1
FİZ-217-01
Titreşimler ve Dalgalar
2014-2015 Güz dönemi ders notları*
Prof. Dr. Hüseyin Çelik
*Bu ders notları esas olarak aşağıda verilen kaynak kitaplar kullanılarak hazırlanmıştır.
1. Titreşimler ve Dalgalar; A. P. French.
2. Vibrations and Waves; George C. King
3. The Physics of Vibrations and Waves; H. J. Pain
4. Dalgalar, Berkeley Fizik Dersleri, Cilt 3; Frank S. Crawford, Jr.
5. University Physics , Sears and Zemansky
6. Fundamental Physics, Halliday, D., Resnick, R.,and Walker, J.
7. Calculus and analytic geometry; George B. Thomas, Jr.
2
Dersin içeriği
Periyodik hareketler; Periyodik hareketlerin üst üste gelmesi; Fiziksel sistemlerin serbest salınımları; Sönümlü harmonik hareketler; Zorlamalı salınımlar ve rezonans kavramı; Çiftlenimli salınımlar ve normal modları;
Zorlamalı çiftlenimli osilatörler ve rezonans olayı; N kütleli enine ve boyuna çiftlenimli osilatörler ve normal modları; Sürekli sistemlerin normal modları ve Fourier analizi; Gerilmiş bir ip üzerinde normal modların üst üste gelmesi;
Gerilmiş ipin zorlamalı titreşimleri; Bir çubuğun boyuna titreşimleri; Hava borularında boyuna titreşimler ve ses dalgaları; İki ve üç boyutlu sistemlerin normal modları; İlerleyen dalgalar; Tek boyutta dalga denkleminin türetilmesi;
Tek boyutta dalga denkleminin değişkenlerine ayırma yöntemiyle çözümü;
İlerleyen dalgaların üst üste binmesi; Duran dalgalar; Dispersiyon, faz hızı ve grup hızı; Mekanik dalgaların enerjsi ve bir dalga tarafından taşınan enerji; İki ve üç boyutta dalga denklemi ve değişkenlerine ayırma yöntemiyle çözümleri;
Elektromanyetik dalga denkleminin türetilmesi ve düzlem dalga çözümleri;
Elektromanyetik dalganın enerjisi ve Poynting vektörü; Elektromanyetik dalgaların kutuplanması. Düzlem dalgalarının yansıması, kırınımı ve girişimi.
Sınavlar:
1. Ara Sınavı: 16 Kasım 2014 (PAZAR) 10.00-12.00 2. Ara Sınavı: 28 Aralık 2014 (PAZAR) 10.00-12.00
Başarı notunun hesabı: 1. Ara sınav 25% , 2. Ara sınav 25% ve Genel sınav 50% alınır. Öğrencinin başarılı sayılması için genel sınavda en az 40/100 almalıdır. Bu hesabın yapılması ve başarı notunun verilmesinde öğrenci yönetmeliğinin 23. ve 24. maddeleri uygulanır.
3
2014-2015 Ders yılı ders günleri
Tarih Salı Perşembe
23.9.2014 X
25.9.2014 X
30.9.2014 X
2.10.2014 X
9.10.2014 X
14.10.2014 X
16.10.2014 X
21.10.2014 X
23.10.2014 X
28.10.2104 X
30.10.2104 X
4.11.2014 X
6.11.2014 X
11.11.2014 X
13.11.2014 X
18.11.2014 X
20.11.2014 X
25.11.2014 X
27.11.2014 X X
2.12.2014 X
4.12.2014 X
9.12.2014 X
11.12.2014 X
16.12.2014 X
18.12.2014 X
23.12.2014 X
25.12.2014 X
30.12.2014 X
4
HAFTALARA GÖRE İŞLENECEK KONULAR (Tahmini) Haftalar Tartışılacak işlenecek konular:
1. Hafta Periyodik hareketler.Basit harmonik hareketin dönme vektörü ve kompleks üstel fonksiyonla tanımlanması Periyodik hareketlerin üst üste gelmesi.
2. Hafta Aynı frekanslı iki dalganın tek boyutta üst üste gelmesi.Farklı frekanslı iki dalgaların tek boyutta üst üste gelmesi, vurular. Aynı frekanslı birçok titreşimin üst üste gelmesi. Aynı ve farklı frekanslı dik titreşimlerin üst üste gelmesi.
Lissajous eğrileri.
3. Hafta Fiziksel sistemlerin serbest salınımları. Basit sarkaç Kompleks üstel fonksiyon kullanarak harmonik osilatör denkleminin çözümü. Burulma sarkacı; Fiziksel sarkaç; Elektrik devrelerinde osilasyonlar.
4. Hafta Sönümlü harmonik hareket denklemi: Kritik üstü, kritik ve kritik altı sönüm durumlarının incelenmesi. Sönümlü harekette enerji kayıp oranı. Sönümlü harmonik harekette kalite faktörü. Sönümlü elektriksel osilasyonlar.
5. Hafta Sönümlü ve sönümsüz osilasyonlar için zorlamalı harmonik hareketin denklemi. Zorlamalı osilasyon süresince güç soğrulması. Elektrik devrelerinde rezonans. Geçiş olayı. Kompleks fonksiyonların sönümlü zorlanmalı osilasyonlarıda kullanımı.
6. Hafta Çiftlenimli salınıcıların fiziksel karakteristikleri. Sarmal yaylarla çiftlenimli yapılmış kütlelerin salınımı. Normal modların üst üste gelmesi. Çiftlenimli salınıcıların zorlanımlı titreşimi ve rezonans.
7. Hafta N-tane kütleden oluşan çiftlenimli salınıcılar ve normal modlarının bulunması..
Enine ve boyuna salınımlar. N’nin çok büyük olma durumu. Bir Kristal örgünün normal modları.
8. Hafta Sürekli sistemlerin tanımı. Bir boyutlu dalga denkleminin türetilmesi. Bu denklemin değişkenlerine ayırma yöntemiyle çözümü. Gerilmiş ip üzerinde modların üst üste gelmesi. Gerilmiş ipin zorlanımlı harmonik hareketi.
9. Hafta Young modülü, ve hacim modülü kavramları.Bir çubuğun boyuna titreşimlerinin incelenmesi.Hava borusunun boyuna titreşimleri ve ses dalgası.
İki ve üç boyutlu sistemlerin titreşimi modları.Fourier serilerinin titreşim modlarının incelenmesinde kullanımı.
10. Hafta İlerleyen sinüzoida dalgalar. Dalgaların sınıflandırılması. İlerleyen dalgalar ve normal modları. Bir yönde ilerleyen dalgalar. Dalga atmaları . Dalga atmalarının üst üste gelmesi. Dispersiyon; faz hızı ve grup hızları. Mekaniksel dalgaların enerjisi ve bir dalga tarafından taşınan enerji.
11. Hafta Maxwell denklemlerinin integral ve diferansiyel biçimleri.Elektromanyetik dalga denklemi ve düzlem dalga çözümleri.
12. Hafta Elektromanyetik dalgalarda enerji., Elektromanyetik dalgalarda enerji akışı ve Poynting vektörü. Düzlem elektromanyetik dalgaların kutuplanması.
13. Hafta Sınır etkileri ve girişim: Dalga pulslarının yansıması, yansıma ve geçme katsayıları.
Huygens ilkesi. Huygens ilkesi ve yansıma. Huygens ilkesi ve kırılma.
14. Hafta Girişim, çift yarıkta girişim. İnce filmlerde girişim. Çok yarıkta girişim. Kırınım, tek ve çok yarıklı sistemlerde kırınım.
NOT: Ders notlarına “http://yunus.hacettepe.edu.tr/~hucelik/fiz217/ “ adresinden ulaşabilirsiniz.
5
BÖLÜM-1 1.1 PERİYODİK HAREKETLER
Bu derste sık kullanacağımız bazı tanımlamalar aşağıda verilmiştir.
Belirli aralıklarla tekrarlanan harekete periyodik hareket denir.
Sabit bir nokta etrafında, bir doğru boyunca, periyodik hareket yapan cismin hareketine titreşim hareketi denir.
Genellikle zamanın sinüs veya kosinüs fonksiyonları olarak ifade edilen periyodik hareketlere harmonik hareket denir.
Böyle hareket yapan bir parçacığın hiçbir kuvvetin (bileşke kuvvet) etkisinde kalmadığı konuma denge konumu denir.
Herhangi bir andaki konumun denge konumuna olan uzaklığına uzanım denir.
Uzanımın maksimum değerine genlik denir.
Parçacığı denge konumuna geri getirmeye çalışan kuvvet, uzanımla orantılı ise bu titreşim hareketine basit harmonik hareket (kısaca BHH) denir.
Basit harmonik harekette uzanımın zamanla değişimi basit sinüs (veya kosinüs) fonksiyonu şeklindedir. Bu nedenle basit harmonik harekete sinüzoidal hareket denir.
Titreşim, denge konumu etrafındaki zamana bağlı salınımlardır. Titreşim hareketi zamana bağlı 𝑦(𝑡) gibi bir fonksiyonla ifade edilebilir.
Dalga hareketinin oluşumunun ana kaynağı titreşimdir. Ancak her titreşim dalga hareketi oluşturmayabilir. Dalga titreşimin bir yerden başka bir yere taşınmasıdır. Bu harekette hem zaman ve hem de konum değişir. Bu nedenle dalga hareketi hem konuma ve hem de zamana bağlı harekettir ve 𝑦(𝑥, 𝑡) şeklinde bir fonksiyonla ifade edilebilir.
6
1.2 BASİT HARMONİK HAREKETİN DÖNME VEKTÖRÜ İLE TANIMLANMASI
Burada kısaca basit harmonik hareket ile düzgün dairesel hareket arasındaki ilişkiye değineceğiz. Şekil-1’de xy-düzleminde merkezi orijinde olan A yarıçaplı bir çember üzerinde düzgün dairesel hareket yapan bir parçacık gösterilmiştir.
Şekil-1.1
Parçacık 𝑡 = 0 anında çember üzerindeki P0 noktasından sabit açısal hızı ile harekete başladığını kabul edelim. 𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ vektörünün x-ekseninin pozitif tarafı ile 0 yapmış olduğu açı olsun. Parçacığın t kadar zaman sonra çember üzerinde bulunduğu yeri belirleyen 𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ vektörünün x-ekseninin pozitif tarafıyla yapmış olduğu açısı ise
𝜃 = 𝜔𝑡 + 𝛼 (1.1)
ifadesi ile verilecektir. Parçacık çember üzerinde sabit açısal hızla dönmesine devam ederse, 𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ vektörünün x-ekeni üzerindeki izdüşüm ayağı olan Q noktası ise +A ile –A arasında basit harmonik hareket (BHH) yapar. Bu durumda Q noktasının yerini
𝑥 = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝛼) (1.2)
7
ifadesi ile belirleyebiliriz. Bu bağıntı basit harmonik hareketin denklemidir.
Burada A hareketin genliği, açısal frekansı ve faz sabitidir.
Benzer şekilde P noktasının y-ekseni üzerindeki izdüşümü için ise
𝑦 = 𝐴𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡 + 𝛼) (1.3)
yazabiliriz. Yani y-ekseni üzerindeki izdüşüm de basit harmonik hareket yapar.
Orijinden parçacığın bulunduğu P noktasına giden 𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ vektörüne yer (veya konum) vektörü dendiğini biliyorsunuz. Bu vektörün boyunu r, x-ekseninin pozitif tarafıyla yaptığı açıyı ile gösterirsek, parçacığın bulunduğu P noktasının yerini (r,) polar koordinatlar ile de belirleyebiliriz.
Şekil-1.2 Dairesel hareket yapan cismin dik koordinatları ile polar koordinatları arasındaki ilişki.
Dik koordinatlar ile polar koordinatlar arasındaki ilişkinin
𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃 ve 𝑦 = 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃 (1.4)
ifadeleri ile verildiğini biliyoruz. Bu durumda 𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ vektörünü
𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑥𝑖 + 𝑦j = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃𝑖 + 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃j (1.5) şeklinde yazabiliriz.
8
Şimdi bu ifadeyi başka bir şekilde ifade etmeye çalışalım:
𝑟 = 𝑥 + 𝑖𝑦 (1.6)
Eşitlik-1.6’nın aşağıda söylenenleri temsil ettiği varsayılacaktır:
𝑥 gibi bir yer değiştirme herhangi bir sınırlayıcı faktör olmaksızın x- ekenine paralel yapılmalıdır.
𝑖𝑦 teriminin y-eksenine paralel bir yönde 𝑦 yer değiştirmesi yaptırması gerektiği anlaşılmalıdır. Gerçekte 𝑥’e 𝑖𝑦’nin ilavesi olarak anlaşılan 𝑧 ifadesi yukarıda tanımlanan 𝑟 ile aynı olmalıdır yani
𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 (1.7)
𝑖 sembolüne eskiden ne anlama gelirse gelsin burada saat ibrelerinin tersi yönünde 900′𝑙𝑖𝑘 (= 𝜋/2 radyan) dönme yaptıran bir nicelik olarak bakacağız.
𝑖𝑏 niceliğini oluşturmak için, x-ekseni boyunca b kadarlık bir mesafe ilerlenir ve sonra y-ekseni boyunca b uzunluğundaki bir yer değiştirme ile bitmek için 900 dönülür.
𝑖2𝑏 niceliğini oluşturmak için önce 𝑖𝑏 oluşturulur ve ona 900′𝑙𝑖𝑘 bir dönme uygulanır. Çünkü 𝑖2𝑏 niceliği 𝑖(𝑖𝑏) şeklinde yazılabilir. Burada arka arkaya iki dönmenin b yer değiştirmesini –b yer değiştirmesine döndüreceği anlaşılır. Böylece cebirsel bir eşitlik elde ederiz:
𝑖2 = −1 (1.8)
𝑖 niceligini cebirsel olarak konuşmak gerekirse -1’nin kare kökü olarak bakabiliriz. Başka bir deyişle 𝑖 niceliği gerçek (reel) bir değer değildir. 𝑖 niceliği sanal (imajiner) bir değerdir. Bu durumda Eşitlik-1.7 kompleks bir değeri temsil etmektedir.
Şimdi y bileşeninin uzunluğu b, x bileşeninin uzunluğu a olan bir z vektörünü ele alalım (Burada z vektörünün kompleks uzayda bir vektör olduğunu unutmayalım) ve "𝑖𝑧 nedir?” sorusunu yanıtlayalım.
𝑧 = 𝑎 + 𝑖𝑏 (1.9)
olduğuna göre (Şekil-1.3a)
9
𝑖𝑧 = 𝑖𝑎 + 𝑖2𝑏 = 𝑖𝑎 − 𝑏 (1.10)
yazabiliriz. Bu vektörün bileşenleri Şekil-1.3b’de gösterilmiştir. Burada iz vektörü, z vektörünün 900’lik bir ilave dönme ile meydana getirildiğine dikkat ediniz.
Şekil-1.3 (a) Kompleks düzlemde z vektörünün gösterimi. (b) z vektörünün i ile çarpımından elde edilen iz vektörü (Bu iki vektörün dik olduklarına dikkat ediniz)
Bu çeşit bir analiz cebir ile geometri arasında uygun bir köprü kurar. Eğer a ve b nicelikleri gerçek (reel) sayılar ise
𝑧 = 𝑎 + 𝑖𝑏 (1.11)
toplamı kompleks bir sayı olacaktır. Fakat geometrik olarak Şekil-1.3a’dan da açıkça görüleceği gibi 𝑡𝑎𝑛𝜃 = 𝑏/𝑎 olacak şekilde x-ekseninden itibaren belli bir 𝜃 açısı yapan eksen boyunca bir yer değiştirme söz konusudur.
Bir kompleks sayı ile bir vektörü bu şekilde temsil ederek BHH’i analiz etmek için fiziksel olarak uygun bir yönteme sahip olduğumuza dikkat ediniz. Bu yöntemle bir titreşim hareketi problemini çözdükten sonra, a ve b değerleri gerçek olan 𝑧 = 𝑎 + 𝑖𝑏 şeklinde bir sonuç elde edilir.
10
1.3 𝒆𝒊𝜽 KOMPLEKS ÜSTEL FONKSİYONU ve BU FONKSİYONLA BHH’in TANIMLANMASI
Biraz önceki tartışma daha önceki analizlerimize fazla bir katkıda bulunmuş gibi gözükmüyor. Şimdi tanımlayacağımız kompleks üstel fonksiyon, ele alınan titreşim problemlerini kolaylaştırması bakımından önemlidir.
Titreşimlerin analizinde, periyodik yer değiştirme ve bu yer değiştirmenin zamana göre birinci türevi olan hız ve ikinci türevi olan ivme ile ilgileneceğiz.
Hareketi tanımlayan yer değiştirme, hız ve ivme ifadeleri sinüs ve kosinüs fonksiyonları içerir.
Sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının seriye açılımları yapılırsa
𝑠𝑖𝑛𝜃 = 𝜃 −𝜃3!3 +𝜃5!5⋯ (1.12a) 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 1 −𝜃2!2+𝜃4!4⋯ (1.12b) ifadeleri elde edilir (Bunun için Calculus and analytic geometry; George B.
Thomas, Jr. kitabına bakınız).
Bu iki ifade kullanılarak 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝜃 toplamı için 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝜃 = 1 + 𝑖𝜃 −𝜃2
2! − 𝑖𝜃3
3! +𝜃4
4! + 𝑖𝜃5
5! ⋯ (1.13)
ifadesini elde ederiz. Bu ifadede -1 yerine 𝑖2 yazılarak yeniden düzenlenirse,
𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝜃 = 1 + 𝑖𝜃 +(𝑖𝜃)2!2 +(𝑖𝜃)3!3+(𝑖𝜃)4!4+(𝑖𝜃)5!5+ ⋯ +(𝑖𝜃)𝑛!𝑛 (1.14) ifadesi elde edilir. Bu eşitliğin sağ tarafı 𝑒𝑖𝜃’nın seri açılımıdır. Bu durumda
eşitlik
𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝜃 = 𝑒𝑖𝜃 (1.15)
şeklinde yazılabilir. Trigonometrik fonksiyonlarla kompleks üstel fonksiyonlar arasındaki ilişkiyi gösteren bu ifade Leonhard EULER tarafından 1748’de elde edilmiştir ve onun adıyla anılır. Genellikle 𝑒𝑖𝜃 ile bir z kompleks sayısının çarpımı, z’nin uzunluğunu değiştirmeden açısı kadar dönmesini tanımlar.
11
Harmonik hareketi tanımlayan yer değiştirme (x), hız (v) ve ivme (a) ifadeleri sinüs ve kosinüs fonksiyonlarını içerir. Örneğin BHH için,
𝑥 = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝑡 + 𝛼) ve 𝑦 = 𝐴𝑠𝑖𝑛(𝑡 + 𝛼) (1.16a)
𝑣 = 𝑑𝑥𝑑𝑡 = −A𝑠𝑖𝑛(𝑡 + 𝛼) (1.16b)
𝑎 =𝑑𝑣
𝑑𝑡 =𝑑2𝑥
𝑑𝑡2 = −2𝐴𝑐𝑜𝑠(𝑡 + 𝛼) = −2𝑥 (1.16c) ifadelerinin geçerli olduğunu biliyoruz (Bu konuya daha sonra tekrar
döneceğiz). Diğer taraftan, x ve y’nin x+iy şeklindeki bir toplamı ile ilgileniyorsak aşağıdaki ifadeyi yazabiliriz,
𝑧 = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝑡 + 𝛼) + 𝑖𝐴𝑠𝑖𝑛(𝑡 + 𝛼) = 𝐴𝑒𝑖(𝑡+𝛼) (1.17) Bu ifadede z’nin reel kısmı x’i göstermektedir. Hız ve ivmeye karşılık gelecek
vektörler için
𝑑𝑧
𝑑𝑡 = 𝑖𝐴𝑒𝑖(𝑡+𝛼) = 𝑖𝑧 (1.18a)
𝑑2𝑧
𝑑𝑡2 = (𝑖)2𝐴𝑒𝑖(𝑡+𝛼) = −2𝑧 (1.18b) ifadelerini yazabiliriz.
Bu üç vektör Şekil-1.4’de gösterilmiştir.
Şekil-1.4 (a) Kompleks yer değiştirme vektörü z ve onun reel bileşeni x. (b) Hız vektörü 𝑑𝑧
𝑑𝑡 ve onun reel bileşeni 𝑑𝑥/𝑑𝑡 . (c) İvme vektörü 𝑑2𝑧/𝑑𝑡2 ve onun reel bileşeni 𝑑2𝑥/𝑑𝑡2 .
12
Üç vektör arasındaki faz ilişkisi ilk bakışta görülür. Burada i’nin her uygulanması faz açısında /2 kadarlık bir artışa karşılık geldiğine yani saat ibrelerinin tersi yönde /2 kadarlık dönüler sağladığına dikkat ediniz.
1.4 de MOİVRE FORMÜLÜ (Teoremi)
İlerideki analizlerimizde faydalanacağımız bir formülü de kısaca tanıtmakta fayda vardır. de Moivre tarafından kompleks üstel fonksiyonların kuvvetlerinin ve köklerinin nasıl alınacağını gösteren çok kullanışlı bir formül olup kendi adı ile anılmaktadır.
𝑧 = 𝑟𝑒𝑖𝜃 (1.19)
ifadesinin n.inci kuvveti için
𝑧𝑛 = 𝑟𝑛𝑒𝑖𝑛𝜃 = 𝑟𝑛(𝑐𝑜𝑠𝑛𝜃 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝑛𝜃) (1.20) yazılabilir.
Benzer şekilde, 𝑧1/𝑛 de bulunur. Bunun için kutupsal yazılıma, gerektiği kadar 2 ekleyelim,
𝑧 = 𝑟[𝑐𝑜𝑠(𝜃 + 2𝑘𝜋) + 𝑖𝑠𝑖𝑛(𝜃 + 2𝑘𝜋)] = 𝑟𝑒𝑖(𝜃+2𝑘𝜋) (1.21) Şimdi 𝑧1/𝑛 için
𝑧1/𝑛 = √𝑟𝑛 [𝑐𝑜𝑠 (𝜃+2𝑘𝜋𝑛 ) + 𝑖𝑠𝑖𝑛 (𝜃+2𝑘𝜋𝑛 )] (1.22) ifadesini yazabiliriz. Burada k=0,1,2,3,...,n-1 değerlerini alabilir. Şu halde tüm
kompleks sayılar için 𝑧1/𝑛 ifadesinin n tane farklı kökü vardır.
Kompleks sayılar, çağdaş mühendislikte yer alan titreşimsel hareketler, harmonik salınımlar, sönümlü titreşimler, alternatif akımlar ve dalga olaylarının incelenmesinde uygun bir matematik dilidir.
Burada kompleks sayıların, sık sık kullanacağımız, bazı özelliklerini kısaca hatırlatmada fayda vardır:
𝑧1 = 𝑥1+ 𝑖𝑦1 ve 𝑧2 = 𝑥2 + 𝑖𝑦2 gibi iki kompleks sayı verilmiş ise,
13
Eşitlik: 𝑧1 = 𝑧2 ise 𝑥1 = 𝑥2 ve 𝑦1 = 𝑦2
Toplama: 𝑧1+ 𝑧2 = (𝑥1 + 𝑥2) + 𝑖(𝑦1+ 𝑦2)
Çarpma: 𝑧1𝑧2 = (𝑥1+ 𝑖𝑦1)(𝑥2+ 𝑖𝑦2) = (𝑥1𝑥2− 𝑦1𝑦2)+i(𝑥1𝑦2 + 𝑥2𝑦1)
Bölme : 𝑧1
𝑧2 = 𝑥1+𝑖𝑦1
𝑥2+𝑖𝑦2 = 𝑥1+𝑖𝑦1
(𝑥2+𝑖𝑦2)(
𝑥2−𝑖𝑦2
𝑥2−𝑖𝑦2) = (𝑥1𝑥2+𝑦1𝑦2)+𝑖((𝑥2𝑦1−𝑥1𝑦2)
𝑥22+𝑦22
x: z’in gerçel (reel) kısmıdır ve x=Rez ile gösterilir.
y: z’in sanal (imajiner) kısmıdır ve y=Imz ile gösterilir.
|𝑧| = √𝑥2+ 𝑦2, z’nin mutlak değeri veya normu veya büyüklüğü olarak adlandırılır.
𝑧∗ = 𝑥 − 𝑖𝑦, z’nin kompleks eşleniği olarak adlandırılır.
𝑥 =𝑧+𝑧2 ∗ , 𝑦 = 𝑧−𝑧2𝑖∗
(𝑧1+ 𝑧2)∗ = 𝑧1∗ + 𝑧2∗
(𝑧1𝑧2)∗=𝑧1∗𝑧2∗
𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝑒𝑖𝜃+𝑒−𝑖𝜃
2
𝑠𝑖𝑛𝜃 =𝑒𝑖𝜃−𝑒2𝑖−𝑖𝜃 yazabiliriz.
ÖRNEK-1
𝑧1 = 𝑎 + 𝑖𝑏, 𝑧2 = 𝑐 + 𝑖𝑑 olan 𝑧 = 𝑧1𝑧2 ifadesi ile verilen bir z vektörünü göz önüne alınız (𝑖 = √−1).
a) 𝑧1 ve 𝑧2’nin büyüklükleri çarpımının 𝑧’nin büyüklüğüne eşit olduğunu gösteriniz.
b) 𝑥-ekseni ile 𝑧’nin yapmış olduğu açının, 𝑧1ve 𝑧2’nin x-ekseni ile ayrı ayrı yapmış oldukları açıların toplamı olduğunu gösteriniz (French p 1.1) Çözüm:
a) |𝑧1| = √𝑎2+ 𝑏2 , |𝑧2| = √𝑐2+ 𝑑2 olduğunu biliyoruz. Buradan
|𝑧1||𝑧2| = √(𝑎2+ 𝑏2)(𝑐2+ 𝑑2) = √𝑎2𝑐2+ 𝑎2𝑑2 + 𝑏2𝑐2+ 𝑏2𝑑2 yazabiliriz. Benzer şekilde
14
𝑧 = 𝑧1𝑧2 =( 𝑎 + 𝑖𝑏)( 𝑐 + 𝑖𝑑) = 𝑎𝑐 + 𝑖𝑎𝑑 + 𝑖𝑏𝑐 + 𝑖2𝑏𝑑 = (𝑎𝑐 − 𝑏𝑑) + 𝑖(𝑎𝑑 + 𝑏𝑐)
|𝑧| = √(𝑎𝑐 − 𝑏𝑑)2+ (𝑎𝑑 + 𝑏𝑐)2 = √𝑎2𝑐2+ 𝑎2𝑑2+ 𝑏2𝑐2+ 𝑏2𝑑2 buradan |𝑧| = |𝑧1||𝑧2| yazabiliriz.
b) 𝑧1 = 𝑎 + 𝑖𝑏 vektörünün x-ekseni ile yaptığı açı 𝜃1ise 𝑡𝑎𝑛𝜃1 = 𝑏
𝑎 veya 𝑏 = 𝑎𝑡𝑎𝑛𝜃1;
𝑧2 = 𝑐 + 𝑖𝑑 vektörünün x-ekseni ile yaptığı açı 𝜃2ise 𝑡𝑎𝑛𝜃2 =𝑑𝑐 veya 𝑑 = 𝑐𝑡𝑎𝑛𝜃2
yazılabilir. Benzer şekilde z vektörünün x-ekseni ile yaptığı açı 𝜃 olsun 𝑧 = (𝑎𝑐 − 𝑏𝑑) + 𝑖(𝑎𝑑 + 𝑏𝑐)
𝑡𝑎𝑛𝜃 = 𝑎𝑑+𝑏𝑐𝑎𝑐−𝑏𝑑 = 𝑎𝑐𝑡𝑎𝑛𝜃𝑎𝑐−𝑎𝑐𝑡𝑎𝑛𝜃2+𝑎𝑐𝑡𝑎𝑛𝜃1
1𝑡𝑎𝑛𝜃2 =1−𝑡𝑎𝑛𝜃𝑡𝑎𝑛𝜃2+𝑡𝑎𝑛𝜃1
1𝑡𝑎𝑛𝜃2 = tan (𝜃1+ 𝜃2) yazabiliriz. Buradan 𝜃 = 𝜃1+ 𝜃2 olacağı açıktır.
ÖRNEK-2
𝑧 = 1 − 𝑖 ise 𝑧10 hesaplayınız.
Çözüm: z kompleks sayısını polar formda yazabiliriz:
|𝑧| = √12+ (−1)2 = √2 ve 𝑡𝑎𝑛 𝜃 = (−1
1) veya 𝜃 = −𝜋
4 olduğundan 𝑧 = √2 [cos (−𝜋
4) + 𝑖𝑠𝑖𝑛(−𝜋 4)]
Burada de Moiver formülünü kullanarak
𝑧10 = (√2)10[cos 10 (−𝜋4) + 𝑖𝑠𝑖𝑛10(−𝜋4)]=25[cos (−10𝜋4 ) + 𝑖𝑠𝑖𝑛(−10𝜋4 )]
= 32 [cos (−5𝜋
2) + 𝑖𝑠𝑖𝑛(−5𝜋
2)] = 32 [cos (−5𝜋
2 + 2𝜋) + 𝑖𝑠𝑖𝑛(−5𝜋
2 + 2𝜋)]
= 32 [cos (−𝜋2) + 𝑖𝑠𝑖𝑛(−𝜋2)] = 32[0 − 𝑖] = −32𝑖 𝑧10 = −32𝑖
sonucu elde edilir.
15
ÖRNEK-3
𝑒𝑖𝜃 ile z gibi bir kompleks sayının çarpımının z’nin boyunda bir değişme olmaksızın 𝜃 kadarlık bir pozitif dönmeye karşılık geldiğini gösteriniz (French- p1.3)
Çözüm:
𝑧 = 𝑎 + 𝑖𝑏 olsun. Kompleks uzayda z vektörünün x ekseninin pozitif tarafıyla yaptığı açıyı 𝜑 ile gösterelim. Bu durumda z vektörünü
𝑧 = 𝑎 + 𝑖𝑏 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜑 + 𝑖𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑
şeklinde ifade edebiliriz. Burada 𝑎 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜑 ve 𝑏 = 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑’dir. Bu durumda Euler formülünü kullanarak
𝑧 = 𝑟𝑒𝑖𝜑 yazabiliriz. Şimdi z’i 𝑒𝑖𝜃ile çarpalım
𝑒𝑖𝜃𝑧 = 𝑒𝑖𝜃𝑟𝑒𝑖𝜑 = 𝑟𝑒𝑖(𝜃+𝜑) = 𝑟[cos(𝜃 + 𝜑) + 𝑖𝑠𝑖𝑛(𝜃 + 𝜑)]
|𝑒𝑖𝜃𝑧| = 𝑟|𝑐𝑜𝑠2(𝜃 + 𝜑) + 𝑠𝑖𝑛2(𝜃 + 𝜑)|1/2 = 𝑟
Elde edilen yeni vektörün boyu z ile aynıdır. Ancak yeni vektörün argümanı (𝜃 + 𝜑)′𝑦𝑎 eşittir. Başka bir deyişle z vektörünü 𝑒𝑖𝜃ile çarpmak, vektörün boyu değişmeksizin saat ibrelerinin tersi yönünde 𝜃 kadar döndürmeye eşdeğerdir.
ÖRNEK-4
Euler eşitliğinde 𝑒𝑖𝜃 = 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝜃 dir.
a) 𝑒−𝑖𝜃’nın geometrik gösterimini, b) 𝑐𝑜𝑠𝜃’nın üstel gösterimini,
c) 𝑠𝑖𝑛𝜃’nın üstel gösterimini bulunuz. (French-p1.6)
16
Çözüm:
a)
𝑒−𝑖𝜃 = cos(−𝜃) + 𝑖𝑠𝑖𝑛(−𝜃) = 𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑖𝑠𝑖𝑛𝜃 yazabiliriz. Bu vektörün geometrik gösterimi aşağıda verilmiştir.
b)
𝑒𝑖𝜃 = 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑒−𝑖𝜃 = 𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑖𝑠𝑖𝑛𝜃 Taraf tarafa toplayarak
𝑒𝑖𝜃 + 𝑒−𝑖𝜃 = 2𝑐𝑜𝑠𝜃 ve buradan
𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝑒𝑖𝜃 + 𝑒−𝑖𝜃 2 sonucunu elde ederiz.
c)
𝑒𝑖𝜃 = 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑒−𝑖𝜃 = 𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑖𝑠𝑖𝑛𝜃 Taraf tarafa çıkararak
𝑒𝑖𝜃− 𝑒−𝑖𝜃 = 2𝑖𝑠𝑖𝑛𝜃 ve buradan
𝑠𝑖𝑛𝜃 =𝑒𝑖𝜃 − 𝑒−𝑖𝜃 2𝑖 sonucunu elde ederiz
ÖRNEK-5
𝑠𝑖𝑛𝜃 ve 𝑐𝑜𝑠𝜃 ’nın üstel ifadelerini kullanarak aşağıdaki trigonometrik bağıntıların gerçekleştiğini gösteriniz.
a) 𝑐𝑜𝑠2𝜃 − 𝑠𝑖𝑛2𝜃 = 𝑐𝑜𝑠2𝜃 b) 2 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝑠𝑖𝑛2𝜃
17
Çözüm:
a) 𝑠𝑖𝑛𝜃 = 𝑒𝑖𝜃−𝑒−𝑖𝜃
2𝑖 ve 𝑐𝑜𝑠𝜃 =𝑒𝑖𝜃+𝑒−𝑖𝜃
2 ifadelerini türetmiştik. Buradan 𝑠𝑖𝑛2𝜃 =𝑒𝑖2𝜃 + 𝑒−𝑖2𝜃 − 2
−4
𝑐𝑜𝑠2𝜃 = 𝑒𝑖2𝜃 + 𝑒−𝑖2𝜃 + 2 4
yazabiliriz. Buradan
𝑐𝑜𝑠2𝜃 − 𝑠𝑖𝑛2𝜃 =𝑒𝑖2𝜃 + 𝑒−𝑖2𝜃 + 2
4 −𝑒𝑖2𝜃 + 𝑒−𝑖2𝜃 − 2
−4
=2𝑒𝑖2𝜃 + 2𝑒−𝑖2𝜃
4 = 𝑒𝑖2𝜃 + 𝑒−𝑖2𝜃
2 = 𝑐𝑜𝑠2𝜃
b) 2 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃 = 2𝑒𝑖𝜃−𝑒2𝑖−𝑖𝜃𝑒𝑖𝜃+𝑒2 −𝑖𝜃 =𝑒𝑖2𝜃−𝑒2𝑖−𝑖2𝜃 = 𝑠𝑖𝑛2𝜃
ÖRNEK-6
27𝑖 kompleks sayısının tüm kompleks küp köklerini bulunuz.
Çözüm: 27𝑖 syısın küp kökünü aramak 𝑧3 = 27𝑖 olacak z sayılarını bulmak demektir . 27i sayısının normu (büyüklüğü),
|0 + 27𝑖| = √0 + 272 = 27 ve argümanı ise 𝜋
2 dir. Bu durumda 27𝑖 sayısını polar formda 27𝑖 = 27(𝑐𝑜𝑠𝜋
2 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝜋
2)
şeklinde yazılır. Aranan z sayısını polar formda 𝑧 = 𝑟(𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝜃)
alalım. Bu ifade 𝑧3 = 27𝑖 eşitliğinde kullanılırsa [𝑟(𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝜃)]3 = 27(𝑐𝑜𝑠𝜋
2 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝜋
2)
yazılır. Burada de Moivre formülü de kullanılırsa 𝑟3(𝑐𝑜𝑠3𝜃 + 𝑖𝑠𝑖𝑛3𝜃) = 27(𝑐𝑜𝑠𝜋
2+ 𝑖𝑠𝑖𝑛𝜋
2)
18
yazılır. Buradan 𝑟 = 3 olacağı açıktır. Ancak 𝜃 ’nın alabileceği değerler nedir? Burada
𝑐𝑜𝑠3𝜃 = 𝑐𝑜𝑠𝜋
2 ve 𝑠𝑖𝑛3𝜃 = 𝑠𝑖𝑛𝜋
2 olmalıdır. Bu eşitliklerden
3𝜃 =𝜋
2+ 2𝜋𝑘
yazılabilir. Burada k’nın alabileceği değerler k=0,1,2 olabilir.
i) k=0 için 𝜃 = 𝜋
6 olacaktır. Bu durumda köklerden birincisi 𝑧1 = 3 (𝑐𝑜𝑠𝜋6+ 𝑖𝑠𝑖𝑛𝜋6) = 3 (√32 + 𝑖12) =3√32 +32𝑖 ii) k=1 için 𝜃 = 5𝜋6 olacaktır. Bu durumda köklerden ikincisi 𝑧2 = 3 (𝑐𝑜𝑠5𝜋6 + 𝑖𝑠𝑖𝑛5𝜋6) = 3 (−√32 + 𝑖12) = −3√32 +32𝑖 iii) k=2 için 𝜃 = 9𝜋
6 = 3𝜋
2 olacaktır. Bu durumda köklerden üçüncüsü 𝑧3 = 3 (𝑐𝑜𝑠3𝜋2 + 𝑖𝑠𝑖𝑛3𝜋2) = 3(0 + 𝑖(−1)) = −3𝑖
olacaktır.
Burada k=3 durumunda 3𝜃 =𝜋2+ 6𝜋 ve 𝜃 = 𝜋6 + 2𝜋 olur. Bu sonuç k=0 olma durumuna özdeştir. Sonuç olarak 27i kompleks sayısının olası küp kökleri ve bunların grafiksel gösterimi aşağıda özetlenmiştir.
𝑧1 = 3√32 +32𝑖, 𝑧2 = −3√32 +32𝑖 ve 𝑧3 = −3𝑖
19
ÖRNEK-7
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2 = −𝑘2𝑦 diferansiyel denkleminin 𝑦 = 𝐴𝑐𝑜𝑠𝑘𝑥 + 𝐵𝑠𝑖𝑛𝑘𝑥 şeklinde bir çözüme sahip olduğunu gösteriniz. Burada A ve B keyfi sabitlerdir. Aynı zamanda bu eşitliğin 𝑦 = 𝐶𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑥 + 𝛼) = 𝐶𝑅𝑒[𝑒𝑖(𝑘𝑥+𝛼)] = 𝑅𝑒[𝐶𝑒𝑖𝛼𝑒𝑖𝑘𝑥] şeklinde de yazılabileceğini gösteriniz. C ve 𝛼’yı A ve B’nin fonksiyonları olarak ifade ediniz.(French-p1.10)
Çözüm:
a) Önerilen 𝑦 = 𝐴𝑐𝑜𝑠𝑘𝑥 + 𝐵𝑠𝑖𝑛𝑘𝑥 ifadesinin x göre ikinci türevini 𝑑𝑦
𝑑𝑥 = −𝐴𝑘𝑠𝑖𝑛𝑘𝑥 + 𝐵𝑘𝑐𝑜𝑠𝑘𝑥
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2 = −𝐴𝑘2𝑐𝑜𝑠𝑘𝑥 − 𝐵𝑘2𝑠𝑖𝑛𝑘𝑥 = −𝑘2(𝐴𝑐𝑜𝑠𝑘𝑥 + 𝐵𝑠𝑖𝑛𝑘𝑥 = −𝑘2𝑦 sonucunu elde ederiz. Bu ise verilen diferansiyel denklemin aynısıdır. Dolaysıyla verilen 𝑦 = 𝐴𝑐𝑜𝑠𝑘𝑥 + 𝐵𝑠𝑖𝑛𝑘𝑥 fonksiyonu verilen diferansiyel denklemin bir çözümüdür.
b) A ile B sabitleri aşağıdaki dik üçgenin dik kenarları olduğunu düşünelim:
Bu dik üçgenden 𝐴 = √𝐴2+ 𝐵2𝑐𝑜𝑠𝜃 ve 𝐵 = √𝐴2 + 𝐵2𝑠𝑖𝑛𝜃 yazabiliriz.
Bunları önerilen çözüm ifadesinde yerine yazalım
𝑦 = 𝐴𝑐𝑜𝑠𝑘𝑥 + 𝐵𝑠𝑖𝑛𝑘𝑥 = 𝑦 = √𝐴2+ 𝐵2𝑐𝑜𝑠𝜃𝑐𝑜𝑠𝑘𝑥 + √𝐴2+ 𝐵2𝑠𝑖𝑛𝜃𝑠𝑖𝑛𝑘𝑥
= √𝐴2 + 𝐵2[𝑐𝑜𝑠𝜃𝑐𝑜𝑠𝑘𝑥 + 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑠𝑖𝑛𝑘𝑥]
= √𝐴2 + 𝐵2[cos (𝑘𝑥 − 𝜃)]
Elde ederiz. Burada 𝜃 = −𝛼 ve √𝐴2+ 𝐵2 = 𝐶 diyelim. Bu durumda 𝑦 = 𝐴𝑐𝑜𝑠𝑘𝑥 + 𝐵𝑠𝑖𝑛𝑘𝑥 = √𝐴2+ 𝐵2[cos (𝑘𝑥 − 𝜃)] = 𝐶𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑥 + 𝛼) yazabiliriz. Bu ifadenin
𝑦 = 𝐶𝑅𝑒[𝑒𝑖(𝑘𝑥+𝛼)] = 𝑅𝑒[𝐶𝑒𝑖𝛼𝑒𝑖𝑘𝑥] şeklinde yazılacağı açıktır.
Burada 𝐶 = √𝐴2 + 𝐵2 ve 𝛼 = −𝜃 = −arctan (𝐵𝐴) dir.
