T.C. ULUDAĞ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ. ANALİTİK DEVAM ve UYGULAMALARI. İsmail DOĞAN YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI

FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

ANALİTİK DEVAM ve UYGULAMALARI

İsmail DOĞAN

YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI

BURSA 2006

T.C.

ULUDAĞ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

ANALİTİK DEVAM VE UYGULAMALARI

İsmail DOĞAN

YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI

Bu tez ………… tarihinde aşağıdaki jüri tarafından oybirliği/oy çokluğu ile kabul edilmiştir.

Prof. Dr. Mümin YAMANKARADENİZ ... ...

(Danışman )

ÖZET

Analitik Devam ve Uygulamalarının ele alındığı bu çalışma toplam üç bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde daha sonraki bölümlerde ihtiyaç duyulabilecek temel tanım ve teoremlere yer verilmiştir. İkinci bölümde bazı analitik devam yöntemleri bir araya getirilmiş ve bunlarla ilgili çeşitli uygulamalara yer verilmiştir. Son bölümde ise Topolojik Uzaylar ve Demet Teorisi başlığı altında topolojik uzaylar ve komşuluk sistemleri ve bir açık küme üzerindeki fonksiyonların çekirdeklerinin demeti incelenmiştir.

--- Anahtar Kelimeler: Analitik Devam, Topolojik Uzay, Demet Teorisi

ANALYTIC CONTINUATION and APPLICATIONS

ABSTRACT

Analytic Continuation and applications are considered In this work, consisting of three sections. In the first section fundamental definitions and teorems are introduced for the next sections. In the second section some methods of analytic continuation and applications are given. In the third section which is topolojical spaces and sheaf theory are cosisting topolojical space and neighborhood systems and the sheaf of germs of analytic functions an open set is given.

--- Key Words: Analytic Continuation, Topolojic Space, Sheaf Theory

İÇİNDEKİLER

ÖZET ……….. i

ABSTRACT ………ii

İÇİNDEKİLER ………. iii

ŞEKİLLER DİZİNİ ……….. iv

1. GİRİŞ……….………. 1

1.1. Temel Tanım ve Teoremler ………1

1.2. Dönüşüm Özellikleri ………...5

1.3. Metrik Uzaylar ………6

2. ANALİTİK DEVAM ……….7

2.1. Doğrudan Analitik Devam ……….7

2.2. Weierstrass Anlamında Analitik Devam ………..10

2.3. Yol Boyunca Analitik Devam ………..15

3. TOPOLOJİK UZAYLAR VE DEMET TEORİSİ ……..………. 27

3.1. Topolojik Uzaylar ve Komşuluk Sistemleri ………. 27

3.2. Bir Açık Küme Üzerindeki Analitik Fonksiyonların Çekirdeklerinin Demeti………...34

Kaynaklar ……….... 42

Teşekkür ……….. 43

Özgeçmiş ………. 44

ŞEKİLLER DİZİNİ

Sayfa

Şekil 2.1 ………7

Şekil 2.2 ………9

Şekil 2.3 ………9

Şekil 2.4 ………9

Şekil 2.5 ………...10

Şekil 2.6 ………...10

Şekil 2.7 …….………..12

Şekil 2.8 …….……….……….12

Şekil 2.9 ……….……….……….12

Şekil 2.10 ……….………13

Şekil 2.11 ……….13

Şekil 2.12 ………16

Şekil 2.13 ……….16

Şekil 2.14 ……….18

1. GİRİŞ

Bu bölümde, sonraki bölümlerde sıkça kullanılacak olan bazı temel tanım ve teoremler verilecektir.

1.1. Temel Tanım ve Teoremler

1.1.1. Tanım. Düzlemsel bir A kümesi ayrık açık iki kümenin birleşimi şeklinde yazılamıyorsa A kümesine bağlantılıdır denir.

1.1.2. Tanım. Kompleks düzlemde açık ve bağlantılı bir kümeye bölge denir.

Eğer bir bölgenin tümleyeni açık ve bağlantılı ise bu bölgeye basit bağlantılı bölge denir.

1.1.3. Tanım. Kompleks düzleminin kapalı ve sınırlı bir alt kümesine kompakt küme denir.

1.1.4. Tanım. A⊂C kümesini bulunduran kapalı kümelerin en küçüğüne A nın kapanışı denir ve A ile gösterilir. A nın bulundurduğu en büyük açık kümeye de A nın içi denir ve A⁰ ile gösterilir. A kümesinin sınırı ise ∂A=A−A⁰ biçiminde tanımlanır.

1.1.5. Tanım. a≤t≤b aralığının z=ϕ(t) sürekli fonksiyonu altındaki resmine C de bir yay (eğri) denir. Eğer yay sonlu uzunluğa sahip ise bu yaya doğrultulabilir yay, eğer yay kendini kesmiyorsa yaya Jordan yayı denir. Uç noktaları bitişik bir yaya kapalı eğri, sadece uç noktalarında kesişen eğriye de basit kapalı eğri veya kapalı Jordan eğrisi denir. Jordan eğrisinin içine bir Jordan bölgesi denir.

1.1.6 Tanım. f bir G bölgesinde kompleks değişkenli bir fonksiyon ve z₀∈ G olsun. Eğer

0 0) ( ) lim (

0 z z

z f z f

z

z −

−

→

limiti mevcut ise f ye noktasında diferansiyellenebilirdir denir. Limit değerine de f nin noktasındaki türevi adı verilir. f nin noktasındaki türevi ile gösterilir.

Eğer f fonksiyonu noktasının belli bir açık komşuluğundaki bütün noktalarda differansiyellenebiliyorsa f ye da analitiktir denir.

z0

z0 z₀ f ′(z₀)

z0

z0

1.1.7. Teorem. f bir z₀∈C noktasında differansiyellenebiliyorsa bu noktada her mertebeden türevlere sahiptir ve f merkezli açık bir dairede yakınsak olan z₀

∑

=

0

0) ( )

(z a_n z z ⁿ

f ; a_n = fⁿ(z₀)/n! Taylor Serisi biçiminde tek türlü yazılabilir.

1.1.8. Teorem. f ve g bir G bölgesinde analitik iki fonksiyon olsun. Eğer G de yakınsak bir ( ) dizisi için z_n f(z_n)=g(z_n) ise bu takdirde G de f ≡g dir.

Bu teoremden ‘‘ f fonksiyonu bir noktasında analitik, z₀ z_n →z₀ ve f(z_n)=0 ise bu takdirde f ≡0 dır.’’ sonucu çıkarılabilir.

1.1.9. Teorem. Bir bölgesinde bir analitik fonksiyonun sıfır yerleri G de olmamak şartıyla ayrıktırlar.

⊂C G

≡0 f

1.1.10. Teorem. (Analitik fonksiyonlar için özdeşlik teoremi). ve fonksiyonları bir bölgesinde analitik ve en az bir yığılma noktası bulunduran bir

kümesinde ise bu taktirde her

f g

⊂C G G

A⊂ f = g z∈ için G f(z)= g(z)dir.

1.1.11. Teorem. (Morera Teoremi). w= f(z) fonksiyonu basit bağlantılı bir G bölgesinde sürekli ve bu bölgede bulunan her basit kapalı γ eğrisi için

∫

γ

0 ) ( dzz f

ise bu taktirde f G de analitiktir.

1.1.12. Teorem. (Schwartz Lemması). f, G açık birim dairesinde f(0)=0 ve özelliğinde analitik bir fonksiyon olsun. Bu takdirde G de

1

| ) (

| f z < | f′(0)|≤1 ve

dir. Eşitlik fonksiyonu için geçerlidir.

|

|

| ) (

| f z ≤ z f(z)=e^iθz

1.1.13. Teorem. (Argüment Prensibi). f, doğrultulabilir bir γ Jordan eğrisi ile sınırlanmış bir G bölgesinin içinde analitik, kapanışında sürekli ve γ üzerinde olsun. Bu takdirde f nin G deki sıfırlarının sayısı (katlı kökler katlılığı kadar sayılmak üzere), z

0 ) (z ≠ f

γ üzerinde pozitif yönde haraket ederken, nin argümentinin

) (z f )

2 /(

1 π katına eşittir.

Başka bir deyişle argüment prensibi; f nin γ içindeki sıfırlarının sayısı f(γ) görüntü eğrisinin orijin etrafındaki sarma sayısına eşittir.

1.1.14 Tanım. G bölgesinde analitik bir f fonksiyonu aynı değeri iki kere almıyorsa, başka bir deyişle f, G yi bir bölge üzerine bire-bir olarak resmediyorsa f ye G de ünivalenttir ( yalınkat) denir.

Ünivalent fonksiyonlar teorisinde önemli bir sonuç ünivalentliğin düzgün yakınsaklık altında korunmuş olmasıdır.

1.1.15 Teorem. ( ), bir G bölgesinde analitik ve yalınkat fonksiyonların bir dizisi ve G nin her bir kompakt alt kümesinde düzgün olarak olsun. Bu takdirde f de G de yalınkattır veya sabittir.

fn

) ( )

(z f z f_n →

1.1.16. Tanım. Bir G bölgesinde iki γ₀,γ₁ :[0,1]→G kapalı doğrultulabilir eğri verilsin. Eğer bu iki eğri

⎩⎨

⎧

≤

≤

= Γ

= Γ

≤

≤ Γ

= Γ

) 1 0

( ) ( ) 1 , ( ve ) ( ) 0 , (

) 1 0

( ) , 1 ( ) , 0 (

1

0 s s s s

s

t t

t

γ γ

şartını sağlayacak şekilde bir Γ:[0,1]x[0,1]→G sürekli fonksiyonu varsa bu taktirde γ0 eğrisine γ₁ eğrisine homotopiktir denir.

1.2. Dönüşüm Özelikleri

1.2.1. Teorem (Ters Dönüşüm Teoremi). G kompleks düzlemde bir bölge ve analitik ünivalent bir fonksiyon olsun. Bu takdirde ters fonksiyonu analitiktir.

→C G

f : f ^-1: f(G)→G

Ters dönüşüm teoremi kullanılarak aşağıdaki önemli sonuç elde edilebilir.

1.2.2. Teorem. f bir bölgede analitik ve bölgenin bir noktasında z₀ f′ z( ₀)≠0 ise bu takdirde f, ın uygun bir komşuluğunda yerel olarak ünivalenttir. Tersine f, da yerel olarak ünivalent ise

z0 z₀

0 ) ( ₀ ≠

′ z

f dır.

Analitik dönüşümler için, J_f ≠0 olması yerel ünivalentlik için gerek şart olup yeter şart değildir. Yeter şart f nin harmonik olması durumunda geçerlidir.

1.2.3. Teorem. γ doğrultulabilir bir yay ve f, γ üzerinde analitikse Γ= f(γ) yayının uzunluğu

∫

γ

|

||

) (

| f z dz

dir.

Eğer γ , )z₀ =ϕ(t₀ ve f′ z( ₀)≠0 özelliğinde z=ϕ(t) parametrik ifadesi ile verilen düzgün bir eğri ise bu takdirde Γ= f(γ) eğrisinin da ki teğet vektörü

) ( ₀

0 f z

w = )

( arg ) ( arg )}

( ) (

arg{f′ z₀ ϕ′ t₀ = f′ z₀ + ϕ′ t₀ eğimine sahiptir. Başka bir deyişle f dönüşümü γ eğrisini z₀ noktasında arg f ′(z₀) açısı kadar döndürür. Özellikle noktasından geçen iki yay arasındaki açı,

z0

0 ) ( ₀ ≠

′ z

f olması durumunda herhangi f analitik dönüşümü altında korunmuştur. Bu yüzden analitik ünivalent bir dönüşüm konform dönüşüm olarak bilinir.

1.2.4. Teorem (Rieamann Dönüşüm Teoremi). G, C nin basit bağlantılı öz alt kümesi ve z₀∈G noktası verilmiş olsun. Bu takdirde f(z₀)=0, f′(z₀)>0 özelliğinde G yi birim daire üzerine konform olarak dönüştüren bir tek fonksiyonu vardır.

f

1.3. Metrik Uzaylar

1.3.1. Tanım. X boş olmayan herhangi bir kümesi ve fonksiyonu verilsin. Eğer her için

→R XxX d : X

z y x, , ∈ a) d(x,y)>0

b) d(x,y)= 0 ⇔ x= y c) d(x,y)=d(y,x)

d) d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z)

aksiyomları sağlanıyorsa d fonksiyonuna X de bir metrik ve ikilisine bir metrik uzay denir.

) , (X d

1.3.2 Tanım. (X,d) bir metrik uzay ve D⊂ X olsun. Her x∈ için D D

x

B( ,ε)⊂ olacak şekilde bir ε >0 sayısı varsa D ye açık küme denir.

1.3.3. Tanım. Bir X kümesi verilsin. P(X) = { A:A⊂ X } kümesine X in kuvvet kümesi denir.

1.3.4. Teorem. (X,d)bir metrik uzay olsun. Bu taktirde a) X,φ açıktırlar.

b) açık kümeler ise bu taktirde D ,...,₁ D_n

I

k Dk

=1

c) I indeks kümesi olmak üzere her i∈ için açık küme ise bu taktirde I açık kümedir.

Di

U_I

i Di

∈

Teorem 1.3.4’ e De Morgan kuralı uygulanırsa aşağıdaki sonuç elde edilir.

1.3.5. Teorem. (X,d) bir metrik uzay olsun. Bu taktirde a) X,φ kapalı kümelerdir.

b) X in kapalı alt kümeleri ise bu taktirde D ,...,₁ D_n

I

i Di

=1

c) I indeks kümesi olmak üzere her i∈ için kapalı küme ise bu taktirde I kapalı kümedir.

Di

I

∈

2. ANALİTİK DEVAM

2. 1. Doğrudan Analitik Devam

Bir analitik fonksiyonun tanım bölgesinin daha büyük bir bölgeye genişletme işlemi çoğunlukla analitik devam olarak bilinir. Kısaca analitik devam, bir fonksiyonun analitiklik bölgesinin genişletilmesi yöntemidir. Bu yöntem, G bölgesinde analitik bir fonksiyonunun hangi şartlarda daha geniş bir bölgede analitik olan fonksiyonuyla ifade edilebileceğini gösterir.

f g

Örneğin; |z|<1 için f(z)=

∑

analitik devamla fonksiyonuna ulaşılabileceğini gösterir.

f g

2.1.1. Tanım. fonksiyonu kompleks düzlemdeki bir G bölgesinde analitik ise çiftine bir fonksiyon elemanı denir.

f )

, (f G

Buna göre ve fonksiyon elemanlarının eşit olması için gerek ve yeter şart

) ,

(f G (g,D) g

f = ve olmasıdır. İki fonksiyon elemanının eşit olması durumu

= ile gösterilir.

D G= )

,

(f G (g,D)

Herhangi bir fonksiyon elemanı verilsin. Eğer (f,G) a) R =G∩D ≠φ

b) Her z∈R için veya en azından R de bir yığılma noktasına sahip R nin sonsuz elemanlı bir alt kümesi üzerinde f(z)=g(z) ise fonksiyon elemanına

in doğrudan analitik devamı denir. Bu durumda, özdeşlik prensibi gereği her )

, (g D )

, (f G

R

z∈ için f(z)=g(z) dir.

Aynı şekilde f ile g nin rolleri değiştirildiğinde nin de nin doğrudan analitik devamı olduğu görülür. (Şekil 2.1)

) ,

(f G (g,D)

Şekil 2.1

G D R

G

D⊂ ve , nin ye kısıtlanması olsun. Bu taktirde fonksiyon elemanının nin doğrudan analitik devamı olduğu açıktır. Böyle bir analitik devama aşikar analitik devam denir.

g f D ( Dg, )

) , ( Gf

2.1.2. Teorem. Eğer ve , nin iki doğrudan analitik devamı ise bu taktirde dir.

) ,

(g₁ D (g₂,D) ( Gf, )

2

1 g

g =

İspat. Varsayım gereği her z∈G∩D için f(z)=g₁(z) ve dir.

Böylece her için

) ( )

(z g₂ z f = D

G

z∈ ∩ g₁(z)=g₂(z) olur. Analitik fonksiyonlar için özdeşlik teoremi (Teorem 1.1.10) gereği her z∈ için D g₁(z)=g₂(z) elde edilir.

Böylece, g₁, D de R = G∩ D deki nin değerleriyle tam olarak belirlenir.

Tersine fonksiyonu da de in

f

f G g₁ R deki değerleriyle tam olarak belirlenir. Bundan dolayıdır ki genellikle nin ve in birbirlerinin analitik devamları oldukları söylenebilir. O halde ve fonksiyonları, de

f g₁

f g₁ G∪D

⎩⎨

⎧

∈

= ∈

için :

) (

için :

) ) (

( g z z D

G z z z f

F

biçiminde tanımlanan bir analitik fonksiyonunun kısmi veya yerel temsili olarak görülebilir. Ayrıca nin, G den daha büyük bir bölgesine nin bir analitik devamı olduğu söylenebilir. Benzer şekilde , G den ye in bir analitik devamı gibi düşünülebilir.

) (z F ) (z

F G∪D f

) (z

F G∪D g₁

2.1.3. Teorem. , nin ve de nin doğrudan analitik devamı ve

) ,

(g D (f,G) (h,B) (g,D) φ

≠

∩ B

G olsun. Bu taktirde (G∩D)∩B ≠φ ise G∩B de f(z)=h(z) dir. (Şekil 2.2)

İspat: Analitik fonksiyonlar için özdeşlik teoremi gereği (G∩ )D ∩B⊂G∩B bölgesinde f(z)=g(z) =h(z) dir.

Uyarı: Eğer (G∩D)∩B=_φ ise bu teorem doğru değildir (Şekil 2.3). Çünkü

de ve

D

G∩ f(z)=g(z) D∩ de B g(z)=h(z) olmasına rağmen G∩B de dir. Bu durum aşağıdaki örnekte açıkça görülecektir. Böyle bir durumda )

( ) (z h z

f ≠

) (z

f ve h(z) fonksiyonları G∩B de en azından iki değerli olan çok değerli fonksiyonunun dalları olarak göz önüne alınabilir.

) (z F

G D

G D B B

Şekil 2.2 Şekil 2.3

Örnek: G = {z:|z−e^iπ/6 |<1}, D= {z: |z−e^5iπ/6 |<1}, B = {z:|z+ i|<1} ve bu bölgelere logz fonksiyonunun kısıtlamaları

| 1

| ln log

)

(z z z iθ

f = _G = + ; −π <θ₁ ≤π g(z)=logz _D =ln|z|+iθ₂ ;

2 3

2 ²

θ π π < ≤

−

| 3

| ln log

)

(z z z iθ

h = _B = + ; −π <θ₃ ≤π

olsun. f ve g, bölgesinde aynı değerleri aldıklarından ) nin doğrudan analitik devamıdır. Ayrıca

D

G∩ ( Dg, ) ( Gf,

B

D∩ üzerinde g ve fonksiyonları eşit olduğundan de nin doğrudan analitik devamıdır. Ancak ve ,

h )

,

( Bh ( Dg, ) f h G∩B

de aynı değerleri almaz. Örneğin, [OA] doğru parçasının orta noktası olan noktasında z₀ )

6 / ( ) 2 / 1 ln(

)

(z₀ = +i −π

f olmasına rağmen )h(z₀)=ln(1/2)+i (11π/6 dır.

D y G

6 5iπ

e ⁶

π i

e

O z0 x

-i A

B

Şekil 2.4

Temel problem şudur: Verilen bir fonksiyon elemanı için diğer fonksiyon elemanları nasıl bulunabilir? Bunun için çok kullanılan analitik devam metotları vardır. Aşağıda bu metotlardan bazıları verilecektir.

) , (f D

2.2. Weierstrass Anlamında Analitik Devam

Bu anlamda analitik devam Taylor açılımının tekrarlı kullanımı esasına dayanır.

bir bölgesinde analitik bir fonksiyon ve )

(z

f G z₀ ∈G olsun. fonksiyonunun

civarındaki seri açılımı

) (z f

z0

∑

=

−

=

0

0

0( ) ( )

n

n

n z z

a z

f |z−z₀ |<r (2.1) dır. Eğer bu serisinin yakınsaklık yarıçapı sonsuz ise bu taktirde , nin tüm sonlu kompleks düzleme analitik devamını gösterir. Eğer yakınsaklık yarıçapı sonlu ise bu taktirde , (2.1) serinin yakınsaklık çemberi ve , ın içi olmak üzere iki durum söz konusudur.

)

0(z

f f(z)

C0 D₀ C₀

1) D₀ ın bir kısmı nin dışına genişler yani GG ′ , nin tümleyeni olmak üzere G φ

≠

0 ∩ 'G

D dır (Şekil 2.5).

2) z₀ ∈G nasıl seçilirse seçilsin D₀ ⊂G dir (Şekil 2.6).

Birinci durumda (2.1) serisi nin bölgesine ilk analitik devamını verir. dan farklı noktasını seçerek (2.1) yardımıyla , ,

) (z

f D₀ ∩G^'

z0 z₁∈D₀ f₀(z₁) f ′₀(z₁) f ′′₀(z₁),

… değerleri hesaplanabilir. Bu değerler yardımıyla Taylor açılımı kullanılarak z−z₁ in kuvvet serisi olan

∑

=

−

=

0

1

1( ) ( )

n

n

n z z

b z

f

ifadesi elde edilir.

z0’

∂G

D0 z0 G G

C1

C0 z1

D1 z0

D0

Şekil 2.5 Şekil 2.6

Ayrıca b_n katsayıları aşağıdaki gibi de hesaplanabilir. {ζ_m}, e yakınsayan daki noktaların bir dizisi olmak üzere

z1

D0

) ( ₁

0

0 f z

b = ,

1 0 0

1

) lim (

z b b f

m m

m −

= −

∞

→ ζ

ζ

dir. Genel olarak

n m

m m n m

m n m

z

z b

z b

b b f

) (

) (

...

) (

) lim (

1

1 1 1

1 1

0 0

−

−

−

−

−

−

= − ^{− −}

∞

→ ζ

ζ ζ

ζ

dir.

Bundan başka aşağıdaki gibi de hesaplanabilir:

∑

∑

=

∞

=

− +

−

=

−

0 ( 0) 0 ( 1 1 0)

n n

n n

n

n z z a z z z z

a

∑ ∑

=

∞ −

=

−

⎟⎟ −

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⁿ ⎛

k

k k

n

n n z z z z

k a n

0 1 0 1

0

) ( ) (

∑ ∑

=

∞

=

− −

⎭⎬

⎫

⎩⎨

⎧ ⎟⎟⎠ −

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

0

1 0

1 ) ( )

(

k

k k

n

k n

n z z z z

k

a n

∑

=

−

=

0 ( 1)

k

k

k z z

b

Elde edilen bu serinin yakınsaklık bölgesi |z−z₁ |+|z₁ −z₀ |<r dir.

2.2.1. Tanım. Bir fonksiyonun analitik devamla elde edilen mümkün en geniş bölgenin sınırına fonksiyonun doğal sınırı denir. Böyle bir sınır üzerinde fonksiyonun singüler noktalarının kümesi yoğundur.

(2.2) serisinin yakınsaklık çemberi ve bu çemberin içi olsun. Böylece aşağıdaki durumlardan biri ortaya çıkar.

C1 D₁

1) in bir kısmı nün dışına olduğu kadar nin dışına da genişler.

Bu taktirde in bu kısmında nin bir analitik devamıdır.

D1 D₀ ∩G^' G

)

1(z

f D₁ f(z)

2) in bir kısmı , nin içinde kalacak şekilde ın dışına genişler (Şekil 2.7). Bu taktirde in bu özellikte seçilmesiyle analitik devam elde edilmez.

D1 D₁ G D₀

z1

3) çemberi çemberine teğettir. Bu taktirde kesim noktası olan nin singüler noktası olmak zorundadır. Yani in üzerinde nin en azından bir singülaritesi olmalıdır ve bu singüler nokta ın içinde olamayacağından s ile çakışacaktır (Şekil 2.8). Bu durumda olur ki böyle bir analitik devam elde edilmiş olmaz.

C1 C₀ s f

C1 f

C0 0

1 D

D ⊂

4) C₁ çemberi C₀ çemberine z₁∈D₀ ın seçimine bağlı olmaksızın teğet olabilir. Şekil 2.9 da görüldüğü gibi ise , nin bir tek analitik devamıdır. fonksiyonun varlık bölgesi ve onun doğal sınırıdır.

D0

G⊂ f₀(z) f(z)

D0 C₀

İkinci durumda tüm olasılıklar için dışına devam yoktur (Şekil 2.6). , f(z) nin varlık bölgesidir ve doğal sınırıdır.

G G

∂G

C₁

D1 C1 D1

Şekil 2.7 Şekil 2.8

Örnek: G=D₀ ={z:|z|<1} da biçiminde tanımlı fonksiyonu göz önüne alalım.

...

...

1 )

( ²

0 z = +z+z + +zⁿ +

f

Şekil 2.9

(0,1) aralığında olmayan bir z₁∈D₀ noktası seçelim ve civarında fonksiyonunu fonksiyonuna genişletelim.

z1 f₀(z) )

1(z f

1 1

1 1

0 1

... 1 ...

1 )

(z z z z

f ⁿ

= − + + + +

= , ₂

1 1

1 1

1 '

0 (1 )

... 1 ...

2 1 )

(z z nz z

f ⁿ

= − + +

+ +

= ⁻ ,

3 1 2

1 1

1 ''

0 (1 )

! ... 2

) 1 ( ...

2 . 3 2 )

(z z n n z z

f ⁿ

= − +

− + + +

= ⁻ , …

olduğundan

z0 s z1

z0

z1

C₀ D0 R C₀ D0 R

C0

. z¹ .z_{0 G}

D0

....

) ) (

1 ( ... 1 ) ) (

1 (

1 1

) 1

( _{1 1}

1 2 1

1 1

1 − +

+ − +

− −

− +

= _n+ z z ⁿ

z z z z

z z

f (2.3)

elde edilir.

(2.3) serisi D₁ ={z |:z−z₁|<|1−z₁|} de yakınsak olup f₀(z) nin D₁ ∩D₀′ bölgesine ilk analitik devamını verir (Şekil 2.10).

0 1 D' D ∩ y

z1

1 x 0

D0

Şekil 2.10

Hem hem de f₀(z) f₁(z) fonksiyonları C −{1} de analitik olan fonksiyonunun yerel gösterimleridir. noktası (0,1) aralığında seçilirse yakınsaklık çemberi

) 1 /(

1 )

(z z

F = − z₁

=1

z singüler noktasında ∂ a teğettir ve içi D₀ ın içinde kalır. Böylece nin uygun analitik devamı elde edilemez.

D0

)

0(z f

Eğer a noktasından başlayıp ardışık analitik devamlarla b noktasına ulaşırsak de fonksiyonun aldığı değer ardışık analitik devamların seçiliş tarzından bağımsız olabilir de olmayabilir de. Örneğin; Şekil 2.11 deki durumda soldaki veya sağdaki çemberler zincirinin kullanılmasıyla b ye ulaşılabilir.

b

a .

z .0 .z^'1

'2

z _.

Şekil 2.11

. z1

. z2 z

..

'

4 ^z3'

b

değeri devamların meydana getiriliş tarzlarından bağımsız ise , de tek değerlidir aksi taktirde de çok değerlidir.

) (b

F F(z) b

b

Örnek: =

∑

1

) 2

( n

z n

z

f D(0,1)

γ yakınsaklık çemberi üzerindeki nin aykırı noktaları yoğun bir küme oluşturur. Bu nedenle de diskinin içindeki hiçbir noktadaki Taylor açılımının yakınsaklık diski in dışına taşmaz. nin

f )

1 , 0 ( D ) 1 , 0 (

D f z =±1 de aykırılıkları vardır. Ayrıca

, )

) (

)

(z z² z⁴ f z⁴

f = + +

( )

(z z² z⁴ z⁸ f z⁸

f = + + +

……….

biçiminde yazılabileceğinden eşitliklerinin kökleri nin aykırılıklarıdır ve tüm bu kökler

,...

1 , 1 ,

1 ^{4 8}

2 = z = z =

z f

} 1

| :|

{ =

= z z

γ de yoğun bir küme oluştururlar. Bu nedenle de |z|=1 üzerindeki en kısa yay üzerinde bile nin aykırılığı vardır. f

2.3. Yol Boyunca Analitik Devam

bir bölge olmak üzere

G G^* ={z:z∈G} olsun. Eğer f , G de analitik ise

*(z) f____(z)

f = olarak tanımlanan fonksiyonu da analitiktir. ise reel eksene göre simetrik bir bölgedir. Bu taktirde

→C

*

*:G

f G=G^* G

____( ) )

( )

(z f z f z

g = − fonksiyonu G de analitiktir. bağlantılı olduğundan reel eksenin açık bir alt aralığını kapsar. Her

için reel ise bu taktirde G

∩R

∈ G

x f(x) g(x)≡0 dır. Ancak her z∈ için G

____( ) )

(z f z

f = olacak şekilde G∩R, G içinde bir limit noktasına sahiptir.

f nin bu eşitliği sağlaması G∩{z:Im(z)≥0} üzerinde tanımlı bir fonksiyonun nin tamamına genişletilmesinde kullanılır.

G

Eğer G simetrik bölge ise (yani; G=G^* ) bu taktirde }

0 ) Im(

:

{ ∈ >

+ = z G z

G

} 0 ) Im(

:

{ ∈ <

− = z G z

G

} 0 ) Im(

:

0 ={z∈G z =

G bölgelerini tanımlayabiliriz.

2.3.1. Teorem ( Shwarz Yansıma Prensibi ). , özelliğinde bir bölge olsun. Eğer sürekli fonksiyonu üzerinde analitik ve

G G=G^* C

G G

f : ₊ ∪ ₀ → G₊ x∈G₀

için f(x)∈R ise bu taktirde z∈G₊ ∪G₀ için g(z)= f(z) olacak şekilde analitik fonksiyonu vardır.

→C G g :

İspat: z∈ G₋ için g(z)= f^____(z), z∈G₊∪G₀ için olsun.

fonksiyonunun sürekli olduğu açıktır. nin analitik olduğunu gösterelim.

) ( ) (z f z

g =

C G

g: → g

g , G₊ ∪ G₋ de analitiktir. O halde bir x₀ ∈G₀ ve için olsun.

Morera Teoremi kullanılarak nin de analitik olduğunu göstereceğiz.

, de bir üçgen olsun.

>0

R B(x₀,R)⊂G g B(x₀,R)

] , , , [a b c a

T = B(x₀,R)

∫

olduğunu göstermek yeterlidir.

P

G0

G₊ ∪ G₋ ∪G₀

=0

∫

a G₊

G0

b c

G-

Şekil 2.12

Şimdi ve olması durumunu inceleyelim. Diğer

durumların ispatı benzer olarak yapılabilir.

G0

G

T ⊂ ₊ ∪ [a,b]⊂G₀

∆, T ve T nin içini göstersin. Bu taktirde her z∈∆ için dir.

Hipotez gereği , da sürekli olduğundan ,

) ( ) (z f z

g =

f G₊ ∪G₀ f ∆ üzerinde düzgün süreklidir. O halde herhangi bir ε >0 verildiğinde |z− |'z <δ şartını sağlayan bütün z,z'∈∆ noktaları için | f(z)− f(z')|<ε olacak şekilde bir δ >0 sayısı vardır. α,β noktalarını sırasıyla [c,a] ve [b,c] doğru parçaları üzerinde |α − |a <δ ve |β − |b <δ eşitsizliklerini sağlayacak şekilde seçelim. T₁ =[α,β,c,α] ve Q=[a,b,β,α,a] diyelim. Bu taktirde

∫

∫

∫

Q

T T

f f f

1

olur. Ancak ve in içi, tarafından kapsanmış olup burada analitiktir.

Böylece

T1 T₁ G₊ f

∫

∫

Q T

f f

c

G+

α β

G₀

a b

Şekil 2.13

Eğer 0≤ t ≤1 ise bu taktirde her ε >0 için

ε α

β+(1− ) )− ( +(1− ) ) <

(t t f tb t a

f

olacak şekilde

[

] [

]

dir.

Eğer }M =max{| f(z)|:z∈∆ ve , l T nin sınırı olarak alınırsa

[ ]

∫

∫

α β, ,

f f

b a

= ⁻

∫

∫

0

1 0

) ) 1 ( ( ) ( ) ) 1 ( ( )

(b a f tb t a dt β α f tβ t α dt (2.5)

[ ]

∫

−

≤ ¹

0

) ) 1 ( ( ) ) 1 (

(tb t a f t t dt

f a

b β α

+ ^{− − −}

∫

0

) ) 1 ( ( ) ( )

(b a β α f tβ t α dt

) ( )

(b a

M a

b− + − + −

≤ε β α ≤ε.l 2+ Mδ

Olur. Ayrıca

[ ]

δ α

α

M a

M f

a

≤

−

∫

,

ve

[ ]

δ

β

M f

b

∫

,

eşitsizlikleri (2.4) ve (2.5) ile düşünülürse

δ εl M f

T

4 . +

∫

elde edilir. δ < olarak seçilir ve ε ε nun keyfi olduğu göz önüne alınırsa

=0

∫

f dır.

olur. Böylece Morera teoremi gereği analitiktir. f

2.3.2. Tanım. Bir ( Gf, ) fonksiyon elemanı verilsin. a∈ olmak üzere D a nın bir komşuluğundaki her z için f(z)=g(z) olacak şekilde bütün fonksiyon elemanlarının oluşturduğu sınıfa nin daki çekirdeği denir ve ile gösterilir.

) , ( Dg

f a [f ]_a

Dikkat edilirse bir fonksiyon elemanı olmayıp fonksiyon elemanlarının bir sınıfıdır. “ olması için gerek ve yeter şart olmasıdır.”

Önermesinin doğruluğu açıktır. Ayrıca f ]a

[ f a

D g, ) [ ]

( ∈ (f,G)∈[g]_a

b

a≠ iken [ ve çekirdeklerinin eşitliğinden bahsetmenin bir anlamı yoktur. Örneğin; bir fonksiyon elemanı ise bu taktirde farklı noktaları için

f ]a [g]_b )

, ( Gf G

b

a, ∈ [f]_a =[f]_b olduğunu söylemek anlamsızdır.

2.3.3. Tanım. γ :[0,1]→C yolu verilsin. Her t∈[0,1] için fonksiyon elemanı aşağıdaki şartları sağlasın.

) , (f_t D_t

(a) γ(t)∈D_t

(b) Her t∈[0,1] için |s− |t <δ olacak şekilde δ >0 sayısı varsa γ(s)∈D_t ve

) ( )

( [ ]

]

[f_{s γ s} = f_{t γ s} (2.6)

dır. Bu taktirde (f₁,D₁)’e γ eğrisi boyunca ın bir analitik devamı denir. Başka bir deyişle

) , (f₀ D₀ )

,

(f₁ D₁ γ boyunca analitik devamla fonksiyon elemanından elde edilir.

) , (f₀ D₀

D s

) 1

γ ( )

γ (tγ ^(s)

) 0

γ ( D ^t

Şekil 2.14

Dikkat edilirse tanımdaki kümeleri devamı bozmayacak şekilde genişletilebilir veya daraltılabilir. Bu durum aşağıdaki ispatlarda kullanışlı olacaktır.

Dt

Bu tanımın (b) kısmının anlamı γ sürekli bir fonksiyon olduğundan ve γ(t), açık kümesinin içinde kaldığından

Dt

δ

<

− |

|s t için γ(s)∈D_t olacak şekilde bir δ >0 sayısının var olmasıdır. (b) nin önemli bir özelliği de |s− |t <δ olduğu her durumda (2.6) eşitliğinin sağlanmasıdır. Yani |s− |t <δ özelliğindeki her ve s t için ve γ(s) yi bulunduran D_s ∩D_t kümesindeki her için z f_s(z)= f_t(z) dir.

Bir eğri ve bir fonksiyon elemanı verildiğinde eğri boyunca analitik devamın var olup olmadığı sorusu zor bir soru olabilir. Bunun için henüz bir genelleme yapılamamıştır. Verilen bir eğri ve verilen bir fonksiyon elemanı için eğri boyunca analitik devamın olup olmadığı sorusuna cevap vermek zordur. Aşağıda sorunun cevapları aranacaktır. Monodromy Teoremi bunlardan biridir. Bu teorem bize ne zaman iki noktayı birleştiren farklı eğriler boyunca analitik, aynı fonksiyon elemanını verdiğini ifade edecektir.

Aşağıdaki önerme aynı fonksiyon elemanından başlayarak verilen bir eğri boyunca iki analitik devamın sonunda aynı fonksiyon elemanını verdiğini ifade eder.

Böylece “Bir eğri boyunca bir çekirdeğin devamı” kavramını tanımlamak mümkün müdür, sorusuna bir cevap verilmiş olacaktır.

2.3.4. Teorem. a dan ye bir b γ :[0,1]→C yolu verilsin. {(f_t,D_t):0≤ t≤1} ve , {(g_t,B_t):0≤ t ≤1} [f₀]_a =[g₀]_a olacak şekilde γ boyunca analitik devamlar olsun. Bu taktirde [f₁]_a =[g₁]_a dir.

İspat: Teoremi ispat etmek için

} ] [ ] [ : ] 1 , 0 [

{t f_{t (t)} g_{t (t)}

T = ∈ _γ = _γ

kümesinin [0,1] da hem açık hem kapalı olduğunu göstermeliyiz. T ≠φ olduğundan (0∈T) T =[0,1] özellikle 1∈T dir.

Önce T nin açık olduğunu gösterelim. t≠0 veya 1 olmak üzere belli t∈ T alalım. ( t =1 ise olup ispat tamamlanmış olur. t = 0 ise verilen hakkındaki tartışma aynı zamanda bazı

] 1 , 0

=[ T

>0

δ için [a,a+ )δ ⊂T olacağını gösterecektir.) Analitik devamın tanımından |s− |t <δ için γ(s)∈D_t ∩B_t ve

[ ] [ ]

[ ] [ ]

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

=

) ( )

(

) ( )

(

t s s s

t s s s

g g

f f

γ γ

γ

γ (2.7)

olacak biçimde bir δ >0 sayısı vardır. H , γ(s) ve γ(t) yi bulunduran D_t ∩B_t kümesinin bağlantılı bir alt kümesi olsun. Ancak t∈ olduğundan her T z∈H için

. Böylece her )

( )

(z g z

f_t = _t γ(s)∈D_t ∩B_t için [f_t]_γ(s) =[g_t]_γ(s) dir. (2.7) gereği

<δ

− |

|s t özeliğindeki her s ve t için [f_s]_γ(s) =[g_t]_γ(s) olduğu görülür. Yani T

t

t− , + )⊂

( δ δ olup T açıktır.

T nin kapalı olduğunu görmek için t yi T nin bir limit noktası olarak alalım.

>0

δ sayısını γ(s)∈D_t ∩B_t ve |s− |t <δ özeliğindeki her ve için (2.7) bağıntısı sağlanacak şekilde yeniden seçelim. , T nin limit noktası olduğundan

s t

t |s− |t <δ

özelliğinde bir s∈T noktası vardır. G, γ s,t s G D_t B_t özelliğinde bir bölge ve γ(s)∈G olsun. T nin tanımı gereği her z∈ için G dir. Ancak her için (2.7) den

) ( )

(z g z f_s = _s G

z∈ f_s(z) f (z) ve g_s(z)=g_t(z) dir. Böylece her z∈ için G ve G de bir limit noktasına sahip olduğundan

) ( )

(z g z

f_t = _t D_t ∩B_t [f_t]_γ(t) =[g_t]_γ(t)

dır. Yani t∈T dir. Böylece T kapalıdır.

t− + ))⊆ ⊆ ∩ ((

= t

2.3.5. Tanım. γ :[0,1]→C dan ye bir yol ve a b {(f_t,D_t):0≤ t≤1}, γ boyunca bir analitik devam ise bu taktirde [f ]_{1 b} çekirdeğine [f ]_{0 a} nın γ boyunca analitik devamıdır denir.

Teorem 2.3.4, Tanım 2.3.5 ün anlamlı olmasını gerektirir. Tanım 2.3.5 in devamının seçimine bağlı olduğu görülür. Bununla birlikte Teorem 2.3.4

özelliğinde )}

, {(f_t D_t

)}

,

{(g_t B_t [f₀]_a =[g₀]_a γ boyunca bir başka analitik devam ise olduğunu ifade eder. Bu yüzden tanım devamın seçimine bağlı değildir.

b

b g

f ] [ ] [ ₁ = ₁

2.3.6. Tanım. [g]_b, γ :[0,1]→C boyunca nın analitik devamı olacak şekilde G de bir a noktası ve dan ye bir

f ]a

[

a b γ :[0,1]→C yolu olsun. Eğer bir fonksiyon elemanı ise bu taktirde den elde edilen tam analitik fonksiyona tüm

çekirdeklerinin bir ailesidir denir.

) , ( Gf )

, ( Gf g]b

[

Eğer ℑ den elde edilen tam analitik fonksiyon olacak şekilde bir fonksiyon elemanı varsa çekirdeklerin

) ,

( Gf ( Gf, )

ℑ sınıfına bir tam analitik fonksiyon denir.

Dikkat edilirse tanımda geçen a noktası keyfidir. , C nin basit bağlantılı alt kümesi olduğundan de herhangi bir nokta olarak seçilebilir. Üstelik ℑ , ile oluşturulan tam analitik fonksiyon ise bu taktirde her

G

a G ( Gf, )

G

z∈ için [f ]_z∈ℑ dir.

Tam analitik fonksiyonun tanımında herhangi bir belirsizlik olmamasına rağmen bir eksiklik vardır. Bu bir fonksiyon mudur? Fonksiyon olmayan bir nesneyi fonksiyon olarak isimlendirmekten sakınmalıyız. Ancak ℑ bir fonksiyondur. Şimdi bunu gösterelim: Önce için bir tanım kümesi belirleyelim. Bu küme ℑ

} ] [ : ) ] [ ,

{( ∈ℑ

=

ℜ z f _z f _z

olsun. ℑ :ℜ→C ve ℑ(z,[f]_z)= f(z) biçiminde tanımlansın. Böylece , ℑ ℑ deki bir çekirdeğe ait olan her bir fonksiyon elemanının davranışını gösterir.

a, iki kompleks sayı olmak üzere b γ ve σ, dan b ye iki yol olsun.

ve sırasıyla

a )}

,

{(f_t D_t {(g_t,B_t)} γ ve σ boyunca analitik devamlar olduklarını ve olduğunu kabul edelim. Bu taktirde

a

a g

f ] [ ]

[ ₀ = ₀ [f₁]_b =[g₁]_b midir? Eğer γ ve σ aynı yollar ise bu taktirde Teorem 2.3.4 bunun doğru olduğunu gösterir. Bununla birlikte γ ve σ farklı iki yol ise cevap hayır olabilir. Cevabın olumlu olması durumunu bize Monodromy Teoremi söyleyecektir. Monodromy Teoreminin ispatı için ilk adım bir eğri boyunca bir analitik devamın yakınsaklık yarıçapının davranışlarını araştırmaktır.

2.3.7. Yardımcı Teorem. γ :[0,1]→C bir yol ve {(f_t,D_t):0≤ t≤1}, γ boyunca bir analitik devam olsun. 0≤ t ≤1 için R(t), f_t nin z=γ(t) civarındaki seri açılımının yakınsaklık yarıçapı olsun. Bu taktirde ya R(t)≡∞ yada R:[0,1]→(0,∞) süreklidir.

İspat: Bazı değerleri için t R(t)=∞ ise bu taktirde yi bir tam fonksiyona genişletmek mümkündür. Buradan her

ft

] 1 , 0

∈[

s için R(s)=∞ olacak şekilde bütün ler için yani

Ds

z∈ f_s(z)= f_t(z) R(s)≡∞olduğu görülür. Her t∈[0,1] için R(t)<∞ olduğunu kabul edelim. Belli t∈[0,1] ve τ =γ(t) olsun. Üstelik

∑

=

−

=

0

) ( )

(

n

n n

t z z

f τ τ

nin f_t τ civarındaki seri açılımı olsun. |s− t|<δ₁ özelliğindeki tüm ve ler için s t ))

( , ( )

(s D_t Bτ R t

γ ∈ ∩ ve [f_s]_{γ( )s} =[f_t]_{γ( )s} olacak şekilde δ₁ >0 sayısını seçelim.

| 1

|s− t <δ özelliğinde belli için s σ =γ(s) olsun. Bu durumda , f_t B(τ,R(t)) üzerinde bir analitik fonksiyona genişletilebilir. f_s, σ nın bir komşuluğunda ile aynı özelliklere sahip olduğundan ,

ft

fs B(τ,R(t))∪D_s üzerinde de analitik olacak şekilde genişletilebilir. Eğer f_s, z=σ civarında

∑

=

−

=

0

) (

n

n n

s z

f σ σ

biçiminde bir kuvvet serisi açılımına sahip ise bu taktirde R(s) yakınsaklık yarıçapı en azından σ nın |z−τ|=R(t) çemberine uzaklığı kadar büyük olmalıdır yani

≥ ) (s

R R(t)−|τ −σ |=d(σ,{z |:z−τ |= R(t)}) dir. Ancak bu

) ( ) ( ) ( )

(t R s t s

R − ≤ γ −γ

olduğunu gösterir. Benzer bir tartışma ile

) ( ) ( ) ( )

(s R t t s

R − ≤ γ −γ

olduğu görülür. Böylece |s− t|<δ₁ için

| ) ( ) (

|

| ) ( ) (

|R s −R t ≤ γ t −γ s

dir. γ :[0,1]→C sürekli olduğundan R , de sürekli olmalıdır. t