Bir Vektörün Uzunluğu
5.3.2 Vektörlerde İşlemler
Başlarken
Adana’dan Trabzon’a kalkan bir uçak elverişsiz hava şartları nedeniyle Gaziantep’teki havaalanına mec-buri iniş yapmıştır. Hava şartlarının düzelmesinden sonra Gaziantep’ten havalanarak Trabzon’a ulaşmıştır.
Ertesi gün hava muhalefeti olmadığından seferler normal seyrine döndüğüne göre bu iki uçuşu incele-yelim.
0 x y
T
A G
Bu uçuşların başlangıç ve bitiş noktaları düzleme taşınacak olursa şekildeki vektörler elde edilir. İki farklı seyahat durumunda da uçağın başlama ve bitiş noktaları aynıdır. O halde Adana’dan Gazian-tep’e; oradan da Trabzon’a gitme işi ile Adana’dan doğrudan Trabzon’a gitme işindeki yer değiştirme aynıdır. Bu durum vektörlerle AG GT+ =AT şeklin-de ifaşeklin-de edilir.
A B
C Resimdeki vektörler futbol topunun yer değiştirmesini tanımlayan
vektörlerdir. A futbolcusu doğrudan C noktasına doğru şut çekmeyi
planlarken kendisine doğru gelmekte olan rakip futbolcuyu fark ederek B noktasında bulunan arkadaşına pas verir ve B noktasındaki arkadaşı topu C noktasına doğru gönderir.
Buradaki hareketi vektörlerle ifade edelim. Top A noktasından C noktasına yer değiş-tirmiştir. Buna göre topun yer değiştirme vektörü AC vektörüdür. Ancak top önce AB vektörü sonra da BC vektörü ile belirtilen hareketleri yapmıştır.
Bir vektörün bitiş noktası diğer bir vektörün başlangıç noktası olarak alınıp uç uca eklendiğinde birinci vektörün başlangıç noktasını ikinci vektörün bitiş noktasına birleştiren vektöre bu iki vektörün toplamı denir.
Neler Öğreneceğiz?
• Vektörlerin toplamı
• Vektörün gerçek sayı ile çarpımı
• u v+
• ku
Sembol ve Gösterimler
Uç uca ekleme yöntemi C
B
A u
v
u v+
Anahtar Bilgi
Vektörler Bölüm
5.3
Düzlemdeki bu noktaları A(ax, ay), B(bx, by) ve C(cx, cy) ile ifade edelim.
Acx ay
by cy
bx ax
B
C
1 1
2
2 3
Bu noktalara göre her bir vektörün konum vektörleri yazılırsa
AB = (bx – ax, by – ay) BC = (cx – bx, cy – by) AC = (cx – ax, cy – ay) eşitlikleri elde edilir.
Dikkat edilirse AC vektörünün bileşenleri ABveCB vektörlerinin bileşenlerinin kendi aralarında toplamıdır.
u = (ux, uy) ve v = (vx, vy) olmak üzere;
u v+ = (ux, uy) + (vx, vy) = (ux + vx, uy + vy) dir.
Yukarıdaki vektör toplamı
( , ) ( , )
( , ) ( , ) ( , )
( , )
u
v v u u v
v u u v v u v u v
v u v u x y x y u
x y x y x x y y
x x y y + =
+ = + = + +
= + + = +
şeklinde yazılabileceği için vektörlerde toplama işleminin değişme özelliği vardır.
A B
C
u AC v u
v
AB = u ve BC = v şeklinde isimlen-dirilen vektörler için u+ = +v v u olduğu geometrik olarak da yandaki şekilde görülmektedir.
1
u = (3, –4) ve v = (5, –6) olduğuna göre, u v+ toplamını bulunuz.
u v+ = (3, –4) + (5, –6) = (3 + 5, (–4) + (–6)) = (8, –10) bulunur.
u+v=v+u
Anahtar Bilgi
6 5 4 3 2 1 0
1 1 1 2 3
C B
A D
4 5 6
u
v
x y
Düzlemde iki vektörün toplamını geometrik olarak başka bir şekilde inceleyelim.
4 3 2 1
–1 O
–2 –3 –1
–2 2
x y
1 B’
D’
u
v
Yukarıdaki şekilde u ve v vektörlerini konum vektörü şeklinde ele alalım.
4 3 2 1
–1 O
–2 –3
–1 1 2
x y
E B’
D’
u
v u
v Bu iki konum vektörüne paralel vektörler çizerek, bir paralel kenar elde edelim. Şekilde oluşan 'B E vektörü OD vektörü-' ne ve D E' vektörü OB vektörüne eşittir.'
Vektörler Bölüm
5.3
u+v 4 3 2 1
–1 O
–2 –3
–1 1 2
x y
E B’
D’
u
v u
v Oluşan paralelkenarın ortak başlangıç noktasından çizilen köşegeni, bu iki vektörün toplamı olur.
İki vektör toplanırken, bu vektörlerin konum vektörleri kullanılarak elde edilen paralel kenar kullanılır. Bu yönteme paralelkenar yöntemi ile toplama denir.
2
Şekildeki vektörlerin toplamının konum vektörünü bulunuz.
y
x 4
3 2 1
O –1 –2 –3 –4 –1
–2 1 2 3
B
A
C
4 a
c b
Paralelkenar yöntemi
C
D B
A u
u v
v u v+
Anahtar Bilgi
Vektörlerin toplamı yapılırken bileşenlerinin kendi aralarında toplanmasını gerektiğini biliyoruz. O halde öncelikle bütün vektörlerin bileşenlerini yazalım.
, , , , .
a=^3 2hb=^–2 3h ve c=^1 2– h Buna göre konum vektörü
, , , ( , )
a b c+ + =^3 2h+^–2 3h+^1 2– h= 2 3 olarak bulunur.
Bu bileşenlere ayırarak toplama işlemini geometrik olarak düzlemde gösterelim.
y
x 4
3 2 1
O –1 –2 –3 –1
–2 1 2 3
B
A
C
4 a
c b
Son durumda vektörlerin yerine sadece bileşenlerini yazalım.
y
x 4
3 2 1 O –1 –2 –3 –1
–2 1 2 3 4
Vektörler Bölüm
5.3
Aynı renkli vektörler zıt yönlü oldukları için birbirlerini sadeleştirecek ve uzunlukça bü-yük olanın yönünde, farklarının mutlak değeri kadar bübü-yüklükte bir vektör kalacaktır.
Bu durumda sonuç şu şekilde gösterilir.
y
x 4
5
3 2 1 O –1 –2 –3 –1
–2 1 2 3 4
Sonuç olarak konum vektörü a b c+ + =^2 3, h olarak bulunur.
Adım 1
Herhangi bir u vektörünü koordinat düzleminde çiziniz.
Adım 2
u vektörü ile aynı yönde uzunluğu iki katı olan v vektörü çiziniz.
Adım 3
u ve v vektörlerinin bileşenlerini bulunuz.
Adım 4
Birleşenler arasında nasıl bir ilişki kurdunuz?
Vektörler Bölüm
5.3
3
,
u=^7 5hve v = (–3, 8) olduğuna göre, u u ve v v v+ + + toplamlarını bulunuz.
u u+ = (7, 5) + (7, 5) = (7 + 7, 5 + 5) = (2 · 7, 2 · 5) = (14, 10) bulunur. Benzer şekilde;
v v v+ + = (–3, 8) + (–3, 8) + (–3, 8) = (3 · (–3), 3 · 8) = (–9, 24) bulunur.
k ∈ R ve u = (a, b) olmak üzere;
, ,
u u u+ + +g+u=k u· =k a b·^ h=^k a k b· · h
k tane
olur.
Bu işleme bir vektörün bir gerçek sayı ile çarpılması işlemi denir.
Bir vektörün bir gerçek sayı ile çarpılması durumunda bileşenleri bu sayı ile çarpılmış olur.
4
,u=^4 -9h vektörü için 5 · u yu bulunuz.
5 · u = 5 · (4, –9) = (5 · 4, 5 · (–9)) = (20, –45) bulunur.
Bir vektörünün bir gerçek sayı ile çarpılmasını geometrik olarak inceleyelim.
u = (a, b) olsun. Bu vektörün bir k gerçek sayısı ile çarpılması bileşenlerinin k ile çarpıl-ması anlamına geldiğine göre k > 0 için aşağıdaki geometrik şekil oluşur.
kb
b
a ka
, ,
ku k a b ka kb
v = = ^ h= ^ h
, u=^a bh
Şekilden de görüleceği üzere, bir vektör pozitif bir gerçek sayı ile çarpıldığında yönü değişmez. Negatif bir sayı ile çarpıldığında ise vektörün yönü tersine döner.
Bir vektörün bir gerçek sayı ile çarpılması durumunda vektörün büyüklüğünün nasıl etkileneceğini inceleyelim.
Şekildeki u = (a, b) vektörü ile v =k u. = k(a, b) = (ka, kb) vektörlerinin uzunluklarını hesaplayalım.
u = a2+b ve v2 = k a2 2+k b2 2= k a2^ 2+b2h= k a2+b2= k u$
Buradan da anlaşılacağı üzere, vektörün uzunluğu da aynı gerçek sayı ile çarpılmış olur.
5
,u=^4 -9h vektörü için u- yu bulunuz.
, 4,9
u 1 4· 9 –
- = - ^ - h=^ h bulunur.
6
,
a= -^ 3 7h vektörü için a b+ =0 olacak şekilde b yi bulunuz.
, ,
, , , .
a b b
b bulunur
0
3 7 0 0
0 0 3 7 3 7
+ =
- + =
= - - =
-^ ^
^ ^ ^
h h
h h h
( , ) ( , ) u
k u ka kb
k u k u
a b
$
$ $
=
=
= Anahtar Bilgi
Vektörler
geometrik olarak aşağıdaki gibi bulabiliriz.4 yönlüsünün toplamı bulmamız gerekir.
u v- vektörü (3, 2) olarak bulunur. zıt yönlü ve eşit u uzunluğu-na sahip vektörlerdir.
A
Kavrama ve Muhakeme
1. Aşağıda verilen ifadelerden doğru olanların yanına (D), yanlış olanların yanına (Y) yazınız.
a. (. . . .) AB vektörünün yönü ve doğrultusu belli
değil-dir.
b. (. . . .) Zıt yönlü iki vektörün toplamı sıfır vektörüdür.
c. (. . . .) Sıfır vektörünün yönü ve doğrultusu bellidir.
ç. (. . . .) Bileşenleri aynı olan yönlü doğru parçalarının
kümesine vektör denir.
d. (. . . .) Sıfır vektörü AA=0=^0 0, h ile gösterilir.
e. (. . . .) Uzunluğu 1 birim olan vektörlere birim vektör
denir.
f. (. . . .) Bir çokgenin bir köşesinden başlayarak ardışık
bütün kenarları üzerinde hareket eden ve tekrar başladığı köşeye dönen bir nesnenin toplam yer değişterme vektörü sıfır vektörüdür.
doldurunuz.
2. AB vektöründe A ya . . . . noktası ve B ye
. . . . noktası denir.
3. Uzunluğu 1 birim olan vektörlere . . . . vektör denir.
4. Bir vektörün . . . . başlangıç ve bitiş noktaları arası uzaklıktır.
5. Bir vektörün, yatay ve düşey parçalarına o vektörün
. . . . denir.
6. Bir vektör 1’den farklı bir pozitif gerçek sayı ile çarpıldığında vektörün . . . . değişir.
7. Bir vektör –1’den farklı bir negatif gerçek sayı ile çarpıldığında vektörün . . . . ve . . . .
değişir.