DALGA DENKLEMİ VE BAŞLANGIÇ DEĞER PROBLEMİ. Mustafa DUMLUPINAR YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

DALGA DENKLEMİ VE BAŞLANGIÇ DEĞER PROBLEMİ

Mustafa DUMLUPINAR

YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI

GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

TEMMUZ 2016

Mustafa DUMLUPINAR tarafından hazırlanan “DALGA DENKLEMİ VE BAŞLANGIÇ DEĞER PROBLEMİ” adlı tez çalışması aşağıdaki jüri tarafından OY BİRLİĞİ ile Gazi Üniversitesi Matematik Anabilim Dalında YÜKSEK LİSANS TEZİ olarak kabul edilmiştir.

Danışman: Prof. Dr. İbrahim Ethem ANAR Matematik, Gazi Üniversitesi

Bu tezin, kapsam ve kalite olarak Yüksek Lisans Tezi olduğunu onaylıyorum.

Başkan : Prof. Dr. Fatma Taşdelen YEŞİLDAL Matematik, Ankara Üniversitesi

Bu tezin, kapsam ve kalite olarak Yüksek Lisans Tezi olduğunu onaylıyorum.

Üye : Prof. Dr. Ogün DOĞRU Matematik, Gazi Üniversitesi

Bu tezin, kapsam ve kalite olarak Yüksek Lisans Tezi olduğunu onaylıyorum.

Tez Savunma Tarihi: 13/ 07 / 2016

Jüri tarafından kabul edilen bu tezin Yüksek Lisans Tezi olması için gerekli şartları yerine getirdiğini onaylıyorum.

Prof. Dr. Metin GÜRÜ Fen Bilimleri Enstitüsü Müdürü

ETİK BEYAN

Gazi Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Tez Yazım Kurallarına uygun olarak hazırladığım bu tez çalışmasında;

 Tez içinde sunduğum verileri, bilgileri ve dokümanları akademik ve etik kurallar çerçevesinde elde ettiğimi,

 Tüm bilgi, belge, değerlendirme ve sonuçları bilimsel etik ve ahlak kurallarına uygun olarak sunduğumu,

 Tez çalışmasında yararlandığım eserlerin tümüne uygun atıfta bulunarak kaynak gösterdiğimi,

 Kullanılan verilerde herhangi bir değişiklik yapmadığımı,

 Bu tezde sunduğum çalışmanın özgün olduğunu,

bildirir, aksi bir durumda aleyhime doğabilecek tüm hak kayıplarını kabullendiğimi beyan ederim.

Mustafa DUMLUPINAR 13/07/2016

DALGA DENKLEMİ VE BAŞLANGIÇ DEĞER PROBLEMİ (Yüksek Lisans Tezi)

Mustafa DUMLUPINAR GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

Temmuz 2016

ÖZET

Bu tezde, hiperbolik tipten bir denklem olan dalga denkleminin çözümünün özellikleri ve başlangıç koşullarına göre başlangıç değer probleminin değişik boyutta çözümleri elde edilmiştir. Genel olarak n boyutlu dalga denkleminin düzlemsel dalgalar biçimli çözümleri elde edilmiştir. Ayrıca dalga denkleminin çözümleri olan küresel ve silindirik dalgalar elde edilmiştir. Bir boyutlu dalga denklemi için başlangıç değer problemi, D’Alambert’in çözümü kullanılarak yarı uzaylara genişletilmiştir. Dalga denklemi için bağımlı eşitsizlik bölgesi tanımlanmış ve enerji metodu ile incelenmiştir. Başlangıç değer probleminin çözümünün tekliği gösterilmiş ve bu problemin çözümü Kirchhoff metodu ile elde edilmiştir. Ayrıca homogen olmayan bir ortamda zaman harmonik saçılma probleminin çözümü elde edilmiştir.

Bilim Kodu : 20406

AnahtarKelimeler : Dalga denklemi, düzlem ve küresel dalgalar, D’Alembert çözümü, bağımlı eşitsizlik bölgesi, enerjinin korunumu, başlangıç ve sınır değer problemleri, Kirchhoff formülü, Duhamel prensibi, dalga yayılması, Sommerfeld yayılma koşulu

Sayfa Adedi : 101

Danışman : Prof. Dr. İbrahim Ethem ANAR

THE WAVE EQUATION AND THE INITIAL VALUE PROBLEM (M. Sc. Thesis)

Mustafa DUMLUPINAR GAZİ UNIVERSITY

GRADUATE SCHOOL OF NATURAL AND APPLIED SCIENCES July 2016

ABSTRACT

In this thesis, the properties of the solution of a wave equation which is a kind of a hyperbolic equation and the solutions of the initial value problem considering the different dimensions of the initial conditions were obtained. In general, plane wave shaped solutions of n dimensional wave equation were obtained. Also, spherical and cylindirical waves which are the solutions of the wave equation were found. The initial value problem for one dimensional wave equation was expanded into semi-spaces by using D’Alambert’s solution. The dependent inequation region for the wave equation was defined and analyzed using energy method. The uniqueness of the solution of the initial value problem was showed and the solutions was provided by the Kirchhoff’s method. Also, in a non- homogeneous medium, a solution to time harmonic scattering problem was provided.

Science Code : 20406

Key Words : Wave equations, waves on the plane and spherical surfaces, D’Alembert solutions, dependent inequality region, conservation of energy, boundary and initial value problems, Kirchhoff Formula, principle of Duhamel, wave propagation, Sommerfeld propagation condition

Page Number : 101

Supervisor : Prof. Dr. İbrahim Ethem ANAR

TEŞEKKÜR

Gerek ders aşamasında gerekse tez aşamasında kendisinin engin bilgi ve tecrübelerinden faydalandığım değerli hocam Prof. Dr. İbrahim Ethem ANAR’a ve çalışmalarım boyunca maddi ve manevi desteğini eksik etmeyen aileme, eşim Özge’ye teşekkür ederim.

İÇİNDEKİLER

Sayfa

ÖZET. ... iv

ABSTRACT ... v

TEŞEKKÜR ... vi

İÇİNDEKİLER ... vii

ŞEKİLLERİN LİSTESİ ... ix

SİMGELER VE KISALTMALAR... x

1. GİRİŞ

... 1

2. DALGA DENKLEMİNİN BAZI ÇÖZÜMLERİ

………... 3

2.1. Düzlem Dalgalar ………. .... 3

2.2. Küresel Dalgalar………... 7

3. BAŞLANGIÇ DEĞER PROBLEMİ

……… 14

3.1. Cauchy – Kovalevsky Teoremi……….………. 14

3.2. Bir Boyutlu Dalga Denklemi için Başlangıç Değer Problemi ve D’Alambert Çözümü... ... 18

4. BAĞIMLI EŞİTSİZLİK BÖLGESİ, ENERJİ METODU

... 33

4.1. Karakteristik Doğrultular ve Karakteristik Koniler………. 33

4.2. Teorem: Bağımlı Eşitsizlik Bölgesi………...……….. 36

5. BAŞLANGIÇ DEĞER PROBLEMLERİNDE ÇÖZÜMÜN TEKLİĞİ, BAĞIMLILIK BÖLGESİ VE ETKİ ALANI, ENERJİNİN KORUNUMU

……….... 43

6. BAŞLANGIÇ DEĞER PROBLEMİNİN ÇÖZÜMÜ, KİRCHHOFF FORMÜLÜ, İNDİRGEME (DESCCENT) METODU……..

……… 51

6.1. Yardımcı Teorem: Kirchhoff Formülü ………... 53

6.2. Teorem: İndirgeme (descent) Metodu………. 57

6.3. Duhamel Prensibi……… 66

Sayfa

7. SINIRLI BÖLGELERDE DALGA YAYILMASI, BAŞLANGIÇ – SINIR DEĞER PROBLEMLERİNİN ÇÖZÜMLERİNİN TEKLİĞİ

VE DALGALARINYANSIMASI

……….… 69

7.1. Teorem: Enerjinin Korunumu.………. 70

7.2. Teorem: Çözümün Tekliği ……….. 73

7.3. Örnek ( Bir ucu sabitleştiriliş yarı sonsuz tel )……… 75

7.4. Örnek ( Bir ucu serbest yarı sonsuz tel )………. . 78

7.5. Örnek ( Katı üzlemsel bir yüzeyden yansıyan ses dalgaları)……… ... 79

8. HOMOGEN OLMAYAN BİR ORTAMDA ZAMAN HARMONİK DALGA YAYILMASI

………. 81

9. SONUÇ VE ÖNERİLER

………..……….… . 97

KAYNAKLAR……….. . 99

ÖZGEÇMİŞ………. 101

ŞEKİLLERİN LİSTESİ

Şekil Sayfa

Şekil 2.1. Dalga denkleminin düzlemsel çözümlerinin gösterimi ……… . 5

Şekil 3.1. ( , )x t uzayında r² x² t² olmak üzere r yarıçaplı en büyük küre ... 16

Şekil 3.2. Karakteristik doğrular ile x ekseninin sınırladığı D bölgesi... 20

Şekil 4.1. İlerleyen ve gerileyen karakteristik koniler ... 34

Şekil 4.2. n1 için B x t( ⁰, )⁰ bölgesi ... 35

Şekil 4.3. n2 için B x t( ⁰, )⁰ bölgesi ... 35

Şekil 4.4. n3 için B x t( ⁰, )⁰ bölgesi ... 35

Şekil 4.5. D, D ve _T C bölgeleri ... 37 _T Şekil 5.1. n2 için bağımlılık bölgesi ve etki alanı ... 46

Şekil 5.2. D bölgesi ve R bölgesi ... 47

Şekil 5.3. R ve R T yarıçaplı yuvarlar ... 49

Şekil 6.1. x merkezli t yarıçaplı S x t( , ) küresi ... 54

Şekil 6.2. ( ,x x_{1 2}) merkezli, t yarıçaplı B x x t kapalı yuvarı………. 59 ( ,_{1 2}; ) Şekil 6.3. ( , 0)x₁ merkezli, t yarıçaplı B x( , 0; )₁ t kapalı yuvarı ... 61

Şekil 7.1. n1 için başlangıç – sınır değer probleminin grafiği ... 69

Şekil 7.2. n2için başlangıç – sınır değer probleminin grafiği ... 70

Şekil 7.3. ( ,x x x uzayında _{1 2}, ₃) D silindirik bölgesi... 71 ^T Şekil 7.4. u x t( , )’nin t ’nin farklı değerleri için grafiği ... 77

Şekil 8.1.  ve _ kapalı yuvarları ... 85

SİMGELER VE KISALTMALAR

Bu çalışmada kullanılmış simgeler ve kısaltmalar, açıklamaları ile birlikte aşağıda sunulmuştur.

Simgeler Açıklamalar

( , )

B x t x merkezli, t yarıçaplı yuvar

2( )

C D D’de 2. mertebeden sürekli fonksiyonlar uzayı

2u

 Laplace operatörü ,

2 2

2

2 2

1

...

n

u u

u x x

 

   

 

nu

 Açılara bağlı n mertebeden kısmi diferansiyel operatörü .

u Gradiant u (u u u_x, _y, _z)

d Yüzey alan elementi

D D bölgesinin sınırı



^{, ( , )}



M P S x t P fonksiyonunun S x t( , )yüzeyi üzerindeki ortalama değeri ( )

P D Dalga operatörü

Reel sayılar kümesi

( )x

 Gamma fonksiyonu

( , )

S x t x merkezli, t yarıçaplı yuvarın yüzey alan ölçüsü xx0 x vektörünün x noktasına olan uzaklığı ₀

1. GİRİŞ

Bu tezde dalga denklemi ile tanımlanan başlangıç değer problemleri incelenmiş ve bu problemlerin çözümleri için farklı yöntemler verilmiştir.

Bir boyutlu dalga denkleminin her çözümünün, sonlu sayıda düzlem dalgalarının toplamı biçiminde yazılabilirken, n2 için dalga denklemlerinin genel çözümlerinin, sonlu sayıda düzlem dalgalarının toplamı şeklinde yazılamayacağı gösterilmiştir.

Daha sonra da n1 için başlangıç koşulları verilen dalga denkleminin çözümünün D’Alembert Formülü ile kolayca bulunabileceği örnekleriyle birlikte açıklanmıştır.

Yine başlangıç değer probleminin çözümünün sağladığı önemli bir eşitsizlik olan enerji eşitsizliği üzerinde durulmuş, başlangıç değer probleminin çözümünün değerinin, yalnızca başlangıç manifoldunun sonlu bir parçası üzerinde bulunan başlangıç verilerine bağlı olduğu belirtilmiş ve bu bölge bağımlı eşitsizlik bölgesi olarak tanımlanmıştır.

Özel başlangıç koşullu başlangıç değer probleminin çözümü Kirchhoff formülü ile elde edilmiştir. Sonra n1 ve n2 için başlangıç değer probleminin çözümü, indirgeme (descent) metodu kullanılarak Kirchhoff formülü yardımı ile elde edilmiştir.

Sınırlı bölgelerde dalga yayılmasında ortaya çıkan başlangıç – sınır değer problemi için örnekler verilmiştir. Tezin son bölümünde homogen olmayan bir ortamda zaman harmonik dalga yayılmasının çözümü elde edilmiştir.

2. DALGA DENKLEMİNİN BAZI ÇÖZÜMLERİ

2.1. Düzlem Dalgalar

Dalga denklemi hiperbolik tipten bir kısmi diferensiyel denklemdir [2].

n – boyutlu dalga denklemi,

2 2 2 2

2 2 2 2

1 2

... 0

n

u u u u

x x x t

       

    (2.1) biçimindedir [4]. Bu denklemin bir çözümü, bağımsız değişkenleri x x₁, ₂,...,x ve t olan, _n

1

n değişkenli bir fonksiyondur. Burada x x₁, ₂,...,x değişkenlerine uzay değişkenleri, t _n değişkenine de zaman değişkeni denir.

Şimdi dalga denkleminin bazı çözümlerini bulalım.

1 2

( , ,..., _n)

     , ⁿ de bir birim vektör olsun. ₁² ₂²  ... _n² 1 eşitliği sağlanır. Her bir sabit t ve her bir sabit c için,

1 1x 2x2 ... _nx_n t c

      (2.2) denklemi ⁿ de bir düzlem belirtir. Bu düzlemin normali  vektörüdür. Bu düzlem, t arttıkça  vektörü doğrultusunda 1 hızı ile hareket eder. Bunu şöyle gösterelim;

özel olarak  (1, 0,..., 0) seçilirse, (2.2) düzlemi x₁ t c olur ve t ye göre türev alındığında

1 1

x t

 



olduğu görülür. Bu da bize hızın 1 olduğunu verir.

( )

F y , y değişkenine göre C sınıfından keyfi bir fonksiyon olsun. O halde, ²

1 1 1 2 2

( ,..., _n, ) ( ... _{n n} )

u x x t F  x  x   x t fonksiyonu (2.1) dalga denkleminin bir çözümüdür. Bunu şöyle gösterelim;

1 1

u ' ,

x F 

 

 ₂

2

' ,

u F

x 

 

 … , ' _n

n

u F

x 

 

 , u '

t F

  



2

2 2 1

1

'' ,

u F

x 

 



2

2 2 2

2

'' ,

u F

x 

 

 … ,

2

2

2 '' _n,

n

u F

x 

 



2

2 ''

u F

t

 



2 2 2 2

2 2 2

1 2

2 2 2 2

1 2

... ''. ( ... _n 1) 0

n

u u u u

x x x t F   

            

    olur ki buradan F in bir

çözüm olduğu görülür.

Ayrıca _{1 1}x ₂x₂  ... _nx_n  t c olduğundan u nun değeri sabittir. Yani

1 2

( , ,..., _n, ) ( )

u x x x t F c olur. Bu nedenle u x( ,...,₁ x t_n, ) F(_{1 1}x ₂x₂  ... _nx_n t) biçimindeki çözümler düzlem dalgalar olarak bilinir [3].

1

n için (2.1) dalga denklemi,

2 2

2 2

1

u u 0

x t

  

  (2.3) olur.

Birim vektör koşulundan ₁² 1 olup buradan ₁ 1 veya ₁  1 bulunur.

1 1

  ise x₁  t c (2.4)

1 1

   ise   x₁ t c (2.5) (2.4) denklemi pozitif x doğrultusunda 1 hızı ile hareket eden bir noktayı, (2.5) denklemi ₁ ise negatif x doğrultusunda 1 hızı ile hareket eden bir noktayı belirtir [3]. ₁

F ve G C² olmak üzere, dalga denkleminin bu noktalara karşılık gelen düzlemsel dalga çözümleri, u x t( , )₁  F x( ₁t) ve u x t( , )₁ G x( ₁t) olur.

Örneğin blip fonksiyonunu F y( )a² y², a0 ile tanımlayalım [3]. Bu durumda

1 1

( , ) ( )

u x t F x t a² (x₁ t)² ; t0 (2.6) olur.

2 2

1 1

0 ( , 0)

t  u x a x

2 2

1 1

1 ( ,1) ( 1)

t  u x a  x 

2 2

1 1

2 ( , 2) ( 2)

t  u x a  x  olur.

Grafikleri aşağıdaki gibidir.

u u a ² a ²

-a a x -a+1 1 a+1 ₁ x ₁ 0

t  t1

u u

a ² a ²

-a+2 2 a+2 x -₁ a+3 3 a+3 x ₁

t 2 t 3

Şekil 2.1. Dalga denkleminin düzlemsel çözümlerinin gösterimi

Bir boyutlu dalga denklemi bize x ekseni üzerine gerilmiş bir telin hareketini ifade eder ₁ [4].

Gerçekten de (2.6) çözümü, u x t( , )₁ a² (x₁t)² 0 olduğundan t a x₁  t a şeridinde tanımlıdır.

2

n için (2.1) denklemi iki boyutlu dalga denklemi olur.

2 2 2

2 2 2

1 2

u u u 0

x x t

    

   (2.7)

2 de sonsuz sayıda  ( , _{1 2}) birim vektörleri vardır. Örneğin 1 1

( , )

2 2

  ve

1 2 2

( , )

3 3

  vektörleri birim vektörler olup bu vektörlere karşılık gelen doğrular sırasıyla

1 2

1 1

2 x  2 x  t c ve 1 ₁ 2 2 ₂

3x  3 x  t c doğruları olur.

Bu doğrular 1 1

( , )

2 2

  ve 1 2 2

( , )

3 3

  vektörleri doğrultusunda 1 hızıyla hareket ederler.

F ve G C² olmak üzere, dalga denkleminin bu doğrulara karşılık gelen düzlemsel çözümleri,

1 2 1 2

1 1

( , , ) ( )

2 2

u x x t F x  x t ve ( ,_{1 2}, ) (¹ ₁ ^{2 2} ₂ )

3 3

u x x t G x  x t olur [3].

3

n için (2.1) denklemi üç boyutlu

2 2 2 2

2 2 2 2

1 2 3

u u u u 0

x x x t

      

    (2.8) dalga denklemi olur.

3 de sonsuz sayıda  ( ,  _{1 2}, ₃) birim vektörleri vardır. Örneğin  (1, 0, 0) ve

1 1 23

( , , )

2 3 6

  vektörleri ³ ‘de birim vektörlerdir ve bu vektörlere karşılık gelen hareketli düzlemler sırasıyla,

x1  t c ve 1 ₁ 1 ₂ 23 ₃

2x 3x  6 x  t c olur.

Bu düzlemler  (1, 0, 0) ve ( , ,^{1 1 23})

2 3 6

  vektörleri doğrultusunda 1 hızıyla hareket ederler. Burada dalga denkleminin düzlemsel çözümleri,

1 2 3 1

( , , , ) ( )

u x x x t F x t ve _{1 2 3} 1 ₁ 1 ₂ 23 ₃

( , , , ) ( )

2 3 6

u x x x t G x  x  x t hareketli düzlemleri olarak elde edilir.

Bir boyutlu dalga denkleminin her çözümü u x t( , )₁  F x( ₁t) ve u x t( , )₁ G x( ₁t) düzlem dalgalarının toplamı biçiminde yazılabilir [3,4].

O halde bir boyutlu

2 2

2 2

1

u u 0

x t

  

  dalga denkleminin genel çözümü,

1 1 1

( , ) ( ) ( )

u x t F x  t G x t olur.

Fakat n2 için dalga denklemlerinin çözümlerinden, sonlu sayıda düzlem dalgaların toplamı biçiminde olmayanlar da vardır. Küresel dalgalar buna örnek olarak verilebilir [4].

2.2. Küresel Dalgalar

Küresel dalga, dalga denkleminin bir çözümüdür ve değeri t nin her sabit değeri için merkezi orijinde olan x – uzayındaki bir küre üzerinde sabittir [4]. Küresel dalgaları çalışabilmek için küresel koordinatlara geçeceğiz.

n de küresel koordinatlarda Laplace operatörü, x( ,x x_{1 2},...,x_n) ⁿ için

2 2

2 2

1 1

( ) u n u _n

u x u

r r

r r

  

    



 ile verilir. Burada _n sadece açılara bağlı 2.mertebeden bir kısmi diferensiyel operatördür. Bu yüzden ⁿ de n – boyutlu,

2 2

2

( , )

( , ) u x t 0

u x t

t

  



dalga denklemi küresel koordinatlarda

2 2

2 2 2

1 1

n 0

u n u u

r r u

r r t

       



  olur.

Burada

2

2 2

1 1

sin sin sin

n

u u

u 

    

 

  

       olup küresel dalgalar, tanımı gereği açılara bağlı olmadığından, dalga denklemi,

2 2

2 2

1 0

u n u u

r r

r t

     

   (2.9) halini alır ki bu da küresel dalga denklemi olarak bilinir [3,4].

3

n için küresel dalga denklemi,

2 2

2 2

2 0

u u u

r r

r t

    



  (2.10) olur.

Burada wr u dönüşümü yapalım. u r^1w olup türevleri hesaplayalım.

1 2

1

u w

w r

r r r

     

 

2 2

1

2 3 2 2 2

2 1 1

u w w w

w r

r r

r r r r r

        

 

 

2 1

3 2 2

2 2 w w

w r

r

r r r

  

  

 

2 2

1

2 2

u w

t r t

   

 

Bu türevler (2.10) denkleminde yerlerine yazıldığında,

2 2

1 1 1

3 2 2 2 2

2 2 2 1

( ) 0

w w w w

w r w r r

r r r

r r r r t

  

   

      

    düzenlenirse,

2 2

2 2 0

w w

r t

  

  (2.11) elde edilir. Bu da bir boyutlu dalga denklemidir.

Yani (2.11) denkleminin her çözümü, F ve G, C sınıfından keyfi fonksiyonlar olmak ² üzere F r( t) ve G r( t) nin toplamı olarak yazılabilir. Böylece (2.8) denkleminin her çözümü de

( )

( , ) F r t u r t

r

  (ilerleyen küresel dalga) ve

( )

( , ) G r t u r t

r

  (gerileyen küresel dalga) çözümlerinin toplamı olarak yazılabilir [3].

Şimdi n2 için küresel dalga denklemini ele alalım.

2 2

2 2

1 0

u u u

r r

r t

    



  (2.12) Bu denkleme silindirik dalga denklemi denir [3].

Bu denklemin çözümü değişkenlerine ayırma metoduyla elde edilebilir.

(2.1) denkleminin çözümünü değişkenlerine ayrma yöntemi ile arayalım.

2 2 2 2

2 2 2 2

1 2

... 0

n

u u u u

x x x t

       

   

Denklemin çözümünü u x t( , )V x T t( ) ( ) biçiminde arayalım. x( ,x x_{1 2},...,x_n) ⁿ olmak üzere ,

2 2 2

2 2 2

1

( ) ( ) ( )

( ) ... ( ) ( ) 0

n

V x V x T t

T t T t V x

x x t

      

  

denklemini V x T t( ) ( ) ye bölersek,

2 2 2

2 2 2

1

( ) ... ( ) ( )

( ) ( ) 0

n

V x V x T t

x x t

V x T t

   

    

2 2 2

2 2 2

1

( ) ... ( ) ( )

( ) ( )

n

V x V x T t

x x t

V x T t 

   

      (ayırma sabiti)

buradan aşağıdaki iki denklemi elde ederiz.

2 2

2 2

1

( ) ( )

... ( ) 0

n

V x V x

x x V x

    

  (2.13) ''( ) ( ) 0

T t T t  (2.14)

Burada (2.13) denklemi eliptik tiptendir. İndirgenmiş Dalga Denklemi veya Helmholtz Denklemi olarak bilinir [1,3].

(2.14) denklemi ise basit bir adi diferensiyel denklemdir. Önce bu denklemin çözümünü bulalım.

>0 olmak üzere w² ; w>0 olsun. O halde (2.14) denkleminin lineer bağımsız iki çözümü, bu denklemlerin kompleks değerli e^iwt çözümünün reel ve imajiner kısımları olan,

coswt, sinwt olur.

Denklemin genel çözümü

1 2

( ) cos sin

T t c wtc wt (2.15) olarak yazılabilir.

(2.13) denkleminin çözümünü değişkenlerine ayırma metoduyla n3 için yapacağız [4].

sin cos xr  

sin sin y r  

cos zr 

dönüşümü ile küresel koordinatlara geçilirse (2.13) denklemi,

2

2

2 2 3

2 1

V V 0

V w V r r

r r

 

    



 (2.16) halini alır [3].

Bu denkleminin çözümünü V r( , , )  R r Y( ) ( , )  şeklinde arayalım.

( , , ) ( ) ( , )

V r  R r Y   , (2.16) denkleminde yerine yazılırsa,

2

2

2 2 3

2 1

( R R ) . 0

Y w R R Y

r r

r r

      



 (2.17) elde edilir.

2

1 RY

r ifadesine bölersek,

2

2

2 3

2

2 1

R R

w R Y

r r r

R Y r



       (2.18)

olur.

Düzenlediğimizde aşağıdaki iki denklemi elde ederiz.

3Y Y 0

   (2.19)

2

2 2 2

2 2 ( ) 0

R R

r r w r R

r

r 

     



 (2.20)

(2.19) denkleminin çözümleri  ‘nin yalnız _k k k( 1) , k 0,1, 2,... değerleri için vardır. Denklem açık olarak,

2 2

2 2 2

cot 1 ( 1) 0

sin

Y Y Y

k k Y

 

  

       

   (2.21) olur.

(2.21) denkleminin çözümünü Y( , )   ( ) ( )  şeklinde değişkenlerine ayırma metoduyla arayalım. Bunu (2.21) denkleminde yerine yazarsak,

2 2

2 2 2

cot 1 ( 1) 0

sin k k

 

  

    

        



 

olup denklemi sin² ve 1

 ifadesiyle çarptığımızda,

2 2

2

2 2

2

sin cos sin

( 1) sin 0

k k

  



  

     



     

 

2 2

2

2 2

2 2

sin cos sin

( 1) sin k k

  



   

     



     

  (ayırma sabiti)

elde edilir.

Düzenlendiğinde,

2

sin '' cos ' ( 1) sin 0

k k sin

  



 

       

  (2.22) '' 2 0

    (2.23) denklemleri elde edilir.

(2.23) denklemi basit bir adi diferensiyel denklemdir. Çözümün periyodik olması için ,

m  olmalıdır.

Denklemin genel çözümü,

3 4

( ) c cosm c sinm

   ; m  0, 1, 2,... (2.24) olur.

(2.22) denkleminde tcos dönüşümü yapalım.

' t ( sin )

t t 

 

 

   

        

2

'' 2 t sin ( sin )

t t  

    



     

        

              

 

2 2

1 t 1 t

t t

  

       

 

2

2 2

2 1 2 1

1

t t t

t t

t

   

        

2 2

. (1 ) 2

t t

t t

  

   

 

Türevlerini denklemde yerlerine yazarsak,



1 ²



(1 ²) ²²



1 ²



( 1)



1 ²



² 2 0

1

t t t t t k k t

t t

t t

  

    

                

denklemi elde edilir. Düzenlediğimiz de,

2 2

2

2 2

(1 ) 2 ( 1) 0

t t k k 1

t t t



 

  

          (2.25)

olur. Bu denklem Geliştirilmiş Legendre Denklemi olarak bilinir [4].

Bu denklemin lineer bağımsız çözümleri P_k^(cos ) ve Q_k^(cos ) olup denklemin genel çözümü,

5 6

( ) c P_k^(cos ) c Q_k^(cos )

   (2.26) olur.

( 1)

k k k

   , k=0,1,2… için  ₃Y Y 0 denkleminin, 2k1 tane lineer bağımsız çözümü vardır. Bu çözümleri,

( )^m ( , )

Yk   ; m=1,2,…2k+1

ile gösterelim. Bu çözümlere Laplace Küresel Harmonikleri adı verilir [4].

Şimdi (2.20) denkleminin çözümünü bulalım.

Her bir _k k k( 1) için bu denklem,

 

2

2 2 2

2 2 ( 1) 0

R R

r r w r k k R

r r

 

    



 (2.27) halini alır.

Denklemde

1

W r R2 dönüşümü yapılırsa,

Rr^1/2W

3/2 1/2

' 1 '

R  2r^ W r^ W

5/2 3/2 3/2 1/2

3 1 1

'' ' ' ''

4 2 2

R  r^ W  r^ W  r^ W r^ W

5/2 3/2 1/2

3 ' ''

4r^ W r^ W r^ W

  

olur.

Denklemde yerlerine yazalım.

 

2 3 5/2 3/2 1/2 1 3/2 1/2 2 2 1/2

' '' 2 ' ( 1) 0

4 2

r  r^ W r^ W r^ W  r r^ W r^ W  w r k k  r^ W 

 

1/2 1/2 3/2 1/2 1/2 2 2 1/2

3 ' '' 2 ' ( 1) 0

4r^ W r W r W r^ W  r W  w r k k  r^ W  denklemi r^{1/ 2} ile çarparsak,

 

2 2 2

3 ' '' ( 1) 0

4W rW r W W  w r k k W 

2 1 2 2 2

'' ' 0

r W rW    4 w r k k W 

2 2 2 1 2

'' ' ( ) 0

r W rW w r  k2 W  (2.28) denklemi edilir. Bu denklem ( 1

k 2). mertebeden w parametreli bir Bessel Diferensiyel Denklemi dir [1].

Bu diferensiyel denklemin çözümü,

7 1 8 1

( )

2 2

( ) ( ) ( )

k k

W r c J wr c J wr

  

 

biçimindedir [3].

1

Rr W^2 olduğundan,

1/2 1/2

7 1 8 1

( )

2 2

( ) . ( ) . ( )

k k

R r c r^ J wr c r^ J wr

  

  (2.29)

yazabiliriz.

Burada J_ , 1. Tür Bessel Fonksiyonu olup,

2

0

( ) ( 1) 2

! ( 1)

m

m m

z J z

m m



 







  

   

  



olarak verilir [3].

Sonuç olarak özetle,

1 2

( ) cos sin

T t c wtc wt

3 4

( ) c cosm c sinm

  

5 6

( ) c P_k^(cos ) c Q_k^(cos )

  

1/2 1/2

7 1 8 1

( )

2 2

( ) ( ) ( )

k k

R r c r^ J wr c r^ J wr

  

 

çözümlerini elde etmiş olduk.

O halde dalga denkleminin genel çözümü değişkenlerine ayırma metoduyla, ( , , , ) ( ) ( ) ( ) ( )

u r   t T t   R r (2.30) bulunmuş olur.

3. BAŞLANGIÇ DEĞER PROBLEMİ

2 2 2

2 2 2

1

... 0

n

u u u

x x t

    

   (3.1)

1 1

( ,..., _n, 0) ( ,..., _n)

u x x   x x (3.2)

1 1

( ,..., _n, 0) ( ,..., _n)

u x x x x

t

  

 (3.3) koşullarını sağlayan u x( ,...,₁ x t çözümünün aranması problemine başlangıç değer _n, ) problemi denir [3].

n1

, ( , )x t uzayında t0 düzlemi, problemin başlangıç yüzeyi ya da başlangıç manifoldu olarak isimlendirilir.

Biz burada n1, 2,3 için başlangıç değer problemini inceleyeceğiz. Sonra n için yapacağız. Örneğin n2 için problem

2 2 2

2 2 2 0

u u u

x y t

  

  

   (3.4) ( , , 0) ( , )

u x y   x y (3.5) ( , , 0) ( , )

u x yt   x y (3.6) koşullarını sağlayan ( , , )u x y t çözümünün araştırılmasıdır [3].

Bu problemin çözümü ( , , )x y t uzayında tanımlanmış olmalıdır. Burada (3.5) ve (3.6) başlangıç koşulları t 0 başlangıç yüzeyinde verilmiştir.

3.1. Cauchy – Kovalevsky Teoremi [4]

( , ) _xx 2 ( , ) _xy ( , ) _yy ( , ) _x ( , ) _y ( , ) ( , ) Lz A x y z  B x y z C x y z D x y z E x y z F x y zG x y denklemindeki katsayılar ve G fonksiyonu, xy düzleminde, orjini kapsayan bir   ² bölgesinde analitik olsunlar.  da C x y( , )0 olsun. x ekseninin  tarafından kapsanan parçasında tanımlanmış keyfi, analitik ( )h x ve ( )x fonksiyonları verilsin.

O zaman (0, 0) noktasının bir N komşuluğu vardır ve N de Lz=G denkleminin bir tek analitik z ( , )x y çözümü vardır öyle ki ; N komşuluğu tarafından x ekseni üzerinde,

( , 0)x h x( )

  , _y( , 0)x ( )x sağlanır.

Burada biz (3.1) – (3.3) başlangıç değer probleminin çözümü için bir formül bulmak istiyoruz. Buradan eğer  ,  fonksiyonları, x uzayının orjin noktasında analitik ise Cauchy – Kovalevsky Teoreminden (3.1) – (3.3) başlangıç değer probleminin bir çözümü vardır ve bu çözüm ( , )x t uzayının orijin noktasının bir komşuluğunda tanımlıdır ve analitiktir [4].

Biz bu problemin çözümünü ^n1 de ( , )x t uzayının r² x² t² olmak üzere en büyük r yarıçaplı küre içinde kalan bölgeler için yapacağız. Ayrıca  ,  fonksiyonları üzerindeki analitiklik varsayımını kaldırmak istiyoruz.

t

x x₁, ₂,...,x_n1

x n

Şekil 3.1. ( , )x t uzayında r² x² t² olmak üzere r yarıçaplı en büyük küre

Başlangıç değer problemini, t0 üst yarı uzayında çözmek yeterli olacaktır. Çünkü t 0 alt yarı – uzayında bu problem t' t dönüşümü ile üst yarı – uzaydaki probleme indirgenebilir. Bu dönüşüm ile dalga denklemi değişmez aynen kalır ancak bu ısı denklemi için geçerli değildir.

D

r

O zaman sadece t0 için başlangıç değer probleminin çözümünü araştıracağız. Bu probleme ilerleyen dalga problemi diyeceğiz [4].

Ayrıca t t₀başlangıç düzlemi ile verilirse, başlangıç değer problemi t' t t₀ dönüşümü ile t 0 başlangıç yüzeyli (3.1) – (3.3) başlangıç değer problemine indirgenir. Bu dönüşüm altında da ilerleyen dalga denklemi aynen korunur.

Bir boyutlu,

2 2

2 2 0

u u

x t

  

  , x ,t 0 (3.7) ( , 0) ( )

u x   x , x (3.8) ( , 0) ( )

u xt   x , x (3.9) başlangıç değer probleminin çözümünü bulalım.

(3.7) denkleminin genel çözümünü F ve GC² olmak üzere u x t( , )F x(  t) G x( t) olarak bulmuştuk. O zaman ( , )u x t_t  F x'(  t) G x'( t) olur.

Başlangıç koşullarından, ( , 0) ( ) ( ) ( )

u x F x G x   x ve F x'( )G x'( ) '( )x

( , 0) '( ) '( ) ( )

u xt  F x G x   x olup bu eşitliklerden 1 1

'( ) '( ) ( )

2 2

G x   x   x elde edilir. İntegral hesabın temel teoremi yardımıyla 1 1

( ) ( ) ( )

2 2

x

a

G x 



 d   x elde edilir.

( ) ( ) ( )

F x   x G x olduğundan G x( )burada yerine yazılırsa F x( ) aşağıdaki gibi bulunur.

1 1

( ) ( ) ( ) ( )

2 2

x

a

F x   x 



 d   x = ¹ ( ) ¹ ( )

2 2

x

a

x  d

 





O halde u x t çözümü, ( , )

( , ) ( ) ( )

u x t F x t G xt

= ¹ ( ) ¹ ( ) ¹ ( ) ¹ ( )

2 2 2 2

x t x t

a a

x t ^  d ^  d x t

  



 



    = ¹



^{( ) ( )}



^{1 ( )}

2 2

x t

x t

x t x t ^  d



     



 (3.10) olarak bulunur [3].

Örnek

2 2

2 2 0

u u

x t

  

  , x ,t 0 ( , 0) sin

u x  x , x ( , 0) cos

u xt  x , x

başlangıç değer probleminin çözümünü bulalım.

Çözüm

(3.7) – (3.9) başlangıç değer probleminin çözümü

 

1 1

( , ) ( ) ( ) ( )

2 2

x t

x t

u x t x t x t ^  d



      



 olarak bulunmuştu. Burada ( )x sinx ve ( )x cosx

  olarak alınırsa,

 

1 1

( , ) sin( ) sin( ) cos

2 2

x t

x t

u x t x t x t ^  d



    



=¹



^{sin( ) sin( )}



^1sin

2 2

x t

x t xt   x t^_

=1 1 1 1

sin( ) sin( ) sin( ) sin( )

2 x t 2 x t 2 x t 2 xt =sin(xt)

=sin cosx tsin cost x olarak elde edilir.

Ancak n1 olması halinde başlangıç değer probleminin çözümünün varlığı, tekliği ve bir formülle verilmesinin ispatı, yukarıdaki yöntem izlenerek kolayca gösterilemez. Çünkü birden çok uzay değişkenli, dalga denkleminin genel çözümü, basit bir formülle

verilemez[3]. Bununla beraber genel olarak n boyutta çözümün tekliğini, enerji metoduyla ispatlayacağız. Sonra da n2 ve n3 için başlangıç değer probleminin çözümünü vereceğiz. Bu çözümlerin dalga denklemini ve başlangıç koşullarını sağladığını göstereceğiz. Böylece çözümün varlığını ispatlamış olacağız. Son olarak problemin başlangıç koşullarına her zaman bağımlı olduğunu ispatlayacağız.

Başlangıç konumu ve başlangıç hızı verilen sonsuz uzunluktaki gergin bir telin, küçük titreşimlerini belirleme problemi bir boyutlu dalga denklemi için bir başlangıç değer problemidir. Eğer tel yerine zar alırsak bu problem iki boyutlu dalga denklemi için başlangıç değer problemidir. Son olarak başlangıç yayılması u ve hızı u olan bir sonsuz _t atmosfer içinde sesin yayılması problemi üç boyutlu dalga denklemi için başlangıç değer problemidir. Ancak bunlar gerçekçi değildir, zira sonsuz tel, sonsuz zar ya da sonsuz atmosfer yoktur [3].

3.2. Bir Boyutlu Dalga Denklemi İçin Başlangıç Değer Problemi ve D’Alambert Çözümü

2( )

 C ,  C¹( ) ve FC verilsin. c0reel bir sabit olmak üzere

2 2

2

2 2 ( , )

u u

c F x t

t x

   

  ; x , t0 (3.11) ( , 0) ( )

u x   x ; x (3.12) ( , 0) ( )

u xt   x ; x (3.13) başlangıç değer probleminin x , t 0 bölgesinde uC² sınıfından u x t ( , ) çözümünü arayacağız [1].

(3.11) denkleminin karakteristik eğrilerini şöyle bulabiliriz.

2 2 2

( ) _{t x}

Q  c 

=



t c x



t cx



=0

denkleminden kolayca

1 f x( ct)

  

2 g x( ct)

  

elde edilir [2].

0 0

t  ve (x t keyfi bir nokta olmak üzere bu noktadan geçen karakteristik doğrular ₀, )₀ x ct x₀ ct₀ ve x ct x₀ ct₀

olur. Bu doğrular ile x ekseninin



x0 ct x0, 0 ct0



parçasının sınırlandırdığı bölgeye Şekil 3.2. deki gibi D diyelim.

T

t ……….. ₀ (x t₀, )₀ n n

(x₀ct₀, 0) _{(x0ct0, 0)} x

n

Şekil 3.2. Karakteristik doğrular ile x ekseninin sınırladığı D bölgesi

2 2

2 2 2 2

2 2 x t

L c c D D

x t

 

     

  operatörü self adjoint operatördür [1].

Gerçekten u v, C² için

2 2

2

2 2

u u

vLu c v v

x t

 

  

 

= c² v ^u c^{2 v u} v ^{u v u}

x x x x t t t t

           

            

=

2 2

2 2 2

2 2

u v v u v v

c v c u c u v u u

x x x x x t t t t t

                 

                 

=

2 2

2 2 2

2 2

v v u v u v

u c c v c u v u

x x x t t t

x t

               

             

 

dir [4].

D

Şimdi

vLuuLv ² u ² v u v

c v c u v u

x x x t t t

           

         

denkleminin iki yanını da D bölgesi üzerinden integralleyelim.

 

D

vLuuLv dxdt 



^{2 2}

D

u v u v

c v c u v u dxdt

x x x t t t

            

         

 



= ^{2 2}

D

u v u v

c v c u i v u j dxdt

x x t t

        

           



C, D bölgesinin sınırı ; n , C ‘nin D ‘ye göre birim dış normali ve ds yay uzunluğu diferensiyeli olmak üzere

2 2

( ) ( )

ds dx  dt

olarak verildiğinde, yukarıdaki eşitliğe Green Teoremini uygularsak,

 

D

vLuuLv dxdt 



^{2 2 .}

C

u v u v

c v c u i v u j n ds

x x t t

          

        

 



elde edilir.

1

v seçilirse LuF x t( , ) olacağından,

D

Ludxdt



^{2 . ( , )}

C D

u u

c v i j n ds F x t dxdt

x t

 

   

   

 

 

olur.

C nin birim teğet vektörü, dx dt

T i j

ds ds

  ve C nin birim normal vektörü, dt dx

n i j

ds ds

 

olur.

Şimdi n vektörünü eşitlikte yerine koyalım.

( , )

D

F x t dxdt 



²

C

u u

c dt dx

x t

 

 

 

