Tanjant Demet İzdüşümü ile Tanımlı Tensör Demetinin Pull-Back Demeti

353

Tanjant Demet İzdüşümü ile Tanımlı Tensör Demetinin Pull-Back Demeti

Furkan Yıldırım*

Atatürk Üniversitesi, Narman Meslek Yüksek Okulu, Erzurum

(Geliş Tarihi/Recived Date: 12.07.2017; Kabul Tarihi/Accepted Date: 28.09.2017)

Öz

Bu çalışmada, M manifoldu üzerinde tanımlı TM tanjant demetinin izdüşümü (submersionu) ile (p,q) tipli tM yarı-tensör (pull-back) demeti tanımlanmıştır. Ayrıca tM yarı-tensör (pull-back) demetinin bu özel sınıfında kesitler incelenmiştir.

Anahtar Kelimeler: Kesit, Pull-back demeti, Tam lift, Tanjant demeti, Vektör alanı

A Pull-Back Bundle of Tensor Bundles Defined by Projection of The Tangent Bundle

Abstract

Using projection (submersion) of the tangent bundle TM over a manifold M, we define a semi- tensor (pull-back) bundle tM of type (p,q). In this context cross-sections in a special class of semi- tensor (pull-back) bundle tM can be also defined.

Keywords: Complete lift, cross-section pull-back bundle, tangent bundle, vector field

1. Giriş

Mn, C^ sınıfından n -boyutlu diferensiyellenebilir manifold ve



T M( _n),1,M_n



ise M_n üzerinde tanjant demet olsun. x^ lar M_n deki baz koordinatları, x^ y^ lar ise T M( _n) tanjant demetindeki fibre koordinatları olmak üzere ^{( )xi }



^x,x



notasyonu kullanılmaktadır. Burada i j, ,... indisleri 1 den 2n e;  , ,... indisleri 1 den n e;

, ,...

  indisleri ise n  den 2n e kadar değer alır. 1

*Sorumlu Yazar / Corresponding Author: furkan.yildirim@atauni.edu.tr

354



^{Tqp(Mn), , Mn}



^{, Mn} üzerinde bir tensör demet (Gezer & Salimov 2008; Ledger &

Yano 1967; Salimov 2013) ve T M( _n) ise



₁:T(M_n)M_n izdüşümüyle (submersion) ile tanımlı tanjant demet olsun.



^{Tqp(Mn), , Mn}



tensör demetinin T M( _n) tanjant demeti üzerindeki



t_q^p(M_n),2, (T M_n)



yarı-tensör demeti (induced veya pull-back):

  ^{ }     ^{ }



^{( , : 1}

 ^{ }

( ) , ) ( ) ( ) , , ( ) ( )

p p p

q Mn x x x Mn q x Mn x x x n q x n

t  ^{  } T  T  ^{ }  ^ x^  x^ T M  T M

ile tanımlıdır. Burada ^{2(x,x,x)}



^x,x



^{ile 2:tqp(Mn)T(Mn)} izdüşümü tanımlı olup

 

T^qp x⁽Mⁿ⁾



x¹

 

x ^,x



x^,x^



T⁽Mⁿ⁾



ise M_n nin bir x noktasındaki tensör uzayıdır. Ayrıca ¹

1

...

...

p

t q

x^  _{ }^{ }



^{ , ,...2n1,..., 2n n p q}



^lar

( _n)

p

Tq M tensör demetinin fibre koordinatlarıdır (pull-back demeti bkz: (Husemoller 1994; Lawson & Michelsohn 1989; Salimov & Kadıoğlu 2000; Steenrod 1951; Yıldırım 2015; Yıldırım & Salimov 2014). Ayrıca pull-back demetlerinin genelleşmiş hali Pontryagin demetleri olarak bilinir (Pontryagin 1947).

' ' '

(xⁱ')(x^,x^,x^), t_q^p(M_n) yarı-tensör demetindeki bir diğer lokal adapte olmuş koordinat sistemi olmak üzere

 

1 1 1 1

1 1 1 1

' '

'

'... ' '... ' ... ...

' ( ') ( )

'... ' ... '... ' ... ( ) ( ')

'

,

, ,

p p q p

q p q q

x x y

x

x x x

x t A A t A A x

 



       

  

       















 

 

 



  



(1)

dönüşümü tanımlıdır.

(1) dönüşümünün jakobiyeni

 

^'

( ) ( ') ( ) ( ') ( )

( ) ( ) ( ') ( ) (

'

'

')

' 0

0 0

0

I J

A A

A A A

t A A A A

  y







    

     



 

 

   

  

 

, (2)

355

bileşenlerine sahiptir. Burada I ( , , )   , J ( , , ),   I J, ,... 1,..., 2= nn^{p q} ,

1 1

( ) ...

( ) ...

p

t_^ t_{ }^{ }q , ^' x '

A x

 

 



 , ^'

2 '

A x

x x





 

 

 

ile tanımlıdır.

(2) de belirtilen matris için ( ') 0

Det A_^  , Det A( ^_^') , 0 Det A( _{( )}^{( ')}_^ A_{( ')}^{( )}_^ ) 0

olduğundan dır.

Ayrıca dim (t_q^p M_n)2nn^{p q} olmaktadır.

Yarı-tensör demetin özel bir sınıfı (Fattaev 2009) da çalışılmıştır. Bu çalışmanın amacı ( _n)

T M tanjant demetinin izdüşümü yardımıyla T_q^p(M_n) tensör demetinin yarı-tensör demetini tanımlamaktır.



⁽ n⁾



F T M ve F M ,

 

n T M( _n) ve M_n üzerindeki C^sınıfından reel değerli fonksiyonların belirttiği halka olmak üzere, T M( _n) ve M_n üzerindeki

 

p q tipli tüm ^, tensör alanlarının F T M



⁽ n⁾



ve F M üzerindeki modülü sırasıyla

 

n _q^p( (T M_n)) ve _q^p(M_n) ile gösterilir.

2. Materyal ve Yöntem

Tensör Alanlarının Dikey Liftleri ve   Operatörü ( ( _n))

p

Aq T M olmak üzere ^vvA vektör alanı

1 1

...

...

0 0

p q

vv

vv vv

vv

A

A A

A A ^{ }







 

 

 

 

 

 

 

 

   

   

, (3) 0

DetA 

356

bileşenlerine sahiptir. (2) ve (3) kullanılarak ^{vvA' A}

 

^vvA olduğu gösterilebilir.

1

0( ( _n))

vv p

A tq M vektör alanı A_q^p( (T M_n)) nın t_q^p(M_n) yarı-tensör demetine dikey lifti olarak adlandırılır.

1 1(M_n)

  olmak üzere ^1( )U daki  vektör alanı t_q^p(M_n) üzerindeki (x^,x^,x^) koordinatlarına göre

 

 

1 1

1 1

... ...

...

...

... . 1

..

1

, 1, 0

, 0, 1

p q

p q

p

q

t p q

x

t p q

x





  

 

 





 

 





 



 

 





  

   

 







     

 







(4)

bileşenlerine sahiptir. (2) den  ve  vektör alanlarının herbir ^1( )U t_q^p(M_n) da dikey vektör alanları tanımlar.  (veya  ),  ¹₁(M_n) tensör alanının t_q^p(M_n) yarı- tensör demetine dikey-vektör lifti olarak adlandırılır.

Keyfi  ¹₁(M_n) için, (2) ve (4) kullanılarak,

 

^{ 'A}

 

^ olduğu gösterilebilir. Burada

 vektör alanı

 

1 1

... ...

. 1

..

0 0

p q

I

p

t^{  } _^

  

 





 

 

 

 

 

 

 

 







(5)

ile tanımlıdır.  ¹₁(M_n) olmak üzere 

 

1 1

...

... ...

1

0

0 ,

p q

I

q

t 

 

   





 





 

 

 

 

 

 

 

 







(6)

357

bileşenlerine sahiptir. (2) kullanılarak

   

^{ 'A } olduğu gösterilebilir.

Keyfi  ¹₁( (T M_n)) için,  vektör alanı (x^,x^,x^) koordinatlarına göre

₀ 0

y^_^



 

 

  

 

 

, (7)

bileşenlerine sahiptir. (2) kullanılarak () 'A() olduğu gösterilebilir.

Vektör Alanlarının Tam Lifti

1

0( (T M_n))

X   , X X^(x^)_ olmak üzere X vektör alanının tanjant demete ^cX tam lifti

cX  X^  _ y^ _X^_

ile tanımlıdır (Yano & Ishihara 1973).

Keyfi X  ¹₀( (T M_n)) için, ^ccX vektör alanı (x^,x^,x^) koordinatlarına göre

1 1

1 1

... ... .

1 1

..

... ... ...

,

p p

q q

cc

cc cc

p q

cc

y X X

X X

X X

X t^{  }_ X ^ t^{ } _



  







 

  



  

 



 

 

    

 

 

 

 

 

   

  







 

(8)

bileşenlerine sahiptir. (2) kullanılarak ^ccX' A(^ccX) olduğu gösterilebilir. ^ccX vektör alanı ^cX¹₀( (T M_n)) vektör alanının t_q^p(M_n) e tam lifti olarak adlandırılır.

Vektör Alanlarının Yatay Lifti

Keyfi X  ¹₀( (T M_n)), X  X^(x^)_ için ^HHX¹₀( (t_q^p M_n)) vektör alanı (x^,x^,x^) koordinatlarına göre

358

1 1

1 1

... ... ...

... ... . .

1 1

. )

( ^{p p}

q q

HH

q p

l

l l

X

X X

X _t ^t

 



   







 





    



 

 

 

 

 

 

   

 











, (9)

bileşenlerine sahiptir. (2) kullanılarak ^HHX'A



^HHX



olduğu gösterilebilir. ^HHX vektör alanı X vektör alanının (t_q^p M_n) e yatay lifti olarak adlandırılır. Burada

 y 

  

  

ile tanımlıdır.

Teorem 2.1. X ¹₀(T M( _n)) olmak üzere

ˆ ˆ

( ) ( ) ( )

cc HH

X X      X  X  X ,

eşitliği bulunmaktadır. Burada ˆ simetrik afin konneksiyonu   ^ ^ ile tanımlıdır.

İspat. (5), (6), (7), (8) ve (9) kullanılarak

1 1 1 1

1 1 1 1

... ... ... ... ... ...

... ... ... ... ... ...

1 1 1 1

( )

p p p p

q q q q

cc HH

p q q p

l

l l

X

y X y X

X X X X

t X ^ t X t ^t

 

    

  

 

  

         

      

  

     

  

   

   

     

   

   

  

   

      

   

 

 

 

 



 

1 1

1 1

1

... ... ...

... ... ...

1

( 0

) ( )

p p

q q

p q

l l

l l

y X y X

t X ^{ }X t X X

 

    

    

   

  

   

  

 

 

 

 

    

 

 

 

        

 



 



   

 

1 1

1 1

... ... ...

... ..

1 . 1

. . .

0 0

0 0 0

p p 0

q q

p q

l l

l l

y X X

t X ^{ }X t _X _X



    

   

  

 





   

   

 

 

 

 

        

   

 

 

    

 

     

      

   





  



  

359

1 1

1 1

.

1 1

ˆ ˆ

.. ... ...

... ... ...

0 0

0 0 0

( ) ( ) 0

p p

q q

X

p q

l l

l l

X X

y X X

t X X t X X

 

 

 

 

 

   

  

 

 

   

 

   

     



 

 

  

 

        

      

      

    

      





 

 









   

 

1 1

1 1

... ... ...

... ... ...

1 1

0 0

0 0 0

ˆ ˆ 0

p p

q q

p q

y X

t^{  } X ^ t^{ } _ X

 



    

 

 

 

 

 

 

      

   

 

 

    

 

     

     

   





 





^{ (ˆX) }



^{ˆ X}



^{ }

^

^X

^

^{ (ˆX) (ˆX) ( X),}

elde edilir.

3. Bulgular ve Tartışma

Yarı-Tensör Demette Kesitler

( )

p q Mn

 , M manifoldu üzerinde bir ( , )_n p q tipli tensör alanı olmak üzere, x _x dönüşümü ( ;_x xT M( _n) noktasındaki  değerini belirtir) yarı-tensör demetin _

kesitini tanımlar. _ :M_n T_q^p(M_n) ile



^{Tqp(Mn), , Mn}



tensör demetinin kesiti

tanımlanmak üzere _{ }

Mn

 I

   eşitliği bulunmaktadır.



^{tqp(Mn),2, (T Mn)}



^yarı-

tensör demetinin _ : (T M_n)t_q^p(M_n) kesiti:



^{x x, }

 

^{x x, , 1}



^{x x, }

  

^{x x, ,}

^{ }

^x

 

^{x x, ,  11......qp}

^{ }

^x



    



 

       

360

ile tanımlıdır (Isham 1999; Husemoller 1994; Lawson & Michelsohn 1989; Yano &

Ishihara 1973).

 tensör alanı 1¹

 

...

...

p

q x

  

  bileşenlerine sahip olmak üzere x^B (x^,x^,x^) koordinatlarına göre _



T M⁽ n⁾



kesiti

 

 

1 1

...

...

,

,

,

p q

x x x x

V

x

y x



  

 

  

 

 

 











(10)

ile tanımlıdır. x^  y^ lar değişkenler olarak alınırsa, x^  y^ ların (10)’a göre diferensiyeli alınarak bileşenleri

 

1 1

...

...

p q

B

B

V

x x x

B

x _{ }











 

 



  



 

 

 

  



 

 ,

şeklinde olan B_{ } , ( 1,..., )n vektör alanları elde edilir.

Buradaki B_{ } vektör alanları _



T M⁽ n⁾



kesitine teğettir. t_q^p(M_n) yarı-tensör demetinde (x^,x^,x^) koordinatlarına göre B_{ } nin bileşenleri,

 ^:

 

  ⁰ 0 B BB



 



 

 

  

 

 

,

şeklindedir. Burada

A x

  x

  

   

 eşitliği bulunmaktadır.

361

 

1

0 T( _n)

X M , X  X^(x^) olmak üzere BX vektör alanının (_ t_q^p M_n) yarı-tensör

demetinde (x^,x^,x^) koordinatlarına göre bileşenleri



 



⁰

0

: 0 0

0 0

B B

B

X A X

BX

X X

B

  

 





     

     

     

     

     

   

, (11)

ile tanımlıdır.

 

1 1

...

...

,

, ,

p q

y sabit sab x

x i

x x

t x



 





 

  



 



 



 



olmak üzere; x^ ları değişkenler olarak kabul edersek (10)’a göre x^ ların diferensiyeli alınarak bileşenleri

 

1 1

...

...

p q

B

B

x

x x x

C x



 

 

  





 



 

 

 

  

 

 

 

  

 

,

olan C_{ } , (  n 1,..., 2 )n vektör alanları elde edilir. Burada C_{ } vektör alanları



T M⁽ n⁾



 kesitine teğettir. t_q^p(M_n) yarı-tensör demetinde (x^,x^,x^) koordinatlarına göre C_{ } nın bileşenleri,

 

 

 

1 1

...

...

:

p q

C B

V C



 





 

  





 

 

 



 



 ,

şeklindedir. Burada

A x x

  

  

  



eşitliği geçerlidir.

362

 

1

0 T( _n)

X M , olmak üzere CX vektör alanının t_q^p(M_n) yarı-tensör demetinde (x^,x^,x^) koordinatlarına göre bileşenleri



_{ }



1 1

...

...

:

p q

B

V X CX C X X X



  

  

 

 





 

 

 

 

 

 





, (12)

ile tanımlıdır.

 

1 1

...

...

, , ,

p q

y sabit sabi x

x x

x x

t



  





 



 

 















olmak üzere, ¹

1

...

...

p

t_{ }^{ }q lar değişkenler olarak kabul edilip ¹

1

...

...

p

x^ t^{ }_{ }q e göre diferensiyeli alındığında bileşenleri

   

1 1

1

1 1

1

...

...

:

... . .

0 0

.

q p

p

q p

q

B B

y

E E x

t x

 

 

 







 

 

       

   

   

   

  

   





   

 

 

  

 

olan ^E

 

^{ ( 2n1,..., 2nnp q )} vektör alanları elde edilir. ^E

 

^ vektör alanları fibreye teğet olup burada , Kronecker sembolüdür:

1 1

1 1

x x

 

 

  

 .

, M_n üzerinde ( , )p q tipli

1 1

1 1

...

... ^p ... ^q ...

qdx dx p

   

   

      

şeklinde tanımlı bir tensör alanı olmak üzere fibreye teğet olan E vektör alanı

363

 

¹¹

1 1

...

...

...

...

0 0

: ^p

q

p q

E EB _{ }^{ }

 







 





 

 

 

 













 

, (13)

ile tanımlıdır.

Teorem 3.1. X , T M( _n) üzerinde bir vektör alanı olmak üzere, _



T M⁽ n⁾



kesiti boyunca

   

cc

V X

X CXB L X E L  ,

eşitliği tanımlıdır. Burada X e göre V nin Lie türevlemesi L X_V ile, X e göre  nin Lie türevlemesi L_X gösterilmiştir.

İspat. (8), (11), (12) ve (13) kullanılarak,



V

 

X



CXB L X E L  

1

1 1 1

1

1 1 1

...

... ... ... ...

...

... ... ... ...

1 1

0

0 0

0

p

p p p

q

q q q

q p

X V V X V

X X

X X

X X ^



  

             

    

     



   

   

   

 

 

 

      

    

   

 

 

 

 

    

 

 

1 1

1 1

... ... ...

... ... ...

1 1

p p

q q

q p

cc

V X

X

X X

X ^







    



 







     



 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 







 





elde edilir.

364

   

C E

   olup _



T M⁽ n⁾



kesiti boyunca adapte olunmuş çatı ^_^B_{ }^{ ,C}_{ }^{ ,C}

 

^{ }_ ^üçlüsü

ile gösterilecektir. _



T M⁽ n⁾



kesiti boyunca adapte olunmuş ^_^B_{ }^{ ,C}_{ }^{ ,C}

 

^{ }_ çatısının belirtmiş olduğu matris

 

1 1 1

1 1 1

...

... ... ...

0

0 0

0 ^{p q p}

q q p

A B

V

A A





   

    









 

 





  

 

  

 

 

 

 

  

 

(14)

olup, burada

x A x

  

  

   

 ,

eşitlikliği geçerlidir. (14) de yer alan A matrisi singüler olmadığı için tersi mevcuttur.

 

^{A 1 ile A} matrisinin tersi gösterilmek üzere

 

^{A 1 matrisi}

   

1 1 1

1 1 1

...

1

..

1

. ..

0

0 0

0 ^p . ^q ... ^p

q q q

B

A AC

 V





 

 





   

    





   



 

  

 

 

 

 

  

 

, (15)

bileşenlerine sahip olup,

 

^{1 BA}

 

^{CB 1 CA}

A A ^ A A ^  I

eşitliği geçerlidir. Burada ^A



^{  , ,}



^{, B}



^{  , ,}



^{, C }

 

^{  , ,} şeklindedir.

365

İspat. (14) ve (15) kullanılarak,

   

1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

... .

1 1

..

... ...

0 0

( 0 0 0 0

0 0

)

... ... ... ...

p q p p q p

q q p q q q

A B

B C

A A A A

V V

 

 

 



 

 

    



   



  

            

 

 

        

 

    

  

  

 

  

    

  

1 1 1

1 1 1

... ...

... ...

0 0 0

0 0 0 0

0 0

.

0 ^{p p} .. ^q

q q q

A C

V V

I

 

 

 

 

 

 

 

 

    

      

 

  



   

      

   

 

       

elde edilir.

Teorem 3.1 kullanılarak, M üzerinde _n X ¹₀( (T M_n)) vektör alanının ^ccX tam liftinin



T M⁽ n⁾



 kesiti boyunca ^_^B_{ }^{ ,C}_{ }^{ ,C}

 

^{ }_ adapte olunmuş çatısına göre bileşenleri

:

V cc

X

L X

X X

L 

 

 

 

 

 

,

şeklinde tanımlıdır.

BX , CX ve E ; T M( _n) deki ( , )p q tipli  tensör alanı ile tanımlanan _



T M⁽ n⁾



kesiti boyunca ^_^B_{ }^{ ,C}_{ }^{ ,C}

 

^{ }_ adapte olunmuş çatısına göre sırasıyla

0 0 X BX

 

 

  

 

 

,

0

0 CX X^

 

 

  

 

 

,

1 1

...

...

0 0

p q

E

 

 





 

 

 

 

bileşenlerine sahiptir.