i -yinci ya¸s s¬n¬f¬na geçen (ölmeyen) di¸si yüzdesi; b i , i -yinci ya¸s s¬n¬f¬ndaki

Ya¸sa-dayal¬ayr¬k model

Bir ayr¬k modelde, nüfus say¬mlar¬ayr¬k zamanlarda gerçeklenir ve bireyler dilimlenmi¸s ya¸s s¬n¬‡ar¬na ayr¬l¬rlar. Modelin basitli¼ gi için ya¸s dilimlemeleri ile say¬m sürelerini ayn¬alal¬m. (Örne¼ gin be¸s y¬lda bir say¬m yapmak ve ya¸s s¬n¬‡ar¬n¬0-4, 5-9 v.s ¸seklinde dilimlemek.) Say¬mlarda normalde hem di¸si hem de erkekler say¬lmakla beraber, burada sadece di¸sileri sayaca¼ g¬z.

x _{i ,n} , n-yinci say¬ma göre i-yinci ya¸s s¬n¬f¬ndaki di¸si say¬s¬; (s ₁ ilk say¬ma

kadar canl¬kalan di¸si yüzdesi olmak üzere) s i , ( i 1 ) -inci ya¸s s¬n¬f¬ndan

i -yinci ya¸s s¬n¬f¬na geçen (ölmeyen) di¸si yüzdesi; b _i , i -yinci ya¸s s¬n¬f¬ndaki

di¸si ba¸s¬na dü¸sen beklenen di¸si do¼ gumlar¬n say¬s¬; i = 1 ilk ya¸s s¬n¬f¬, i = k

son ya¸s s¬n¬f¬olsun. Son ya¸s s¬n¬f¬ndan sonra ya¸sayan di¸si olmas¬n ve ilk

say¬m n = 1 iken yap¬ls¬n.

f ^{x i ,n + 1} g ^lerin f ^{x i ,n} g ler cinsinden fark denklemlerini olu¸sturaca¼ g¬z.

Öncelikle, ( n + 1 ) -inci say¬mda yenido¼ ganlar, n-yinci say¬m ile ( n + 1 ) -inci say¬m aras¬nda, farkl¬do¼ gurganl¬¼ ga sahip, farkl¬ya¸slardaki di¸siler taraf¬ndan do¼ gurulurlar. Ayr¬ca, bu yeni do¼ ganlar¬n sadece bir kesimi ilk say¬malar¬na kadar ya¸sarlar. · Ikinci olarak, n-yinci say¬mda say¬lm¬¸s olan i -yinci ya¸s s¬n¬f¬ndaki di¸silerin sadece bir kesimi ( n + 1 ) -inci say¬mda, ( i + 1 ) -inci ya¸s s¬n¬f¬nda say¬lacak kadar ya¸sarlar. Bu bilgileri uygun olarak tan¬mlanan parametrelerle birle¸stirirsek, f ^{x i ,n + 1} g için fark denklemleri

x _1,n + 1 = s ₁ ( b ₁ x _1,n + b ₂ x _2,n + + b _k x _{k ,n} ) x 2,n + 1 = s 2 x 1,n

x 3,n + 1 = s 3 x 2,n

.. .

x k ,n + 1 = s k x k 1,n

0 B B B B B @

x _1,n + 1

x _{2,n + 1} x 3,n + 1

.. . x _{k ,n + 1}

1 C C C C C A

= 0 B B B B B @

s ₁ b ₁ s ₁ b ₂ s ₁ b _{k 1} s ₁ b _k

s ₂ 0 0 0

0 s 3 0 0

.. . .. . .. . .. .

0 0 s _k 0

1 C C C C C A

0 B B B B B @

x _1,n x _2,n x 3,n

.. . x _{k ,n}

1 C C C C C A

veya k¬saca

x _{n + 1} = Lx _n (11)

sistemi ile belirlenebilir. Burada L matrisi Leslie matrisi olarak adland¬r¬l¬r.

Bu lineer denklem sistemi Leslie matrisinin özde¼ gerleri ve kar¸s¬l¬k gelen özvektörleri bulunarak çözülebilir. Bunun için det ( L λI ) = 0

karakteristik denklemi do¼ grudan çözülebilir veya ( 11 ) sistemi ilk ya¸s s¬n¬f¬ndaki di¸silerin say¬s¬n¬veren de¼ gi¸skene göre yüksek basamaktan tek bir denkleme dönü¸stürülebilir ki bunun için ikinci denklemden ba¸slarsak;

x

+

= s

x

x

₊

= s

x

= s

s

x

.. .

x _{k ,n + 1} = s

x

= s

s

x

.. .

= s _k s _{k 1} s ₂ x _{1,n k 2}

elde ederiz.

E¼ ger do¼ gumdan i -yinci ya¸s s¬n¬f¬na kadar canl¬kalan di¸silerin kesrine l i = s 1 s 2 s i dersek ve f i = b i l i al¬rsak, bu durumda ( 11 ) sisteminin ilk sat¬r¬

x _{1,n + 1} = f ₁ x _1,n + f ₂ x _{1,n 1} + + f _k x _{1,n k + 1} (12)

¸seklini al¬r. Burada n k kabul ediyoruz ki böylece ( n + 1 ) say¬mda say¬lan tüm di¸siler ilk say¬mdan sonra do¼ gmu¸s olurlar.

( 12 ) de x _1,n = λ ⁿ dönü¸sümü yap¬l¬p, denklem λ ^{n + 1} ile bölünürse, hem gerçel hem de karma¸s¬k e¸slenik köklere sahip olabilen,

∑ k j = 1

f _j λ ^j = 1 (13)

Euler-Lotka ayr¬k denklemi elde edilir.

λ özde¼ geri belirlendikten sonra, kar¸s¬l¬k gelen v özvektörü Leslie matrisi kullan¬larak

0 B B B B B @

s 1 b 1 λ s 1 b 2 s 1 b k 1 s 1 b k

s 2 λ 0 0

0 s ₃ 0 0

.. . .. . .. . .. .

0 0 s _k λ

1 C C C C C A

0 B B B B B @

v 1

v 2

v ₃ .. . v _k

1 C C C C C A

= 0 B B B B B @

0 0 0 .. . 0

1 C C C C C A

sisteminden bulunabilir.

v _k = l _k /λ ^k al¬p, son sat¬rdan v _{k 1} = λv k /s k = λl k /λ ^k s _k = l _{k 1} /λ ^{k 1} ve böylece son sat¬rdan ba¸sa do¼ gru giderek, v _{k 2} = l _{k 2} /λ ^{k 2} ,..., v ₁ = l ₁ /λ yani

v _i = l _i /λ ⁱ ( i = 1, 2, ..., k )

elde edilir. Ard¬¸s¬k iki ya¸s s¬n¬f¬n¬n oran¬n¬olu¸sturarak, bu sonuçtan ilginç bir anlam ç¬karabiliriz. E¼ ger λ bir bask¬n özde¼ ger(ve nüfusta oldu¼ gu gibi gerçel ve pozitif) ise, bu durumda asimptotik olarak

x _i + 1,n /x i ,n v

+

/v

= s i + 1 /λ

elde ederiz. f ^{s i} g canl¬kalma oranlar¬n¬sabit tutarsak, bu durumda daha

küçük pozitif λ daha büyük bir oran gerçekler: az büyüyen (veya azalan)

nüfus daha h¬zl¬büyüyen nüfusa göre ba¼ g¬l olarak daha ya¸sl¬bireylerden

olu¸sur.

E¼ ger basitçe bir nüfusun büyüdü¼ günü veya azald¬¼ g¬n¬belirlersek, di¸silerin di¸si yavru do¼ gurma net beklentisi olarak tan¬mlanan temel üreme oran¬ < ⁰

¬hesaplayabiliriz. E¼ ger di¸si ölmeden hemen önce do¼ gurursa, dura¼ ganl¬k olu¸sur. E¼ ger < ⁰ > 0 ise, bu durumda nüfus büyür. <

< 0 ise, bu

durumda nüfus azal¬r. < ^{0 ,} bir di¸sinin tüm ya¸s s¬n¬‡ar¬üzerinden toplanan, do¼ gurmas¬beklenen di¸si yavrular¬n say¬s¬na e¸sittir, yani

< ⁰ =

∑ k i = 1

f _i .

Yakla¸s¬k olarak e¸sit say¬da erkek ve di¸siye sahip bir nüfus için < ⁰ = 1 in anlam¬bir di¸sinin tüm hayat¬boyunca ortalama iki yavru do¼ gurmas¬d¬r.

(Fakat insan nüfusu için, bu de¼ gerin 2.1 olmas¬sözkonusudur, çünkü

do¼ gurganl¬k ya¸s¬na gelmeden çocuklar¬n 0.1/2.1 0.047 yani yakla¸s¬k

olarak %5 inin öldü¼ gü tahmin edilmektedir. Ülkelerin geçmi¸steki

demogra…k yap¬lar¬ve gelecekteki tahmini demogra…k yap¬lar¬için

http://www.census.gov sitesine bak¬labilir.)

Ya¸sa-dayal¬sürekli model

Bir ya¸s s¬n¬f¬n¬n (say¬mlar aras¬ndaki uzunlu¼ ga da e¸sit olan) ∆τ grup uzunlu¼ gu s¬f¬ra gidecek ¸sekilde ( 12 ) ayr¬k modelini göz önüne alarak bir sürekli–zaman modeli olu¸sturabiliriz. n > k için e¸sitli¼ gi

x _1,n =

∑ k i = 1

f _i x _{1,n i} (14)

¸seklinde yaz¬labilir. Ayr¬k modeldeki ilk ya¸s s¬n¬f¬iki ard¬¸s¬k say¬m aras¬nda do¼ gan di¸sileri içermektedir. Sürekli modelde kar¸s¬l¬k gelen fonksiyon ise x 1,n = B ( t n ) _∆τ olmak üzere tüm nüfusun di¸si do¼ gum oran¬B ( t ) olacakt¬r.

E¼ ger n–yinci say¬m¬n bir t _n = n ∆τ zaman¬nda yap¬ld¬¼ g¬n¬varsayarsak, bu

durumda x _{1,n i} = B ( t _n t _i ) ∆τ olur. f _i = b _i l _i parametresinin sürekli

model kar¸s¬l¬¼ g¬n¬belirlemek için, τ ya¸s¬na kadar canl¬kalan yenido¼ gan

di¸silerin oran¬n¬veren ya¸sa–ba¼ gl¬ya¸ sam fonksiyonu y ( τ ) yu, ve τ ve

τ + ∆τ ya¸slar¬aras¬nda bir di¸sinin do¼ gurdu¼ gu ortalama di¸si say¬s¬n¬veren,

Ya¸sa-ba¼ gl¬net do¼ gurganl¬k fonksiyonu f ( τ ) = m ( τ ) y ( τ ) ve τ i = i ∆τ ile birlikte

f _i = f ( τ i ) _∆τ e¸sitli¼ gine sahibiz. Bu yeni tan¬mlarla ( 14 ) e¸sitli¼ gi

B ( t _n ) ∆τ =

∑ k i = 1

f ( τ i ) B ( t _n t _i )( ∆τ ) ²

¸seklini al¬r. E¸sitli¼ gi ∆τ ile bölüp, t _i = τ i yi göz önüne al¬rsak sa¼ g taraf bir Riemann toplam¬na dönü¸sür. t n = t al¬p, di¸si do¼ gurganl¬k ya¸s¬n¬n

maksimumundan büyük τ lar için f ( τ ) = 0 dersek, ∆τ ! ^{0 durumunda} ( 14 ) denklemi

B ( t ) =

Z _∞

0

B ( t τ ) f ( τ ) d τ (15)

e¸sitli¼ gine dönü¸sür.

( 15 ) denkleminde B ( t ) = e ^rt al¬rsak, denklem

e ^rt =

Z _∞

0

f ( τ ) e ^{r ( t}

⁾ d τ

¸seklini al¬r. Denklemi e ^rt ile bölersek, Euler-Lotka denkleminin sürekli

formu olan _{Z ∞}

0

f ( τ ) e ^{r τ} d τ = 1 (16)

e¸sitli¼ gini elde ederiz. ( 16 ) denklemi, ya¸sa ba¼ gl¬net do¼ gurganl¬k fonksiyonu

f ( τ ) verilmek üzere, r ye göre bir integral denklemidir. f ( τ ) negatif

olmayan sürekli bir fonksiyon olmak üzere, ( 15 ) denkleminin tek bir r

gerçek kökünün var oldu¼ gu ve nüfusun e ^{r t} ye asimptotik olarak büyüdü¼ gü

( r > 0 ) veya azald¬¼ g¬ ( r < 0 ) ispatlanabilir. Nüfus büyüme oran¬r as¬l

büyüme oran¬veya Malthusyan parametresi olarak adland¬r¬l¬r.

F ( r ) =

Z _∞

0

f ( τ ) e ^{r τ} d τ 1 = 0 (17)

dersek, Newton yöntemi ile, bir r = x 0 tahmini ile ba¸slayarak, çözümüne

x n + 1 = x

F ( x

) F ⁰ ( x

)

= x _n +

Z _∞

0

f ( τ ) e ^x

d τ 1 Z _∞

0 τf ( τ ) e ^x

d τ

, n = 0, 1, 2...

ard¬¸s¬k iterasyonlar¬ile yakla¸sabiliriz.

Asimptotik olarak kararl¬bir ya¸s yap¬s¬na eri¸sildikten sonra, nüfus büyümesi

e ^{r t} üstel büyümesine benzer davran¬r ki bu da r ¬n ki¸si ba¸s¬sabit do¼ gum

oran¬b ve ölüm oran¬d den bulunabilece¼ gini önermektedir. Gerçekten, b

ve d nin ifadelerini elde ederek r = b d oldu¼ gunu gösterebiliriz.