Cauchy – Kovalevsky Teoremi

( , ) _xx 2 ( , ) _xy ( , ) _yy ( , ) _x ( , ) _y ( , ) ( , ) Lz A x y z  B x y z C x y z D x y z E x y z F x y zG x y denklemindeki katsayılar ve G fonksiyonu, xy düzleminde, orjini kapsayan bir   ² bölgesinde analitik olsunlar.  da C x y( , )0 olsun. x ekseninin  tarafından kapsanan parçasında tanımlanmış keyfi, analitik ( )h x ve ( )x fonksiyonları verilsin.

O zaman (0, 0) noktasının bir N komşuluğu vardır ve N de Lz=G denkleminin bir tek analitik z ( , )x y çözümü vardır öyle ki ; N komşuluğu tarafından x ekseni üzerinde,

( , 0)x h x( )

  , _y( , 0)x ( )x sağlanır.

Burada biz (3.1) – (3.3) başlangıç değer probleminin çözümü için bir formül bulmak istiyoruz. Buradan eğer  ,  fonksiyonları, x uzayının orjin noktasında analitik ise Cauchy – Kovalevsky Teoreminden (3.1) – (3.3) başlangıç değer probleminin bir çözümü vardır ve bu çözüm ( , )x t uzayının orijin noktasının bir komşuluğunda tanımlıdır ve analitiktir [4].

Biz bu problemin çözümünü ^n1 de ( , )x t uzayının r² x² t² olmak üzere en büyük r yarıçaplı küre içinde kalan bölgeler için yapacağız. Ayrıca  ,  fonksiyonları üzerindeki analitiklik varsayımını kaldırmak istiyoruz.

t

x x₁, ₂,...,x_n1

x n

Şekil 3.1. ( , )x t uzayında r² x² t² olmak üzere r yarıçaplı en büyük küre

Başlangıç değer problemini, t0 üst yarı uzayında çözmek yeterli olacaktır. Çünkü t 0 alt yarı – uzayında bu problem t' t dönüşümü ile üst yarı – uzaydaki probleme indirgenebilir. Bu dönüşüm ile dalga denklemi değişmez aynen kalır ancak bu ısı denklemi için geçerli değildir.

D

r

O zaman sadece t0 için başlangıç değer probleminin çözümünü araştıracağız. Bu probleme ilerleyen dalga problemi diyeceğiz [4].

Ayrıca t t₀başlangıç düzlemi ile verilirse, başlangıç değer problemi t' t t₀ dönüşümü ile t 0 başlangıç yüzeyli (3.1) – (3.3) başlangıç değer problemine indirgenir. Bu dönüşüm altında da ilerleyen dalga denklemi aynen korunur.

Bir boyutlu, başlangıç değer probleminin çözümünü bulalım.

(3.7) denkleminin genel çözümünü F ve GC² olmak üzere u x t( , )F x(  t) G x( t) edilir. İntegral hesabın temel teoremi yardımıyla 1 1

( ) ( ) ( )

= ¹ ( ) ¹ ( ) ¹ ( ) ¹ ( )

(3.7) – (3.9) başlangıç değer probleminin çözümü

 

Ancak n1 olması halinde başlangıç değer probleminin çözümünün varlığı, tekliği ve bir formülle verilmesinin ispatı, yukarıdaki yöntem izlenerek kolayca gösterilemez. Çünkü birden çok uzay değişkenli, dalga denkleminin genel çözümü, basit bir formülle

verilemez[3]. Bununla beraber genel olarak n boyutta çözümün tekliğini, enerji metoduyla ispatlayacağız. Sonra da n2 ve n3 için başlangıç değer probleminin çözümünü vereceğiz. Bu çözümlerin dalga denklemini ve başlangıç koşullarını sağladığını göstereceğiz. Böylece çözümün varlığını ispatlamış olacağız. Son olarak problemin başlangıç koşullarına her zaman bağımlı olduğunu ispatlayacağız.

Başlangıç konumu ve başlangıç hızı verilen sonsuz uzunluktaki gergin bir telin, küçük titreşimlerini belirleme problemi bir boyutlu dalga denklemi için bir başlangıç değer problemidir. Eğer tel yerine zar alırsak bu problem iki boyutlu dalga denklemi için başlangıç değer problemidir. Son olarak başlangıç yayılması u ve hızı u olan bir sonsuz _t atmosfer içinde sesin yayılması problemi üç boyutlu dalga denklemi için başlangıç değer problemidir. Ancak bunlar gerçekçi değildir, zira sonsuz tel, sonsuz zar ya da sonsuz

(3.11) denkleminin karakteristik eğrilerini şöyle bulabiliriz.

2 2 2

elde edilir [2].

0 0

t  ve (x t keyfi bir nokta olmak üzere bu noktadan geçen karakteristik doğrular ₀, )₀ x ct x₀ ct₀ ve x ct x₀ ct₀

olur. Bu doğrular ile x ekseninin



x0 ct x0, 0 ct0



parçasının sınırlandırdığı bölgeye Şekil 3.2. deki gibi D diyelim.

Şekil 3.2. Karakteristik doğrular ile x ekseninin sınırladığı D bölgesi

2 2

Şimdi

denkleminin iki yanını da D bölgesi üzerinden integralleyelim.

 

olarak verildiğinde, yukarıdaki eşitliğe Green Teoremini uygularsak,

 

Şimdi n vektörünü eşitlikte yerine koyalım.

( , )

Ancak bu integrali hesaplayabilmek için C yi oluşturan C₁, C ve ₂ C sınırlarını ₃

 c u x



( 0 ct0, 0)u x t( 0, )0



olarak elde edilir. Bu çözüme D’Alambert çözümü denir [2,3,4].

0 0

homogen dalga denklemi için başlangıç değer probleminin çözümü ve

( , )

homogen başlangıç koşullu, homogen olmayan dalga denkleminin çözümüdür.

Örnek

başlangıç sınır değer probleminin çözümünü bulalım.

Çözüm

halini alır ki bu başlangıç değer probleminin çözümü D’Alambert formülü olarak ( , )

(0, )

O halde çözüm,

başlangıç sınır değer probleminin çözümünü bulalım.

Çözüm

D’Alambert çözümünü uygulayabilmek için x olmalıydı. Bu yüzden  ve  başlangıç değerlerinin x ekseninin tamamına çift fonksiyon genişletmesini yapacağız.

( ) ; 0

halini alır ki bu başlangıç değer probleminin çözümü ( , )

'( ) ; 0

Buradan ' fonksiyonunun tek fonksiyon olduğu açıktır. Sınır koşulu sağlanıyor mu?

Dikkat edilirse ( )x ve ( )x çift fonksiyon olduklarından,

Böylece,

problemin çözümünü bir doğrudan dalga olarak bulalım.

Çözüm

böylece başlangıç ve sınır koşulları sağlanır.

0 ; 0

başlangıç sınır değer probleminin çözümünü bulalım.

Çözüm

D’Alambert çözümünü kullanabilmek için  , ve F fonksiyonlarının, x ekseninin tamamına tek fonksiyon genişletmesini yapacağız.

( ) ; 0

halini alır ki bu başlangıç değer probleminin çözümü D’Alambert yöntemi ile ( , )

(0, ) 1 ( ) ( )

v d dv

4. BAĞIMLI EŞİTSİZLİK BÖLGESİ, ENERJİ METODU

Enerji eşitsizliği, başlangıç değer probleminin çözümünün tekliğinden ortaya çıkar [4].

Çözümün bir noktadaki değeri yalnız, başlangıç manifoldunun sonlu bir parçası üzerinde, başlangıç verilerinin değerlerine bağlıdır. Bu nedendendir ki bu eşitsizliğe bağımlı eşitsizlik bölgesi denir [4].

Bu eşitsizliği açıklayıp, sonra ispatını yapacağız. İspat yöntemi enerji metodu olarak bilinir [4].

4.1. Karakteristik Doğrultular ve Karakteristik Koniler

n1

v   olmalıdır. Yani karakteristik yüzeyin normali, t ekseni ile 45^ lik açı yapmalıdır.

tepesi (x t⁰, )⁰ da olan ilerleyen karakteristik koni olarak isimlendirilir. Alt koni t t⁰a karşılık gelir ve tepesi (x t⁰, )⁰ da olan gerileyen karakteristik koni diye isimlendirilir [3].

t

t

ilerleyen koni

(x x t₁⁰, ⁰₂, )⁰ tepe

x 2

gerileyen koni

x ₁

Şekil 4.1. İlerleyen ve gerileyen karakteristik koniler

Şimdi tepesi (x t⁰, )⁰  ^n1 de olan gerileyen koniyi ele alalım. Burada tt⁰ olduğundan koninin yüzeyi ve koninin içi



^{x1 x10}

 

^{2  x2 x20}



^{2 ....}



^{xn xn0}

 

^{2  t t0}



^{2 0}

veya

 

²

0 2 0

0 xx  t t 

eşitsizliği ile verilir. T herhangi bir sayı ve T t⁰ olsun. ^n1 de tT düzlemini göz önüne alalım. Bu düzlem gerçekte , t T da ⁿ x-uzayındadır. Bu düzlemin, tepesi

0 0

(x t, ) da olan gerileyen koni ile kesişimi,



^{x1 x10}

 

^{2  x2 x20}



^{2 ....}



^{xn xn0}

 

^{2  T t0}



²

noktalarının kümesidir. Bu küme, ⁿ x-uzayında t T de merkezi x da ve yarıçapı ⁰ t0 T olan B x t( ⁰, ⁰ T) kapalı yuvarıdır.

t

(x t⁰, )⁰

B x t( ⁰,⁰T)

T ..……….. ..

B x t( ⁰, )⁰

x ₁ 0

Şekil 4.2. n1 için B x t( ⁰, )⁰ bölgesi

t

(x₁⁰,x₂⁰,t ⁰) B x t( ⁰,⁰T)

x 2

B x t( ⁰, )⁰

x 1

Şekil 4.3. n=2 için B x t( ⁰, )⁰ bölgesi

t (x t⁰, )⁰

B x t( ⁰,⁰T), tT

T ………. …….

B x t( ⁰, )⁰ , _t₀

0 x( ,x x_{1 2},...,x_n)

Şekil 4.4. n için B x t( ⁰, )⁰ bölgesi

Şekil 4.2., 4.3., ve 4.4. de n=1, n=2 ve genel olarak n için karakteristik konilerin , t = T düzlemleriyle kesişimlerinden elde edilen yuvarlar görülmektedir. Bu yuvarlar; n=1 için aralıklar, n=2 için diskler ve n=3 için katı kürelerdir.

4.2. Teorem: Bağımlı Eşitsizlik Bölgesi [3]

0 0

t  olmak üzere (x t⁰, )⁰  ^n1 olsun. ^n1 de, tepesi (x t⁰, )⁰ olan gerileyen karakteristik koni ve t 0 düzlemi ile sınırlanan konisel bölgeye, D diyelim. Kabul edelim ki, uC D²( ) fonksiyonu D bölgesinde,

Dikkat edilirse (4.3) eşitsizliğinde soldaki ve sağdaki integrallerin integrasyon bölgeleri sırasıyla, tepesi (x t⁰, )⁰ da olan gerileyen karakteristik koninin, t T ve t 0 düzlemleriyle kesiti olan yuvarlardır. Soldaki ve sağdaki integrallerin integrantları sırasıyla, u nun birinci mertebeden türevlerinin kareleri toplamının, t T ve t 0 daki değerleridir.

İspat

Biz ispatı n2 için yapacağız. İspat n için , n = 2 olandan farklı değildir. İspat metodu enerji metodu olarak bilinir ve ispat aşağıdaki özdeşlik üzerine kurulmuştur.

2 2 2

D bölgesinin sınırına T D_T diyelim. D_T nin yüzey alan elementi d olsun. Ayrıca D_T

 sınırı, üst ve alt diskler ile C yüzeylerinin birleşimidir. (4.6) integralini bu üç yüzey _T üzerinde ayrı ayrı hesaplayıp toplayacağız.

1 2



1 2



Yukarıdaki denklemde sağ yandaki ikinci terim 0 olduğundan,



1 2

 

1 2



   kısmi diferensiyel denklemi, homogen olmayan ortamda yayılan dalga problemlerinde ortaya çıkar. ^{q x}

 

fonksiyonu sadece uzay değişkenlerine bağlıdır ve ^{q x}

 

^0 dır. u bu denklemin çözümü olmak üzere 4.2.Teoreminin hipotezleri altında



1

 

1



D bölgesi üzerinde integralleyelim. u dalga denkleminin bir çözümü olduğundan T 2 yazabiliriz. Dikkat edilirse integralin integrantı,

  

1 2 1 2



DT

 sınırı, alt ve üst disklerle, konisel C yüzeylerinin birleşimi olduğundan bu üç yüzey _T üzerinde integrali hesaplayıp toplayacağız.

Böylece (4.10), (4.11) ve (4.12) integrallerinin toplamı,

   

   

yazılabilir ki bu da istenendir [4].

5. BAŞLANGIÇ DEĞER PROBLEMLERİNDE ÇÖZÜMÜN TEKLİĞİ,

başlangıç değer probleminin çözümünün tekliğini göstermek için kullanacağız.

5.1.Teorem

0 0

t  olmak üzere (x t⁰, )⁰  ^n1 bir nokta olsun. Tepesi (x t⁰, )⁰ da olan gerileyen koni ile, t 0 düzleminin sınırladığı konisel bölgeye D diyelim; yani

 

yanındaki integral sıfır olacaktır. Ayrıca (4.3) eşitsizliğinin sol yanı negatif olmadığından

0 T t0 için,

olmak zorundadır. Böylece (5.5) deki integrant, sürekli ve negatif olmadığından, sıfır

Bunun anlamı şudur: u x t( , ) nin birinci mertebeden kısmi türevleri D bölgesinde sıfırdır. O zaman u x t( , ), D de sabit olmalıdır. uC D²( ) olduğundan u , D da sabit olmalıdır. D nin tabanında yani xB x t( ⁰, )⁰ için u x( , 0)0 olduğundan D nin her noktasında u 0 olur[4].

Bu teoremden aşağıdaki teklik sonucu ortaya çıkar [4].

5.2.Sonuç

5.3. Sonuç

u ve 1 u fonksiyonları, ₂ x ⁿ ve t0 için C sınıfından olsunlar. ² u x t ve ₁( , ) u x t ₂( , ) fonksiyonları,

2 2 2

2 2 2

1

... 0 ; ⁿ

n

u u u

x x t x

     

   ,t 0 için

( , 0) ( ) , _t( , 0) ( ) ; ⁿ u x   x u x   x x

başlangıç değer probleminin çözümleri olsunlar. O zaman u₁ u₂ olur [3,4].

Bu sonuç başlangıç değer probleminin çözümünün tekliğinin verirken 5.2. Sonucu bize şunu vermektedir : u ve u nin, konisel D bölgesinin tabanındaki değerleri biliniyor ise _t u , D da tek olarak belirlenir. Özel olarak, D nin tabanında u ve u değerleri biliniyor ise, _t u nun D nin tepesindeki değeri tek olarak belirlenir. Bunu aşağıdaki sonuçla vereceğiz.

5.4. Sonuç

0 0 1

(x t, ) ^n bir nokta ve ^D



^{( , ) :x t xx0 2  }



^{t t0}



^{2, 0 t t0}



konisel bölgesi olsun. uC D²( ) D de dalga denkleminin sağlasın. O zaman u nun (x t⁰, )⁰ noktasındaki değeri, xB x t( ⁰, )⁰ için ( , 0)u x  ( )x ve u x_t( , 0) ( )x değerleri ile bir tek olarak belirlenir [4].

5.4. Sonucuna göre, (5.1) – (5.2) başlangıç değer probleminin çözümüm olan u x t( , ) nin,

0 0

t  olmak üzere (x t⁰, )⁰ noktasındaki değeri, tepesi (x t⁰, )⁰ olan gerileyen karakteristik koni ile t 0 başlangıç yüzeyinin arakesiti üzerinde yani, xB x t( ⁰, )⁰ için verilen( )x ve ( )x başlangıç verileri bir tek olarak belirlenir. Bu nedenle B x t( ⁰, )⁰ ya çözümün, (x t⁰, )⁰ noktasındaki bağımlılık bölgesi denir [3,4]. Başlangıç verilerinin yani,

( )x

 ve ( )x fonksiyonlarının bağımlılık bölgesinin dışındaki değerleri, u x t( , ) çözümünün (x t⁰, )⁰ noktasındaki değerini etkilemez [2,3].

Şimdi bakış açımızı değiştirerek, t 0 başlangıç yüzeyi üzerinde bir ( , 0)x¹ noktasını göz önüne alalım ve şu soruyu soralım: ( , 0)x¹ noktasındaki başlangıç verileri başlangıç değer probleminin çözümünü ( , )x t , t 0 üst yarı uzaydaki noktalarda nasıl etkiler? Bu sorunun cevabını araştırmak için tepesi, ( , 0)x¹ da olan ilerleyen koni üzerinde veya bu koninin içinde kalan noktaların kümesini göz önüne alalım ve bu kümeye R diyelim.



^{( , ) : 1 , 0}

 ^

^{( , ) : ( 1 11 2) ... ( n n1 2) 2, 0}

^

etkiler. Bu nedenle R bölgesine, ( , 0)x¹ noktasındaki başlangıç verilerinin etki alanı denir [2,4].

Bir boyutlu dalga denklemi için olan

2 2

0 0 formülü olarak bulunmuştu. Bu halde D bölgesi Şekil 5.2. deki gibi PAB üçgeni olur [4].



^{( , ) : 0 2 ( 0 2) , 0 0}



etki alanı 4.7.Şekil de gösterildiği gibi R bölgesidir [4].

Bu bölümü dalga yayılmasının bir önemli kanunu olan enerjinin korunumu kanununu inceleyerek sonuçlandıracağız [4].

D

D, ⁿ x-uzayında bir bölge olmak üzere eşitsizliğin ispatına Enerji Metodu denir [3].

(4.3) eşitsizliği E u B x t ; ( ⁰, ⁰ T T) , E u B x t ; ( ⁰, ) ,⁰ T olarak gösterilebilir.

Bağımlı eşitsizlik bölgesinde enerji eşitsizliğini ⁿ de orjin merkezli, R yarıçaplı yuvar için yazalım.

   

integrasyon bölgeleri ⁿ olur. Dolayısıyla sağ ve sol taraftaki integraller eşit olur. Böylece eşitlik sağlanır.

6. BAŞLANGIÇ DEĞER PROBLEMİNİN ÇÖZÜMÜ, KİRCHOFF FORMÜLÜ, İNDİRGEME METODU

Bu bölümde iki ve üç uzay değişkenli dalga denklemi için başlangıç değer probleminin çözümünün varlığını kuracağız [4]. Önceki kesimde çözümün tekliğini göstermiştik.

Üç boyutlu dalga denklemi için,

başlangıç değer problemini göz önüne alalım.

3 , 0

Şimdi ilk olarak bir yardımcı teorem vereceğiz. Bu yardımcı teorem (6.1) - (6.2) başlangıç değer problemini özel başlangıç koşullu,

2 2 2 2

2 2 2 2

başlangıç değer problemlerinin çözümleri olsunlar.

O zaman,

6.1. Yardımcı Teorem: Kirchhoff Formülü [3,4]

2

(6.14) formülü Kirchhoff Formülü olarak isimlendirilir. (6.14) formülünde

 

( , ) :

S x t  y y x t , ³ de x merkezli, t yarıçaplı küre yüzeyidir.

d , ( , )S x t küresinin yüzey alan elementidir. y , ( , )S x t küresi üzerinde integrasyonun değişken noktasıdır. (6.14) formülünü daha kullanışlı hale getirelim.

1 2 3

İspat bunu göstereceğiz. P x( ) in sürekliliği kullanılarak ortalama değer teoreminden,

 

elde edilir.

0

t  ^ yaklaştığında, (6.20) nin ilk terimi, (6.18) dan dolayı P x e yaklaşır. ( ) P x( ) in türevi sürekli olduğundan (6.20) nin ikinci terimindeki integral sınırlıdır. Böylece t0^ sıfıra yaklaştığında ikinci terim sıfıra gider. Yani,

( , 0) ( )

up nin dalga denklemini sağladığını göstermek için, (6.20) yi şöyle yazalım.

( , )

O zaman divergens teoremi, uygulanırsa,

 

elde edilir. Bu integralin t ye göre türevini hesaplamamız lazım.

 

( , ) :

B x t  y y x t olup küresel koordinatlara geçip hesaplayacağız.

1 1

2 2 2 2 problemin çözümünü descent metoduyla, üç boyutlu başlangıç eğer probleminin çözümünden elde edeceğiz [4]. konursa üç boyutlu dalga denkleminin çözümü bulunur; fakat bu çözüm , x değişkenine ₃ bağlı olmadığından aslında iki boyutlu (4.41) dalga denkleminin çözümü bulunmuş olur.

Eğer P x( )P x x( ,_{1 2}) ise Kirchhoff formülü ,

y 3

Şimdi (6.23) - (6.24) başlangıç değer probleminin çözümünü aşağıdaki teoremle verelim.

x ₂

. ^t

Teorem probleminin çözümünü yine üç boyutlu problemin çözümünü indirgeyerek elde edeceğiz [4].

2 2

  

denklemi için (6.27) - (6.28) başlangıç değer probleminin çözümü,

1 1

olur [4]. Dikkat edilirse bu çözümü daha önce D’Alambert çözümü diye vermiştik.

Şimdiye kadar incelediğimiz başlangıç değer problemlerinde, ( , )x t noktasındaki, u x t( , ) çözümünün bağımlılık bölgesini dikkate aldığımızda şunu görürüz: ( , )u x t çözümü, tepesi

( , )x t de olan gerileyen karakteristik koninin t 0 yüzeyi ile arakesiti olan parçası üzerindeki başlangıç verilerine bağlıdır. Bu başlangıç yüzeyi, ⁿ x -uzayında B x t , x ( , ) merkezli t yarıçaplı kapalı yuvardır. (6.22), (6.26), (6.29) formüllerinden de görüleceği gibi

1, 2

n ve n3 için ( , )u x t çözümü, B x t de verilen başlangıç verilerine bağlıdır. ( , ) İlginç olan n3 için ortaya çıkandır ki yalnız n3 için u x t( , ) çözümü, B x t kapalı ( , ) yuvarının ( , )S x t sınırı üzerindeki başlangıç verilerine bağlıdır. Bunu ilk defa Huygens fark etmiştir. Bu prensibe Huygens prensibi denir [3,4]. (6.26) ve (6.29) formülleri n1, 2 için Huygens prensibinin gerçeklemediğini gösterir. Fakat n3 için, Huygens prensibi gerçeklenir. Genel olarak n3 ve n tek ise Huygens prensibi gerçeklenir, n çift ise gerçeklenmez [4].

Örnek

denklemleriyle tanımlanan başlangıç değer problemini göz önüne alalım.

Çözümü (6.22) Kirchhoff formülü ile,

1 1

Başlangıç verileri formülde yerine yazılırsa ,

2 2 2

2

Örnek

denklemleriyle verilen başlangıç değer probleminin çözümünü bulalım.

İki boyutlu dalga denklemi için başlangıç değer probleminin çözümünü, Kirchhoff

başlangıç değer probleminin çözümü Kirchhoff formülü ile,

1 1 yaparsak, (6.32) - (6.33) başlangıç değer probleminin çözümü,

1 2 3

ve  ( ,  _{1 2}, ₃) ,  1 dir.

= ₃ denklemini (6.34) de yerine yazarsak,

 

elde edilir. Bu formüle (çözüme) gecikmeli (retarded) potansiyel denir [4].

7. SINIRLI BÖLGELERDE DALGA YAYILMASI, BAŞLANGIÇ - SINIR DEĞER PROBLEMLERİNİN ÇÖZÜMLERİNİN TEKLİĞİ VE DALGALARIN YANSIMASI

Şimdi, dalga denklemi için başlangıç-sınır değer problemini ele alalım. Bu problem, sınırlı bölgelerde dalga yayılmasında ortaya çıkar. Örneğin, sonlu bir telin titreşimi, sonlu bir zarın titreşimi gibi sınırlı cisimlerin titreşimlerinden ortaya çıkan dalgalar gibi [4].

Genel problemi şöyle tanımlayalım:

 , D sınırı üzerinde v dış normali doğrultusunda diferensiyeli gösterir.

t normal (divergens teoreminin uygulanabildiği) bir bölge olduğunu kabul edelim. Şimdi enerjinin korunumunu veren teoremi verelim. Bu teoremden, başlangıç – sınır değer

veya

diferensiyel özdeşliğini, D bölgesi üzerinden integralleyeceğiz. u dalga denklemini ^T sağladığından sol taraf sıfır olacak, yani,

1 1 2 2

Dikkat edilirse bu integralin integrantı,

elde edilir. Burada ds, D nin yay uzunluğu elementidir.

veya

elde edilir. (7.19) daki integrant, sürekli ve negatif değerler almadığından sıfır olmalıdır.

Böylece,

(7.15), (7.16), (7.17) veya (7.15), (7.16), (7.18) başlangıç – sınır değer probleminin en çok bir çözümü vardır [3].

İspat

Herhangi iki çözümün farkı 7.2. Teoreminin hipotezlerini sağlar.

Ek olarak başlangıç – sınır değer probleminin çözümünün tekliği ve enerjinin korunumu ile ilgili yukarıda verdiğimiz sonuçlar, D bölgesinin sınırsız olması halinde de geçerlidir.

Bunu için, başlangıç verileri bir (0, )B R  ⁿ sonlu yuvarının dışında sıfır kabul edilir [3].

7.3. Örnek (Bir ucu sabitleştirilmiş yarı-sonsuz tel) [3,4]

2 2

1 1 koşullarını sağlar. Böylece, (7.20) – (7.22) başlangıç – sınır değer probleminin çözümü,

( , )

(7.23) çözümünde genliği 1

2 olan iki dalga mevcuttur. Biri sağa, diğeri sola hareket eder.

Sola hareket eden dalga x0 noktasına gelince yansır ve işaret değiştirerek sağa hareket eder [3,4].

9 11

7.4. Örnek ( Bir ucu serbest yarı-sonsuz tel ) [3,4]

Bir telin x0 daki ucu serbest ise, aşağıya veya yukarıya serbestçe hareket eder. x0 da, u eğimi sıfır olmak zorundadır. O zaman, aşağıdaki problemi çözmeliyiz: _x

xx tt 0

başlangıç – sınır değer probleminin çözümü ( , )u x t olsun.

7.5.Örnek ( Katı düzlemsel bir yüzeyden yansıyan ses dalgaları ) [3,4]

Aşağıdaki problemi göz önüne alalım. sınır koşulu, u nun x₃ 0 sınırında, normal doğrultusundaki türevin sıfır olduğunu söyler.

Bu problemi çözmek için x₃ 0 yarı uzayında  ve  fonksiyonlarının x₃ 0 düzlemine göre yansımalarını göz önüne alalım.

 ve  fonksiyonlarının x e göre çift fonksiyon genişletmelerini yaparsak, ₃

1 2 3 3

olur.

1 2 3

( , , )

u x x x , ( ,x x x - uzayının tamamında, _{1 2}, ₃)

1 1 2 2 3 3 0

x x x x x x tt

u u u u  ; x ³ ,t 0 u x( , 0) ( ),x u x_t( , 0)( )x ; x ³

başlangıç değer probleminin çözümü D’Alambert formülünden,

( , ) ( , )

1 1

( , ) ( ) ( ) ( ) ( )

4 _{S x t} 4 _{S x t}

u x t y d y y d y

t   t t 

 

 

     

  

 

olur.

8. HOMOGEN OLMAYAN BİR ORTAMDA ZAMAN HARMONİK DALGA YAYILMASI

Uzayda az yoğunluklu veya çok yoğunluklu bir bölgeden geçerek yayılan zaman harmonik ses dalgasını göz önüne alalım.

Biçiminde değişkenlerine ayrılabilir çözümü arandığında, w² ayırma sabiti olmak üzere, ( ) dalgasının frekansıdır. Ses dalgası, zaman harmonik olduğundan (8.2) ayrılabilir çözümünü,

olmak üzere kompleks değerli ( )u x fonksiyonu,

fonksiyonu (8.8) dalga denkleminin bir çözümüdür. (8.9) fonksiyonu düzlemsel dalga olarak bilinir. (8.6) dan dolayı düzlemsel dalgayı

( , ) 1 w

 doğrultusundaki düzlemsel dalgayı özel olarak

( . ) .

( , )

i i k x wt ik x iwt

U x t e ^{ } e ^ e^

alalım. Bu dalga  doğrultusunda hareket eder.

Şimdi tekrar saçılan dalgaya dönelim.U^s( , )x t saçılan dalganın, engel bölgeden büyük uzaklıklardaki davranışı, uzaklaşan zaman harmonik küresel dalgalara benzer.

Yani U^s( , )x t ,

 . mertebeden Bessel diferensiyel denklemine dönüşür [4].

O zaman (8.14) nolu denklemin lineer bağımsız çözümleri

Bessel fonksiyonlarının çok büyük r ler için asimptotik değeri kullanılırsa yani

2 1

sınırlıdır. Yani sonsuzda saçılma sıfıra gider, dalga söner.

( , , ) ( , )

(8.15) koşulu U^s( , )x t saçılan dalganın sommerfeld yayılma koşulunu sağlamasını garanti eder; yani

Buradaki limit düzgün olarak her doğrultuda hesaplanır. Özel olarak, Sommerfeld yayılma koşulu U^s( , )x t saçılan dalganın orjinin içine doğru yayılması yerine orjinden dışarıya doğru ilerleyen bir dalga olmasını garantiler [4]. Yani sonsuzdan orjine yayılan enerji yoktur.

Bu incelemeler bizi aşağıdaki probleme götürür [4].

Kompleks değerli bir u fonksiyonu bulmalıyız öyle ki uC²( ³) olmak üzere

Biz şimdi bir önceki kısımda elde edilen sonuçları kullanarak (8.18) - (8.20) problemi için bir çözüm kuracağız [4].

x için





 integralini inceleyelim.

İlk olarak bu integrali iki integralin toplamı olarak yazalım,

\

olarak düzenlenip yerine yazıldığında

2

Poisson denkleminde uygulanan analiz ve integraller için ortalama değer teoremini kullanırsak

3

Şimdi sırasıyla 1. ve 3. integralleri küresel koordinatlarda yazalım.

2

2

integral denkleminin bir çözümü ise o zaman ( )u x , (8.18) denklemini sağlar [4].

Bunu hemen şöyle gösterelim;

   olmak üzere (8.18) denkleminde yerine yazalım.

2 4

(8.26) integral denkleminin  nın içinde sürekli olan bir ( )u x çözümünü bulabileceğimizi kabul edelim. O zaman, u x( )C²( ³) ve ( )u x in ³ de (8.18) denkleminin bir çözümü olduğunu gösterebiliriz [4].

s( )

u x saçılan dalga fonksiyonunu,

2

   

Benzer olarak yeteri kadar büyük r ler için,

2 2

2

Bu nedenle (8.18) - (8.20) denklemleriyle tanımlanan saçılma probleminin bir çözümünü bulmak için (8.26) integral denkleminin bir sürekli çözümünü bulmak gerekir.

(8.26) integral denklemini yeteri kadar küçük k lar için ardışık yaklaşmalar metodu ile çözeceğiz [4].

Notasyonlarda kolaylık açısından lineer : ( )T C  C( ) operatörünü

serisinin yakınsak olmasıdır. (8.30) serisinin kısmi toplamlar dizisi,

 

Kabul edelim ki bu eşitsizlik sağlansın. Tümevarım ile

1 ( 1) 1

1 ⁿ( 1 0) ⁿ 1 0

Buradan ² dh 4 ²

9. SONUÇ VE ÖNERİLER

Bu tezde kısmi diferensiyel denklemlerin önemli denklemlerinden biri olan dalga denkleminin farklı boyutlarda çözümleri gösterilmiştir. Dalga denklemi ile beraber tanımlanan başlangıç değer problemlerinin çözümleri için farklı yöntemler kullanılmıştır.

Bir boyutlu dalga denkleminin her çözümünü sonlu sayıda düzlem dalgaların toplamı olarak yazabilirken, n2 için dalga denkleminin genel çözümünün bu şekilde yazılamayacağı gösterilmiştir. Ayrıca başlangıç koşulları verilen, n1 boyutlu dalga denkleminin çözümü D’Alambert yöntemi ile de elde edilmiştir.

Bununla beraber n3 boyutlu dalga denkleminin çözümü Kirchhoff yöntemi ile verilmiş 1

n ve n2 için olan başlangıç değer problemlerinin çözümleri ise indirgeme (descent) metodu olarak bilinen yöntem ile Kirchhoff formülü kullanılarak bulunmuştur.

Ayrıca başlangıç değer probleminin çözümünden elde edilen ve önemli bir eşitsizlik olan enerji eşitsizliği gösterilmiş, bu problemin çözümünün değerinin sadece başlangıç manifoldunun sonlu bir parçası üzerinde bulunan başlangıç verilerine bağlı olduğu ispatlanmıştır.

Son olarak da homogen olmayan bir ortamda zaman harmonik dalga yayılması konusu çalışılmış indirgenmiş dalga denklemi ile tanımlanan bir saçılma problemininin çözümü ardışık yaklaşmalar metodu ile elde edilmiştir.

Bu tezde ele alınan başlangıç değer problemleri için başlangıç koşullarının değişmesi ile çözümlerin nasıl etkilendiği incelenebilir.

Bununla beraber non – homogen bir ortamda zaman harmonik dalga yayılması problemi üzerinde hala çalışılan açık bir problemdir.

KAYNAKLAR

1. Dennemeyer, R. (1968). Introuction To Partial Differential Equations And Boundary Value Problems.(1). NewYork/ABD: McGraw-Hill Book Company, 260-280.

2. Sneddon, I.N. (1985). Elements of Partial Differential Equations.(1). NewYork/ABD:

McGraw-Hill Book Company, 209-273.

3. Zachmanoglou, E.C. And Dale, W.Thoe. (1986). Introduction to Partial Differential Equations with Applications, New York/ABD: Dover Publications, 261-330.

4. Anar, İ. E. (2005). Kısmi Diferensiyel Denklemler.(1). Ankara/Türkiye: Palme Yayıncılık, 314-355.

5. Petrovsky, I.G. (1967). Partial Differential Equations, Philadelphia: W.B.Saunders Co., 15-123.

6. Thomas, G. B., Weir M. D. And Hass J. R. (2012). Thomas’ Calculus.(12).

Boston/ABD: Pearson Education Inc., 950-980.

ÖZGEÇMİŞ

Kişisel Bilgiler

Soyadı, adı : DUMLUPINAR, Mustafa Uyruğu : T.C.

Doğum tarihi ve yeri : 13.08.1991, Sungurlu Medeni hali : Evli

Telefon : 0 (554) 5802972

İş Deneyimi Yıl

2016-Halen

Çalıştığı Yer

Milli Eğitim Bakanlığı

Görev

Matematik Öğretmeni Yabancı Dil

İngilizce Hobiler

Fotoğrafçılık, Sinema, Müzik

E-Posta : mdumlupinarr@gmail.com

Eğitim

Derece

Yüksek Lisans

Okul / Program

Gazi Üniversitesi / Matematik

Mezuniyet tarihi Devam Ediyor

Lisans Ankara Üniversitesi / Matematik 2013

Lise Sokullu Mehmet Paşa Lisesi 2009

GAZİ GELECEKTİR...

Belgede DALGA DENKLEMİ VE BAŞLANGIÇ DEĞER PROBLEMİ. Mustafa DUMLUPINAR YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ (sayfa 27-0)