Metrik uzaylarda bazı sabit nokta teoremleri ve uygulamaları

KIRIKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

MATEMATİK ANABİLİM DALI DOKTORA TEZİ

METRİK UZAYLARDA BAZI SABİT NOKTA TEOREMLERİ VE UYGULAMALARI

Özlem ACAR

MAYIS 2016

i

Matematik Anabilim Dalında Özlem ACAR tarafından hazırlanan METRİK UZAYLARDA BAZI SABİT NOKTA TEOREMLERİ VE UYGULAMALARI adlı Doktora Tezinin Anabilim Dalı standartlarına uygun olduğunu onaylarım.

Prof. Dr. Kerim KOCA Anabilim Dalı Başkanı

Bu tezi okuduğumu ve tezin Doktora Tezi olarak bütün gereklilikleri yerine getirdiğini onaylarım.

Doç. Dr. İshak ALTUN Danışman

Jüri Üyeleri

Başkan :Prof. Dr. A. Duran TÜRKOĞLU __________________

Üye (Danışman) :Doç. Dr. İshak ALTUN ___________________

Üye :Doç. Dr. Hakan ŞİMŞEK ___________________

Üye :Doç. Dr. Murat OLGUN ___________________

Üye :Yrd.Doç.Dr. Osman KEÇİLİOĞLU___________________

……/…../…….

Bu tez ile Kırıkkale Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Yönetim Kurulu Doktora derecesini onaylamıştır.

Prof. Dr. Mustafa YİĞİTOĞLU Fen Bilimleri Enstitüsü Müdürü

ii ÖZET

METRİK UZAYLARDA BAZI SABİT NOKTA TEOREMLERİ VE UYGULAMALARI

ACAR, Özlem Kırıkkale Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü

Matematik Anabilim Dalı, Doktora Tezi Danışman: Doç. Dr. İshak ALTUN

Mayıs 2016, 78 sayfa

Bu tez üç bölümden oluşmaktadır.

Birinci bölüm, giriş kısmına ayrılmıştır.

İkinci bölümde tezde gerekli olan kavramlar ve tanımlar verilmiştir.

Üçüncü bölümde, öncelikle 𝐹𝐹 −büzülme kavramı verilerek ilk alt bölümde 𝐹𝐹 −büzülme yardımıyla Hausdorff metrik ve 𝛥𝛥 −metrikimsi fonksiyonu kullanılarak bazı sabit nokta teoremleri çalışılmıştır. Bir sonraki alt bölümde graf ile donatılmış metrik uzaylarda yine sırasıyla 𝐹𝐹 −büzülme ve hemen hemen büzülme kullanılarak bazı sabit nokta teoremleri çalışılmıştır.

Anahtar kelimeler: Sabit nokta, metrik uzay, küme değerli dönüşüm, 𝐹𝐹 −büzülme, yönlendirilmiş graf, hemen hemen büzülme.

iii ABSTRACT

SOME FIXED POINT THEOREMS ON METRIC SPACES AND THEIR APPPLICATIONS

ACAR, Özlem Kırıkkale University

Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Mathematic, Ph. D. Thesis Supervisor: Assoc. Prof. Dr. İshak ALTUN

Mayıs 2016, 78 pages

This thesis consists of three chapters.

The first chapter is devoted to the introduction.

The second chapter contains concepts and definitions which are needed throughout the thesis.

In the third chapter, firstly we give concepts related to 𝐹𝐹 −contraction and then in subsection some fixed point theorems are studied with Hausdorff metric and 𝛥𝛥 −distance with the aid of 𝐹𝐹 −contraction. In another subsection of this chapter, some fixed point theorems with 𝐹𝐹 −contraction and almost contraction on a metric space endowed with a graph are studied.

Key Words: Fixed point, metric space, multivalued maps, 𝐹𝐹 −contraction, directed graph, almost contraction.

iv

Oğlum Yağız’ a...

v

TEŞEKKÜR

İlk olarak doktora tez konumun belirlenmesinden, tezin yazım aşamasına kadar her türlü desteğini esirgemeyen, bilgi ve tecrübesi ile zaman ayırıp, doktora çalışmamı tamamlamamda rehberliği ile ışık tutan danışman hocam Sayın Doç. Dr. İshak ALTUN'a teşekkürlerimi sunarım. Tez çalışmam boyunca, öneri, bilgi ve tecrübeleri ile doktora tezimin gelişmesine yardımcı olan değerli Tez İzleme Komitesi üyeleri Sayın Prof. Dr. A. Duran TÜRKOĞLU ve Sayın Doç. Dr. Hakan ŞİMŞEK hocalarıma da teşekkürlerimi sunarım. Doktora eğitimim boyunca 2211 Yurtiçi Lisansüstü Burs Programı kapsamında maddi destek veren TÜBİTAK'a teşekkürlerimi sunarım. Doktora çalışmam boyunca her türlü desteği veren eşim Dr.

Tuncer ACAR'a ve sevgili anne ve babama teşekkürlerimi sunarım.

vi

İÇİNDEKİLER DİZİNİ

Sayfa

ÖZET ... ii

ABSTRACT ... iii

TEŞEKKÜR ... v

İÇİNDEKİLER DİZİNİ ... vi

SİMGELER DİZİNİ... vii

1. GİRİŞ ... 1

1.1. Kaynak Özetleri ... 4

2. MATERYAL VE YÖNTEM ... 6

2.1. Temel Kavramlar ... 6

2.2. Küme Değerli Dönüşümler, Hausdorff Metriği ve Δ-Metrikimsi fonksiyonu ... 12

2.3. Graf Teori... 27

2.4. Hemen Hemen Büzülme ve F- Büzülme Dönüşümleri ... 32

3. ARAŞTIRMA BULGULARI... 43

3.1. F-Büzülmeler için sabit nokta sonuçları... 43

3.2. Graf ile donatılmış metrik uzaylar için sabit nokta teoremleri ve sonuçları.50 4. TARTIŞMA VE SONUÇ ... 67

KAYNAKLAR ... 68

vii

SİMGELER DİZİNİ

B(X) X' in boş olmayan tüm sınırlı alt kümelerin sınıfı

C(X) X' in boş olmayan tüm kapalı alt kümelerin sınıfı

CB(X) X' in boş olmayan tüm kapalı ve sınırlı alt kümelerin sınıfı

|E| Bir grafın büyüklüğü

E(G) Elemanları kenarlar olan kenar kümesi F(T) T' nin sabit noktalarının kümesi

G=(V(G),E(G)) X kümesi üzerinde bir graf

K(X) X' in boş olmayan tüm kompakt alt

kümelerin sınıfı

P(Y) 𝑌𝑌' nin boş olmayan alt kümelerinin sınıfı

T(A) 𝐴𝐴' nın 𝑇𝑇 küme değerli dönüşüm altındaki görüntüsü

|V| Bir grafın mertebesi

V(G) Elemanları köşeler olan köşegen kümesi

Λ X×X kartezyen çarpım kümesinin

köşegeni

1 1.GİRİŞ

Sabit nokta teori nonlineer analizin en güçlü ve etkin araçlarından biri olup, matematiğin birçok dalında özellikle diferensiyel denklemlere, integral denklemlere, kısmi diferensiyel denklemlere birçok uygulaması olmakla birlikte, diğer ilgili alanların varlık teorisinde çok kullanılmaktadır. Yine sabit nokta teori, sınır değer problemleri ve yaklaşım problemlerinde olduğu kadar özdeğer problemlerde de çok verimli uygulamalara sahiptir. Sabit nokta teorinin en iyi bilinen sonucu ve teorinin başlangıcı olarak kabul edilen teorem Banach tarafından 1922 yılında aşağıdaki biçimde verilmiştir:

"(𝑋𝑋, 𝑑𝑑) bir tam metrik uzay ve 𝑇𝑇: 𝑋𝑋 → 𝑋𝑋 her 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 ∈ 𝑋𝑋 için

𝑑𝑑(𝑇𝑇𝑥𝑥, 𝑇𝑇𝑦𝑦) ≤ 𝑘𝑘𝑑𝑑(𝑥𝑥, 𝑦𝑦), 𝑘𝑘 ∈ [0,1)

olacak biçimde bir büzülme dönüşümü olsun. Bu durumda 𝑇𝑇 bir tek 𝑧𝑧 ∈ 𝑋𝑋 sabit noktasına sahiptir."

Her büzülme dönüşümü süreklidir. Doğal olarak, büzülme şartını sağlayan fakat sürekli olmayan bir dönüşümün varlığı sorusu akla gelebilir. Bu sorunun ilk çözüm metodu 1968 yılında Kannan tarafından büzülme şartı 𝑘𝑘 ∈ [0, (1/2)) olmak üzere

𝑑𝑑(𝑇𝑇𝑥𝑥, 𝑇𝑇𝑦𝑦) ≤ 𝑘𝑘[𝑑𝑑(𝑥𝑥, 𝑇𝑇𝑥𝑥) + 𝑑𝑑(𝑦𝑦, 𝑇𝑇𝑦𝑦)]

ile değiştirilerek verilmiştir. Takiben Chatterjea 𝑘𝑘 ∈ [0, (1/2)) olmak üzere

𝑑𝑑(𝑇𝑇𝑥𝑥, 𝑇𝑇𝑦𝑦) ≤ 𝑘𝑘[𝑑𝑑(𝑥𝑥, 𝑇𝑇𝑦𝑦) + 𝑑𝑑(𝑦𝑦, 𝑇𝑇𝑥𝑥)]

büzülme şartı ile yeni bir sabit nokta teoremini ispatlamıştır.

Bu üç bağımsız şart kullanılarak, bazı araştırmacılar çeşitli genelleştirmeler yapmışlardır. Zamfirescu 1972 yılında Banach, Kannan ve Chatterjea tipli büzülmeleri birleştirerek aşağıdaki teoremi vermiştir:

2

"(𝑋𝑋, 𝑑𝑑) bir tam metrik uzay ve 𝑇𝑇: 𝑋𝑋 → 𝑋𝑋 bir dönüşüm olsun. Her 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 ∈ 𝑋𝑋 için 𝑎𝑎 ∈ [0,1), 𝑏𝑏, 𝑐𝑐 ∈ [0, (1/2)) olmak üzere öyle 𝑎𝑎, 𝑏𝑏, 𝑐𝑐 reel sayıları vardır ki aşağıdakilerden en az biri sağlanır ise 𝑇𝑇 bir tek sabit noktaya sahiptir.

∙ 𝑑𝑑(𝑇𝑇𝑥𝑥, 𝑇𝑇𝑦𝑦) ≤ 𝑎𝑎𝑑𝑑(𝑥𝑥, 𝑦𝑦),

∙ 𝑑𝑑(𝑇𝑇𝑥𝑥, 𝑇𝑇𝑦𝑦) ≤ 𝑏𝑏[𝑑𝑑(𝑥𝑥, 𝑇𝑇𝑥𝑥) + 𝑑𝑑(𝑦𝑦, 𝑇𝑇𝑦𝑦)], ∙ 𝑑𝑑(𝑇𝑇𝑥𝑥, 𝑇𝑇𝑦𝑦) ≤ 𝑘𝑘[𝑑𝑑(𝑥𝑥, 𝑇𝑇𝑦𝑦) + 𝑑𝑑(𝑦𝑦, 𝑇𝑇𝑥𝑥)]."

Yukarıda bahsedilen büzülmelerde eşitsizliklerin sağ tarafındaki katsayı veya katsayılar toplamı 1'den küçüktür. Fakat şimdi, vereceğimiz büzülmede bu katsayının veya katsayılar toplamının 1 veya 1'den büyük olabileceğini göreceğiz. Bu büzülme 2003 yılında Vasile Berinde tarafından her 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 ∈ 𝑋𝑋 için 𝛿𝛿 ∈ [0,1) ve 𝐿𝐿 ≥ 0 olmak üzere

𝑑𝑑(𝑇𝑇𝑥𝑥, 𝑇𝑇𝑦𝑦) ≤ 𝛿𝛿𝑑𝑑(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) + 𝐿𝐿𝑑𝑑(𝑦𝑦, 𝑇𝑇𝑥𝑥)

ile tanımlanmış ve hemen hemen büzülme adı verilmiştir.

Daha sonra Berinde her Banach, Kannan, Chatterjea ve Zamfirescu dönüşümlerinin birer hemen hemen büzülme dönüşümü olduğunu göstermiştir.

1983 yılında I. A. Rus kıyaslama fonksiyonu kullanarak Banach Büzülme Prensibinin bir başka genelleştirmesini vermiştir. Bu genelleştirmeye göre 𝜙𝜙, ℝ⁺ → ℝ⁺ bir kıyaslama fonksiyonu ve her 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 ∈ 𝑋𝑋 için 𝑇𝑇 dönüşümü

𝑑𝑑(𝑇𝑇𝑥𝑥, 𝑇𝑇𝑦𝑦) ≤ 𝜙𝜙(𝑑𝑑(𝑥𝑥, 𝑦𝑦))

şartını sağlamak üzere, tam metrik uzaylarda sabit nokta teoremleri ispatlanmıştır.

2004 yılında Berinde, 𝜙𝜙: ℝ⁺ → ℝ⁺ monoton artan, her 𝑡𝑡 ∈ ℝ⁺ için lim_{𝑛𝑛→∞}𝜙𝜙ⁿ(𝑡𝑡) = 0 şartlarını sağlayan kıyaslama fonksiyonu olmak üzere aşağıdaki genelleştirilmiş sabit nokta teoremini ispatlamıştır.

3

"(𝑋𝑋, 𝑑𝑑) bir tam metrik uzay ve 𝑇𝑇: 𝑋𝑋 → 𝑋𝑋, 𝑐𝑐 −kıyaslama fonksiyonu ile bir hemen hemen büzülme dönüşümü olsun. Yani 𝜙𝜙: ℝ⁺ → ℝ⁺ bir kıyaslama fonksiyonu olmak üzere her 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 ∈ 𝑋𝑋 için

𝑑𝑑(𝑇𝑇𝑥𝑥, 𝑇𝑇𝑦𝑦) ≤ 𝜙𝜙(𝑑𝑑(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)) + 𝐿𝐿𝑑𝑑(𝑥𝑥, 𝑇𝑇𝑦𝑦)

olacak şekilde 𝐿𝐿 ≥ 0 var olsun. Bu durumda T bir 𝑧𝑧 ∈ 𝑋𝑋 sabit noktasına sahiptir."

Banach Büzülme Prensibinin en dikkat çekici genelleştirmesi 2012 yılında Wardowski tarafından 𝐹𝐹 −büzülme kavramı tanımlanarak verilmiştir. Bu genelleştirmede Wardowski, tam metrik uzaylarda 𝐹𝐹 −büzülme dönüşümlerinin bir tek sabit noktaya sahip olduğunu göstermiştir.

Diğer taraftan 1969 yılında Nadler Banach Büzülme Prensibini küme değerli dönüşümler için Hausdorff metriğini kullanarak tam metrik uzaylar üzerinde çalışmış ve bu tip büzülme dönüşümlerinin sabit noktaya sahip olduğunu ispatlamıştır. Bu sonuçtan esinlenerek özellikle son yıllarda, küme değerli büzülmeler ile birçok sabit nokta teoremi verilmiştir. Elde edilen bu teoremlerin ışığında S. Reich tarafından aşağıdaki problem formülize edilmiştir.

“(𝑋𝑋, 𝑑𝑑) bir tam metrik uzay ve 𝑇𝑇: 𝑋𝑋 → 𝐶𝐶𝐶𝐶(𝑋𝑋), her 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 ∈ 𝑋𝑋, 𝑥𝑥 ≠ 𝑦𝑦 ve 𝛼𝛼: (0, ∞) → [0,1)

limsup

s→t⁺ α(s) < 1, ∀t ∈ (0, ∞)

olmak üzere

𝐻𝐻(𝑇𝑇𝑥𝑥, 𝑇𝑇𝑦𝑦) ≤ 𝛼𝛼(𝑑𝑑(𝑥𝑥, 𝑦𝑦))𝑑𝑑(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)

şartını sağlayan bir dönüşüm olsun. Bu durumda 𝑇𝑇 bir sabit noktaya sahip midir? Bu problemin ilk kısmi cevabı Reich tarafından verilmiş, daha sonra ise ikinci cevap

4 𝛼𝛼: (0, ∞) → [0,1), limsup

s→t⁺ α(s) < 1, ∀t ∈ [0, ∞)

şartını sağlaması durumunda Mizoguchi ve Takahashi tarafından verilmiştir. 2007 yılında ise M. Berinde ve V. Berinde küme değerli hemen hemen büzülme kavramını tanımlayarak tam metrik uzaylarda bu tip dönüşümler için sabit nokta teoremleri ispatlamışlardır.

Sabit nokta teori ve graf teori birleştirilerek Echenique Tarski sabit nokta teoreminin ispatını vermiştir. 2006 yılında ise Espinola and Kirk sabit nokta sonuçlarından bazılarını graf teoriye uygulamışlardır. Yakın zamanda ise J. Jachymski tek değerli dönüşümler için Beg, Butt and Radojevic de küme değerli dönüşümler için graf ile donatılmış metrik uzaylarda sabit nokta teoremleri ispatlamışlardır.

Tezimizin ilk kısmında küme değerli dönüşümler için Nadler sabit nokta teoreminin genelleştirmelerini Hausdorff metrik ve 𝛥𝛥 −metrikimsi fonksiyonunu kullanarak vereceğiz. İkinci kısımda ise graf ile donatılmış metrik uzaylarda 𝐹𝐹 −büzülme ve hemen hemen büzülme kavramlarını kullanarak yeni sabit nokta teoremleri ispatlayacağız. Ayrıca vereceğimiz örneklerle grafın büzülme şartı üzerindeki etkisini göstereceğiz.

1.1. Kaynak özetleri

Metrik uzay, topolojik uzay ve fonksiyonel analiz ile ilgili temel kavramlar için M.

Koçak’ın “Genel Topolojiye Giriş ve Çözümlü Alıştırmalar” adlı kitabı ile Y.

Soykan’ın “Fonksiyonel Analiz” adlı kitabı kullanılmıştır (1,2). Graf teori ile ilgili temel kavramlar için R. Johnsonbaugh, “Discrete mathematics” adlı kitabından yararlanılmıştır. Sabit nokta teorinin tarihi literatür bilgisi için S. Banach’ın “Sur les operations dans les ensembles abstraits et leur applications aux equations integrales”

adlı makalesinden, R. Kannan’ nın “Some results on fixed points” adlı makalesinden, S. K. Chatterjea’nın “Fixed point theorems” adlı makalesinden, T. Zamfirescu’ nun

“Fixed point theorems in metric spaces” adlı makalesinden, V. Berinde’ nin

“Approximating fixed points of weak ϕ-contractions using the Picard iteration” adlı makalesinden, I.A. Rus’un “Generalized Contractions ile On the approximation of

5

fixed points of weak ϕ-contractive operators” adlı makalelerinden yararlanılmıştır.

Küme değerli sabit nokta teori ile ilgili literatür bilgisi için ise D. Wardowski’nin

“Fixed points of a new type of contractive mappings in complete metric spaces” adlı makalesinden, S. B. Nadler’ in “Multi-valued contraction mappings” adlı makalesinden, S. Reich’in “Fixed points of contractive functions” ile “Some fixed point problems” adlı makalelerinden, N. Mizoguchi ve W. Takahashi’nin “Fixed point theorems for multivalued mappings on complete metric spaces” adlı makalesinden, M. Berinde ve V. Berinde’nin “On a general class of multi-valued weakly Picard mappings” adlı makalesinden yararlanışmıştır. Ayrıca yine bu bölümde B. Fisher’ın “Common fixed points of mappings and set-valued mappings”,

“Fixed points for set-valued mappings on metric spaces” , “Set-valued mappings on metric spaces” ve “Common fixed points of set-valued mappings” adlı makalelerinden yararlanılmıştır.

Yine graf teorinin tarihsel gelişimi ile ilgili F. Echenique’ nin “A short and constructive proof of Tarski's fixed-point theorem” adlı makalesinden, R. Espínola ve W.A. Kirk’in “Fixed point theorems in R-trees with applications to graph theory”

adlı makalesinden, J. Jachymski’nin “The contraction principle for mappings on a complete metric space with a graph” adlı makalesinden, I. Beg, A.R. Butt ve S.

Radojević,’in “The contraction principle for set valued mapping on a metric space with a graph” adlı makalesinden yararlanılmıştır.

2.

2.1. Temel Kavramlar

Bu bölümde tez boyunca s¬kça kullanaca¼g¬m¬z baz¬ temel tan¬mlar ve topolojik kavramlar¬verece¼giz.

Tan¬m 2.1 X bo¸s olmayan bir küme olmak üzere a¸sa¼g¬daki ¸sartlar¬ sa¼glayan d : X X ! R⁺ fonksiyonuna bir metrik, (X; d) ikilisine de bir metrik uzay denir.

a) d(x; y) = 0 ancak ve ancak x = y, b) Her x; y 2 X için d(x; y) = d(y; x),

c) Her x; y; z 2 X için d(x; y) d(x; z) + d(z; y).

Tan¬m 2.2 (X; d) bir metrik uzay, x0 2 X ve r > 0 bir reel say¬olsun.

B(x₀; r) =fx 2 X : d(x⁰; x) < rg kümesine x0 merkezli r yar¬çapl¬aç¬k yuvar,

D(x₀; r) =fx 2 X : d(x⁰; x) rg kümesine x0 merkezli r yar¬çapl¬kapal¬yuvar,

S(x₀; r) =fx 2 X : d(x⁰; x) = rg kümesine x0 merkezli r yar¬çapl¬yuvar yüzeyi denir.

Tan¬m 2.3 (X; d)bir metrik uzay ve U , X’in bo¸s olmayan bir alt kümesi olsun.

E¼ger her x 2 U için B(x; r) U olacak ¸sekilde bir r > 0 say¬s¬varsa U kümesine aç¬k küme denir. E¼ger U^c= XnU kümesi aç¬k ise U kümesine kapal¬küme denir.

Önerme 2.1(X; d)bir metrik uzay olsun. Bu takdirde a¸sa¼g¬daki ifadeler do¼grudur.

a) (X; d)uzay¬ndaki her aç¬k yuvar aç¬k bir kümedir.

b) (X; d) uzay¬ndaki her kapal¬yuvar kapal¬bir kümedir.

Tan¬m 2.4 X bo¸s olmayan bir küme ve ; X’in alt kümelerinin bir s¬n¬f¬olsun.

E¼ger s¬n¬f¬, a¸sa¼g¬daki ¸sartlar¬sa¼gl¬yor ise s¬n¬f¬na X üzerinde bir topoloji ve (X; ) ikilisine de bir topolojik uzay denir.

a) ;; X 2 ,

b) ’ya ait sonlu say¬daki elemanlar¬n arakesiti ’ya ait, c) ’ya ait key… say¬daki elemanlar¬n birle¸simi ’ya aittir.

Tan¬m 2.5 (X; ) bir topolojik uzay ve olsun. E¼ger ’nun her eleman¬

n¬n baz¬elemanlar¬n¬n birle¸simi olarak yaz¬labiliyorsa ’ya topolojisi için bir taban (baz) denir.

Tan¬m 2.6 Bir (X; ) topolojik uzay¬nda ’nun elemanlar¬na aç¬k kümeler denir.

A X için A^c = XnA kümesi aç¬k ise A kümesine kapal¬küme denir. A kümesini kapsayan tüm kapal¬kümelerin arakesitine A’n¬n kapan¬¸s¬denir ve A ile göster- ilir. A kümesinin kapsad¬¼g¬ tüm aç¬k kümelerin birle¸simide ise A kümesinin içi denir ve A^o ile gösterilir. Bir x 2 X noktas¬n¬ içeren her G aç¬k kümesi için (Gn fxg) \ A 6= ; ise x 2 X noktas¬na A’n¬n bir y¬¼g¬lma noktas¬denir. A’n¬n tüm y¬¼g¬lma noktalar¬n¬n kümesi A⁰ ile gösterilir.

Tan¬m 2.7 (X; ) bir topolojik uzay, fxⁿg X bir dizi ve x 2 X olsun. E¼ger x2 G olacak ¸sekildeki her G aç¬k kümesi için, n n₀ oldu¼gunda xn2 G olacak

¸sekilde bir n0 2 N varsa fxⁿg dizisi x 2 X noktas¬na yak¬nsar denir ve bu durum lim_n!1x_n = xya da k¬saca xn ! x ¸seklinde gösterilir.

Tan¬m 2.8 (X; ₁) ve (Y; 2) topolojik uzaylar, f : X ! Y bir fonksiyon ve x2 X olsun. E¼ger f (x) 2 V olacak ¸sekildeki her V 2 ² için x 2 U ve f(U) V olacak ¸sekilde bir U 2 ¹ varsa f fonksiyonuna x 2 X noktas¬nda süreklidir denir.

E¼ger f fonksiyonu X’in her noktas¬nda sürekli ise f ’ye bir sürekli fonksiyon denir.

Tan¬m 2.9 (X; ₁) ve (Y; 2) iki topolojik uzay ve f : X ! Y bir fonksiyon olsun. (X; 1) uzay¬nda x noktas¬na yak¬nsayan her fxⁿg dizisi için (Y; ²) uza-

y¬nda ff(xⁿ)g dizisi f(x) noktas¬na yak¬ns¬yorsa f fonksiyonuna x noktas¬nda dizisel süreklidir denir. f fonksiyonu X’inbn her noktas¬nda dizisel sürekli ise f ’ ye X’nde dizisel süreklidir veya k¬saca dizisel sürekli denir.

Uyar¬ 2.1 Her sürekli fonksiyon dizisel süreklidir, fakat genelde tersi do¼gru de¼gildir. Ancak, metrik uzaylarda süreklilik ve dizisel süreklilik kavramlar¬ bir- birine denktir.

Tan¬m 2.10 (X; d) bir metrik uzay, x 2 X ve A; B X olsun. Bu durumda D(A; B) = inffd(a; b) : a 2 A; b 2 Bg

de¼gerine A ve B kümeleri aras¬ndaki uzakl¬k,

D(x; A) = inffd(x; a) : a 2 Ag de¼gerine x noktas¬n¬n A kümesine uzakl¬¼g¬,

d(A) = supfd(a; b) : a; b 2 Ag

de¼gerine A kümesinin çap¬ denir. E¼ger d(A) < 1 ise A kümesine s¬n¬rl¬küme, d(A) =1 ise A kümesine s¬n¬rs¬z küme denir.

Tan¬m 2.11 (X; d) bir metrik uzay olsun. Bu durumda

d=fU X : U kümesi (X; d) uzay¬nda aç¬kg

s¬n¬f¬X üzerinde bir topolojidir. X üzerindeki bu d topolojisine metrik topolo- jisi veya d metri¼ginin üretti¼gi topoloji denir. (X; d)ikilisine de metrik topolojik uzay denir.

Tan¬m 2.12 (X; d) bir metrik uzay, fxⁿg terimleri X’ de olan bir dizi olsun.

E¼ger, her " > 0 için bir n0 2 N say¬s¬, n n₀ özelli¼gindeki her n 2 N için x_n2 B(x; ") olacak ¸sekilde varsa fxⁿg dizisine x 2 X noktas¬na yak¬ns¬yor denir.

Bu durum xn ! x veya limn!1x_n = x ile gösterilir. x noktas¬na fxⁿg dizisinin limiti ad¬verilir.

Teorem 2.1 Metrik uzayda yak¬nsak her dizinin limiti tektir.

Tan¬m 2.13 (X; d) bir metrik uzay, fxⁿg, X de bir dizi olsun. n^k < n_k+1 olmak üzere fxⁿkg dizisine fxⁿg dizisinin bir alt dizisi denir.

Teorem 2.2 (X; d) bir metrik uzay olsun. fxⁿg dizisi yak¬nsak ise her fxⁿkg alt dizisi de yak¬nsakt¬r ve ayn¬noktaya yak¬nsar.

Tan¬m 2.14 (X; d)bir metrik uzay, fxⁿg X de bir dizi olsun. E¼ger her " > 0 için bir n0 2 N say¬s¬, m > n n₀ özelli¼gindeki her m; n 2 N için d(xⁿ; x_m) < "olacak

¸sekilde varsa fxⁿg dizine bir Cauchy dizisi denir. E¼ger (X; d) metrik uzay¬ndaki her Cauchy dizisi bu uzayda bir noktaya yak¬ns¬yor ise bu uzaya tam metrik uzay denir.

Teorem 2.3 Bir (X; d) metrik uzay¬nda yak¬nsak her fxⁿg dizisi bir Cauchy dizisidir. Ayr¬ca, her Cauchy dizisi s¬n¬rl¬d¬r.

Önerme 2.2(X; d)bir metrik uzay, fxⁿg ; X’de bir dizi veP₁

n=1d(x_n; x_n+1) < 1 olsun. Bu durumda fxⁿg dizisi bir Cauchy dizisidir.

Tan¬m 2.15 (X; d) ve (Y; e) metrik uzaylar, f : (X; d) ! (Y; e) bir fonksiyon ve x0 2 X olsun. E¼ger her " > 0 için f (B(x0; )) B(f (x₀); ") olacak ¸sek- ilde bir > 0 varsa, di¼ger bir deyi¸sle her " > 0 için d(x0; x) < oldu¼gunda e(f (x₀); f (x)) < " olacak ¸sekilde bir > 0 say¬s¬ varsa f fonksiyonu x0 nok- tas¬nda süreklidir denir. E¼ger f fonksiyonu X’in her noktas¬nda sürekli ise f ’ye bir sürekli fonksiyon denir.

Tan¬m 2.16 (X; d) bir metrik uzay, x 2 X ve A; X⁰ in bir alt kümesi olsun.

E¼ger, her " > 0 için

(B(x; ")n fxg) \ A 6= ;

oluyorsa x 2 X noktas¬na A’n¬n bir y¬¼g¬lma noktas¬d¬r denir. A’n¬n tüm y¬¼g¬lma noktalar¬n¬n kümesi A⁰ ile gösterilir. A [ A⁰ kümesine A’n¬n kapan¬¸s¬denir ve A ile gösterilir.

Önerme 2.3 (X; d) metrik uzay ve A; X’ in bir alt kümesi ve x; A’ n¬n bir y¬¼g¬lma noktas¬ olsun. Bu durumda her bir B(x; ") aç¬k yuvar¬ A’ n¬n sonsuz say¬da eleman¬n¬içerir.

Teorem 2.4(X; d)metrik uzay ve A; X’in bir alt kümesi olsun. Bu durumda bir x noktas¬A’n¬n bir y¬¼g¬lma noktas¬d¬r ancak ve ancak xn ! x olacak ¸sekilde A kümesinden x den farkl¬x1; x₂; x₃; ; x_n; elemanlar¬n¬seçmek mümkündür.

Teorem 2.5 (X; d) bir metrik uzay ve A; X’ in bir alt kümesi olsun. x 2 A d¬r ancak ve ancak xn ! x olacak ¸sekilde A içinde bir fxⁿg dizisi vard¬r.

Uyar¬2.2 (X; ) topolojik uzay¬nda x 2 A iken xⁿ ! x olacak ¸sekilde A içinde bir fxⁿg dizisi bulunmayabilir. Örne¼gin,

=fU R : RnU say¬labilirg [ f;g

olmak üzere (R; ) say¬labilir tümleyenler uzay¬n¬ göz önüne alal¬m. 2 2 (0; 1) olmas¬na ra¼gmen (0; 1)⁰ de 2 noktas¬na yak¬nsayan hiçbir dizi yoktur.

Sonuç 2.1 (X; d) bir metrik uzay ve A X olsun. Bu durumda A kapal¬d¬r ancak ve ancak A’daki yak¬nsak her dizinin limiti A dad¬r.

Teorem 2.6 (X; d) bir metrik uzay ve A; X’ in bir alt kümesi olsun. x 2 A d¬r ancak ve ancak her " > 0 için B(x; ") \ A 6= ; d¬r.

Teorem 2.7(X; d)bir metrik uzay ve A; X’in bir alt kümesi olsun. Bu durumda x2 A d¬r ancak ve ancak D(x; A) = 0 d¬r.

Sonuç 2.2 (X; d) bir metrik uzay ve A; X’ in kapal¬ bir alt kümesi olsun.

D(x; A) = 0 d¬r ancak ve ancak x 2 A d¬r.

Tan¬m 2.17 Bir (X; ) topolojik uzay¬nda aç¬k kümelerin bir ailesi fGⁱ : i2 Ig olsun. E¼ger A X için

A [

i2I

G_i

oluyorsa fGⁱ : i2 Ig ailesine A kümesinin bir aç¬k örtüsü denir. E¼ger, aç¬k örtünün

A [n k=1

Gi_k

olacak biçimde bir fGⁱk : k = 1; 2; ; ng alt ailesi var ise, bu aileye A kümesinin sonlu bir alt örtüsü denir.

Tan¬m 2.18 (X; ) bir topolojik uzay ve A X olsun. E¼ger A kümesinin her aç¬k örtüsünün sonlu bir alt örtüsü varsa A kümesine kompakt küme denir.

E¼ger, X kompakt bir küme ise (X; ) topolojik uzay¬na kompakt topolojik uzay denir.

Teorem 2.8 Bir (X; ) kompakt topolojik uzay¬n¬n kapal¬ her alt kümesi de kompakt¬r.

Tan¬m 2.19 (X; ) bir topolojik uzay olsun. X’in farkl¬her nokta çiftini içeren ayr¬k aç¬k kümeler varsa (X; ) topolojik uzay¬na Hausdor¤ uzay denir.

Teorem 2.9 Bir (X; ) Hausdor¤ uzay¬n¬n kompakt her alt kümesi kapal¬d¬r.

Teorem 2.10 (X; ) bir topolojik uzay, A; X’in bo¸s olmayan kompakt bir alt kümesi olsun. E¼ger f : A ! R sürekli ise f(a) = sup f(A) ve f(b) = inf f(A) olacak ¸sekilde a; b 2 A vard¬r.

Teorem 2.11 Bir (X; d) metrik uzay¬ kompaktt¬r ancak ve ancak bu uzayda her dizinin yak¬nsak bir alt dizisi vard¬r.

Teorem 2.12 (X; d) metrik uzay ve A ile B; X’ in bo¸s olmayan alt kümeleri olsun. E¼ger A kompakt ise D(A; B) = D(p; B) olacak ¸sekilde bir p 2 A noktas¬

vard¬r.

Sonuç 2.3 (X; d) bir metrik uzay, x 2 X ve A; X’in kompakt bir alt kümesi olsun. Bu durumda

d(x; a) = D(x; A) olacak ¸sekilde bir a 2 A vard¬r.

2.2. Küme De¼gerli Dönü¸sümler, Hausdor¤ Metri¼gi ve Metrikimsi Fonksiyonu

Bu bölümde küme de¼gerli dönü¸süm, küme de¼gerli dönü¸sümün sabit noktas¬, üst- ten ve alttan yar¬süreklilik kavramlar¬verilecektir. Ayr¬ca Hausdor¤ metri¼gi ve

metrikimsi fonksiyonu kavramlar¬ve baz¬özellikleri incelenecektir.

Tan¬m 2.20 X ve Y bo¸s olmayan iki küme olsun. T X Y ise T ’ ye X’

den Y ’ ye bir küme de¼gerli (ço¼gul de¼gerli) dönü¸süm denir. T : X ! P(Y ) ile gösterilir. Burada P(Y ); Y nin bo¸s olmayan tüm alt kümelerinin s¬n¬f¬d¬r.

T : X ! P(Y ) küme de¼gerli dönü¸sümünün tersi

(x; y)2 T , (y; x) 2 T ¹

¸seklinde tan¬mlan¬r. T , X’den Y ’ye bir küme de¼gerli dönü¸süm ve x 2 X olsun.

T’nin x noktas¬ndaki görüntüsü

T x =fy 2 Y : (x; y) 2 T g

kümesidir. Yine A X için T (A) = [

x2A

T x kümesi A’ n¬n T küme de¼gerli dönü¸süm alt¬ndaki görüntüsüdür. Ayr¬ca,

[

x2A

T x = y 2 Y : T ¹(y)\ A 6= ;

d¬r. Gerçekten,

u 2 T (A) = [

x2A

T x , 9x 2 A için u 2 T x , 9x 2 A için (x; u) 2 T , 9x 2 A için x 2 T ¹(u) , T ¹(u)\ A 6= ;

, u 2 y 2 Y : T ¹(y)\ A 6= ;

bulunur. B Y için

T ¹(B) = [

y2B

T ¹(y)

kümesine B’nin T ¹ alt¬ndaki görüntüsü (veya T alt¬ndaki ters görüntüsü) denir.

Benzer ¸sekilde

[

y2B

T ¹(y) =fx 2 X : T x \ B 6= ;g

oldu¼gu gösterilebilir.

Tan¬m 2.21 T : X ! P(X) dönü¸sümü için x⁰ 2 T x⁰ olacak ¸sekilde x0 2 X varsa bu noktaya T ’nin sabit noktas¬denir. T dönü¸sümünün sabit noktalar¬n¬n kümesi F (T ) ile gösterilir. Yani

F (T ) =fx 2 X : x 2 T xg

dir.

Örnek 2.1 X = [0; 1]olmak üzere T : X ! P(X) dönü¸sümü

T x = 8>

>>

<

>>

>:

f1g ; 0 x < ¹₂ [0; 1] ; x = ¹₂ [0; 1 x] ; ¹₂ < x 1

ile an¬mlans¬n. O halde

T (0) =f1g ; T (³4) = 0;¹₄

T (¹₂) = [0; 1] ; T ((¹₄;³₄)) = [0; 1]

T ((0;¹₄) =f1g ; T ((¹2;³₄)) = 0;¹₂

oldu¼gu görülebilir. Burada ¹₂ 2 T¹₂ = [0; 1] oldu¼gundan ¹₂; T’nin bir sabit nok- tas¬d¬r.

Tan¬m 2.22 X ve Y iki topolojik uzay ve T : X ! P(Y ) bir küme de¼gerli dönü¸süm olsun. E¼ger Y ’ deki her kapal¬ kümenin ters görüntüsü X’ de kapal¬

oluyorsa, T ’ye üstten yar¬sürekli, Y ’deki her aç¬k kümenin ters görüntüsü X’de aç¬k ise T ’ye alttan yar¬sürekli dönü¸süm denir. E¼ger bir küme de¼gerli dönü¸süm hem alttan hem de üstten yar¬sürekli ise bu dönü¸süme süreklidir denir.

Örnek 2.2 T : [0; 1]! P([0; 1])

T x = 8>

>>

>>

>>

>>

<

>>

>>

>>

>>

>:

3

4 ; 0 x < ¹₂

1

4;³₄ ; x = ¹₂

1

4 ; ¹₂ < x ³₄

¸seklinde tan¬mlans¬n. Bu durumda T dönü¸sümü üstten yar¬süreklidir ancak alt- tan yar¬ sürekli de¼gildir. Çünkü V = ¹₄;³₄ aç¬k kümesi için T ¹(V ) = ¹₂ olup aç¬k de¼gildir. Burada dikkat edelim ki her kapal¬kümenin ters görüntüsü de kapal¬d¬r.

Örnek 2.3 T : R ! P(R) dönü¸sümü

T x = 8>

>>

<

>>

>:

f0g ; x6= 0

[ 1; 1] ; x = 0

¸seklinde tan¬mlans¬n. Bu durumda T dönü¸sümü üstten yar¬ süreklidir ancak alttan yar¬sürekli de¼gildir. K kapal¬kümesi için

T ¹(K) = 8>

>>

>>

>>

>>

<

>>

>>

>>

>>

>:

R ; 02 K

f0g ; 0 =2 K ve K \ [ 1; 1] 6= ;

; ; K\ [ 1; 1] = ;

oldu¼gundan T dönü¸sümü üstten yar¬ süreklidir. Ancak U = ¹₂; 2 a笼g¬ için T ¹(U ) =f0g olup aç¬k de¼gildir. O halde T dönü¸sümü alttan yar¬sürekli de¼gildir.

Örnek 2.4 T : R ! P(R) dönü¸sümü

T x = 8>

>>

<

>>

>:

[ 1; 1] ; x6= 0

f0g ; x = 0

¸seklinde tan¬mlans¬n. Bu durumda T dönü¸sümü alttan yar¬süreklidir ancak üst- ten yar¬ sürekli de¼gildir. Bu dönü¸sümde bir aç¬k kümenin ters görüntüsü ya Rn f0g ya R ya da ; dur. Dolay¬s¬yla T dönü¸sümü alttan yar¬süreklidir. Ancak, K = ¹₂; 2 kapal¬kümesi için T ¹(K) = Rn f0g olup kapal¬de¼gildir. O halde T dönü¸sümü üstten yar¬sürekli de¼gildir.

(X; d) bir metrik uzay ve K(X); X’in bo¸s olmayan tüm kompakt alt kümelerin s¬n¬f¬, CB(X); X’in bo¸s olmayan tüm kapal¬ve s¬n¬rl¬alt kümelerin s¬n¬f¬, C(X);

X’in bo¸s olmayan tüm kapal¬alt kümelerin s¬n¬f¬ve B(X); X’in bo¸s olmayan tüm s¬n¬rl¬alt kümelerin s¬n¬f¬olsun. Bu durumda K(X) CB(X) C(X) ve K(X) CB(X) B(X) oldu¼gu aç¬kt¬r. A; B 2 P(X) için

(A; B) = sup

x2AfD(x; B)g = sup

x2A

inf

y2Bd(x; y) ve

H(A; B) = maksf (A; B); (B; A)g

= maks sup

x2A

inf

y2Bd(x; y); sup

x2B

inf

y2Ad(x; y)

ile tan¬mlan¬r.

Örnek 2.5 X = R kümesini al¬¸s¬lm¬¸s metrik ile göz önüne alal¬m. A = [1; 2]

ve B = [4; 1) kümeleri için

(A; B) = 3; (B; A) =1 oldu¼gundan

H(A; B) = maksf (A; B); (B; A)g = 1

bulunur. ’ nin simetrik olmad¬¼g¬ buradan görülebilir. Yani genelde (A; B) 6=

(B; A)d¬r. Ayr¬ca, ve H’¬n P(X) P(X) üzerinde tan¬ml¬reel de¼gerli fonksi yonlar olmad¬¼g¬da görülmektedir.

Uyar¬ 2.1 E¼ger A ve B kümeleri (X; d) metrik uzay¬n¬n s¬n¬rl¬ alt kümeleri ise (A; B), (B; A) ve H(A; B) birer reel say¬d¬r. O halde ve H, B(X) B(X) üzerinde tan¬ml¬reel de¼gerli fonksiyonlard¬r.

Örnek 2.6 X = R kümesi al¬¸s¬lm¬¸s metrik ile göz önüne alal¬m. A = [2; 4]

ve B = (2; 4) kümeleri için

(A; B) = (B; A) = 0 oldu¼gundan

H(A; B) = maksf (A; B); (B; A)g = 0

bulunur. Burada H(A; B) = 0 olmas¬na ra¼gmen A 6= B dir. Yani H : B(X) B(X) ! R fonksiyonu bir metrik de¼gildir.

Teorem 2.13 (X; d) bir metrik uzay, A; B 2 P(X) olsun. Bu durumda H(A; B) = supfjD(x; A) D(x; B)j : x 2 Xg

dir.

Ispat· Her x 2 X ve her b 2 B için

D(x; A) d(x; b) + D(b; A)

yaz¬labilir. D(b; A) H(A; B) oldu¼gundan

D(x; A) d(x; b) + H(A; B) olup bu e¸sitsizlik her b 2 B için de geçerlidir. Dolay¬s¬yla

D(x; A) D(x; B) + H(A; B) veya

D(x; A) D(x; B) H(A; B) yaz¬labilir. Benzer ¸sekilde

D(x; B) D(x; A) H(A; B) elde edilir. Bu durumda her x 2 X için

jD(x; B) D(x; A)j H(A; B) olur ki buradan

sup

x2XjD(x; A) D(x; B)j H(A; B) (2.1)

elde edilir. Di¼ger taraftan

(B; A) = supfD(b; A) : b 2 Bg

= supfD(b; A) D(b; B) : b2 Bg supfD(x; A) D(x; B) : x2 Xg supfjD(x; A) D(x; B)j : x 2 Xg olur. Benzer ¸sekilde

(A; B) supfjD(x; A) D(x; B)j : x 2 Xg oldu¼gu gösterilebilir. Bu durumda

H(A; B) = maksf (A; B); (B; A)g

supfjD(x; A) D(x; B)j : x 2 Xg (2.2) bulunur. O halde (2.1) ve (2.2) den istenilen e¸sitlik elde edilir.

Uyar¬2.2 A ve B, reel say¬lar¬n bo¸s kümeden farkl¬üstten s¬n¬rl¬iki alt kümesi olsun. Bu durumda

sup (A[ B) = maks fsup A; sup Bg

dir. Gerçekten

A A[ B ) sup A sup (A[ B) ve

B A[ B ) sup B sup (A[ B) oldu¼gundan

maksfsup A; sup Bg sup (A[ B) (2.3) elde edilir. ¸Simdi x 2 A[B olsun. Bu durumda x 2 A veya x 2 B dir. Dolay¬s¬yla x sup Aveya x sup B dir. Buradan ise

x maksfsup A; sup Bg

elde edilir. Böylece

sup (A[ B) maksfsup A; sup Bg (2.4)

olur. O halde (2.3) ve (2.4) den istenilen e¸sitlik elde edilir.

A¸sa¼g¬daki önermede ’n¬n baz¬özellikleri incelenmi¸stir.

Önerme 2.4 (X; d) bir metrik uzay ve A; B; C 2 B(X) olsun. Bu durumda a¸sa¼g¬daki özellikler sa¼glan¬r.

a) (A; B) = 0, A B b) B C ) (A; C) (A; B)

c) (A[ B; C) = maks f (A; C); (B; C)g d) (A; B) (A; C) + (C; B):

Ispat· A; B; C 2 B(X) olsun.

a)

(A; B) = 0 , sup

x2AfD(x; B)g = 0

, her x 2 A için D(x; B) = 0 , her x 2 A için x 2 B

, A B

b) B C olsun. Her x 2 X için D(x; C) D(x; B) dir. Bu durumda her x 2 A için de D(x; C) D(x; B)e¸sitsizli¼gi sa¼gland¬¼g¬ndan (A; C) (A; B)elde edilir.

c) Uyar¬2.2 göz önüne al¬n¬rsa (A[ B; C) = sup

x2A[BfD(x; C)g

= maks sup

x2AfD(x; C)g ; sup

x2BfD(x; C)g elde edilir.

d) a2 A; b 2 B ve c 2 C olsun. Bu durumda

d(a; b) d(a; c) + d(c; b)

olur. Burada b 2 B üzerinden in…mum al¬n¬rsa

D(a; B) d(a; c) + D(c; B)

elde edilir. D(c; B) (C; B)oldu¼gundan

D(a; B) d(a; c) + (C; B)

olur. Son e¸sitsizlikte c 2 C üzerinden in…mum al¬n¬rsa D(a; B) D(a; C) + (C; B)

olur. Yine D(a; C) (A; C) oldu¼gundan

D(a; B) (A; C) + (C; B)

olur. Böylece a 2 A üzerinden supremum al¬n¬rsa (A; B) (A; C) + (C; B)

elde edilir.

Uyar¬2.3 Önerme 2.1 de B kümesi kapal¬ise (A; B) = 0 , A B ifadesinin do¼gru oldu¼gu a¸sikard¬r.

Önerme 2.5 (X; d) bir metrik uzay olsun. Bu durumda H; CB(X) üzerinde bir metriktir.

Ispat· H’¬n CB(X) CB(X) üzerinde tan¬m¬nl¬bir reel de¼gerli fonksiyon oldu¼gu aç¬kt¬r. Ayr¬ca tan¬mdan

H(A; B) = H(B; A) d¬r. ¸Simdi A; B 2 CB(X) olsun. Bu durumda

H(A; B) = 0 , maks f (A; B); (B; A)g = 0 , (A; B) = 0 ve (B; A) = 0

, A B ve B A

, A = B bulunur. Son olarak a; b; c; d 2 [0; 1) için

maksfa + b; c + dg maksfa; cg + maks fb; dg özelli¼gini kullanarak A; B; C 2 CB(X) için

H(A; B) = maksf (A; B); (B; A)g

maksf (A; C) + (C; B); (B; C) + (C; A)g maksf (A; C); (C; A)g + maks f (B; C); (C; B)g

= H(A; C) + H(C; B)

elde edilir. Yani H : CB(X) CB(X) ! R bir metriktir. Bu metri¼ge Hausdor¤

metri¼gi denir.

Hausdor¤ metri¼ginin d’ye ba¼gl¬oldu¼gu a¸sa¼g¬daki örnekle gösterilebilir. Ayr¬ca, e¼ger (X; d) tam metrik uzay ise (CB(X); H) ve (K(X); H) metrik uzaylar¬ da tamd¬r.

Örnek 2.7 X = R üzerinde d¹(x; y) =jx yj ve

d₂(x; y) = 8<

:

1 ; x6= y 0 ; x = y

metriklerini göz önüne alal¬m. Bu durumda A = [0; 1] ; B = [3; 5] kümeleri için H₁(A; B) = 4 ve H2(A; B) = 1 olur. Burada dikkat edelim ki her iki küme de d1

ve d2 metri¼gine göre kapal¬ve s¬n¬rl¬d¬r.

Lemma 2.1 A; B 2 CB(X) ve a 2 A olsun. Bu durumda her " > 0 için d(a; b) H(A; B) + "

olacak ¸sekilde bir b 2 B vard¬r.

Ispat· a2 A için

D(a; B) = inffd(a; y) : y 2 Bg olur. ·In…mumun tan¬m¬ndan her " > 0 için

d(a; b) D(a; B) + "

olacak ¸sekilde bir b 2 B vard¬r. Di¼ger taraftan

D(a; B) (A; B) H(A; B) oldu¼gundan her " > 0 için

d(a; b) H(A; B) + "

olacak ¸sekilde bir b 2 B vard¬r.

Lemma 2.1 ’i a¸sa¼g¬daki gibi de ifade edebiliriz.

Lemma 2.2 A; B 2 CB(X) ve a 2 A olsun. Bu durumda her q > 1 için d(a; b) qH(A; B)

olacak ¸sekilde bir b 2 B vard¬r.

Ispat· E¼ger H(A; B) = 0 ise A = B dir. Bu durumda b, a olarak al¬n¬rsa her q > 1 için

d(a; b) qH(A; B)

olacak biçimde bir b 2 B vard¬r. ¸Simdi H(A; B) > 0 olsun. Bu durumda

" = (q 1) H(A; B) > 0 olarak seçilirse Lemma 2.1 gere¼gince her q > 1 için

d(a; b) H(A; B) + "

= H(A; B) + (q 1) H(A; B)

= qH(A; B) olacak ¸sekilde bir b 2 B vard¬r.

Önerme 2.6 (X; d) bir metrik uzay olsun. Her A; B; C; D 2 CB(X) için H(A[ B; C [ D) maksfH(A; C); H(B; D)g

e¸sitsizli¼gi sa¼glan¬r.

Ispat· Önerme 2.4 dikkate al¬n¬rsa

(A₁[ A²; B₁) = maksf (A¹; B₁); (A₂; B₁)g oldu¼gundan

(A[ B; C [ D) = maks f (A; C [ D); (B; C [ D)g

yazabiliriz. Yine

B₁ A₁[ A² ) (A¹[ A²) (B₁) özelli¼ginden

(A[ B; C [ D) = maks f (A; C [ D); (B; C [ D)g maksf (A; C); (B; D)g

maksfH(A; C); H(B; D)g olur. Benzer ¸sekilde

(C [ D; A [ B) maksfH(A; C); H(B; D)g oldu¼gunu gösterebiliriz. Böylece H ¬n tan¬m¬gere¼gi

H(A[ B; C [ D) = maks f (A [ B; C [ D); (C [ D; A [ B)g maksfH(A; C); H(B; D)g

elde edilir.

Lemma 2.3 (X; d) bir metrik uzay ve T : X ! CB(X) küme de¼gerli dönü¸süm ve z 2 X olsun. Bu durumda her x 2 X için

D(z; T z) d(z; x) + D(x; T z) dir.

Ispat· Her x 2 X için

D(z; T z) = inffd(z; y) : y 2 T zg

inffd(z; x) + d(x; y) : y 2 T zg

= d(z; x) + inffd(x; y) : y 2 T zg

= d(z; x) + D(x; T z) elde edilir.

Lemma 2.4 (X; d) bir metrik uzay, T : X ! CB(X) küme de¼gerli dönü¸süm ve z 2 X olsun. Bu durumda her x 2 X için

D(z; T z) D(z; T x) + H(T x; T z) dir.

Ispat· Her v 2 X için

D(z; T z) d(z; v) + D(v; T z) oldu¼gundan her v 2 T x için de

D(z; T z) d(z; v) + D(v; T z) e¸sitsizli¼gi sa¼glan¬r. Ayr¬ca

D(v; T z) H(T x; T z) oldu¼gundan her v 2 T x için

D(z; T z) d(z; v) + H(T x; T z) olur. v 2 T x üzerinden in…mum al¬n¬rsa istenilen elde edilir.

Tan¬m 2.23 (X; d) bir metrik uzay ve B(X); X’ in bo¸s olmayan tüm kapal¬

alt kümelerin s¬n¬f¬olsun. A; B 2 B(X) için metrikimsi fonksiyonu (A; B) = supfd(a; b) : a 2 A; b 2 Bg

ile tan¬mlan¬r.

E¼ger A = fag ise bu durumda (A; B) = (a; B) dir. Üstelik B = fbg ise (A; B) = (a; b) = d(a; b)

dir. Ayr¬ca

(A; B) = supfd(a; b) : a 2 A; b 2 Bg

= supfd(b; a) : a 2 A; b 2 Bg

= (B; A) 0

ve her A; B; C 2 B(X) için

(A; B) (A; C) + (C; B) d¬r.

Tan¬m 2.24 fAⁿg ; B(X) üzerinde bir dizi olsun. fAⁿg ; A X kümesine yak¬nsakt¬r ancak ve ancak

a) a2 A olmas¬n 2 N için Aⁿ de an! a olacak ¸sekilde bir faⁿg dizisinin var ve b) " > 0 için 9m 2 N vard¬r öyle ki n > m için

A_n A_" =fx 2 X : d(x; a) < "; a 2 Ag

olmas¬d¬r.

Lemma 2.5 fAⁿg ve fBⁿg, B(X) üzerinde iki dizi ve (X; d) tam metrik uzay olsun. E¼ger An ! A 2 B(X) ve Bⁿ ! B 2 B(X) ise (A_n; B_n)! (A; B):

Ispat· " > 0 olsun. n > N iken

(A_n; B_n) (A_"; B_")

= supn

d(a⁰; b⁰) : a⁰ 2 A^"; b⁰ 2 B^"o

olacak biçimde N tamsay¬s¬vard¬r. Ayr¬ca her a⁰ 2 A^"ve b⁰ 2 B^" için d(a⁰; a) < "

ve d(b⁰; b) < " olacak ¸sekilde a 2 A ve b 2 B vard¬r. Böylece d(a⁰; b⁰) < d(a; b) + 2"

elde edilir. Buradan

(A_n; B_n) < supfd(a; b) : a 2 A; b 2 Bg + 2" = (A; B) + 2" (2.5) bulunur. Ayr¬ca n > N⁰ iken her a 2 A; b 2 B için aⁿ 2 Aⁿ; b_n2 Bⁿ ve

d(a; a_n) < "; d(b; b_n) < "

olacak biçimde N⁰ tamsay¬s¬vard¬r ve

d(a; b) d(a_n; b_n) + 2"

sa¼glan¬r. Böylece

(A; B) = supfd(a; b) : a 2 A; b 2 Bg

supfd(aⁿ; b_n) : a_n 2 Aⁿ; b_n2 Bⁿg + 2"

= (A_n; B_n) + 2" (2.6)

olup (2.5) ve (2.6) den istenilen elde edilir.

Lemma 2.6 E¼ger fAⁿg ; (X; d) tam metrik uzay¬n¬n bo¸s olmayan s¬n¬rl¬ al- tkümelerinin bir dizisi ve baz¬y 2 X için (A_n; y)! 0 ise Aⁿ! fyg⁰dir.

Ayr¬ca 1981 y¬l¬nda Fisher metrikimsi fonksiyonunu kullanarak a¸sa¼g¬daki sabit nokta teoremini ispatlam¬¸st¬r.

Teorem 2.14 (X; d) tam metrik uzay ve T : X ! B(X), her x; y 2 X için

(T x; T y) cmaks 8<

:

d(x; y); (x; T x); (y; T y);

(x; T y); (y; T x)

9=

;; 0 c < 1 e¸sitsizli¼gi sa¼glans¬n. Ayr¬ca her A 2 B(X) için T A 2 B(X) olsun. Bu durumda T bir sabit noktaya sahiptir.

Tan¬m 2.25 (X; d) metrik uzay ve T : X ! B(X) olsun. E¼ger fxⁿg X ! x iken fT xⁿg B(X)! T x ise T dönü¸sümü x 2 X noktas¬nda süreklidir denir.

Lemma 2.7 (X; d)bir metrik uzay ve T : X ! P(X) e her x 2 X için T x kapal¬

olacak ¸sekilde üstten yar¬sürekli bir dönü¸süm olsun. E¼ger xn ! x⁰; y_n ! y⁰ve y_n2 T xⁿ ise y0 2 T x⁰ d¬r.

2.3. Graf Teori

Bu bölümde graf teori hakk¬nda baz¬ temel bilgiler verilerek örneklendirmeler yap¬lacakt¬r.

Tan¬m 2.26 X bo¸s olmayan bir küme ve , X X kartezyen çarp¬m kümesinin

kö¸segeni olsun. V (G); elemanlar¬ kö¸seler olan kö¸segen kümesi, E(G) ise ke- nar kümesi olmak üzere X üzerinde bir graf G = (V (G); E(G)) ile tan¬mlan¬r.

Örne¼gin, G = (V (G); E(G)) olmak üzere

V =f1; 2; 3; 4; 5g ve E = f(1; 2); (1; 3); (2; 3); (2; 4); (3; 4)g

ile verilen graf

biçimindedir.

G = (V (G); E(G)) bir graf olsun. jV j, G’nin mertebesini jEj ise G’nin büyük- lü¼günü gösterir. jV j ; grafdaki kö¸se say¬s¬ ile jEj ise grafdaki kenar say¬s¬ ile hesaplan¬r. Örne¼gin

ile verilen grafda jV j = 4; jEj = 8 dir.

Tan¬m 2.27 E¼ger bir kö¸segen çifti aras¬nda birden fazla kenar var ise, bu ke- narlar paralel kenar olarak adland¬r¬l¬r. Örne¼gin,

ile verilen grafda e1 ve e5paralel kenarlard¬r.

Bir grafda ba¸slang¬ç ve biti¸s kö¸sesi ayn¬ olan kenar loop yani döngü olarak ad- land¬r¬l¬r. Örne¼gin

ile verilen grafda e1 kenar¬bir loop yani döngüdür.

Tan¬m 2.28 G = (V (G); E(G)) ile verilen bir grafda e¼ger hiç paralel kenar veya döngü yoksa, bu grafa basit graf denir. Örne¼gin,

ile verilen G2 bir basit graft¬r.

Tan¬m 2.29 G = (V (G); E(G)) ile verilen bir grafda e¼ger paralel kenar varsa bu grafa çoklu graf denir. Örne¼gin,

ile verilen graf bir çoklu graft¬r.

Tan¬m 2.30G = (V (G); E(G))ile verilen bir grafda e¼ger paralel kenar ve döngü

varsa, bu grafa Pseudo graf denir. Örne¼gin,

bir Pseudo graft¬r.

Tan¬m 2.31G = (V (G); E(G))bir graf, x ve y de bu grafda herhangi iki kö¸segen olsun. x den y ye k 2 N uzunlu¼gunda bir yol

x₀ = x; x_k= y ve (xi 1; x_i)2 E(G) , i 2 f1; 2; :::; kg ile olu¸sturulan kö¸segenlerin sonlu bir fxⁿg dizisidir. Örne¼gin,

ile verilen grafda v1v₂v₁v₃v₄v₅ bir yoldur.

Tan¬m 2.32 G = (V (G); E(G)) bir graf olsun. E¼ger grafdaki her kenar baz¬

a¼g¬rl¬klara sahipse bu grafa a¼g¬rl¬kl¬ graf denir. Genelde bir kenar¬n a¼g¬rl¬¼g¬ iki kö¸se aras¬ndaki uzakl¬k ile hesaplan¬r.

Tan¬m 2.33 G = (V (G); E(G)) bir yönlendirilmemi¸s graf olsun. E¼ger herhangi iki kö¸segen aras¬nda bir yol varsa G ye ba¼glant¬l¬d¬r denir. Örne¼gin

ile verilen graf ba¼glant¬l¬d¬r.

Tan¬m 2.34 ~G; G den kenarlar¬n yönlendirilmesi ihmal edilerek elde edilen bir yönlendirilmemi¸s graf olsun. E¼ger ~G ba¼glant¬l¬ise G ye zay¬f ba¼glant¬l¬d¬r denir.

Örne¼gin,

ile verilen grafda yönlendirmeler ihmal edilirse, G2 zay¬f ba¼glant¬l¬d¬r.

Tan¬m 2.35 G = (V (G); E(G)) bir yönlendirilmi¸s graf olsun. a ve b herhangi iki kö¸segen olmak üzere e¼ger a dan b ye ve b den a ya bir yol varsa G ye kuvvetli ba¼glant¬l¬d¬r denir. Örne¼gin,

ile verilen graf kuvvetli ba¼glant¬l¬d¬r.

G ¹; G den elde edilen bir graf olup

E(G ¹) = f(x; y) 2 X X : (y; x)2 E(G)g

ile tan¬mlan¬r. Bu tan¬mdan yola ç¬karak ~G’ i kenarlar¬ simetrik olan bir yön- lendirilmi¸s graf olarak kabul edebiliriz ve bunu

E( ~G) = E(G)[ E(G ¹) ile gösterebiliriz.

Tan¬m 2.36Gbir graf olsun. E¼ger V⁰ V (G), E⁰ E(G)ve (x; y) 2 E⁰; x; y 2 V⁰ oluyorsa (E⁰; V⁰)ikilisine alt graf denir.Örne¼gin

ile verilen graf için

ile verilen G1; G₂; G₃ birer alt grafd¬r.

Tan¬m 2.37 (X; d) bir metrik uzay, G = (V (G); E(G)) ,V (G) = X olacak bi çimde bir graf ve T : X ! CB(X) bir dönü¸süm olsun. E¼ger

(x; y)2 E(G) iken tüm u 2 T x ve v 2 T y için (u; v) 2 E(G) oluyorsa T ye graf koruyan özelli¼gine sahiptir denir.

2.4. Hemen Hemen Büzülme ve F -Büzülme Dönü¸sümleri

Bu bölümde öncelikle Berinde taraf¬ndan tan¬mlanan hemen hemen büzülme kavram¬n¬ verip yap¬lan sabit nokta teoremlerine de¼ginece¼giz. Daha sonra F - büzülme kavram¬n¬, buna ili¸skin baz¬ örnekleri ve yap¬lan baz¬ sabit nokta teo- remlerini verece¼giz.

Tan¬m 2.38 (X; d) bir metrik uzay ve T : X ! X bir dönü¸süm olsun. Her x; y 2 X için

d(T x; T y) d(x; y) + Ld(y; T x) (2.7) olacak biçimde 2 [0; 1) ve L 0 varsa T ’ye hemen hemen büzülme dönü¸sümü denir.

Metri¼gin simetri özelli¼ginden (2.7) e¸sitsizli¼gini

d(T x; T y) d(x; y) + Ld(x; T y) (2.8)

biçiminde de yazabiliriz. O halde verilen bir T dönü¸sümünün hemen hemen büzülme oldu¼gunu göstermek için (2.7) ve (2.8) e¸sitsizliklerinin her ikisinin de sa¼gland¬¼g¬n¬göstermeliyiz.

Örne¼gin; T : [0; 1] ! [0; 1]

T x = 8>

>>

<

>>

>:

2x

3 ; x2 [0; ¹₂)

2x+1

3 ; x2 [¹₂; 1]

ile tan¬mlanan T dönü¸sümü = ²₃ ve L = 6 için bir hemen hemen büzülmedir.

Ayr¬ca bu dönü¸sümün sabit noktalar¬0 ve 1’dir.

Teorem 2.15 (X; d) bir tam metrik uzay ve T : X ! X bir hemen hemen büzülme olsun. Yani her x; y 2 X için

d(T x; T y) d(x; y) + Ld(y; T x)

olacak biçimde 2 [0; 1) ve L 0olsun. Bu durumda T , X’de bir sabit noktaya sahiptir.Hemen hemen büzülmelerde yukar¬daki örnekte de görüldü¼gü gibi sabit nokta tek olmayabilir. Bu tekli¼gi sa¼glamak için hemen hemen büzülme ¸sart¬na benzer bir ek ¸sart ekleyerek tekli¼gi garanti edebiliriz.

Teorem 2.16 (X; d) bir tam metrik uzay ve T : X ! X bir hemen hemen büzülme olsun. Ayr¬ca her x; y 2 X için

d(T x; T y) _ud(x; y) + L_ud(x; T x) (2.9) olacak biçimde u 2 [0; 1) ve L^u 0varsa T , X’de bir tek sabit noktaya sahiptir.

2004 y¬l¬nda Berinde, ' : R⁺! R⁺monoton artan, her t 2 R⁺için lim_n!1'ⁿ(t) = 0¸sart¬n¬sa¼glayan k¬yaslama fonksiyonunu kullanarak lineer olmayan yeni tip bir büzülmeyi a¸sa¼g¬daki gibi tan¬mlam¬¸st¬r.

Tan¬m 2.39 (X; d) bir metrik uzay ve T : X ! X bir dönü¸süm olsun. ' : R⁺ ! R⁺ bir k¬yaslama fonksiyonu olmak üzere her x; y 2 X için

d(T x; T y) '(d(x; y)) + Ld(x; T y)

olacak biçimde L 0 varsa T ’ye hemen hemen ' büzülme dönü¸sümü denir.

Aç¬kt¬r ki, her hemen hemen büzülme hemen hemen ' büzülme dönü¸sümüdür.

Tan¬m 2.40 ' : R⁺ ! R⁺ monoton artan ve her t 2 R⁺ için P¹

n=0

'ⁿ(t) serisinin yak¬nsak olma ¸sartlar¬n¬sa¼glarsa ' ye c k¬yaslama fonksiyonu denir.

Teorem 2.17(X; d)bir tam metrik uzay ve T : X ! X, c k¬yaslama fonksiyonu ile bir hemen hemen büzülme dönü¸sümü olsun. Yani her x; y 2 X için

d(T x; T y) '(d(x; y)) + Ld(x; T y)

olacak biçimde ' : R⁺ ! R⁺ c k¬yaslama fonksiyonu ve L 0 var olsun. Bu durumda T bir z 2 X sabit noktas¬na sahiptir.

2007 y¬l¬nda Pacurar ve Berinde hemen hemen büzülme kavram¬n¬küme de¼gerli dönü¸sümler için tan¬mlay¬p a¸sa¼g¬daki sabit nokta teoremleri ispatlam¬¸slard¬r.

Tan¬m 2.41 (X; d)bir metrik uzay ve T : X ! P (X) küme de¼gerli bir dönü¸süm olsun. Her x; y 2 X için

H(T x; T y) d(x; y) + LD(y; T x) (2.10) olacak biçimde 2 [0; 1) ve L 0varsa T ’ye küme de¼gerli hemen hemen büzülme dönü¸sümü denir.

T’nin küme de¼gerli hemen hemen büzülme oldu¼gunu göstermek için (2.10) nin simetri¼gi olan

H(T x; T y) d(x; y) + LD(x; T y) e¸sitsizli¼gininde sa¼gland¬¼g¬n¬gösterilmelidir.

Teorem 2.18 (X; d) bir tam metrik uzay ve T : X ! CB(X) küme de¼gerli hemen hemen büzülme olsun. Bu durumda

(i)F ix(T ) = fx 2 X : x 2 F xg 6= ;;

(ii) x0 2 X için T nin x⁰ noktas¬nda fxⁿg¹n=0 orbiti vard¬r öyle ki T ’nin u sabit noktas¬na yak¬nsar ve a¸sa¼g¬daki e¸sitsizlikler h < 1 için geçerlidir.

d(x_n; u) hⁿ

1 hd(x₀; x₁); n = 0; 1; 2;

d(x_n; u) h

1 hd(x_{n 1}; x_n); n = 0; 1; 2;

Ayr¬ca yine Pacurar ve Berinde bu sonucu (2.10) deki d(x; y) terimi yerine, k : [0;1) ! [0; 1) olmak üzere, k(d(x; y))d(x; y) terimini alarak geni¸sletmi¸slerdir.

Teorem 2.19 (X; d) bir tam metrik uzay ve T : X ! CB(X)’ e genelle¸stir- ilmi¸s ( ; L)-hemen hemen büzülme olsun.Yani her x; y 2 X için

H(T x; T y) (d(x; y))d(x; y) + LD(y; T x)

olsun. Bu durumda T en az bir sabit noktaya sahiptir. Burada : [0;1) ! [0; 1) her t 2 [0; 1) için, limsupr!t+ (r) < 1 dir.

Sabit nokta teorinin en önemli sonuçlar¬ndan biri olan Banach sabit nokta teorem- inin birçok genelle¸stirmesi yap¬lm¬¸st¬r. Bunlardan biri de Wardowski taraf¬ndan F-büzülme dönü¸sümü kullan¬larak verilmi¸stir. Bu bölümde F -büzülme kavram¬n¬

ve bunun yard¬m¬yla yap¬lan baz¬sabit nokta teoremlerine de¼ginece¼giz.Öncelikle küme de¼gerli Lipschitz dönü¸sümü, küme de¼gerli büzülme dönü¸sümü kavramlar¬n¬

hat¬rlay¬p, bu tip dönü¸sümler için s¬ras¬ ile Nadler ve Reich taraf¬ndan verilen sabit nokta teoremlerini inceleyelim.

Tan¬m 2.42 (X; d) bir metrik uzay ve T : X ! CB(X) küme de¼gerli dönü¸süm olsun. E¼ger her x; y 2 X için

H(T x; T y) Ld(x; y) (2.11)

olacak biçimde bir L > 0 sabiti varsa T ye küme de¼gerli Lipschitz dönü¸sümü ad¬ verilir. (2.11) e¸sitsizli¼gini sa¼glayan L say¬lar¬n¬n en küçü¼güne T nin Lip- schitz sabiti denir ve k ile gösterilir. E¼ger k < 1 ise T ye küme de¼gerli büzülme dönü¸sümü, k = 1 ise geni¸slemeyen dönü¸süm ad¬verilir.

Teorem 2.20 (X; d) bir tam metrik uzay ve T : X ! CB(X) bir küme de¼gerli büzülme dönü¸sümü olsun. Bu durumda T; X’de bir sabit noktaya sahiptir.

Teorem 2.21 (X; d) bir tam metrik uzay ve T : X ! CB(X) bir dönü¸süm olsun. Her x; y 2 X için

H(T x; T y) aD(x; T x) + bD(y; T y) + cd(x; y)

olacak biçimde a + b + c < 1 özelli¼gine uygun negatif olmayan a; b ve c reel say¬lar¬

var olsun. Bu durumda T bir sabit noktaya sahiptir.

Banach Büzülme Prensibinin en dikkat çekici genelle¸stirmesi 2012 y¬l¬nda War- dowski taraf¬ndan F -büzülme kavram¬n¬tan¬mlanarak verilmi¸stir. Bu genelle¸stirmede

Wardowski, tam metrik uzaylarda F -büzülme dönü¸sümlerinin bir tek sabit nok- taya sahip oldu¼gunu göstermi¸stir. ¸Simdi önce F -büzülme kavram¬n¬ ve buna ili¸skin baz¬ örnekleri verelim. Daha sonra bu büzülme yard¬m¬yla yap¬lan sabit nokta teoremini inceleyelim.

F : (0;1) ! R bir fonksiyon olsun.

F 1 F kuvvetli artand¬r. Yani her ; 2 (0; 1) için < iken F ( ) < F ( ) d¬r.

F 2 Pozitif say¬lar¬n her faⁿg dizisi için limn!1a_n = 0 d¬r ancak ve ancak lim_n!1F (a_n) = 1 d¬r.

F 3 lim _!0^{+ k}F ( ) = 0 olacak biçimde bir k 2 (0; 1) vard¬r.

F 4 inf A > 0olacak biçimdeki tüm A (0;1) kümeleri için F (inf A) = inf F (A) d¬r.

F, (F 1) (F 3)¸sartlar¬n¬sa¼glayan tüm fonksiyonlar¬n, F ise (F 1) (F 4)¸sart- lar¬n¬sa¼glayan tüm fonksiyonlar¬n birer ailesi olsun. Aç¬kt¬r ki F F dir.

E¼ger

F ( ) = 8<

:

ln ; 1

2 ; > 1 ile tan¬mlarsak, bu durumda F 2 F F .

Tan¬m 2.43 (X; d) bir metrik uzay, T : X ! X bir dönü¸süm ve F 2 F ol- sun. E¼ger d(T x; T y) > 0 özelli¼gindeki her x; y 2 X için

+ F (d(T x; T y)) F (d(x; y)) (2.12)

olacak biçimde bir > 0 varsa T ’ye bir F -büzülme ad¬verilir.

A¸sa¼g¬da F ailesine ait baz¬ örnekler verilmi¸stir. Bu örnekler yard¬m¬yla liter- atürde bulunan baz¬büzülme dönü¸sümlerinin bir F -büzülme olduklar¬görülmek- tedir.

Örnek 2.8 F₁ : (0;1) ! R dönü¸sümü F¹( ) = ln( ) ile tan¬mlans¬n. Bu durumda F1 2 F F oldu¼gu aç¬kt¬r. E¼ger T bir F1-büzülme ise d(T x; T y) > 0

özelli¼gindeki her x; y 2 X için

d(T x; T y) e d(x; y) (2.13)

e¸sitsizli¼gi sa¼glan¬r. Ayr¬ca d(T x; T y) = 0 olacak biçimdeki her x; y 2 X için (2.13) e¸sitsizli¼gi de sa¼glan¬r. Böylece T dönü¸sümü L = e sabiti ile birlikte bir Lipschitz dönü¸sümüdür. L = e < 1 oldu¼gundan T bir büzülme dönü¸sümüdür.

Dolay¬s¬yla her büzülme bir F1-büzülmedir.

Örnek 2.9 F₂ : (0;1) ! R dönü¸sümü F²( ) = + ln( ) ¸seklinde tan¬m- lans¬n. Bu durumda F2 2 F F oldu¼gu aç¬kt¬r. E¼ger T bir F2-büzülme ise d(T x; T y) > 0 özelli¼gindeki her x; y 2 X için

d(T x; T y)

d(x; y) ed(T x;T y) d(x;y) e (2.14) e¸sitsizli¼gi sa¼glan¬r.

Örnek 2.10 F₃ : (0;1) ! R dönü¸sümü F³( ) = p¹ ¸seklinde tan¬mlans¬n. Bu durumda F3 2 F F oldu¼gu aç¬kt¬r. E¼ger T bir F3-büzülme ise d(T x; T y) > 0 özelli¼gindeki her x; y 2 X için

d(T x; T y) 1

(1 + p

d(x; y))²d(x; y) e¸sitsizli¼gi sa¼glan¬r.

Örnek 2.11 F₄ : (0;1) ! R dönü¸sümü F⁴( ) = ln( ² + ) ¸seklinde tan¬m- lans¬n. Bu durumda F4 2 F F oldu¼gu aç¬kt¬r. E¼ger T bir F4-büzülme ise d(T x; T y) > 0 özelli¼gindeki her x; y 2 X için

d(T x; T y)(d(T x; T y) + 1) d(x; y)(d(x; y) + 1) e e¸sitsizli¼gi sa¼glan¬r.

Uyar¬2.4(F1) ve (2.12) e¸sitsizli¼ginden her F -büzülme, bir büzülebilir dönü¸sümdür.

Yani, T bir F -büzülme ise d(T x; T y) > 0 özelli¼gindeki her x; y 2 X için d(T x; T y) <

d(x; y) sa¼glan¬r. Bu yüzden her F -büzülme dönü¸sümü süreklidir.

Uyar¬2.5H₁; H₂ 2 F olsun. E¼ger her > 0için H1( ) H₂( )ve G = H2 H₁ azalmayan bir dönü¸süm ise her H1-büzülme bir H2-büzülmedir. Gerçekten Uyar¬

2.4 gere¼gince d(T x; T y) > 0 özelli¼gindeki her x; y 2 X için G(d(T x; T y)) G(d(x; y))

elde edilir. Bu durumda d(T x; T y) > 0 özelli¼gindeki her x; y 2 X için + H₂(d(T x; T y)) + H₁(d(T x; T y)) + G(d(T x; T y))

H₁(d(x; y)) + G(d(x; y))

= H₂(d(x; y)) olur.

¸

Simdi 2012 y¬l¬nda Wardowski taraf¬ndan verilen teoremi ifade ve ispat edelim:

Teorem 2.22 (X; d) bir tam metrik uzay ve T : X ! X dönü¸sümü F -büzülme olsun. Bu durumda T ’ nin bir tek sabit noktas¬ vard¬r. Üstelik herhangi bir x₀ 2 X için fTⁿx₀g dizisi T ’nin sabit noktas¬na yak¬nsar.

Ispat ·· Ilk olarak T ’ nin sabit noktas¬n¬n var olmas¬ halinde tek olmas¬ gerek- ti¼gini gösterelim. Gerçekten z ile w; T ’ nin farkl¬ iki sabit noktas¬ olsun. Bu durumda d(z; w) = d(T z; T w) > 0 oldu¼gundan (2.12) e¸sitsizli¼ginden

F (d(z; w)) F (d(T z; T w)) = 0

elde edilir ki bu bir çeli¸skidir. O halde T ’nin sabit noktas¬varsa tektir.

¸

Simdi T ’nin bir sabit noktas¬n¬n var oldu¼gunu gösterelim. Bunun için key… bir x₀ 2 X noktas¬n¬ele alal¬m. Her n 0tamsay¬s¬için xn+1 = T x_n olacak biçimde X’de bir fxⁿg dizisini göz önüne alal¬m ve n= d(x_n+1; x_n)olsun. E¼ger xn0+1 = x_n0 olacak biçimde bir n0 2 N varsa, bu durumda T xⁿ0 = x_n0 olur. Böylece ispat tamamlan¬r. ¸Simdi her n 0 tamsay¬için xn+1 6= xⁿ oldu¼gunu kabul edelim. O halde her n 0tamsay¬için _n> 0 oldu¼gundan (2.12) e¸sitsizli¼ginden

F ( _n) F ( _{n 1}) F ( _{n 2}) 2 F ( ₀) n (2.15)

e¸sitsizli¼gi elde edilir. (2.15) e¸sitsizli¼ginde n ! 1 için limit al¬n¬rsa

n!1lim F ( _n) = 1 elde edilir. Bu yüzden (F2) den

n!1lim n= 0 olur. O halde (F3) den

n!1lim

k

nF ( _n) = 0

olacak biçimde bir k 2 (0; 1) vard¬r. Ayr¬ca (2.15) e¸sitsizli¼ginden her n 0 tamsay¬için

k

nF ( _n) ^k_nF ( ₀) ^k_nn 0 (2.16) olur. (2.16) e¸sitsizli¼ginde n ! 1 için limit al¬n¬rsa

n!1lim

k

nn = 0 (2.17)

bulunur. Dolay¬s¬yla (2.17) dan her n n₁ için ^k_nn 1 olacak biçimde bir n₁ 2 N say¬s¬vard¬r. Sonuç olarak her n n₁ için

n

1 n^1=k

bulunur. O halde m > n n₁ olacak biçimdeki her m; n 2 N için d(x_n; x_m) d(x_n; x_n+1) + d(x_n+1; x_n+2) + + d(x_{m 1}; x_m)

= _n+ _n+1+ + _{m 1}

=

m 1X

i=n i

<

X1 i=n

i

X1 i=n

1 i^1=k olup P¹

i=1 1

i^1=k serisinin yak¬nsakl¬¼g¬ndan fxⁿg dizisi X de bir Cauchy dizisi olur. X tam oldu¼gundan lim_n!1x_n= z olacak biçimde bir z 2 X vard¬r. Son olarak, T ’ nin süreklili¼ginden

d(z; T z) = lim

n!1d(x_n; T x_n) = lim

n!1d(x_n; x_n+1) = 0

olur. Böylece z = T z olup, ispat tamamlan¬r.

Örnek 2.8 ve Örnek 2.9 da tanml¬F1 ve F2 dönü¸sümlerini göz önüne alal¬m. Bu durumda her > 0 için F1( ) < F₂( ) ve F2 F₁ dönü¸sümü kuvvetli artan oldu¼gundan Uyar¬ 2.4 gere¼gince her büzülme dönü¸sümü (2.14) büzülme ¸sart¬n¬

sa¼glar. Ancak bunun tersi do¼gru olmayabilir. Bunun için a¸sa¼g¬daki örne¼gi in- celeyelim.

Örnek 2.12 X =n

x_n = ⁿ⁽ⁿ⁺¹⁾₂ : n 2 No

kümesi al¬¸s¬lm¬¸s metrik ile birlikte göz önüne al¬ns¬n. Bu durumda (X; d) tam metrik uzayd¬r. T : X ! X dönü¸sümü

T x_n = 8>

>>

<

>>

>:

x₁ ; n = 1

x_{n 1} ; n > 1

ile tan¬mlans¬n. Örnek 2.8 de tan¬mlanan F1( ) = ln ( ) için T; bir F1-büzülme de¼gildir. Yani T dönü¸sümü bir büzülme dönü¸sümü de¼gildir. Gerçekten,

n!1lim

d(T x_n; T x₁)

d(xn; x1) = lim

n!1

x_{n 1} 1 xn 1

= lim

n!1 (n 1)n

2 1

n(n+1)

2 1

= lim

n!1

n² n 2 n²+ n 2

= 1

dir. Öte yandan Örnek 2.9 da tan¬mlanan F1( ) = + ln ( ) için T; = 1 ile birlikte bir F2-büzülmedir. Bunun için a¸sa¼g¬daki durumlar¬ göz önüne alal¬m.

Her m; n 2 N için

d(T x_m; T x_n) > 0, ((m > 2 ^ n = 1) _ (m > n > 1))