Pratik yollar daima ifli kolaylaflt›ran yollar olmal›d›r. Pratiklik kavram›n›n di¤er bir özelli¤i de kolay ak›lda kal-malar›d›r. Hat›rlamakta zorlan›yorsak bu metodlar pratik olmaktan uzak ka-l›r. Aritmetik, pratikli¤in belki de en çok arand›¤› matematik dallar›ndan bi-ri. Bu durumun temel sebeplerinden biri günlük hayatta çok fazla kullan›l›-yor olmas› olabilir. Bir ifli ne kadar çok yap›yorsan›z onu o kadar h›zl› ya da kolay yapmak için yollar arars›n›z. Dört ifllemi de yaflant›m›zda sürekli kullanmak, onu daha çabuk ve zah-metsiz yapma yollar›na itiyor bizi. Ger-çi hesap makinalar› bu amaçla üretil-mifl ama yine de el eme¤i göz nurunun yeri baflka…
Ça¤r› Arkadafl›m›za teflekkür ediyo-ruz çal›flmas›n› bizlerle paylaflt›¤› için. ‹ki basamakl› say›lar›n karesini almada k›smen bilinen bir pratik yolu tekrar keflfetmifl. Bu yolu örneklendirecek olursak:
47 iki basamakl› say›s›n› ele alal›m. Arkadafl›m›z›n da dedi¤i gibi bir üst 10’un kat›na yani 50’ye 3 var. Bu du-rumda (47-3)(47+3) çarpan›na bakma-l›y›z ki bu da 2200 eder ve 7X7=49 ol-du¤undan 9 direk olarak birler basa-ma¤›na yaz›l›r:2209
Arkadafl›m›z›n di¤er kategori için önerdi¤i yol çok uzun. Ben, bu iflin tek kalemde nas›l yap›ld›¤›n› göstermek is-tiyorum. Bafllang›c› tekrarl›yorum: 47 say›s› için: 50’ye 3 var. (47-3)(47+3) = 2200. Buraya kadar herfley ayn› ama sondaki 9 say›s›n› flöyle buluyoruz:
baflta elde etti¤imiz 3’ü kendisiyle çar-p›yoruz: 3X3=9 ve bunu direk ilk bul-du¤umuz say›yla topluyoruz: 2200+9=2209
Yine ayn› yola ç›kt›k demeyin çün-kü az önceki yol, birler basama¤› 5’ten küçük say›lar için çal›flm›yordu. Ama bu yol hepsi için çal›fl›yor:
Okuyucumuzun kulland›¤› 24 say›-s›n›ele alal›m: 30’a 6 var: (24-6)(24+6)=540. 6X6=36 Ve bu iki say›y› birbiriyle topluyoruz: 540+36=576. K›-sacas› tek bir yolla tüm iki basamakl› say›lar›n kareleri için bir yol gelifltir-dik. Ama bu yol mu daha pratik yoksa direk çarpma yapmak m› ona siz karar verin. Hangisi kolay›n›za geliyorsa onu kullan›n!
Madem amac›m›z say›larla dalga ge-çip biraz e¤lenmek, bu yolun neden ça-l›flt›¤›n› biraz cebir kullanarak ispatla-maya çal›flal›m:
Say›m›z ab yani 10a+b fleklinde ifa-de edilmifl iki basamakl› bir say› olsun (a,b∈N,a≠0) ab yi bir üst 10’un kat›na tamamlamak için (10-b) say›s›na ihti-yaç var. Öyleyse;
[(10a+b)-(10-b)].[(10a+b)+(10-b)]= (10a-10+2b)(10a+10) bu say›ya bir de (10-b) say›s›n›n karesini ekliyorduk: Yani (ab)2=(10a-10+2b)(10a+10)+(10-b)2
=100a2+100a-100a-100+20ab+20b+100-20b+b2 =100a2+20ab +b2olmal›
Bildi¤imiz yollardan say›n›n karesini bulal›m:(10a+b)(10a+b)= 100a2+20ab+ b2, ispat tamamlanm›flt›r.
Bu pratik yollar› bir kenara b›raka-l›m ve okuyucumuzun son örne¤inde yakalad›¤› 1089 say›s›na bir göz ata-l›m. Her ne kadar s›radan gibi gözükse de bu, öyle s›radan bir say› de¤il. 1089 say›s›yla ilgili ortal›kta dolaflan flöyle bir e¤lence var:
Ü
Üçç bbaassaammaakkll›› bbiirr ssaayy›› ttuuttuunn:: 481 fi
fiiimmddii bbuu ssaayy››yy›› tteerrsstteenn ookkuuyyuunn::184 S
Saayy››llaarr››nn ffaarrkk››nn›› aall››nn::481-184=297 fi
fiiimmddii çç››kkaann bbuu yyeennii ssaayy››yy›› tteerrsstteenn ookkuuyyuunn:: 792 V
Vee ssoonn iikkii ssaayy››yy›› ttooppllaayy››nn:: 297+792= 1089 Bu ifllemler dizisi hangi say›y› tutar-sak tutal›m bizi hep ayn› sonuca götü-recek. (Tabi fark ald›¤›n›zda say› nega-tif ç›karsa mutlak de¤erini alman›z ge-rekiyor.) Bu durumu aç›klamak için az önce yapt›¤›m›za çok benzer bir ispat yapabilirsiniz. Bu ifli size b›rak›yoruz. fiimdi 1089’un baflka ilginç bir özelli-¤ini sergileyece¤iz: 1089x1=1089 1089x2=2178 1089x3=3267 1089x4=4356 1089x5=5445 1089x6=6534 1089x7=7623 1089x8=8712 1089x9=9801
‹lginlik neresinde mi? ‹lk ve son çarp›mlara bak›n, birbirinin simetri¤i! 1089 ve 9801
2. ve 8. de öyle: 2178 ve 8712; ve hatta hepsi Üstelik tek bafl›na kalan 5. çarp›m zaten kendi içinde simektrik 5445. Böyle say›lara palindromik say›-lar diyoruz.
Bu özelli¤e sahip tek say› 1089 de-¤il üstelik. fiu say›lar da onun gibi:
109989 10999989 1099999989 109999999989 10999999999989
‹nanmazsan›z deneyin ve bak›n! N i l ü f e r K a r a d a ¤ Ö z d e m
karadagnilufer@yahoo.com Merhaba;
Say›lar›n karesini alma konusunda birkaç pratik yol bulmak için u¤raflt›m ve flu sonuçlar› elde ettim. Asl›nda bu ifli birkaç sene evvel bulmufltum. Bu çal›flmam› de¤erlendirmenizi ve köflenizde yay›nlaman›z› arz ederim. Birler basama¤› 5’ten büyük iki basamakl› say›lar için;
37 say›s›n›n karesi 1369’dur. Pratik olarak, say›n›n onlar basama¤›n›n bir fazlas› olan 4’e yani 40’a 3 var. 37-3=34 , Onlar basama¤› +1→ 3+1=4 →34x4=136 ve 7x7=49 oldu¤undan 9 direk olarak birler basama¤›na yaz›l›r. Yani 37x37=1369
Birler basama¤› 5’ten küçük iki basamakl› say›lar için;
24 say›s›n›n karesi 576’d›r. Say›n›n onlar basama¤›ndaki say› ile çar¤›l›r.
“24x2=48” Sonra say›n›n rakamlar› çarp›l›r ve bu say›ya eklenir: “4x2=8, 48+8=56”
Son olarak “4x4=16” ve eldelik oldu¤undan say›ya 1 eklenip 6 direkt olarak yaz›l›r: “56+1=57, 24x24=576” Eldelik olmayan örne¤imizde 33 say›s›n› kullanaca¤›z: “33x33=1089, 33x3=99, 3x3=9, 99+9=108 →33x33=1089”
Ça¤r› Coflaran Sar›yer/‹stanbul
Bir Buluflum Var
E¤er siz de kaydetti¤iniz önemli bir bulgu oldu¤unu düflünüyorsan›z dergimize gönderin ve onu sizin için de¤erlendirelim.
Adresimiz: TÜB‹TAK Bilim ve Teknik Dergisi, Buluflumu De¤erlendirin Köflesi, Atatürk Bulvar› No:221 Kavakl›dere-ANKARA
102Aral›k 2006 B‹L‹MveTEKN‹K
