NKUBAP.01.DS.17.086 nolu proje BİR HİPERGRUBUN ALTHİPERGRUPLARININ KAFES YAPISI
Yürütücü: Arş.Gör.Dr. Dilek BAYRAK 2017
i ÖNSÖZ
T.C. Namık Kemal Üniversitesi Bilimsel Araştırma Projeleri Birimi tarafından desteklenen “Bir Hipergrubun Althipergruplarının Kafes Yapısı” isimli, NKUBAP.01.DS.17.086 numaralı projemize ait sonuç raporudur.
ii ÖZET
Bir Hipergrubun Althipergruplarının Kafes Yapısı
Matematikte cebirsel yapıların belirlenmesi çok önemlidir. Günümüze kadar bu yapıları belirlemede pek çok yöntem uygulanmıştır. Bunlardan biriside cebirsel yapıların alt cebirsel yapıların (örneğin, monoidlerin alt monoidleri, grupların alt grupları, halkaların idealleri, modüllerin alt modülleri, vektör uzayların alt uzayları vb) kapsama bağıntısına göre kafes yapılarını incelenmesidir. Bu bağlamda gruplar teorisinin bir genellemesi olan hipergrupların althipergruplarının kafesinin incelenmesi hipergrubun yapısının belirlenmesi konusunda yardımcı olacaktır.
Bir hipergrubun alt hipergrupların kısmen sıralı kümesi genelde bir kafes belirtmez. Bu çalışmada, ilk olarak iki althipergrubun hiperçarpımlarının althipergrup olabilmesi için gerek yeter şart verilmiştir. Alt hypergrupların kapalı, tersinir, ultrakapalı ve konjugable sınıflarına ait özellikleri incelenmiştir. Bu sınıfların kapsama bağıntısına göre hangi şartlarda kafes olduğu araştırılmıştır. Tersinir althipergrupları kısmi sıralı kümesinin bir koşul altında kafes belirttiği ve dağılmalı olduğu gösterilmiştir. Değişmeli bir hipergrubun ultrakapalı ve konjugable althipergruplarının modüler kafes olduğu gösterilmiştir. Böylece alt hipergrupların kafesi yapıları incelenerek bu hipergrup hakkında bazı bilgiler elde edildi.
iii ABSTRACT
The Lattice Structure of Subhypergroups of a Hypergroup
In mathematics, determination of algebraic structures is very important. Many methods have been applied in determining these structures until today. One of them is investigating the lattice structure of substructures of algebraic structures (such as submonoids of a monoid, subgroups of a group, ideals of a ring, submodules of a module, subspaces of a vector space, etc.) according to the inclusion relation. In this context, an examination of the lattice of the subhypergroups of a hypergroup, a generalization of the group theory, will help to determine the hypergroup structure.
A partially ordered set of subhypergroups of a hypergroup usually does not specify a lattice. In this study, firstly, it has been given the necessary sufficent conditon to be subhypergroups that the hyperproduct of two subhypergroups. The properties of the closed, invertible, ultraclosed and conjugable subhypergroups classes have been examined. It has been investigated in which cases, the classes of the subhypergroups is a lattice according to the inclusion relation. It has been shown that a partial ordered set of invertible subhypergroups forms a distiributive lattice under certain conditions. Ultraclosed and conjugable subhypergroups of a commutative hypergroup has been shown to be a modular lattice. Thus some information about a hypergroup has been obtained by investigating the lattice of its subhypergroups.
iv
İÇİNDEKİLER
ÖZET…. ... ii
ABSTRACT…. ... iii
İÇİNDEKİLER ... iv
SİMGELER VE KISALTMALAR DİZİNİ ... v
1. GİRİŞ ... 1
2. GEREÇ ve YÖNTEM ... 2
2.1. Temel kavramlar ve Notasyon ... 2
2.2. Öncül Çalışmalar ... 5
2.3. Metodoloji ... 6
3. BULGULAR ... 7
3.1. Bir Hipergrubun Tersinir Althipergruplarının Kafesi ... 7
3.2. Bir Hipergrubun Ultrakapalı Althipergruplarının Kafesi ... 9
3.3. Bir Hipergrubun Conjugable Althipergruplarının Kafesi ... 10
4. TARTIŞMA ve SONUÇ ... 12
5. KAYNAKLAR ... 13
v SİMGELER VE KISALTMALAR DİZİNİ
ℝ Reel sayılar kümesi ℤ Tam sayılar kümesi
℘*(H) H kümesinin boştan farklı altkümeleri (H,∘) H hipergrubu
x y x ve y elemanlarının supremumu
x y x ve y elemanlarının infimumu Sub(H) H ın althipergruplarının kümesi
CSub(H) H ın kapalı althipergruplarının kümesi ISub(H) H ın tersinir althipergruplarının kümesi USub(H) H ın ultra kapalı althipergruplarının kümesi ConSub(H) H ın conjugable althipergruplarının kümesi IP Bir hipergrubun kısmi birimlerinin kümesi
1 1. GİRİŞ
Hipergrup kavramı, ilk olarak 1934 yılında “8th. Congress of Scveinavian Mathematicians” adlı konferansta F. Marty tarafından tanıtıldı ve bu çalışma cebirsel hiperyapıların çalışılmasına öncülük etti. Klasik cebirsel yapılarda iki elemanın bir işlem altındaki görüntüsü bir eleman oluyorken, cebirsel hiperyapılarda görüntü bir kümeye karşılık gelir. Böylelikle cebirsel hiperyapılar ile cebirsel yapıların uygun bir genellemesi elde edilmiş oldu.
Hiperyapılar üzerine yazılmış yüzlerce makale, çok sayıda kitap bulunmaktadır. ( Corsini,1993) tarafından hipergruplar üzerine yazılmış ‘‘Prolegomena of Hypergroup Theory’’ ve (Vougiouklis,1994) tarafından yazılan ‘‘Hyperstructures ve Their Representations’’ bunlara örnek olarak verilebilir. Üstelik cebirsel hiperyapılar teorisinin geometri, graflar, kafesler, fuzzy kümeler, kaba kümler, olasılık teorisi gibi diğer disiplinlerde uygulamaları mevcuttur. Bu konulardaki çeşitli örnekler ( Corsini ve Leoreanu, 2003) tarafından yazılan ‘‘Applications of Hyperstructure Theory’’ adlı kitapta mevcuttur.
Cebirin en önemli problemlerinden biri özel cebirsel yapıları, alt cebirsel yapılarının kafesi (örneğin, monoidlerin alt monoidleri, grupların alt grupları, halkaların idealleri, modüllerin alt modülleri, vektör uzayların alt uzayları,…vb.) yardımıyla elde etmektir.
Şimdiye kadar bu konuda çok sayıda önemli sonuçlara ulaşılmıştır (Lu ve Boynton, 2014), (Lukacs ve Palfy, 1986), (Schmidt,1994). Bir G grubunun altgruplar ve normal altgruplar tam kafeslerinin yapısı G grubunun hangi özel sınıfa ait olduğunu belirlemede önemli yer tutmaktadır.
Proje çalışmamızın temel odak noktası, bir hipergrubun althipergruplarının kısmen sıralı kümesinin ne zaman bir kafes oluşturduğudur. Hiperyapıların cebirsel yapıları çalışılmış olmasına rağmen, şimdiye kadar bu yapıların altcebirsel yapılarının kafesleri hakkında yeterli araştırma yapılmamıştır. (Tarnauceanu, 2010)’ nun çalışmasında belirttiği gibi çoğunlukla hipergrupların alt hipergruplarının kümesi kafes belirtse de alt hipergruplarının kümesi kafes olmayan hipergrup örnekleri mevcuttur.
Bir hipergrubun althipergruplarının kafesi hakkında yeterli bir çalışma bulunmamaktadır. Çalıştığımız proje ile literatürde ki eksik olan kısım tamamlanmaya çalışılmıştır. Elde edilen bu sonuçlar bilimsel bir dergiye gönderilmek üzere makale formatına dönüştürülmüştür.
2 2. GEREÇ ve YÖNTEM
(Tarnauceanu, 2010)’ nun çalışmasında belirttiği gibi çoğunlukla hipergrupların alt hipergruplarının kümesi kafes belirtse de alt hipergruplarının kümesi kafes olmayan hipergrup örnekleri mevcuttur. Bunun bir sebebi alt hipergruplar kümesinde kesişimin ikili işlem olmadığı durumların mevcut olmasıdır. Yani iki alt hipergrubun kesişimi alt hipergrup olmayabilir. Öncelikle özel alt hipergruplar seçilerek bu sorun ortadan kaldırılmaya çalışılmıştır. Klasik gruplarda iki altgrubun çarpımları ne zaman yine bir altgrubu olur sorusuna verilen cevabı burada kullanarak iki tersinir althipergrubun çarpımının değişmeli olmasıyla karakterize edilmiştir. Bir hipergrubun althipergrupların kafesinden bahsedebilmek için iki althipergrubun infimumu olması beklenen kesişimlerinin, althipergrup olması beklenmiştir. Bunun saptanabilmesi için gerek yeter şart aranmıştır. Bu adımlardan sonra bir hipergrubun tersinir althipergruplarının kümesi kafes elde edilmiştir. Yine klasikten faydalanarak hangi şartlar altında modülerlik ve dağılmalılık özelliklerinin sağlandığı araştırılmıştır. Bir hipergrubun althipergruplarının kümesinin özel bir sınıfı olan tersinir althipergrupların kümesi üzerinde elde edilen sonuçlar diğer özel sınıflar için nasıl sonuçlar alınabilir sorusunu ortaya çıkarmıştır.
Bu bölümde, elde ettiğimiz sonuçların daha anlaşılır olabilmesi adına çalışmalarımızda kullandığımız temel araçlar, bağıntılar ve hedeflerimizin çıkış noktaları verilmeye çalışılmıştır. Bu bölümü üç kısımda incelemeyi uygun bulduk. İlk kısımda, projenin genelinde kullanılan temel kavramlar ve notasyon ayrıntıya girilmeden verilmiş; ikinci kısım gerek kafesler gerekse hiperyapılar ile ilgili literatürün kısa bir özetine ayrılmış; son kısımda ise çalışmalarımızda izlediğimiz metodoloji ve çıkış noktalarımız ele alınmıştır.
2.1. Temel kavramlar ve Notasyon
TANIM 2.1.1: (L,≤) sıralı bir küme olsun.
i) L kümesine kafes denir : ⇔ Her a,b∈L için inf{a,b} =a∧b sup{a,b} =a∨b mevcuttur.
ii) L kümesine zincir denir : ⇔ Her a,b∈L için a≤b veya b≤a dır.
iii) L kümesine tam kafes denir : ⇔ Her A⊆L için infA ve supA mevcuttur.
Bir 𝐿 kafesi genel olarak (L, ≤, ∧, ∨) şeklinde gösterilecektir. Ayrıca 𝐿 kafesinin en küçük elemanı “0” ve en büyük elemanı “1” ile gösterilir. “0” ve “1” elemanlarına sahip kafese sınırlı kafes denir.
TEOREM 2.1.2: (L,≤) bir sıralı küme olsun.
i) L tam kafestir ⇔ 1∈L ve her ∅≠ A⊆L için infA mevcuttur.
ii) L zincir ise 𝐿 kafestir.
iii) L tam kafes ise kafestir.
TEOREM 2.1.3: (L,≤) kafesi için aşağıdaki eşitsizlikler doğrudur. Her a,b,c∈L için 1) a∨(b∧c)≤(a∨b)∧(a∨c),
2) a∧(b∨c)≥(a∧b)∨(a∧c), 3) a≤b ise a∨(b∧c)≤b∧(a∨c).
3
TEOREM 2.1.4: Bir L kafesi için aşağıdaki özellikler denktir. Her a,b,c∈L için D1: a∨(b∧c)=(a∨b)∧(a∨c),
D2: a∧(b∨c)=(a∧b)∨(a∧c).
TANIM 2.1.5: 𝐿 kafesine dağılımlı kafes denir : ⇔ 𝐿 kafesi D1 veya D2 özelliğini sağlar.
TANIM 2.1.6: 𝐿 kafesine modüler kafes denir ∶⇔ Her a,b,c∈L ve a≤b için a∨(b∧c)=b∧(a∨c).
TEOREM 2.1.7: Her modüler olmayan kafes, 𝑁5 e izomorf olan bir alt kafes içerir.
ÖNERME 1.2.8: 𝐿 modüler (dağılımlı) bir kafes olsun. Bu takdirde L nin her alt kafesi modüler (dağılımlı) kafestir.
ÖRNEK 1.2.9:
1) Her zincir dağılımlı kafestir.
2) Her dağılımlı kafes modüler kafestir.
3) Kafes diyagramı 𝑀5 olarak verilen L={0,a,b,c,1} kafesi dağılımlı değildir ancak modülerdir.
4) Kafes diyagramı 𝑁5 olarak verilen L={0,a,b,c,1} kafesi modüler değildir.
N5 M5
Şekil 1. N5 ve M5 kafes diyagramları
Grup yapılarını belirlemek için altgruplarının kafesinden yararlanılmıştır. Bir grubun altgrupları kafesi üzerinde elde edilen bazı bulgular aşağıdaki gibidir.
TEOREM 2.1.10: G bir grup olsun. Bu durumda aşağıdaki özellikler geçerlidir.
i) N(G) modüler kafestir,
ii) L(G) dağılmalıdır ancak ve ancak G yerel devirlidir,
iii) G sonlu bir grup olması durumunda; L(G) dağılmalı kafestir ancak ve ancak 𝐺 devirli gruptur.
iv) L(G×G) modüler kafestir ancak ve ancak 𝐺 abeldir.
v) G sonlu bir grup olması durumunda; L(G) zincir ancak ve ancak 𝐺 sonlu devirli p-gruptur.
4
TANIM 2.1.11: H bir küme ve *(H) H kümesinin boştan farklı altkümeleri olsun.
∘:H*(H) fonksiyonuna H kümesi üzerinde bir hyperişlem denir. Bu durumda H kümesine hypergrupoid denir ve H kümesi genel olarak (H,∘) ikilisi ile gösterilir.
A,B*(H) ve a,bH için A∘B, a∘A, A∘a, a/b, b\a kümeleri sırasıyla aşağıdaki şekilde tanımlanır.
A∘B= ⋃ x∘y
x∈A, y∈B
a∘A={a}∘A, A∘a=A∘{a},
a/b={xH| ax∘b}, b\a={xH| ab∘x}.
TANIM 2.1.12: (H,∘) bir hypergrupoid ∘lsun.
1) H’ya semihpergrup denir Her x,y,zH için (x∘y)∘z=x∘(y∘z), 2) H’ ya quasihypergrup denir Her xH için x∘H=H ve H∘x=H, 3) H’ya hypergrup denir H semihpergrup ve quasihypergrup.
TANIM 2.1.13: (H,∘) bir semihypergrup ve AH ∘lsun. A ya H nın tam kısmı denir
Her nℕ\{0} ve x1,x2, …,xnH için ∏ni=1xi∩A ise ∏ni=1xiA.
TANIM 2.1.14: (H,∘) bir hypergrup ve AH olsun.A ya subhpergrup denir (A,∘) bir hypergruptur. Yani, A∘AA ve xA için x∘A=A ve A∘x=A dir.
TANIM 2.1.15: (H,∘) bir hipergrup ve A H’nın bir althipergrubu olsun.
1) A’ya soldan (sağdan) kapalı denir Her aH, x,yA için xa∘y(y∘a) ise aA, A soldan ve sağdan kapalı ise A’ya kapalıdır denir.
2) A’ya sol (sağ) invertible denir Her x,yH için yA∘x (x∘A) ise xA∘y (y∘A), A sol ve sağ invertible ise A ya invertible denir.
3) A’ya soldan(sağdan) ultrakapalıdır denir Her xH için A∘x(H\A)∘x
(x∘Ax∘(H\A))
A soldan ve sağdan ultra kapalı ise A’ya ultra kapalıdır denir.
4) A’ya soldan(sağdan) conjugable denir A soldan(sağdan) kapalıdır ve Her xH için x∘yA (y∘xA) olacak şekilde yH mevcuttur.
A soldan ve sağdan conjugable ise A’ya conjugable denir.
Althipergrupların, kapalı althipergrupların, tersinir althipergrupların, ultekapalı althipergrupların ve conjugable althipergrupların kümeleri sırasıyla Sub(H), CSub(H), ISub(H), USub(H) ve ConSub(H) notasyonlarıyla gösterilmiştir. Üstelik, bu kümeler içerme bağıntısına göre kısmi sıralı kümelerdir. Bu kümeler üzerindeki bağıntı aşağıda ifade edilmiştir.
ConSub(H)⊆USub(H)⊆ISub(H)⊆CSub(H)⊆Sub(H)
H ın kısmi birimlerinin kümesi aşağıdaki küme ile ifade edilir ve IP notasyonu ile gösterilir.
IP={e∈H|∃ x∈H öyle ki x∈x∘e∪ e∘x}
5
TEOREM 2.1.16: (H,∘) bir hipergrup olsun. K H’nın bir ultra kapalı althipergrubudur ancak ve ancak K kapalı ve IP ⊆ K dır.
TEOREM 2.1.17: İki kapalı althipergrubu boştan farklı kesişimleri kapalı althipergruptur.
TEOREM 2.1.18: (H,∘) bir hipergrup olsun. K H’nın bir tam kısmıdır ancak ve ancak K conjugable althipergrubudur.
2.2. Öncül Çalışmalar
Cebirsel yapıların alt cebrisel yapılarının kafesleri (örneğin; grupların altgruplarının, halkaların ideallerinin, modüllerin altmodüllerinin kafesleri) ile karakterize edilmektedir. Şimdiye kadar bu konuyla ilgili önemli sonuçlar elde edilmiştir (Lu ve Boynton, 2014), (Lukacs ve Palfy, 1986), (Schmidt,1994). 1994’ten beri bulanık altgrupların, bulanık normal altgrupların, bulanık ideallerin ve bulanık altmodüllerin kafeslerini inceleyen birçok çalışma yapılmıştır [20, 24, 28, 33, 36, 37, 44, 45]. Özellikle bu kafeslerin modülerlik ve dağılımlılık özellikleri incelenmiştir. İlk olarak 1994’te Ajmal ve Thomas [1-3] tarafından bulanık altgrupların kafesleri ve altkafesleri incelenmiştir. 2009 yılında Tarnauceanu [36] tarafından sonlu grupların bulanık altgruplarının kafeslerinin hangi koşullarda dağılımlı olacağının bir karakterizasyonu verilmiştir. Head [18] çalışmasında bulanık normal altgrupların kafeslerinin modüler olduğunu metateorem ve alt direkt çarpım teoremi ile izah etmiştir. Son yıllara kadar bulanık cebirsel yapıların altkafeslerinin modüler ve dağılımlı olma özellikleri birçok yöntem kullanılarak incelenmiştir [19, 37]. Ancak bulanık cebirsel yapıların altkafesleri keyfi bir kafes üzerinde son yıllara kadar incelenmemiştir. İlk olarak Jahan [19] tarafından bir halkanın L-ideallerinin kafesinin modüler kafes olduğu farklı bir teknik ile ispatlanmıştır.
Bu projede esas olarak (Tarnauceanu, 2010)’ nun “On the poset of subhypergroups of a hypergroup” adlı makalesinde bulunan açık sorulara cevap aranacaktır. Bir hipergrubun alt hipergrupların kısmen sıralı kümesi genelde bir kafes belirtmez.
Tarnauceanu’ nun bu çalışmasında üç tipte hipergrup incelemesi verilmiştir.
i) H boştan farklı bir küme olmak üzere, her a,b H için a∘b={a,b} olarak tanımlanan hiperişleme göre (H,∘) hipergruptur. (H,∘) hipergrubunun althipergruplarının kümesi *(H) ye eşittir. Açık olarak *(H) kafes belirtmez.
ii) G bir grup olmak üzere, her a,b G için a∘b=<a,b> olarak tanımlanan hyperişleme göre (G,∘) hypergruptur. (G, ∘) hypergrubunun althipergruplarının kümesi G nin altgruplarının kümesine eşittir. Bir grubun altgruplarının kümesi kafes oluşturduğundan (G, ∘) hipergrubunun althipergruplarının kümesi kafes belirtir.
iii) L bir tam kafes olmak üzere, her a,b L için a+b={x∈L | a∧b<x } olarak tanımlanan hiperişleme göre (L,+) hipergruptur. (L,+) hypergrubunun althipergruplarının kümesi L kafesinin filitrelerinin kümesine eşittir. Bir tam kafesin filitrelerinin kümesi kafes oluşturduğundan (L,+) hipergrubunun althipergruplarının kümesi kafes belirtir.
6
Bunlardan birinin alt hipergruplarının kümesi kafes oluşturmazken diğer ikisinde kafes oluşturduğu görülmektedir. Birçok hipergrup örneğinde yada çok özel hipergruplarda alt hipergruplarının kümesinin kafes olduğu gözlemlense bile şimdiye kadar buna dair gerek ve yeter şart verilmemiştir. Bu doğrultuda yukarıda adı geçen çalışmada bu konu üzerine açık sorular bırakılmıştır. Çalışmada bahsedilen sorular aşağıdaki gibidir:
Problem 1. Alt hipergrupların hiper çarpımları hangi koşul altında alt hipergrup elde edilir.
Problem 2. Bir hipergrubun alt hipergrupların kümesinin kafes olabilmesi için gerek ve yeter şart nedir? Bu kafes hangi koşullar altında modüler, dağılımlı, komplementlenebilir veya yarıkomplementlenebilir özelliklerini sağlar?
Problem 3. A,B H nın alt hipergrup (yansıyan, invaryant, invertible, tam kısım, kapalı, ultra kapalı) ise A∘B, A∩B, A∪B bu özelliklerden hangilerini sağlar yada sağlaması için gerek ve yeter şartlar var mıdır?
2.3. Metodoloji
Proje başlangıcında, temel kavramlara ve literatürde elde edilen sonuçlara aşina olabilmek amacıyla bazı makale ve kitap bölümleri incelenmiş ve analiz edilmiştir.
Örneğin; kafesler yapıları incelemek için (Birkoff, 1967) kitabından yaralanılırken, bir grubun altgruplarının kafeslerine ilişkin (Schmidt,1994) kitabından yararlanılmıştır.
Projede genel daha önce literatürde çalışılmamış olan bir hipergrubun althipergruplarının kafesi incelenmiştir. Bu konuda yapılan tek çalışma (Tarnauceanu, 2010) olup, çalışma içindeki açık problemlere cevap aranmıştır.
Althipergrupların kafesi araştırılırken klasik grupların kafeslerinin sağladığı özelliklerinin burda çalışıp çalışmadığı araştırılmıştır. Bir kafes yapısı oluşması için iki althipergrubun supremumlarının hiperçarpımları olabileceği tahmininde bulunup, ne zaman bir hiperçarpım althipergrup olacağı araştırılmıştır. Bu bağlamda iki althipergrubun hiperçarpımlarının althipergrubu olması için gerek yeter şart elde edilmiştir. İki althipergrubun kesişimi herzaman althipergrup olmayabilir. Bunun giderilmesi için kesişimlerinin boştan farklı çıkması için yollar aranmıştır. Genel olarak althipergrupların kısmen sıralı kümesinde çalışmak sonuç vermediğinden daha özel altsınıflarında (kapalı, tersinir, ultrakapalı, conjugable althipergruplar) çalışılmıştır. Tersinir althipergruplarının kısmen sıralı kümesinin kafes formunda olduğu elde edildi. Buradan yola çıkarak diğer özel sınıflar içinde sonuçlar aranmıştır.
7 3. BULGULAR
ÖNERME 3.0.1: H bir hipergrup olsun. Bu durumda her A,B,C∈ ℘∗ (H) için, 1. Eğer A⊆B ise A∘C⊆ B∘C ve C∘A⊆ C∘B dir.
2. Eğer a∈A ise B∘a⊆B∘A ve a∘B⊆A∘B dir.
3. Eğer a∈A ve b∈B ise a∘b⊆A∘B dir.
3.1. Bir Hipergrubun Tersinir Althipergruplarının Kafesi
LEMMA 3.1.1: K1 ve K2 H’ın tersinir althipergrupları olsun. K1∘K2=K2∘K1 ancak ve ancak K1∘K2 ve K2∘K1 H’ın tersinir althipergruplarıdır.
İSPAT: K1∘K2=K2∘K1 ifadesi doğru ve a∈K1∘K2 olsun. Bu durumda a∈K1∘k2 olacak şekilde k2∈K2 mevcuttur. K1 tersinir hipergrup olduğundan, k2∈K1∘a dır. Buradan, K1∘K2 = K1∘K2∘k2
⊆K1∘K2∘K1∘a
= K1∘K1∘K2∘a
=K1∘K2∘a
elde edilir. Diğer yandan, a∈K1∘K2 olduğundan a∈k1∘k2 olacak şekide k1∈𝐾1 ve k2∈K2 mevcuttur.
K1∘K2∘a⊆K1∘K2∘k1∘k2 =K2∘K1∘k1∘k2 = K2∘K1∘k2 =K1∘K2∘k2 =K1∘K2
Böylece her a∈K1∘K2 için K1∘K2∘a=K1∘K2 dir. Benzer şekilde a∘K1∘K2=K1∘K2 olduğu gösterilebilir.
a,b∈K1∘K2 olsun. Bu durumda, a∘b⊆K1∘K2∘K1∘K2
=K1∘K1∘K2∘K2 =K1∘K2
Böylece K1∘K2∈Sub(H) elde edilir.
Diğer yandan x∈K1∘K2∘y olsun. Bu durumda x∈K1∘k olacak şekilde k∈K2∘y mevcuttur. K1 ve K2 tersinir althipergruplar olduğundan, y∈K2∘k ve k∈K1∘x elde edilir.
Buradan y∈K2∘K1∘x=K1∘K2∘x dır. Benzer şekilde, x∈y∘K1∘K2 ise y∈x∘K1∘K2 olduğu kolaylıkla görülür. Böylece K1∘K2 H’ın tersinir althipergrubudur.
Tersine, varsayalım ki K1∘K2 ve K2∘K1 H’ın tersinir althipergrupları olsun. İlk olarak K2∘K1∘K2⊆K1∘K2 olduğunu göstermeliyiz.
8
a∈K2∘K1∘K2 olsun. Buradan K1∘K2∘K1∘K2=K1∘K2 olduğundan K1∘a⊆K1∘K2 dır.
K1∘a≠∅ olduğundan x∈K1∘a olacak şekilde x∈K1∘K2 mevcuttur. K1 tersinir olduğudan a∈K1∘x⊆K1∘K1∘K2=K1∘K2 elde edilir. Böylece K2∘K1∘K2⊆K1∘K2 elde edilir.
Şimdi K2∘K1⊆K1∘K2 olduğunu göstermeliyiz. b∈K2∘K1 olsun. Buradan b∘K2⊆K2∘K1∘K2 dır. Böylece b∘K2⊆K1∘K2 dir. Burada b∘K2≠∅ olduğundan x∈b∘K2 olacak şekilde x∈K1∘K2 mevcuttur. 𝐾2 tersinir olduğundan b∈x∘K2⊆K1∘K2∘K2=K1∘K2 dir. Böylece K2∘K1⊆K1∘K2 elde edilir. Benzer şekilde, K1∘K2⊆K2∘K1 elde edilir. Sonuç olarak, K1∘K2= K2∘K1 dır.
Aşağıdaki örnekle bir hipergrubun iki kapalı althipergrupların hiperçarpımının kapalı althipergrup olmayabileceğini görüyoruz.
ÖRNEK 3.1.2: Reel sayılar kümesi üzerinde aşağıdaki hiperişlemi tanımlayalım:
x ∘ y = { {𝑥} x = y
{min{𝑥, 𝑦} , max{𝑥, 𝑦}} x ≠ y Bu durumda (ℝ,∘)bir hipergruptur.
{1} ve {2} nin (ℝ,∘) nin kapalı althipergruoları olduğunu görmek kolaydır. {1} ve {2} nin hiperçarpımı {1}∘{2}=(x,y) althipergruptur ancak kapalı değildir
LEMMA 3.1.3: (H, ∘) hipergrup olsun öyleki her a,b∈H için (a∘b)∩{a,b}≠ ∅. Eğer P, Q∈CSub(H) ya da P, Q∈ISub(H) ise P∩Q≠∅ dir.
İSPAT: Varsayalım ki P, Q∈CSub(H), a∈P ve b∈Q olsun. (a∘b)∩{a,b}≠ ∅ olduğundan a∈a∘b ya da b∈a∘b dır. P, Q kapalı althipergrupar olduğundan b∈P ya da a∈Q dır.
Buradan, a∈P∩Q ya da b∈P∩Q. Böylece P∩Q≠∅ elde edilir. Eğer P, Q∈ISub(H), ise, yukarıdaki açıklamaya göre a∈P∘b ya da b∈a ∘Q dır. Böylece b∈P∘a=P ya da a∈b
∘Q=Q elde edilir.Sonuç olarak P∩Q≠∅ dır.
TEOREM 3.1.4: (H, ∘) değişmeli hipergrup olsun öyleki her a,b∈H için (a∘b)∩{a,b}≠ ∅.
Her P, Q∈ISub(H) için P∨Q=P∘Q ve P∧Q=P∩Q olmak üzere (ISub(H), ⊆) bir kafestir.
İSPAT: P, Q∈ISub(H) olsun. Lemma 3.1.1 den P∘Q tersinir althipergruptur. Öncelikle P∪ Q⊆P∘Q olduğunu gösterelim. x∈P olsun. Bu durumda Q≠∅ olduğundan b∈Q elemanı mevcuttur. Hipotezden dolayı x∈x∘b ya da b∈x∘b dır.
Eğer x∈x∘b ise x∈P∘Q dir.
Eğer b∈x∘b ise b∈x∘Q dir. Buradan x∈b∘Q=Q ve x∈x∘x⊆P∘Q dır. Böylece P⊆P∘Q elde edilir. Benzer şekilde, Q⊆P∘Q elde edilebilir. Böylece, P∪Q⊆P∘Q dir.
Şimdi P∘Q nin P ve Q yu kasayan en küçük tersinir althipergrup olduğunu gösterelim.
S, P⊆S ve Q⊆S olacak şekilde tersinir althipergrup olsun. Bu durumda P∘Q⊆S∘S=S dir. Sonuç olarak P∨Q=P∘Q.
P∧Q=P∩Q olduğunu göstermeliyiz. Lemma 3.4 den daloyı P∩Q≠∅ dır. P∩Q
∈ISub(H) olduğunu göstermemiz yetecektir. Her a,b∈P∩Q için a∘b⊆P∩Q ve a∘(P∩Q)⊆(P∩Q) olduğu açıktır. x∈P∩Q olsun. x∈a∘P ve x∈a∘Q olduğundan x∈a∘p, x∈a ∘q olacak şekilde p∈P, q∈Q elemanları mevcuttur. Lemma 3.1.3 ün ispatından
9
faydalanılırsa, p∈P∩Q ya da q∈P∩Q olduğu elde edilir. Böylece, x∈a∘(P∩Q) dir. Bu her a∈P∩Q elemanı için P∩Q=a∘(P∩Q) olduğu anlamına gelir. Hipergrup değişmeli olduğundan P∩Q=(P∩Q)∘a elde edilir. Böylece, P∩Q∈Sub(H) dir. Üstelik, eğer c∈d∘(P∩Q) ise c∈d∘P ve c∈d∘Q dir.P, Q tersinir olduklarından, d∈c∘P ve d∈c∘Q dir.
Yukarıdaki teknik tekrarlanırsa d∈c∘(P∩Q) elde edilir. Değişmelilikten, P∩Q∈ISub(H) dir.
TEOREM 3.1.5: (H, ∘) değişmeli hipergrup olsun öyleki her a,b∈H için (a∘b)∩{a,b}≠ ∅.
(ISub(H), ⊆) dağılmalı kafestir.
İSPAT: P, Q, S∈ISub(H) olsun. Dağılmalılık eşitsizliği her kafes için sağlandığından (P∧Q)∨(P∧S)⊆P∧(Q∨S) ifadesi doğrudur.
x∈P∧(Q∨S) oldun. Buradan x∈P∩(Q∘S). x∈Q∘S olduğundan, x∈b∘c olacak şekilde b∈Q ve c∈S elemanları mevcuttur.
b∈b∘c ya da c∈b∘c olduğunu biliyoruz. Q ve S H ın tersinir althipergrupları olduklarından, b∈S ya da c∈Q dır.
Eğer c∈Q ise x∈b∘c⊆Q ve s∘x∈P∩Q dir.. Benzer şekilde, eğer b∈S ise x∈P∩S dir.
Böylece P∩(Q∘S)⊆(P∩Q)∪(P∩S) dir. Teorem 3.1.4 ten dolayı, P∩(Q∘S)⊆(P∩Q)o(P∩S)
elde edilir. Sonuç olarak (P∧Q)∨(P∧S)= P∧(Q∨S) dır.
ÖRNEK 3.1.6: (ℤ,+) grubunu ve i∈N olmak üzere Si=2iℤ altgruplarını ele alalım. Her x∈ ℤ − {0} için x∈Sn(x)\ Sn(x)+1 olacak şekilde n(x) tek bir tam sayı mevcuttur. ℤ − {0}
üzerinde aşağıdaki değişmeli hiperişlemi tanımlayalım:
Eğer n(x)<n(y), ise x∘y=x+Sn(y); Eğer n(x)=n(y), ise x∘y=Sn(x)− {0};
Eğer n(x)>n(y), ise x∘y=y+Sn(x).
Burada n(x)<n(y) olduğunda n(x+y)=n(x)dır. Açıkça (ℤ − {0} ,∘) değişmeli hipergruptur. Her i∈N için (Si− {0},∘), ℤ − {0} nin tersinir althipergrubu olduğu kolaylıkla görülür (Davvaz ve Leoreanu, 2007). Ayrıca ISub(ℤ − {0})= {Si− {0}| i∈N}
olduğundan ISub(ℤ − {0}) kümesi dağılmalı kafestir.
Üstelik,
⋂ Si-{0}
i∈N
=∅
Olduğundan ISub(ℤ − {0}) kafes olmasına reğmen tam kafes değildir.
3.2. Bir Hipergrubun Ultrakapalı Althipergruplarının Kafesi
LEMMA 3.2.1: (H, ∘) bir hipergrup olsun. Eğer P, Q∈USub(H) ise P∩Q∈USub(H) dir.
İSPAT: P, Q∈USub(H) olsun. Bu durumda P, Q kapalı althipergruplar olduğundan IP⊆P ve IP⊆Q dır. Since IP≠∅, P∩Q≠∅. Böylece P∩Q∈CSub(H). Teorem 1.3 den ve IP⊆P∩Q olduğundan P∩Q∈USub(H)dır.
10
Lemma 3.2.2: (H, ∘) bir hipergrup ve P, Q∈USub(H) olsun. P∘Q=Q∘P ancak ve ancak P∘Q ve Q∘P ultrakapalı althipergruplardır.
İSPAT: P,Q∈USub(H) ve P∘Q=Q∘P olsun. Lemma 3.1.1 ye göre, P∘Q, Q∘P∈ISub(H) dır.
IP⊆IP∘IP⊆P∘Q olduğundan, P∘Q∈USub(H)dır.
Tersine, P∘Q ve Q∘P H ın ultrakapalı althipergrupları olsun. Lemma 3.1.1 den dolayı P∘Q=Q∘P elde edilir.
TEOREM 3.2.3: (H, ∘) değişmeli hipergrup olsun. Her P, Q∈USub(H) için P∨Q=P∘Q ve P∧Q=P∩Q olmak üzere (USub(H), ⊆) bir kafestir.
İSPAT: P ve Q ultakapalı althipergruplar olsun. P⊆P∘𝐼𝑃⊆P∘Q olduğundan P∪
Q⊆P∘Q elde edilir. Varsayalım ki L∈ USub(H) öyle ki P∪Q⊆L olsun. P∘Q⊆L∘L=L olduğundan P∨Q=P∘Q dir.
Lemma 3.2.1 den dolayı her P, Q∈USub(H) için P∧Q=P∩Q dir. Böylece (USub(H),
⊆) bir kafestir.
TEOREM 3.2.4: (H, ∘) değişmeli hipergrup olsun. Bu durumda (USub(H), ⊆) moduler kafestir.
İSPAT: P, Q ve S ultakapalı althipergruplar olsun öyle ki P⊆Q. Modulerity eşitsizliği her kafes için sağlandığından Q∨(P∧S)⊆P∧(Q∨S) ifadesi doğrudur.
x∈P∧(Q∨S) olsun. x∈P ve x∈Q∘S dir. Burada x∈b∘c oalcak şekilde b∈Q ve c∈S elemanları mevcuttur. P kapalı olduğundan c∈P dir. Buradan x∈b∘c⊆Q∘(P∩S)=
Q∨(P∧S) dir. Böylece P∧(Q∨S)⊆Q∨(P∧S) elde edilir. Sonuç olarak H ın ultrakapalı althipergruplarının kafesi modülerdir.
ÖRNEK 3.2.5: Klein nin dörtlü grubunu gözönüne alalım.
V=<a,b | a2 =b2=ab2 =1>
Her a,b∈V için a∘b={ab} olmak üzere (V, ∘) bir hipergruptur. Bu durumda, USub(V)=L(V) dir. L(V), 𝑀5 formunda olduğundan USub(V) dağılmalı kafes değildir.
3.3. Bir Hipergrubun Conjugable Althipergruplarının Kafesi
LEMMA 3.3.1: (H, ∘) bir hipergrup ve P, Q∈ConSub(H) olsun. Bu durumdaki aşağıdaki ifadeler sağlanır.
1. P∩Q∈ConSub(H)
2. P∘Q=Q∘P ancak ve ancak P∘Q ve Q∘P H ın conjugable althipergruplarıdır.
İSPAT: P, Q∈ConSub(H) olsun.
1. Lemma 3.2.1 den P∩Q≠∅ dir. Teorem 1.4 den dolayı P ve Q H ın tam kısımlarıdır. Şimdi, P∩Q nın tam kısım olduğunu gösterelim.
11
(x1,…, xn)∈ Hn ve ∏ni=1xi∩(P∩Q)≠∅ olsun. Bu durumda ∏ni=1xi∩P≠∅ ve
∏ni=1xi∩Q≠∅ dir. P, Q tam kısım olduğundan ∏ni=1xi ⊆ P ve ∏ni=1xi⊆Q elde edilir ve buradan ∏ni=1xi ⊆ P ∩ Q dir. Böylece P ∩ Q tam kısım elde edilir.
Teorem 1.4 kullanılırsa P∩Q H ın conjugable althipergrubudur.
2. x∈H olsun. P, Q∈ConSub(H) olduğundan x∘y⊆P ve x∘z⊆Q olacak şekide y, z∈H elemanları mevcuttur. Bu durumda, her a∈y∘x∘z için x∘a ⊆x∘y∘x∘z ⊆P∘Q dir. P∘Q H ın conjugable althipergrubudur. Benzer şekilde, Q∘P conjugable olduğu kolaylıkla görülür. Tersi Lemma 3.1.1 den kolaylıkla görülür.
SONUÇ 3.3.2: (H, ∘) değişmeli hipergrup olsun. (ConSub(H), ⊆) kafes oluşturur.
Üstelik bu kafes modülerdir.
İSPAT: Teorem 3.2.3 ve Teorem 3.2.4 den elde edilir.
12 4. TARTIŞMA ve SONUÇ
Çalışma kapsamında, bir hipergrubun althipergruplarının kısmen sıralı kümesi hakkında bazı bilgiler edinilmiştir. İlk olarak iki althipergrubun hiperçarpımlarının ne zaman althipergrup olacağı araştırılmıştır. Bu soru üzerinde tam bir karekterizasyon bulunazken; althipergrupların bir altsınıfı olan tersinir althipergrupların kısmen sıralı kümesi üzerinde, iki tersinir althipergrubun hiperçarpımının tersinir althipergrup olması için yeter gerek şart elde edilmiştir. Böylece tersinir althiperaltgruplar sınıfı için kafes yapısıının elde edilmesi için gerekn alt yapı oluşturulmuştur. Çünkü elde edilen bu hiperçarpım iki tersinir althipergrubun supremumlarını verir. Daha sonra iki tersinir althipergrubun infimumlarının da kesişimleri olduğu ifade edilip, kafes yapısı oluşturulmuştur. Üstelik belirli şartlar altında bu kafesin dağılmalı olduğu gösterilmiştir. Benzer durum diğer özel althipergruplarının kümesinde de araştırılmıştır. Kapalı althipergrupların hiperçarpımlarının kapalı althipergrubu olmayacağına örnek verilmiştir.
Althipergrupların bir diğer altsınıfı olan ultra kapalı althipergrupların kümesininde kafes belirttiği ve bu kafesin modüler olduğu elde edilmiştir. Bezer şekilde conjugable althipergruplar kümesininde modüler kafes olduğu gösterilmiştir.
Bu sonuçlar bir hipergrubun althipergruplarının kısmen sıralı kümesi hakkında literatürdeki bir boşluğu doldurmuştur. Elde edilen bu sonuçlar bilimsel bir dergiye gönderilmek üzere makale formatına dönüştürülmüştür.
Bir hipergrubun althipergrupların özel altsınıflarının kafes yapılarına ait sonuç elde edilebilirken, althipergrupların kısmen sıralı kümesinin kafes olması için gerek ve yeter şart henüz elde edilememiştir. Gelecekteki çalışmalarda ele alınması düşünülmektedir. Diğer taraftan fuzzy althipergrupların kafes yapılarıda ayrı bir çalışma olarak gelecete çalışılması düşünülmektedir.
Althipergrupların özel sınıflarının kafes yapıları üzerinde elde edilen bilgilerle projenin hedeflerine ulaşılmıştır. Çalışmada beklenen hedeflere ulaşılmasının yanı sıra yukarıda belirtilen gelecekte çalışılması düşünülen konularda altyapı kazanılması sağlanmıştır.
13 5. KAYNAKLAR
AJMAL, N. ve THOMAS, K.V., The Lattices of Fuzzy Subgroups and Fuzzy Normal Subgroups, Information Sciences, 76, 1-11, (1994).
AJMAL, N. ve THOMAS, K.V., The Lattices of Fuzzy Normal Subgroups Is Modular, Information Sciences, 83 (1995) 199-218.
BAYRAK, D. ve YAMAK, S., The Lattice of Generalized Normal L-Subgroups, Journal of Intelligent & Fuzzy Systems, 27, 3, 1143-1152, (2014).
BAYRAK D., YAMAK S., Distributivity and pseudocomplementation of lattices of generalized (L)-subgroups, International Journal of Algebra and Statistics, 5, 107- 114, 2016.
BIRHOFF, G., Lattice Theory, Amer. Math. Soc. Colloq. Publ., Rhode Islve, (1967).
CORSINI, P., Prolegomena of Hypergroup Theory, Aviani Editore, (1993).
CORSINI, P. ve LEOREANU, V., Applications of hyperstructures theory, Kluwer Academic Publishers, (2003).
DAVVAZ, B. ve LEOREANU, V., Hyperring theory ve applications, International Academic Press, (2007).
HEAD, T., A Meta Theorem for Deriving Fuzzy Theorems from Crisp Versions, Fuzzy Sets and Systems, 73, 349-358, (1995).
JAHAN, I., The lattice of L-ideals of a ring is modular, Fuzzy Sets and Systems, 199, 121—129, (2012).
JAHAN, I., Modularity of the lattices of fuzzy ideals of a ring, Iran. J. Fuzzy Syst., 5, 71—78, (2008).
MEDTS, T. D. ve TARNAUCEANU, M., Pseudocomplementation in (Normal) Subgroup Lattices, Communications in Algebra, 39, 247-262, (2011).
LEOREANU, V. ve Rosenberg I.G., Hypergroupoids determined by lattices, European Journal of Combinatorics, 31(3), 925-931, (2010).
LU, X. ve BOYNTON, J.G., Completely Arithmetical Rings, Communications in Algebra, 42, 4047-4054, (2014).
LUKACS, E. ve PALFY, P.P., Modularity of The Subgroup Lattice of a Direct Square, Arch. Math. (Basel), 46, 18-19, (1986).
14
MARTY, F., “Sur ungeneralisation de la notion degroup”, 8th Congress of Scveinavian Mathematicians, 45-49, (1934).
SCHMIDT, R., Subgroup Lattices of Groups. Walter de Gruyter, (1994).
TARNAUCEANU, M., “On the poset of subhypergroups of a hypergroups”, Int. J.
Open Problems Comp. Math., 3(2), 115-122, (2010).
TARNAUCEANU, M., Distributivity in lattices of fuzzy subgroups, Information Sciences, 179, 1163-1168 (2009),.
VOUGIOUKLIS, T. Hyperstructures ve their representations, Hadronic Press, Palm Harbor, USA. (1994).
15 TEŞEKKÜRLER
Bu çalışmanın gerçekleşmesini sağlayan Namık Kemal Üniversitesi Araştırma Projeleri Yönetim Birimi’ne (Proje no: NKUBAP.01.DS.17.086), projenin değişik safhalarında verdikleri destekten ötürü Yrd.Doç.Dr Erdal BAYRAM'a (Namık Kemal Üniversitesi) ve çalışma sürecinde yardımlarını esirgemeyen Prof.Dr. Sultan YAMAK'a (Karadeniz Teknik Üniversitesi) teşekkürlerimi sunarım.
