Bölüm I Sinyaller ve Sistemler

Haberleşme Sistemlerinde Temel Bilgiler

Güz 2011-12

Tuncay ERTAŞ

1. Hafta

Temel Bilgiler

Bölüm I

Sinyaller ve Sistemler

• Sinyaller ve Sınıflandırılması

• Güç ve Enerji

• Fourier Serileri

• Fourier Transformu ve Özellikleri

• Dirac Delta Fonksiyonu

Temel Bilgiler

z Bir g(t) sinyali zamanın bir fonksiyonudur

‹ Gerilim v(t) veya akım i(t) olabilir

z Bir sinyalin fiziksel olarak gerçeklenebilmesi için, sinyal:

‹ Zamanda sınırlı olmalıdır.

‹ Bant genişliği sonlu olmalıdır.

‹ Zamanda sürekli olmalıdır.

‹ Aldığı değerler sonlu olmalıdır.

‹ Gerçel değerli olmalıdır.

Temel Bilgiler

Periyodik ve Aperiyodik Sinyaller

Şeklinde ifade edilebilen sinyallere periyodik sinyal denir.

z Aksi takdirde g(t) aperiyodiktir.

zYukarıdaki bağıntıyı sağlayan en küçük değerine sinyalin temel periyodu denir.

t T

t g t

g ( ) = ( +

_o

) , ∀

T0

Temel Bilgiler

Güç: Anlık ve Normalize

z Bir devrede Anlık Güç :

z Ohm kanunundan,

z Anlık normalize güç R=1 Ohm alınarak bulunur:

z g(t) bir gerilim veya bir akım olabileceğinden g(t) sinyalinin anlık normalize gücü:

olarak yazılır.

) ( ) ( )

(t v t i t

p =

R t R i

t t v

p ( ) ( )

)

( ²

2 =

=

) ( ) ( )

(t v² t i² t

p = =

) ( ) (t g² t

p =

Temel Bilgiler

Ortalama Normalize Güç

z Bir sinyalin ortalama normalize gücü anlık normalize gücünün zaman ortalaması alınarak bulunur:

‹ burada zaman ortalaması operatörüdür.

−

∫

∞

= →

= ^/2

2 /

2

2 1 ( )

lim ) (

T

T T g t dt

t T g P

⋅

Temel Bilgiler

z Ortalama normalize gücü sıfırdan farklı ve sonlu olan sinyale güç sinyali denir

z Güç sinyalleri fiziksel olarak gerçeklenemez!

‹ Çünkü bu sinyaller ya sonsuza kadar devam eder ya da bir anda sonsuz bir değer alırlar. Dolayısı ile enerjileri sonsuzdur!

z Güç sinyalleri periyodik veya aperiyodik olabilirler.

∞

<

< P 0

Temel Bilgiler

Enerji Sinyalleri

z Bir sinyalin normalize enerjisi

olarak tanımlanır.

z Enerjisi sıfırdan farklı ve sonlu olan sinyallere enerji sinyali denir. Öyle ki,

z Dikkat: Enerji sinyallerinin ortalama gücü sıfırdır!

−

∫

∞

= → ^/2 2 /

2( ) lim

T

T T g t dt

E

∞

<

< E

0

Temel Bilgiler

Sinyallerin Sınıflandırılması

z Bir sinyal güç veya enerji sinyali olarak sınıflandırılır

‹ Güç Sinyali:

‹ Enerji Sinyali:

z Güç sinyalleri periyodik veya aperiyodik olabilir

z Enerji sinyalleri daima aperiyodiktir.

∞

<

< E 0

∞

<

< P 0

Sinyaller

Enerji Güç

Aperiyodik Periyodik

Temel Bilgiler

Periyodik Sinyallerin Gücü

z Periyodik bir sinyalin ortalama normalize gücü, bir periyot boyunca anlık normalize gücünün ortalamasıdır.

z Dikkat: Limit operatörüne gerek olmadığını fark ediniz!

−

∫

=

2 /

2 /

2( ) 1 ^o

o

T

o T

dt t T g

P

Temel Bilgiler

z Aşağıdaki g(t) sinyalinin ortalama normalize gücünü bulunuz.

∫

− =

= ¹

1

2 1

1 1dt Watt P

0

− 2 −1 1 2

1

z Acos(2πf₀t) sinyalinin ortalama normalize gücünü bulunuz.

A Watt t dt

f T

A

dt t f T A

P

T T

2 2

) 4 cos(

1

) 2 ( 1 cos

2

0

0 2

0

0 2 2

+ =

=

=

∫

∫

π

π T=1 f/ 0

Temel Bilgiler

Bazı Önemli Sinyaller

⎪⎩

⎪⎨

⎧

>

≤

= −

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝ Λ⎛

T t

T t T

t T

t

if 0

if 1

⎪⎩

⎪⎨

⎧

>

= ≤

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝ Π⎛

if 2 0

if 2 1

t T t T

T rect t T

t

( )

x

x x π

π ) sinc = sin(

-5 0 5

1

4 2 3

-4 -3 -2 -1 1 x

sinc(x) t 1

-T 0 T

Λ(t/T) t 1

-T/2 T/2

Π(t/T)

Temel Bilgiler

Fourier Serisi

∑

^∞

=

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝ + ⎛

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝ + ⎛

=

1

2 2 2

n o

n o n o

p T

b nt T a nt a

t

g π π

sin cos

) (

dt t T g

a

T

T p

∫

−

= ^/2

2 0 / 0

0

0

) 1 (

L . , , , , cos

) (

/ /

3 2 2 1

1 ²

2 0

0

0

0

⎟⎟ =

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

=

∫

− ⎛ dt n

T t nt T g

a

T

T p

n

π

L . , , , , sin

) (

/ /

3 2 2 1

1 ²

2 0

0

0

0

⎟⎟ =

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

=

∫

− ⎛ dt n

T t nt T g

b

T

T p

n

π

Periyodu olan bir sinyali için, T0 ^g_p^(t)

Temel Bilgiler

Kompleks Fourier Serisi

( )

∑

^∞ ( ) ( )

= ⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛− +

⎟⎟+

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

− ⎛ +

=

1

2 2

n o

n n o n n o

p T

nt jb j

T a nt jb j

a a

t

g π π

exp exp

⎪⎩

⎪⎨

⎧

<

+

=

>

−

=

0 ,

0 ,

0 ,

n jb a

n a

n jb a c

n n o

n n n

( )

∑

^∞

∞

−

= ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

n o

n

p T

nt c j

t

g 2π

exp

L , , , , exp

) (

/ /

2 1 2 0

1 ²

2 0

0

0

0

±

±

⎟⎟ =

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛−

=

∫

− dt n

T nt t j

T g c

T

T p

n

π

Genel olarak, c_nkatsayıları komplekstir. Dolayısı ile,^{cn =cn exp}

[

^jarg

( )

^cn

]

Gerçel Değerli Sinyaller için, c_−n =c^*_n , dolayısı ile de c_−n = c_n ve ^arg

( )

^c−n = −^arg

( )

^cn

Temel Bilgiler

( ) ⎪⎩

⎪⎨

⎧ − ≤ ≤

=

için kalanı periyodun ,

0, 2 T2

T t t A

g_p

A

t 2

−T 2 T

T0

) (t g_p

T0

−

T dt nt A j

c T

T

T

n

∫

− ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛−

= ²

2 0

0

0

0

2

1 ^/

/

exp π

,....

, , ,

sin 0 1 2

⎟⎟⎠ = ± ±

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛ n

T T n n

A

o

π π

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

o

o T

nT T

TAsinc

( )cn

açı π

π

−

/ T0

n

Faz spektrumu DİKKAT!

Spektrum ayrık

Darbe parametrelerinin etkisi Faz tek, genlik ise çift simetriye sahip

cn

T 3

/0

1 T T 1

T 2 T

−3

T

−1 T

−2

2 . 0

0

T =

0 T / T AT

0

/ T0

n

Genlik spektrumu

Temel Bilgiler

Sinyal ve Frekans Spektrumu

Zaman Genlik

Frekans

Frekans Ortamı Zaman O

rtamı

Fourier Dönüşümü

Temel Bilgiler

Fourier Transformu

z

Bir aperiyodik g(t) sinyali için

Fourier Transformu genellikle komplekstir:

Gerçel değerli bir sinyal için:

Dolayısı ile,

çift simetri tek simetri

( ) ( )

[

( )

]

G f =G f exp jθ f

( ) ( )

G f =G^* −f

( ) ( )

G−f =G f

( ) ( )

θ −f = −θ f

( )

( )

g t _←^→G f F g t

[ ]

( ) =G f

( )

^F−1

[

^{G f}( )

]

^{=g t( )}

( )

∫

−^∞∞ −

= gt j ft dt

f

G( ) ()exp 2π

( )

∫

−^∞∞

= G f j ft df

t

g() ( )exp 2π

Fourier Transformu Ters Fourier Transformu

g(t) nin Fourier transformuna g(t) nin Spektrumu da denir.

Temel Bilgiler

Örnek

g(t)

t A

-T/2 T/2

T 2 T

−2

T 3 T

−1 T

−3

T 0 1

f

|G(f)|

AT

∏^⎜_⎝^{⎛ ⎟}_⎠^⎞

⎟=

⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

T A t T rect t A t

g )( =

∫

− ² (− )

2 2

/

/ exp

)

( ^T

T A j ft dt

f

G π

( )⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

= ⎡

fT AT fT

π π sin

( )fT ATsinc =

( )fT T AT

Arect t ⎟⇔ sinc

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

Temel Bilgiler

( ) ( ) ( ) g t =exp−t u t

( )

∫

−^∞∞ − −

= t j ftdt

f

G( ) exp( )exp 2π

( )

[ ]

∫

^{∞ − +}

=

0 1 2

exp j πf tdt

= +

1 1 j2πf

( ) ( ) exp−t u t ⇔ +

j f 1 1 2π

( ) ( ) ( ) g t =expt u−t

( )

∫

−^∞∞ −

= t j ftdt

f

G( ) exp()exp 2π

( )

[ ]

∫

−∞ −

= ⁰ 1 2

exp j πf tdt =

− 1 1 j2πf

( ) ( ) exp t u t

j f

− ⇔ −

1 1 2π

t g(t)

1

0 g(t)

t 1

0

Temel Bilgiler

Doğrusallık Özelliği

( ) ( )

( ) ( )

ag t₁ +bg t₂ ⇔aG₁ f +bG₂ f

( )

( )

exp− ⇔ t +

f 2 1 2 π ²

f t j

g 1 2π

) 1

1( ⇔ +

( )t j f

g 1 2π

1

2 ⇔ −

( )

G f = j f j f

+ +

− 1

1 2

1 1 2

π π

( )

^{() ()}

exp )

(t t g₁ t g₂ t

g = − = +

g(t)=exp(-|t|)

0 t 1

( )t ( ) ( )t ut g1 = exp−

( )t ( ) ( )tu t g2 = exp −

Temel Bilgiler

Genleştirme Özelliği

( ) ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⇔ ⎛ a G f at a

g 1

[g at]=

∫

−^∞∞g at (−j ft)dt

F ( ) ( )exp 2π

yazarak

=at τ

[ ]

∫

−^∞∞ ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

− ⎛

= dt

a j f a g

at g

F 1 τ 2π τ

exp ) ( )

(

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛ a G f a 1

Örnek ( )

( ) g t

at t t t

=

− >

=

<

⎧

⎨⎪

⎩⎪

exp ,

, ,

0 1

2 0

0 0 ^{G f}( ) (=a j f a)

+ 1 1 2π /

Temel Bilgiler

Dualite Özelliği

( )

^{t g}

( )

^f

G ⇔ −

( )

∫

−^∞∞ −

=

−t G f j ft df

g( ) ( )exp 2π ve t ile f birbirinin yerine yazılırsa,

( )

∫

−^∞∞ −

=

−f Gt j ft dt

g( ) ()exp 2π

Örnek

g(t)

t A

W

−1 W

−2 W

−3

W 1

W 2

W 3

f A/W

-W/2 W/2 ) ( f G

( ) ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⇔ ⎛

= W

rect f W Wt A A t

g() sinc

Temel Bilgiler

Örnek

( ) ( ) ( )

g t−t_o ⇔G f exp −j2πft_o

yazılırsa, t0

t− τ=

( )

[gt t ] exp( j ft ) g( )exp( j f )d exp( j ft )G(f) F − _o = − 2π _o

∫

−^∞∞ τ − 2πτ τ= − 2π _o

( )f AT ( ) (fT j fT)

G_a = sinc exp− π

( )f AT ( ) (fT j fT)

G_b = sinc exp π

) (t g_b

t A

-T 0

t A

0 T ) (t g_a

Temel Bilgiler

Frekansta Öteleme Özelliği

Örnek

( )

^{( )}

( )

exp j2πf t g t_c ⇔G f − f_c

( ) ( )

[exp j2 f_ctg t] g( )t exp[ j2 t(f f_c)]dt G(f f_c)

F π =

∫

−^∞∞ − π − = −

( ) ( )

g t A rect t

T f t_c

= ⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

cos 2π

( )

[

( ) ( )

]

cos2 1 exp exp

2 2 2

πf t_c = j πf t_c + −j πf t_c

[ ] [ ]

{ f f T f f T}

f AT

G( )= sinc( − _c) +sinc( + _c) 2

[ ]

[ ]

⎪⎪

⎩

⎪⎪⎨

⎧

<

+

>

−

≈

0 , ) ( 2 sinc

0 , ) ( 2 sinc ) (

f T f AT f

f T f AT f

f G

c c

c 2

f

f AT/2

fc

−

| ) (

|G f

t g(t)

A

T fc

1

>>1 T f_c

Temel Bilgiler

g(t) ve G(f) Altında Kalan Alan

Örnek ( ) ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⇔ ⎛

W rect f W Wt A

Asinc2 2 2

∫

−^∞∞ =

W dt A Wt Asinc(2 ) 2 f=0 yazılırsa,

Ayrıca, özel olarak A=1 ve 2W=1 alınırsa,

∫

−^∞∞sinc(t)dt=1 )

( )

(t dt G 0

g =

∫

−^∞∞ g(0)=

∫

−^∞∞ G(f)df

Temel Bilgiler

( )

t j fG

( )

f dt g

d ⇔ 2

π

Zamanda Türev Özelliği

( )

( ) ( )

d

dt g t j f G f

n n

⇔ 2π n

n. türev için ise,

Temel Bilgiler

g(t) şeklinde ifade edilip, türev özelliği kullanılırsa,

G(0)=0 için )

2 ( ) 1

( G f

f d j

t g

∫

−∞ ⇔

τ π τ

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

= ⎡

∫

−∞ t

d dt g

t d

g() (τ) τ

⎭⎬

⎫

⎩⎨

⎧ ⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

= ⎡

∫

−∞ t

d g F f j f

G( ) 2π (τ) τ

için ise, 0

) 0

( ≠

G

) ) ( ) ( ( )

( G f

f f G d j

g

t δ

τ π

τ 2

0 2

1 +

∫

−∞ ⇔

Temel Bilgiler

g(t) üçgen darbesinin Fourier transformunu bulunuz.

Örnek

( )[ ( ) ( )] ( ) ( )fT fT

jAT

fT j fT

j fT AT f G

π

π π

sin sinc

exp exp

sinc )

( 2

1

=

−

−

=

( ) G( )f f f j

G ₁

2 1

= π

( ) ( )

( )fT AT

f fT AT fT

2 2sinc

sin sinc

=

= π

π

t AT

-T 0 T

) (t g

g(t), g₁(t) nin integrali olduğundan,

t A

T -T 0

-A )

1(t g

Temel Bilgiler

( )

^{t G}

( )

^f

g^*

⇔

^*

−

Kompleks Eşlenik Özelliği

( )t =

∫

−^∞∞G( ) (f j ft)df

g exp 2π g^*( )t =

∫

−^∞∞G^*( ) (f exp−j2πft)df

( ) ( )

∫

∞^−∞ −

−

= G^* f exp j2πftdf

( ) ( )

∫

−^∞∞ −

= G^* f exp j2πftdf

Temel Bilgiler

Örnek

( )

[ ]

( )

[ ]

^{( )}

g t =Re g t +jImg t ^{g t*}( )^=Re

[ ]

^{g t}( ) ^−jIm

[ ]

^{g t( )}

( )

[ ]^gt

[

^g( )^{t g*}( )^t

]

2

Re =1 + [ ]( )

[

g( )t g ( )t

]

t j

g ^*

2

Im = 1 −

[ ]^g( )^{t ⇔}

[

^G( )^{f +G*}( )^{− f}

]

2

Re 1 [ ]( )

[

^G( )^{f G} ( )^f

]

t j

g ⇔ − ^* −

2 Im 1

Temel Bilgiler

∫

−^∞∞ −

⇔ G λ G f λ dλ

t g t

g₁( ) ₂( ) ₁( ) ₂( )

( ) ( )

t g t G

( )

f G

( )

f

g_{1 2} ⇔ ₁ ⊗ ₂

) ( ) ( )

( )

( g t d G f G f

g_{1 2} − ⇔ _{1 2}

∫

−^∞∞ τ τ τ

( ) ( ) ( ) ( )

g t₁ ⊗g t₂ ⇔G f G_{1 2} f

Zamanda Çarpma

Zamanda Konvolüsyon

Temel Bilgiler

Dirac Delta Fonksiyonu

z Dirac delta fonksiyonunun tanımı:

z İmpuls olarak da bilinir.

z Özellikleri:

∫

∞

∞

−

= (0) ) ( )

(t tdt g

g δ

∫

∞

∞

−

=

≠

=0, 0 , ( ) 1

)

(t t için ve δ t dt

δ

) ( ) ( t δ t δ − =

)

| (

| ) 1

( t

at = a δ

δ

∫

^∞

∞

−

=

− ) ( )

( )

(t t t₀ dt g t₀

g δ

) ( ) ( ) ( )

(t t t₀ gt₀ t t₀

g δ − = δ −

∫

^∞

∞

−

=

− ) ()

( )

( t d g t

gτ δ τ τ ( ) ( ) ( ) g t ⊗δ t =g t

Temel Bilgiler

Dirac Delta Fonksiyonu

z Dirac delta fonksiyonunun Fourier transformu:

[

(t)

]

=

∫

−^∞∞ (t)

(

− j2 ft

)

dt =1

F δ δ exp π δ( )t ⇔ 1

0 t

g(t)

0 f

|G( f )|

1

Temel Bilgiler

δ(t) Uygulamaları

z DC Sinyal

z Sinüsoidal Sinyal

( )

1⇔δ f

( )

∫

−^∞∞exp−j2πftdt=δ(f)

z Kompleks Exponansiyel ^{exp j}

(

2π^{f t}c

)

⇔δ

(

^f −^fc

)

( ) [ ( ) ( )]

cos2 1 exp exp

2 2 2

πf t_c = j πf t_c + −j πf t_c

( ) [ ( ) ( ) ]

cos 2 1

πf t_c ⇔2 δ f −f_c +δ f+f_c

|G( f )|

f

c 0

−f f_c

0 f

G( f )

0 t

g( t ) 1

t g(t)

0 fc

/ 1

Temel Bilgiler

z Sinüsoidal Sinyal

( ) [ (j ft) ( j ft)]

t j

f_c π_c π_c

π exp 2 exp 2

2 2 1

sin = − −

(

c

) [ (

f fc

) (

f fc

) ]

t j

f ⇔ δ − −δ +

π 2

2 1 sin

t g(t)

0 fc

/

1 jG( f )

f 0

fc

−

fc

Temel Bilgiler

δ(t) Uygulamaları

z Birim Basamak Sinyali

2 2

1 ( )

)

( f

f d j

t δ

τ π τ

δ = +

∫

−∞

|G(f )|

f t 0

g(t)

0 1

∫

−∞

= ^t d

t

u( ) δ )(τ τ ^{u t}( )

( )

j f f

⇔ 1 +

2 1 π 2δ

Temel Bilgiler

δ(t) Uygulamaları

z İşaret Fonksiyonu sgn t( )

⇔ j f1 π

sgn( ) , , t

t t t

=

>

=

− <

⎧

⎨⎪

⎩⎪

1 0

0 0

1 0

j G(f)

0 f t

g(t)

0 1

-1

( ) ( ) sgn t =2u t −1

Temel Bilgiler

Periyodik Sinyallerin Fourier Transformu

( )

∑

^∞ ( )

−∞

=

−

=

m

o

pt gt mT

g

t

( )t g_p

2 T0

− 2

T0

2 3T₀

− 2

3T₀ t

g(t)

2

0/ 2 T

0/

−T

( )

∑

^∞

−∞

= ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⇔ ⎛

n o o

o

p T

f n T G n t T

g 1 δ