Sürekli kesirler ile idealler arasındaki ilişkiler

SÜREKLĐ KESĐRLER ĐLE ĐDEALLER

ARASINDAKĐ ĐLĐŞKĐLER

YÜKSEK LĐSANS TEZĐ

Canan SÜMBÜL

Enstitü Anabilim Dalı : MATEMATĐK

Tez Danışmanı : Yrd. Doç. Dr. Serpil HALICI

Eylül 2008

ii

TEŞEKKÜR

Tezimin hazırlanmasından önce ve aşamasında desteğini ve zamanını benden esirgemeyen değerli danışman hocam Sayın Yrd. Doç. Dr. Serpil HALICI’ya, çalışmalarım boyunca bana destek olan değerli mesai arkadaşlarıma ve yaşamım boyunca her konuda destekçim olan aileme teşekkür ederim.

Canan SÜMBÜL

iii

ĐÇĐNDEKĐLER

TEŞEKKÜR ... ii

ĐÇĐNDEKĐLER ... iii

SĐMGELER VE KISALTMALAR LĐSTESĐ ... v

ÖZET ... vi

SUMMARY ... vii

BÖLÜM 1. GĐRĐŞ ... 1

1.1. Sonlu Sürekli Kesirler ... 1

1.2. Sonsuz Sürekli Kesirler ... 9

BÖLÜM 2. PERĐYODĐK SÜREKLĐ KESĐRLER ... 21

2.1. Periyodik Sonsuz Sürekli Kesirler... ... 21

2.2. Pür Periyodik Sonsuz Sürekli Kesirler ... 29

2.3. D nin Sürekli Kesire Açılımı ... 33

BÖLÜM 3. PELL DENKLEMLERĐ ... 38

BÖLÜM 4. SÜREKLĐ KESĐRLER VE ĐDEALLER ... 42

4.1.Temel Kavramlar... ... 42

4.2. Örnekler... ... 56

BÖLÜM 5. SONUÇLAR VE ÖNERĐLER ... 60

iv

v

SĐMGELER VE KISALTMALAR LĐSTESĐ

ℕ : Doğal sayılar kümesi

R : Reel sayılar kümesi

Z : Tam sayılar kümesi

⇔ : Ancak ve ancak

[ ]

: Sürekli kesir

≡ : Denktir

 

: Tam değer

a | b : a , b’yi böler

| | : Mutlak değer

⇒ : Đse

∈ : Elemanıdır

∃ : Vardır

   : Alttan sınırlı

   : Üstten sınırlı

vi

ÖZET

Anahtar kelimeler: Sürekli Kesirler, Sonsuz Sürekli Kesirler, Periyodik Sonsuz Sürekli Kesirler, Đdealler, Temel Birim

Birinci bölümde sonlu sürekli kesirler ve sonsuz sürekli kesirler ele alınmıştır. Her rasyonel sayının bir sonlu sürekli kesir olarak ifade edilebileceği ve her sonlu sürekli kesrin bir rasyonel sayıya eşit olduğu gösterilmiştir. Her sonsuz basit sürekli kesrin bir irrasyonel sayı ifade ettiğini ve her irrasyonel sayının bir sonsuz basit sürekli kesir ile ifade edilebileceği gösterilmiştir.

Đkinci bölümde periyodik sonsuz sürekli kesirler incelenmiştir. Her periyodik sonsuz basit sürekli kesrin bir kuadratik irrasyonel sayıya eşit olduğu gösterilmiştir. Ayrıca pür periyodik sonsuz sürekli kesirler ve D nin sürekli kesirlere açılımı incelenmiştir.

Üçüncü bölümde Pell denkleminin tamsayı çözümleri ile sonsuz sürekli kesirler arasındaki bağıntılardan bahsedilmiştir

Dördüncü bölümde sürekli kesirler ile idealler arasındaki ilişki incelenmiştir.

vii

RELATIONS BETWEEN CONTINUED FRACTIONS AND

IDEALS

SUMMARY

Key Words: Continued Fractions, Infinite Continued Fractions, Pure Periodic Infinite Continued Fractions, Ideals, Fundamental Unit

In the first chapter, finite continued fractions and infinite continued fractions are studied. It is shown that every finite simple continued fraction is a ratioal number and that a rational number is expressed as a finite simple continued fraction. It is shown that every infinite simple continued fraction is represented as an irrational number.

On the other hand, every irrational number is expressed as an infinite continued fractions.

In the second chapter, periodic infinite continued fractions are studied. It is shown that every periodic infinite continued fractions repsesent a quadratic irrational number and also pure periodic infinite continued fractions and the simple infinite contiued fraction exponsion of D are studied.

In the third chapter, relations between integer solutions Pell’s equations and infinite continued fractions are investigated.

In the fourth chapter, relations between integer continued fractions and ideals are investigated.

BÖLÜM 1. GĐRĐŞ

1.1. Sonlu Sürekli Kesirler

Tanım 1.1.1. a , a , a ,_{0 1 2} …, a_n reel sayılar ve a hariç hepsi pozitif tamsayı olsun. ₀

0 1 2 n 0

1 2 n

1 2

n 1 n 0

1 1 1 1

a [a ; a , a ,..., a ] a ...

1 a a a

a 1

a 1

a ⁻ a

+ = = +

+ + +

+

+⋱ +

(1.1 )

kesrine sonlu sürekli kesir denir. a , a , a ,_{0 1 2} …, a_n reel sayılarına sürekli kesirlerin kısmi bölümleri denir[1].

Bir sonlu sürekli kesrin aşağıdaki gibi üç denk gösterimi mevcuttur [1].

[ ]

[ ]

0 1 2 n 0 1 n 1

n

0

1 2 n

a ; a , a , , a a ; a , , a 1 a a 1

a , a , , a

−

 

= + 

 

= +

… …

…

Teorem 1.1.1. Her rasyonel sayı bir sonlu sürekli kesir olarak ifade edilebilir. Tersine her sonlu sürekli kesir bir rasyonel sayıya eşittir [1].

Đspat : Her bir rasyonel sayı

(

^{u , u0 1}

)

^{=1 ve u1 >0} olmak üzere u₀ u şeklinde ₁ yazılabilir. u₀ u rasyonel sayısına Euclid Algoritması uygulanırsa aşağıdaki ₁ eşitlikler elde edilir [10].

0 0 1 2 2 1

1 1 2 3 3 2

2 2 3 4 4 3

n 1 n 1 n n 1 n 1 n

n n n 1

u a u u 0 u u

u a u u 0 u u

u a u u 0 u u

u a u u 0 u u

u a u

− − + +

+

= + < <

= + < <

= + < <

= + < <

= ⋅

(1.2)

Burada 0 ≤ i ≤ n aralığındaki tüm i tamsayı değerleri için, u u_{i i 1+} yerine β_i yazılırsa (1.2) eşitlikleri

i ai

β = olmak üzere 0≤ ≤ −i n 1 için

_{i i}

i 1

a 1

+

β = +

β (1.3)

şeklinde ifade edilebilir.Bu eşitliklerin i = 0 ve i = 1 için ilk ikisi alınarak β₁ değeri ortadan kaldırılırsa:

0 0

1 2

a 1 a 1

β = +

+β

elde edilir. Bu son eşitlikte β₂ yerine (1.3) den elde edilen değeri yazılır ve böylece devam edilirse,

0

0 0

1 1

n 1 n

u 1

a 1

u a

1 a 1

− a

= β = + +

+

⋱

(1.4)

elde edilir. Böylece β₀ yani u₀ u ’in sürekli kesre açılımı elde edilmiş olur [10]. ₁

0 1

u u rasyonel sayısının paydası olan u₁ ≠0 tam sayısı pozitif kabul edilebilir.

Fakat bu durumda aynı kabul u için söylenemez. Böylece ₀ a negatif tam sayı hatta ₀ sıfır olabilir. Ayrıca 0<u₂ <u₁ olduğu için, a₁ tam sayısı pozitiftir ve benzer şekilde

2 3 n

a , a ,…, a tam sayılarının her biri pozitiftir. n≥1 durumunda (1.2) sistemi birden

fazla eşitliğe sahip olur. O zaman a_n =u_n u_{n 1+} için, 0<u_{n 1+} <u_n olduğundan an >1 olur.

Teoremin tersi ;

[

^{a ;a ,a ,0 1 2} …^,an

]

=^a0+

[

a ; a , ... , a^{1 2 1 n}

]

eşitliği ve sürekli kesrin terimlerinin sayısı üzerinde tümevarım kullanılarak ispatlanabilir [1].

Tanım 1.1.2. Bir rasyonel sayının sürekli kesir ile gösterimine rasyonel sayının sürekli kesre açılımı denir [1].

Euclid Algoritmasını kullanarak, rasyonel sayılar sürekli kesirler olarak ifade edilebilir. Örneğin,

2431 14.165 121 165 1.121 44 121 2.44 33

44 1.33 11 33 3.11

= +

= +

= +

= +

=

elde edilir. Bu denklemin her iki yanı kendi bölenine bölünürse;

2431 121 1

14 14

165 165 165

121

165 44 1

1 1

121 121 121

44

121 33 1

2 2

44 44 44

3

44 11 1 33

1 1 ; 3

33 33 33 11

11

= + = +

= + = +

= + = +

= + = + =

elde edilir. Bu denklemler birleştirilirse, aşağıdaki ifade bulunur:

2431 1 1

14 14

165 165 /121 1 1

121/ 44

= + = +

+

1 1

14 14

1 1

1 1

1 1

2 2

44 / 33 1

1 3

= + = +

+ +

+ +

+

Sonuç 1.1.1. (1.3) ile verilen basit sürekli kesir genel olarak ;

[

^{0 1 2 n-1 n}

] [

^{0 1 2 n-1}

]

a q ;q , q , , q , q q ;q , q , , q ,1

b = … = …

şeklinde iki denk açılıma sahiptir. Bunlardan birisi çift sayıda terimden oluşursa diğeri tek sayıda terimden oluşur.

Ayrıca a

b tam sayı ise,

a a a

1 ; 1

b b b

   

= = − 

   

şeklinde ifade edilir [4].

Önerme 1.1.1. Sonlu bir sürekli kesir rasyonel sayıdır. Tersine her rasyonel sayının tam olarak iki tip sürekli kesir açılımı vardır. Bu açılımlardan birinin uzunluğu çift, diğerinin uzunluğu tektir [4].

Teorem 1.1.2. 1≤ ≤k nolmak üzere ,

[

^{a ;a ,0 1}…^{, an}

]

=^{a ;a ,0 1}…^{, ak 1}− ^{, a ;a}

[

^{k k 1}+ ^,…^{, an}

]

 dir[4].

Örnek 1.1.1. 58

7 , 123 34

− ve 5

7 sürekli kesirleri aşağıdaki gibi açılabilir:

58=8.7+2 7=3.2+1 2=2.1

olduğundan kısmi bölümler 8, 3,2 dir. Şu halde ^{58 7=}

[

^{8;3, 2}

] [

^{= 8;3,1,1}

]

^olarak

bulunur.

123 34

− 1

4 1

2 1

1 1

1 1

1 1

1 2

= − +

+ + + +

+

[ ] [ ]

5 0;1, 2, 2 0;1, 2,1,1

7 = =

Aşağıda verilecek teorem, sabit bir rasyonel sayının sadece tek veya sadece çift açılımı kullanılmak üzere sürekli kesre açılımın tekliğini ifade etmektedir.

Teorem 1.1.3.

[

^{a ;a ,a ,0 1 2} …,a , b ; b , b ,ⁿ

] [

^{0 1 2} …, b^m

]

sonlu birer sürekli kesir olmak üzere,

[

^{a ;a ,a ,0 1 2} …^,an

] [

= b ; b , b ,^{0 1 2} …, b^m

]

ve a_n >1, b_m >1 ise n=mve ^{ai =b 0i}

(

^{≤ ≤i n}

)

dir.

Đspat : Đspatı tümevarımla yapılabilir. Önce i=0 ve i=1 için a_i =b_i olduğunu göstermek için,

[

^{b ; b , bi i 1}+ ^{i 2}+ ^,…^{, bm}

]

sürekli kesrinin değerine y denilirse, _i

[ ] [ ]

i i i 1 i 2 m i

i 1 m

y b ; b , b , , b b 1

b ; , b

+ +

+

= … = +

…

_i

i 1

b 1 y₊

= +

elde edilir. Buradan y_i >b_i ve ^{yi >1 1}

(

^{≤ ≤ −i n 1}

)

^{ve ym =bm >1} olduğu görülür.

Dolayısıyla 0≤ ≤i m aralığındaki tüm i tam sayı değerleri için ^{bi =}

[ ]

^{yi dir.}

[

^{a ;a ,a ,0 1 2 …,an}

]

sürekli kesrini de (1.4) eşitliğinde olduğu gibi β₀ ile gösterelim.

Böylece

i

0 i

i 1 i 1

u a 1

+ u+

β = + =

β ve 0<u_{i 1+} <u_i

olduğundan, tüm 0≤ ≤i n tam sayı değerleri için β >_{i 1+} 1 ve böylece (1.3) eşitliğinden ^{ai = β}

[ ]

^{i bulunur. y0 = β0} olduğundan ^{b0 =}

[ ] [ ]

^{y0 = β =0 a0} dır. (1.3) ve sonuç 1.1.1 deki eşitliklerinden

0 0 0 0

1 1

1 1

a y b

= β − = − = y β

ve böylece β =_i y_i ve ^{ai = β =}

[ ] [ ]

^{i yi =bĐ} elde edilir. O halde teorem i=0 ve i=1 için doğrudur. Şimdi β =_i y_i ve a_i =b_i olduğunu kabul edelim ve β =_{i 1+} y_{i 1+} ve

i 1 i 1

a₊ =b₊ olduğunu gösterelim. Bunu göstermek için (1.3) ve (1.4) eşitlikleri kullanılırsa,

Đ Đ Đ Đ

Đ 1 Đ 1

1 1

a y b

+ y +

= β − = − = β

elde edilir. Buradan β =_{i 1+} y_{i 1+} ve ^{ai 1}+ = β

[ ] [ ]

^{i 1}+ = ^{yi 1}+ =^{bi 1}+ ^bulunur.

Son olarak m=n olduğunu gösterelim. Kabul edelim ki n<molsun. Elde edilen son eşitlik yardımıyla β =_n y_n ve a_n =b_n yazılabilir. Fakat (1.3) den β =_n y_n ve n<m için yine (1.3) den y_n =b_n elde edilir ki bu β =_n y_n olması ile çelişir. n >m için benzer çelişki elde edilir. Şu halde n=m olmalıdır [4].

Teorem 1.1.4. a hariç tüm terimleri pozitif olan, ₀

( )

^an sonlu veya sonsuz reel sayı dizisi ele alındığında, k≥0 olmak üzere,

2 1 k k k 1 k 2

2 1 k k k 1 k 2

0 , 1 a p p

q 1 , 0 a q q

p p , p

q , q

− − − −

− − − −

= = = +

= = = +

(1.5)

eşitlikleri yardımıyla

{ }

^{pk ve}

{ }

^qk tam sayı dizileri tanımlansın.

0 1

k k

C

=

[a ; a , , a ]

…

iken, _k ^k

k

C p

= q olur[11].

Tanım 1.1.3. k, n ’ye eşit yada n ’den küçük negatif olmayan bir tamsayı olmak üzere

[

^{a ;a ,a ,0 1 2 …,ak}

]

sürekli kesrine

[

^{a ;a ,0 1…,an}

]

sürekli kesrinin k.yaklaşımı denir ve C_k ile gösterilir [6].

Teorem 1.1.5.

( )

^an sonlu bir dizi, a hariç, ₀ a ler (1.4) denklemlerindeki gibi olsun. _k Bu taktirde her k≥ −1 için,

( )

^{k 1}

k k 1 k 1 k

p q ₋ −p ₋q = −1 ⁻ (1.6)

dir.

Đspat : Teoremin ispatı için k üzerinde tümevarım uygulayalım. k = −1 veya k =0 için ifadenin doğruluğu açıktır.

( )

^{k 1}

k k 1 k 1 k

p q ₋ −p ₋q = −1 ⁻

k= −1 için

( )

²

1 2 2 1

p q_{− −} −p q_{− −} =1.1 0.0− = −1 ⁻ =1

k=0 için

( )

¹

0 1 1 0 0

p q₋ −p q₋ =a .0 1.1− = −1 ⁻ = −1

dir.

k=1 için

( )

1 0 0 1 1 0 0 1

p q −p q = a a + ⋅ −1 1 a a =1

olur. Teorem k tam sayısı için doğru olsun, yani 1≤ ≤k n olmak üzere

( )

^{k 1}

k k 1 k 1 k

p q ₋ −p ₋ q = −1 ⁻

olsun. O halde k+1 için;

( ) ( )

( ) ( )

k 1 k k k 1 k 1 k k 1 k k k 1 k k 1

k 1 k

k 1 k k k 1

p q p q a p +p q p a q +q

p q p q 1 1

+ + + − + −

−

− −

− = −

= − = − − = −

elde edilir ve böylece teoremin doğruluğu gösterilmiş olur.

Sonuç 1.1.2. Teorem 1.1.5’de tanımlanan p_k ve q_k tam sayıları aralarında asaldır.

Sonuç 1.1.3. (1.5) eşitliklerinde tanımlanan

{ }

^{pk ve}

{ }

^qk tam sayı dizileri ve her k≥0 için,

( )

^k

k k 2 k 2 k k

p q ₋ −p ₋ q = −1 a (1.7)

dır[5].

Sonuç 1.1.4.

{ }

^{pk ,}

{ }

^qk (1.5) ile verilen tam sayı dizileri ve _k ^k

k

C p

=q olsun. k≥1 için,

( )

k k 1

k 1

k k 1

C C 1

− q q

−

−

− = −

dir. Ayrıca her k≥2 tam sayısı için,

( )

k k 2

k k

k k 2

a 1

C C

− q q

−

− = −

dir[5].

Teorem 1.1.6. (1.5) te tanımlı

{ }

^{pk ve}

{ }

^qk dizileri ile elde edilen _k ^k

k

C p

= q değerleri

0 2 3 1

C <C <…<C <C sonsuz eşitlik zincirini sağlar. Diğer bir değişle

a) Çift indisli C değerleri artan bir dizi, _k

b) Tek indisli C değerleri azalan bir dizi teşkil ederler. _k

c) ∀

n,

m∈Z^{+ için} C değeri 2n C_2m-1değerinden daha küçüktür[5].

Önerme 1.1.3. Eğer ^Ck =^pk q , a ; a ,^k

[

^{0 1} …, aⁿ

]

sürekli kesrinin k.yaklaşımı ve a0 > 0 ise ;

k

1 0

k k 1

k 1

p [a ;a , ,a ,a ]

p

₋ = ⁻ …

k

2 1

k k 1

k 1

q [a ;a , ,a ,a ]

q

₋ = ⁻ …

dir[5] .

1. 2. Sonsuz Sürekli Kesirler

a pozitif olması gerekmeyen bir tam sayı ve 0 a , a ,… pozitif tam sayılar olmak _{1 2} üzere, a , a , a ,… sonsuz tam sayı dizisi göz önüne alınsın. (1.5) de tanımlanan _{0 1 2} eşitlikler yardımıyla

0 0 0

p =a

, q

=1, p₁=a a_{0 1}

1 , q

+ ₁=a₁ olarak bulunur. Ayrıca k > 0 için a_k > 0 olduğundan

2 0 1 2

1=q₋ =q < <q q <…

elde edilir.

Teorem 1.2.1. (1.5) ile tanımlı

{ }

^{pk ve}

{ }

^qk dizileri verilsin. Bu taktirde her pozitif x reel sayısı için

k 1 k 2

0 1 2 k 1

k 1 k 2

; a , a , ]

xp p

[a , , a x

xq q

− −

− − −

= +

… +

dir[4].

Đspat : Đspat için tümevarım kullanılırsa k = 0 için

1 2

1 2

xp p

[x] x

1 xq q

− −

− −

+

= = +

sağlandığı açıktır. Bu eşitliğin ilk k terim için doğru olduğunu kabul edelim.

[

^{a ;a ,0 1 , a , xk}

]

^{a ;a ,0 1 , ak 1,ak}

¹

−

x

 

= + 

 

… …

k

k

k 1 k 2

k 1 k 2

a 1 x a 1

x

p p

q q

− −

− −

 

+ +

 

 

 

+ +

 

 

=

k k 1 k 2 k 1

k k 1 k 2 k 1

x(a p p ) p

x(a q q ) q

− − −

− − −

+ +

= + + ^k_k ^{k 1}_{k 1}

xp p

xq q

−

−

= + +

elde edilir ve böylece k 1 + terim için de eşitliğin doğru olduğu görülür [4].

Teorem 1.2.2. ∀

k

≥0 tam sayısı için

[ ]

k 0 1 2 k

C = a ;a ,a ,…,a ise _k ^k

k

C p

=q

dır[4].

Teorem 1.2.3. Her k ≥ 1 için, a_k > 0 olmak üzere, a , a ,… tam sayılar dizisi _{0 1} verildiğinde ^{Ck =}

[

^{a ;a ,0 1 …, ak}

]

^ise _klim Ck

→∞ mevcuttur ve her r,s ≥ 0 tamsayıları için

2r k k 2s 1

C lim C C

→∞ +

< <

dir.

Đspat : Sonuç 1.1.4 ten,

{ }

C2k dizisi monoton artan ve herhangi bir tek yaklaşım ile üstten sınırlı olduğundan limiti mevcuttur. Benzer şekilde

{

C2k 1₊

}

dizisi monoton azalan ve herhangi bir tek yaklaşım ile alttan sınırlı olduğundan limiti mevcuttur.

Sonuç 1.1.4 gereği ,

2k 1 2k

2k 2k 1

C C

q q

1

+ +

= +

elde edilir. Eşitliğin her iki tarafında limit alınırsa

k 2k 1 k 2k k

2k 2k 1

lim C lim C lim q q

1

→∞ + →∞ →∞

+

= +

yazılır.

{ }

^qk artan bir dizi ve her k pozitif tamsayısı için q_k ≥k olduğundan

2k 2k 1

1

q q ₊ ifadesinin limiti sıfıra yaklaşır. Buradan

k 2k 1 k 2k

lim C lim C

→∞ + = →∞

yazılır. Böylece çift ve tek yaklaşımlar dizisinin limitleri eşit olduğundan

k k k 2k k 2k 1

lim C lim C lim C

→∞ = →∞ = →∞ +

bulunur. Her tek yaklaşım her çift yaklaşımdan büyük olduğu için istenilen eşitsizlik ispatlanmış olur.

Tanım 1.2.1. a₀ hariç hepsi pozitif tam sayı olmak üzere (a , sıfır veya negatif tam ₀ sayı olabilir) a , a , a … sonsuz tam sayı dizisi ile oluşturulan _{0 1 2}

[

^{a ;a ,a …0 1 2}

]

^sürekli

kesrine sonsuz basit sürekli kesir denir.

[

^{a ;a ,a …0 1 2}

]

in değeri _klim a ; a , a

[

^{0 1 2} , a^k

]

→∞ …

olarak tanımlanır. Bu limit Teorem 1.2.2. den

k k

lim C

→∞ şeklinde de ifade edilebilir [8].

Tanım 1.2.2. a hariç hepsi pozitif tam sayılar olan bir ₀ a , a , … tam sayılar _{0 1} dizisi, ^Ck = a ; a ,

[

^{0 1} … a^k

]

olmak üzere değeri

[

a ; a ,^{0 1} , a ,ⁿ

]

_klim Ck

= →∞

… …

olan bir sonsuz sürekli kesri tanımlar. C_k’ye sonsuz sürekli kesrin k.yaklaşımı denir.

Teorem 1.2.4. Her

[

a ; a , a …^{0 1 2}

]

sonsuz basit sürekli kesrinin değeri bir irrasyonel sayıdır[3].

Teorem 1.2.5. β =

[

a ; a , a^{0 1 2}…

]

olsun. Bu taktirde ^{β =1 a ; a}

[

^{1 2…}

]

olmak üzere

[ ]

^{0 0}

1

a ve a

1

β = β = +

β ^dir[3].

Teorem 1.2.6. Farklı iki sonsuz basit sürekli kesrin irrasyonel sayı değerleri de farklıdır[3].

Đspat : Kabul edelim ki farklı

[

a ; a , a^{0 1 2}…

] [

ve b ; b , b^{0 1 2}…

]

sürekli kesirleri aynı β değerine sahip olsunlar. O zaman

[

a ; a , a^{0 1 2}…

] [

= b ; b , b^{0 1 2}…

]

= β yazılabilir. Teorem 1.2.5 den

[ ]

^{β = a0 = b0 ve}

0 0

1 2 1 2

;a , ] b ; b , ]

1 1

a

⁺

[a

^{= +}

[b

β = … …

dir. Böylece

[

a ; a , a^{0 1 2}…

] [

= b ; b , b^{0 1 2}…

]

elde edilir. Bu ise bir çelişkidir.

Böylece ispat tamamlanmış olur [3].

Sonuç 1.2.1. β =

[

a ; a , ^{0 1} …

] [

= b ; b , ^{0 1} …

]

ise her k > 0 için, a = b dır[3]. _{k k}

Her sonsuz basit sürekli kesrin bir irrasyonel sayı ifade ettiğini belirtmiştik. Şimdi her irrasyonel sayının bir sonsuz basit sürekli kesir ile ifade edileceği gösterilecektir.

Teorem 1.2.7. Her α irrasyonel sayısı bir tek sonsuz basit sürekli kesre eşittir[3].

Đspat : α = α₀ ve [ ] α = a₀ olsun. ₁

a0

α

1

= −

α alınırsa, 0 < α − a₀ < 1

olduğundan α >₁ 1 olacaktır.

1 1

[ α ] = a ∈ ℤ⁺ olsun. ₂

1 a1

α

1

= α − alınırsa ve bu şekilde devam edilirse k∀ ≥ 0 için,

k k k 1

k k

a [ ] ,

a

1

= α α +

=α − (1.8)

eşitlikleri elde edilir. Buradaki a_k tam sayıları Tanım 1.2.2. ile verilen tam sayılardır. α ₀ irrasyonel sayı olduğu için α₂ bir irrasyonel sayıdır. Ayrıca her

k ≥ 1 için ak ≥ 1 dir. Gerçekten

k 1 k 1 k 1

a ₋ = α [ ₋ ] ve α ₋ irrasyonel sayısı için

k 1 k 1 k 1 k 1 k 1

a ₋ < α ₋ < + 1 a ₋, 0 < α ₋ – a ₋ < 1

olduğundan

k

k 1 k 1

a 1

1

− −

α >

α −

=

ve böylece ak = α

[ ]

k ≥ 1 ^dir. _{k k}

k 1

a

1

+

α = +

α eşitliğinde her k ≥ 0 için (1.8) eşitliklerinin tekrarlı kullanımı ile

0 0 0 1 0 0 1 2

1 1

2

[a ; ] [a ; a , ]

a

1 1

a a

+ = α +

1

= α

α +

α

α = α = =

k 1 k

0 0

1

a 1

a 1

a 1

1

−

= +

+ +

+α α = α

⋱

elde edilir. Teorem 1.2.1 den

[

^{0 1 2 k 1 k}

]

^{k k 1 k 2}

k k 1 k 2

p p

a ; a , a , , a ,

q q

− − −

− −

α +

α = α =

α +

… (1.9)

yazılabilir. Böylece

k 1 k k 1 k 2 k 1

k 1

k 1 k k 1 k 2 k 1

p p p p

C q q q q

− − − −

− − − − −

α +

α − = α − = −

α +

^{k 1 k 2 k 1 k 2}

k 1 k k 1 k 2

) q

(p q q p

q ( q )

− − − −

− − + −

− −

= α

k 2

k 1 k k 1 k 2

q ( q q )

( 1)

⁻

− α − + −

= − −

k 1

k 1 k k 1 k 2

q ( q q )

( 1)

⁻

− α − + −

= − (1.10)

Buradan

k 1

k 1 k k 1 k 2

C q ( q q )

1

− − − −

α − = α +

yazılabilir. α >_k 1 ve q_k pozitif tam sayıları artan bir dizi oluşturduklarından, k ’nin sonsuza gitmesi durumunda α − C_{k 1 −} değeri de sıfıra yaklaşacaktır. Böylece Tanım 1.2.2 den

k k k 0 1 2 k 0 1 2

lim C lim [a ; a , a , , a ] [a ; a , a , ]

→∞ = →∞ =

α = ^… …

olur [3].

Teorem 1.2.7 den α^’nın bu şekilde sürekli kesirle ifadesinin tekliği görülür.

Sonuç 1.2.2. Đrrasyonel sayılar ile sonsuz sürekli kesirler arasında bire bir eşleme vardır [4].

Tanım 1.2.3. α =^{k a ; a}

[

^{k k 1}+ ^,…

]

şeklindeki sonsuz sürekli kesire

[ ]

0 a ; a ...0 1

α = α = sonsuz sürekli kesrinin k’ninci tamlayanı veya tamlayıcısı denir.

Teorem 1.2.8. α > 1 bir irrasyonel sayı ve

[

^{0 1}

]

b ; b ...

α =

olsun. a hariç, ₀ a ’ler pozitif olmak üzere, _k a , a , ^{0 1} … a^{k 1} ₋ , k

(

> 0

)

tam sayıları verildiğinde

0;a ,a ,1 2 , ak 1, ] [a ;a , a ,0 1 2 , ak 1, b , b0 1 ]

[a

… ₋ α = … ₋ …

dır[4].

Örnek 1.2.1 α = α₀ = 3’ün sürekli kesir açılımını bulalım.

0 1

3 3

3

a 1 1

1

, 1

2

= = = = +

α −

 

1 2

1 1

a 3 1 1 3 1

a 3 1

1 2

,

2

= + = = = = +

− −

α α

 

2 3

2 2

a 3 1 2 3 1

a 3 1

1 1

,

2

= + = = = = +

− −

α α

 

3

= α1

α olduğundan, bundan sonraki tam bölümler tekrar eder. Bu durumda k > 0 için

k

1 , k tek ise a 2 , k çift ise

=



olur, yani 3=[ 1 ; 1 , 2 , 1 , 2 ,

… dır. ] p ve q eşitliklerini kullanarak bu sonsuz _{k k} sürekli kesrin k yaklaşımlarını yazabiliriz. 3 sonsuz sürekli kesrinin birkaç yaklaşımı,

1 , 2 ,

5

,

7 19

, ,

26

3 4 11 25

şeklindedir.

k k

k

C p

=q yaklaşımları , α irrasyonel sayısı için en iyi rasyonel yaklaşım dizisi oluşturur. α = a ; a , a ...

[

^{0 1 2}

]

ve her k ≥ 0 tam sayısı için Teorem 1.2.4 ün ispatından,

k

k k k 1

q q

p 1

| |

q

^< ₊

α −

ve

k k

k 1

p | q

| q 1

+

− <

α

olduğu biliniyor. Buradan a artan bir dizi olduğundan _k q_k < q_{k 1+} dir ve böylece

k 2

k k

p |

|

α −q <

1/ q

yazılabilir.

Teorem 1.2.9. α = a ; a ,

[

^{0 1} …

]

bir irrasyonel sayı olsun. Her k ≥ 0 tam sayısı için

k k

p |

|

α −q < ^{k 1}

k 1

p |

|

q ⁻

−

α −

dir[4].

Đspat : α_{k 1 +} , α irrasyonel sayısı için (k+1) inci tamlayan olsun. O halde

[

a ; a , ^{0 1} a , ak k 1₊

]

α = … yazılabilir. Teorem 1.2.1 den

k 1 k k 1 k 1 k k 1

p p

q q

+ −

+ −

α +

α +

α =

ve buradan

k 1 k 1

k 1 k k k 1 k 1 k 1

( p ) p p

q q q

q ⁻

−

+ − − −

 

α − = −α + α − 

 

α = −

bulunur. Bu son eşitliğin her iki tarafı α_{k 1+}q_k ile bölünürse

k k 1 k 1

k k 1 k k 1

p q p

q q q

− −

+ −

 

= − α − 

α  

α −

elde edilir. α_{k 1 +} > 1 , q_k ≥ q_{k 1−} > 0 olduğu için

k 1 k 1 k

q 0

1

⁻q

+

α <

− < −

bulunur ve buradan

k k 1

k k 1

p p

| | |

q q

|

⁻

−

< α − α −

elde edilir.

Teorem 1.2.10. α bir irrasyonel sayı ve c, d tam sayıları için

(

^{c, d}

)

^{= 1 ve d > 0}

olsun.

k k

| | p | q

| c

d

^{< α −}

α − ise d>q_k

dir [4].

Teorem 1.2.11. α bir irrasyonel sayı ve c, d tam sayıları için d > 0 olsun. Her k ≥ 0 için

k k k 1

d – c α < α q − p ise d ≥ q ₊

dir.

Đspat : Farz edelim ki her k ≥ 0 için d – c α < α q_k − p_k iken d < q_{k 1+} dir.

k ypk 1 c

xp

+ ₊ =

k yqk 1 d

xq

+ ₊ =

denklem sisteminin katsayılar matrisinin determinantı

k k 1

k k 1 k k 1

k k 1

p p

p q q p 1

q q

|

⁺

|

+ +

+

= − = ∓ olduğundan , bu denklemler sıfırdan farklı olan

x, y tam sayı çözümlerine sahiptirler. x = 0 olsa, d = y a_{k 1+} dir ve buradan y > 0 olduğundan d ≥ q_{k 1+} olur. Bu ise d < q_{k 1+} olması ile çelişir.

y = 0 olsa , c = x qk olacağından ve x ≥ 1 olduğu için

k k k k k k

d – c xq – xp x q p q p

α = α = α − ≥ α −

çelişkisi ortaya çıkar.

Şimdi x ve y nin ters işaretli olduğunu gösterelim. Eğer x < 0 ise xq_k = d – yq_{k 1+} eşitliğinden y > 0 olmalıdır. Eğer y > 0 ise d > q_{k 1+} olup d < y q_{k 1+} dir ve buradan x q_k < 0 elde edilir. O halde x < 0 olmalıdır. Teorem 1.1.6 dan

k k k 1 k 1

q p ve q ₊ p ₊

α − α − değerlerinin ters işaretli olduğu söylenebilir.

Dolayısıyla x

(

αqk − pk

)

ve y

(

αqk +1−pk+1

)

değerleri aynı işaretlidirler.

k k 1 k k 1

k k k 1 k 1

d c (xq yq ) (xp yp )

x( q p ) y( q p )

+ +

+ +

α − =α + − +

= α − + α −

yazılabilir. Son eşitliğin sağ tarafındaki iki değer aynı işaretli olduklarından, bunların toplamının mutlak değeri, ayrı ayrı mutlak değerlerinin toplamına eşittir. Buradan

( )

( )

k k k 1 k 1

k k k 1 k 1

k k k k

k k

d c x( q p ) y( q p )

x( q p ) y q p

x( q p ) x q p

q p

+ +

+ +

α − = α − + α −

= α − + α −

> α − = α −

≥ α −

elde edilir. Bu ise bir çelişkidir. Dolayısıyla k 0 ∃ ≥ için

k k k 1

d – c q p ise d q ₊

α < α − ≥ ^{dir [3].}

Örnek 1.2.2. π reel sayısının sürekli kesir açılımı,

[ ]

3; 7,15, 1, 29, 1, 1, 1, 2

π = … dir. Bu sürekli kesrin ilk dört yaklaşımı

3 22 333 355

, , ,

1 7 106 113 tür. Bu yaklaşımlar sırası ile π den daha küçük ve π den daha büyük yaklaşımlardır. Teorem 1.2.10 dan 22

7 sayısının π’nin en uygun rasyonel yaklaşımı olduğu görülür.

Teorem 1.2.12. α bir irrasyonel sayı olsun.

(

^{c, d}

)

^{= 1, d > 0 için}

c

| |

α −d < 1₂ 2d

ise c

d , α nin sürekli kesirlere açılımında bir yaklaşımdır[4].

Đspat : α'nin basit sürekli kesre açılımındaki yaklaşımlar p_k q ler olsun. Farz _k edelim ki c

d α’nin bir yaklaşımı olmasın. q_k ≤ d ≤ q_{k 1 +} eşitliğini sağlayan k tam sayısını ele alalım. Bu k tam sayısı için Teorem 1.2.11 den

k k

c 1

| q p | | d c | d | |

d 2d

α − ≤ α − = α − <

elde edilir. Eşitsizliğin her iki tarafı q_k ile bölünürse

k

k k

p | q

| 1

α − <

2dq

bulunur. ^k

k

p q

c

d

^{≠ ve d pk − cqk} değerinin bir tam sayı olduğu dikkate alınırsa,

k k k

k k k

cq | p q

1 | dp c

dq

^≤

dq

^{− =}

|

⁻

d |

k k

k k

p p

q q

c c

d d

|

^{− α + α −}

| | | |

⁺

|

= ≤ α − α − ₂

2dqk 2d

1

₊

1

<

elde edilir. Bulunan eşitsizliği 2d q ile çarparsak ² _k 2d < d + q_k ve dolayısıyla d < qk elde edilir. Bu ise kabul ile çelişir [6].

BÖLÜM 2: PERĐYODĐK SÜREKLĐ KESĐRLER

Bu bölümde periyodik sürekli kesirler ile kuadratik irrasyoneller arasındaki ilişki incelenecektir.

2.1.Periyodik Sürekli Kesirler

n ≥ k şartını sağlayan yeterince büyük n tamsayıları için a_n = a_{n r +} olacak şekilde pozitif k ve r tam sayıları varsa

[

a ; a , a ,…^{0 1 2}

]

sonsuz basit sürekli kesri periyodik olarak adlandırılır.

n ≥ k için

[

a ; a , a , ..., a^{0 1 2 k 1}₋ , a , a^{k k 1}₊ , ... , a^{k r 1}_{+ −}, a , a^{k k 1}₊, ... ,a^k+r-1,..., a ,...^k

]

periyodik sonsuz sürekli kesri

0 1 2 k 1 k k 1 k r 1

a ; a , a ,... , a ₋, a , a ₊ , ... , a _{+ −}

 

 

şeklinde gösterilebilir. a , a_{k k 1+} , … , a_{k r 1+ −} tam sayılarının üzerindeki çizgi, bu tam sayıların sırasıyla sonsuz defa tekrarlandığını gösterir. Ayrıca r pozitif tam sayılarının en küçüğüne periyodik sonsuz sürekli kesrin periyot uzunluğu veya kısaca periyodu denir. a , a , _{1 2} … , a_{k 1−} e de bu kesrin ilk periyodu denir. Eğer k, tüm n≥k lar için a_n =a_{n r+} gibi negatif olmayan en küçük tamsayı ise a , a_{k k 1+} ,..., a_{k r 1+ −} bu kesrin temel periyodu olarak isimlendirilir. Eğer k=0 ise periyodik sonsuz sürekli kesre pür periyodik denir. Bu durumda periyodik sürekli kesir

0 1 r 1

a ; a , ... , a ₋

 

  şeklindedir. Örneğin,

[

2; 5, 2, 5, …

]

sonsuz sürekli kesri



2;5



  şeklinde gösterilir. 3 [1;1,2]= sayısının periyot uzunluğu 2 dir.

Tanım 2.1.1. α irrasyonel sayı ve αsayısı, katsayıları tam sayılar olan kuadratik bir polinomun kökü ise, α reel sayısına bir kuadratik irrasyoneldir denir; yani A, B ve C tam sayıları ve A ≠ 0 olmak üzere A α + α +² B C = 0 ise α'ya kuadratik irrasyonel sayı denir [8].

Tanım 2.1.2. u, v birer rasyonel sayı

(

^{v ≠ 0}

)

ve d tam kare olmayan pozitif bir tam sayı olmak üzere

u

+

v

d formundaki sayılara kuadratik irrasyonel sayı denir [4].

Önerme 2.1.1. Her α kuadratik irrasyonel sayısı, D tam kare olmayan pozitif bir tam sayı ve

Q | D

−

P (Q

² ≠

0, P, Q

∈

Z)

olmak üzere

P

D

Q

α= +

formunda yazılabilir.

Đspat : α kuadratik irrasyonel olduğundan α

= +

u

v d

₀ , v ≠ 0 , u, v ∈ Q , d0 >0 tam kare olmayan bir pozitif tamsayı olsun. a, b, c ∈ Z , b ≠ 0 , c ≠ 0 olmak üzere

2

0 0 1

a b d a b d a d

c c c

⁺

α

=

=

+

=

+

şeklinde yazabiliriz. Burada

d1 >0 tam kare olmayan bir tam sayıdır. Pay ve paydayı |c| ile çarparsak,

1

a c| | c d2

c | c | α = +

olur. Buradan α irrasyonel sayısını

0 0

0

P D

Q α = α = +

biçiminde yazabiliriz. P₀ = a c , D = d c₁ ² = b c d ve d^{2 2} _{0 0} tam kare olmadığından D tam kare değildir. Ayrıca

^{D P −}

^{02=d c1 2−a c2 2 =}

( ^d

^1−a2

) ^c

²

olduğundan

±

c²=Q | D P₀ − ₀² elde edilir [4].

Tanım 2.1.3.

P

D

Q

α

= +

bir kuadratik irrasyonel olsun. α’nın eşleniği α′ ile ifade

edilir ve

P

D

′

Q

α =

−

olarak tanımlanır. Burada α^ve α^′ ,

( ) ( )

x – T 2 α x + N α = 0

denkleminin kökleridir, bu kolayca görülebilir. Ayrıca

D D

P P 2P

T( )

^{α α =′}

Q

⁺

Q

⁼

Q

α

= + +

−

olup, T( ) α α nın izi olarak bilinir ve

2

P2 D

D D

P P

N( )

α

αα =′ ^

Q

^

Q

^=

Q

⁻

  

+ −

=

olup, bu ifade α nın normudur[11].

Aşağıdaki önermede kuadratik irrasyonel sayılar için eşleniğin özellikleri verilecektir.

Önerme 2.1.2. α =

a₁+b₁ D ve β=a₂ +b₂ D kuadratik irrasyonel sayıları için (i) (α ± β )′=

α′±β^′

(ii) (αβ)′= α β

^{′ ′}

(iii)

β ≠ 0 ise α′ = α′

β β′

 

eşitlikleri geçerlidir[4].

Đspat : α =

a₁+b₁ D iken α′=a₁−b₁ D

β =

a₂ +b₂ D ^iken β =′

^a₂ −^b₂ ^D

dır.

1 1 2 2

[(a b D )(a b D )]

(αβ)′= + + ′

=[(a a_{1 2} +b b D)_{1 2} +(a b_{1 2} +b a ) D ]′_{1 2}

=(a a_{1 2}+b b D)_{1 2} −(a b_{1 2} +b a ) D_{1 2}

elde edilir. Diğer taraftan ,

1 1 2 2

(a b D)(a b D)

α β =′ ′ − −

=(a a_{1 2} +b b D)_{1 2} −(a b_{1 2} +b a ) D_{1 2}

bulunur. Buradan (αβ)′=α β′ ′ elde edilir. Diğerlerinin ispatı benzer yolla görülebilir[4].

Aşağıda periyodik sürekli kesirler ile kuadratik irrasyonel sayılar arasındaki bağıntılar incelenecektir.

Teorem 2.1.1. Her periyodik basit sürekli kesir, bir kuadratik irrasyonel sayıya eşittir [4].

Đspat : α nın sürekli kesir değeri ,α = a a a₀; ₁, ₂,^…,a_{k 1−},b b₀, ₁,^…,b_{n 1−}  olsun.

0 1 2 n 1

b ; b , b , , b ₋

 

β = …  denilirse β =

[b ;b ,

_{0 1}…

, b

_{n 1−}

, ]

β şeklinde yazılabilir ve β’nın

yaklaşımları ^k

k

p q

′

′ (k ≥ 0) ile gösterilirse Teorem 1.2.1 den

k 1 k 2

k 1 k 2

p p

q q

− −

− −

+ +

′ ′

β =β

′ ′

β

yazılabilir. Buradan β’nin ikinci dereceden bir denklemin kökü olduğu anlaşılır ve β sonsuz sürekli kesir açılıma sahip olduğu için irrasyonel sayıdır; fakat β periyodik

olduğundan kuadratik irrasyonel sayı olur. Eğer k = 0 ise α = β olacağından α ^da kuadratik irrasyonel sayı olur. Eğer k > 0 ise,

[

^{a a a0; 1, 2, ,ak 1,}

]

₋ β

α = ^…

olur.

[

a ; a , a ,... , a^{0 1 2 k 1}₋

]

in yaklaşımları ^k

k

"

"

p

q ile gösterilirse, teorem 1.2.1 den

n 1 n 2 n 1 n 2

" "

" "

p p

q q

− −

− −

+ α =β +

β

olur. β irrasyonel olduğundan α da irrasyonel ve β kuadratik olduğundan α da kuadratik olur [4].

Teorem 2.1.2. Her kuadratik irrasyonel sayının sürekli kesre açılımı periyodiktir.

Đspat : α = α =⁰ a ; a , a , ...

[

^{0 1 2}

]

kuadratik irrasyonel sayı olsun. Önerme 2.1.1 den

0 0

0

2

0 0

D Q

P ⁺ , Q | D P

= −

α

formunda yazabiliriz. α = α₀ için aşağıdaki eşitlikler her k ≥ 0,

k 1 k k k

2 k 1 k 1

k

P a Q P

D P

Q Q

+

+ +

= −

= −

(2.1)

biçiminde olsun. Tanımlanan bu eşitlikler için aşağıdaki ifadeler doğrudur [2]. Her k≥ 0 tam sayısı için,

(i) P

k ve

Q

_k

∈ ℤ

ve

Q

_k ≠

0

k

k k k

k

D ]

(ii) P , [ a

Q

= + =

α α ^(2.2)