cm
2 1 8 5
10
8 16 2
= =
D bulunur.
4
A
F 3 E
9
ABC ve FBD üçgen
|AF| = 9 br,
|FB| = 3 br
|CD| = 2 br ve
( ) ( )
A ABCD =3A FBDD olmak üzere
|BC| = x değerinin kaç br olduğunu bulalım.
Üçgende Alan Bölüm
5.2
B açısı, ABC ve FBD üçgenlerinde ortak açıdır. (A ABCD )=3A FBD( D ) olduğundan
sin sin
AB BC B FB BD B
2
1 3
2
· · · = ·1· · · dir. Buradan
· . ·x sinB · · · (x ) ·sinB 2
1 12 3
2
1 3 2
= + eşitliğinden 12x = 9x + 18 ve x = 6 br olarak bulunur.
5
A
D
B
C E S1
S2
Yandaki ABC üçgeninde AB kenarı dört ve
AC kenarı beş eş parçaya bölünmüştür.
( )
A ADED =S1 ve
( )
A BDEC =S2 olmak üzere
S S
2
1 oranını hesaplayalım.
a
a
a
a
b
b
b
b
b A
D
B
C E S1
S2
Şekildeki eş parçalar aynı harfle gösterilirse;
· · ·
· · · sin sin
S S
S
a b A
a b A
2 1 4 5 2 1 2 3
1 2
1
+ = olup
S S
S
10 3
1 2
1
+ = bulunur.
Buradan 10 S1 = 3S1 + 3S2 ve 7S1 = 3S2 elde edilir. Son eşitlikten istenen oran
S S
7 3
2
1 = olarak bulunur.
A
D
B C
E t x z
y
S1
S2
( )
A ADED =S1
( )
A BDEC =S2 ve ( )
A ABCD =S1+S2 ise,
S S
S
x y z t
x z
·
·
1 2
1
+ =
+ +
^ h ^ h
Anahtar Bilgi
6
A
D
B E C
6 10
Yandaki ABC üçgeninde
|AB| = |BD| = |BE| dir.
( ) °
m ABC% =60
|DE| = 6 br ve
|DC| = 10 br ise
( )
A DECD değerini bulalım.
β β α α A
D
B E C
6 10
Şekildeki ABD ve BDE ikizkenar üçgenlerinde
( ) ( )
m BAD% =m ADB% =a ve
( ) ( )
mBDE% =m DEB% =b olsun.
ABD üçgeninden 2a +m ABD(%)=180° ve BDE üçgeninden 2b +m DBE(%)=180°
olup eşitlikler taraf tarafa toplanırsa
( ) m ABD( ) m DBE( ) °
2 α β+ + % + % =360
elde edilir. (m ABD%)+m DBE(%)=60°
olduğundan a + b = 150° olarak bulunur.
Buradan (m EDC%)=180°-150°=30° olur.
( ) · · ·sin ° · · ·
A EDC DE DC br
2
1 30
2 1 6 10
2
1 15 2
= = =
D bulunur.
7
Bir ABC üçgeninde |AB| = 6 cm, |BC| = 8 cm ve ° ≤60 m B( ) ≤V 150° olduğuna göre
( )
A ABCD nın alabileceği en büyük ve en küçük değerlerini bulalım.
A
B 8 C
6
( ) · · · sin
A ABC AB BC B
2
= 1
D ,
|AB| ve |BC| değerleri sabit olduğundan ABC üç- geninin alanı B açısının sinüs değerine bağlıdır.
° ≤m B( ) ≤ °
60 V 150 aralığındaki açı ölçülerinden sinüs değeri en büyük olanı 90° olduğundan (A ABCD ) nin en
1 1
Bir açının ölçüsünün sinüs değeri, açı ölçüsü
• 0° den 90° ye doğru artar- ken büyür.
• 90° de en büyük değerini alır.
• 90° den 180° ye doğru artarken küçülür.
Anahtar Bilgi
Üçgende Alan Bölüm
5.2
En küçük değer A
B 6
8 150°
C
İlgili aralıkta sinüs değeri en küçük olan açının öl- çüsü 150° olduğundan (A ABCD ) nın en küçük de- ğeri,
.
sin cm olur
2
1 6 8 150
2 1 6 8
2 1 12
· · · °= · · · = 2
Bir kenar uzunluğu ve bu kenara ait yüksekliği verilen bir üçgenin alanı ile iki kenar uzunluğu ve bu iki kenarın oluşturduğu açının ölçüsü verilen bir üçgenin alanını na- sıl hesaplayacağımızı öğrendik. Aşağıdaki teorem sadece kenar uzunlukları verilen bir üçgenin alanının nasıl hesaplanabileceğini açıklamaktadır. Üçgenin alanını çevreden yararlanarak hesaplamayı sağlayan bu teorem Heron formülü olarak bilinir.
A
B a C
c b
Kenar uzunlukları a, b ve c olan ABC üçgeninin çev- resinin yarısı u olmak üzere u a b c
= + +2
c m
( ) · · ·
A ABCD = u u a^ - h ^u b- h ^u c- h dir.
Teorem
Heron Formülü
8
Kenar uzunlukları a = 5 br, b = 6 br ve c = 7 br olan ABC üçgeninin alanını ve b ke- narına ait yüksekliğinin uzunluğunu bulalım.
ABC üçgeninin çevresinin yarısı u br 2
5 6 7 9
= + +
= dir. Heron formülüne göre kenar uzunlukları verilen üçgenin alanı, (A ABCD )= u u a u b u c·^ - h^ - h^ - h olduğundan
( ) · · · ·
A ABCD = 9 9 5^ - h ^9 6- h ^9 7- h= 9 4 3 2=6 6br2 olarak bulunur. Ayrıca
( ) ·
A ABC b h
2b
D =
olduğundan · h
6 6 2
6 b
= eşitliğinden hb=2 6 br olarak elde edilir.
Matematik Tarihi
Heron Of Alexandria (M.Ö.75) kenar uzunlukları a, b, c olarak verilen bir üçgenin alanını çevresini kullanarak hesaplamıştır.
Gökdal, F. (1999). Heron ve Brahmagupta Formülleri. Ma- tematik Dünyası, Sayı 2, 20-24.
9
A D
E
B 9 C
10
Yandaki şekilde
( ) ( )
A ABED =A DCED [AB] ⊥ [BC]
|BC| = 9 br
|DC| = 10 br ve
|DB| = 11 br olduğuna göre
|AB| değerini bulalım.
A D
E
B 9 C
S1
S2
S1 10
( ) ( )
A ABED =A DECD =S1 ve (A BECD )=S2 olsun.
Bu durumda (A ABCD )=A BCD( D )=S1+S2 olur.
BCD üçgeninin üç kenar uzunluğu da belli olduğu için bu üçgenin alanı Heron formülü kullanılarak hesaplanırsa u 2
9 10 11 15
= + +
= br ve (A BCDD )= 15 4 5 6· · · =30 2br2 olarak bulunur.
( ) ( )
A BCDD =A ABCD olduğundan · AB
30 2 2
= 9 eşitliğinden AB br 3
= 20 2 olarak bulunur.
10
Üçgen şeklindeki bir yüzme havuzunun etrafına beyaz renkli fayanslar kullanılarak bir yürüyüş bölümü yapılacaktır. Havuzun kenar uzunlukları 5 m, 8 m ve 11 m dir. Yürüyüş bölümü yapıldık- tan sonra havuzun yürüyüş bölümü eklenmiş hali için kenar uzunlukları 7 m, 9 m ve 12 m olacağı- na göre yürüyüş bölümünün alanını bulalım.
Üçgende Alan Bölüm
5.2
Şekilde görüldüğü gibi havuzun çevresine yapılacak olan yürüyüş bölümünün alanı
( ) ( )
A ABCD -A DEFD dir. ABC üçgeni için ( )
u ABC
2 2 m
7 9 12 Ç 14
1= = + +
=
D
olmak üzere (A ABCD )= 14 7 5 2· · · = 980 31 30. , m2 dir.
A B
C
12 9
7 5 8 11 D
F
E
DEF üçgeni için ( )
u DEF
2 2 m
5 8 11 12
Ç
2= = + +
=
D
olmak üzere
( ) ,
A DEFD = 12 7 4 1· · · = 336.18 33m2 dir.
Havuzun çevresine döşenen fayansın alanı
( ) ( ) , , ,
A ABCD -A DEFD .31 30 18 33- =12 97m2 olarak bulunur.
11
Kenar uzunlukları birer tamsayı ve çevresi 15 cm olarak verilen bir üçgenin alanının en büyük kaç cm2 olduğunu bulalım.
Bir elektronik tablolama programı kullanarak örneği çözelim. Elektronik tablo progra- mında alanın maksimum olduğuna karar vermemiz için adım adım kenar uzunlukların- daki değişime göre alanlardaki değişimi inceleyebiliriz. Bunun için öncelikle çevresi 15 cm olan ve üçgen eşitsizliğini sağlayan üçgenlerde alanları belirleyerek kenar uzunluk- larının değişimine göre oluşan üçgenlerin alanlarını inceleyelim.
Üçgenin kenar uzunlukları a, b, c olsun. Üçgen eşitsizliğini sağlayan ve a + b + c = 15 cm olan farklı (a, b, c) tamsayı üçlülerini belirleyerek her bir durumda oluşan ABC üçgeni- nin alanını Heron formülü yardımıyla hesaplayalım.
a b c u u – a u – b u – c Alan
1 7 7 7,5 6,5 0,5 0,5 3,49106
2 6 7 7,5 5,5 1,5 0,5 5,562149
3 5 7 7,5 4,5 2,5 0,5 6,495191
3 6 6 7,5 4,5 1,5 1,5 8,714213
4 4 7 7,5 3,5 3,5 0,5 6,777721
4 5 6 7,5 3,5 2,5 1,5 9,921567
5 5 5 7,5 2,5 2,5 2,5 10,82532
Yukarıdaki tabloya göre ABC üçgeninin tüm kenar uzunlukları birbirine eşit olduğunda üçgenin alanı en büyük olmaktadır. Başka bir ifadeyle sabit bir çevre uzunluğuna sahip bir üçgenin en büyük alana sahip olması için üçgenin eşkenar üçgen olması gerekir.
Heron formülü kenar uzunlukları bilinen bir üç- genin alanını hesaplamada kullanılmaktadır. Bu formül sayesinde aynı çevreye sahip üçgenlerin alanları karşılaştı- rılabilmektedir.
Anahtar Bilgi
Araç ve Gereçler: Kareli kağıt, cetvel, kalem Adım 1
A
B H
h1 h2
a a
C E K F
D
Kareli bir kâğıda birer ke- narları eş olan ABC ve DEF üçgenlerini çizerek eş olan kenarlara ait yükseklikleri h1 ve h2 olarak gösteriniz.
Adım 2
ABC ve DEF üçgenlerinin alanlarını veren ifadeleri aşağı- daki boşluklara yazınız.
( ) ... ...
A ABC AH h
2 2
· · 1
= =
D
( ) ... . ...
A DEF DK h
2 2
· 2
= =
D
Adım 3
ABC ve DEF üçgenlerinin alanlarını oranlayınız.
( )
( )
...
...
...
...
A DEF A ABC
= =
D D
Sonuç
Yaptığınız işlemler sonunda birer kenarları eş olan üçgenlerin alanları oranı ile yüksekliklerin uzunlukları arasında belirlediğiniz ilişkiyi yazınız.
. . . . . . . . . . . .
Şimdi de benzer bir incelemeyi yükseklikleri eş üçgenler için yapalım.
Adım 1
A
B H
h h
a d
C E K F
D
Kareli bir kâğıda yüksek- likleri eş olan ABC ve DEF üçgenlerini çiziniz.
Adım 2
ABC ve DEF üçgenlerinin alanlarını veren ifadeleri aşağı- daki boşluklara yazınız.
( ) ·... ...
A ABC BC a
2 2
= = ·
D
( ) ·... ...
A DEF EF d
2 2
= = ·
D
Adım 3
ABC ve DEF üçgenlerinin alanlarını oranlayınız.
( )
( )
...
...
...
...
A DEF A ABC
= =
D D
Sonuç
Yaptığınız işlemler sonunda yükseklikleri eş iki üçgenin alanları oranı ile bu yüksekliklere ait kenar uzunlukları arasında belirlediğiniz ilişkiyi yazınız.
. . . .
Üçgende Alan Bölüm
5.2
Eş Yüksekliğe veya Kenara Sahip Üçgenlerin Alanlarının Karşılaştırılması
Yukarıda yaptığınız atölye çalışmasından aşağıdaki sonuçlara ulaşabiliriz.
• Birer kenarları eş olan üçgenlerin alanları oranı, eş olan kenarlara ait yüksek- lik uzunluklarının oranına eşittir.
• Yükseklikleri eş olan üçgenlerin alanları oranı, bu yüksekliklere ait kenar uzunluklarının oranına eşittir.
Sonuç
12
A B
C
I II
D
Üçgen şeklindeki tarlasını iki oğlu arasında eşit paylaştırmak isteyen Hasan Amca tarlanın bir kenarının ortasına bir kazık çakmıştır. Tarlanın bu kenarının karşısındaki köşeye de diğer bir kazık çakarak iki kazık arasına ip bağlamıştır. Oluşan iki parça tarlanın birinci kısmını büyük oğluna ikinci kısmını ise küçük oğluna vermiştir. Büyük oğlu kardeşinin kendisinden daha fazla tarladan pay aldığını iddia ederek itiraz etmiştir. Hasan Amca’nın büyük oğlunun haklı olup olmadığını bulalım.
A B H
C
D
I II
ADC ve DBC üçgen şeklindeki tarlaların C köşesinden çizilen yükseklikleri eş ve |AD| = |DB|
olduğundan ADC ve DBC üçgenlerinin alanları eşittir. Hasan Amca’nın büyük oğlunun iddiası doğru değildir.
13
A
B D
C
Yandaki ABC üçgeninde 2|DC| = 3|BD| ve
( )
A ADCD =15br2
olduğuna göre (A ABCD ) değerini bulalım.
Bir üçgenin bir kenara ait kenarortayı üçgenin alanını iki eş parçaya ayırır.
A
B D
S S
C
( ) ( )
A ABDD =A ADCD
Anahtar Bilgi
ABD ve ADC üçgenlerinin BD ve DC kenarlarına ait yükseklikleri eştir.
Bu nedenle ABD ve ADC üçgenlerinin alanları oranı DC
BD oranına eşittir.
( )
( )
DC BD
A ADC A ABD
= D
D
eşitliğinden A ABD( ) 3
2
= 15
D
ve (A ABDD )=10br2 bulunur.
( ) ( ) ( )
A ABCD =A ABDD +A ADCD =10 15+ =25br2 elde edilir.
14
A
B D E
F
C
Yandaki ABC üçgeninde 3|CF| = |AF|
|BD| = 2|DE| = 2|EC| ve
( )
A FDED =7br2 olduğuna göre
( )
A ABCD yi bulalım.
A
B D
14
2a a7 7 a
E C
F
B ile F noktalarını birleştirelim. FBD, FDE ve FEC üçgenlerinin F köşesin- den çizilen yükseklikleri eş ve 2|DE| = 2|EC| = |BD| olduğundan
( )
A FDED =7br2 ise
( )
A FECD =7br2 ve
( )
A FBDD =14br2 olur.
A
F
B
84
28
b 3b
C
Bu durumda (A BFCD )=28br2 dir.
Yandaki şekilden de görülebileceği gibi ABF ve BFC üçgenlerinin B köşesinden çizilen yükseklikleri eş ve 3|CF| = |AF| olduğundan
( ) ·
A ABFD =3 28=84br2 dir.
( )
A ABCD =84 28+ =112br2 olarak
Üçgende Alan Bölüm
5.2
15
A
E
B 6 D 4 C
3
F x
Yandaki ABC üçgeninde [AD] ∩ [BE] = {F} ve
taralı bölgelerin alanları eşittir.
|BD| = 6 br
|DC| = 4 br ve
|AE| = 3 br ise
|EC| = x değerini bulalım.
A
E
B 6 D 4 C
3
F A
B
x S
S
( )
A BFDD =A, (A AFED )=B ve
taralı bölgelerden herbirinin alanı S olsun.
Buna göre
( )
( )
A ADC A ABD
DC
= BD
D D
den
S B S A
4 6 +
+ = ... (*) olur.
( )
( )
A ABE A EBC
AE
= EC
D D
den S AS B x 3 +
+ = ... (**) olur.
(*) ve (**) numaralı ifadelerin eşitliğinden x 4 6
= 3 olup x 2
= 9 br olarak bulunur.
16
D
A
B E F C
Yandaki şekilde, [AF] ⊥ [BC]
[DE] ⊥ [BC] ve
( )
( )
A DBC A ABC
2
= 3
D D
dir.
|AF| = 6 br ise
|DE| nun kaç birim olduğunu bulalım.
BC kenarı ABC ve DBC üçgenlerinin ortak kenarı ve birer kenarları eş olan iki üçgenin alanları oranı bu kenarlara ait yükseklik uzunlukları oranına eşit olduğundan,
( )
( )
A DBC A ABC
DE
= AF
D D
dir. Dolayısıyla 23 = DE6 den |DE| = 4 br bulunur.
17
A
B
C E
D
Yandaki şekildeki
( )
( )
A CBD A ABD
4
= 9
D D
ve
|CE| = 2 br ise
|AE| kaç birim olduğunu bulalım.
A
B
C E F
G D
ABD ve CBD üçgenlerinin BD kenarına ait AG ve CF yüksekliklerini çizelim.
Bu durumda [AG] // [CF] olur.
( ) ( )
m CEF% =m AEG%
ve (mAGE =%) m CFE(%) olduğundan A.A. benzerlik kuralına göre
AEG CEFD + D dir. Buradan CE
AE CF
= AG ...(*) olur.
Birer kenarları ortak iki üçgenin alanları oranı bu kenarlara ait yüksekliklerin uzunlukla- rı oranına eşit olduğundan
( )
( )
A CBD A ABD
CF
= AG
D D
...(**) dir.
(*) ve (**) dan
( )
( )
AE
A CBD A ABD
CE = D
D
olur. AE
2 4
= 9 eşitliğinden AE br 2
= 9 bulunur.
18
A C
B E G D F
Bir restorasyon çalışmasında üçgen mozaiklerin tahribata uğradığı tespit edilmiştir. Yandaki şekilde restoras- yonu yapılan ve alanı 78 cm2 olan üçgen parçanın köşeleri A, B, C noktalarıyla gösterilmiştir. D, E ve F bulundukları kenarların orta noktaları olmak üzere tahribata uğramış mozaik şekildeki gibi altı küçük üçgene ayrılmıştır. Buna göre AEG ve FGC üçgenleriyle gösterilen bölgelerin alanları toplamının kaç
Üçgende Alan Bölüm
5.2
A C
B
E G
D
F
S S
D, E ve F bulundukları kenarların orta noktaları olduğun- dan [AD], [CE] ve [BF] ABC üçgeninin kenarortaylarıdır.
AGB üçgeninde E noktası [AB] nın orta noktası olduğun- dan (A AEGD )=A BEG( D )=S olarak gösterelim. Diğer taraftan G noktası ABC üçgeninde kenarortayların kesim noktası olduğundan bu nokta ağırlık merkezi olup
|GC| = 2|GE| dir. Bu durumda (A AGCD )=2A(AEGD )=2S dir. F noktası AGC üçgeninde AC kenarının orta noktası olduğundan (A AGFD )=A FGC( D )=S olur. Benzer şekilde
( ) ( )
A BGDD =A GDCD =S dir. Bu durumda ABC üçgeninin kenarortayları üçgenin alanını altı eş parçaya ayırır. Bu parçalardan birinin alanı 6 cm
78 =13 2 dir. (A AEGD )=A FGC( D )=13cm2 olduğundan
( ) ( )
A AEGD +A FGCD =26cm2 olarak bulunur.
19
A
D E
4
6
B C
Yandaki şekilde [DE] // [BC]
|BD| = 6 cm ve
|AE| = 4 cm olduğuna göre
( )
A DECD değerini bulalım.
A
D H h
E 4
6
B C
B ile E noktalarını birleştirelim. Oluşan BDE üç- geni ile DEC üçgeninin birer kenarları ve bu ke- narlara ait yükseklikleri eş olduğundan
( ) ( )
A BDED =A DECD dir.
( )
A BDE D AE
B cm
2 2
6 4 12
· · 2
= = =
D
olduğundan (A DECD )=12cm2 olarak bulunur.
Bir üçgenin üç kenarortayı üçgenin alanını altı eş parça- ya ayırır.
A
F E
B D C
G S S
S S S
S
Anahtar Bilgi
Bir üçgenin bir köşesinin, bu köşenin karşısındaki kenara paralel olan bir doğru üzerinde hareket ettirilmesi üçgenin alanını değiştirmez.
A D E
B C
d
( ) ( ) ( )
A ABCD =A DBCD =A EBCD
Anahtar Bilgi
20
A
B
C E
Şekildeki ABC üçgeninde [AE] , A açısının açıortayı 4|AB| = 7|AC|
( )
A ABED =28br2 olduğuna göre
( )
A ABCD değerini bulalım.
ABE ve AEC üçgenlerinin sırasıyla EB ve EC kenarlarına ait yüksekliklerinin uzunlukları eşit olduğundan, bu üçgenlerin alanları oranı yüksekliklerinin ait olduğu kenar uzun- luklarının oranına eşit olup
( )
( )
A AEC A ABE
EC
= EB
D D
... (*) dir. Ayrıca [AE] açıortay olduğundan, İç
Açıortay Teoremi’ne göre
EC AC
AB
EB = ... (**) dir. (*) ve (**) dan
( )
( )
A AEC A ABE
AC
= AB
D D
elde
edilir. Buna göre
( )
A AEC 28
4
= 7
D ise (A AECD )=16br2 olarak bulunur.
Buradan (A ABCD )=28 16+ =44br2 olur.
21
A
B D
E
C 8
4
Yandaki şekilde ABC ve AEC üçgenlerinde
|AC| = 8 br
|CE| = 4 br
( ) ( )
m ACD% =m DCE% ve
|BD| = |DC| dir.
( )
A ABDD =24br2 ise
( )
A DECD değerini bulalım.
A
B N C
ABC üçgeninde [AN], BAC açısının açıortayı olmak üzere,
( )
( )
A ANC A ABN
AC
= AB
D D
dir.
Anahtar Bilgi
Üçgende Alan Bölüm
5.2
|BD| = |DC| olduğundan (A ABDD )=A ADC( D )=24br2 dir.
AEC üçgeninde (m ACD%)=m DCE(%)
olduğundan AEC üçgeninde İç Açıortay Teoremi- ne göre
CE AC
DE AD
4
8 2
= = = dir.
( )
( )
A DEC A ADC
DE
AD 2
= =
D D
ve buradan (A ADCD )=2A DEC( D ) dir. Böylece
( )
A DEC
24=2 D ve (A DECD )=12br2 olarak bulunur.
22
A
D
B C
14
4
Yandaki ABC üçgeninde [CD] , C açısının açıortayı
|BD| = 4 br ve
|AC| = 14 br ise
( )
A ADCD değerini bulalım.
A E
D
B C
4 14
4
D noktasından AC kenarına bir dik doğru çizelim. Bu doğrunun AC kenarını kestiği nokta E olsun. Açıortay üzerindeki bir noktadan açının kollarına çizilen dikmele- rin uzunlukları eşit olduğundan,
|BD| = |DE| = 4 br olur. Buradan
( ) · ·
A ADC AC
DE br
2 2
14 4 28 2
= = =
D
olarak bulunur.
Matematik Tarihi Georg Pick (1859-1942) bir noktalı kağıt ya da çivili tahta üzerinde bulunan herhangi bir çokgenin alanını hesaplamak için bir yöntem geliştirmiştir.
Bu yöntem Pick teore- mi olarak bilinir. Pick teoremine göre, köşeleri noktalar üzerinde bulunan bir çokgenin içinde kalan nokta sayısı i ve kenarlar üzerinde kalan nokta sayısı ise k olmak üzere çokgenin alanı Alan i k
2 1
= + -
ile bulunur. Buna göre yukarıdaki üçgenin alanı
br
6 2
4 1 7 2
+ - = dir.
Pickover, C. A. (2009). The Math book. Sterling Publis- hing.
23
A
B C
I
7
5 6
Yandaki şekilde
|AB| = 5 cm
|AC| = 6 cm
|BC| = 7 cm dir.
I üçgenin iç açıortaylarının kesim noktası olmak üzere şekilde verilenlere göre
( )
A AICD değerini bulalım.
A D E
B C
I
F 7
5 5S 6S
7S 6
[AI], [BI], [CI] ABC üçgeninin iç açıortay- ları ve açıortay üzerindeki bir noktadan açının kollarına indirilen dikmelerin uzunlukları eşit olduğundan
|DI| = |EI| = |FI| dır.
AIB, AIC ve BIC üçgenlerinin yükseklikleri eş olduğundan, bu üçgenlerin alanları ta- ban uzunlukları ile orantılı olup,
( )
A AIBD =5S, (A AICD )=6S ve ( )
A BICD =7S yazılabilir.
)
Ç(ABCD = + + =5 6 7 18cm ve Ç( )
u ABC
2 9cm
= =
D
dir.
( )
A ABCD = 9 9 5 9 6 9 7^ - h^ - h^ - h=6 6 cm2 dir.
Ayrıca (A ABCD )=A AIB( D )+A AIC( D )+A BIC( D )=18S olup buradan S18 =6 6 ise
S cm
18 6 6
3
6 2
= = dir.
Bu durumda (A AIC) 6S 6· 3
6 2 6
= = =
D cm2 olarak bulunur.
MATEMATİK ATÖLYESİ
Araç ve Gereçler: Dinamik geometri yazılımı
A
C
B
Adım 1
Bir dinamik geometri yazılımını kullanarak ABC üçgeni çiziniz.
A’
B’
C’
A
B
C
Adım 2
Yazılımın nesneleri belirli bir katsayıyla büyütme/küçültme özelliğinden yararlanarak ABC üçgeninin 3 katı büyüklüğündeki A ’ B ’ C ‘ üçgenini oluş- turunuz.
Adım 3
Yazılımın ilgili ölçüm özelliklerini kullanarak ABC ve A’B’C’ üçgenlerinin alanlarını ve benzerlik oranını bularak aşağıdaki tabloyu doldurunuz.
( ) ?
A ABC =D A A B C =( ' ' ')D ?
( )
( ' ' ') ? A ABC A A B CD =
D
Benzerlik oranı ' '
k AB
= A B
d n
Adım 4
• Yukarıdaki tabloya göre benzer üçgenlerin alanları oranı ile benzerlik oranı arasında nasıl bir ilişki bulunmaktadır?
• ABC üçgenini köşe noktalarından hareket ettirerek üçgenin farklı durumları için gözlem yapınız. Oluşan üçgenle- rin benzerlik oranı ile alanlarının oranı arasında nasıl bir değişim gözlemlediniz?
. . . .
Sonuç: Yapmış olduğunuz çalışmalar sonunda nasıl bir sonuca ulaştınız? Ulaştığınız sonucu aşağıya yazınız.
. . . .
İki üçgen benzer ise karşılıklı kenar ve yardımcı elemanlarının (yükseklik, açıortay ve kenarortay) uzunlukları ara- sında bir oran olduğunu ve bu orana benzerlik oranı denildiğini öğrenmiştik. Bu atölye çalışmasında benzer üç- genlerin alanları ile benzerlik oranı arasındaki ilişkiyi inceleyeceğiz.
A
D
E
F B
C p · k
n · k p n m · k m
Benzer iki üçgenin alanları oranı, benzerlik oranının karesine eşittir.
Yandaki şekilde ABCD +DEFD ve bu iki üçgen arasındaki benzerlik oranı k ise,
( )
( )
A DEF A ABCD =k2
D
dir.
Sonuç
İspat:
Verilenler: ABCD +DEFD ve DE AB
DF AC
EF
BC k
= = = , k ∈ R+ İstenen:
( )
( )
A DEF A ABCD =k2
D
ABCD +DEFD ise AW,W, D DE AB
DF
AC k
= = dır. Buradan
( )
( )
sin sin A DEF
A ABC
DE DF D
AB AC A
DE AB
DF
AC k k k
2 1 2 1
· ·
· ·
· · 2
= = = =
D D
elde edilir.
24
A
B
C E
D
Yandaki şekilde [DE] // [BC] dir.
|AD| = 3|BD| ve Taralı alan 21 br2 ise
( )
A ABCD değerini bulalım.
Üçgenlerin benzerlik oranı, alanları oranına eşitse bu iki üçgen eştir.
Anahtar Bilgi
Üçgende Alan Bölüm
5.2
[DE] // [BC] olduğundan (m ADE%)=m ABC(%)
ve (m AED%)=m ACB(%)
dir. A.A. benzerlik kuralına göre ADE ABCD + D olur. O halde benzerlik oranı
AB AD
4
= 3tür. Benzer üçgenle-
rin alanları oranı benzerlik oranının karesine eşit olduğundan
( )
( )
A ABC A ADE
4 3
16 9
= 2=
D D
c m dir.
( )
( )
A ADE A ADE
21 16
9 +
D =
D
olduğundan 7A ADE( D )=9 21· ve (A ADED )=27br2 dir.
( )
A ABCD =27 21+ =48br2 olarak bulunur.
25
A
B
E
C
D Yandaki şekilde
( ) ( )
m CDE% =m CBA%
( )
A ABCD =32br2 ve AC
EC 4
= 3 ise taralı alanın kaç br2 olduğunu bulalım.
( ) ( )
m CDE% =m CBA%
ve (m DCE%)=m BCA(%)
olduğundan A. A. benzerlik kuralına göre ABC EDCD + D dir. Bu benzerlikte benzerlik oranı
AC EC
4
= 3 olur.
Benzer iki üçgenin alanları oranı benzerlik oranlarının karesine eşit olduğundan
( )
( )
A ABC A EDC
4 3
16 9
= 2=
D D
c m ise A EDC( ) 16
9
32 =
D
eşitliğinden (A EDCD )=18br2 olarak bulunur.
Taralı Alan = (A ABCD )-A EDC( D ) = 32 – 18 = 14 br2 olur.
26
A
B
D E
8 2 F
C
Yandaki şekilde ABC ve FDE üçgenlerinde eş açılar gösterilmiştir.
|AB| = 8 br ve
|DF| = 2 br olduğuna göre
( )
( )
A ABC A DFE
D D
oranını hesaplayalım.
A
B
D E
8 2 F
C θ
θα αβ
β
β + θ α + θ α + β
ABC üçgeninde eş olan açıların ölçülerini yandaki şekildeki gibi harflendirelim. Bir üçgende iki iç açının ölçülerinin toplamı, bu açılara komşu olmayan açının dış açısının ölçüsüne eşit olduğundan DFE üçgeninin iç açı ölçüleri;
( )
m DFE% =α β+
, (m EDF%)= +θ β ,
( )
m FED% =α θ+ olur.
ABC ve DFE üçgenlerinin karşılıklı açıları birbirine eş olduğundan ABC
DFE +D D olur. Bu benzerliğe ait benzerlik oranı AB DF
8 2
4
= = 1 olarak bulunur.
Benzer iki üçgenin alanları oranı benzerlik oranının karesine eşit olduğundan
( )
( )
A ABC A DFE
16
= 1
D D
olarak elde edilir.
MATEMATİK ATÖLYESİ
Araç ve Gereçler: Dinamik geometri yazılımı
A B
C
Adım 1
Bir dinamik geometri yazılımında düzgün çokgen özelliği yardımıyla bir ABC eşkenar üçgeni çiziniz.
A F B
D E
P
Adım 2 C
ABC üçgeninin iç bölgesinde bir P noktası belirleyiniz. P noktasından üçgenin kenar- larına dikler çizerek bu diklerin ABC üçgeninin kenarlarını kestiği noktaları sırasıyla D, E ve F ile gösteriniz. Böylece [PD], [PE] ve [PF] diklerini belirleyiniz.
Adım 3
Yazılımın ölçme özelliklerini kullanarak |PD|, |PE| ve |PF| değerlerini bulup aşağıdaki tabloyu doldurunuz.
|PD| |PE| |PF| |PD| + |PE| + |PF|
Adım 4
P noktasını ABC üçgeninin iç bölgesinde hareket ettirerek P noktasından ABC üçgeninin kenarlarına çizilen dikmelerin uzunlukları toplamında nasıl bir değişim olduğunu gözlemleyiniz.
Sonuç: Yapmış olduğunuz çalışma sonunda ulaştığınız sonucu aşağıya yazınız.
… … … . … … … .
… … … . … … … .
Önceki bölümlerde tüm kenar uzunlukları birbirine eşit olan üçgenlere eşkenar üçgen denildiğini ve eşkenar üç- gende tüm yükseklik uzunluklarının birbirine eşit olduğunu öğrenmiştik. Eşkenar üçgenin bu ve bunun gibi birçok farklı özelliği bulunmaktadır. Bu özelliklerden birisi de eşkenar üçgenin yüksekliği ile üçgen içerisinde alınan bir noktadan kenarlara çizilen dikmeler arasındaki ilişkilidir. Bu atölye çalışmasında bu ilişkiyi inceleyeceğiz.
A F H B P
D E
C Bir ABC eşkenar üçgeninin iç bölgesinde alınan bir P noktasından kenarlara çizilen dikmelerin uzunlukları toplamı, eşkenar üçgenin yüksekliği- nin uzunluğuna eşittir.
Yandaki ABC üçgeninde
|PD| + |PE| + |PF| = |CH| dır.
Teorem
İspat:
Verilenler: ABC eşkenar üçgen, P noktası ABC üçgeninin iç bölgesinde bir nokta, [CH], AB kenarına ait yükseklik
İstenen: |PD| + |PE| + |PF| = |CH|
A F H B
P
D E
C ABC eşkenar üçgenin AB kenarına ait yüksekliğinin uzunluğu |CH| = h olsun. P noktasını A, B ve C noktala- rıyla birleştirelim. Bu durumda ABC üçgeninin içinde üç farklı üçgen oluşur. Bu üçgenlerin alanları sırasıyla
( )
A PAC AC PD
2
1 ·
D =
, (A PCB) BC PE 2
1 ·
D =
ve
( )
A PAB AB PF
2
1 ·
D =
dir.
ABC üçgeni bir eşkenar üçgen olduğundan |AB| = |AC| = |BC| = a olsun.
ABC eşkenar üçgeninin alanı, (A ABCD )=A PAC( D )+A PCB( D )+A PAB( D ) biçiminde yazı- labileceğinden;
( ) ( ) ( ) ( )
A ABC =D A PACD +A PCBD +A PABD
AC PD· BC PE· AB PF· 2
1
2 1 2
= + 1 +
a PD· a PE· a PF· 2
1
2 1
2
= + + 1
·
a h a PD PE PF
2 1
2
= 1 ^ + + h
elde edilir.
Bu son eşitlikten |CH| = h = |PD| + |PE| + |PF| bulunur.
Üçgende Alan Bölüm
5.2
27
A
B F
E 1 D
2
C
Yanda verilen ABC eşkenar üçgeninin alanı br
12 3 2 dir.
Üçgenin içindeki bir D noktası için, [DE] ⊥ [AB]
[DF] ⊥ [BC]
|DE| = 1 br ve |DF| = 2 br olduğuna göre D noktasının AC kenarına olan uzaklığını bulalım.
A
B F G
H
E D
1 2
a
C 60°
30°
a 2
3
a 2
|AC| = a birim olsun. Eşkenar üçgenin yüksekliği
AG a
23
= olduğundan
( ) · ·
A ABC a a
a br
BC AG
2 22
3 4
2 3
= = = 2
D
bulunur. Buna göre a
43 12 3
2
= olup
a2 = 48 eşitliğinden a=4 3br bulunur.
Buradan AG a23 br
2
4 3 3 6
= = = elde edilir.
D noktasının AC kenarına olan uzaklığı |DH| olsun. Buna göre [DH] ⊥ [AC] dir.
Eşkenar üçgenin içerisinde alınan bir noktadan kenarlara çizilen dikmelerin uzunlukları toplamı üçgenin yükseklik uzunluğuna eşit olduğundan,
|DE| + |DF| + |DH| = |AG| den 1 + 2 + |DH| = 6 ise |DH| = 3 br bulunur.
28
A
B E C
F
4 P 8 D
3 3
Yandaki ABC eşkenar üçgeninde
P noktası üçgeninin iç bölgesinde bir noktadır.
[DP] // [BC] , [PF] // [BA] ve [PE] ⊥ [BC]
|DP| = 4 br
|PF| = 8 br PE =3 3br
olduğuna göre (A ABCD ) değerini bulalım.
a
a a
A
B C
Bir kenarının uzunluğu a br olan eşkenar üçgenin alanı
a 4
2 3 tür.
Anahtar Bilgi
A
B E C
F
K
4 P 8 D
H
3 3 60°
60°30° 30°
P noktasından AB ve AC kenarlarına dikmeler çizelim. [DP] // [BC] olduğundan (m HDP%)=60°
ve [FP] // [AB] olduğundan (m PFK%)=60°
olur.
PDH ve PFK üçgenleri 30° - 60° - 90° üçgeni olduğundan PH =2 3br ve PK =4 3br olarak bulunur. Bu durumda ABC üçgeninin yüksekliği
h=2 3 3 3 4 3+ + =9 3 olarak bulunur. Eş- kenar üçgenin bir kenar uzunluğu a br olmak üzere
h a
2
= 3 olduğundan 9 3 a 2
= 3 ve a = 18 br bulunur.
( )
A ABC a
4
2 3
D =
olduğundan (A ABC) br
4
182 3 81 3 2
= =
D bulunur.
MATEMATİK ATÖLYESİ
Araç ve Gereçler: Dinamik geometri yazılımı A
B C
Adım 1
Bir dinamik geometri yazılımı yardımıyla bir ABC ikizkenar üçgeni çiziniz.
Adım 2 A
B P C
E F
ABC ikizkenar üçgeninin [BC] tabanı üzerinde bir P noktası alarak P noktasından eş olan kenarlara dikler çiziniz. Diklerin eş kenarları kestiği noktaları E ve F olarak isimlendiriniz.
Adım 3
ABC ikizkenar üçgeninde P noktasından eş kenarlara çizdiğiniz dikmelerin uzunluklarını bularak aşağıdaki tabloyu tamamlayınız.
|PF| |PE| |PF| + |PE|
Adım 4
P noktasını ABC üçgeninin BC kenarı üzerinde hareket ettiriniz. P noktasından AB ve AC eş kenarlarına çizdiğiniz dik- melerin uzunlukları toplamındaki değişimi gözlemleyiniz.
Sonuç: Yapmış olduğunuz çalışma sonunda ulaştığınız sonucu aşağıya yazınız.
… … … . … … … .
… … … . … … … .
… … … . … … … .
Eşkenar üçgenin yüksekliğinin, üçgenin içerisinde alınan bir noktadan kenarlara çizilen dikmelerin toplamına eşit olduğunu öğrendik. Bu atölye çalışmasında benzer bir ilişkinin ikizkenar üçgen için de geçerliği olup olmadığını inceleyeceğiz. Bunun için aşağıdaki adımları takip ediniz.
A
B P C
E H
F
Bir ikizkenar üçgende taban üzerinde alınan herhangi bir noktadan diğer kenarlara indirilen dikmelerin uzunlukları toplamı, eş kenarlara ait yüksekliğin uzunluğuna eşittir.
Yandaki ABC ikizkenar üçgeninde |AB| = |AC| ve P ∈ [BC] olmak üzere |PE| + |PF| = |BH| dır.
Özellik
İspat
Verilenler: ABC ikizkenar üçgen, AB ve AC eş kenarlarına ait yüksekliklerin uzunlukları sırasıyla hc ve hb , |AB| = |AC| = a
İstenenler: |PF| + |PE| = hb = hc
A
B P C
E F
A ile P noktalarını birleştirerek ABP ve APC üçgenlerini oluşturalım. ABP ve APC üçgenlerinin alanlarının toplamı ABC üçgeninin alanına eşit olduğundan,
( ) ( ) ( )
A ABC A ABP A APC a PF a PE
2 1
2
· · 1· ·
= + = +
D D D
· ·a h · · (a PF PE) h PF PE 2
1
2 1
b= + & b= + elde edilir.
Buradan |PF| + |PE| = hb = hc dir.
Üçgende Alan Bölüm
5.2
29
A
B
F E
4 3
D C
10 10
Şekildeki ABC ikizkenar üçgeninde D ∈ [BC]
[DE] ⊥ [AC]
[DF] ⊥ [AB]
|AB| = |AC| = 10 br
|DE| = 3 br
|DF| = 4 br
olduğuna göre ABC üçgeninin alanını bulalım.
A
B
F E
4 3
D C
H10
[AC] kenarına ait [BH] yüksekliğini çizelim. Bir ikizke- nar üçgenin tabanında alınan bir noktadan kenarlara çizilen dikmelerin toplamı ile üçgenin eş olan kenarla- rına ait yükseklik uzunluğu eşit olduğundan
|BH| = |DE| + |DF| = 3 + 4 = 7 br bulunur.
Buna göre (A ABC) AC·BH · br
2 2
10 7 35 2
= = =
D
olarak bulunur.
Kavrama ve Muhakeme
1. Aşağıdaki ifadelerden kesinlikle doğru olanların yanındaki boşluğa “(D)” yazınız.
a. (. . .) Bir üçgenin alanı herhangi bir yüksekliğinin uzunluğu ile herhangi bir kenarının uzunluğunun çarpımına eşittir.
b. (. . .) Bir dik üçgenin alanı herhangi iki kenar uzunlu- ğunun çarpımının yarısına eşittir.
c. (. . .) Bir üçgenin alanı bir kenar uzunluğu ile bu ke- nara ait yükseklik uzunluğunun çarpımının yarısına eşittir.
ç. (. . .) Sabit çevreye sahip üçgenler içerisinde alanı en büyük olan üçgen eşkenar üçgendir.
d. (. . .) Bir kenar uzunlukları eşit olan üçgenlerin alan- ları oranı bu kenarlara çizilen yüksekliklerin uzun- lukları oranına eşittir.
e. (. . .) Bir üçgenin iç açıortayları üçgenin alanını altı eş parçaya ayırır.
f. (. . .) Bir ikizkenar üçgenin tabanı üzerinde alınan bir noktadan eş kenarlara indirilen dikmelerin uzun- lukları toplamı taban uzunluğuna eşittir.
g. (. . .) Benzer iki üçgenin alanları oranı benzerlik ora- nının karesine eşittir.
2. A
D B
E F
C
Yandaki şekle göre verilen eşitliklerden doğru olanların yanına “D” yanlış olanların yanında “Y”
a. (. . .) ( ) ·
A ABC BC AD
= 2 b. (. . .) ( ) ·
A ABC BF BC
= 2
D
c. (. . .) ( ) sin
A ABC BC AD C
2
· ·
D =
ç. (. . .) (A ABC) AB AC sinC 2
· ·
D =
d. (. . .) ( ) ·
A ABC BF AC
= 2
D
3. A
B
D E
C S
M P
Yukarıdaki şekilde [DE] , ABC üçgeninin orta tabanlarından biri S, M ve P sırasıyla ADEO , DEBO ve
C
EBO nin alanı olduğuna göre aşağıda verilen ifade- lerden hangisi yada hangileri doğrudur?
I. S = M II. P = S III. P > M
KENDİMİZİ SINAYALIM
Üçgenin Alanı
4. A
C E
B D F
S3
S1
S4 S2
ABC bir üçgen F ∈ [DE]
[DE] orta taban ve
A BDF_ T i=S1 A C F_ ET i=S2 A_A EDT i=S3 ve A_BFCT i=S4 olmak üzere I. S1 > S2
II. S1 + S2 = S3 III. S4 > S3
ifadelerinden hangileri kesinlikle doğrudur?
Alıştırmalar
1.
3 A
B
C 4 150°
Yandaki ABC üçgeninde
|AB| = 3 cm
|BC| = 4 cm
° m ABC^%h=150
olduğuna göre A ABC_ T i kaçtır?
2. A
C B 3 D
5
Yandaki şekilde
|BD| = 3br
|DC| = 5 br
( )
A ABDD =12br2
ise (A ADCD ) kaçtır?
3. A
C B
D
Yandaki şekilde 3 · |AD| = |AB|
( )
A ABCD =24br2
ise (A BDCD ) kaçtır?
4. A
D
B H K C
Yandaki şekilde ABC ve BCD birer üçgen [DH] ⊥ [BC]
[AK] ⊥ [BC]
| |
| | DH
AK 4
= 3 ve
( )
A ABCT =32cm2 olduğuna göre (A BCDT ) kaçtır?
A
B C
8 7
9
ABC üçgeninde
|AB| = 7 cm
|AC| = 8 cm
|BC| = 9 cm
olduğuna göre (A ABCT ) kaçtır?
Uygulama ve Problem Çözme
1.
A D C
B Yandaki ABC
üçgeninde [BD] , B açısına ait açıortay
3 · |AB| = 2 · |BC|
( )
A ABDD =24br2 ise (A BDCD ) kaçtır?
2. A
C B
G F
Yandaki şekilde G, ABC üçge- ninin ağırlık merkezi 4 · |FA| = |BF|
( )
A ABCD =90br2 ise (A AFGD ) kaçtır?
C D
60°
4
B 6
üçgeninde
( ) °
m ACB% =60
|BD| = 6 cm
|AC| = 4 cm ise (A ADBD ) kaçtır?
4. A
3 D 5 C
B
Yanda verilen ABC üçgeninde [AD] , A açısına ait açıortay
|BD| = 3 cm
|DC| = 5 cm
( ) °
m ABC% =90 ise (A ABCT ) kaçtır?
5.
6 D
A
C B
9
Yandaki şekilde [AD] ve [CD], sırasıyla A ve C açılarına ait açıortaylar
|AD| = 6 br
|DC| = 9 br
( ) °
m ABC% =90
ise (A A CDT )kaçtır?
