1 ise, lim (x1,...,xn Qn i=1xaii Pn i=1x2mi i = 0 olur

Theorem [Sertöz ,]: n > 1 olmak üzere, a¹, . . . , a_n negatif olmayan ve m1, . . . , m_n de pozitif olan tamsaylar olsun. Bu durumda:

E§er

n

X

i=1

a_i

2m_i > 1 ise, lim

(x1,...,xn)→(0,...,0)

Qn i=1x^a_iⁱ Pn

i=1x^2m_i ⁱ = 0 olur.

Proof [Mefharet Kocatepe]:

Önce R > 0 olacak ³ekilde

n

X

i=1

x^2m_i ⁱ = R alalm. O zaman

(x₁, . . . , x_n) → (0, . . . , 0) e§er ve ancak e§er R → 0.

“imdi her i = 1, . . . , n için x^2m_i ⁱ ≤ R, ve dolaysyla |xi| ≤ R^1/2mi oldu§undan 0 ≤

Qn i=1x^a_iⁱ Pn

i=1x^2m_i ⁱ    

= Qn

i=1|x_i|^ai Pn

i=1x^2m_i ⁱ ≤ Qn

i=1R^2miai

R = R

Pn i=1 ai

2mi−1

olur. Ama

n

X

i=1

a_i

2m_i − 1 > 0 oldu§u için lim

R→0R

Pn i=1 ai

2mi−1

= 0 bulunur.

Öyleyse Sandviç Teoreminden dolay

lim

(x1,...,xn)→(0,...,0)

Qn i=1x^a_iⁱ Pn

i=1x^2m_i ⁱ = 0

oldu§u görülür. 2

Di§er kantlar ve ayrntlar görmek için bu ba§lanty kullanabilirsiniz

27 “ubat 2019