Genelleştirilmiş analitik fonksiyonlar için bir sınır değer problemi

KIRIKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

MATEMATİK ANABİLİM DALI YÜKSEK LİSANS

GENELLEŞTİRİLMİŞ ANALİTİK FONKSİYONLAR İÇİN BİR SINIR DEĞER PROBLEMİ

ZEKİ ERKOÇ

TEMMUZ 2005

ÖZET

GENELLEŞTİRİLMİŞ ANALİTİK FONKSİYONLAR İÇİN BİR SINIR DEĞER PROBLEMİ

ERKOÇ, Zeki Kırıkkale Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü

Matematik Anabilim Dalı, Yüksek Lisans Tezi Danışman : Prof.Dr. Kerim KOCA

2005, 46 sayfa

Bu tez dört bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde tezin içinde geçen bazı temel tanım ve kavramlar verilmiştir. İkinci bölümde “Vekua denklemi” olarak bilinen kompleks diferensiyel denklem için Wiener tipli bölgede önemli bir sınır değer problemi incelenmiştir. Üçüncü bölümde ise düzgün sınırlı bölgeler için geçerli olan çözümle ilgili bir integral gösteriliminin Wiener tipli bölgede de geçerli olduğu ispatlanmıştır. Son bölümde ise tezde yapılanlar özetlenmiş ve daha ileri düzeyde neler yapılabileceği hakkında öneriler sunulmuştur.

Anahtar kelimeler : Vekua denklemi,Wiener tipli bölge,kapasite,Cauchy-Riemann denklemi, genelleştirilmiş analitik fonksiyon.

ABSTRACT

A BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR GENERALİZED ANALYTIC FUNCTIONS

ERKOÇ, Zeki Kırıkkale University

Graduate School of Natural And Applied Sciences Department Of Mathematics, M. Sc. Thesis

Supervisor : Prof. Dr. Kerim KOCA 2005, 46 Pages

This thesis is composed of four parts. In the first part, some important definitions and concepts mentioned in the thesis are given. In the second part, for complex differantial equation so called “Vekua equation”; in the Wiener type domain an important boundary value problem is studied. In the third part, it is proven a realeted solution of integral shown that is valid for regular bondary areas has also validity in Wiener type domain. In the last part, the things done in the thesis is summarized and what can be done in higher level is suggested.

Key Words : Vekua equation, Wiener type domain, capacity,Cauchy-Riemann

equation, generalized analytic function.

TEŞEKKÜR

Bu çalışma konusunu bana vererek, çalışmalarım boyunca yakın ilgi ve yardımlarını esirgemeyen sayın hocam Prof. Dr. Kerim KOCA’ ya en içten saygı ve teşekkürlerimi sunarım. Ayrıca çalışmam esnasında bana yardımcı olan Matematik Bölümü Akademik Personeline şükranlarımı sunarım.

İÇİNDEKİLER

ÖZET ………....………..…………. i

ABSTRACT ………....….……….……. iii

TEŞEKKÜR ………...……….……… iii

İÇİNDEKİLER …...………..………. iv

ŞEKİLLER DİZİNİ ...………...……….…………. v

SİMGELER DİZİNİ ....………...………….……….. vi

1. GİRİŞ ..………...………..….……….. 1

1.1. Kaynak Özetleri ... 2

1.2. Çalışmanın Amacı ... 3

2. MATERYAL VE YÖNTEM ...……... 4

2.1.Temel Tanımlar ... 4

2.2.Wiener Tipli Bölgelerde Genelleştirilmiş Analitik Fonksiyonlar İçin Bir Sınır Değer Problemi…………... ... 6

2.3.Bir Temel Lemma………13

2.3.Sanal Kısmın Bulunması ... 31

3.ARAŞTIRMA BULGULARI……….……….33

3.1.1 Wiener Tipli Bölgede Bir Çözüm Gösterilimi ………….……….……….. 33

4. TARTIŞMA VE SONUÇ ..……...………...………... 43

KAYNAKLAR ………...………..………. 45

ŞEKİLLER DİZİNİ

ŞEKİL

2.1.1. Altbölgelere Ayrılmış Bir D Bölgesinin Gösterilimi……….……...14 2.1.2. Kapalı Bir D Bölgesi……..………...…………..………..….21 2.1.3. Wiener Tipli Bir Bölge………...27

SİMGELER DİZİNİ

C/ Kompleks düzlem (z-düzlemi)

D Kompleks düzlemin bir alt bölgesi

∂ D bölgesinin sınırı D )

(P₀

B_R Kompleks düzlemde P -merkezli ₀ R−yarıçaplı disk H Hölder sabiti

s E Cap L

) ,

( E kümsinin (L−s)kapasitesi L Lineer operatör

)

µ(E E kümesinin Lebesque ölçümü

) |

| ( z−z₀

Ψ w(z)nin z daki süreklilik modülü ₀ )

, (z D

dist ∂ z∈D noktasının D∂ sınırına olan uzaklığı

1. GİRİŞ

Başlangıç değer ve sınır-değer problemleri reel ve kompleks diferensiyel denklemler teorisinde uygulama açısından önemli bir yer tutmaktadır. Gerek adi türevli, gerekse kısmi türevli denklemlerde genel çözümün varlığı bilinse bile belli tipten çözümlerin araştırılması ve bunların bazı başlangıç ve sınır değerlerinin sağlamasının istenmesi Fizik, Mühendislik ve temel bilimlerde oldukça sık karşılaşılan bir durumdur. Genel olarak Cauchy Problemi olarak isimlendirilen başlangıç ve sınır-değer problemlerindeki başlangıç ve sınır koşulları uygulamalarda doğal olarak ortaya çıkar. Örneğin bir bölgenin iç kısmındaki potansiyeli ölçme imkanımız olmayabilir, ancak sınırdaki potansiyel belirlendiğinde belli bir potansiyel denklemini çözüp sınır koşulları uygulanarak iç kısımdaki potansiyeli veren fonksiyonu belirleyebiliriz. Bu ise en basit anlamı ile eliptik diferensiyel denklemler

için bir sınır-değer problemidir.

Özellikle sınır-değer problemlerinde problemin tanımlı olduğu bölgenin sırının düzgünlüğü çok önemlidir. Çünkü sınır-değer problemlerinin çözümleri için geliştirilen metodlarda integral kavramı kullanılmaktadır. İntegraller ise sınırı düzgün bölgeler için hesaplanabilmektedir. Bu nedenle sınırı düzgün olmayan bölgelerde tanımlanan çeşitli sınır-değer problemleri için değişik metodlar geliştirilmiş veya çözümün varlık ve tekliği için değişik kriterler ortaya konmuştur.

Sınır-değer problemlerindeki zorluklar bölgenin sınırının düzgün olmayışından kaynaklanabileceği gibi denklemin katsayılarının singülerliğinden de ortaya çıkabilir.

Reel uzayda olduğu gibi kompleks uzayda da sınır değer problemlerinin çok yaygın uygulamaları vardır. Bu tür problemlerin elastisite , gazlar dinamiği ve kabuk (Schalen) teorisindeki uygulamalar Vekua tarafından ayrıntılı olarak incelenmiştir. ( Bakınız [10], sayfa 181-521 ) . Kompleks anlamda ele alınan diferensiyel denklemler ( özellikle Vekua denklemi ) için gerekli olan problem Riemann-Hilbert sınır-değer problemidir. Bu problem , basit irtibatlı bir D bölgesinde

i

u

, z

β α λ γ

λ β

α + = = ∈∂ = +

∈ +

+

=

D, z z w z v

D z F w B Aw w

), ( ] ) (

Re[ (1.1)

şeklinde tanımlanmaktadır. Burada w=u+iv dir. Eğer A≡B≡ F ≡0 ise bu taktirde problem analitik fonksiyonlar için iyi bilinen Riemann-Hilbert sınır değer problemine indirgenir. Bu nedenle (1.1) sınır değer problemine genellikle genelleştirilmiş Riemann-Hilbert sınır-değer problemi denir.

Bölgenin sınırı klasik anlamda düzgün olmadığı zaman genelleştirilmiş anlamda çeşitli regülerlik kriterleri verilmektedir. Örneğin bir dikdörtgenin çevresi klasik anlamda düzgün olmadığı halde Vekua’nın geliştirdiği bir kritere göre dikdörtgenin çevresi düzgündür.( Bakınız [10] )

Biz bu tezde sınırı klasik anlamda düzgün olmayan bir D⊂C/ bölgesinde bir sınır değer problemi inceleyeceğiz.

1.1 Kaynak Özetleri

Bu tezin hazırlanışında konu ile ilgili olarak 5 adet kitap; bir Yüksek Lisans tezi ve üç makaleden yararlanılmıştır. Öncelikli olarak [5] ; [8] ve [9] nolu kaynaklardan çeşitli sınır değer problemleri incelenmiş ve [5] nolu kaynaktan ise

Wiener tipli bölgeler ve özellikleri öğrenilmiştir. Düzgün sınırlı olmayan bir bölgenin düzgün sınıra sahip bölgeler dizisi yardımıyla parçalanması tekniği [7] nolu kaynaktan incelenmiştir. Çeşitli sınır-değer problemlerinin çözümlerinin varlık ve tekliği ve Vekua Denklemi [10] nolu kaynakta ele alınmıştır. Tezin sonunda incelenen düzgün sınırlı bölgeler için geçerli olan bir kompleks sınır-değer probleminin incelenmesinde [1] ve [9] numaralı kaynaklardan yararlanılmıştır. Tezde İncelenen kompleks sınır-değer problemleri uygun koşullar altında reel sınır-değer problemlerine dönüştürülmüş ve düzgün sınırlı bölgelerdeki bu tür problemler [4]

nolu kaynaktan öğrenilmiştir. Daha sonra limit yardımıyla düzgün sınırlı bölgelerdeki çözüm gösterilimleri Wiener tipli bölgeye genişletilmiştir.

1.2 Çalışmanın Amacı

Biz bu tezde önce Wiener Tipli bölge kavramını vereceğiz ve sınırı düzgün olmayan bu tip bölgelerin sınır noktalarının regülerliği için kriterler ortaya koyacağız. Burada hemen belirtelim ki bir bölgenin sınırının regülerliği denklemdeki Loperatörüne (doğal olarak denklemin katsayılarına) bağlıdır. Daha sonra bundan yararlanarak Wiener tipli bölgelerde tanımlanan

D reel) z c

c

z w

D u

w

D z w

B z Aw

w

D D

∈

=

∂

∈

=

=

∈ +

=

∂

∂

0 0

0

0) ,

( Im

) (

Re

| |

(

C ,

,

ϕ α

ϕ

şeklindeki bir sınır-değer probleminin çözümlerinin varlık ve tekliği için bir kriter ortaya koyacağız.

2. MATERYAL VE YÖNTEM

Bu bölümde öncelikle tezde geçecek olan bazı temel tanım ve kavramları vereceğiz.

2.1 Temel Tanımlar

Tanım 2.1.1 D⊂C kümesi açık ve irtibatlı ise D kümesine kompleks düzlemde bir bölge denir.

Tanım 2.1.2 X herhangi bir küme ve M aşağıdaki koşulları gerçekleyen X in bir alt küme ailesi olsun.

i)φ, X∈M

ii)A∈M iseA^c = X \A∈M

iii)A A ∈M ∈M

∞

=

U

1 i

i 2

1, ,... ise A

koşullarını sağlayan M ailesine X üzerinde bir σ-cebiri denir.

Tanım 2.1.3 Tanım 2.1.2 deki iii) de sayılabilir birleşim yerine sonlu bileşim alınırsa µailesine cebir denir.

Tanım 2.1.4f :(X,M)→R fonksiyonu verilsin. Herα∈Riçin

{

x∈X:f(x)>α

}

∈M ise f ye ölçülebilir fonksiyon denir.

Tanım 2.1.5 (Lebesque Ölçümü) (R,B) ölçüm uzayını düşünelim ,E =( ba, ) ise a

b E)= −

λ( olarak tanımlanan ölçüme Lebesque ya da Borel ölçümü denir.

Tanım 2.1.6 f :X → X fonksiyonunu gözönüne alalım. Bir x*∈X noktası

*

*)

(x x

f = bağıntısını sağlıyorsa bu x* noktasınaf fonksiyonunun bir sabit noktası denir.

Tanım 2.1.7(Daralma Dönüşümü) (X,d)bir metrik uzay olsun ve f :X →X fonksiyonu bu uzayı kendi içine dönüştürsün. Her x,y∈X nokta çifti ve 0< k <1 koşulunu sağlayan bir k reel sayısı için

(

f(x),f(y)

)

kd(x,y)

d ≤

koşulu sağlanıyorsa f bir daralma dönüşümü ya da kısaca daralma adını alır.

Tanım 2.1.8 (Hölder-Süreklilik) Kapalı D bölgesinde tanımlanmış bir f(z) kompleks fonksiyonu verilsin. Eğer her z₁,z₂∈D için

f(z₂)− f(z₁) ≤H z₂−z₁^α 0<α≤1 (2.1.1)

eşitsizliği sağlanacak şekilde H ve α sabitleri varsa f(z) ye D bölgesinde Hölder süreklidir denir.

Hsabiti tek değildir, ancak Hsabiti

α α

1 2

1 2

,

) ( ) ) (

, , ( ) (

2

1 z z

z f z Sup f D

f H f H

D z

z −

= −

≡

∈

,

(

z1 ≠z2

)

olarak seçilirse H tektir ve Hölder sabiti adını alır. α’ya da Hölder üsteli denir.

Bu durumda

α 1 2 1

2) ( ) ( )

(z f z H f z z

f − ≤ − (2.1.2)eşitsizliğine Hölder koşulu adı verilir. (2.1.2) eşitsizliğini sağlayan fonksiyonların kümesini H^α(D) ile gösterelim. Eğer f(z) nin 1.basamaktan türevleri Hölder - sürekli ise bu tür fonksiyonların sınıfı da H₁^α(D)olarak

ifade edilir. (2.1.2) eşitsizliğini sağlayan bütün sınırlı fonksiyonların kümesi de )

(D

C^α ile gösterilir. Eğer D sınırlı bir bölge ise H^α(D)≡C^α(D)dir. Genel

olarak D bölgesi sınırsız ise C^α(D)⊂H^α(D)dır. Örneğin r^α = z^α fonksiyonu )

(C

H^α / sınıfına ait olduğu halde C^α(C/) sınıfına ait değildir.

Tanım 2.1.9(Sürekli Genişletme) f(z),∂D sınırında tanımlanmış bir fonksiyon olmak üzere





∈

∂

= ∈

D z z h

D , z z z f

g ( ) , ) ) (

(

şeklinde tanımlanan fonksiyon D bölgesinde sürekli ise h(z) ye f(z) nin sürekli genişletmesi denir. Tanımdan da görüleceği gibi sürekli genişletme tek olmayabilir.

2.2 Wiener Tipli Bölgelerde Genelleştirilmiş Analitik fonksiyonlar İçin Bir

Sınır Değer Problemi

C

D⊂ sınırlı keyfi bir bölge olsun. D bölgesinde tanımlanmış

.

d(x,y)v c(x,y)u

v u

b(x,y)v a(x,y)u

-v u

x y

y x

+

= +

+

= (2.2.1)

homojen olmayan Cauchy-Riemann sistemini gözönüne alalım. Burada D

iy x

z= + ∈ dir.

(2.2.1) sisteminde ikinci denklem i ile çarpılır, birinci denklemle taraf

tarafa toplanır ve daha sonra da 2

1 ile çarpılırsa

^w_z

[

^{a(x,y)u b(x,y)v ic(x,y)u id(x,y)v}

]

2

1 + + +

= (2.2.2)

elde edilir.

Ayrıca w=u+iv, w =u−iv dir. (2.2.3) (2.2.3) den u ve v çözülürse

2 ) (

2 ,

w w v i

w

u w −

− + =

= elde edilir. Bu değerler de (2.2.2) de

yerine yazılırsa



 − −

+ +

− + + −

= +

2 ) )( (

, ( 2 )

)(

, ( 2 )

) )( (

, ( 2 )

)(

, 2 (

1 i w w

y x w id y w x w ic

w y i x w b y w x z a

w

( ) ( )

_^



 + − + + − + +

= a x y ic x y ib x y d x y w a(x,y) d(x,y) ic(x,y) ib(x,y w 2

) 1 , ( ) , ( ) , ( ) , 2 ( 1 2 1

( ) ( )

[

^{( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( ,}

]

^(2.2.4)

4

1 a x y +ic x y −ib x y +d x y w+ a x y −d x y +ic x y +ib x y w

=

bulunur. (2.2.4) eşitliğinde

( )

(

a x y d x y ic x y ib x y

)

y x d y x ib y x ic y x a

, ( ) , ( ) , ( ) , 4 ( B 1

) , ( ) , ( ) , ( ) , 4 ( A 1

+ +

−

=

+

− +

=

denirse (2.2.1) sistemine denk olan

wz = Aw+Bw (2.2.5) kompleks denklemi elde edilir.

Burada

∂z

∂ = 









∂ + ∂

∂

∂ y x 2

1 dir.

Tanım 2.2.1 w z= Aw+Bw diferensiyel denkleminin çözümlerine“Genelleştirilmiş Analitik Fonksiyonlar” denir ve bu denklemin çözümü de

w(z)= ξ η ζ

ζ ζ π

ζ ζ π

ζ d d

z w zd

w

i D D

∫∫

∫

₋ ⁻ ₋

∂

) 1 (

) ( 2

1 ζ =ξ+iη

şeklinde bir gösterilime sahiptir.

D bölgesinin düzgün sınırlı ve ilgili katsayıların L_p(D)(p>2) sınıfına ait olması halinde (2.2.5) denklemine ilişkin çeşitli sınır değer problemleri [9], [10] da incelenmiştir. Ayrıca bu [10] da “Genelleştirilmiş Analitik Fonksiyonların Teorisi”

geniş olarak ele alınmıştır.

(2.2.1) sistemindeki katsayılar için,

λ

λ r

r ) ( γ r

c

b(x,y) , r

r ) ( γ r

c

a(x,y)

log 2 log 2

2 1

≤

≤ . . (2.2.6)

| ) , (

|c x y ≤ rλ

r ) ( γ r

c log 2

3

, |d(x,y)| ≤ rλ

r ) ( γ r

c log 2

4

2γ <r , 0<λ <1

(x,y)

a_x ≤ _λ⁵₊₁ r

c , c_y(x,y) ≤ _λ⁶₊₁ r

c , d_{x λ}⁵₁

*

≤ +

r

c , b_{y λ}⁶₁

*

≤ +

r c

eşitsizliklerinin gerçeklendiğini varsayalım. Burada c ler ( i =1,...,6) reel sabitler _i

r= (x−ξ)²+(y−η)² , (x,y)∈ D , (ξ,η)∉D dir. Ayrıca bu katsayıların D bölgesinde x vey değişkenlerine göre birinci basamaktan kısmi türevlerinin mevcut olduğunu kabul edelim. Şimdi ,

zw = Aw + wB , z∈D Re ⁼

|

^{= ∈ ∂} , 0^{< <}1

∂ ∂

α ϕ

ϕ , C ( D) u

|

w ^α

D D

(2.2.7) Imw(z₀)=v(z₀)=c₀ , z₀∈D

sınır -değer problemini göz önüne alalım.

Diğer taraftan eğer (2.2.1) sisteminin b ve d katsayıları arasında

y d x b

∂

−∂

∂ =

∂ şeklin de bir bağıntı varsa bu taktirde;

) , ( ) , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (

) ( ) ( ) (

] ) ( ) ( [ ) (

y x c y x a z c z b z d z a z k

z c z b z q

z d z a z P

y

x −

−

−

=

−

=

+

−

=

(2.2.8)

olmak üzere u=Rew için

Lu= ∆u+ p(z)u_x +q(z)u_y +k(z)u=0 (2.2.9) (p, reel fonksiyonlar) denklemine ulaşılır.(2.2.6) den dolayı (2.2.9) denkleminin q

katsayıları için de

|p(z)| rλ c₁^*

≤ , |q(z)| rλ c₂^*

≤ , k(z) 0

r c

1 λ

*

3 ≤ ≤

− ₊ (2.2.10)

eşitsizliklerinin geçerli olduğu görülebilir.

Şimdi (2.2.9) yardımıyla

D z u

D z Lu

D

∂

∈

=

∈

=

∂

,

|

, 0

ϕ

(2.2.11)

sınır değer problemini tanımlayalım. Bu sınır değer problemini incelemeden önce birkaç tanım ve önerme verelim:

Tanım 2.2.2 L operatörü (2.2.9) de ki gibi olmak üzere her z∈D için Lu≥0 ( Lu≤0)

eşitsizliği sağlanırsa u fonksiyonuna D bölgesinde alt-L çözüm(üst-L çözüm) denir.

Tanım 2.2.3 E veT C/ kompleks düzleminin Borel - ölçülebilir iki alt kümesi olsun ve (x,y)∈T , (ξ,η )∈E olmak üzere r = |z- ξ | , ζ =ξ+iη uzaklığını gözönüne alalım. Özel halde T∩ E = Ø ve T ∩E ≠ Ø olabilir. E nin bütün alt kümelerinden oluşan σ cebirleri üzerinde tanımlanmış ölçülerin kümesini M ile gösterelim. Ayrıca z∈ T ve ζ ∈E için

= ζ ) , (z g

s r ) (γ log 



 , ( r < γ ) fonksiyonunu tanımlayalım. Burada s

pozitif sabit ve γ ise T ve E ye bağlı bir başka sabittir. µ∈Molmak üzere

∫∫

^ζ (^ξ,^η)≤1

E

dµ g(z; )

eşitsizliğini sağlayan ölçülerin kümesi M₁ olsun. Bu takdirde Lg ≥ 0 olmak üzere

1

) ( M

E sup

∈ µ

µ

sayısına E kümesinin T kümesine göre logaritmik (L,s) kapasitesi denir ve

Cap_{(L ),s} E

ile gösterilir.

Lemma 2.2.1 Cap_{(L ),s} E aşağıdaki özeliklere sahiptir:

a) E ₁⊂E ₂ ise Cap_(L,s)E₁ ≤ Cap_(L,s)E₂

b)

U

ⁿ

i

Ei

E

=1

= ise Cap_(L,s)E ≤

∑

= n i

i s

L E

Cap

1

) ,

(

c)B_R(P₀) ,P₀=(x₀,y₀) merkezli R yarıçaplı bir disk olsun. Bu taktirde B_R(P₀) ın

T ye göre kapasitesi için

Cap_(L,s)B_R(P₀) s R og γ l 



≥

) ( 1

eşitsizliği geçerlidir. Buradaki T Tanım 2.2.3 deki gibidir.

İspat: a) ve b ) özellikleri tanımdan hemen görülebilir. Şimdi c ) şıkkını ispat edelim. Bunun için B_R(P₀) ın merkezine yığılan bir µ₀∈µ₁ ölçüsünü ve

0 <δ<R olmak üzere

e =_δ

{

2 0 ^{2 2}

}

0) ( )

(

| ) ,

(x y x−x + y−y <δ

diskini gözönüne alalım. Bu durumda r≥ R−δeşitsizliğinin de kullanılmasıyla ( , ; , ) ( , )

) ( ₀

η ξ µ

η ₀

ξ d

y x g P B_R

∫∫

^{, z=x+iy}

= (ξ η) δ

0 , r dµ log γ e

s

∫∫





 



 



 





≤



∫∫



 



 



 





δ

η µ

e R-δ d og γ l

s

) ,

0(ξ

= α

R-δ og γ l

s



 



 



 



 yazılabilir. Burada

α µ₀( ,η) δ

∫∫

ξ

= e

d

dir. Eğer α sayısı

s

log R 



 



 



 





−

=

δ γ

α ¹

olarak seçilirse

( , ; , ) ( , )

0

η µ

η ξ

ξ d ₀

y x g

) R(P B

∫∫

^≤1

eşitsizliği ve

Cap_(L,s)B_R(P₀) ≥µ₀(B_R(P₀))≥ _s

log R 



 



 



 





−δ γ 1

bağıntısı ortaya çıkar. Son eşitsizliğin sol tarafıδ dan bağımsız olduğu için δ→0 yaklaşımı için bu eşitsizlik yine doğrudur. O halde iddia edilen eşitsizlik ortaya çıkar.

Lemma 2.2.2 F(r)=

s log r 



 



 



 



2γ

, 2γ> r, r= ζ −z= (x−ξ)2+(y−η)2

olarak tanımlanan fonksiyon D bölgesinde Lu=0denkleminin alt çözümü olacak şekilde s>1 sayısı vardır.

İspat: Elemanter hesaplarla

( )



 



 



 



− 







 −

−

∂ =

∂

r ogs l r s x x

F 1 2γ

2 ξ

( )



 



 



 



 







 −

−

∂ =

∂ ₋

log r r

s y y

F η _{s 1} 2γ

2

( ) ( )













 −



 



− 

+



 





−

−

− −

=

∂

∂ _{− −}

) 2 (

) 1

2 ( ₂

2 1 2

3

2 ξ ξ

r x log r s

og r l

x x

r s x

F η _s γ _s γ









  −



 



− 

+



 



− 

=

∂

∂ _{− −}

) 2 (

) 1 2 (

) 2

( _{1 1}

3

2 η γ γ η

r y og l r s

og l r

y s y

F _{s s}

olduğu görülebilir. Bu türevler LF(r) ifadesinde yerine yazılırsa

.

ξ (2















 



 



 

 + 

 −



 



− 

 −



 



− 

 −



 



 



 



= 

−2 2

2 )

( 2 )

( 2 1

1 ) 2

( log r

s kr r y og r r ql x og r r pl s r log r

r LF

s γ γ η γ

γ 2.12)

olur. Katsayılar için verilen (2.2.10) eşitsizlikleri ve − ≤1 r

x ξ ve − ≤1

r

y η

oldukları

da gözönüne alınırsa (2.2.12) den















 



 



 

 + 

 +



 

 + 

 −



 



 



 



≥ 

−2 2

) 2 2 (

1 1 ) 2

( log r

s q kr r p

og r l s r log r

s r LF

s γ γ

γ

( ) ( )

















−

















−

 −



 

 + 

 −



 



 



 



≥ 

−

2 3 2

1 2

log 2 log 2

2 1

1

2 c

sr r r r

c r r

c log r

r s r og r

l s

s

γ γ

γ γ

=

2 ⁻2



 



 



 



 ^s

log r

s γ



 



 − − − −

sr c r c r c r s r

3 2 1 1

1

=

2 ⁻2



 



 



 



 ^s

og r l

s γ







 − − − −

s c c c s r

3 2 2 1 1

1

elde edilir. Eğer s sayısı,

s²−

(

¹+c₁+c₂

)

s−c₃≥⁰ olacak şekilde seçilirse

LF(r)≥0

eşitsizliği sağlanır. Böylece ispat tamamlanmış olur.

Lemma 2.2.3 (1.Temel Lemma): ^BR(^z₀)=

{

^z∈^C/^{| z-z}₀ <^R

}

olmak üzere C

D⊂ / bölgesi B_4R(z₀) diski tarafından tamamen kapsansın.

Yani ,

D

⊂

^B₄R(^z₀)=

{

^z∈^C/ | ^z-z₀ <4^R

}

olsun. Diğer taraftan D nin sınırı Γ₁∪Γ₂ =∂D şeklinde iki parçadan oluşsun.

Burada Γ , D nin sınırının ₁ B_4R(z₀) diski içinde kalan parçası ve Γ , ₂ ∂B_4R(z₀) sınırında en az bir yığılma noktasına sahip D∂ sınırının diğer parçasıdır. Ayrıca D bölgesinde

Lu=0

denklemi gerçeklensin ve Lnin katsayıları (2.2.10) eşitsizliklerini sağlasın.

Öte yandan

) (z₀ B

E_R = _R \ D

kümesinin boş olmadığını varsayalım. (Bakınız Şekil 2.2.1) Bu taktirde Lu = 0 , z∈ D

| 0

1

= Γ u

şeklinde tanımlanan problemin her pozitif reel değerli u∈C2(D)∩C(D) çözümleri

için ^{( )}

[

¹

]

^{( )}

0) ( )

, (

7Cap E sup u z

c z

u sup

R z

B D R s L

D ∩

+

≥

eşitsizliği sağlanacak şekilde c sabiti vardır. ₇

Şekil 2.2.1

İspat: Önce r = z−ζ ,z∈D, ζ∈E_R ve

M supu(z)

z∈D

=

olmak üzere B_4R(z₀) bölgesinde

M r d

og R l z

E

s













 +



 



 



 



− 

=

∫∫

R

λ η ξ µ

φ 4 ( , )

1 )

( , (λ>0 , λsabit)

reel değerli fonksiyonunu göz önüne alalım. Burada µ,

d x y D ER

r log R

s

E_R

∈

∈

 ≤



 



 



 



∫∫

^{4 µ(ξ,η) 1 ,( , ) ,(ξ,η)}

sup E_R Cap_Ls E_R

M

) ,

) (

(

1

=

∈

µ

µ

(2.2.13)

özelliklerine sahip bir ölçü ve ζ = ξ+iη dir. (2.2.13) den dolayı her ε >0 için µ₀(E_R)≥Cap_(L,s)E_R −ε (2.2.14) yazılabilir. Buradaµ₀∈ dir. M₁

Şimdiφ nin ∂ üzerindeki değerini inceleyelim. D

( ) | 0, ( ) | 0

1 1

= Γ

≥ Γ

z u

φ z

olması nedeniyle

1 1

| ) (

| ) (

Γ

≤ Γ

z z

u φ

eşitsizliği yazılabilir. Diğer taraftan

d , ) λ M

r og R l sup

| (z)

s

)E (z B z )

(z

B R R R 











 +







 



 



− 

≥

∫∫

∂

∈

∂

η µ

φ 4 (ξ

1

0 4 0

4

log E_R M s













 +

 

−

≥ ) µ( ) λ

3 (4 1

≥ log Cap _Ls E_R M s













 +



 



 



 



−  ( ) λ

3

1 4 _{( , )}

dir. λ sayısını

_{Ls R}

s

E Cap

log _{( , )}

3 4 



 



 



 



=  λ

olarak seçersek bu durumda

( ) | ( )

0) 4 (

z u sup M z

D z R z

B ∈

∂

= φ ≥

olur. Böylece

D z u D z

∂

≥

∂

| ) (

| ) φ(

eşitsizliği elde edilmiş olur. Lemma (2.2.2) ve (2.2.6) den

4 ( , ) 0

)

(  ≤



 



 



 



− 

≤

∫∫

^{µ η}

φ d ξ

r og R l L M z L

s

E_R

yazılabilir. O halde φ(z) reel fonksiyonu Super− çözümdür. L Super− çözüm L fonksiyonları için bilinen maksimum prensibi nedeniyle her z∈D için

) ( ) (z ≥u z φ

eşitsizliği her zaman doğrudur. Buradan

u z d Cap _Ls E_R M

s s

E_R 













 



 



 

 + 



 



 



 



≤

∫∫

 ^{( , ) ( ( )}

)

( _{, )}

3 log 4 r

log 4R -

1

µ ξ η

yazılabilir.

Şimdi u(z) ninD∩B_R(z₀) bölgesinde üstten sınırlı olduğunu gösterelim.

Bunun için önce

inf 4 (ξ, )

1 ) (

0) ( 0)

(

η µ r d og R l z

u sup

s

ER R P B D z R P

B D

z ⁻

∫∫

^_^{ }_^{ }_^_^



≤

∩

∈

∩

∈

) , 3 (

4 Cap L s

log s



 



 



 

 + 

^{E supu z i}η

D z

R = +





∈

ξ ζ , ) (

eşitsizliğini gözönüne alalım. Buradan (2.2.13) bağıntısının da kullanılmasıyla

u(z)

log Cap E sup

E og

l z

u sup

D z R s L s R

s

R P B D

z∈ ∩  ∈













 



 



 

 + 







−

≤ _{( ,)}

0)

( 3

) 4 2 (

1 4 )

( µ

=

[

^log

]

^{s log sCap} _Ls ^E_R

[ ]

^{s M}













 +



 



 



 



− 

− log2

3 2 4

1 _{( , )} ε

=

{

1−

c

^*₇^Cap₍L_,s₎^ER +ε

[

^log2

]

^s

}

^M olur. Bu eşitsizlik her ε > sayısı için sağlandığından 0

^{( )}

[

¹ ( ,)

]

^{( )}

* 7 0)

(

z u sup E Cap z

u sup

D z R s L RP

B D z

c

∈

∩

∈

−

≤

bulunur. Burada

[ ]

s s log og

c

l _



 



 



 



− 

= 3

2 4

*

7 dir .

Böylece,

( )

1 1 ) (

) ( )

, ( )

,

* ( 7

7*

0

z u sup E

Cap E Cap z

u up

P D z R s L R s D L

z

c

c

BR

s

∩

∈

∈ 











− +

≥

veya

^{( )}

[

¹

]

^{( )}

) ( )

, 7 (

0

z u sup E

Cap z

u sup

P B D z R s L D

z _R

c

∩

∈

∈

+

≥ olur ki bu da Lemma2.2.3 ün

ispatını tamamlar. Burada

R s L E

c

Cap

c c

) ,

* ( 7

*7

7=1− dir.

Not : Lu=0 ın her u çözümü için

( ) ( )

0

z u sup z

u sup

) R(P B D z D

z

∩

∈

∈

≥

eşitsizliği daima doğrudur. Eğer ;

;

D z

) ( )

( )

(

) ( 1

) (

z u sup M

z u sup z

u sup M

Po BR D o z

R P B D

z∈ ∩ ∈ ∩

∈

=

≥

=

dersek bu taktirde Lemma 2.2.3 ün bir sonucu olarak

[

¹ ₇^Cap_{( , )}^E

]

^M₁

M ≥ +

c

_Ls

eşitsizliği sağlanacak şekilde

c

₇ sabitinin mevcut olduğunu söyleyebiliriz.

Lemma 2.2.4 E , B_R(P₀) diskinin bir alt kümesi olsun. Bu taktirde;

( ) , ( ₀)

2 0 2

) ,

( E B P

R E s mes a E

Cap _Ls ≥ ⊂ _R

olacak şekilde bir a₀(s)sayısı vardır. Burada mes₂E ,E nin lebesque anlamında ölçüsüdür.

İspat: Önce

iy x z i E

E, z r dµ

R ^s

E

+

= +

=

∉

∈

 ≤



 



 



 



∫∫

^log^{2 (ξ,η) 1 ,ζ ζ ξ η ,}

eşitsizliği sağlanacak şekilde bir µ ∈M₁ ölçüsünün var olduğunu gösterelim.

Bunun için önce

R r r R

r A

d d A

d = < < ≤ ≤

0 0

0 ξ η ( sabit), 0 µ

seçelim. Böylece

η η

µ d d

r og R l A r d

og R l

s

E s

E

ξ

ξ

∫∫

∫∫





 



 



 



= 



 



 



 



 2

) , 2 (

0

dt

t A R

s

P B_R

∫∫

^



 



 



 



≤ 

) ( 0

0 5

log 5

yazılabilir. Son eşitsizlikte kutupsal koordinatların kullanılmasıyla

0 ( ) 2 )

, 2 (

8 s R A

r d og R

l

c

s

E

 ≤



 



 



 



∫∫

 ^{µ ξ η}

elde edilir.A sayısını ₀

0 2

) (

1

8 s R A

=

c

olarak seçersek

1 ) , 2 (

 ≤



 



 



 



∫∫

^log _r^{R sdµ ξ η} E

eşitsizliği elde edilir. O halde µ istenilen özelliklere sahip bir ölçüdür.

Diğer taraftan,

η ξ

µ d d

R s d

c

( ) 1

2

8

=

olması nedeniyle

E mes R s E Cap

s

c

L, ) 2 2

( ( )

1

8

≥ (2.2.15)

eşitsizliği ortaya çıkar ve bu da ispatı tamamlar.

Lemma 2.2.5 Lemma 2.2.3 ün hipotezleri geçerli olsun. Bu taktirde Lu=0 ın çözümleri için,

) ( )

( 1 ) (

0

9 2

2 u z

R E s mes z

u sup

) (P B D z D

z _R

c

∩

∈

∈ 



 



 +

≥ sup (2.2.16)

eşitsizliği sağlanacak şekilde

c

₉(s) sayısı vardır.

İspat: Lemma 2.2.4 ve (2.2.15) eşitsizliği göz önüne alınırsa bu lemmanın doğruluğu görülebilir.

Tanım 2.2.4 Düzgün sınırlı olmayanD⊂C/ bölgesinde

(

^{( )}

)

,

|

bölgesinde

, 0

D C u

D Lu

D

∂

∈

=

=

∂

ϕ ϕ

şeklinde tanımlanan sınır-değer problemini gözönüne alalım. φ₀(z),ϕ nin D bölgesine sürekli genişletmesi olsun. Şimdi D bölgesini

,...) 2 , 1 , , lim ; ( 1

m

=

=

⊂

⊂

∞

+ D D → D D m

D

D_{m m m m}

özellikleri sağlanacak şekilde parçalayalım. Burada D ler düzgün sınırlı alt _m bölgelerdir. Her bir m∈IN için D bölgelerinde _m

) (

| 0

0 0

0 m m m

D D

m

m m

D C

| u

D Lu

m m

∂

∈

=

=

=

∂

∂

φ φ

φ ,

,

bölgesinde

sınır-değer problemlerini göz önüne alalım. (D ler düzgün sınırlı olduklarından bu _m şekilde tanımlanan sınır değer problemlerinin çözümü mevcuttur.) Diğer taraftan

lim u_m(z) u (z)

m = ϕ

∞

→

limitinin mevcut olduğunu varsayalım. Bu taktirdeu_ϕ(z) limit fonksiyonuna Lu=0 denkleminin “Wiener anlamında genelleştirilmiş çözümü ”denir.

Tanım 2.2.5 z₀∈∂D sabit bir nokta ve u , _ϕ Lu=0 ın Wiener anlamında

genelleştirilmiş çözümü olsun. Eğer her ϕ∈C( D∂ ) için D

z z z z u zlim

0

∈

→ _ϕ( )=ϕ( ₀) ,

oluyorsa bu takdirdez sınır noktasına D₀ ∂ nin bir “ Regüler noktası” ; aksi takdirde

“Irregüler noktası” denir.

Tanım 2.2.6 Tüm sınır noktaları Wiener anlamında regüler olan bölgeye Wiener tipli bölge denir

Teorem 2.2.1 Tanım 2.2.5 deki u_m (m=1,2...) fonksiyonları D bölgelerinde _m

=0

Lu denkleminin çözümleri olsun. Diğer taraftan her δ>0 için tanımlanan

{

z D dist z D

}

D_m D_δ D_δ = ∈ | ( ,∂ )≥δ ; ⊂

bölgelerini gözönüne alalım. Bu taktirde

{

^u_m^(z)

}

çözümler dizisi yakınsaktır.

δ D _δ D

Şekil 2.2.2

İspat: Önce her ε >0 sayısı için | −φ <ε

D z z

G( ) ₀( )|

|

eşitsizliği sağlanacak

şekilde G(z)ve φ₀(z) reel değerli fonksiyonlarını gözönüne alalım. Diğer taraftan D bölgesinde G(z) yardımıyla

[ Re(1 )( )]

2

1 ( ) ⁰

2 ) 1

(z G z e ^K e^{K i z z}

G = + ^{δ − −}

[ Re(1 )( )]

2

2 ( ) ⁰

2 ) 1

(z G z e ^K e^{K i z z}

G = − ^{δ − −}

fonksiyonlarını tanımlayalım. Burada K herhangi bir sabit ve δ ise bölgenin çapıdır. Ayrıca G( z)nin 2.basamaktan kısmi türevlerinin var ve sınırlı olduklarını kabul edelim. Bu hipotezler altında G₁(z) Sup−L çözüm olacak şekilde K sabiti seçilebilir. Bunun için önce

[

^{G p z G q zG k z G}

]

z

LG ( ) _x ( ) _y ( )

2 ) 1

1( = ∆ + + +

+ 2K2e2^δK e^K[Re(1⁻ⁱ)(^z−z₀] + p(z)Ke2^δK e^K

[

Re((1⁻ⁱ)(^z−z₀)

]

+q(z)K e2^δK e^K[Re(1⁻ⁱ)(^z−z₀] +k(z)Ke2^δK e^K

[

Re((1⁻ⁱ)(^z−z₀))

]

(2.2.17) ifadesini gözönüne alalım. Diğer taraftan

1*

M =

D z max

∈ 



 



 ∆ ,G_x ,G_y ,G 2

G (2.2.18)

diyelim.(2.2.10) nedeniyle

max

(

^{p(z),q(z),k(z)}

)

≤^c₁₀^(r)

olacak şekilde c₁₀ (r) sayısı mevcuttur. Bu bağıntılar (2.2.17) de kullanılır ve gerekli düzenlemeler yapılırsa yeterince büyük bir K sabiti için

LG₁(z)≥0

yazılabilir. Tamamen benzer şekilde yine yeterince büyük K sabitleri için

0 )

2G(z ≤ L

olduğu görülebilir. Böylece yeterince büyük K lar için D bölgesinde G1 Sup -Lçözüm ;G ₂ Super − çözüm olduğu görülmüş olur. Diğer taraftan L G(z)= ( ) 2 [ Re(1 )( 0)]

2

1 _{K K i z z}

e e z

G + ^{δ − −} ( ) 2 [ Re(1 )( 0)]

2

1 _{K K i z z}

e e z

G − ^{− −}

+ ^δ

=G₁(z)+G₂(z) yazılabilir. Şimdi

m m

m

m m

D z z G v

D z L v

D

∂

∈

=

∈

=

∂

+ +

,

,

) (

| 0

1

m m

m

D z z G v

D z Lv

D m

m

∂

∈

=

∈

=

∂

−

−

, ) (

|

, 0

2

şeklinde tanımlanan sınır-değer problemlerini gözönüne alalım.

Dm

z

G₁( ) , bölgesinde Sup - L çözüm (G₂(z)Super−Lçözüm) olduğundan maksimum prensibi nedeniyle,

) (

,

)

1 1

1 1

− + −

+ +

−

− ≤ ≥

≤

≥

m m m

m

m m

v v v

v

- G , ( v G

v

eşitsizlikleri yazılabilir. O halde

{ } { }

vm⁺ , vm⁻ monoton fonksiyon dizilerdir. Ayrıca maksimum prensibine göre bu fonksiyonlar sınırlıdır. Bu durumda D bölgesinde _m

| 0

, 0

φ

=

∈

=

m∂D m

u

D z Lu

sınır değer probleminin çözümleri için v_m =v_m⁺ + v_m⁻ olmak üzere yeterince büyük m ler için

D z max

∈ u_m −v_m <ε

eşitsizliği sağlanır. O halde

{

^um^(z)

}

reel fonksiyonlar dizisi yakınsaktır. Yani )

( )

(z u z

u lim _m

m = ϕ

∞

→ limiti mevcuttur.

Schauder kestirimi yardımıylau_ϕ(z)limit fonksiyonunundaLu=0 denkleminin

çözümü olduğu gösterilebilir. Özel hallerde Lu = 0ın klasik anlamdaki çözümü ile Wiener anlamındaki genelleştirilmiş çözümü çakışabilir. Bu nedenle ortaya konulan sınır değer probleminin çözümünün tek olduğu gösterilebilir.

Şimdi hangi koşullar altında u_ϕ fonksiyonunun D da sürekli olduğunu yani hangi koşullar altında ∂ sınırında D u_ϕ ileϕ fonksiyonunun çakıştığını araştırmamız gerekmektedir. Bunun için önce aşağıdaki tanımı verelim:

Tanım 2.2.7 (2.2.9) denklemindeki katsayıların (2.2.10) eşitsizliklerini sağladıklarını kabul edelim. z₀∈∂D sabit bir nokta olsun. EğerD nin her D' alt bölgesinde tanımlı,D da sürekli, her ' z∈D' için u(z) <1 eşitsizliğini sağlayan

her u^*Sup− çözüm fonksiyonu için aşağıdaki özellikleri sağlayan L ψ reel değerli fonksiyonu bulunabilirse z sınır noktasına ₀

D) C(

| u

D z Lu

D

∂

∈

=

∈

=

∂

ϕ ϕ ,

, 0

(2.2.19)

şeklindeki sınır-değer problemi için “ψ −regüler nokta” denir.

i)0 r r₀için (r) 0 velim (r) 0 , r (x-x₀)² (y-y₀)²

0

r = = +

>

<

< ψ → ψ

ii) | 0

'

≤

∩σ D

u

olduğu sürece

ψ(r) )

(y-y )

(x-x u

D

= +

≤

∩

2 0 2

( 0

|

1

ψ

σ

eşitsizliği geçerli olsun. Burada σ₁ ^veσ z ın keyfi iki komşuluğudur. Bu ₀ komşuluklar L operatörü ve s sayısına bağlı u veD' den bağımsızdır.

Teorem 2.2.2 z₀∈∂D olsun. Ayrıca (2.2.9) daki L operatörünün katsayılarının (2.2.10) özelliklerine sahip olduğunu kabul edelim. Eğer z noktası (2.2.19) sınır ₀ değer problemi için ψ−regüler ise bu taktirde z aynı zamanda Wiener anlamında ₀ regüler bir noktadır.

İspat : φ₀ ,ϕ ninD bölgesine sürekli bir genişletmesi olsun. Ayrıca her z∈D∩B_ε(P₀) için ,

0 0 0 0

0 ,

) 2 ( )

(z − z ≤ ε¹ z =x +iy ϕ

φ

eşitsizliği sağlanacak şekilde ε₁ sayısının mevcut olduğunu kabul edelim.

Ayrıca u_m(z) ler

1,2...) (

,

|

|

, 0

0 = 0 =

=

∈

=

∂

∂

m u

D z Lu

m m m

m m

D D

φ φ

şeklinde tanımlanan sınır-değer probleminin çözümleri olsun. Diğer taraftan

D

m

bölgelerinde

....) 2 , 1 2 (

) ( ) ( )

( = − ₀ −ε¹, m=

z z u z

w_{m m} ϕ

reel değerli fonksiyonlarını tanımlayalım. z₀, ψ −regüler olduğundan 0

| ) (

) ( ₀

≤

∩

∂D B z m

m

z w

ε

olduğunda