Etkinlikler Üzerine Açıklamalar ve Çözüm Önerileri

Kümeler Etkinlikler Üzerine Açıklamalar ve Çözüm Önerileri

Etkinlik – 1

a. Aynı adları yazmış olmalısınız.

b. Size sıcakkanlı gelen biri, arkadaşınıza öyle gelme- yebilir.

Farklı adları yazmış olabilirsiniz.

c. Büyük bir olasılıkla farklı adlar yazmışsınızdır.

d. Bazı öğretmenleri kiminiz genç kiminiz yaşlı sayabi- lirsiniz.

e. Bu sayının sıfır olduğu bellidir.

f. Her biriniz 8 farklı sayıdan birini yazmış olabilirsiniz.

Açıklamalardan da anlaşılacağı gibi, farklılıklar hangi adları yazacağınızın tam olarak belirtilmemiş olmasından kaynaklanır.

Etkinlik – 2

Kümeleri P ve R ile adlandıralım.

Ortak özelik yöntemi ile,

P  {x x MATEMATİK sözcüğündeki bir harftir.}

R  {x x ANALİTİK sözcüğündeki bir harftir.}

biçiminde yazılırlar.

Liste yöntemi ile,

 

P M, A,T,E,İ,K ; ^R



A,N,L,İ, T,K



olur.

P ve R kümeleri Venn şeması ile yandaki gibi gösterilirler.

Etkinlik – 3

a. Küme ayıracı içine yazabileceğiniz bir eleman yoktur.

^{A }

 

b. ^{B }

 

c. ^C



^1,3,5,7



C kümesi 4 elemanlıdır.

d. ^D



9,11,13,15,17,...



D kümesinin elemanları yazmakla bitmez.

D kümesi sonsuz elemanlıdır.

Etkinlik – 4

a. “ AA”  önermesinin niceleme mantığındaki karşılığı “^{x, x}



^A



^



^xA



^{” dır. }

 önermesinin, x’in herhangi bir a değeri için yorumlaması “



^aA



^



^aA



^{”  olur.}

“ aAp” denirse, yorumlama “ pp”  önermesine dönüşür.

 önermesinin bütün yorumlamaları “ pp” biçimin- de olacağından; “ AA” önermesinin doğruluğu,

“ pp” önermesinin bir totoloji olup olmadığına bağlı olacaktır.

“ pp” önermesinin bir totoloji olduğu açıktır.

O hâlde, AA’dır.

b. “ A”  önermesinin niceleme mantığındaki karşılığı “^{x, x}



^{  }

 

^xA



” ’dır. 

xa yorumlaması ile



^{a  }

 

^aA



^{ öner-}

mesi elde edilir. “ a  0” ‘dır.

“ aAp” denirse,  önermesi “ 0p” önerme- sine dönüşür.

 önermesinin bütün yorumlamaları “ 0p” biçi- minde olur.

“ 0p” önermesi bir totoloji olduğundan  A’dır.

Etkinlik – 5



^AB



^{ }_ ^{x, x}



^A



^



^xB



^_^



^AB



 

A B

  ^{ }



^x,



^xA



^



^xB



^

^_



^xB



^



^xA



^_

(İki yönlü koşullu önermenin tanımından)

     

A B  A B B A 

       ’dır.

(Alt kümenin tanımından)

Etkinlik – 6

a.  Alt küme sayısı 1’dir.

b. , {a}

Alt küme sayısı 2’dir.

c. , {a}, {b}, {a, b}

Alt küme sayısı 4’tür.

d. , {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}

Alt küme sayısı 8’dir.

e. , {a}, {b}, {c}, {d}, {a, b}, {a, c}, {a, d}, {b, c}, {b, d}, {c, d}, {a, b, c}, {a, b, d}, {a, c, d}, {b, c, d}, {a, b, c, d}

Alt küme sayısı 16’dır.

f. Alt kümelerin sayılarının, 2’nin kuvvetleri olduğuna dikkat ediniz.

Görünüşe göre, n elemanlı kümenin alt kümelerinin sayısı 2ⁿ olmalıdır.

A T İ K

L N M

E

P R

Kümenin eleman sayısı

Kümenin alt kümeleri sayısı 0

1 2 3 4

1  2⁰ 2  2¹ 4  2² 8  2³ 16  2⁴

Kümeler Etkinlikler Üzerine Açıklamalar ve Çözüm Önerileri

Etkinlik – 7

a. 2⁵32 b. 2⁴16 c. 2⁶ 1 63 d. Kuvvet kümesi 2⁶64 elemanlı olup bunun alt

kümelerinin sayısı 2⁶⁴ olur.

Etkinlik – 8

a. A kümesinin a’yı içermeyen alt kümeleri, {b, c, d, e, f} kümesinin alt kümeleridir.

Bunların sayısı da 2⁵32’dir.

b. A kümesinin b’yi bulunduran alt kümeleri, b’nin yanına {a, c, d, e, f} kümesinin alt kümelerinin ele- manları yazılarak elde edilir.

O halde, b’yi bulunduran alt küme sayısı 2⁵32’dir.

c. 2⁴16

d. Tüm alt kümelerin sayısından a ve b’yi içermeyen alt kümelerin sayısı çıkarılırsa, geriye a veya b’yi içeren alt kümelerin sayısı kalır.

2⁶2⁴48

e. a var b var c var 2³8; a var b yok c var 2³8; a yok b var c var 2³8

a veya b’yi bulunduran ve c’yi bulunduran alt kümele- rin sayısı 24’tür.

f. p: Alt kümede a vardır.

q: Alt kümede b vardır.

r: Alt kümede c vardır.

olsun. pqr önermesinin doğru olduğu durumla- rın sayısı isteniyor.

p q r



pqr 



denkliği dikkate alınarak, A’nın tüm alt kümelerinin sayısından a’yı ve b’yi bulundurmayan ve c’yi bulunduran alt kümelerinin sayısı çıkarılır:

a veya b’yi bulunduran veya c’yi bulundurmayan alt kümelerin sayısı 2⁶2³56 bulunur.

Etkinlik –9

a. Koşula uyan D kümelerinin sayısı, A’nın alt kü- melerinin sayısı kadardır. Bu da, 2³8’dir.

b. Koşula uyan E kümeleri B’nin A’yı kapsayan alt kümeleridir.

Bunların sayısı da {d, e, f, g} kümesinin alt küme- lerinin sayısı olup 2⁴16 dır.

c. 4 elemanlı E kümelerinin sayısı, {d, e, f, g}’nin 1 elemanlı alt kümelerinin sayısına eşit olup 4’tür.

d. 5 elemanlı E kümelerinin sayısı, {d, e, f, g}’nin 2 elemanlı alt kümelerinin sayısına eşittir.

{d, e, f, g} kümesinin 2 elemanlı alt kümelerinin sayısını şöyle bulabiliriz:

Bu kümenin bir elemanını 4 değişik biçimde seçebili- riz. İkinci eleman için 3 seçenek kalır. O hâlde;



^d,e



gibi sıralı ikilileri 4 3 12 değişik biçimde seçebiliriz.

2 elemanlı bir kümenin elemanları ile 2 değişik sıralı ikili yazılabilir. Örneğin;



^d,e



kümesinin sıralı ikilileri



^d,e



^ve



^e,d



ikilileridir.

Öyleyse; 12 değişik sıralı ikili, 2 elemanlı 12 : 26 kümeye ait olabilir.

5 elemanlı E kümelerinin sayısı 6’dır.

Etkinlik –10

a. B kümesinin, örneğin; yalnız a’nın bulunduğu alt kümelerini bulmak için, a’nın yanına



^d,e,f



^{’nin alt}

kümeleri birer birer konulur. 2³ değişik alt küme elde edilir. a, b, c’den biri 3 değişik biçimde seçilebileceğinden, istenen alt kümelerin sayısı

3 2 324 olur.

b. B kümesinin, örneğin; a ve b’yi bulunduran alt kü- melerinin sayısı 2³8 dir.

A kümesinin herhangi iki elemanı 3 değişik biçimde seçilebilir. O hâlde, istenen alt kümelerin sayısı

3 8 24 olur.

c. 2³8

d. a, b, c’den hiç birinin bulunmadığı alt kümelerin sayısı 238; yalnız birinin bulunduğu alt kümelerin sayısı 24’tür. İstenen sayı 8 24 32 olur.

Etkinlik –11

a. b.

c. d. ^Y



^{x x}



^M

 

^{ xF}

 

^D



^{x x}



^M

 

^{ xF}

 

Başak

Miray Ali Cem

Mert

Sina n

M F

Başak

Miray Ali Cem

Mert

Sina Y n

Başak

Miray

Mert

Sina

D Cem

Ali

Kümeler Etkinlikler Üzerine Açıklamalar ve Çözüm Önerileri

Etkinlik – 12

 

A 1,2,3,4,6,12 ve ^B



1,2,3,6,9,18



dir.

a. b.

^C



1,2,3,4,6,9,12,18



c.

^D



^1,2,3,6



Etkinlik – 13

a. ^AA



^{x x}



^A

 

^{ xA}

 

(’nin tanımı) ^AA



^{x xA}



(’nin tek kuvvet öz.) AAA

b. ^AA



^{x x}



^A

 

^{ xA}

 

(’nin tanımı) ^AA



^{x xA}



(’nin tek kuvvet öz.) AAA

Etkinlik – 14

a. ^{A  }



^{x x}



^A

 

^{ x }

 

(’nin tanımı) ^{A  }



^{x x}



^A



^0



(’nin tanımı) ^A  



^{x x}A (p



0p) A  A

b. ^{A  }



^{x x}



^A

 

^{ x }

 

^{A  }



^{x }



^xA

 

^{ x }



^^



^{x }

 

(x    0 old. bir önermeye  işlemi ile bağlanabilir.) ^{A  }



^{x }



^xA



^0^



^{x }

 

^x

^

^{  0}

^

^A  



^{x 0}



^x 

 

p



00



^A  



^{x x} 



0



qq



A   

Etkinlik – 15

a. ^AB



^{x x}



^A

 

^{ xB}

 

(’nin tanımı) ^AB



^{x x}



^B

 

^{ xA}

 

(’nin değişme öz.) ABBA (’nin tanımı) b. a’daki gibi ispatlayınız.

Etkinlik – 16

a. ^A



^BC



^



^{x x}



^A



^^x



^BC



^



(’nin tanımı) ^A



^BC



^



^{x x}



^A



^



^xB

 

^{ xC}



^



(’nin tanımı) ^A



^BC



^



^{x }



^xA

 

^{ xB}



^^



^xC

 

(’nin birleşme öz.) ^A



^BC



^



^{x x}



^A

 

^{ xB}

 

^C

(’nin tanımı) ^A



^BC

 

^{ AB}



^C (’nin tanımı) b. a’daki gibi ispatlayınız.

Etkinlik – 17

a. ^A



^BC



^



^{x x}



^A



^^x



^BC



^



(’nin tanımı) ^A



^BC



^



^{x x}



^A



^



^xB

 

^{ xC}



^



(’nin tanımı) ^A



^BC



^



^{x }



^xA

 

^{ xB}



^^



^xA

 

^{ xC}



^



(’nin  işlemi üz. dağılma öz.) ^A



^BC



^



^{x x} ^



^AB



^^x



^AC

 

(’nin tanımı) ^A



^BC

 

^{ AB}

 

^{ AC}



(’nin tanımı) b. a’daki gibi ispatlayınız.

c. a’daki gibi ispatlayınız.

d. a’daki gibi ispatlayınız.

4 12

1 2 3 6

9 18

A B

4 12

1 2 3 6

9

18 C

9

18 D

4 12

1 2 3 6

Kümeler Etkinlikler Üzerine Açıklamalar ve Çözüm Önerileri

Etkinlik – 18

a. ^A^B



0,1,2,3 ve A



C



1,2,3,4



’dir.

^A



^BC

 

^{ AB}

 

^{ AC}



   

A B C 0,1,2,3,4

   

b.^AB



^a,b,c,d,e



ve ^AC



^{c,d,e, f}



kümeleri Venn şemasında

gösterilirse, C kümesinde en azından c, d, e, f elemanlarının bulunduğu

görülür. C kümesi en az 4 elemanlıdır.

c. ^AB



^a,b,c,d,e



ve ^AC



^{c,d,e, f}



^dir.

taralı bölgeye karşılık gelen küme AB ve

AC kümelerinin kesişimidir.



^AB

 

^{ AC}

 

^{ c,d,e}



^olur.

Etkinlik – 19

a. “^A



^AB



”  önermesinin niceleme mantığındaki karşılığı, “^{x, x}



^A



^_



^xA

 

^{ xB}



^ ” dir.   önermesinin xa için yorumlaması

“



^aA



^_



^aA

 

^{ aB}



^ ” ‘dir.  aAp ve aBq denirse,  önermesi

“ ppq” önermesine dönüşür.  önermesinin tüm yorumlamaları “ ppq” biçiminde olacaktır.



1

ppqp p q olup totoloji olduğundan 1 “^A



^AB



” önermesi doğrudur.

b. a’daki gibi ispatlayınız.

c. a’daki gibi düşünerek,

“



^AB



^



^ABA



”  önermesine önermeler mantığında karşılık gelen önermenin,

“



^pq



^_



^pq



^p ”  olduğunu ve bunun da totoloji olduğunu gösterebilirsiniz.

Böylece;  önermesinin doğru olduğunu göstermiş olursunuz.



^AB



^



^ABA



^’dır.

d. c’deki gibi ispatlayınız.

Etkinlik – 20

a.



^{ACBC}



^



^AB



 önermesinin bir gerek- tirme olmadığını göstereceğiz.

 önermesinin önermeler mantığındaki karşılığının, ^_



^pr



^



^{q r}



^_^



^pq



^{ olduğunu göste-}

rebilirsiniz.

Bu durumda problem,  önermesinin bir totoloji ol- madığını göstermeye dönüşür.

 önermesi, p  1 ve q  0 için “



^1r



^{0” }

olur.  önermesi, r  1 iken yanlıştır.

Öyleyse,  önermesi bir totoloji değildir.

O hâlde,



^{ACBC}



^{olması AB} olmasını gerektirmez.

Örneğin; ^A

 

^{1,3 , B}



3,4,5 ve C







1,4,5



iken ACBC olduğu halde AB dir.

b. “



^AC



^



^BC



önermesinin önermeler mantığın- daki karşılığının “



^pr



^



^{q r}



^”;

“ AB” ‘nin karşılığının “ pq” olduğunu ve “^_



^{p r}



^



^{q r}



^_^



^pq



” önermesinin bir ge-

rektirme olmadığını göstereceksiniz.

Örneğin; ^A



2,3,4 , B







1,2,3 ve C







4,5



iken



^AC



^



^BC



olduğu halde, A  B dir.

c. a’daki gibi yapınız.

d. b’deki gibi yapınız.

Etkinlik – 21

Üç kümeyi birlikte Venn şeması ile göstermek için önce üç kümenin kesişiminin elemanları, sonra ikişer ikişer kesişimlerinin elemanları yerleştirilmelidir.

a. b.

c. d.

a b f e

c d

A B

C

A B

C

a c b

e d f

A B

C

a c b e f d

A B

C

1 2 4 3

5 6

A B

C

1 5 3 4

6 7

A B

C 2

Kümeler Etkinlikler Üzerine Açıklamalar ve Çözüm Önerileri

Etkinlik – 22

a. K ve K kümelerini liste yöntemi ile yazabilirsiniz.

Ortak özelik yöntemi ile

^K



x x sınıfınızdaki kız öğrencidir.



^K 



x x sınıfınızdaki erkek öğrencidir.



^K^K



x x sınıfınızdaki öğrencidir.



yazılır.

b. K ve KK kümelerini liste yöntemi ile yazmak çok zaman alır.

^K 



x x okulunuzdaki kız öğrenci. Sınıfın dışından



^K^K



x x Okulunuzdaki kız öğrencidir.



c. b ile aynı biçimde yazılabilir.

d. b ile aynı biçimde yazılabilir.

e. Bir T kümesi yazıp soyut ve somut tüm nesneleri bu kümeye aldığınızı düşününüz. Bu T kümesinde T’nin kuvvet kümesi olamayacaktır. O hâlde böyle bir küme yoktur.

f. “Tüm nesnelerin kümesi.” ya da “Kümelerin kümesi.”

ifadeleri bir küme belirtmediğine göre; bir A kümesinin dışındaki nesnelerin kümesinden söz edebilmek için, A’yı kapsayan bir kümenin belirtil- mesi gerekir. bu kümeye evrensel küme diyeceğiz.

Evrensel küme, incelenen konu ile ilgili tüm nesneleri içerecek kadar geniş, ilgisiz nesneleri içermeyecek kadar dar seçilmelidir.

Etkinlik – 23

a.



^{2x3 x}



^{2 x 3}



^



^0

^



^{2x 3 0}

 

^{ x20}

 

^{ x 3 0}



p(x) q(x) r(x)

Çift doğal sayılardan hiç biri p(x), q(x) veya r(x) açık önermelerinden her hangi birini doğru yapmaz Ç   olur.

b. x3 için

^{p 3}

 

^{0, q 3}

 

^{0, r 3}

 

 olduğundan ^{1 p 3}

 

^{q 3}

 

^{r 3}

 

^{ dir. 1}

^Ç

 

^{3 olur.}

c. ^{Ç }



^2,3



d. 3

Ç , 2,3

2

 

   

 

e. 3

Ç , 2,3

2

 

   

 

Etkinlik – 24

a. ” AE”  önermesinin niceleme mantığındaki kar- şılığı “^{x, x}



^A



^



^xE



^{”‘dir. }

 önermesinin “



^aA



^



^aE



”  yorumlamasın- da aAp, aE sembolleştirmesi yapılırsa, 1 bunun önermeler mantığındaki “ p ”  karşılığı 1 elde edilir.

“ p ” önermesi bir totoloji olduğundan “ A1 E” önermesi doğrudur.

b. I. yol

“ AEA” önermesinin niceleme mantığındaki kar- şılığı ^{x, }_



^xA

 

^{ xE}



^_^



^xA



^{” ;}

önermeler mantığındaki karşılığı “



^{p 1}



^{p” veya}

“ pp” ‘dir. “ pp” bir totoloji olduğundan “ AEA” ‘dır.

II. yol

“ ABABA” teoremini ispatlamıştınız.

Buna göre, AE olduğundan AEA olur.

III. yol

^AE



^{x x}



^A

 

^{ xE}

 

(’nin tanımı) ^AE



^{x x}



^A



^{1 x}

 

^E1



^AE



^{x xA p 1 p}

 

^{ }



AEA

c. Siz, b’deki I. ve II. yolları bu teoremin ispatlanma- sına uygulayınız.

III. yolu biz uygulayalım :

^AE



^{x x}



^A

 

^{ xE}

 

(’nin tanımı) ^AE



^x



^xA

 

^{ xE}



^^



^xE

 



^xE1



^AE



^x



^xA



^1^



^{xE x}

  ^

^E1

^

^AE



^{x 1}



^{xE p 1 1}

  

^{ }



^AE



^{x xE 1 p}

 

^{ p}



AEE

Kümeler Etkinlikler Üzerine Açıklamalar ve Çözüm Önerileri

Etkinlik – 25

a. I. yol

^AA



^{x x}



^A

 

^{ xA}

 

(’nin tanımı) ^{AA}



^{x x}



^A

 

^{ xA}

 

(A’ nin tanımı) ^{AA}



^x



^xA

 

^{ xA}



^^



^xE

 



^xE1



^;



^{p 1 p }



^{AA}



^{x 1}



^xE

 



^pp1



^{AA}



^{x xE}





^{1 p p}



AAE

II. yol

“ AAE” önermesinin önermeler mantığındaki karşılığının “



^pp1



” olduğunu göstererek ispatla- yınız.

b. a’daki gibi ispatlayınız.

c.

 

^A



^{x x}



^E

 

^{ xA}



^



^

 

^A



^{x 1}



^xA

 

^

 

^A



^{x xA}





 

AA

d. ^{ }



^{x x}



^E

 

^{ x }

 

^{  }



^{x x}



^E

 

^{ x }



^



^{  }



^{x x}



^E



^0



^{  }



^{x x}



^E



^1



^{  }



^{x xE}



   E

e. " A

 

A " ve "  E " teoremlerini ispatladık.

Buna göre; E   ^{E }

 

^ E  bulunur.

f. “



^AB



^



^BA



”  önermesinin önermeler mantığındaki karşılığının “



^pq



^



^qp



^{” }

olduğunu gösteriniz.

pqqp olduğundan  önermesi totolojidir.

O hâlde; “



^AB



^



^BA



çift gerektirmedir.

Etkinlik – 26

A  B 

a.



AB 



kümesine karşılık gelen bölgenin hem yatay hem düşey çizgilerle taranmış olduğuna dikkat ediniz.

Buna göre;



AB



AB olmalıdır.

b.



AB 



kümesine karşılık gelen bölgenin yatay veya düşey çizgilerle taranmış olduğuna dikkat ediniz.

Buna göre;



AB



AB olmalıdır.

Etkinlik – 27

a.



^AB



^



^{x x}



^AB

 

^



^AB



^



^{x x }



^{AB }



^



^



^AB



^



^x



^xA

 

^{ xB }



^



^



^AB



^



^{x x}



^A

 

^{ xB}

 

^



^AB



^



^{x x}



^A

 

^{ xB}

 





AB



AB b. a’daki gibi ispatlayınız.

Etkinlik – 28

a. AB



AB



 



1,2, 3, 5,7







4, 6



b. ^A^B



^A^B







^3,7







1, 2, 4,5, 6



Etkinlik – 29

a.

^{A B }

 

^{1,2 ;}

^BA



^4,5



^dir.

A  B iken A B BAolduğu şemadan da görülmektedir.

A B

1

2 5

4 3

A B

Kümeler Etkinlikler Üzerine Açıklamalar ve Çözüm Önerileri

b.

^{A B }



^a,b,c



^;

^BA



^d,e



^dir.

AB  ise ABAve BAB olduğu açıktır.

c. Siz yapınız.

d. Siz yapınız.

Etkinlik – 30

a. ^{A B }



^{x x}



^A

 

^{ xB}

 

(Fark işleminin tanımı) ^{A B }



^{x x}



^A

 

^{ xB}

 

(Tümleme tanımı) A B AB (’nin tanımı)

b. AAAA

AA  c. A  A  

^{A  AE}



^{  E}



^A  A A



E



d.  A  A

  A 



^{ A}



e. EAEA

^E^AA A



E



f. “



^AB



^



^{A B}   ”  önermesinin



önermeler mantığındaki karşılığının “



^pq



^_



^pq



^0 ”  olduğunu ve  önermesinin bir totoloji olduğunu gösteriniz.

Etkinlik – 31

a. I. yol

“



^{ABAB}



^



^AB



”  önermesinin önerme- ler mantığındaki karşılığının

“^_



^pq



^



^pq



^_^



^pq



”  olduğunu ve  önermesinin bir totoloji olduğunu gösteriniz.

II. yol

Önce, ABnin gerekli koşul olduğunu gösterelim:

^{ABAB ise A}



^AB



^{ olur.}

Her A ve B kümesi için



^AB



^{A dir. }

 ve  den ABA  olur.

Aynı şekilde; ^{ABAB ise B}



^AB



^ve



^AB



^Bolduğundan ABB  olur.

 ve  ten AB bulunur.



^{ABAB}



^



^AB



gerektirmedir.

Şimdi de AB nin yeterli koşul olduğunu göstere- lim:

AB ise ABA ve ABA olup ABAB bulunur.



^AB



^



^{ABAB}



de gerektirmedir.



^{ABAB}



^



^AB



çift gerektirme olur.

b. A



BC



A



BC 



^A



^BC



^A



^BC



^A



^BC



^{AABC}

^A



^BC

 

^{ AB}

 

^{ AC}



^A



^BC

 

^{ A B}

 

^{ AC}



c. b’deki gibi ispatlayınız.

d. A B AB

^{A B B}

 

^{A }_

 

^{AA}_

 

^{A B} ^AB A B



 AB



e.



^A^B



^C^A^BC (A B  AB ) ^



^AB



^{CABCC} (Tek kuvvet öz.) ^



^AB



^{CABCC} (Değ. ve bir. öz.) ^



^AB



^C



^AC

 

^{ B C}





^{ABA B}



f. I. yol

^A



^{B C}



^A^BC A B



 AB



^A



^{B C}

 

 ^A^B



C A



BA B



C kümesinin AB kümesinde bulunan elemanları ABC, AC, BC kümelerinin de elemanla- rıdır.

ABkümesinden C kümesini çıkarmak demek ABC, AC ya da BC kümesini çıkarmak

demektir.

Buna göre,

^A



^{B C}

 

^{ AB}

 

^{ ABC ;}



     

A B C  AB  BC ;

     

A B C  AB  AC eşitlikleri geçerlidir.

a

b c

d e

A B

Kümeler Etkinlikler Üzerine Açıklamalar ve Çözüm Önerileri

II. yol



^AB

 

^{ AC}



kümesinin ^A



^{B C}



kümesine eşit olduğunu gösterelim:

     

     

     

       

     

   

     

     

A B A C A B A C

A B A C A B A C

A B A C B A A C

A B A C B A A A C

A B A C B A C

A B A C B A C

A B A C A B C

A B A C A B C

       

 

       

 

 

        

 

 

         



 

         

       

       

      

İşlemlerin dayandırıldığı kuralları siz yazınız.

Etkinlik – 32

   

   

   

       

A B A B B A

A B A B B A (Neden?)

A B A B B A B A (Neden?)

A B A B B B A A B A

    

 

     

  

   

        

   

   

          

(Neden?)

   

   

   

   

A B A B E E A B (Neden?)

A B A B A B (Neden?) A B A B A B (Neden?)

A B A B A B

 

   

        

 

     

      

     

Etkinlik – 33

     

A B C  AB  AC  ve



^{A B}



^C



^AC

 

^{ BC}



 olduğu gösterilecektir.

 önermesini size bırakıyoruz.

 önermesinin doğruluğunu biz gösterelim:

I. yol

     

A B C  AB  AC  önermesinin önermeler mantığındaki karşılığının

     

p q r p q p r 

      

    

olduğu ve bunun bir totoloji olduğu gösterilebilir.

O hâlde; ^A



^{B C}

 

^{ AB}

 

^{ AC}



eşitliği geçerlidir.

II. yol



^AB

 

^{ AC}



kümesinin ^A



^{B C}



kümesine eşit olduğunu gösterelim :

   

       

   

   

   

       

A B A C

A B A C A B A C

A B C A B C

A B C A B C

B C A A B C

B C A A A B C

  

   

        

  

     

  

     

 

 

  

     

 

 

 



      

 

 

   

   

   

 

B C A B C

A B C B C

A B C B C

A B C



    



 

    

 

 

 

     

  

Etkinlik – 34

a. ^A



^BC



b. ^B



^AC



c. ^_^A



^BC



^_^_



^BC



^A_

d.



^ABC



^_^C



^AB



^_

e.



^{A B}



^C

f. ^C



^AB



g. ^_



^AC



^B_^



^{B C}



h.



^AB



^C

Etkinlik – 35

Belirtilen kümeleri, önce küme işlemlerinden yarar- lanarak sadeleştirelim :

a.



^AB

 

^{ A B}



   

 

A B A B (Neden?) A B B (Neden?) A E (Neden?) A (Neden?)



   

   

 



Kümeler Etkinlikler Üzerine Açıklamalar ve Çözüm Önerileri

b.



^AB



^B

   

 

A B B B (Neden?) A B (Neden?) A B (Neden?)

 

   

    

  

c.



^AB

 

^{ AB}



 

A B B (Neden?) A (Neden?) A (Neden?)

   

  



d. ^_



^AB

 

^{ AC}



^_^_



^AC



^B_

   

   

   

A C A C B (Neden?) A C A C B (Neden?) A C A C B (Neden?)

     



    

 

    





^A^C

 

 ^A^C







^A^CB (Neden?)



     

 

A C A C A B C (Neden?)

A B C (Neden?)

A B C

 

      

    

  

e.



^AB



^_^B



^{C A}



^_

   

     

   

A B A B C (Neden?)

A B A B A B C (Neden?)

A A B A B C (Neden?)

    



   

       

  

      

   

   

 

B A B B C (Neden?) A B B C (Neden?) A C B (Neden?)

 

    

   

  

f.



^{A B}

 

^{ AC}

 

^{ B C}



     

   

     

     

 

A B A C B C (Neden?)

A B C B C (Neden?)

A B C B C B C (Neden?)

A B C B C B C (Neden?)

A B C

 

     

 

 

    

 

   

       

  

 

       

  



(Neden?)

g. ^_^A



^AB



^_^_



^AB



^B_

       

 

A A A B A B B B

A B

 

       

 

h. ^_



^AB

 

^{ BC}



^_^



^BC



   

 

   

 

E

B A C B C

B A B C

B A B B C

B C

 

    

 

 

    

 

    

 



Şimdi de Venn şemasından yararlanarak sadeleştirme yapalım :

a, b, c, d’yi size bırakıyoruz.

e. AB ^B



^CA



^

Taralı bölgelerin birleşimi



^AC



^B’dir.

f. A B  A C  B C 

Taralı bölgelerin birleşimi^A



^BC



^’dir.

g. A  A B

^A



^AB



^{AB olur.}

AB

B 



^AB



^{BAB olur.}

Buna göre,

^_^A



^AB



^_^_



^AB



^B_

^



^AB

 

^{ AB}

 

^{ AB}



^olur.

A B

C

A B

C

A B

E

A B

E

Kümeler Etkinlikler Üzerine Açıklamalar ve Çözüm Önerileri

h.

A B

A B kümesinin BC ile kesişimi yandaki taralı bölge olur.

Taralı bölgeye B C eklenirse,

^_



^AB

 

^{ BC}



^_^



^BC



BC elde edilir.

Etkinlik – 36



^AB

 

^{ AC}



^ABC

 

A B C 3,4

    olur.

Buna göre, AB, AC, BC kümeleri

şemaya yerleştirilir.



^AC

 

^{ BC}

  

^{ 1} olup 1, yalnız A’nın elemanıdır.

AC kümesinden yararlanarak, yalnız C’nin elemanı;

BC kümesinden yararlanarak, yalnız B’nin elemanları yerleştirilir.

Etkinlik – 37

a. ^A



a,b,c ve B







d,e



ise

^A^B



a,b,c,d,e ve A



B  olur.

Bu durumda;

^{s A}



^B



^{5, s A}

 

^{3, s B}

 

^{2 olup}

5  3  2

s(A  B)  s(A)  s(B) olur.

b. ^A



^a,b,c,d,e



^ve

^B



^{d,e, f,g}



^ise

 

 

A B a,b, c, d, e, f,g ve A B d,e olur.

 

 

^{s A}



^B



sayısını bulmak için, işe s(A) s(B) top- lamı ile başlarsınız. ^{s A}



^B



sayısı -s(A)’nın ve s(B)’nin içinde olmak üzere- iki kere sayılmış olaca- ğından birini çıkarmak gerekir.

^{s A}



^B



s(A) s(B) s(A  B) olmalıdır.

Gerçekten; verilen A ve B kümeleri için s(A)  5, s(B)  4, s(A  B)  7, s(A  B)  2 olup 7  5  4  2

^{s A}



^B



s(A) s(B) s(A  B) olur.

Etkinlik – 38

 

s AB

s(A B) s(A B) s(B A) s(A B) s(A B)

         

s(A) s(B)

 

s A B s(A) s(B) s(A B)

      olur.

Etkinlik – 39

A, B ve C ayrık kümeler olsaydı,

       

s ABC s A s B s C olurdu.

Genel durumda, bu toplamda ^{s A}



^B



hem s(A)’nın hem s(B)’nin;

 

s AC

hem s(A)’nın hem s(C)’nin;

 

s BC

hem s(B)’nin hem s(C)’nin içinde olmak üzere ikişer kere sayılmış olurlar.

Birer kere çıkarmak gerekir.

           

 

s A B C s A s B s C s A B s A C

s B C ?

        

  

 

s ABC sayısı s(A), s(B), s(C) nin içinde olmak üzere üç kere sayılmış;

     

s AB , s AC , s BC nin içinde olmak üzere üç kere çıkarılmış olup toplamda bulunmamaktadır.

Bunu eklememiz gerekir.

Buna göre,

 

s ABC ^{s A}

 

^{s B}

 

^{s C}

 

^{s A}



^B



^{s A}



^C



^{s B}



^C



^{s A}



^BC



bulunur.

A B

C E

A B

C

A B

C

A B

C

1 2

8 3 4 6

9 5

7

A a B

d b e

g f c

A B

C a c

i f b

h

d g

e j