Kuadratik irrasyonel sayıların Newton yaklaşımları

(1)

KUADRATĐK ĐRRASYONEL SAYILARIN NEWTON

YAKLAŞIMLARI

YÜKSEK LĐSANS TEZĐ

Mehmet KOLSUZ

Enstitü Anabilim Dalı : MATEMATĐK

Tez Danışmanı : Yrd. Doç. Dr. Serpil HALICI

Nisan 2009

(2)

(3)

ii

ÖNSÖZ

Bu çalışmada, D tam kare olmayan pozitif bir tam sayı olmak üzere, D kuadratik irrasyonel sayısının periyodik sürekli kesir açılımına göre elde edilen yakınsaklıları ile bu yakınsaklıkların 







 +

n n n

n

P DQ Q

P 2

1 Newton yakınsaklık formülünde yerine

yazılması sonucunda elde edilen Newton yakınsaklıkları arasındaki bağıntılar anlatılmış ve bu bağıntıların, D kuadratik irrasyonel sayısının periyodik sürekli kesir açılımının periyot uzunluğu ile ilgili olduğunu gösteren örnekler verilmiştir.

Çalışmamda, bilgi ve birikimini benimle paylaşan, ilgisini eksik etmeyen danışmanım sayın Yrd. Doç. Dr. Serpil HALICI’ya teşekkür ederim.

Yüksek lisansa başlamam konusunda beni sürekli teşvik eden annem Menekşe KOLSUZ ve babam Mustafa KOLSUZ’a, ayrıca çalışmamın son bölümlerine doğru aramıza katılan, yoğunluktan dolayı kendisiyle yeteri kadar ilgilenemediğim kendisine ayırmam gereken zamandan fedakarca vazgeçerek bana yardımcı olmaya çalışan kızım Defne KOLSUZ’a ve son olarak çalışmamın her anında desteğini benden esirgemeyen eşim Ayten KOLSUZ’a teşekkürlerimi sunarım.

(4)

iii

ĐÇĐNDEKĐLER

ÖNSÖZ... ii

ĐÇĐNDEKĐLER ... iii

SĐMGELER VE KISALTMALAR LĐSTESĐ... v

TABLOLAR LĐSTESĐ………... vi

ÖZET... vii

SUMMARY... viii

BÖLÜM 1. GĐRĐŞ………. 1

1.1. Temel Tanım ve Özellikler... 1

1.2. Ara Kesirler... 7

BÖLÜM 2. KUADRATĐK ĐRRASYONEL SAYILAR VE PERĐYODĐK KESĐRLER….. 9

2.1. Temel Tanımlar ... 9

2.2. Sürekli Kesir Açılımının Cebirsel Algoritma Yardımıyla Bulunması... 14

2.3. Pell Denklemleri... 16

2.4. Periyodik Sürekli Kesirlerin Yaklaşımları Arasındaki Bağıntılar... 19

BÖLÜM 3. NEWTON YAKLAŞIMLARI... 24

3.1. Temel Tanımlar ve Örnekler... 24

3.2. Periyot Uzunluğu ile Newton Yaklaşımı Arasındaki Đlişkiler.... 34

(5)

iv

YAKLAŞIMLARI ARASINDAKĐ BAĞINTILAR... 52 4.1. Tam Kare Olmayan Özel D Tamsayı Değerleri Đçin Newton

Yaklaşımları... 52 4.2. Temel Teorem... 55

4.3. Özel Örnekler………... 64

BÖLÜM 5.

SONUÇLAR VE ÖNERĐLER... 79

KAYNAKLAR... 80 ÖZGEÇMĐŞ... 82

(6)

v

SĐMGELER VE KISALTMALAR LĐSTESĐ

D : Tam kare olmayan pozitif tamsayı

k k

Q

P : Sürekli kesirin k. yaklaşımı

k k

q

p : Sürekli kesirin k. yaklaşımı

( )

^d

Q : Rasyonel sayılar kümesinin genişlemesi Rn : Sürekli kesirin n. yaklaşımı

( )

rn : Newton yaklaşımlar dizisi

s : Periyodik sürekli kesirin periyodu Sk : Sürekli kesirin k. parçası

Ζ : Tamsayılar kümesi

(7)

vi

TABLOLAR LĐSTESĐ

Tablo 1.1.1

15845 Rasyonel sayısının yaklaşımlarının tablosu…..……….. 5 Tablo 2.3.1 41 Đrrasyonel sayısının yaklaşımlarının tablosu……….. 17 Tablo 2.3.2 23 Đrrasyonel sayısının yaklaşımlarının tablosu……….. 17 Tablo 3.1.1 2 Đrrasyonel sayısının yaklaşımlarının tablosu…………..…. 25 Tablo 3.1.2 2 Đrrasyonel sayısının Newton yaklaşımlarının tablosu (n=1) 26 Tablo 3.1.3 2 Đrrasyonel sayısının Newton yaklaşımlarının tablosu (n=3) 27 Tablo 3.1.4 3 Đrrasyonel sayısının yaklaşımlarının tablosu.………..……. 28 Tablo 3.1.5 3 Đrrasyonel sayısının Newton yaklaşımlarının tablosu (n=4) 29 Tablo 3.1.6 3 Đrrasyonel sayısının Newton yaklaşımlarının tablosu (n=5) 30 Tablo 3.1.7 8 Đrrasyonel sayısının yaklaşımlarının tablosu………. 31 Tablo 3.1.8 8 Đrrasyonel sayısının Newton yaklaşımlarının tablosu (n=1). 32 Tablo 3.1.9 8 Đrrasyonel sayısının Newton yaklaşımlarının tablosu (n=5). 33 Tablo 3.2.1 21 Đrrasyonel sayısının yaklaşımlarının tablosu……….. 35 Tablo 3.2.2 22 Đrrasyonel sayısının yaklaşımlarının tablosu……….. 38 Tablo 3.2.3 13 Đrrasyonel sayısının yaklaşımlarının tablosu……..……… 40 Tablo 3.2.4 29 Đrrasyonel sayısının yaklaşımlarının tablosu……... 43 Tablo 3.2.5 53 Đrrasyonel sayısının yaklaşımlarının tablosu…...………... 45 Tablo 3.2.6 74 Đrrasyonel sayısının yaklaşımlarının tablosu……….…... 48 Tablo 4.3.1 32 Đrrasyonel sayısının yaklaşımlarının tablosu..……… 69 Tablo 4.3.2 Kuadratik irrasyonel sayıların sürekli kesir açılımlarının

tablosu………. 77

(8)

vii

ÖZET

Anahtar kelimeler: Sürekli Kesirler, Kuadratik Đrrasyonel Sayılar, Periyodik Sürekli Kesirler, Periyot, Yaklaşımlar, Newton Yaklaşımları

Bu çalışmada ilk olarak, sürekli kesirler, sürekli kesirlerin yaklaşımları ve yaklaşımların özellikleri ile yaklaşımlar yardımıyla çözülen Diophant ve Pell denklemlerinden bahsedildi.

Đkinci kısımda kuadratik irrasyonel sayıların periyodik sürekli kesir açılımına göre elde edilen yaklaşımları ile Newton yaklaşımları arasındaki ilişkiler anlatıldı. Verilen örneklerle, bazı yaklaşım değeri için hesaplanan Newton yaklaşımlarının aynı zamanda farklı bir yaklaşım değerine eşit olduğu gösterilerek, bu durumun hangi şartlarda gerçekleştiği anlatıldı. Newton yaklaşımının farklı bir yaklaşım değerine eşit olmasının, yaklaşımı alınan kuadratik irrasyonel sayının sürekli kesir açılımının periyot uzunluğu ile bağlantılı olduğu örneklerle anlatıldı.

Son bölümde ise D kuadratik irrasyonel sayısının Newton yaklaşımı ile yaklaşımının eşit olmaması durumunda, bu iki yaklaşım değerinin bulunduğu eşitliklerin tam kare olmayan D tam sayısının yazımıyla ilgili olduğu anlatıldı.

(9)

viii

NEWTON’S APPROXIMATIONS OF QUADRATIC

IRRATIONAL NUMBERS

SUMMARY

Key Words: Continued Fraction, Quadratic Irrational Number, Periodic Continued Fraction, Period, Approximations, Newton’s Approximation

First of all, we mention about continued fraction, approximations of continued fraction, properties of these approximations, Diophant and Pell equations how can they be solved by approximations.

In second chapter we mention about some relations between approximations of a periodic continued fraction and Newton’s approximations. Examples are given about some Newton’s approximation which the same, different approximations and explain this situation when can be turn out to be true. Newton’s approximation equal to be different approximation is about period of length periodic continued fraction of quadratic irrational number.

In the last chapter we explained situations which Newton’s approximation isn’t equal to approximation and how can be these aproximation the same equation.

(10)

1.1. Temel Tanım ve Özellikler

Tanım 1.1.1 n≥0, a a a₀, ₁, ₂K,a_n tamsayılar ve a₀ hariç hepsi pozitif olmak üzere;

0 1

2

1 1

n

a a

a

a +

+ + + O

biçimindeki ifadeye düzgün veya basit sürekli kesir, a₀,a₁,a₂,...,a_n değerlerine de, basit sürekli kesrin elemanları denir. Bu ifade

[

a₀;a₁,a₂,...,an

]

şeklinde gösterilecektir. a a a₀, ₁, ₂K,a_n değerlerinin sonlu olması durumunda, sürekli kesre n.

mertebeden sonlu sürekli kesir, a a a₀, ₁, ₂K,a_n değerlerinin sonsuz olması durumunda da sürekli kesre sonsuz sürekli kesir denir. Buna göre n. mertebeden sonlu sürekli kesirde n+1 tane eleman vardır.

Her sonlu basit sürekli kesir, elemanları üzerinde yapılan sonlu sayıda rasyonel işlemin sonucuna eşittir. r =c d^,

( )

c^,d =¹, c,d∈Ζ, d >0 olmak üzere r’nin sürekli kesir açılımı aşağıdaki eşitliklerden yararlanılarak hesaplanacaktır:

c=a₀d +r₀ , 0<r₀ <d

1 0

1r r

a

d = + , 0<r₁ <r₀

r₀ =a₂r₁ +r₂ , 0<r₂ <r₁

(11)

M

rn₋₃ =an₋₁rn₋₂ +rn₋₁ , 0<r₂ <r₁ rn₋₂ =anrn₋₁ +0

r rasyonel sayısının sürekli kesir açılımı, r=

[

a₀;a₁,a₂,...,an

]

ve

[

0^; 1^, 2^,..., −¹^,¹

]

= a a a a_n

r biçiminde olmak üzere iki şekilde yazılacaktır.

Tanım 1.1.2 Sk =

[

a₀;a₁,a₂,...,ak

]

yazılımına, sürekli kesrin bir parçası (segment) denir. Sonlu ya da sonsuz herhangi bir sürekli kesrin bir parçası, sonlu bir sürekli kesirdir.

Tanım 1.1.3 rk =

[

ak,ak₊₁,ak₊₂,...,an

]

ifadesine, sonlu sürekli kesrin kalanı denir.

Sonlu sürekli kesir için 0≤k ≤n olmak üzere;

[

a a a an

] [

a a a ak rk

]

r = ₀; ₁, ₂,..., = ₀; ₁, ₂,..., ₋₁, biçiminde yazılır.

Örnek 1.1.1 Bu örnekte, 5

23 rasyonel sayısının sürekli kesir açılımı bulunmuştur.

3 5 . 4

23= +

2 3 . 1

5= +

1 2 . 1

3= +

1 . 2 2=

[

⁴^;¹^,¹^,²

]

5

23 = veya

[

⁴^;¹^,¹^,¹^,¹

]

5

23 = olarak yazılır.

Tanım 1.1.4 r =

[

a₀;a₁,a₂,...,an

]

olsun.

[

a₀;a₁,a₂,...,ak

]

, k ≤n açılımına karşılık gelen rasyonel sayıya, sürekli kesrin k. yaklaşımı denir. Sürekli kesrin k. yaklaşımı

k

k q

p şeklinde gösterilip, yaklaşımlar aşağıdaki biçimde hesaplanır.

[ ]

0 0 0

0 1 q

p a = a =

(12)

[ ]

1 1 1

1 0 1 0 1 0

1 1

; q

p a

a a a a

a

a = + = + =

[ ]

1 1 , 1

;

2 1

2 0 2 1 0

2 1 0 2 1

0 +

+

= + + +

= a a

a a a a a a a

a a a a

[ ]

k k

k q

a p a a

a₀; ₁, ₂,..., = yaklaşımını hesaplayabilmek için aşağıdaki teorem kullanılır.

Teorem 1.1.1 (Yaklaşımların Oluşumu) k ≥2 olmak üzere;

2

1 −

− +

= _k _k _k

k a p p

p

q_k =a_kq_k₋₁+q_k₋₂ (1.1.1) eşitlikleri vardır (Tekrarlı bağıntılar)

[ ]

⁵ ^.

Örnek 1.1.2 Yukarıdaki bağıntılarda k =0 yazılırsa: p₋₂ =0, p₋₁ =1, q₋₂ =1,

1 =0

q− bulunur.

Önerme 1.1.1 a hariç, ₀ a₀,a₁,a₂,...a_n pozitif tamsayı, her x reel sayısı ve ∀k ≥0 tamsayısı için;

[ ]

2 1

2 1 2

1 0; , ,...,

−

+

= +

k k

q xq

p x xp

a a a

biçimindedir.

Đspat: k üzerinden tümevarım uygulandığında, k =0;

[ ]

2 1

1 ₋ ₋

−

+

= +

= xq q

p x xp

x

(13)

sağlanır. Bu eşitliğin k için sağlandığı kabul edilerek, k+1 için ispat yapıldığında;

[ ]

⁼_^ − ⁺ _^ ⁼

a x a a a a x a a a

a _k _k _k 1

, ,..., ,

; ,

,..., ,

; ₁ ₂ ₀ ₁ ₂ ₁

0 A

( )

1

1 1

2 1

1 2

1

2 1

1 1

−

+

= + +

+

= + +



 



 +

+



 



 +

=

k k

k k k

k k

k k k

q xq

p xp q

q q a x

p p

p a x x q

a

p x p

a A

bulunur.

Teorem 1.1.2 ∀k ≥−1 için;

pkqk₋1− pk₋1qk =

( )

−1 ^k⁻¹ (1.1.2 ) olur

[ ]

⁵ ^.

Tanım 1.1.5

( )

c^,d =¹ olmak üzere cx+dy=1 biçimindeki denklemlere Diophant denklemi denir. Teorem 1.1.2 kullanılarak bu denklemlerin bir çözümü bulunur.

[

a a a an

]

d

c = ₀; ₁, ₂,..., olsun. Bu durumda n tek ise (x,y)=(q_n₋₁,−p_n₋₁), n çift ise

) , ( ) ,

(x y = −q_n₋₁ p_n₋₁ , verilen denklemin bir çözümü olur. Gerçekten de

n n

q p d

c =

olup, c= p_n ve d =q_n alınabilir. Teorem 1.1.2 den; cq_n₋1 − p_n₋1d =

( )

−1 ⁿ⁻¹ olacağından n tek ise (x,y)=(qn₋₁,−pn₋₁), n çift ise (x,y)=(−qn₋₁,pn₋₁) değerleri denklem için bir çözüm olur.

Örnek 1.1.3 Bu örnekte 158x+45y =1 denkleminin bir çözümü bulunmuştur.

23 45 . 3

158= +

22 23 . 1

45= +

(14)

1 22 . 1

23= +

22 . 1 22=

olup, 158 45 rasyonel sayısının sürekli kesir açılımı, ¹⁵⁸ ⁴⁵=

[

³^;¹^,¹^,²²

]

^olarak

bulunur.158 45 sürekli kesrinin yaklaşımları Tablo 1.1.1 de gösterilmiştir.

Tablo 1.1.1 158 45 rasyonel sayısının yaklaşımlarının tablosu

[

³^;¹^,¹^,²²

]

45

158 = açılımı alınırsa, bu açılıma göre n=3 olup tektir. Dolayısıyla q2

x= , y=−p₂^olup x=², y=−7 bulunur. 158 45 rasyonel sayısının sürekli kesir açılımı ¹⁵⁸ ⁴⁵=

[

³^;¹^,¹^,²¹^,¹

]

biçiminde de alınabilir. Bu durumda n=4 olacağı için x=−q₃ ve y= p₃ olup, x=−43 ve y=151 bulunur.

Teorem 1.1.3 Her k ≥0;

( )

k k k

k k

kq q p a

p ₋₂ − ₋₂ = −1 veya

2 2

2 ( 1)

−

− = −

−

k k

k k k k

q q

a q

p q

p (1.1.3 )

eşitlikleri vardır

[ ]

⁵ ^.

Önerme 1.1.2 i) Çift yaklaşımlar dizisi artandır: (c₀ <c₂ <c₄ <c₆ <c₈...). ii) Tek yaklaşımlar dizisi azalandır: (c₁ >c₃ >c₅ >c₇ >c₉...). iii) Her tek yaklaşım, her çift yaklaşımdan büyüktür.

158/45 k=0 k=1 k=2 k=3 k = 4

pk 3 4 7 151 158

qk 1 1 2 43 45

(15)

Đspat: i) Her çift k ≥2 için (1.1.3) eşitliğinden;

( )

2 2

2 1

−

− + −

=

k k

k k k k

q q

a q

p q

p

yazılır. _k

k

k c

q

p = ve ₂

2 2

−

− = k k

k c

q

p alınıp, k değerinin de çift olduğu dikkate alınarak;

2 2

−

− +

=

k k

k q q

c a c

eşitliği yazılabilir.

Bu eşitlikte q ve _k a değerlerinin _k ∀k ≥0 için pozitif olduğu dikkate alındığında

k

k c

c ₋2 < olup, çift yaklaşımlar dizisinin artan olduğu sonucuna varılır.

ii ) Her tek k ≥1 için ( 1.1.3 ) eşitliğinden benzer şekilde,

2 2

−

− −

=

k k

k q q

c a c

eşitliği yazılabilir. ve değerlerinin ∀k ≥0için pozitif olduğu dikkate alındığında c_k₋₂ >c_k olup, tek yaklaşımlar dizisinin azalan olduğu sonucuna varılır.

iii ) (1.1.2) eşitliği

( )

1 1

1

1 1

−

− = −

−

k k

k

k k k k

q q q

p q

p biçiminde yazılıp, ∀t ≥0 için k =2t+1

alındığında,

t t t t t

t

q q q p q

p

2 1 2 2 2 1 2

1

2 1

+ +

+ − =

elde edilerek,

t t t

t c q q

c

2 1 2 2 1 2

1

+

+ = + ve c₂_t₊₁ >c₂_t

yazılır. ∀r,s≥0 için eğer, r =s^(i)’denc₂r₊₁ >c₂s olur. Eğer r≠s ise (r<s⁾

s s

r c c

c₂ ₊₁ > ₂₊₁ > ₂ olur. Dolayısıyla c₂_r₊₁ >c₂_s olduğu yazılarak, ispat tamamlanmış olur.

(16)

Teorem 1.1.4 ∀k ≥1için, a_k >0 olmak üzere a₀,a₁,a₂,a₃,...tamsayılar dizisi verildiğinde ck =

[

a₀;a₁,a₂,...,ak

]

ise, lim_k_→_∞ c_k mevcuttur. ∀r,s≥0 tamsayısı için c₂_r <lim_k_→_∞c_k <c₂_s₊₁ olur

[ ]

⁵ ^.

Teorem 1.1.5 ∀k ≥0için sonsuz sürekli kesrinin α değeri;

1

+

<

−

k k k k

q q q α p dir

[ ]

⁵ ^.

Teorem 1.1.6

[

a0^;a1^,a2^,a3^,...

]

sürekli kesri yakınsaktır ⇔

∑

^∞

=1 n

a serisi n

ıraksaktır

[ ]

⁵ ^.

Teorem 1.1.7 Tüm yakınsaklıklar indirgenemezdir

[ ]

⁵ ^.

Teorem 1.1.8 ∀k ≥0 için sonsuz sürekli kesrinin α değeri;

) (

1

1 k

k k k k

q q q q p

> +

−

+

α dir

[ ]

⁵ ^.

Teorem 1.1.5 ve Teorem 1.1.8 yardımıyla,

k k

q

− p

α değeri için alt sınır ve üst sınır

oluşturulmuş olur. Dolayısıyla

1

1 )

( 1

+

<

−

− < k k k k

k k

k q q q

p q

q

q α yazılabilir.

1.2. Ara Kesirler

≥2

k ve i sayısı keyfi bir negatif tamsayı olsun.

(17)

[

1 2

][

1 2

]

2 1

2 1 2

1

2 1

) 1 (

) 1 ( )

1 (

) 1 (

−

+ +

+

= − +

− + +

+ + +

k k k k

k

k k

k k k

k

k k

q iq q i

q q

iq p ip q

i q

p i

p

k k k

k k

k k k k

k

k k

k k k k

q p q

q q

p q p q

q

p p

q q

p p

q q

p p q

p =

+ + +

+ +

+

−

1 2

1 2 2

2 ,...,

3 , 3

2 , 2

, (1.2.1)

yazılabilir. Bu dizinin ilk ve son terimlerinin ya ikisi de tek mertebeli yakınsaklık yada ikisi de çift mertebeli yakınsaklıktır. Đlk terim ve son terim arasında kalan kesirlere ara kesir adı verilir.

Tanım 1.2.1 Pozitif paydalı d c b

a = kesirleri verilsin.

d b

c a

+

+ kesrine b ave

d c

kesirlerinin medyanı veya ortancası denir.

Önerme 1.2.1 Đki kesrin medyanı, daima değer olarak iki kesir arasında kalır.

Đspat:

d c b

a ≤ olsun. Bu durumda bc−ad ≥0 yazılabilir.

) 0

( ≥

+

= − + −

+

d b b

ad bc b a d b

c

a bulunur. Diğer taraftan 0

)

( ≤

+

= − + −

+

d b b

bc ad d c d b

c

a olup,

d c d b

c a b

a <

+

< + bulunur.

Sonuç olarak (1.2.1) de bulunan ara kesirler, bir önceki kesir ile

1 1

−

− k k

q

p kesrinin

medyanıdır.

Teorem 1.2.1 ∀α∈R^içinα ya eşit değerli sadece bir tane sürekli kesir vardır. Bu sürekli kesir, α rasyonel iken sonlu, α irrasyonel iken sonsuzdur

[ ]

⁵ ^.

(18)

BÖLÜM 2. KUADRATĐK ĐRRASYONEL SAYILAR VE

PERĐYODĐK KESĐRLER

2.1. Temel Tanımlar

n nx a x

a x a x a a x

f( )= ₀ + ₁ + ₂ ² + ₃ ³ +...+ fonksiyonu a a a₀, ₁, ₂K,a_n∈ Ζ katsayılarına sahip n. dereceden bir polinom olsun. α sayısı, f(x) polinomunun bir kökü oluyor ise, α ’ya cebirsel sayı denir.

Her b

= a

α ^sayısı, ^f(^x)=^bx−^a polinomunun kökü olduğundan cebirsel sayı kavramı rasyonel sayı kavramının bir genellemesidir.

α cebirsel sayısı, n.dereceden bir polinomun kökü ise, α ya n. dereceden cebirsel sayı denir. Bu tanımdan hareketle her rasyonel sayının 1. dereceden cebirsel sayı olduğu söylenebilir. 2. dereceden cebirsel sayılara, özel olarak, kuadratik irrasyonel sayılar da denir.

Örnek 2.1.1 2 irrasyonel sayısı f(x)= x² −2 polinomunun kökü olduğu için 2.dereceden cebirsel bir sayı, dolayısıyla kuadratik bir irrasyonel sayıdır.

Tanım 2.1.1 u,v∈Q v≠0 ve d >0 tam kare olmayan bir tam sayı ise, u+v d reel sayısına bir kuadratik irrasyonel sayı denir.

( ) {

^d ^u ^v ^d ^u ^v ^Q

}

Q = + : , ∈ kümesi Q rasyonel sayılar cisminin bir genişlemesidir.

Kuadratik irrasyonel sayılar bu cismin irrasyonel sayılarıdır.

Tanım 2.1.2 ^α ⁼^u⁺^v ^d ^∈^Q

( )

^d ^ise^α^ı ⁼^u⁻^v ^d irrasyonel sayısına α ^’nın

(19)

eşleniği denir.

Önerme 2.1.1 ^∀^α^,^β^∈^Q

( )

^d için eşlenik olmanın, aşağıdaki özellikleri vardır.

i)

(

α ^mβ

)

^ı =α^ı ^mβ^ı ii)

( )

αβ ^ı =α^ıβ^ı

iii)β ≠0^ise ^ı_ı

ı

β α β α ₌









( )

^d

Q d v

u+ ∈

α = ^, v≠⁰, α ^ve α^ı^, x² −²ux+u² −du² =⁰ kuadratik denkleminin farklı kökleridir

[ ]

⁸ ^.

Tanım 2.1.3 n≥0, m>0 olmak üzere,

[

b⁰^,b¹^,b²^,...,bn−¹^,c⁰^,c¹^,c²^,...,cm−¹

]

şeklindeki bir sonsuz sürekli kesre, periyodik sürekli kesir denir. Burada alınan en küçük m sayısına sürekli kesrin periyodu denir.

Periyodik sürekli kesirler, özel olarak devir eden tamsayı sayısına göre de adlandırılırlar. Örneğin sadece bir tane sayının tekrar ettiği sürekli kesirlere 1 periyodiktir, sadece iki tane sayının devrettiği sürekli kesirlere de 2 periyodiktir denir.

Tanım 2.1.4 a ’dan sonraki bütün elemanları devreden, ₀

[

â⁰^;â¹^,â²^,...âⁿ

]

biçimindeki periyodik sürekli kesre, pür periyodik sürekli kesir denir. D tam kare olmayan pozitif bir tamsayı olmak üzere, D kuadratik irrasyonel sayısı pür periyodik sürekli kesir açılımına sahiptir.

Örnek 2.1.2 ³⁼

[ ]

¹^;¹^,² sürekli kesri, 2-periyodik sürekli kesirdir.

Örnek.2.1.3 ^α ⁼

[ ]

⁵^;¹^,¹⁰ biçiminde sürekli kesir açılımı verilen, periyodik

(20)

sürekli kesrinin değeri bulunabilir. ^γ ⁼

[ ]

¹^,¹⁰ alınırsa, ^α ⁼

[ ]

⁵^,^γ olur. Dolayısıyla

[

γ

]

γ = ¹^,¹⁰^, olduğundan,

γ

γ 1

10 1 1

+ +

= yazılabilir. Buradan

1 10

1 11

+

= + γ

γ γ olup,

0 1 10

10γ² − γ − = denklemi elde edilir. Bu denklem çözüldüğünde

10 35 5+ γ =

ve

[ ]

³⁵

35 5 5 10 ,

5 =

+ +

=

= γ

α kuadratik irrasyonel sayısı bulunmuş olur.

Teorem 2.1.1 n. dereceden her reel irrasyonel cebirsel α için; p, q tam sayılar,

>0

q olmak üzere, _n

q C q p >

α − olacak şekilde pozitif bir C vardır

[ ]

⁸ ^.

Teorem 2.1.2 Her periyodik sürekli kesir, bir kuadratik irrasyonel sayı gösterir. Ve her kuadratik irrasyonel sayı, bir periyodik sürekli kesir yardımıyla temsil edilir.

Đspat:(⇒ ) α periyodik bir sürekli olsun.

[

⁰^, ¹^, ²^,..., −¹^, ^, +¹^,..., + −¹

]

= a a a ak_n ak_n ak_n ak_n h

α

Periyodik sürekli kesrin kalanları için r_k₊_h =r_k yazılabilir. α kalanlar yardımıyla;

2 1

−

+

= +

n n n

q r q

p r

α p biçiminde yazılabilir.

2 1

1

2 1

2 ₊ ₋ ₊ ₋

− +

− + +

+

− +

− + +

− +

−

+

= +

− +

= + +

= +

h k k h k

h k k h k h

k h k h k

h k h k h k k

k k

k k k

q r q

p r p q

r q

p r p q

r q

p r α p

olup, son iki rasyonel ifade arasında içler dışlar çarpımı yapıldığında, r tam _k katsayılı bir 2. Dereceden denklemi sağlamış olur. Dolayısıyla, r _k α ^’ya karşılık gelen kuadratik bir sayıdır.

(21)

(⇐)Tersine α sayısı, tamsayı katsayılı ^P

( )

^x ⁼^ax² ⁺^bx⁺^c polinomunun bir kökü olsun. Bu durumda aα² +bα +c=0^olup,α sayısı n. mertebeden kalanlarına göre;

2 1

−

+

= +

n n n

q r q

p r

α p biçiminde yazılabilir.

Bu değer, aα² +bα+c=0 eşitliğinde yerine yazıldığında, Anrn² +Bnrn +Cn =0 denklemi sağlanır. Burada;

2 1 1

1 2

1 − − −

− + +

= _n _n _n _n

n ap bp q cq

A

(

1 2 2 1

)

1 2

2

1 2

2 ₋ ₋ + ₋ ₋ + ₋ ₋ + ₋ ₋

= n n n n n n n n

n ap p b p q p q cq q

B

2 2 2

2 2

2 − − −

− + +

= n n n n

n ap bp q cq

C

olarak alınmıştır. A eşitliğinde n yerine _n n−1 yazıldığında Cn = An₋₁olduğu görülür. Ayrıca Anrn² +Bnrn +Cn =0, denklemi için ∆ incelendiğinde;

(

^b ^ac

) ⁽

^p ^q ^p ^q

⁾

^b ^ac

C A

B_n² −4 _n _n = ² −4 _n₋₁ _n₋₂ + _n₋₂ _n₋₁ ² = ² −4

bulunur. Ayrıca Teorem 2.1.1 den ₂

1 1

− −

− >

−

n n n

q q

α p yazılabilir.

1 1 1 1

−

− −

− = +

n n n

n q q

p α δ

ve δn₋₁ <1^alınıp,A eşitliğinde n p_n₋₁ yerine yazılarak;

2 1 1

1 1 1 2

1 1

1 − −

−

− −

−

− −  +







 +

=

 +







 +

= n n

n n n n

n n

n q cq

q q q b

q

A α δ α δ

2 1

2 1 1

2 1

2 2

−

− −

− + +

+ +

=

n n n

n

n q

a a cq

b a

A α α αδ δ

b a a A

C_n = _n₋1 <² α + +

bulunur. Dolayısıyla, C mutlak değerce sınırlı olup, n sonlu sayıda değer alabilir. _n

(22)

Buradan Anrn² +Bnrn +Cn =0 biçiminde sonlu sayıda denklemle karşılaşılacağı söylenebilir. r belirli değerleri sadece sonlu sayıda değer alabileceği için k ve h _n pozitif tamsayılar olmak üzere, r_k =r_k₊_h yazılabilir. Bu ise α nın periyodik bir sürekli kesre sahip olduğunun göstergesidir.

Örnek 2.1.4 A sayısının sürekli kesri, ^A⁼

[

^a^;^b^,^b^,^b^...

]

⁼_^^a^;^b⁻^_ biçiminde olsun.

[

^b^;^b^,^b¹^,^b^,...

]

a

A= + ve ^B⁼

[

^b^;^b^,^b^,^b^,...

]

^olup,^B⁼^b⁺

[

^b^;^b^,¹^b^,^b^...

]

^{, veya}^B⁼^b⁺ ^B¹

biçiminde yazılabilir. B² −bB−1=0, denklemi çözülüp pozitif kök hesaplandığında

2

2 +4

= b− b

B bulunur. Buradan;

a B

A 1

+

= ⇒

4 2

2 + + +

=

b b a

A ⇒

2

2 +4

− −

= b b

a

A olup,

2 4 2

2 − + ² +

= a b b

A ,

bulunur.

Bu uygulamada özel olarak herhangi pozitif a ve b’ ler için hesaplama yapıldığında;

i) a=b alınırsa;

2 4 2

2 + +

= b b

A bulunur. Örneğin b=1 iken,

[ ]

¹^;¹

2 5

1+ =

= A olur.

ii) b=2a alınırsa; 1

2 4 4 2

2

2 2

2

+ + =

− +

= a a a a

A bulunur. Özel olarak a=1

için, 



=

= 2 1;2⁻

A bulunur.

(23)

Örnek 2.1.5 A sayısı, ^A⁼

[

¹^;²^,³^,⁴^,⁵^,⁴^,⁵^,⁴^,⁵^,...

]

⁼

[

¹^;²^,³^,⁴^,⁵

]

biçiminde sürekli kesir açılımına sahip olsun.

[

⁴^;⁵^,¹⁴^,⁵^...

]

3 2 1 1 1

+ + +

=

A olup, ^B⁼

[

⁴^;⁵^,⁴^,⁵^,...

]

yazılabilir.

B

B 1

5 4 1

+ +

= ⇒ 5B² −20B−4=0 denklemi çözülüp, pozitif kök alınarak;

5 30 2 10+

=

B bulunur. Bu değer A da yerine yazıldığında;

52 30 80 30 14 80

30 20 115

5 30 2 10 3 1 2 1

1 1 = −

+

= +

+ + + +

=

A olur.

Teorem 2.1.3 i) A sayısı periyodik sürekli kesre sahip olsun.

[

â â â^l ^b ^b ^b^m

]

A= ₁; ₂,..., , ₁, ₂,... sürekli kesri,

t s

A= r+ ∆ biçiminde yazılabilir.

Burada r, s, t tam sayı, ∆>0’dır.

ii) r, s, t, ∆ tamsayılar ve ∆>0 olmak üzere, t s r+ ∆

sayısı periyodik sürekli kesir açılımına sahiptir

[ ]

⁸ ^.

2.2. Sürekli Kesir Açılımının Cebirsel Algoritma Yardımıyla Bulunması

n nin sürekli kesir açılımı, aşağıdaki aşamalar takip edilerek bulunacaktır.

(24)

i) Karesi n’ye en yakın olan tamsayı bulunur. Bu sayı m ise, m² <n olup, m tamsayısı,

(

^m⁺¹

)

² ^>ⁿ eşitsizliğini sağlar.

ii) n =m+1xyazılıp, buradan da,

m n x= 1−

elde edilir.

iii) 1 ₂

m n

m n m

n m n m n

x −

= +











 + +

= −

iv) Bir önceki aşamada bulunan sayı n olduğunda, işlem biter.

Örnek 2.2.1 Bu örnekte, 14 kuadratik irrasyonel sayısının, periyodik sürekli kesir açılımı bulunacaktır.

( )

5 3 14 3 1 3 14

1 3 1

3 14 3

14 = + +

− +

=

− +

=

2 1

1 1 5

3 14

x = + = + x ⇒

2 2 14

2

= + x

3 2

2 1 2

2 14

x = + = + x ⇒

5 2 14

3

= + x

4 3

1 1 5

2 14

x = + = + x ⇒ x₄ = 14+3

(

¹⁴ ³

)

6 3

4 = 14+ = + −

x

olup, işlem tamamlanır. 14 kuadratik irrasyonel sayısının periyodik sürekli kesir açılımı, ¹⁴ ⁼

[

³^;¹^,²^,¹^,⁶

]

biçimindedir.

(25)

2.3. Pell Denklemleri

N, d∈Ζ için x² −dy² =N biçimindeki denklemlere Pell Denklemleri denir.

Bu kısımda, özel olarak N =m1 ve d tam kare olmayan bir pozitif tamsayı olmak üzere, pell denklemlerinin çözümleri ile d kuadratik irrasyonel sayısının periyodik sürekli kesir açılımına göre hesaplanan yaklaşımları arasındaki ilişki açıklanacaktır.

Teorem 2.3.1

( )

^p,^q sıralı ikilisi, x² −dy² =m1 Pell denkleminin bir pozitif çözümü ise,

q

p d nin sürekli kesir açılımından elde edilebilecek bir yaklaşımdır.

Đspat: p² −dq² =1 ise,

(

^p⁻^q ^d

)(

^p⁺^q ^d

)

⁼¹ yazılabilir.

(

^p ^d

)

d q q p

= +

− 1

olup, p² =1 dq+ ² olduğundan p>q ve p+q d >2q

alınabilir. Buradan; ₂

2 1 d q q

p− < elde edilerek, q

p nun d nin bir yaklaşımı

olduğu görülür.

Sonuç olarak d nin periyot uzunluğu m olsun.x² −dy² =1 pell denkleminin temel çözümü, m çift ise

(

p_m₋1,q_m₋1

)

, m tek ise

(

p2_m₋1,q2_m₋1

)

olur. x² −dy² =−1 pell denkleminin temel çözümü de m tek ise

(

p_m₋1,q_m₋1

)

olur.

Örnek 2.3.1 Bu örnekte x² −41y² =1 pell denkleminin temel çözümü bulunacaktır. 41 kuadratik irrasyonel sayısının periyodik sürekli kesir açılımı,

[

⁶^;²^,²^,¹²

]

41= şeklindedir. 41 in periyodik olan sürekli kesir açılımında periyot değeri m=3 olup, bu değer tektir. Yukarıdaki sonuca göre temel çözüm,

(

p2_m₋1,q2_m₋1

)

den

(

p5, q5

)

, x² −41y² =−1 pell denkleminin temel çözümü de

(26)

(

p_m₋1,q_m₋1

)

den

(

p2, q2

)

olur. ⁴¹⁼

[

⁶^;²^,²^,¹²

]

sürekli kesir açılımının ilk beş yaklaşım değeri, aşağıdaki tablo ile gösterilmiştir:

Tablo 2.3.1 41irrasyonel sayısın yaklaşımlarının tablosu

1 41 ²

2 − y =

x pell denkleminin temel çözümü,

( ) (

x^,y = ²⁰⁴⁹^,³²⁰

)

olur. Gerçekten de bulunan çözümün sağlaması yapıldığında;

1 4198400 4198401

320 . 41

2049² − ² = − = olduğu görülmektedir..

Örnek 2.3.2 Bu örnekte x² −23y² =1 pell denkleminin temel çözümü bulunacaktır. 23 kuadratik irrasyonel sayısının periyodik sürekli kesir açılımı,

[

⁴^;¹^,³^,¹^,⁸

]

23 = şeklindedir. 23 ün periyodik olan sürekli kesir açılımında periyot değeri m=4 olup, çifttir. Yukarıdaki sonuca göre temel çözüm

(

p_m₋1,q_m₋1

)

den

(

p3, q3

)

olarak bulunmuştur. ²³ ⁼

[

⁴^;¹^,³^,¹^,⁸

]

sürekli kesir açılımının yaklaşımları aşağıdaki tablo ile gösterilmiştir:

Tablo 2.3.2. 23irrasyonel sayısın yaklaşımlarının tablosu

41 ^k=0 ^k=1 ^k=2 ^k=3 ^{k = 4} ^{k = 5}

p_k 6 13 32 397 826 2049

qk 1 2 5 62 129 320

23 k=0 k=1 k=2 k=3

pk 4 5 19 24

qk 2 1 4 5