Ders Notları 6 Dr. Metin TETİK
• D. Gujarati (2012) Temel Ekonometri,
• W. Greene
Ekonometrik Çözümleme
• C. Hsiao
Panel Veri Analizi
Sabit ve Rassal Etkiler Modeller
• Panel verilerin kullanımı ile, her bir birimde gözlenemeyen birim ve/veya zaman etkilerinin ortaya çıkabileceği ve bu etkilerinin sabit ya da tesadüfi olabileceğinden daha önce bahsedilmişti.
– Dışlanan etkilerin sabit olduğu varsayılıyorsa, sabit etkiler modeli;
– bu etkilerin hata terimi gibi rassal olduğu
varsayılıyorsa, rassal etkiler modeli söz konusu
olmaktadır.
Sabit ve Rassal Etkiler Modeller
Sabit ve tesadüfi etkiler incelenirken, uygulamada pek yeri olmadığı için eğim parametresinin değiştiği modeller ele alınmayacak, eğim parametresinin değişmediği, sabit terimin ise birim ya da hem birim hem zamana göre değişiklik gösterdiği modeller ele alınacaktır;
Bu modellerden ise, daha çok birim etkiler modeli yani sabit terimde sadece birim etkisinin olduğu modeller kullanılmaktadır ve modelden dışlanan etkinin sadece birim etki (μi) olduğu düşünülmektedir.
Rassal Etkiler Modeli(REM)
• Bir önceki bölümde, birim etkilerin (μi) sabit olduğu ve sabit terimdeki farklılıklarla ifade edilebildiği modeller tartışılmıştı. Sabit etkili model, birimler arası farklılıkların sabit olduğuna emin olunabildiği durumlarda akılcı bir yaklaşımdır.
• Bu bölümde, örneklemdeki birimlerin rassal olarak seçildiklerinde kullanılan modeller ele alınacaktır.
• Birimler rassal olarak seçildiklerinde, birimler arası farklılıklar da Rassal olacaktır. Yani rassal etkiler örnekleme sürecinin bir sonucudur.
REM’in Temel Düşüncesi
• Doğrusal panel veri modelinde;
• Sabit etkiler modelinde
• Olduğu varsayılmıştı. Rassal etkiler modelinde ise;
• Yani sabit terim rassal bir değişkendir.
• Yani REM şunu söyler;
– Örneklemdeki kesait birimler, sabit terimleri ortak tüm kesit birimlerden oluşan büyük bir anakütleden seçilmiştir. Her bir kesit birim sabit terimindeki tekil farklar e ile beraber hata terimine yansır.
– O halde bilgisini modele koyarsak,
1,i 1 i
1,i 1 i
i (0,
2)1 2 2,
...
,it it k k it it
Y X X u
1,i 1 i
REM Temel Düşüncesi
• Yani;
• Burada;
• Bileşik hata terimidir. İki parçadan oluşur;
1. Kesit birime özgü hata bileşeni
2. Zaman serisi ve yatay kesit boyunca değişen(duruma özgü(idiosyncractic) hata bileşeni
1 2 2,
...
,it it k k it i it
Y X X u
1 2 2,
...
,it it k k it it
Y X X w
it i it
w u
REM’in Klasik Model ve FEM’e Göre Üstünlükleri
• Hatırlarsak, FEM’deki tahmin yöntemleri(LSDV,WG vs..) birim etkileri açıklayıcı değişkenler ile ilişkili kullanmaktaydı. Bu şekilde tutarlı tahminler üretilmekteydi.
• Eğer ilişki yok ise, yatay kesit boyuttaki değişkenlikten kaynaklı bütün bilgileri yok etmesinden dolayı etkinlik özelliğini kaybederler.
• Eğer ilişki yok ise genellikle dirençli(robust) std hatalar ile POLS kullanılması önerilir.
• Ancak POLS hatayı bileşenlere ayırmaz. Dolayısıyla etkinlik kaybı oluşur.
• Dolayısıyla, bu hata bileşenlerini ayırmaya çalışan REM
• tahmin yöntemleri kullanmak daha uygun olacaktır.
• REM’in başka bir avantajı da zaman sabit değişkenleri de modele eklemesidir.(sd düşmez
REM’in Varsayımları
• Genel Varsayımlar;
1. Rassal değişkenler i ve ui her i ve t için ilişkisizdir.
2. Rassal değişkenler i ve ui’nin ortalaması sıfır, ve varyansı sabit bir normal dağılım sergiler.
3. X matrisi deterministiktir.
4. Tekil olarak hata bileşenleri birbiriyle de kesit ve zaman birimleriyle de seri korelasyonlu değildir.
REM’in Varsayımları
REM’e Özgü Varsayımlar
1. Katı Dışsallık Varsayımı: Wit modeldeki hiçbir açıklayıcı değişken ile ilişkili değildir.
2. Birim etkiler(i, tabi ki rassal) açıklayıcı değişkenler ile ilişkisizdir.
1. Not: i, Wit’nin bir bileşeni olduğu için, Xit’ler ile ilişkili olması muhtemeldir.
Eğer öyleyse REM tahminvileri tutarsız olur. İleride göreceğimiz Hausmann testinin temel mantığı i ile Xit’lerin ilişkili olup olmadığını bize söyleyerek REM’i kullanıp kullanmayacağımız konusunda bize fikir verir.
REM’in Varsayımları
REM’in Hata Terimi Wit’ye Özgü Varsayımlar 1. Bileşik hata terimi Wit’nin varyansı sabittir.
2. Bileşik hata terimi Wit’nin ortalaması sıfırdır.
3. Bileşik hata terimi Wit’ninkovaryansı ‘ye eşittir. İspatla.
2 ve 3. varsayımlardan hareketle birleşik hata teriminin varyans kovaryans matrisi ve ‘ye bağlıdır.
-
2
2
u2REM’in Varsayımları
Sonuç
• Bileşik hata terimi belirli bir kesit birimin iki farklı zamandaki hata terimleri(cov(Wit, Wis) ilişlidir.
• O halde REM modelinin hata terimin otokorelasyon sorunu vardır.
• Ancak bu otokorelasyon yapısı biraz farklıdır.
– Her bir kesit birimi içinde zamanla değişmez. Sadece yatay kesit birimleri arasında sıfırdır.
– Bu durumda bu ilişki yapısını hesaba katmadan OLS tahminleri etkin olmaz.
cov( w w
it,
is)
2 0
cov( w w
it,
js) 0
REM’in Tahmin Yöntemleri
• REM modeli POLS, WG ve ML ile de tahmin edilebilir. Ancak en uygun yöntem hata terimleri arasında ilişki yapısını dikkate alan GLS yöntemidir.
GLS(Generalized Least Square)
• REM parametre tahmininde varyans-kovaryans matrisi önem kazanır.
• Bu matrisi ile ifade edersek hata terimlerilerinin var-cov matrisi biliniyorsa( ) REM GLS tahmincileri;
1
' 1 '
1 1 1 1
ˆ
N T N TGLS it it it it
i t i t
X X X X
i
REM’in Tahmin Yöntemleri
• REM’de verilerde dönüşüm yaparak GLS tahmincileri OLS ile de bulunabilir. Nasıl?
• Şimdi wit’nin otokorelasyon yapısının bilindiği varsayalım.
• Her iki tarafı bu değere bölersek;
• Dönüştürülmüş model;
Dönüşütürülmüş değişkenler, dolayısıyla parametreler de değişecektir.
0 1 1,
it it it
Y X w
0 0, 1 1,
it it it it
Y X X w
2
2 2
cov(
it,
is)
u
w w
2 2 2 2
0 0, 1 1,
2 2 2 2 2 2 2 2
/ ( / ) ( / ) /
it it it it
u u u u
Y X X w
1,
* * * * * *
0 0, 1 it it
it it
Y X X w
REM’in Tahmin Yöntemleri
• Bunu yapmaktaki amaç;
• Otokorelasyon yapısından arındırmaktır.
Feasible GLS ya da Estimated GLS(E-GLS)
• Birleşik hata terimin otokorelasyon yapısı bilinmesi durumunda GLS tahminciler DESTE’dir.
• Teorik olarak bu doğru olsa da hata terimlerinin gerçek otokorelasyon yapısı bilinemez.
• Bu nedenle öncelikle var-cov matrisi tahmin edilir.
• var-cov matrisi tahmin edildikten sonra GLS uygulanır. Bu GLS’e Estimated GLS(E-GLS) denir.
* *
cov( , )
it is
