Möbiüs dönüşümleri ile sürekli kesirlerin ilişkisi

MÖBĐÜS DÖNÜŞÜMLERĐ ĐLE SÜREKLĐ KESĐRLERĐN

ĐLĐŞKĐSĐ

YÜKSEK LĐSANS TEZĐ

Fuat ÇINAR

Enstitü Anabilim Dalı : MATEMATĐK

Tez Danışmanı : Yrd. Doç. Dr. SERPĐL HALICI

Eylül 2008

ii

ÖNSÖZ

Sürekli kesirler sayılar teorisinin önemli bir konusudur. Sonsuz sürekli kesirler (periyodik veya değil); cebirsel veya transandantal sayıların yaklaşık değerlerinin hesaplanmasında sıkça kullanılmaktadır. Möbiüs dönüşümleri yardımıyla sürekli kesirlerin yaklaşık değerlerini daha pratik bir şekilde hesaplayabiliriz.

Bu çalışmanın amacı; sürekli kesirler ile Möbiüs dönüşümleri arasındaki ilişkiyi ortaya koymaktır.

Yüksek lisans danışmanlığımı üstlenip, bilgi ve tecrübesiyle destek veren, çalışmamın her aşamasında yardımlarını esirgemeyen hocam; Yrd. Doç. Dr. Serpil HALICI ya şükran ve saygılarımı sunarım.

Ayrıca, desteklerini her zaman yanımda hissettiğim değerli eşime ve aileme teşekkür ederim.

iii

ĐÇĐNDEKĐLER

ÖNSÖZ………... ii

ĐÇĐNDEKĐLER ... iii

SĐMGELER VE KISALTMALAR LĐSTESĐ... v

ÖZET... vi

SUMMARY... vii

BÖLÜM 1. GĐRĐŞ VE SÜREKLĐ KESĐRLER……... 1

1.1. Temel Tanım ve Teoremler... 1

1.2. Sonlu Sürekli Kesirler... 3

1.3. Sonsuz Sürekli Kesirler…... 20

1.4. Periyodik Sonsuz Sürekli Kesirler…... 34

BÖLÜM 2. MÖBĐÜS DÖNÜŞÜMLERĐ... 40

2.1. Möbiüs Dönüşümleri …………... 40

2.2. Özel Möbiüs Dönüşümleri………... 42

2.3. Bir Möbiüs Dönüşümünün Sabit Noktaları... 51

2.4. Doğrusal Dönüşümler ve Çemberler……... 57

2.5. Çapraz Oran………... 60

2.6. Sembolik Gösterim………... 60

BÖLÜM 3. MÖBĐÜS DÖNÜŞÜMLERĐ ĐLE SÜREKLĐ KESĐRLER ARASINDAKĐ ĐLĐŞKĐ……… 64

3.1. Möbiüs Dönüşümlerinin Bileşimi Olarak Sürekli Kesirler ... 64

iv BÖLÜM 4.

SONUÇLAR VE ÖNERĐLER………... 76

KAYNAKLAR……….. 82

ÖZGEÇMĐŞ……….……….. 83

v

SĐMGELER VE KISALTMALAR LĐSTESĐ

ℝ : Reel sayılar kümesi ℕ : Doğal sayılar kümesi ℤ : Tam sayılar kümesi ℂ : Kompleks sayılar kümesi

∞ : Sonsuz

⊥ : Belirsiz

[ ] : Sürekli kesir

∗⊥

ℝ : Genişletilmiş reel sayılar

Cn : Sonsuz sürekli kesrin n. inci yakınsaklığı a│b : a böler b

: Mutlak değer

 

^{: Tam değer}

∈ : Elemanıdır

vi

ÖZET

Anahtar kelimeler: Öklid Algoritması, Sürekli Kesirler, Sonsuz Sürekli Kesirler, Sürekli Kesirlerin Yaklaşımları, Periyodik Sürekli Kesirler, Möbiüs Dönüşümleri Bu çalışmada, sürekli kesirlerin önemli özellikleri incelenerek Möbiüs Dönüşümü ile ilişkisi araştırıldı.

Birinci bölümde, Öklid Algoritması yardımıyla, rasyonel sayıların, sonlu sürekli kesir biçiminde yazılması incelendi. Buradan da her rasyonel sayının, sonlu sürekli kesir olarak ifade edilebileceği gösterildi.Ayrıca, sonsuz sürekli kesirler ve alt konusu olan periyodik sürekli kesirler incelendi. Herhangi bir irrasyonel sayının sonsuz sürekli kesir biçiminde yazılabileceği ve sonsuz sürekli kesirlerinde bir irrasyonel sayı olduğu gösterildi. Aynı zamanda, irrasyonel sayılara en iyi yaklaşımın nasıl olması gerektiği incelendi.

Đkinci bölümde, möbiüs dönüşümleri, özel möbiüs dönüşümleri, bir möbiüs dönüşümünün sabit noktalarının bulunması konuları işlendi.

Üçüncü bölümde ise, birinci ve ikinci bölümde temel tanım ve teoremleri verilen, sürekli kesirler ile möbiüs dönüşümleri arasındaki ilişki incelendi.

Dördüncü bölümde de, bu üç bölümden çıkan sonuçlar gösterildi.

vii

THE RELATĐONSHIP BETWEEN CONTĐNOUS FRACTIONS

AND THE MOBIUS TRANSFORMATĐONS

SUMMARY

Key Words: Euclid Algorithm, Continous Fractions, Infinite Contınous Fractions, Convergence of Continous Fractions, Periodic Continous Fractions, Mobius Transformations.

In this study, some important specialities of continous fractions are analysed and their relationshıp with the Mobius Transormations are examined.

In the first section, with the help of Euclid Algorithm, the way of how rational numbers can be written as finite continous fractions are examined. From this approach, it is shown that every rational number can be defined as finite continous fraction.

In the second section, infinite continous fractions and periodic continous fractions are analysed. Here, it is tried to show that any irrational number can be written as infinite continous fraction and infinite continous fractions are also irrational numbers. At the same time, how the best approach be for irrational numbers is also examined.

In the third section, the relationship between continous fractions and the Mobius Transormations is analysed.

In the fourth and the last section, the findings are summed up and the results are shown.

BÖLÜM 1. GĐRĐŞ VE SÜREKLĐ KESĐRLER

1.1. Temel Tanım ve Teoremler

Sürekli kesirler sayılar teorisinin önemli bir konusudur. Sonsuz sürekli kesirler (periyodik veya değil); cebirsel veya transandantal sayıların yaklaşık değerlerinin hesaplanmasında sıkça kullanılmaktadır. Möbiüs dönüşümleri yardımıyla sürekli kesirlerin yaklaşık değerleri daha pratik bir şekilde hesaplanabilir.

Bu çalışmanın amacı; sürekli kesirler ile Möbiüs dönüşümleri arasındaki ilişkiyi ortaya koymaktır.

Bu bölümde; konunun açıklanmasında yardımcı olacak bazı önemli tanım ve teoremler verilecektir.

Tanım 1.1.1. a, b tamsayı olmak üzere b= ⋅a k olacak biçimde bir k tamsayısı varsa a, b yi böler denir ve bu durum a│b ile gösterilir.

Önerme 1.1.1.

(i) a│b ise a│b.c (ii) a│b ve b│c ise a│c (iii) a│b ise a ≤ b

(iv) a│b ve a│c ise x,y için∀ ∈ ℤ a│bx+cy (v) a│b ve b│a ise a=±b

dir.

Önerme 1.1.2. ∀ a,b ∈ , bℤ ≠ 0 için a=qb+r ve 0≤r< b ^olacak şekilde tek türlü yazılabilen q,r ∈ ℤ vardır.

Tanım 1.1.2. a,b ∈ ℤ olsun.

(i) d│a ve d│b ise d ye, a ile b nin ortak böleni denir.

(ii) d, a ve b nin pozitif ortak böleni olsun. Eğer a ve b nin, her c ortak böleni için c│d ise; d ye, a ve b nin en büyük ortak böleni denir. ^d=

( )

^{a, b} ile gösterilir.

a, b ve kalanları ile aşağıdaki işlemler yapılırsa;

1 1b r q

a= + ^, 0<r₁<b

2 1 2r r q

b= + ^, 0<r2 <r1

3 2 3

1 q r r

r = + , 0<r₃ <r₂

⋮

1 k k 1 k 1

k q r r

r ₋ = ₊ + ₊ ^, 0<rk₊1<rk

0 r q

r_k = _{k+2 k+1}+

elde edilir. Son işlem, kalan 0 olunca biter. Burada kalanlar giderek küçüldüğünden dolayı yani;

>…

>

>

>r1 r2 r3

b

olduğundan sonlu adım sonunda, kalan 0 olarak elde edilir.

Teorem 1.1.1. Öklid(Euclid) Algoritması: Yukarıda yapılan işlemlerde, 0 dan farklı olan en son kalan, a ve b nin en büyük ortak bölenidir. Buradan;

( )

^a,b

r_k+1 = yazılır[1].

Önerme 1.1.3. a,b ∈ ℤ , b≠0 ve bölme algoritması

1 1b r q

a= + ^, 0<r₁<b

2 1 2r r q

b= + ^, 0<r2 <r1

3 2 3

1 q r r

r = + , 0<r₃ <r₂

⋮

ise, b

a kesirli ifadesi;

⋱ q q 1 q 1 q 1 b a

4 3 2 1

+ + + +

=

biçiminde yazılır[5].

1.2. Sonlu Sürekli Kesirler

Tanım 1.2.1. a , a , a , a ,_{0 1 2 3} …, a_n∈ℝ ve ilk terim a hariç hepsi pozitif olmak üzere; ₀

n 1 n 2

1 0

a a 1 1 a a 1 a 1

+ + + +

+

−

⋱

biçiminde yazılabilen ifadeye sonlu sürekli kesir denir. a₀,a₁,a₂,a₃,…,a_n reel sayılarına sürekli kesrin kısmi bölümleri denir. a₀∈ℤ ve ⁺ a , a , a ,_{1 2 3} …, a_n∈ℤ ise bu sürekli kesre basit sürekli kesir denir. Sürekli kesirlerin bu şekilde alt alta tamamının yazılması uzun olduğundan

[

a0;a1,a2,a3,…,an

]

biçimde gösterilir. Bu bölümde sadece basit sürekli kesirlere yer verileceğinden; sürekli kesir ifadesi ile basit ve pozitif terimli olanlar kast edilecektir.

Sonlu sürekli kesirler aşağıdaki biçimde gösterilir;

[ ]

a0 =a0

[ ]

1 0 1

0 a

a 1 a

;

a = +

⋮

[ ]









 +

= _{− −}

n 1 n 2 n 2 1 0 n 2 1

0 a

a 1 , a , , a , a

; a a , , a , a

;

a … … , n≥2

Öklid Algoritması yardımıyla kesirli(rasyonel) sayılar sonlu sürekli kesir olarak gösterilebilir. Örneğin Öklid Algoritması kullanılarak

83

715 kesri;

715= ⋅ +83 8 51 ,

51 83 8 1 83 8 51 83

715= + = +

83= ⋅ +51 1 32 ,

32 51 1 1 51 1 32 51

83 = + = +

51 32 1 19= ⋅ + ,

19 32 1 1 32 1 19 32

51= + = +

32 19 1 13= ⋅ + ,

13 19 1 1 19 1 13 19

32 = + = +

19 13 1 6= ⋅ + ,

6 13 1 1 13 1 6 13

19= + = +

13= ⋅ +6 2 1 ,

1 6 2 1 6 2 1 6

13= + = +

6 1 6= ⋅

şeklinde yazılır. Buradan da;

6 2 1 1 1 1 1 1 1 8 1

6 13 1 1 1 1 1 1 8 1

13 19 1 1 1 1 8 1

32 51 1 1 8 1 51 83 8 1 83 715

+ + + + +

=

+ + + +

= + + +

= + +

= +

=

sürekli kesri elde edilir.

Teorem 1.2.1. Her sonlu basit sürekli kesir bir rasyonel sayı gösterir[4].

Đspat: Tümevarım yöntemi ile ispatlanabilir;

n=1 için,

[ ]

1 1 0

1 0 1

0 a

1 a a a a 1 a

;

a = + = +

ifadesi bir rasyonel sayıdır.

Đlk terimi olan a tamsayısı dı0 şında kalan diğer a1,a2,a3,…,ak terimleri pozitif tamsayı ve k pozitif tamsayısı için;

[

a0;a1,a2,a3,…,ak

]

sürekli kesrinin bir rasyonel sayı olduğu kabul edilir.

[

a0;a1,a2,a3,…,ak₊1

]

sürekli kesrinin bir rasyonel sayı olduğu gösterilmelidir:

0 1 2 3 k 1

a , a , a , a ,…, a ₊ ∈ℤ ve a₁,a₂,a₃,…,a_k+1 pozitif olsun.

[

a1;a2,a3,…,ak₊1

]

sürekli kesri Tanım1.2.1. e göre bir rasyonel sayıdır. O halde 0

q≠ olmak üzere,

[ ]

q a p

, , a , a

;

a_{1 2 3} … _k+1 = olacak şekilde p ve q tamsayıları vardır.

O halde;

[

a ; a , a , a ,^{0 1 2 3} , a^{k 1}

]

a⁰

[

^{1 2 31 k 1}

]

a^{0 1 a0 p q}

a ; a , a , , a p p

q

+

+

= + = + = ⋅ +

… …

rasyonel sayısı elde edilir.

Teorem 1.2.2. Her rasyonel sayı, sonlu basit sürekli kesir olarak gösterilebilir[8].

Đspat: b>0 ve a, b∈ℤ olmak üzere,

b

x= a olsun. a =r₀ ,b=r₁ alınsın. Öklid

Algoritması yardımıyla, x in açılımı yapılırsa;

2 1 1

0 q r r

r = + , 0<r₂ <r₁

3 2 2

1 q r r

r = + , 0<r₃ <r₂

4 3 3

2 q r r

r = + , 0<r₄ <r₃

⋮

n 2 n 1 n 1 n

r₋ =q ₋r₋ +r , 0<r_n <r_n−1 0

r q r_n−1 = _{n n} +

elde edilir. Burada q₂,q₃,…,q_n pozitif tamsayılardır. Her bir ifade kesir şeklinde yazılırsa,

2 1 1 1 2 1 1 0

r r q 1 r q r r r b

a = = + = +

3 2 2 2 3 2 2 1

r r q 1 r q r r

r = + = +

4 3 3 3 4 3 3 2

r r q 1 r q r r

r = + = +

⋮

n 1 n 1 n 1 n

n 1 n 1 n

2 n

r r q 1 r q r r r

− −

−

−

−

− = + = +

n n

1

n q

r r ⁻ =

elde edilir. Đkinci denklemde

2 1

r

r nin değeri birinci denklemde ve benzer şekilde diğer

oranlarda sırasıyla yeni elde edilen sürekli kesirde yerine yazılırsa,

3 2 2 1

r r q 1 q 1 b a

+ +

=

4 3 3 2 1

r r q 1 q 1 q 1 b a

+ + +

=

⋮

n 1 n 3

2 1

q q 1 1 q q 1 q 1 b a

+ + + +

+

=

−

⋱

elde edilir. Buradan da, b

a kesrinin

[

q1;q2,q3,…,qn

]

şeklinde bir sürekli kesir ifadesi elde edilir. Bu da her rasyonel sayının sonlu basit sürekli kesir olarak yazılabileceğini gösterir.

Bir rasyonel sayının sürekli kesirlere açılımı farklı şekillerde de bulunabilir;

( ) ( )

1 1 1 a 1 1 a

a_n = _n − + = _n − +

ifadesinden devam edilirse,

[

^a0^;a1^,a2^,a3^,…^,an

] [

= ^a0^;a1^,a2^,a3^,…^,an −^1,1

]

elde edilir. Burada a_n =1^alınırsa,

1 1 a

a 1 a

a 1 _{n 1 n 1}

n 1

n₋ + = ₋ + = ₋ +

Bulunur. Buradan da,

[

^a0^;a1^,a2^,a3^,…^,an

] [

= ^a0^;a1^,a2^,a3^,…^,an₋1+¹

]

elde edilmiş olur.

Önerme 1.2.1. 1≤k≤nolmak üzere,

(i)

[

a0;a1,a2,…,an

]

=

[

a0;a1,a2,…,ak₋1,

[

ak;ak₊1,…,an

] ]

(ii)

[ ] [

1 2 n

]

0 n 2 1

0 a ;a , ,a

a 1 a , , a , a

;

a … = + …

dır[6].

Đspat: Đfadelerin doğruluğu sürekli kesir tanımından kolaylıkla görülebilir. (ii) ifadesi, (i) ifadesinin k=1 için özel halidir[1].

Örnek 1.2.1. Öklid algoritması kullanılarak 7

24 kesrinin sürekli kesir açılımı;

24=3.7+3 ,

3 7 3 1 7 3 3 7

24 = + = +

7=2.3+1 ,

3 2 1 3 7 = +

olur, bu bölümler birleştirilirse;

3 2 1 3 1 3 7 3 1 7 3 3 7 24

+ +

= +

= +

=

veya,

1 2 1 2 1 3 1 3 2 1 3 1 3 7 3 1 7 3 3 7 24

+ + +

= + +

= +

= +

=

olur. Burada kısmi bölümler, 3, 2, 3 veya 3, 2, 2, 1 dir. O halde,

[

^3;2,3

] [

^3;2,2,1

]

7

24 = = şeklinde bulunur.

Örnek 1.2.2.

42

−67kesrinin sürekli kesir açılımı;

8 17 2 1 2 1

17 2 8 2 1

17 42 2 1 42 2 17 42 67

+ +

−

= + +

−

= +

−

= +

−

=

−

1 7 1 2 1 2 1 2 1

8 2 1 2 1 2 1

+ + + +

−

= + + +

−

=

[

^2;2,2,8

] [

^2;2,2,7,1

]

42

67 = − = −

−

Örnek 1.2.3.

41

6 kesrinin sürekli kesir açılımı;

5 1 1 6 1 0 1

5 6 6 1 0 1 6 6 5 0 1 6 41 0 1 41

6

+ + +

= + +

= + +

= +

=

[

^0;6,1,5

] [

^0;6,1,4,1

]

41

6 = =

bulunur.

Teorem 1.2.3. a dı₀ şında bütün terimleri pozitif,

( )

an n 0^ℕ₌ sonlu ( ℕ doğal sayı) veya sonsuz

(

^{ℕ= ∞}

)

reel sayı dizisi olsun. k=0,1,2,… olacak şekilde,

1

p₋₁ = ^, q₋₁ =0

0

0 a

p = , q₀ =1

1 a a

p₁ = _{1 0} + , q₁ =a₁

⋮

2 k 1 k k

k a p p

p = ₋ + ₋ ^, qk =akqk₋1 +qk₋2 (1.1) olarak tanımlansın.

[

0 1 2 k

]

k a ;a ,a , ,a

C = …

ise bu takdirde,

k k

k q

C = p dır[7].

Đspat: Tümevarım yönteminden,

k=0 için,

[ ]

0 0 0 0

0 q

p 1 a a

C = = =

k=1 için,

[ ]

1 1

1 1 0

1 0 1 0

1 q

p a

1 a a a a 1 a

; a

C = = + = + =

olur. Bu durumda k=0 ve k=1 için teorem doğrudur.

Şimdi, 2≤k olan k tamsayısı için;

[ ]

2 k 1 k k

2 k 1 k k

k k k 2 1 0

k a q q

p p a q a p , , a , a

; a C

−

−

−

− +

= +

=

= … (1.2)

ifadesini doğru kabul edelim. pi,qi lerin tanımından dolayı, p_k−1,p_k−2,q_k−1,q_k−2 reel sayıları a₀,a₁,a₂,…,a_k−1 bölümlerine bağlıdır. Ck₊1 i elde etmek için, (1.2) eşitliğinde, ak yerine

1 k

k a

a 1

+

+ yazılabilir. Şu halde;

[

0 1 2 k k 1

] [

0 1 2

[

k k 1

] ]

1

k a ;a ,a , ,a ,a a ;a ,a , , a ;a

C ₊ = … ₊ = … ₊



 



 +

=

+ +

1 k k 2 1 0 1

k a

a 1 , , a , a

; a

C …

2 k 1 k 1 k k

2 k 1 k 1 k k

1 k

q a q

a 1

p a p

a 1 C

−

− +

−

− + +

 +







 +

 +







 +

== ,

( )

( )

k 1

q 2 k 1 k k 1 k

1 k p

2 k 1 k k 1 k 1

k a a q q q

p p

p a C a

k k

−

−

− +

−

−

−

+ + + +

+

= +



 







 



 

















1 k

1 k

q 1 k k 1 k

p

1 k k 1 k 1

k a q q

p p C a

+ +

− +

−

+ + +

= + ,

1 k

1 k 1

k q

C p

+ + = +

elde edilir. k+1 içinde doğru olduğundan teorem doğru olduğu görülür.

Tanım 1.2.2. k=0,1,2,… ve k≤n olmak üzere,

[

a0;a1,a2,…,ak

]

sürekli kesrine,

[

a0;a1,a2,…,an

]

sürekli kesrinin k. yıncı yaklaşımı denir. k. yıncı yaklaşım Ck ile gösterilir[2].

Örnek 1.2.4.

[

^3;3,1,1,3,2

]

57

187 = sürekli kesrinde, k=0,1,2,3,4,5 için p_k ve q_k

terimleri,

3 a

p₀ = ₀ = , q₀ =1

10 1 3 . 3 1 a a

p₁ = _{0 1}+ = + = ^, q₁ =a₁ =3

13 3 10 . 1 p p a

p₂ = _{2 1}+ ₀ = + = ^, q₂ =a₂q₁+q₀ =1.3+1=4 23

10 13 . 1 p p a

p₃ = _{3 2} + ₁ = + = ^, q₃ =a₃q₂ +q₁ =1.4+3=7 82

14 23 . 3 p p a

p₄ = _{4 3} + ₂ = + = ^, q₄ =a₄q₃ +q₂ =3.7+4=25 187

23 82 . 2 p p a

p₅ = _{5 4} + ₃ = + = ^, q₅ =a₅q₄ +q₃ =2.25+7=57 bulunur. Bu sürekli kesrin yaklaşımları;

1 3 3 q C p

0 0

0 = = =

...

33333 , 3 3 10 q C p

1 1

1 = = =

25 , 4 3 13 q C p

2 2

2 = = =

...

28571 , 7 3 23 q C p

3 3

3 = = =

28 , 25 3 82 q C p

4 4

4 = = =

...

28070 , 57 3 187 q

C p

5 5

5 = = =

Teorem 1.2.4. a dı₀ şında bütün terimleri pozitif,

( )

aⁿ n 0^ℕ₌ sonlu ( ℕ doğal sayı) veya sonsuz

(

^{ℕ= ∞}

)

reel sayı dizisi olsun. k=0,1,2,… olacak şekilde,

( )

^{k 1}

k 1 k 1 k

kq p q 1

p ₋ − ₋ = − ⁻

dir.

Đspat: Tümevarım yönteminden,

k=1 için, ^p1^q0 −^p0^q1 =

(

^a0^a1+¹

)

^.1−^a0^a1 =¹ olduğundan eşitik doğrudur.

Şimdi, 1≤k olan k tamsayısı için;

( )

^{k 1}

k 1 k 1 k

kq p q 1

p ₋ − ₋ = − ⁻

olsun.

( )

^k

1 k k k 1

k q p q 1

p ₊ − ₊ = −

olduğu gösterilirse;

(

k 1 k k 1

)

k k

(

k 1 k k 1

)

1 k k k 1

k q p q a p p .q p a q q

p ₊ − ₊ = ₊ + ₋ − ₊ + ₋

( )

^{k 1}

( )

^k

1 k k k 1

k q p q 1 1

p ₋ − ₋ =−− ⁻ = −

bulunur. Tümavarım yöntemi ile ispat tamamlanmış olur.

Örnek 1.2.5.

[

^2;3,5,10

]

sürekli kesri için, 1

3 . 2 1 . 7 q p q

p_{1 0} − _{0 1} = − =

1 16 . 7 3 . 37 q p q

p_{2 1}− _{1 2} = − =−

1 163 . 37 16 . 377 q

p q

p_{3 2} − _{2 3} = − =

elde edilir.

Teorem 1.2.5. Teorem 1.2.3. de tanımlanan p_k ve q_k tamsayıları aralarında asaldır[1].

Đspat: d=

(

pk,qk

)

olsun. Teorem 1.2.4. ten pkqk₋1 −pk₋1qk =

( )

−1^k−1 dır.

(

pk,qk

)

d= ^{ise d}│pk ve d│qk olur. Buradan d│pkqk₋1 ve d│qkpk₋1 olup Önerme 1.1.2. de (iv) den, d│

(

^{p qk k 1}− −^{pk 1}−^qk

)

elde edilir. Buradan da d│

( )

^−1k−1 bulunur. Bu ise d=1 olmasını gerektirir. En büyük ortak bölenleri 1 olduğundan pk ve q_k tamsayıları aralarında asaldırlar ve teorem ispatlanmış olur.

Sonuç 1.2.1.

k k

k q

C = p olmak üzere k≥1 için,

( )

1 k k

1 k

1 k

k q q

C 1 C

−

−

− = −

−

dir. Ayrıca ∀ k≥2 tamsayısı için,

( )

2 k k

k k 2 k

k q q

1 C a

C

−

− = −

−

dir.

Đspat: Teorem 1.2.4. ten pkqk₋1 −pk₋1qk =

( )

−1^k−1 yazılabilir. Eşitliğin her iki tarafı

1 k kq

q ₋ ile bölünürse,

( )

1 k k

1 k

1 k

1 k

k k 1 k

k q q

1 q

p q C p C

−

−

−

− = − − = −

−

bulunur. Bu da birinci eşitliğin ispatıdır.Eğer;

2 k k

k 2 k 2 k k

2 k

2 k

k k 2 k

k q q

q p q p q

p q C p

C

−

−

−

−

− −

= −

−

=

−

yazılırsa,

2 k 1 k k

k a p p

p = ₋ + ₋

2 k 1 k k

k a q q

q = ₋ + ₋

eşitliklerini kullanarak,

(

k k 1 k 2

)

k 2 k 2

(

k k 1 k 2

)

k 2 k 2 k

kq p q a p p .q p a q q

p ₋ − ₋ = ₋ + _{− −} − _{− −} + ₋

(

k 1 k 2 k 2 k 1

)

k p q p q

a _{− −} − _{− −}

=

bulunur. Teorem 1.2.4. ten pk₋1qk₋2 −pk₋2qk₋1 =

( )

−1 ^k−2 yazılabilir. O halde,

( )

k

( )

^k

2 k

k 1 a 1

a − = −

= ⁻

bulunur. Buradan;

( )

2 k k

k k 2 k

k q q

1 C a

C

−

−

= −

−

bulunur ki, bu da ikinci eşitliğin ispatıdır.

Teorem 1.2.6. a dı₀ şında bütün terimleri pozitif,

( )

aⁿ n 0^ℕ₌ sonlu ( ℕ doğal sayı) veya sonsuz

(

^{ℕ= ∞}

)

reel sayı dizisi olsun. k=0,1,2,… olacak şekilde,

[ ]

k k k 3 2 1 0

k q

a p , , a , a , a

; a

C = … =

olsun. O halde;

a) C₀ <C₂ <C₄ <...<C_2m <...

b) C₁ >C₃ >C₅ >...>C_2m−1 >...

c) C_2i−1 >C_2j

dir[1].

Đspat: Teorem 1.2.4. ten

(

k 2 k 1

) (

k 1 k

)

k 2

k C C C C C

C ₋ − = ₊ − ₊ + ₊ −







 −

+







 −

=

+ + +

+ +

+

k k

1 k

1 k

1 k

1 k

2 k

2 k

q p q p q

p q

p

( ) ( )

k 1 k

k

1 k 2 k

1 k

q q

1 q

q 1

+ + +

+ + −

= −

( ) ( )

2 k 1 k k

k 2 k k

q q q

q q 1

+ +

+ −

= −

elde edilir. ∀ i≥0 için q_i >0 ve Teorem 1.2.4. ten q_k+2 −q_k >0 olup C_k−2−C_k in işareti

( )

^−1k nın işareti ile aynı olacaktır. Şu halde k 2j= gibi bir çift tam sayı ise,

j 2 2 j

2 C

C ₊ >

elde edilir. Böylece,

...

C C ...

C C

C₀ < ₂ < ₄ < < _2j < _2j+2 <

yazılabilir.

Benzer biçimde, k= −2i 1 gibi bir tek tam sayı ise, bu durumda,

1 i 2 1 i

2 C

C ₊ < ₋

elde edilir. Böylece,

...

C C

...

C C

C₁ > ₃ > ₅ > > _2i−1 > _2i+1 >

yazılabilir. Her C_2i−1 >C_2j olduğundan,

( )

^{k 1}

k 1 k 1 k

kq p q 1

p ₋ − ₋ = − ⁻

eşitliğinde her iki taraf qkqk₋1 ile bölünürse,

( )

1 k k

1 k

1 k

1 k

k k 1 k

k q q

1 q

p q C p C

−

−

−

− = − − = −

−

elde edilir. k=2j alınırsa,

( )

^{−12j−1 <0 olacağından} Ck <Ck₋1 bulunur. Bu da

1 j 2 1 j

2 C

C ₊ < ₋ olur ki buradan da,

1 i 2 1 j 2 i 2 i 2 j 2 j

2 C C C

C < ₊ < _{+ +} < ₋ bulunup istenen ispat elde edilmiş olur.

Örnek 1.2.6.

[

^2;3,1,1,2,4

]

sonlu sürekli kesrinde, 1 2

C₀ = 2 =

...

3333 , 3 2 C₁ = 7 =

25 , 4 2 C₂ = 9 =

...

2857 , 7 2 C₃ =16 =

...

2777 , 18 2 C₄ = 41=

...

2784 , 79 2 C₅ =180 =

yaklaşımlarında,

4 2

0 C C

C < <

...

2777 , 2 25 , 2 2< <

ve,

5 3

1 C C

C > >

...

2784 , 2 ...

2857 , 2 ...

333 ,

2 > >

olduğu görülmektedir.

Önerme 1.2.2. Eğer

[

a0;a1,a2,a3,…,ak

]

sürekli kesrinin k. yıncı yaklaşımı

k k

k q

C = p , ve a₀ >0 ise;

[

^{k k 1, 1 0}

]

1 k

k a ;a ...,a ,a p

p

−

−

=

[

^{k k 1, 2 1}

]

1 k

k a ;a ...,a ,a

q q

−

−

=

dir[3].

Đspat: p_k =a_kp_k−1 +p_k−2 ^ve qk =akqk₋1+qk₋2 eşitliklerinden,

2 k 1 k k

k a p p

p = ₋ + ₋ ^;

1 k

2 k k 1 k

k

p a p p

p

−

−

−

+

=

3 k 2 k 1 k 1

k a p p

p ₋ = _{− −} + ₋ ;

2 k

3 k 1 k 2 k

1 k

p a p p

p

−

− −

−

− = +

4 k 3 k 2 k 2

k a p p

p ₋ = _{− −} + ₋ ;

3 k

4 k 2 k 3 k

2 k

p a p p

p

−

− −

−

− = +

⋮

0 1 2

2 a p p

p = + ;

1 0 2 1 2

p a p p

p = +

1 0 1

1 a p p

p = + ₋ ;

0 1 1 0 1

p a p p

p ₋

+

=

0

0 a

p =

olur ve bu eşitliklerden,

2 k

3 k 1 k k

2 k

1 k k 1 k

2 k k 1 k

k

p a p a 1 p

p a 1 p a p p

p

−

− −

−

− −

−

− +

+

= +

= +

=

3 k

2 k 1 k k

p p a 1 a 1

−

− + −

+

=

0 1 2 k 1 k k

a a 1 a a 1 a 1

+ + +

+

=

−

−

⋱

bulunur. O halde;

[

^{k k 1, 1 0}

]

1 k

k a ;a ...,a ,a p

p

−

−

=

dır. Diğer eşitlikte,

2 k 1 k k

k a q q

q = ₋ + ₋

yardımıyla benzer şekilde bulunur ve

[

^{k k 1, 2 1}

]

1 k

k a ;a ...,a ,a

q q

−

−

= yazılır.

1.3. Sonsuz Sürekli Kesirler

Aşağıdaki teorem sonsuz bir dizinin, iki özel durumda da aynı limite gittiğini gösterir.

Teorem 1.3.1.

a)

( )

xn monoton artan ve üstten sınırlı bir dizi ise, lim

( )

xn vardır.

b)

( )

xn monoton azalan ve alttan sınırlı bir dizi ise, lim

( )

xn vardır.

c)

( )

xn bir dizi ve lim

( )

x2n =lim

(

x2n₊1

)

=α ise, lim

( )

xn vardır ve

( )

xn =α

lim dır.

Ayrıca eğer,

( )

xn dizisinin elemanları monoton artan ise, ...

x ...

x x

x₁ < ₂ < ₃ < < _n < ve lim

( )

xn =α ise ∀n∈ℕ için xn <α dır.

Ve,

( )

xn dizisinin elemanları monoton azalan ise x₁ >x₂ >x₃ >...>x_n >... ve

( )

xn =α

lim ise ∀n∈ℕ için xn >α dır[1].

Tanım 1.3.1. a dı₀ şında bütün terimleri pozitif,

( )

aⁿ n 0^ℕ₌ sonlu ( ℕ doğal sayı) veya sonsuz

(

^{ℕ= ∞}

)

reel sayı dizisi olsun.

[

a0;a1,a2,…,an

]

n^∞=0 dizisine sonsuz sürekli kesir denir ve

[

^a0^;a1^,a2^,…

]

biçiminde gösterilir. Eğer lim

[

a0;a1,a2,…,an

]

varsa bu sonsuz sürekli kesre yakınsaktır denir ve bu durumda limit değeri,

[

^a0^;a1^,a2^,…

]

ile de gösterilir.

Sonsuz sürekli kesrin yakınsaklığını tanımlamak için, n≥0 artan değerlerinde

[

a0;a1,a2,…,an

]

sonlu sürekli kesri alınır.

[

a0;a1,a2,…,an

]

sürekli kesrini bulmak için aşağıdaki yol kullanılır;

Tanım 1.3.2. a dı₀ şında bütün terimleri pozitif,

( )

an ^∞n₌0 reel sayı dizisi olsun.

1

p₋₁ = ^, q₋₁ =0

0

0 a

p = , q₀ =1

1 a a

p₁ = _{1 0} + , q₁ =a₁

verilsin.

( )

pⁿ n 2^ℕ₌ ve

( )

q^{n ℕ}n 2₌ dizileri Teorem 1.2.3 de tanımlandığı gibi n≥2 için

2 n 1 n n

n a p p

p = ₋ + ₋ ^, qn =anqn₋1+qn₋2

şeklinde verilsin. ∀ i,j≥0 için

(

pn,qn

)

ikilisi,

n n

q

p şeklinde yazılırsa,

n n

q p e,

( )

an ^∞n₌0 dizisinin n. yinci yaklaşımı olarak adlandırılır ve

n n

q

p değeri Cn ile gösterilir.

Teorem 1.3.2. ∀ k≥1 için a_k >0 ^olacak şekilde a₀;a₁,a₂,… tamsayı dizisi verildiğinde Ck =

[

a0;a1,a2,…,ak

]

ise bu durumda C_k yaklaşımları bir α ^limitine gider,

α

k = C lim

dır.

Đspat: Teorem 1.2.6. dan,

0 2 4 2n

C <C <C < <... C <...

1 3 5 2n 1

C >C >C > >... C ₋ >...

ve ∀ i>0 , j>0 tamsayısı için,

j 2 1 i

2 C

C ₋ >

olduğu görülür. C₀ <C₂ <C₄ <... ve C₁ >C₃ >C₅ >... yakınsaklıkları için Teorem 1.3.1. in sağlandığı görülür. Şu halde C₁ >C₃ >C₅ >... bir α₁ limitine gider ve

...

C C

C₀ < ₂ < ₄ < bir α₂ limitine gider. Buradan; limC_2n+1 =α₁ ^ve limC2n =α2

yazılabilir. Şimdi bu iki limit değerinin eşit olduğunu gösterirsek ispat tamamlanmış olur.

Sonuç 1.2.1. den,

( )

^{( )}

n 2 1 n 2 n 2 1 n 2

1 1 n 2

n 2

n 2

1 n 2

1 n 2 n 2 1 n

2 q q

1 q

q 1 q

p q

C p C

+ +

− + +

+ − = + − = − =

elde edilir.

∀ k≥0 tamsayısı için, q_k ≥k ^olduğundan,

(

^{2n 11}

)( )

²ⁿ

q q

1

n 2 1 n

2 < +

+

yazılabilir. Buradan da,

n 2 1 n 2 n 2 1 n

2 q q

C 1 C

+

+ − =

dizisininin limiti 0 bulunur. Yani;

(

^{C C}

)

⁰

lim _{2n 1 2n}

n ₊ − =

∞

→

dır. şu halde C₀ <C₂ <C₄ <... ve C₁ >C₃ >C₅ >... yakınsaklıkları aynı limite sahiptir, o halde;

(

^{C C}

)

^{limC limC 0}

lim _2n

1 n n n 2 n 2 1 n

n 2 − = − =

∞ + →

∞ + →

∞

→

olur ki bu da α₁ =α₂ olduğunu gösterir. Bu da teoermin ispatını bitirir.

Tanım 1.3.3. a₀∈ℤ ve a , a ,..._{1 2} ∈ℤ olmak üzere, ⁺ Ck =

[

a0;a1,a2,…,ak

]

dizisi, değeri ;

[ ]

k

k k 2 1

0;a ,a , ,a ,... limC

a … = →∞

olan sonsuz sürekli kesri tanımlar. C_kya sonsuz sürekli kesrin k. yıncı yaklaşımı ve ak lara da kısmi bölümler denir[1].

Teorem 1.3.3. a₀∈ℤ ve a , a ,..._{1 2} ∈ℤ olmak üzere, ⁺

[

^a0^;a1^,a2^,…

]

sonsuz sürekli kesri irrasyoneldir.

Đspat: α =

[

^a0^;a1^,a2^,…

]

ve

[ ]

k k k 2 1 0

k q

a p , , a , a

; a

C = … = , α nı k. yıncı yaklaşımı olsun. n pozitif tam sayı olduğunda Teorem 1.3.2. den

1 n 2 n

2 C

C <α< ₊

dır. Her taraftan C_2n çıkarılırsa,

n 2 1 n 2 n

2 C C

C

0<α− < ₊ − elde edilir. Sonuç 1.2.1. den,

n 2 1 n 2 n 2 1 n

2 q q

C 1 C

+

+ − =

yazılabilir. O halde;

n 2 1 n 2 n 2

n 2 n

2 q q

1 q

C p 0

+

<

− α

=

− α

<

olur ve

n 2 1 n 2 n

2 n 2 n 2

q q

1 q

p 0 q

+

− <

< α

elde edilir. Böylece.

1 n 2 n 2 n

2 q

p 1 q 0

+

<

− α

<

bulunur.

α nın rasyonel sayı olduğu kabul edilsin.

b

= a

α yazılabilir.

(

^{a∈ℤ, b∈ℤ+}

)

Buradan,

1 n 2 n 2 n 2

q p 1 b 0 aq

+

<

−

<

1 n 2 n 2 n

2 q

bp b aq

0

+

<

−

<

olur. Burada her n∈ℤ için ⁺ aq_2n −bp_2n bir tamsayıdır. Burada q_2n+1 >2n+1 olduğundan, 2n₀ +1>b olan bir n tamsayısı için ₀ q_{2n 1} 2n₀ 1 b

0₊ > + > dir. Şu halde,

q 1 bp b

aq 0

1 n 2 n 2 n 2

0 0

0 − < <

<

+

dir. bu ise aq_2n −bp_2n nin bir tamsayı olması ile çelişir.

O halde, her sonsuz sürekli kesrin irrasyonel sayı ifade ettiği gösterilmiş oldu.

Şimdi de, her irrasyonel sayının, bir tek sonsuz sürekli kesir gösterimi var olduğu gösterilsin.

Teorem 1.3.4. α=α₀ bir irrasyonel sayı ve a₀,a₁,a₂,… aşağıdaki gibi tanımlansın:

Burada,

 

^tamdeğer fonksiyonunu göstermek üzere,

 

k k

a = α ^,

k k 1

k a

1

−

= α

α ₊ , ( k=0,1, 2,...)

dır. O halde;

[

^a0^;a1^,a2^,…

]

= α

dir[1].

Đspat: a_k tamsayılarının tanımından, her k için, a_k nın bir tam sayı olduğu görülür.

Ayrıca tümevarım yönteminden, negatif olmayan her k tamsayısı için, α_k ^nın irrasyonel olduğu kabul edilip αk+1 ^{var oldu}ğu gösterilebilir.

∀ k≥0 tamsayısı için, α_k bir irrasyonel sayıdır. Gerçekten, k=0 için

0 0

1 a

1

−

= α α

bir irrasyonel sayıdır. Çünkü α₀ −a₀ bir irrasyonel sayıdır.

Şimdi de α_k bir irrasyonel sayı olduğu, yani;

1 k 1 k

k a

1

−

− −

= α α

kabul edilir.

k k 1

k a

1

−

= α α ₊

nın irrasyonel olduğu gösterilirse;

1 k k k

a 1 α +

+

=

α (1.3)

olur. Eğer αk+1 rasyonel ise α_k da rasyonel olacaktır. Bu da bir çelişkidir. O halde;

1 a a_k ≤α_k < _k +

olur. Böylece, esitsizliğin her tarafından ak çıkarılırsa, 1

a 0≤α_k − _k <

olacaktır. Buradan da,

a 1 1

k k 1

k >

−

= α α ₊

olur. Sonuç olarak, k=0,1,2,.. için,

 

k 1 k 1

a ₊ = α ₊ ≥1

elde edilir. bu da bütün a₁,a₂,… lerin pozitif olduğu sonucunu verir.