DÖNÜŞÜM TABANLI HARMONİK KESTİRİM YÖNTEMLERİNDE GÜRÜLTÜ DUYARLILIĞI

(1)

DÖNÜŞÜM TABANLI HARMONİK KESTİRİM YÖNTEMLERİNDE GÜRÜLTÜ DUYARLILIĞI

Fahri VATANSEVER^* Meltem KULU^*

Alınma: 07.04.2020 ; düzeltme: 25.05.2020 ; kabul: 01.06.2020

Öz: Harmoniklerin tespit edilmesi, ölçülmesi, kontrol edilmesi ve bastırılması son derece önemlidir. Bu amaçlarla harmonik analizi alanında birçok yöntem mevcuttur. Ancak bu yöntemler - diğer alanlara ait yöntemler gibi - örnekleme, pencereleme, gürültü gibi faktörlerden etkilenmektedirler. Gerçekleştirilen çalışmada; harmonik analizi alanındaki yaygın beş farklı dönüşüm tabanlı yöntemin (hızlı Fourier dönüşümü, chirp z-dönüşümü, Hartley dönüşümü, Hilbert-Huang dönüşümü, dalgacık dönüşümü) gürültü duyarlılıkları incelenmiştir. Farklı gürültü seviyelerinde, ilgili yöntemlerin karşılaştırmalı analizleri yapılarak performans analizleri sunulmuştur.

Anahtar Kelimeler: Harmonik, harmonik kestirimi, gürültü duyarlılığı.

The Noise Sensitivity in Transform based Harmonic Estimation Methods

Abstract: The detecting, measuring, controlling and suppressing harmonics is extremely important. For these purposes, there are many methods in the field of harmonic analysis. However, like the methods of other fields, these methods are affected by factors such as sampling, windowing, and noise. In this study, noise sensitivities of five different transform based methods (fast Fourier transform, chirp z-transform, Hartley transform, Hilbert-Huang transform, wavelet transform) in the harmonic analysis were investigated. Performance analyzes are presented by making a comparative analysis of the related methods at different noise levels.

Keywords: Harmonic, harmonic estimation, noise sensitivity.

1. GİRİŞ

Teknolojinin gelişmesiyle birlikte sistemlerdeki elemanların/bileşenlerin ve yüklerin çeşitliliği de artmaktadır. Özellikle anahtarlama elemanlarının ve doğrusal olmayan yüklerin tür ve sayılarındaki artışlar, sistemlerde istenmeyen harmoniklerin oluşmasına neden olmaktadırlar.

Güç kalitesini belirleyen parametrelerin başında da harmonikler gelmektedir. Bu nedenle harmonik analizi, işaret ve sistemler alanında son derece önemlidir.

Güç kalitesini etkileyen başlıca parametrelerden olan harmoniklerin analiziyle ilgili literatürde birçok çalışma mevcuttur. Bunlar genellikle harmoniklerin ölçülmesi, modellenmesi, kestirimi konuları üzerinde yoğunlaşmakta olup çeşitli öneriler/yöntemler sunulmaktadır.

Harmoniklerin ölçülmesi/kestiriminde genellikle sistemdeki akım veya gerilim işareti örneklendikten sonra içindeki bileşenlerin (harmoniklerin) genlik, frekans ve faz açılarının tespit edilmesi amaçlanmaktadır. Parametrik, parametrik olmayan ve hibrit olarak sınıflandırılabilen bu yöntemler arasında Fourier, chirp z, Hilbert-Huang, dalgacık, Hartley vb. dönüşümleri, Prony

*Bursa Uludağ Üniversitesi, Mühendislik Fakültesi, Elektrik-Elektronik Mühendisliği bölümü, 16059 Bursa/Türkiye

(2)

yöntemi, yapay sinir ağları (ANN), faz kilitlemeli döngü (PLL), genişletilmiş faz kilitlemeli döngü (EPLL), uyarlamalı doğrusal elemanlar (ADALINE), otoregresif hareketli ortalama (ARMA), en küçük kareler yaklaşımı, destek vektör makineleri (SVM), Pisarenko harmonik ayrıştırma (PHD), çoklu işaret sınıflandırma (MUSIC), işaret parametrelerinin rotasyonel değişmezlik tekniğiyle kestirimi (ESPRIT), Kalman filtreleme, adaptif filtreler, evrimsel algoritmalar, metasezgisel algoritmalar vb. yer almaktadırlar (Chen and Chen, 2014; Jain and Singh, 2011; Rodrigues et al., 2010; Singh, 2009; Vatansever ve diğ., 2009; Vatansever ve Çengelci, 2011; Vatansever ve Yalçın, 2016; Vatansever and Yalcin, 2018).

Gerçekleştirilen çalışmada; harmonik kestiriminde kullanılan yaygın beş farklı dönüşüm tabanlı yöntemin gürültü hassasiyetleri incelenmiştir. Orijinal işarete farklı seviyelerde gürültü ekleyerek hızlı Fourier, chirp z, Hartley, Hilbert-Huang ve dalgacık paket dönüşümü kullanılarak analizler yapılmış ve karşılaştırmalı sonuçlar sunulmuştur.

2. DÖNÜŞÜM TABANLI HARMONİK ANALİZ YÖNTEMLERİ

Fonksiyonların (işaretlerin, sinyallerin), farklı genlik ve frekanslarda temel trigonometrik fonksiyonların toplamı (Şekil 1) şeklinde gösterilmesini ifade eden Fourier serileri, temel olarak Tablo 1'deki gibi üç şekilde yazılabilmektedir/oluşturulabilmektedir (Vatansever, 2018). Tablo 1'deki harmonik gösterimde görüldüğü gibi herhangi bir işaret (fonksiyon), farklı genlik ve frekanslardaki Cos veya Sin bileşenlerinin toplamı olarak ifade edilebilmektedirler. Harmonik olarak adlandırılan bu bileşenler; işaretin hangi frekanslarında ne büyüklükte değerler içerdiğini göstermektedirler.

Şekil 1:

Fourier serileri

Harmonik analizinde (ölçülmesi, kestirimi, modellenmesi vb.) farklı yöntemler mevcuttur.

Bunlar içinde matematiksel dönüşümlere dayalı yöntemler, önemli bir yere sahiptir. Tablo 2'de bu çalışmada kullanılan yöntemlerin temelini oluşturan matematiksel dönüşümler özetlenmektedir (Poularikas, 2010; Bi and Zeng, 2004; Debnath and Bhatta, 2007).

3. GÜRÜLTÜ DUYARLILIĞI

Bu çalışmada; hızlı Fourier dönüşümü, chirp z dönüşümü, Hartley dönüşümü, Hilbert-Huang dönüşümü ve dalgacık paket dönüşümü tabanlı harmonik ölçüm/kestirim yöntemlerinin işaretteki gürültüden ne ölçüde etkilendiklerini tespit etmek için farklı seviyelerde gürültüler eklenerek sonuçlar gözlemlenmiştir. MATLAB (MathWorks, 2019) kullanılarak gerçekleştirilen analizlerde farklı seviyelerdeki işaret-gürültü oranıyla (SNR) oluşturulan giriş işaretlerinden, bir periyot boyunca 1024 örnek alınmıştır.

Fonksiyon

FS

Fourier

Serisi Farklı genlik ve frekanslarda sinüsoidler Zaman Genlik

Genlik

Zaman

(3)

Tablo 1. Fourier serisi gösterimleri

Fourier serisi İfade Açıklama

Trigonometrik

 



^







1

0 0

0 ( ) ( )

) (

k

kCos k t b Sin k t

a a

t

x  





0 0 0

) ( ) 2 (

) 1 (

0 0

k T k T

T

dt t k Sin t T x b

dt t k Cos t T x a

dt t T x a



Karmaşık (kompleks) üstel



^





k

t jk ke c t

x( ) ^⁰ ^ ¹



₀ ⁽⁾ ^ ⁰

0 T

t jk

k xt e dt

c T ^

Harmonik (kutupsal)



^







1

0

0 ( )

) (

k

kCos k t

R R

t

x  



^







1

0

0 ( )

) (

k

k kSin k t R

R t

x  

R0: Doğru (ortalama) bileşen

Rk: k. harmoniğin genliği

k_:k. harmoniğin faz açısı

) ( ₀ _k

kCos k t

R   : k. harmonik bileşen

) ( ₀ _k

kSink t

R   : k. harmonik bileşen

Tablo 2. Matematiksel dönüşümler

Dönüşüm Ters dönüşüm

Fourier







 xt e dt

X() () ^j^^t ^







  



d e X t

x ( ) ^j ^t

2 ) 1 (

z



^





  n

z n

n x z

X( ) [ ] ^



C ^

n dz z z j X

n

x ( ) ¹

2 ] 1

[ 

Hartley



^





 xt Cas ft dt f

X( ) () (2 ) ^







 X f Cas ft df t

x() ( ) (2 ) )

( ) ( )

( Cos Sin

Cas  

Hilbert

t t x t d

PV x t

x  





* 1 ) ) (

( ) 1

ˆ( 





^ 



 d xt t

t PV x t

x  





* 1 ) ˆ( )

ˆ( ) 1

( 



 



^





PV: İntegralin Cauchy prensip değeri

Dalgacık



^





 xt t dt

b a

W( , ) ()_a_,_b()

 

^









 W a b t dadb

C a t

x 1 1 ( , ) _a_b()

)

( ₂  _,





 



   a

b t a

b t

a 

 _, () ¹ ,  ^









w dw C w

)2

ˆ(



 ,

a: Ölçekleme/yayılım parametresi , b: Dönüşüm/öteleme parametresi , C_ : Dalgacık sabiti

Birinci uygulama olarak sadece temel bileşen/harmonik içeren )

50 2 ( 2 220 )

(t Sin t

x   (1)

(4)

saf (harmoniksiz) işaretindeki farklı seviyelerdeki SNR değerleriyle elde edilmiş genlik ve bağıl hata değerleri, Tablo 3-6'da verilmektedir. Tablo 7'de gürültüsüz ve gürültülü bileşene göre bağıl hata değerlerinin değişim grafikleriyle ortalama bağıl hata değerlerinin karşılaştırması yer almaktadır. Tablo 7'den de görüldüğü gibi genel olarak gürültüsüz duruma göre bağıl hata değerlerinde Fourier dönüşümü, gürültülü duruma göre de Hilbert-Huang dönüşümü en iyi sonucu vermektedir. Buna karşın her iki durumda da Hartley dönüşümü, en yüksek ortalama bağıl hata değerine sahiptir.

Tablo 3. SNR=10 dB için saf işaret analiz sonuçları

Orijinal işaret Gürültülü işaret (SNR=10 dB)

Dönüşüm Harmonik Hesaplanan / kestirilen Bağıl hata (%)

Gürültüsüz Gürültülü

Fourier 1 217.1038355429795 1.316438389554768 5.108481735423681

Chirp-z 1 217.1038355429767 1.316438389556047 5.108481735424911

Hartley 1 216.0176174802153 1.810173872629406 5.583244794695829

Hilbert-Huang 1 223.1289864040858 1.422266547311724 2.475015073936213

Dalgacık 1 217.5257366811796 1.124665144918360 4.924077625467574

RMS değeri Gürültüsüz 220.0000000000000

Gürültülü 228.7916133216997

Fourier 1 219.8374759215951 0.073874581093143 0.490552102641752

Chirp-z 1 219.8374759215922 0.073874581094460 0.490552102643064

Hartley 1 219.6262551440937 0.169884025411952 0.586161201433941

Hilbert-Huang 1 220.3789397753146 0.172245352415724 0.245458453735318

Dalgacık 1 219.8706075723578 0.058814739837358 0.475555058750551

Gürültülü 220.9212095602746

(5)

Fourier 1 220.2366572119908 0.107571459995819 0.048823976244319

Chirp-z 1 220.2366572119880 0.107571459994540 0.048823976245596

Hartley 1 220.9612939266601 0.436951784845496 0.280041766353061

Hilbert-Huang 1 220.2977828204971 0.135355827498684 0.021083015530900

Dalgacık 1 220.2404471880226 0.109294176373915 0.047103951220888

Gürültülü 220.3442380304225

Dönüşüm Harmonik Hesaplanan Bağıl hata (%)

Fourier 1 219.9895727919419 0.004739640026411 0.005187761301247

Chirp-z 1 219.9895727919392 0.004739640027638 0.005187761302474

Hartley 1 220.6808465030139 0.309475683188135 0.309026153780846

Hilbert-Huang 1 219.9994217162951 0.000262856229497 0.005187761302474

Dalgacık 1 219.9902206185413 0.004445173390324 0.004893295984791

Gürültülü 220.0009859179517

(6)

Tablo 7. Saf işaret için karşılaştırma sonuçları

Gürültüsüz GürültülüOrtalama

İkinci uygulama olarak birinci (temel) ve üçüncü harmonik içeren



220 (2 50 ) 40 (2 150 )



2 )

(t Sin t Sin t

x     (2)

işareti için farklı seviyelerdeki SNR değerleriyle elde edilmiş genlik ve bağıl hata değerleri, Tablo 8-11'de verilmektedir. Tablo 12'de de gürültüsüz ve gürültülü bileşene göre bağıl hata değerlerinin değişim grafikleriyle ortalama bağıl hata değerlerinin karşılaştırması yer almaktadır. Tablo 12'den de görüldüğü gibi genel olarak temel harmonik kestiriminde her iki durumda da Hilbert-Huang dönüşümü en düşük ortalama bağıl hata değerine sahipken, Hartley dönüşümü en yüksek ortalama bağıl hata değeriyle dikkat çekmektedir. Üçüncü harmonik kestiriminde ise gürültüsüz durumda Fourier dönüşümü, gürültülü durumda ise Hilbert-Huang dönüşümü en düşük ortalama bağıl hata değerine sahiptir.

0 0,5 1 1,5 2

10 20 30 40

Bağıl hata (%)

SNR (dB)

Gürültüsüz bileşene göre SNR-bağıl hata değişimi

Fourier Chirp-z Hartley Hilbert-Huang Dalgacık

0 2 4 6

10 20 30 40

SNR (dB)

Gürültülü bileşene göre SNR-bağıl hata değişimi

0 0,5 1 1,5 2

Fourier Chirp-z Hartley Hilbert-Huang Dalgacık

Ortalama bağıl hata (%)

Yöntem

10-40 dB SNR değişimi için bağıl hataların ortalaması

(7)

Tablo 8. SNR=10 dB için harmonikli işaret analiz sonuçları

Fourier 1 221.7554791215339 0.797945055242686 0.787491605778401

3 42.04124611828739 5.103115295718474 21.80526328640582

Chirp-z 1 221.7554791215311 0.797945055241407 0.787491605779660

3 42.04124611828578 5.103115295714442 21.80526328640882

Hartley 1 221.8371016978680 0.835046226303640 0.750973993804239

3 43.77442872030662 9.436071800766541 18.58162531763202 Hilbert-Huang 1 222.1071961810252 0.957816445920540 0.630134809655924 3 49.01065623401681 22.52664058504202 8.842488883497094

Dalgacık 1 221.7694614667222 0.804300666691905 0.781235960845258

3 41.96847500912376 4.921187522809394 21.94061412033202 değeri RMS

Gürültüsüz 1 220.0000000000000

3 40.00000000000000

Gürültülü 1 223.5156460719519

3 53.76480295889085

Fourier 1 219.3792392534403 0.282163975708959 0.241022165326835

3 39.67421630975782 0.814459225605457 4.313098150464454

Chirp-z 1 219.3792392534375 0.282163975710225 0.241022165328102

3 39.67421630975628 0.814459225609294 4.313098150468156

Hartley 1 220.1081621040403 0.049164592745593 0.090443103418066

3 39.71321084750605 0.716972881234881 4.219050508110262 Hilbert-Huang 1 219.7642290036697 0.107168634695592 0.065954624339774 3 40.71111982881032 1.777799572025796 1.812277857497202

Dalgacık 1 219.3844100513165 0.279813613037951 0.238670832937879

3 39.55695421614760 1.107614459630994 4.595912720873298 RMS

değeri

Gürültüsüz 1 220.0000000000000

3 40.00000000000000

1 219.9092693361487

(8)

Fourier 1 220.2206248776176 0.100284035280732 0.068897350579239

3 39.79658360411132 0.508540989721702 0.803212444974460

Chirp-z 1 220.2206248776148 0.100284035279453 0.068897350577960

3 39.79658360410981 0.508540989725468 0.803212444978215

Hartley 1 220.9858002998402 0.448091045381912 0.416595304956270

3 40.00171959165125 0.004298979128130 0.291891393441110 Hilbert-Huang 1 220.0540484086636 0.024567458483450 0.006795485103364 3 40.04092753701668 0.102318842541695 0.194161842945690

Dalgacık 1 220.2197990242447 0.099908647383958 0.068522080386243

3 39.70318951788733 0.742026205281672 1.036006129533342 değeri RMS

Gürültüsüz 1 220.0000000000000

3 40.00000000000000

Gürültülü 1 220.0690031649908

3 40.11882298308876

Fourier 1 220.0384205710936 0.017463895951641 0.038452750803178

3 39.78089966864648 0.547750828383808 0.491468448624472

Chirp-z 1 220.0384205710909 0.017463895950414 0.038452750801950

3 39.78089966864497 0.547750828387574 0.491468448628240

Hartley 1 220.7246649627627 0.329393164892131 0.350447478693482

3 40.12370576781574 0.309264419539357 0.366031804495106 Hilbert-Huang 1 219.9561872134224 0.019914902989820 0.001066107849732 3 39.97065903197999 0.073352420050021 0.016801567012328

Dalgacık 1 220.0376009642269 0.017091347375862 0.038080124047372

3 39.69329446557310 0.766763836067241 0.710605400948407 değeri RMS

Gürültüsüz 1 220.0000000000000

3 40.00000000000000

Gürültülü 1 219.9538422682442

3 39.97737585757447

(9)

Tablo 12. Harmonikli işaret için karşılaştırma sonuçları

Gürültüsüz Gürültülü

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

10 20 30 40

SNR (dB)

Birinci harmoniğe göre SNR-bağıl hata değişimi (gürültüsüz)

0 5 10 15 20 25

10 20 30 40

SNR (dB)

Üçüncü harmoniğe göre SNR-bağıl hata değişimi (gürültüsüz)

0 0,2 0,4 0,6 0,8

10 20 30 40

SNR (dB)

Birinci harmoniğe göre SNR-bağıl hata değişimi (gürültülü)

0 5 10 15 20 25

10 20 30 40

SNR (dB)

Üçüncü harmoniğe göre SNR-bağıl hata değişimi (gürültülü)

(10)

Ortalama

4. SONUÇLAR

Harmonik kestirimi, güç sistemleri ve işaret işleme alanındaki temel işlemlerdendir. Bu amaçla birçok yöntem ve teknik geliştirilmiştir. Gerçekleştirilen çalışmada; harmonik kestiriminde kullanılan yaygın beş farklı dönüşüm tabanlı yöntemin (Fourier dönüşümü hesaplamak için hızlı Fourier dönüşümü algoritması, z dönüşümünün genelleştirilmiş yaklaşımı olan chirp z-dönüşümü, Hartley dönüşümü hesaplamak için ayrık Hartley dönüşümü algoritması, görgül kip ayrışımı ve Hilbert dönüşümüne dayanan Hilbert-Huang dönüşümü, dalgacık paket dönüşümü) gürültü hassasiyetleri incelenmiştir. Saf ve harmonikli işaretlere, belirli oranlarda gürültüler eklenerek yöntemlerin etkilenme durumları ortaya konulmuştur.

KAYNAKLAR

1. Bi, G., Zeng, Y. (2004) Transforms and Fast Algorithms for Signal Analysis and Representations, Birkhäuser, USA.

2. Chen, C., Chen, Y. (2014) Comparative study of harmonic and interharmonic estimation methods for stationary and time-varying signals, IEEE Transactions on Industrial Electronics, 61 (1), 397-404. doi: 10.1109/TIE.2013.2242419

3. Debnath, L., Bhatta, D. (2007) Integral Transforms and Their Applications, 2nd ed., Chapman & Hall/CRC, USA.

4. Jain, S.K., Singh, S.N. (2011) Harmonics estimation in emerging power system: Key issues and challenges, Electric Power Systems Research, 81, 1754-1766. doi:

https://doi.org/10.1016/j.epsr.2011.05.004

5. MathWorks (2019). MATLAB. https://www.mathworks.com/.

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

Yöntem

10-40 dB SNR değişimi için bağıl hataların ortalaması (1. harmonik)

0 2 4 6 8

Yöntem

10-40 dB SNR değişimi için bağıl hataların ortalaması (3. harmonik)

(11)

6. Poularikas, A.D. (Ed.) (2010) Transforms and Applications Handbook, 3rd ed., CRC Press, USA.

7. Rodrigues, R.P., Silveira, P.M., Ribeiro, P.F. (2010) A survey of techniques applied to non- stationary waveforms in electrical power systems, 14^th International Conference on Harmonics and Quality of Power (ICHQP 2010), Bergamo, 1-8. doi:

10.1109/ICHQP.2010.5625503

8. Singh, G.K. (2009) Power system harmonics research: a survey, European Transactions on Electrical Power, 19, 151-172. doi: https://doi.org/10.1002/etep.201

9. Vatansever, F. (2018) Sayısal Hesaplama ve Programlama, Seçkin Yayıncılık, Ankara.

10. Vatansever, F., Çengelci, B. (2011) Prony yöntemiyle harmonik analizi, 6^th International Advanced Technologies Symposium (IATS'11), Elazığ/Turkey, 16-18 May. 134-137.

11. Vatansever, F., Uyaroğlu, Y., Özdemir, A. (2009) Dalgacık paket tabanlı harmonik analizi, 5th International Advanced Technologies Symposium (IATS'09), Karabuk/Turkey, 13-15 May. 432-437.

12. Vatansever, F., Yalçın, N.A. (2016) Çevrimiçi harmonik simülatörü tasarımı, 4^th International Symposium on Innovative Technologies in Engineering and Science (ISITES2016), Alanya/Antalya/Turkey, 3-5 November, 618-624.

13. Vatansever, F., Yalcin, N.A. (2018) The design of harmonic simulator based on Hartley transform, Academic Perspective Procedia, 1(1), 21-24. doi: 10.33793/acperpro.01.01.7

(12)