14. BÖLÜM. Genel Çekim Kanunu. F = G. den bulunur. Fd = g M GENEL ÇEKİM KANUNU. Örneğin;

F –F R

m Cisim

m

Gezegen

Newtona göre evrendeki kütleler birbirlerini kütle çar- pımlarıyla doğru aralarındaki uzaklığın karesiyle ters orantılı olarak çekerler. Bu çekim kuvveti (F),

F = ₂

R m . .M

G den bulunur.

G: Genel çekim sabiti Kural

I. Çekim kuvvetinin varlığı için temel koşul kütlelerden en az birinin gezegen büyüklüğünde olması gerekir.

II. Çekim kuvvetinin yönü kütlelerin kütle merkezlerini birleştiren doğru üzerinde daima birbirlerine eşit ve zıt yönlüdür.

Fd

Fay

Ay

Dünya



Fd = –



FAy(



FAy = –



Fd ) dir.

III. Kütleler arasındaki uzaklık (R), kütle merkezleri arasındaki uzaklıktır. (Kütle yüzeyleri arası değişir.) IV. Evrendeki iki kütle arasındaki çekim kuvveti üçüncü

kütleden bağımsızdır. Yani dünya ile ay arasındaki çekim kuvveti, dünya ile güneş arasındaki çekim kuvvetinden bağımsızdır.

V. Evrende etkileşim halindeki iki kütle arasına üçüncü bir kütle girerse etkileşim halindeki kütleler birbirleri üzerindeki etkilerini kaybederler.

Örneğin;

M ile m kütleleri arasındaki çekim kuvvetini sıfırlayan nokta mutlaka kütleler arasında ve büyük kütleden uzaktır.

R –x m^ı x m

F –F

R M

F = F

2 ı 2

ı

x m . m . G ) x R (

m . . M

G 



 2 2

x m ) x R (

M 



IV. Çekim kuvvetinin nedeni gezegen büyüklüğündeki kütlenin (M), küçük kütle (m) üzerinde oluşturduğu ağırlık (mg)



kuvvetidir.

M R



g m Cisim

Gezegen F = R2

m . .M G





g m =

R2

m . .M G



g = ₂ R .M G

Gezegenin oluşturduğu çekim ivmesidir.



















R2

g 1 M g

dir.

Genel Çekim Kanunu

14. ^BÖLÜM

Kendi kütlesinden (m) bağımsızdır. İvme uzaklık grafiği şekildeki gibidir.

Çekim ivmesi

Uzaklık

VII. Özel Durum, yer kürenin cisimler üzerinde oluştur- duğu



g nin durumu;

RE

RK

0 g 



Dünyanın merkezinde bir cisim üzerinde çekim kuvvetlerinin bileşkesi sıfır olduğundan çekim ivmesi sıfırdır. Merkezden yüzeye çıkıldıkça



g artmaya başlar. Yüzeyde ise kutuplardan ekvatora doğru azalır. Çünkü



g  R2

1 dir.

RK < RE’dir.



g > K



g dur. E

RK = Kutup yarıçapı RE = Ekvator yarıçapı Bu durumu grafikte gösterirsek;

Çekim ivmesi

Uzaklık R

g



g  R2

1 ’nin yüzeyinden itibaren geçerli oluğu-

na dikkat ediniz.

VIII. Bir cisim dünya yüzeyindeyken X kadar merkezine gidebilir. Cisme etki eden yeni çekim ivmesi (g)



;

M R

m



g

Dünya

 M

R - x m

Dünya X

R

R X R g

g^ı 

 ‘den bulunur.

IX. Bir cisim dünya yüzeyindeyken yüzeyden h kadar uzağa (yüksekliğe) götürülürse cisme etki eden yeni çekim ivmesi (g^ı)



;

M R

m



g

Dünya

 M

Dünya R



gı m h

2 2 ı

) h R (

R g g

  den bulunur.

X. Çekim ivmesinden yararlanılarak bir gezegenin özkütlesinin bulunması;

M R

m



g

Dünya

2 3

2

2 R

d . 3 R .4 G R

d . V . G R .M G g











dı

. R . 3 G g4



bulunur.

XI. m kütleli bir cisim bir gezegen etrafında dolanıyorsa, bu cismi dolaştıran merkezcil kuvveti kütleler ara- sındaki çekim kuvveti oluşturur.

M

Dünya

F = FM

V

m R

FM = F

g . m a .

m 



2

a G.M R





².R ₂

2

T R .

4 R

V² Çizgisel hız söz konusuysa Açısal hız

söz konusuysa

Peryot söz konusuysa

I. m kütleli cismin çizgisel hızı (V) sorulursa;

a = g = ₂ R .M G

2 2

R .M R G V 

V² = R .M G

R .M G V 

M V 

R V  1

dir.

Kendi kütlesinden bağımsızdır.

M1 ve M2 uydularının hızları 











2 1

V

V oranı nedir?

M

V1 V2

M1 M2

2R R

A) 2 B) 3 C)

2 1

D) 3

1 E)

2 2

1

ÇÖZÜM

1 2 2 1

R R V

V  

R R 2

V 2 V

2

1  bulunur.

Cevap A’dır.

KEPLER YASALARI

Keplere göre;

1. Gezegenlerin yörüngeleri odaklarından birinde gü- neş bulunan bir elipstir.

Güneş

Odak

Odak

Gezegen

2. Bir gezegeni güneşine birleştiren vektör parçası eşit zamanlarda eşit alanlar tarar. (S1 = S2)

S1

S2 V1

V2

Bunun için bu yasadan hareketle gezegenlerin güneşlerine yaklaştıkça teğetsel hızlarını arttır- dıkları, uzaklaştıkça teğetsel hızlarını azalttıkla- rı sonucu çıkar. Yani; V1 > V2’dir.

3. Bir gezegenin güneşine olan uzaklığının küpünün periyodunun karesine oranı daima sabittir.

2 3

T

R  Sabit  Yani; Güneşlerine olan uzaklıkları

sırası ile R1 ve R2 olan iki gezegen aynı güneş çev- resinde T1 ve T2 periyodu ile dönüyorsa sabitler bir- birine eşit olacağından;

3 2 3 1 2 2 2 1

R R T

T  yazılabilir.

Bir gezegenin güneşine olan ortalama uzaklığı, gezege- nin güneşine olan en yakın uzaklığı ile en uzak uzaklığı- nın toplamının yarısına eşittir.

rmax rmin

G

2 r R r^max ^min



M1 ve M2 uydularının periyotları 











2 1

T

T oranı nedir?

M

T1 T2

M1 M2

2R R

A) 2 2 B) 2 C) 2 2

1 D)

3 2

1 E) 3

ÇÖZÜM

3 3 3 3 3 2 3 1 2 2 2 1

R 8

R ) R 2 (

) R ( R R T

T   

8 1 T T

2 2 2 1  

2 2

1 T T

2

1  bulunur.

Cevap C’dir.

ÖRNEK

ÖRNEK

1.

Bir gezegenin güneşine olan en yakın uzaklığı 2R, en büyük uzaklığı ise 6R dir.

Gezegenin güneşinden olan ortalama uzaklığı kaç R dir?

A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 1

2.

Aynı güneş etrafında dönmekte olan X ve Y geze- geninden X gezegeninin güneşine olan ortalama uzaklığı, Y gezegeninin güneşine olan ortalama uzaklığının 3 katıdır.

X gezegeninin periyodu Y gezegeninin periyo- dunun kaç katıdır?

A) 12 B) 9 C) 6 D) 3 E) 1

3.

Dünyanın ortalama yarıçapı R, çekim ivmesi g ise Dünyanın kütlesi hangi bağıntı ile bulunur?

A) R2

m .

G B)

R2

G . g

C) g R . G ²

D) G R . g ²

E) G . R

m . g

2

4.

Yer yüzeyinden 2 yer yarıçapı yüksekte bulu- nan bir cismin ağırlığı yer yüzeyindeki ağırlığı- nın kaç katıdır?

A) 9

1 B)

6

1 C)

4

1 D)

2

1 E) 1

5.

Yer yüzeyinden 2 yer yarıçapı yüksekte, yer çekim alanı şiddeti, yer yüzeyindeki yerçekimi alanı şiddetinin kaç katıdır?

A) 1 B) 2

1 C)

4

1 D)

6

1 E)

9 1

6.

Bir gezegenin kütlesi 5 katına çıkarıldığında gezegende bulunan cismin ağırlığı kaç katına çıkar?

A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1

7.

Bir gezegenin kütlesini 6 katına, yarıçapını da 2 katına çıkarırsak gezegendeki bir cismin ağırlı- ğı kaç katına çıkar?

A) 2

5 B)

2

3 C) 1 D)

3

2 E)

2 1

8.

Ay, Dünya çevresinde yaklaşık olarak dairesel bir yörüngede dönmektedir.

Ayın dünyadan yaklaşık 60 yer yarıçapı uzakta olduğu bilindiğine göre, ayın Dünyaya yönelik merkezcil ivmesi nedir?

(g: yerçekimi ivmesi)

A) 360

g B) –

360

g C)

3600 g

D) 3600

 g E) g

Ç Ö Z Ü M L Ü T E S T

9.

Bir taşı hangi hızla fırlatalım ki dünya çevresini dolaşsın?

(R 6400km = 64.10⁵m; g  10 m/s²)

A) 80 B) 800 C) 8000

D) 400 E) 4000

10.

x V0



h

Yatayla  açısı yapacak şekilde V0 hızıyla fırlatılan bir cisim yer yüzeyinde X kadar uzağa düşüyor.

Bu cisim çekim alanı şiddeti yer çekim alanı şiddetinin 4 katı olan bir gezegende aynı V0 hızı ve  açısı ile atılırsa ne kadar uzağa düşer?

A) 4x B) 2x C) x D) 2

x E)

4 x

11.

Bir atlet Dünya yüzeyinde V0 hızıyla h metre yük- seğe atlıyor.

Çekim ivmesi Dünyadakinin 8

1 katı olan bir

gezegende aynı V0 hızıyla kaç h yükseğe atlar?

A) 12 B) 8 C) 4 D) 2 E) 1

12.

Dünya’nın kütlesi yaklaşık olarak Ay’ın kütlesinin 81 katı, Dünya – Ay uzaklığı ise Dünya yarıçapının yaklaşık olarak 60 katıdır.

Dünya’nın yarıçapı R olduğuna göre, Dünya – Ay arasında çekim kuvvetinin sıfır olduğu nok- ta yer merkezinden kaç R uzaktadır?

A) 54 B) 50 C) 36 D) 30 E) 20

13.

4R 3R

Dünya L

K

K daki basit sarkacın periyodu 6 s dir.

Bu basit sarkaç L ye taşınırsa periyodu kaç s olur?

A) 12 B) 8 C) 6 D) 4 E) 2

14.

Kütlesi, dünyanın 8 katı ve yarıçapı da 2 katı olan bir gezegen üzerindeki çekim ivmesi kaç m/s dir? (g = 10 m/s²)

A) 5 B) 10 C) 15 D) 20 E) 25

15.

Yeryüzünden fırlatılan bir füzenin ağırlığı hangi yükseklikte yerdekinin

4

1 ine eşit olur?

A) R B) R 2 C) 2 2R

D) 2R E) 4R

16.

Yeryüzeyindeki bir salınımı 4 saniye olan bir basit sarkacın yeryüzeyinden yer yarıçapının yarısı kadar yükseklikte frekansı kaç s dir?

A) 12

1 B)

8

1 C)

6

1 D)

4

1 E) 1

1.

4R 2

R 2 R 6 2

r

R_ort r^{max min}  

 

 dir.

Cevap C’dir.

2.

Rx = 3Ry

R 81 R 81 R

) R 3 ( R R T T

3 y

3 y 3

y 3 y 3 y

3 x 2 y

2

x    

y x y

x 2

y 2

x 9 T 9T

T 81 T T

T     

Cevap B’dir.

3.

 ₂ 

R GM

g

G R . M g

2

 den bulunur.

Cevap D’dir.

4.

m

R M



P



P Cismin R uzaktaki ağırlığı

=

m

R M



P1



Pı Cismin 3R uzaktaki ağırlığı

= 2R









 9

R 9

1 R

1

) R 3 (

m . G M

R GMm P P

2 2

2 2

1 9

P₁P bulunur.

Dikkat: Bu tip sorularda G, M, m sabit olup

R2

P  1



olduğundan pratik olarak

9 P P 9 R

) R 3 ( P P

2 1 2

1







 pratik olarak bulunur.

Cevap A’dır.

5.

^P g^ olduğundan pratik olarak,

9 g g R 9

) R 3 ( g

g

2 1 2

1







 bulunur.

Bir cismin herhangi bir yükseklikteki ağırlığı yer yüzeyindeki ağırlığının kaç katı ise o yükseklikteki yer çekimi alan şiddeti aynı katıdır.

Cevap E’dir.

6.

P 5P

5 1 P P

R m M G 5 P

R m . G M P

1 1

1 2

2







 









Bir cismin ağırlığı gezegenin kütlesi ile doğru orantılı olduğundan (PM)



işlemsiz 5 katına çı- kar.

Cevap A’dır.

7.

2

P P 3 3 2

) R 2 (

m M G 6

R m G M

P P

1 2

2 1





 



 



Cevap B’dir.

8.

3600

g g R 3600

) R 60 ( g

g

2 1 2

1







 dir.

1 ay

m M g

F   (Ayın ağırlığı merkezcil kuvvet görevi görür.

May.a = May.g1  a = g1 = m/s² 3600

 g

Dünya merkezine yönelik olduğunu gösterir.

Cevap D’dir.

Ç Ö Z Ü M L E R

9.

^a g^



s / m 8000 10 . 64 . 10 R . g V R g

V² ₅











Cevap C’dir.

10.

4

x x 4 2 g sin 4 x V

2 g sin x V

2 1 1 0

2 0

















Cevap E’dir.

11.

h 8h

8 1

8 2g V g 2 V

h h

2 1 0

2 0

1









V0 sabit olduğundan h  g 1 dan

h 8 8 h

1 g 8 g g g h

h

1 1 1









 bulunur.

Cevap B’dir.

12.

Çekim kuvvetinin sıfır olması için m kütlesindeki cisme etki eden kuvvetlerin bileşkesinin sıfır olma- sı gerekir.

Dünya x

Ay

60R – x 60R FD

Fay

m^ı

Bunun için,

FDünya = FAy olmalıdır.

2 ı 2

ı

) x R 60 (

m . G m x

m . m G 81













 ₂

2 (60R x) 1 x

81

Her iki tarafın karekökünü alırsak R

54 ) x

x R 60 (

1 x

9  

 

Cevap A’dır.

13.

16

g g 9 9 16

R 16

m . G M

R 9

m . G M

g g

1 2

2 1













4 3 16

9

16 g 9 2 L T

g 2 L T

1













4 3 T T

1





4 3 T 6

1

  T1 = 8 s bulunur.

Cevap B’dir.

14.

Gezegen üzerindeki çekim ivmesi : ₂

g g

g r

.M G g 

Dünyanın çekim ivmesi: gd = G. ₂

d d

r

M oranlarsak;

M 2 .r ) r 2 (

M 8 M .r r M g g

d 2 d 2 d

d d 2 d 2 g g d

g   

gg =

gd

2 = 2.10 = 20 m/s

Cevap D’dir.

15.

Füzenin yeryüzündeki ağırlığı

2 2

X GMm

R GMm

4mg 1

mg 

4 = ₂

2

X R

2 = X R X = 2R

Bu değer, füzenin yerin merkezinden olan uzaklı- ğıdır. Yeryüzünden itibaren yüksekliği ise, 2R – R = R dir.

Cevap A’dır.

16.

Bir basit sarkacın periyodu T = 2

g

 olup

T  g 1 dir.

Diğer taraftan g = ₂ X

M .

G olup g  ₂ X

1 dir. O halde

T  X2

1

1  X olur. Yeryüzeyinden 2 R kadar

uzaklıkta yerin merkezinden 2

R

3 uzaklıktadır. Bu

durumda T = 4X=

2 .3

4 = 6 s dir.

f = 6 1 T

1 s^–1 dir.

Cevap C’dir.

1.

Uzunluğu L1 olan bir sarkaç T, uzunluğu L2 olan başka bir sarkaç aynı yerde 2T periyodu ile salı- nım hareketi yapıyor.

Uzunluğu L1 + L2 olan sarkaç aynı yerde kaç T periyodu ile salınım hareketi yapar?

A) 5 B) 3 C) 2 D) 4

1 E)

2 1

2.

Şekilde, güneş sis- teminde bir gezege- nin yörüngesi görül-

mektedir. ^S1

Güneş A

S2

B

D

C

S1 alanı S2 alanına eşit olduğuna göre,

I. Gezegenin A dan B ye geliş süresi, C den D ye geliş süresine eşittir.

II. CD yayının uzunluğu AB yayının uzunluğun- dan daha büyüktür.

III. Gezegenin CD arasındaki ortalama hızı AB arasındaki ortalama hızından küçüktür.

yargılarından hangileri doğrudur?

A) Yalnız I B) Yalnız II C) I ve II D) I ve III E) I, II ve III

3.

^4M

M m

d x

Şekildeki M ve 4M kütleli gök cisimlerinin kütle merkezi arasındaki uzaklık d dir.

Gök cisimleri arasındaki m kütleli cisme etki- yen çekim kuvvetlerinin bileşkesi sıfır olduğu- na göre, x uzaklığı kaç d dir?

A) 2

3 B)

3

4 C)

3

2 D)

3

1 E)

4 1

4.

Yer çekim ivmesinin g olduğu bir yerde uzunluğu L olan bir sarkaç bir tam salınımın T saniyede yapı- yor.

Buna göre, yerçekim ivmesinin 8 g olduğu bir gezegende, uzunluğu 2L olan bir sarkaç bir tam salınımını kaç saniyede yapar?

A) 8

T B)

4

T C)

2

T D) T E) 4T

5.

Şekilde, yeryüzünden h kadar yüksekte dairesel bir yörüngede dönmekte olan bir yapma uydu görülmek- tedir.

h

uydu Dünya

h = R olduğuna göre, Dünya’nın ortalama öz- kütlesini hesaplayabilmek için G evrensel çe- kim sabitinden başka,

R, Dünya’nın yarıçapı g, çekim ivmesi m, uydunun kütlesi

niceliklerinden hangilerinin bilinmesi gerekli ve yeterlidir?

A) Yalnız R B) Yalnız g C) Yalnız m D) R ve g E) g ve m

6.

yeryüzü h



V

4h

x



V

2x P gök cismi m

m

Yeryüzünde ve kütlesi yer kütlesine eşit P gök cisminde şekildeki gibi aynı yatay hızlarla atılan ci- simlerin düşme uzaklıkları verilmiştir.

Buna göre, P gök cisminin yarıçapı yer yarıça- pının kaç katıdır?

A) 4

1 B)

2

1 C) 1 D) 2 E) 4

K O N U T E K R A R T E S T İ

7.

Yeryüzünde saniyeleri vuran basit sarkaç, çekim ivmesi yer çekim ivmesinin 4 katı olan bir gezegende salınım yaparsa, periyodu ne olur?

A) 4

1 B)

2

1 C) 1 D) 2 E) 4

8.

Dünya x gezegeni

gý



 g

Kütlesi Dünya kütlesinin 2 katı, yarıçapı Dünya yarıçapının 2 katı kadar olan bir x gezegenin yüzeyindeki çekim alanı şiddeti, Dünyanınkinin kaç katıdır?

A) 4

1 B)

2

1 C) 2 D) 4 E) 8

9.

m kütleli bir uydu d yarıçaplı dairesel bir yörüngede V hı- zıyla dönmektedir.

M

d V

m

Uydunun çizgisel hızı, m: uydunun kütlesi d: yörünge yarıçapı M: yerin kütlesi

niceliklerinden hangilerine bağlıdır?

A) Yalnız m B) Yalnız d

C) d ve M D) m ve d

E) m ve M

10.

Yeryüzünde periyodu T olan bir basit sarkaç, bir gök cismine götürüldüğü zaman periyodu artmış ise, gök cisminin,

I. kütle II. yarıçap III. çekim ivmesi

niceliklerinden hangilerinin yerinkinden büyük olduğu kesindir?

A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve II E) I, II ve II

11.

Dünya x gezegeni

gý



 g

Dünyanın yarıçapı R, ortalama özkütlesi d, yüze- yin çekim alan şiddeti g dir.

Yarıçapı 8R, ortalama özkütlesi 2d olan bir gök cisminin yüzeyindeki çekim alan şiddeti kaç g dir?

A) 24 B) 18 C) 16 D) 8 E) 1

12.

Satürn

Plüton

Güneş

Güneş etrafında dönen Satürn ve Plüton gezegen- lerinin ortalama yörünge yarı çapları sırasıyla R ve 4R, periyotları T1 ve T2 dir.

Buna göre, ¹

2

T

T oranı kaçtır?

A) 16 B) 8 C) 4 D) 8

1 E)

16 1