T.C.
ERCİYES ÜNİVERSİTESİ
BİLİMSEL ARAŞTIRMA PROJELERİ KOORDİNASYON BİRİMİ
DOĞRUSAL BOZULMA ETKİSİ VE POZİSYON TABANLI SIRA BAĞIMLI TESLİMAT SÜRELİ ÇİZELGELEME PROBLEMLERİNE
POLİNOM ZAMANLI ÇÖZÜM YAKLAŞIMLARI
Proje No: FBA-2017-7039
NORMAL ARAŞTIRMA PROJESİ
SONUÇ RAPORU
Proje Yürütücüsü:
Prof.Dr. M.Duran TOKSARI
Mühendislik Fakültesi/Endüstri Mühendisliği Bölümü
Prof.Dr. Emel KIZILKAYA AYDOĞAN
Mühendislik Fakültesi/Endüstri Mühendisliği Bölümü
Burcu ONAY
Fen Bilimleri Enstitüsü/ Endüstri Mühendisliği ABD
Aralık 2017 KAYSERİ
ii
iii
İÇİNDEKİLER
Sayfa No
ÖZET 1
ABSTRACT 2
1. GİRİŞ 3
2. LİTERATÜR TARAMASI 5
3. PROBLEMİN TANIMLANMASI 9
4. DOĞRUSAL BOZULMA ETKİSİ VE POZİSYON TABANLI SIRA BAĞIMLI TESLİMAT SÜRELİ ÇİZELGELEME PROBLEMLERİ
5. SONUÇ
12 15
6. KAYNAKLAR 16
EK 1. PROJE SONUÇLARI KULLANILARAK ÜRETILMIŞ
YAYINLAR 19
1 ÖZET
Bu projede tek makineli çizelgeleme ortamında doğrusal bozulma etkisi altında pozisyon tabanlı geçmiş sıra bağımlı çizelgeleme problemleri (maksimum tamamlanma zamanı, toplam tamamlanma zamanı, ağırlıklandırılmış toplam tamamlanma zamanı ve toplam gecikme) ele alınmıştır. Teslimat süresi üretimin ana süreci ile müşteriye teslimat arasında oluşan ters etkiyi ortadan kaldırmak için kullanılan ekstra zamandır. Bu projede doğrusal bozulma etkisi altında çizelgeleme problemleri ilk kez pozisyon tabanlı geçmiş sıra bağımlı teslimat süresi ile kullanılmıştır. Bu problemlerin çözümü için polinom zamanlı çözüm yaklaşımları geliştirilmiştir.
Anahtar Kelimeler: Çizelgeleme, pozisyon tabanlı teslimat süresi, bozulma etkisi, maksimum tamamlanma zamanı, toplam tamamlanma zamanı, ağırlıklandırılmış toplam tamamlanma zamanı, toplam gecikme
2 ABSTRACT
In this project, scheduling problems (makespan, total completion times, weighted total completion times and total tardiness) with position dependent delivery times under linear deterioration effect in a single machine environment are studied. The delivery time is the extra time to eliminate adverse effect between the main processing and delivery to the customer. In this project, the position based past sequence dependent delivery times for some single machine scheduling problems under linear deterioration effect are introduced. The solution approaches in polynomial time are developed to solve these problems.
Keywords: Scheduling, Position based delivery times, deterioration effect, makespan, total completion times, weighted total completion times, total tardiness
3 1. GİRİŞ
Çizelgeleme, taahhüt edilen işlerin taahhüt edildiği zamanda kıt kaynaklarla teslimini sağlama aracıdır. Çizelgeleme sayesinde müşteri taleplerine karşılık verebilmek, tedarik süresini azaltmak, esnekliği artırmak, atıl süreyi en küçüklemek, kapasiteyi etkin kullanmak mümkün olabilmektedir. Çizelgeleme yaparken dikkat edilmesi gereken çok sayıda unsur vardır.
Çizelgelemesi yapılacak işlerin ve kullanılacak kaynakların birçok özelliğinin çizelgeleme sırasında göz önünde bulundurulması gerekir. Kurumlardaki çizelgeleme sistematiklerinin ortamın her türlü unsurunu göz önünde bulundurması ve gerçeğe uygun, uygulanabilir bir çizelge oluşturabilmesi gerekir.
Geleneksel çizelgeleme uygulamaları genellikle kaynaklara iş atamasının yapılması, girdi/çıktı kontrolü ile iş yükünün takibi ve işlerin kaynak tarafından hangi sıralama ile yapılacağının belirlendiği sıralama kurallarının tanımlanmasından ibarettir.
Klasik çizelgeleme problemlerinde işlerin işlem zamanı sabit kabul edilmektedir. Halbuki uygulamalara bakıldığında işlerin işlem zamanı işin tekrarı nispetinde değişim gösterebilmektedir. İşlem zamanlarında pozisyon veya zamana göre artan bir fonksiyon göstermesi halinde tanımlanmaktadır. Bu olgu literatürde bozulma etkisi olarak ifade edilmektedir [1]. Gupta ve Gupta [2] örnek olarak bir külçe altının haddelemesini örnek olarak vermiştir. Külçe altının ısısı belli bir sıcaklık değerin altına düştüğünde işlenemeyeceği için yeniden ısıtılması gerekmektedir. Bu durum işin işlem zamanının artmasına sebep olacaktır.
Üretimi gerçekleştirmek için makine, süreç ve tezgahlar üzerinde yapılan işlemler vardır. Bu işlemler hazırlık faaliyetleri olarak adlandırılır. Hazırlık işlemleri ikiye ayrılır. Birincisi, hazırlıklar sadece işlem görecek işe bağlı olup sıra bağımsız hazırlık süresi olarak adlandırılır.
Diğerinde ise hazırlık, hem o anda işlem görecek işe hem de bir önceki işe bağlıdır. Bu durum ise sıra bağımlı hazırlık süresi olarak adlandırılır. Sıra-bağımlı hazırlık zamanı uygulamaları ile ilgili örnek olarak matbaa endüstrisi verilebilir. Burada makinenin temizlenmesi ve hazırlanması, en son kullanılan mürekkep rengine, kağıdın boyutuna ve özelliğine bağlıdır.
Ayrıca kimya, ilaç, metal endüstrilerinde de sıra-bağımlı hazırlık zamanı uygulamalarına sıkça rastlanmaktadır [22].
Bu çalışmada literatürde bilinen bozulma etkisi ilk uygulama olarak pozisyon tabanlı geçmiş sıra bağımlı teslimat süresinin eş zamanlı kullanımının bazı çizelgeleme problemleri için ele alınmasını içermektedir. Bu ilk uygulama ile literatüre önemli bir katkı sağlanması ve gelecek çalışmalara yol göstermesi amaçlanmaktadır.
4
Bu çalışmasında problem iki aşamalı olarak ele alınacak ve daha sonra bu aşamaların kombinasyonu yapılacaktır. İlk aşamada doğrusal bozulma etkisi, ikinci aşamada ise pozisyon tabanlı geçmiş sıra bağımlı teslimat süresi incelenecek ve bunların kombinasyonu altında çizelgeleme problemleri ele alınacaktır.
5 2. LİTERATÜR TARAMASI
Son yıllarda çizelgeleme çalışmaları geçmiş sıra bağımlı teslimat tarihini artan bir şekilde ele almaktadır. İlk olarak Koulamas ve Kyparisis [3] tarafından çizelgeleme literatürüne kazandırılan geçmiş sıra bağımlı teslimat süresi bu çalışmada ilk olarak en büyük tamamlanma zamanı, toplam tamamlanma zamanı, maksimum gecikme, maksimum geç kalma ve geciken iş sayısının en küçüklenmesi problemlerine uygulanmıştır ve bu problemlerin polinom zamanlı algoritmalar ile çözülebileceği gösterilmiştir. Liu ve ark. [4]
diğer geçmiş sıra bağımlı teslimat süreli çizelgeleme problemleri üzerine çalışmışlardır.
Çalışmalarında toplam ağırlıklaştırılmış tamamlanma zamanının, tamamlanma zamanının mutlak farklarının ve erken tamamlanma, geç tamamlanma ve ortak teslim tarihi cezalarının toplamının en küçüklenmesini ele almışlar ve bu problemler için polinom zamanlı algoritmalar önermişlerdir. Liu ve ark. [5] diğer bir çalışmalarında geçmiş sıra bağımlı teslimat süresini ve serbestlik süresini bir arada ele almış ve tek makineli toplam tamamlanma zamanı probleminin hem öncelikli hem de önceliksiz işler modelleri üzerinde çalışmıştır. Bu iki model için ya optimal bir algoritma yada bir yaklaşım algoritması önermişlerdir. Liu ve ark. [6] bozulma etkisi altında geçmiş sıra bağımlı teslimat süreli toplam yükleme zamanı, toplam tamamlanma zamanı, tamamlanma zamanlarının mutlak farklarının toplamı problemi için polinom zamanlı bir algoritma sunmuşlardır. Liu [7] öğrenme etkisi altında geçmiş sıra bağımlı teslimat süreli paralel makine çizelgeleme problemlerini incelemiştir. Çalışmasında polinom zamanlı bir algoritma kullanarak tamamlanma zamanlarının mutlak sapmasını, bütün makinelerdeki toplam yüklemeyi ve toplam tamamlanma zamanını optimal olarak en küçüklemişlerdir. Shen ve Wu [8] genel pozisyon tabanlı ve zamanlı öğrenme etkileri altında geçmiş sıra bağımlı teslimat süreli en büyük tamamlanma zamanı, toplam tamamlanma zamanı ve toplam gecikme problemleri için en küçük işlem zamanını ilk işleme al (the smallest (normal) processing time first (SPT)) olarak bilinen dağıtım kuralı ile optimal olarak çözüleceğini göstermişlerdir. Bunun yanında mevcut durumlar altında ağırlıklandırılmış tamamlanma zamanları toplamı, ağırlıklandırılmış tamamlanma zamanlarının indirgenmiş toplamı, maksimum gecikme, maksimum geç kalma ve toplam geç kalma problemlerine polinom zamanda çözümler üretmişlerdir. Bai ve ark. [9] Çalışmalarında geçmiş sıra bağımlı hazırlık süresi ve genel üstel öğrenme etkisini tek makinalı çizelgeleme problemini incelemişlerdir. Tamamlanma zamanı, toplam tamamlanma zamanı ve tamamlanma zamanı δ≥0th güçleri toplamını SPT kuralıyla en küçüklemişlerdir.
6
Eren [10] bu çalışmasında makineye bağımlı bozulma etkili m-paralel makineli çizelgeleme problemi ele almıştır. Burada toplam yüklemeyi minimize etmek için 0 (( ) polinom zamanlı bir atama modeli önermiştir. Eren [11] bu çalışmasında ise bozulma ve öğrenme etkili tek makineli çizelgeleme problemini ele almıştır. Temel performans ölçütleri olan maksimum tamamlanma zamanı, toplam tamamlanma zamanı, tamamlanma zamanlarının k’ıncı kuvvetlerinin toplamı, toplam ağırlıklı tamamlanma zamanı, maksimum gecikme, geciken iş sayısı problemlerini çözmek için doğrusal olmayan programlama modeli ile minimize etmiştir. Ele alınan altı problemden ilk üçünün optimal çözümünü SPT kuralı ile ulaşabileceği daha önceki çalışmalarda incelemiştir. Son üç problemi ise optimal çözümü bulacak yöntemler ilk defa bu çalışmasında sunmuştur. Wang J.B ve ark [12] tek makinalı çizelgeleme probleminde üstel öğrenme ve bozulma etkisi üzerine çalışma yapmışlardır. İşin tamamlanma zamanının ve toplam tamamlanma zamanının polinom zamanlı olarak SPT kuralı ile çözülebileceğini göstermişlerdir. Mosheiov [13], çalışmasında toplam ağırlıklı tamamlanma zamanının bozulma etkisi üzerine optimal çözümü bulmuştur. Bozulma etkisine örnek olarak kötüleşen hava ortamında ve karanlığın zamanla artması durumunda nesnenin aranmasını anlatmıştır. Mosheiov [14], tek makineli çizelgeleme modelinde en küçük toplam tamamlanma zamanını, benzer işlem zamanlarının ve doğrusal farklı bozulma oranlarının bulunduğu bir çizelgeleme ortamında polinom zamanlı olarak optimal çözümü sunmuştur. Ng ve ark. [15] ise tek makinede toplam tamamlanma zamanının bozulma etkisi üzerine en aza indirmek için üç farklı çizelgeleme problemini incelemişlerdir. Problemlerin ikisini logaritmik zamanlı olarak çözmüşlerdir. Diğerini ise dinamik programlama ile çözmüşlerdir.
Karşılaştırma sonucu olarak doğrusal modeller birbirleriyle yakından ilişkili olduğunu göstermişlerdir. Wang ve Xia [16], bozulma etkili toplam tamamlanma zamanı ve toplam ağırlıklı tamamlanma zamanını doğrusal bozulma fonksiyonunu kullanarak en küçüklemişlerdir. Hsu ve Lin [17], dal- sınır algoritması kullanarak bozulma etkili maksimum gecikmeyi en küçüklemeyi amaçlamışlardır. Cheng ve Ding [18], farklı bir yaklaşım önermişlerdir. Bu çalışmasında işin bozulma tarihleri üzerinde çalışmışlardır. Bir işin başlangıç süresi, bozulma tarihini aşıyorsa o işin bozulduğunu göstermişlerdir. Wang [19], doğrusal bozulma etkisi altında ve bazı makineler arasında ki üstünlük ilişkilerinin bulunduğu akış tipi çizelgeleme ortamında, en son işin tamamlanma zamanını ve tamamlanma zamanının toplamını en küçükleyen polinom algoritmalar önermiştir. Wang ve ark. [20 iki makineli akış tipi çizelgeleme problemi için bozulma etkili toplam tamamlanma zamanını en küçüklemek için dal-sınır algoritmasını sunmuşlardır. Browne ve Yechiali [21] ise işin tamamlanma
7
zamanını bozulma etkili üstel işlem zamanlı algoritma önermişlerdir. Voutsinas ve Pappis [22], tek makineli çizelgeleme probleminde yeni bir çalışma yapmıştır. İşlerin toplam değerini en büyüklemeyi amaçlamışlardır. İş değeri adı verilen kritik çizelgeleme parametresi tanımlamışlardır ve zamanla üstel dağılım ile bozulduğunu göstermişlerdir. Wang [23], tek makineli çizelgeleme probleminde öğrenme ve bozulma etkili en büyük tamamlanma zamanını ve tamamlanma zamanları toplamını polinom zamanlı olarak en küçüklemişlerdir.
Cheng ve ark. [24], bozulma ve öğrenme etkisi ile tek makine ve iki makineli akış tipi çizelgeleme probleminde maksimum tamamlanma zamanını, ağırlıklandırılmış tamamlanma zamanları toplamını, tamamlanma zamanları toplamını, ve maksimum gecikmeyi minimize etmek için polinom zamanlı algoritma sunmuşlardır. Wang ve Cheng [25], çalışmalarında üç özel durum incelemişlerdir. Bu üç özel durum için bozulma ve öğrenme etkili tek makineli çizelgeleme probleminde maksimum tamamlanma zamanını en küçükleyecek optimum algoritmalar sunmuşlardır. Wang ve ark. [26], Akış tipi çizelgeleme probleminde bozulma ve öğrenme etkisi altında maksimum tamamlanma zamanını ve tamamlanma zamanları toplamını en küçükleyecek polinom zamanlı algoritma sunmuşlardır. Toksarı ve Güner [27], çalışmalarında paralel makinada sıra bağımlı hazırlık zamanlı öğrenme ve bozulma etkili karışık tamsayılı doğrusal olmayan erken tamamlanma /gecikme modeli üzerinde çalışmışlardır. Lee [28], Çalışmasında öğrenme etkisini, bozulma etkisini ve geçmiş sıra bağımlı hazırlık zamanını aynı anda incelemiştir. Tek makineli çizelgeleme problemi için matematiksel model önermişlerdir.
Lee [29], bu çalışmasında geçmiş sıra bağımlı hazırlık zamanı probleminde en büyük tamamlanma zamanı ve tamamlanma zamanının toplamını “en kısa işlem süresi (SPT)”
kuralı ile çözülebileceğini , maksimum gecikme ve toplam gecikmeyi “en erken teslim tarihi (EDD)” kuralı ile çözülebileceğini ve toplam ağırlıklı tamamlanma zamanı problemini “en kısa ağırlıklı işlem süresi (SWPT)” kuralı ile çözülebileceğini göstermişlerdir. Toksarı M.D.
[30], bu çalışmasında bozulma ve öğrenme etkisi altında işlem ve hazırlık zamanı ile maksimum gecikmeyi en küçüklemeyi amaçlamıştır. Bunun için dal-sınır algoritmasını önermiştir. Toksarı M.D. [31], tek makineli çizelgeleme probleminde eşit olmayan serbest zamanlı işlerin öğrenme ve bozulma etkisini araştırmıştır. Bu çalışmada tamamlanma zamanını en küçüklemeyi amaçlamıştır. Bunun için optimum bir çözüm elde etmek için dal- sınır algoritmasını önermiştir. Toksarı ve Güner [32], paralel makinada erken/geç tamamlama çizelgeleme problemini lineer bozulma, öğrenme etkisi, sıra bağımlı hazırlık ve ortak teslim
8
tarihi altında incelemişlerdir. Optimum çözüm için karmaşık tamsayılı algoritma sunmuşlardır.
Toksarı ve Güner [33], aynı anda var olan işlerin doğrusal olmayan bozulma ve öğrenme etkisini incelemişlerdir. Tek makinada polinom zamanlı optimum sonuç elde edilirken, m makineli akış tipi tamamlanma ve tamamlanma zamanları toplamını minimize etmek için polinom zamanlı optimum çözümler üzerinde çalışmışlardır.
Toksarı ve ark. [34], birkaç tek makine çizelgeleme probleminde doğrusal olmayan bozulma ve zamana bağlı öğrenme etkisi altında tamamlama zamanını, tamamlanma zamanı toplamını ve maksimum gecikmeyi ele almışlardır. Tamamlanma zamanı ve tamamlanma zamanı toplamını “en kısa işlem süresi (SPT)” kuralı ile polinom zamanlı minimum sonuç elde ederken, maksimum gecikme “en erken teslim tarihi (EDD)” kuralı ile polinom zamanlı minimum sonuç elde etmişlerdir. Voutsinas G.T.ve Pappis C.P. [35], çalışmalarında tek makineli çizelgeleme probleminde yeni bir tür çalışma yapmışlardır. Kritik çizelgeleme parametreleri kullanarak üstel bozulma etkisini ile optimum sonuç bulmak için sezgisel algoritma önermişlerdir. Mosheıov G. [36], çalışmasında üstel fonksiyon kullanarak tek makinede akış zamanını en küçüklemeyi amaçlamıştır. Yang ve Kuo [37], tek makineli akış tipi çizelgeleme probleminde birkaç özel durumda bozulma etkisi altında tamamlanma zamanını, toplam tamamlanma zamanını ve toplam tamamlanma zamanı mutlak farklılıklarını optimum sonuç elde etmek için polinom zamanlı algoritma ile çözülebileceğini göstermişlerdir. Cai ve ark. [38], tek makineli çizelgeleme probleminde bozulma etkisi altında tamamlanma zamanını en küçüklemek için polinom zamanlı algoritma sunmuşlardır.
Gue ve ark. [39], karışık tamsayılı programlama modeli kullanarak tek makinede bozulma etkisi altında toplam ağırlıklı gecikmeyi en küçüklemeyi amaçlamışlardır.
Yin ve ark. [40], yeni bir bozulma etkisi modeli sunmuşlardır. Bu çalışmasındaki amaç tamamlanma zamanını ve toplam tamamlanma zamanını en küçüklemektir. Bunun için çizelgeleme probleminin O(n log n) zamanda çözülebileceğini göstermişlerdir.
9 3. PROBLEMİN TANIMLANMASI
n bağımsız bölünemeyen işten oluşan bir iş seti tek makine üzerinde sıfır zamanında işlenmek için mevcut olsun. i ve j ardışık iş setidir. i işi r pozisyonunda, j işi ise r+1 pozisyonunda yapılmaktadır. Verilen bir zaman aralığında bir makine yalnızca bir iş işleyebilsin. p[ ] r pozisyonunda çizelgelenen i işinin gerçek işlem zamanını, p bu işin temel işlem zamanını ve
0
işin başlangıç zamanındaki birim gecikmenin işlem zamanı üzerindeki artışı olarak tanımlanan doğrusal bozulma etkisini gösterir. p < p ′dir. Bu durumda gerçek işlem zamanını şu şekilde modelleriz:p[ ] = p + αt[ ] ( = 1, … . . , ) (1) burada t r r pozisyonunda çizelgelenen işin başlangıç zamanıdır.
, r pozisyonunda çizelgelenen i işinin gerçek işlem zamanını, (0 ≤ ≤ 1 ) teslimat süresi katsayısını, , i işinin bekleme zamanının oransal değerini, (0 ≤ ≤ 1 ) bozulma etkisi katsayısını göstersin. Bu durumda işlem zamanları toplamı tabanlı teslimat süresini şu şekilde gösterebiliriz:
q = γ W = γ ( p[ ]) (i=1,…,n) (2) , i işinin tamamlanma zamanıdır. Bu durumda i işinin tamamlanma zamanını şu şekilde gösterebiliriz:
C[ ]= t[ ]+ P + αt[ ] (3) İşin tamamlanma zamanı fonksiyonlarının doğrusal olduğu varsayımı altında bir S çizelgesi için r+1 inci pozisyonunda işin gerçek işlem zamanı;
[ ], yerine t + P yazılırsa;
P( )(s) = P + α(t + P ) (i=1,…,n) olarak bulunur. r+1 inci pozisyonunda işin tamamlanma süresi ise;
C( ) = t + P + αt + P + α(t + P ) + γ( )(t + P + αt) (4)
10
[ ] [ ] ( ) [ ]
Şekil 1. S grafiği
[ ] [ ] ( ) [ ]
Şekil 2. S΄ grafiği
Çizelge 1’de parametreler ve açıklamaları gösterilmiştir.
Çizelge 1. Parametreler
Parametreler Açıklama
n iş sayısı r iş sırası
t[ ] r. Pozisyonda çizelgelenen işin başlangıç zamanı P i. işin temel işlem süresi
P r. sırada i. işin temel işlem süresi
P[ ] r. sırada bozulma etkisi altında i. işin temel işlem süresi C i. işin tamamlanma süresi
C[ ] r. sırada bozulma etkisi altında i. işin tamamlanma süresi q i. işin bekleme zamanının oransal değeri
α bozulma etkisi katsayısı γ teslimat süresi katsayısı W i. işin ağırlığı
T i. işin gecikme süresi d i. işin teslim süresi
i j
S
r r+1
… …
S i, j
j i
S’
r r+1
… …
S’ j,i
11
n bağımsız bölünemeyen işten oluşan tek makine üzerinde S çizelgesinde, C , maksimum tamamlanma zamanını, ∑C, toplam tamamlanma zamanını, ∑WC, ağırlıklı toplam tamamlanma zamanı ve ∑T, toplam gecikme süresini ifade eder.
Çizelge 2’de amaç fonksiyonu gösterilmiştir.
Çizelge 2. Amaç Fonkisyonu Amaç
fonksiyonu Açıklama
C Maksimum tamamlanma süresi
∑C Toplam tamamlanma süresi
∑WC Ağırlıklı tamamlanma süresi
∑T Toplam gecikme süresi
12
4. DOĞRUSAL BOZULMA ETKİSİ VE POZİSYON TABANLI SIRA BAĞIMLI TESLİMAT SÜRELİ ÇİZELGELEME PROBLEMLERİ
Bu bölümde tek makinede doğrusal bozulma etkisi ve iş tabanlı sıra bağımlı teslimat süreli çizelgeleme problemlerinde polinom zamanlı çözülebileceği gösterilmiştir.
Teorem 1:
1/P[ ]= P + αt[ ], q = γ(1 + P ) /C problemi için optimal çizelge en küçük işlem zamanı (SPT) kuralı ile elde edilir.
İspat:
C , i işinin maksimum tamamlanma zamanıdır ve fonksiyonun doğrusal olduğu varsayımı altında bir S çizelgesi için amaç fonksiyonu f(S) şu şekilde yazılabilir;
( ( )) = ( )( ) = + + + + ( + + ) + ( )( + + )
i ve j işlerinin yer değiştirilmesi ile elde edilen S΄ çizelgesi için amaç fonksiyonu f(S΄) şu şekilde yazılabilir :
( ( ΄)) = ( ΄) = + + + + + + + ( )( + + )
Küçük maksimum tamamlanma zamanı optimum sonuç verir. Bu yüzden;
C (S΄) − C (S) = (α + γ( ))(P − P) > 0 C (S΄) > C (S)
S çizelgesinin maksimum tamamlanma süresi, ΄ çizelgesine göre daha küçüktür ve S çizelgesi optimum sonuç olduğu görülür. Bu sonuç gösteriyor ki p < p olduğu için C problemi en kısa işlem süresi (SPT) kuralı ile polinom zamanda çözülebilir.
Teorem 2:
1/P[ ]= P + αt[ ], q = γ(1 + P ) / ∑C problemi için optimal çizelge en küçük işlem zamanı (SPT) kuralı ile elde edilir.
İspat:
∑C, işin toplam tamamlanma zamanıdır. i ve j işlerinin tamamlanma sürelerinin toplanması ile bulunur. Fonksiyonun doğrusal olduğu varsayımı altında bir S çizelgesi için amaç fonksiyonu f(S) şu şekilde yazılabilir;
( ) = + +
( )( ) = + + + + ( + + ) + ( )( + + )
( ) + ( )( ) = 2( + + ) + + ( + ( ))( + + ) ( ( ) + ( )( )) = 1 + + ( ) ( + + ) + (5)
13
i ve j işlerinin yer değiştirilmesi ile elde edilen S΄ çizelgesi için amaç fonksiyonu f(S΄) şu şekilde yazılabilir :
( ΄) = + +
( ΄) = + + + + + + + ( )( + + )
( ( ΄) + ( ΄)) = 1 + + ( ) + + +
Toplam tamamlanma zamanını küçük olan optimum sonuç verir. Bu yüzden;
∑C(S)-∑C(S΄)= ( ) + ( )( ) − ( ΄) − ( ΄) = 1 + + ( ) − <0 S çizelgesinin toplam tamamlanma süresi, ΄ çizelgesine göre daha küçüktür ve S çizelgesi optimum sonuç olduğu görülür. Bu sonuç gösteriyor ki p < p olduğu için ∑C problemi en kısa işlem süresi (SPT) kuralı ile polinom zamanda çözülebilir.
Teorem 3:
1/P[ ]= P + αt[ ], q = γ(1 + P ) / ∑WC problemi için optimal çizelge ağırlıklandırılmış en küçük işlem zamanı (WSPT) kuralı ile elde edilir.
İspat:
W , i işinin ağırlığıdır ve P < P j işinin işlem zamanı, i işinin işlem zamanından büyük olsun ve W > W i işinin ağırlığı, j işinin ağırlığından büyük olsun. Bu durumda ağırlıklı toplam tamamlanma zamanı :
( ) = + +
( ) = ( + + ) (6)
( )( ) = + + + + ( + + ) + ( )( + + )
( )( ) = ( + + ) + + ( + + ) + ( )( + + )
Fonksiyonun doğrusal olduğu varsayımı altında bir S çizelgesi için amaç fonksiyonu f(S) şu şekilde yazılabilir;
( ) + ( )( ) = ( + + )+ ( + + ) + + ( + +
) + ( )( + + )
( ( ) + ( )( )) = + + + ( ) ( + + ) +
i ve j işlerinin yer değiştirilmesi ile elde edilen S΄ çizelgesi için amaç fonksiyonu f(S΄) şu şekilde yazılabilir :
( ΄) = + +
( ΄) = ( + + )
( )( ΄) = + + + + + + + ( )( + + )
14
( )( ΄) = + + + + + + + ( )( + + )
( ( ΄) + ( )( ΄)) = + + + ( ) + + +
Ağırlıklı toplam tamamlanma zamanını küçük olan optimum sonuç verir. Bu yüzden;
∑WC(S΄)-∑WC(S)= ( ΄) + ( )( ΄) − ( ) − ( )( ) =
= − + + + + ( ) − ( + + ) + ( ) > 0
S çizelgesinin ağırlıklı toplam tamamlanma süresi, ΄ çizelgesine göre daha küçüktür ve S çizelgesi optimum sonuç olduğu görülür. Bu sonuç gösteriyor ki p < p , w > w , x = <
olduğu için ∑WC problemi ağırlıklı en kısa işlem süresi (WSPT) kuralı ile polinom zamanda çözülebilir.
Teorem 4:
1/P[ ]= P + αt[ ], q = γ(1 + P ) / ∑T problemi için optimal çizelge en küçük işlem zamanı (SPT) kuralı ile elde edilir.
İspat:
, i işinin teslim zamanı, i işi eğer teslim tarihinde bitmezse işin geç kalma zamanıdır. P < P j işinin işlem zamanı, i işinin işlem zamanından büyük olsun.
< ve > olsun. Bu durumda geç kalma zamanı:
( ) = ( ) − = + + − (7)
Fonksiyonun doğrusal olduğu varsayımı altında bir S çizelgesi için amaç fonksiyonu f(S) şu şekilde yazılabilir;
( ( )( )) = ( )( ) − = + + + + ( + + ) + ( )( + +
) −
i ve j işlerinin yer değiştirilmesi ile elde edilen S΄ çizelgesi için amaç fonksiyonu f(S΄) şu şekilde yazılabilir :
( ΄) = + + −
( ( )( ΄)) = + + + + + + + ( )( + + ) −
Toplam geç kalma zamanını küçük olan optimum sonuç verir. Bu yüzden;
( )( ΄) − ( )( ) = ( + ( )( − ) − + >0
S çizelgesinin toplam geç kalma süresi, ΄ çizelgesine göre daha küçüktür ve S çizelgesi optimum sonuç olduğu görülür. Bu sonuç gösteriyor ki p < p , d > d , olduğu için ∑T problemi en erken teslim tarihli (EDD ) kuralı ile polinom zamanda çözülebilir.
15 5. SONUÇ
Erciyes Üniversitesi Bilimsel Araştırma Projeleri (BAP) birimi tarafından desteklenen bu proje (Proje No: FBA-2017-7039) literatürde ilk kez bozulma etkisi altında çizelgeleme problemlerinin pozisyon bağımlı geçmiş sıra tabanlı teslimat süresi altında ele alınmasını içermektedir. Klasik çizelgeleme teorisinde, işlem zamanları sabit düşünülür. Fakat pratikte, zamanla işlem zamanları azalan veya artan yönde davranış gösterebilir. Bir çizelgede, bir işin gerçek işlem zamanı bozulma etkisinden dolayı işin başlangıç zamanının artan bir fonksiyonu olarak modellenebilir. Bu modellerin uygulamaları konusunda, kötüye giden hava şartlarında veya karanlığın zamanla arttığı durumda bir nesnenin bulunmasının gecikebilmesi, bozulma etkisine örnek olarak göstermişlerdir. Bunun yanında bir külçenin frezelenmesi de literatürde yer alan diğer bir örnektir. Frezenin önünde bekleyen külçenin sıcaklığı zamanla azalacak ve frezelemeden önce külçenin tekrardan ısıtılması gerekecektir. Diğer bir ifade ile iş geciktikçe işlem zamanı işin başlangıç zamanına bağlı olarak artacaktır. Bunun yanında teslimat süresi üretimin ana süreci ile müşteriye teslimat arasında oluşan ters etkiyi ortadan kaldırmak için kullanılan ekstra zamandır. Bu projede tek makineli çizelgeleme ortamında doğrusal bozulma etkisi altında pozisyon tabanlı geçmiş sıra bağımlı maksimum tamamlanma zamanı, toplam tamamlanma zamanı, ağırlıklandırılmış toplam tamamlanma zamanı ve toplam gecikme çizelgeleme problemleri ele kez ele alınmıştır. Elde edilen sonuçlar gösteriyor ki projenin başlıca beklentisi, bu problemlerin çözümü için polinom zamanlı çözüm yaklaşımlarının geliştirilmesi, başarı ile geliştirilmiştir. Önerilen ve ispatları yapılan 4 teorem göstermektedir ki, maksimum tamamlanma zamanı, toplam tamamlanma zamanı, ve toplam gecikme çizelgeleme problemleri için optimal çizelge en küçük işlem zamanı (SPT) kuralı ile polinom zamanda elde edilirken, ağırlıklandırılmış toplam tamamlanma zamanı problemi için optimal çizelge ağırlıklandırılmış en küçük işlem zamanı (WSPT) kuralı ile polinom zamanda elde edilir.
16
KAYNAKLAR
[1] Eren T., “Öğrenme ve bozulma etkili tek makineli çizelgeleme problemleri” International Journal of Engineering Research and Development, Vol.6, No.1, 2014.
[2] Gupta J.N.D., Gupta S.K., Single facility scheduling with nonlinear processing times.
Computers and Industrial Engineering 14, 387-393, 1988.
[3] Koulamas C., Kyparisis G.J., Single machine problems with past sequence dependent delivery times, International Journal of Production Economics 126(2), 264-266, 2010.
[4] Liu M., Zheng F., Chu C., Xu Y., New results on single machine scheduling with past sequence dependent delivery times, Theoretical Computer Science 438, 55-61, 2012.
[5] Liu M., Zheng F., Chu C., Xu Y., Single machine scheduling with past sequence dependent delivery times and release times, Information Processing Letters 112(21), 835-838, 2012.
[6] Liu M., Wang S., Chu C., Scheduling deteriorating jobs with past sequence dependent delivery times, International Journal of Production Economics 144(2), 418-421, 2013.
[7] Liu M., Parallel machine scheduling with past sequence dependent delivery times and learning effect, Applied Mathematical Modelling 37, 9630-9633, 2013.
[8] Shen L., Wu Y.B., Single machine past sequence dependent delivery times scheduling with general position dependent and time dependent learning effects, Applied Mathematical Modelling 37, 5444-5451, 2013.
[9] Bai J., Wang M.Z. and Wang J.B., Single machine scheduling with a general exponential learning effect, Applied Mathematical Modelling, 36 , 829–835, 2012.
[10] Eren T., Makine-Bağımlı Bozulma Etkili Paralel Makineli Çizelgelemede Toplam Yüklemeyi Minimize Etme, International Journal of Engineering Research and Development, Vol.4, No.1, 2012.
[11] Eren T., Öğrenme Ve Bozulma Etkili Tek Makineli Çizelgeleme Problemleri, International Journal of Engineering Research and Development, Vol.6, No.1, 2014.
[12] Wang J.B., Hsu C.J. and Yang D.L., Single-machine scheduling with effects of exponential learning and general deterioration, Applied Mathematical Modelling 37, 2293–
2299, 2013.
[13] Mosheiov, G., “Λ-shaped policies to schedule deteriorating jobs”, Journal of Operational Research Society, 47:1184-1191, 1996.
[14] Mosheiov, G., “Scheduling jobs under simple linear deterioration”, Computers and Operations Research, 21 (6): 653-659, 1994.
17
[15] Ng, C. T., Cheng, T. C. E., Bachman, A., “Three scheduling problems with deteriorating jobs to minimize the total completion time”, Information Processing Letters, 81 (6): 327- [16] Wang, J. B., Xia, Z. Q., “Flow shop scheduling with deteriorating jobs under dominating machines”, Omega, 34: 327-336, 2006.
[17] Hsu, Y. S., Lin, B. M. T., “Minimization of maximum lateness under linear deterioration”, Omega, 31: 459-469, 2003.
[18] Cheng, T. C. E., Ding, Q., “Single machine scheduling with step-deteriorating processing times”, European Journal of Operational Research, 134: 623-630, 2001.
[19] Wang, J. B., “Flow shop scheduling problems with decreasing linear deterioration under dominant machines”, Computers and Operations Research, 34 (7): 2043-2058, 2006.
[20] Wang, J. B., Ng, C. T. D., Cheng, T. C. E., Liu, L.L., “Minimizing total completion time in a two-machine flow shop with deteriorating jobs”, Applied Mathematics and Computation, 180 (1): 185-193, 2006.
[21] Browne, S., Yechiali, U., “Scheduling deteriorating jobs on a single processor”, Operations Research, 38: 495-498, 1990.
[22] Voutsinas, G. T., Pappis, C. P., “Scheduling jobs with values exponentially deteriorating over time”, International Journal of Production Economics, 79: 163-169, 2002.
[23] Wang, J. B., “Single-machine scheduling problems with effects of learning and deterioration”, Omega, 35 (4): 397-402, 2007.
[24] Cheng, T. C. E., Wu, C. C., Lee, W. C., “Some scheduling problems with deteriorating jobs and learning effects”, Computers and Industrial Engineering, 54 (4): 972-982, 2008.
[25] Wang, X., Cheng, T. C. E., “Single machine scheduling with deteriorating jobs and learning effects to minimize the makespan”, European Journal of Operational Research, 178 (1): 57-70, 2007.
[26] Wang, J. B., Lin, L., Shan, F., “Flow shop scheduling with effects of learning and deterioration”, Journal of Applied Mathematics and Computing, 26 (1-2): 367-379, 2008.
[27] Toksarı, M. D., Guner, E., “Minimizing the earliness/tardiness costs on parallel machine with learning effects and deteriorating jobs: a mixed nonlinear integer programming approach”, International Journal of Advanced Manufacturing Technology, 38 (7-8): 801-808, 2008.
[28] Lee W.C., “Single-machine scheduling with past-sequence-dependent setup times and general effects of deterioration and learning” Optim Letters, 8:135–144, 2014.
18
[29] Lee, W.C., (2012) “Single-machine scheduling with past-sequence-dependent setup times and general effects of deterioration and learning”, Optimation Letters 8(1), 135-144, 2014.
[30] Toksarı M.D., “A branch and bound algorithm to minimize the single machine maximum tardiness problem under effects of learning and deterioration with setup times”, Raıro- operations research,vol.50, pp.211-219, 2016.
[31] Toksarı M.D., “A branch and bound algorithm for minimizing makespan on a single machine with unequal release times under learning effect and deteriorating jobs” Computers and Operations Research, vol.38(9), pp.1361-1365, 2011.
[32] Toksarı M.D., Güner E., “ Paralel Machine Scheduling roblem To Minimize The Earliness/Tardiness Costs With Learning Effect And Deteriorating Jobs”, Journal Of Intellıgent MAnufacturing, vol. 21 (6), pp.843-851, 2010.
[33] Toksarı M.D., Güner E., “Scheduling Problems With The Nonlinear Effects Of Learning and Deterioration”, International Journal Of Advanced Manufacturing Technology, vol.45(7- 8), pp.801-807, 2009.
[34] Toksarı M.D., Oran D., Güner E., “Single Machine Scheduling Problems Under The Effects Of Nonlinear Deterioration And Time-Dependent Learning”, Mathematical And Computer Modelling, vol.50(3-4), pp.401-406, 2009.
[35] Voutsinas G.T., Pappis C.P., “Scheduling jobs with values exponentially deteriorating over time”, International Journal of Production Economics 79, 163–169, 2002.
[36] Mosheıov G., “A Note on Scheduling Deteriorating Jobs” Mathematical and Computer Modelling 41, 883-886, 2005.
[37] Yang D.L., Kuo W.H., “Some scheduling problems with deteriorating jobs and learning effects” Computers & Industrial Engineering vol. 58 (1), p.p 25-28, 2010.
[38] Cai J.Y., Cai P., Zhu Y., “On A Scheduling Problem of Time Deteriorating Jobs”, ournal of complexity 14, 109-209, 1998.
[39] Guo P.,Cheng W., Yi Wang Y., “Scheduling step-deteriorating jobs to minimise the total weighted tardiness on a single machine”, International Journal of Systems Science, Vol. 4 (2), 2017.
[40] Yin Y., W.H., Cheng T.C.E., C.C., “Single-machine scheduling with time-dependent and position-dependent deteriorating jobs”, International Journal of Computer Integrated Manufacturing, Volume 28 (7), 2015.
19
EK 1. PROJE SONUÇLARI KULLANILARAK ÜRETILMIŞ YAYINLAR
Toksari, M.D., Kizilkaya Aydogan E. and Onay B., Some Scheduling Problems with Position Dependent Delivery Times and Linear Deteriorating Jobs, Proceedings of 10th European Business Research Conference, ISBN: 978-1-925488-58-6, 14-15 December 2017, University Roma Tre, Rome, Italy.
