Koordinatlardan Alan Hesabı Gauss Yöntemi

(1)

Koordinatlardan Alan Hesabı Gauss Yöntemi

Öğ. Gör. Sait TANRIÖĞEN

• Jeodezi ve Fotogrametri Müh. Bilgisayar Y. Müh.

• Manisa CBÜ. Köprübaşı MYO. Mimarlık ve Şehir Planlama Böl. Bşk.

• Manisa CBÜ. Köprübaşı MYO. Müdür Yardımcısı

• saittanriogen@cbu.edu.tr

(2)

Johann Carl Friedrich Gauß

(30 Nisan 1777, Braunschweig, Almanya – 23 Şubat 1855, Göttingen) Alman matematikçi, astronom, fizikçi ve coğrafyacı.

Katkıda bulunduğu alanlardan bazıları, sayılar kuramı, analiz,

diferansiyel geometri, jeodezi, elektrik, manyetizma, astronomi ve optiktir.

"Matematikçilerin prensi" ve "antik çağlardan beri yaşamış en büyük matematikçi" olarak da anılan Gauss matematiğin yanı sıra pek çok bilim dalına etki eden çalışmalar yaptı.

Gauss'un çocukluk yıllarından beri dâhi olduğunu gösteren pek çok

hikâye vardır, pek çok matematiksel keşfini 20 yaşına gelmeden

yapmıştır. Sayılar kuramının önemli sonuçlarını derleyip kendi

katkılarını da ekleyerek yazdığı Disquisitiones Arithmeticae'yi 21

yaşında (1798) bitirmişse de, eser ilk olarak 1801'de basılmıştır.

(3)

• Gauss'un ismi matematik ve fizikte onlarca teorem, formül ve kavrama verilmiştir. CGS sistemindeki manyetik alan birimi 1 Gauss'tur.

• 1989-2001 yılları arasında Gauss'un resmi, bir normal dağılım eğrisiyle beraber, 10 DM banknotlarının üzerine basılmıştır.

• 1977'de, Gauss'un 200. doğum günü şerefine, Doğu Almanya ve Batı Almanya'da ayrı ayrı hatıra pulları basılmıştır.

• Ay'daki Gauss krateri, "1001 Gaussia" asteroidi ve Antarktika'da sönmüş bir volkan olan Gaussberg, Gauss'un anısına isimlendirilmiş bazı doğal oluşumlardır.

• Almanya'nın Dransfeld kentindeki 51 metrelik beton gözlem kulesinin ismi Gauss Kulesi'dir. Gauss Krüger projeksiyonu haritacıların yaygın

kullandığı projeksiyondur. Gauss hata eğrisi. Gauss çan eğrisi….

• Alman yazar Daniel Kehlmann'ın 2005 tarihli romanı Die Vermessung der Welt (Dünya'nın Ölçümü), Gauss ve Alexander von Humboldt'un

hayatlarını konu almaktadır.

• Ayrıca 2005 yılı Gauss yılı olarak anılmıştır.

(4)

Johann Carl Friedrich Gauß

Doğum 30 Nisan 1777, Braunschweig, (Kutsal Roma Cermen İmp.) Almanya Ölüm 23 Şubat 1855 (77 yaşında), Göttingen, Almanya

Milliyet Alman

Dalı Matematik, Fizik, Jeodezi, Astronomi, Elektrik, Manyetizma, Optik Çalıştığı yerler Göttingen Üniversitesi

Öğrenim Helmstedt Üniversitesi Doktora hocası Johann Friedrich Pfaf

Doktora öğrencileri Friedrich Bessel, Richard Dedekind, Bernhard Riemann

Gauss’un 17

yaşındaki imzası

(5)

Gauss’un 1 den n’ye kadar sayıların toplamını veren formülü

Braunschweig'da bir Gauss heykeli

(6)

Alman Banknotu (10 DM) üzerinde Johann Carl Friedrich Gauß resmi.

(7)

(8)

(9)

(10)

Gauss'un 1828'de yayınlanan bir portresi

1977 yılında Gauss’un 200 üncü doğum yılı şerefine hem

Doğu Almanya’da (sağ aşağıda) hem de Batı Almanya’da (sağ yukarıda)

hatıra pulu basılmıştır.

(11)

Gauss Alan Hesabı

F = ½.ΣY

_n

. (X

_n+1

-X

_n-1

) = - ½ .ΣX

_n

. (Y

_n+1

-Y

_n-1

)

KONTROLLER

Σ(X

_n+1

-X

_n-1

) = 0 olmalı Σ(Y

_n+1

-Y

_n-1

) = 0 olmalı

ΣY

_n

. (X

_n+1

-X

_n-1

) = - ΣX

_n

. (Y

_n+1

-Y

_n-1

) olmalı

(12)

Aşağıda Pafta Örneğinde göründüğü gibi;

363 numaralı parsel 60, 59, 57, 65 ve 64 numaralı noktaların çevrelediği alandır.

Köşe noktalarının koordinatları aşağıdaki tabloda verilmiştir.

363 numaralı parselin alanını

Gauss yöntemine göre kontrollü olarak bulunuz.

Örnek:

(13)

N.N Y X

57 30255,24 22329,45 59 30208,72 22341,79 60 30173,48 22338,21 64 30182,56 22275,78 65 30260,81 22280,92

Örnek:

(14)

Örnek:

(15)

N.N. Y X Y_n+1-Y_n-1 X_n+1-X_n-1 X_n.(Y_n+1-Y_n-1) Y_n.( X_n+1-X_n-1)

(16)

N.N. Y X Y_n+1-Y_n-1 X_n+1-X_n-1 X_n.(Y_n+1-Y_n-1) Y_n.( X_n+1-X_n-1) 60

59 57 65 64 60 59

Öncelikle parseli çeviren noktalar saat ibresi yönünde N.N. Sütununa sırasıyla yazılır. Noktaların tamamı

bittikten sonra baştan 2 nokta tekrar yazılır.

(17)

N.N. Y X Y_n+1-Y_n-1 X_n+1-X_n-1 X_n.(Y_n+1-Y_n-1) Y_n.( X_n+1-X_n-1) 60 173,48 338,21

59 208,72 341,79

57 255,24 329,45

65 260,81 280,92

64 182,56 275,78

60 173,48 338,21

59 208,72 341,79

N.N. Sütunu yazıldıktan sonra parseli çeviren noktaların koordinatları ilgili noktaların karşısına yazılır.

Koordinatlar yazılırken örneğin

hepsinin Y leri 30000 ile başlıyorsa hepsinin Y lerinden 30000

çıkartılabilir; hepsinin X leri 22000 ile başlıyorsa tüm noktaların X lerinden 22000 çıkartılabilir.

Tüm Y lerden 30100;

tüm X lerden 22200 de çıkartılabilir.

(18)

59 208,72 341,79 81,76

57 255,24 329,45 52,09

65 260,81 280,92 -72,68

64 182,56 275,78 -87,33

60 173,48 338,21 26,16

59 208,72 341,79

Daha sonra Y_n+1-Y_n-1lar bulunur. Bunun için ilgili satır

kapatılır, bir alt satırın Y sinden bir üst satırın Y si çıkartılır.

Bulunan sonuç işaretiyle birlikte yazılır.

(19)

59 208,72 341,79 81,76

57 255,24 329,45 52,09

65 260,81 280,92 -72,68

64 182,56 275,78 -87,33

60 173,48 338,21 26,16

59 208,72 341,79

Y_n+1-Y_n-1=

0,00ü

Daha sonra Y_n+1-Y_n-1ların toplamı bulunur. Sonuç 0 (sıfır) çıkarsa buraya kadar yapılan işlem doğrudur demektir.

(20)

59 208,72 341,79 81,76 -8,76

57 255,24 329,45 52,09 -60,87

65 260,81 280,92 -72,68 -53,67

64 182,56 275,78 -87,33 57,29

60 173,48 338,21 26,16 66,01

59 208,72 341,79

Y_n+1-Y_n-1=

0,00ü

Daha sonra X_n+1-X_n-1lar bulunur. Bunun için ilgili satır

kapatılır, bir alt satırın X inden bir üst satırın X i çıkartılır.

(21)

59 208,72 341,79 81,76 -8,76

57 255,24 329,45 52,09 -60,87

65 260,81 280,92 -72,68 -53,67

64 182,56 275,78 -87,33 57,29

60 173,48 338,21 26,16 66,01

59 208,72 341,79

Y_n+1-Y_n-1= X_n+1-X_n-1=

0,00ü 0,00ü

Daha sonra X_n+1-X_n-1ların toplamı bulunur. Sonuç 0 (sıfır) çıkarsa buraya kadar yapılan işlem doğrudur demektir.

(22)

59 208,72 341,79 81,76 -8,76 27944,7504

57 255,24 329,45 52,09 -60,87 17161,0505

65 260,81 280,92 -72,68 -53,67 -20417,2656

64 182,56 275,78 -87,33 57,29 -24083,8674

60 173,48 338,21 26,16 66,01 8847,5736

59 208,72 341,79

Y_n+1-Y_n-1= X_n+1-X_n-1=

0,00ü 0,00ü Daha sonra X_n.(Y_n+1-Y_n-1) lar bulunur.

(23)

59 208,72 341,79 81,76 -8,76 27944,7504 -1828,3872

57 255,24 329,45 52,09 -60,87 17161,0505 -15536,4588

65 260,81 280,92 -72,68 -53,67 -20417,2656 -13997,6727

64 182,56 275,78 -87,33 57,29 -24083,8674 10458,8624

60 173,48 338,21 26,16 66,01 8847,5736 11451,4148

59 208,72 341,79

Y_n+1-Y_n-1= X_n+1-X_n-1=

0,00ü 0,00ü

Daha sonra Y_n.( X_n+1-X_n-1) lar bulunur.

(24)

59 208,72 341,79 81,76 -8,76 27944,7504 -1828,3872

57 255,24 329,45 52,09 -60,87 17161,0505 -15536,4588

65 260,81 280,92 -72,68 -53,67 -20417,2656 -13997,6727

64 182,56 275,78 -87,33 57,29 -24083,8674 10458,8624

60 173,48 338,21 26,16 66,01 8847,5736 11451,4148

59 208,72 341,79

Y_n+1-Y_n-1= X_n+1-X_n-1= X_n.(Y_n+1-Y_n-1)=

0,00ü 0,00ü 9452,2415

Daha sonra X

_n

.(Y

_n+1

-Y

_n-1

) ların toplamı bulunur.

(25)

59 208,72 341,79 81,76 -8,76 27944,7504 -1828,3872

57 255,24 329,45 52,09 -60,87 17161,0505 -15536,4588

65 260,81 280,92 -72,68 -53,67 -20417,2656 -13997,6727

64 182,56 275,78 -87,33 57,29 -24083,8674 10458,8624

60 173,48 338,21 26,16 66,01 8847,5736 11451,4148

59 208,72 341,79

Y_n+1-Y_n-1= X_n+1-X_n-1= X_n.(Y_n+1-Y_n-1)= Yn.( Xn+1-Xn-1)=

0,00ü 0,00ü 9452,2415ü -9452,2415ü

Daha sonra Y_n.( X_n+1-X_n-1) ların toplamı bulunur. Her iki sütunun toplamı birisi pozitif birisi negatif olmak üzere aynı değerler olmalıdır. Öyle ise yapılan işlem doğrudur.

(26)

59 208,72 341,79 81,76 -8,76 27944,7504 -1828,3872

57 255,24 329,45 52,09 -60,87 17161,0505 -15536,4588

65 260,81 280,92 -72,68 -53,67 -20417,2656 -13997,6727

64 182,56 275,78 -87,33 57,29 -24083,8674 10458,8624

60 173,48 338,21 26,16 66,01 8847,5736 11451,4148

59 208,72 341,79

Y_n+1-Y_n-1= X_n+1-X_n-1= X_n.(Y_n+1-Y_n-1)= Yn.( Xn+1-Xn-1)=

0,00ü 0,00ü 9452,2415ü -9452,2415ü 363 Nolu Parselin Alanı =

F = 9452,2415/2=4726,12075m2 bulunur.

(27)

Koordinatlardan Alan Hesabı Gauss Yöntemi