ÜN‹TE II

P‹RAM‹T

1. P‹RAM‹TLER‹N TANIMI 2. DÜZGÜN P‹RAM‹T

a. Tan›m

b. Düzgün Piramidin Özelikleri 3. P‹RAM‹D‹N ALANI

a. Düzgün Olmayan Piramidin Alan›

b. Düzgün Piramidin Alan›

4. P‹RAM‹D‹N HACM‹

5. DÜZGÜN DÖRTYÜZLÜ a. Tan›m

b. Düzgün Dörtyüzlünün Özelikleri

c. Düzgün Dörtyüzlünün Yan Yüz Yüksekli¤i ç. Düzgün Dörtyüzlünün Cisim Yüksekli¤i d. Düzgün Dörtyüzlünün Alan›

e. Düzgün Dörtyüzlünün Hacmi 6. DÜZGÜN SEK‹ZYÜZLÜ

a. Tan›m

b. Düzgün Sekizyüzlünün Özelikleri c. Düzgün Sekizyüzlünün Alan›

ç. Düzgün Sekizyüzlünün Hacmi 7. KES‹K P‹RAM‹T

a. Tan›m

b. Düzgün Kesik Piramit

c. Düzgün Kesik Piramidin Özelikleri ç. Düzgün Kesik Piramidin Alan›

d. Kesik Piramidin Hacmi 8. ÇEfi‹TL‹ ÖRNEKLER ÖZET

ALIfiTIRMALAR TEST II

 ^{ÜN‹TE II}

* Örnek sorular› dikkatle okuyunuz. Kitaba bakmadan çözmeye çal›fl›n›z.

* Bu konular ile ilgili Matematik kitaplar›ndan yararlan›n›z.

* Konular› anlamadan bir baflka konuya geçmeyiniz.

* Her bölümün sonunda verilen al›flt›rma ve de¤erlendirme sorular›n› çözünüz.

* Test sorular› ile kendinizi deneyiniz. Baflar›s›z iseniz, baflar›s›z oldu¤unuz bölümleri tekrar gözden geçiriniz.

Bu üniteyi çal›flt›¤›n›zda;

* Piramitlerin tan›m›n›, nas›l meydana geldi¤ini ve bunlar aras›ndaki iliflkiyi kavraya bilecek,

* Düzgün piramidin tan›m›n› ve özeliklerini ö¤renebilecek,

* Düzgün olmayan piramit ile düzgün piramidin alan›na ait teoremleri ve bu teoremlere ait uygulamalar›n nas›l yap›ld›¤›n› kavrayabilecek,

* Piramidin hacmine ait teoremi ve bu teoreme ait uygulamalar›n nas›l yap›ld›¤›n›

kavrayabilecek,

* Düzgün dörtyüzlünün tan›m›n›, özeliklerini, bunlara ait uygulamalar›n nas›l yap›ld›¤›n› kavrayabilecek,

* Düzgün sekizyüzlünün tan›m›n›, özeliklerini, alan ve hacminin nas›l hesaplaya bilece¤ini ve bunlara ait uygulamalar›n nas›l yap›ld›¤›n› kavrayabilecek,

* Kesik piramidin tan›m›n›, özeliklerini alan ve hacminin nas›l bulunabilece¤ini ve bunlara ait uygulamalar›n nas›l yap›ld›¤›n› ö¤renebileceksiniz.

BU ÜN‹TEN‹N AMAÇLARI

☞

NASIL ÇALIfiMALIYIZ?

✍

ÜN‹TE II P‹RAM‹T 1. P‹RAM‹TLER‹N TANIMI

Bir ABCDE düzlemsel çokgen ve bu çokgensel bölgenin içinde bulundu¤u P düzleminin d›fl›ndaki sabit bir T noktas› ile, ABCDE çokgensel bölgenin kenarlar›

üzerindeki noktalardan geçen do¤rular›n oluflturdu¤u yüzeye piramidal yüzey , çokgensel bölgenin s›n›rlad›¤› cisme de, piramit denir.

(fiekil 2.1) de, ABCDE çokgensel böl-geye piramidin taban›, T noktas›na piramidin tepe noktas› denir.

[TA], [TB], [TC], [TD], [TE] do¤ru parçalar›na piramidin yan ayr›tlar›, TAB, TBC, TCD, TDE, TEA üçgensel bölgelerine de, piramidin yan yüzleri denir.

T tepe noktas›ndan, P taban düzlemine indirilen [TH] dikmeye piramidin yüksekli¤i, bir yan yüzdeki üçgenin tepe noktas›ndan kendi taban ayr›t›na ait [TF] yüksekli¤ine, bu yan yüze ait yüksekli¤i denir.

Düzgün olmayan piramitlerde, yan ayr›tlar›n›n uzunluklar› eflit de¤ildir. Ayn›

zamanda da taban› düzgün çokgen de¤ildir.

Piramitler taban›n› oluflturan çokgenin kenar say›s›na göre adland›r›l›r. Üçgen piramit, dörtgen piramit, beflgen piramit gibi. Piramidin tepe noktas› T ve tabandaki çokgen ABCDE ise, (T, ABCDE) fleklinde ifade edilir.

fiekil 2.1

❂

❂

❂

❂

2. DÜZGÜN P‹RAM‹T a. Tan›m

Taban› düzgün çokgen olan ve yükseklik aya¤› taban merkezinde bulunan piramide, düzgün piramit denir.

(fiekil 2.2) de, bir düzgün alt›gen piramit görülmektedir.

b. Düzgün Piramidin Özelikleri

1. Bir düzgün piramidin yan yüzleri birbirine efl, ikizkenar üçgenlerden oluflur.

2. Bir düzgün piramidin yan ayr›t-lar›n›n uzunluklar› eflittir.

3. Bir düzgün piramitte, yan yüz yüksekliklerinin uzunluklar› eflittir. Buna düzgün piramidin apotemi denir.

4. Bir düzgün piramidin taban› düzgün çokgen oldu¤undan, taban›n çevrel ve iç te¤et çemberleri vard›r.

ÖRNEK 2.1

ÇÖZÜM

(fiekil 2.3) deki bir düzgün alt›gen piramitin taban› düzgün alt›gen oldu¤undan, HCD üçgeni eflkenard›r.

Bir düzgün alt›gen piramidin taban ayr›t›n›n uzunlu¤u 2 3 cm ve yan yüz yüksekli¤i 5 cm oldu¤una göre, bu piramidin yüksekli¤ini bulal›m.

fiekil 2.2

❂

❂

3. P‹RAM‹D‹N ALANI

a. Düzgün Olmayan Piramidin Alan›

Bir piramit düzgün piramit de¤ilse, yan yüzleri farkl› üçgenler olaca¤›ndan, yan yüzlere ait yükseklikler de farkl› olacakt›r. Piramidin tüm alan›n› bulmak için, her yan yüzün alan› ayr› ayr› hesaplan›r. Taban alan› da hesaplanarak piramidin tüm alan›

bulunur.

O halde, düzgün olmayan bir piramidin tüm alan›, taban alan› ile yanal alan›n›n toplam›na eflittir.

bu üçgenin yüksekli¤i, HG = a 3

2 = 2 3 . 3

2 = 3 cm dir.

TH ⊥ HG oldu¤undan, THG üçgeni bir dik üçgendir.

Bu dik üçgende pisagor teoremine göre, TH ² = TG ² - HG ² dir.

Verilen de¤erler yerine uygulan›rsa,

TH ² = 5²- 3² = 25-9 = 16 ise, TH = 4 cm dir.

Piramidin yüksekli¤i: h = TH = 4 cm olur.

Eflkenar üçgenin bir kenar›n›n uzunlu¤u a = 2 3 cm oldu¤undan,

Piramidin yan yüz yüksekli¤i TG = 5 cm dir.

fiekil 2.3

ÖRNEK 2.2

Taban› kare olan bir piramidin tepesi, karenin bir köflesinden kare düzlemine ç›k›lan dikme üzerindedir. Karenin bir kenar›n›n uzunlu¤u 12 cm, piramidin yüksekli¤i 5 cm oldu¤una göre, bu piramidin tüm alan›n› bulal›m.

ÇÖZÜM

( T, ABCD) kare piramidinde taban›n bir kenar›n›n uzunlu¤u a = 12 cm ve yüksekli¤i

|TD| = 5 cm dir. Piramidin her yanal yüzünün dik üçgen oldu¤u, (fiekil 2, 4) de görülmektedir.

Bir dik üçgenlerde, dik kenar uzunluklar› eflit olan üçgenlerin alanlar› da eflit olaca¤›ndan,

TDC dik üçgeninde pisagor teoremine göre,

TC ² =TD ² + DC ² ifadesinde, de¤erler yerlerine yaz›l›rsa, TC ² = 5² + 12² = 25+144 = 169 ise, TC = 13 cm dir.

Buna göre, kare piramidin;

Yanal alan: Y = 5 . 12

2 + 12 . 13

2 + 12 . 13

2 + 5 . 12 2 Y = 30+78+78+30 = 216 cm ² dir.

Taban alan›: G = a² = 12² = 144 cm² dir.

fiekil 2.4

Δ Δ Δ Δ A(TAD) = A (TDC) ve A(TAB) = A(TBC) dir.

b. Düzgün Piramidin Alan›

Teorem: Düzgün piramidin yanal alan›, taban çevresi ile yan yüz yüksekli¤inin çarp›m›n›n yar›s›na eflittir.

‹ s p a t : (fiekil 2. 5) de, düzgün bir kare piramit, (fiekil 2. 6) da, düzgün kare piramidin aç›k flekli görülmektedir.

( T, ABCD) piramidinin yanal alan› Y, taban ayr›t›n›n uzunlu¤u a, yan yüz yüksekli¤i h′ ve taban çevresi Ç olsun. Yan yüzler dört tane efl ikizkenar üçgenlerdir.

Ç = 4a oldu¤undan, düzgün kare piramidin yanal alan›,

fiekil 2.5

fiekil 2.6

a.h′ h′

Bu teoreme göre, afla¤›daki ifadeleri söyleyebiliriz.

1. Bir düzgün piramidin tüm alan›, taban alan› ile yanal alan›n toplam›na eflittir.

S = G+Y dir.

2. Bir düzgün piramidin taban çevresi ile yan yüz yüksekli¤inin çarp›m› yanal alan›n iki kat›na eflittir.2Y = Ç . h′

3. Bir düzgün piramidin taban›ndaki düzgün çokgen n kenarl› ise, yanal alan›, taban çevresi ile, yan yüz yüksekli¤inin çarp›m›n›n yar›s›na eflittir.

ÖRNEK 2. 3

Taban›n bir kenar›n›n uzunlu¤u 10 cm ve yüksekli¤i 12 cm olan, düzgün kare piramidin tüm alan›n› bulal›m.

Y = n ah′

2 = na . h′

2 = 1 2 Ç . h′

fiekil 2.7

ÇÖZÜM

Verilen düzgün kare piramidin taban›n bir kenar uzunlu¤u a =10 cm ve yüksekli¤i h = 12 cm dir.

h′ = [TE] yan yüksekli¤ini bulmak için, THE dik üçgeninde pisagor teoremine göre,

(fiekil 2. 7) deki düzgün kare piramitte, [TH] ^ [HE] ve |HE| = AB

2 dir.

TE² = TH² + HE² ifadesinden,

TE²= 12² + 5² = 144 + 25 = 169 ise, TE = 13 cm dir.

Düzgün kare piramidin; Taban çevresi : Ç = 4 . a = 4 . 10 = 40 cm dir.

Yanal alan : Y = Ç . h′

2 = 40 . 13 2 = 520

2 = 260 cm² dir.

Taban alan›: G = a² = 10² = 100 cm² dir.

Tüm alan›: A = G + Y = 100 + 260 = 360 cm² olur.

4. P‹RAM‹D‹N HACM‹

Teorem: Bir piramidin hacmi, taban alan› ile yüksekli¤inin çarp›m›n›n üçte birine eflittir.

‹spat: (T, ABC) piramidin taban› ABC üçgeni olsun. Piramidin, Taban alan› G ve yüksekil¤i h olsun. Bu piramidi, ayn› taban ve yükseklikte olan prizmaya tamamlayal›m (fiekil 2. 8).

fiekil 2.8

ABC ve ETD tabanlar› efl ve yükseklikleri de ayn› oldu¤undan elde edilen prizma, (A, TDE), (T, ABC), (C, ETD) efl hacimli piramitlerden oluflmaktad›r.

O halde, (T, ABC) piramidin hacmi, üçgen prizman›n hacminin üçte birine eflit olur.

V = 1 G . h d›r.

V = 1

3 G . h d›r.

Piramidin hacmi: V = 1

3 G . h = 1

3 36 . 8 = 12 . 8 = 96 cm³ olur.

Bu teoreme göre, afla¤›daki ifadeleri söyleyebiliriz.

1. Piramidin taban› herhangi bir çokgen olsun. Bu durumlarda da bütün piramitlerin hacimleri, taban alan› ile yüksekli¤in çarp›m›n›n üçte birine eflittir.

2. Taban alanlar› ve yükseklikleri eflit olan piramitlerin hacimleri de eflittir.

ÖRNEK 2. 4

Taban ayr›t›n›n uzunlu¤u 6 cm ve yüksekli¤i 8 cm olan kare dik piramidin hacmini bulal›m.

ÇÖZÜM

Verilen kare dik piramitte taban ayr›t›n›n uzunlu¤u a = 6 cm ve yüksekli¤i h = 8 cm oldu¤undan,

Piramidin taban alan›: G = a²= 6²= 36 cm²dir.

5. DÜZGÜN DÖRTYÜZLÜ a. Tan›m

Bütün ayr›t› da ayn› uzunlukta olan üçgen piramide, düzgün dörtyüzlü denir.

Bir düzgün dörtyüzlünün istedi¤imiz yüzeyini taban olarak ald›¤›m›zda, yine ayn›

düzgün dörtyüzlü olur (fiekil 2.9).

fiekil 2.9

❂

b. Düzgün Döryüzlünün Özelikleri

1. Düzgün dörtyüzlünün bütün yüzleri birbirine efl olan, eflkenar üçgenlerdir.

2. Düzgün dörtyüzlünün yükseklik aya¤›, tabandaki eflkenar üçgenin a¤›rl›k merkezidir.

c. Düzgün Dörtyüzlünün Yan Yüz Yüksekli¤i

(fiekil 2.10) da, bir düzgün dörtyüzlünün bütün yüzleri eflkenar üçgen oldu¤undan, Bir kenar›n›n uzunlu¤u a birim olan bir eflkenar üçgenin yüksekli¤i, h = a 3

2 br dir.

yan yüz yüsekli¤i, AE = h′ = a 3

2 birim olur.

ç. Düzgün Dörtyüzlünün Cisim Yüksekli¤i

Düzgün dörtyüzlünün taban› BCD eflkenar üçgeni olsun. H noktas› hem BCD eflkenar üçgenin a¤›rl›k merkezi, hem de cisim yüksekli¤linin aya¤›d›r (fiekil 2.10)

fiekil 2.10

Buna göre, EH = 1

3 DE = 1 3 a 3

2 = a 3

6 br dir.

AEH dik üçgeninde pisagor teoremine göre, AH ² = AE ² - EH ² oldu¤undan, AH ² = a 3

2

2 - a 3 6

2 ;

AH ² = 3a² 49

- 3a²

36 = 27a² 36 - 3a²

36 = 24a²

36 = 2a²

3 ise, AH = h = 2 a = a 6 birim olur.

S = 8. a² 3

4 = 2 . a² 3 = 2 3 a² birimkaredir.

olaca¤›ndan, düzgün dörtyüzlünün hacmi;

V = 1

3 G. h ifadesinden , V = 1 3 a² 3

4 . a 6 3 = 1

3 . a³ 18 12 Bu ifadeyi sadelefltirirsek, V = a³. 3 2

3 . 12 = a³ 2

12 birimküp olur.

d. Düzgün Dörtyüzlünün Alan›

Bir düzgün dörtyüzlünün alan›, dört eflkenar üçgenin alanlar› toplam›na eflit olaca¤›ndan,

e. Düzgün Dörtyüzlünün Hacmi

Bir piramidin hacmi, taban›n›n alan› ile yüksekli¤inin çarp›m›n›n üçte birine eflit

ÖRNEK 2. 5

Bir ayr›t›n›n uzunlu¤u 6 cm olan düzgün dörtyüzlünün, a. Yan yüz yüksekli¤ini,

b. Cisim yüksekli¤ini, c. Alan›n›,

ç. Hacmini bulal›m.

ÇÖZÜM

Bir ayr›t›n›n uzunlu¤u, a = 6 cm dir. Verilen düzgün dörtyüzlünün,

6. DÜZGÜN SEK‹ZYÜZLÜ a. Tan›m

Bütün ayr›tlar›n›n uzunluklar› a birim olan iki kare piramidin tabanlar›n›n birleflmesi ile oluflan cisme, düzgün sekizyüzlü denir (fiekil 2.11).

a . Yan yüz yüksekli¤i: h ′ = a 3

2 ifadesinden, h′ = 6 3

2 = 3 3 cm dir.

b. Cisim yüksekli¤i: h = a 6

3 ifadesinden, h = 6 6

3 = 2 6 cm dir.

c. Alan›: S = a² 3 ifadesinden, S = 6² 3 = 36 3 cm² dir.

ç. Hacmi: V = a³ 2

12 ifadesinden, V = 6³ 2

12 = 216 2

12 = 18 3 cm³ dür.

❂

fiekil 2.11

b. Düzgün Sekizyüzlünün Özelikleri

1. Düzgün sekizyüzlünün tüm yüzleri, birbirine efl olan eflkenar üçgenlerdir.

2. Düzgün sekizyüzlünün sekiz tane yan yüzü vard›r.

3. Düzgün sekizyüzlünün birbirine eflit ve ikifler ikifler dik olan üç köflegeni vard›r.

4. Köflegenler birbirini orta noktalar›nda keser. Bu H noktas›na, düzgün sekizyüzlünün merkezi denir.

c. Düzgün Sekizyüzlünün Alan›

Tüm ayr›tlar›n›n uzunluklar› a birim olan düzgün sekizyüzlünün alan›, bir kenar›n›n uzunlu¤u a birim olan sekiz tane eflkenar üçgenden oluflur. Bu alan› bulmak için,

ÖRNEK 2. 6

Bir ayr›t›n›n uzunlu¤u 5 cm olan düzgün sekizyüzlünün alan›n› bulal›m.

ÇÖZÜM

Bir ayr›t›n›n uzunlu¤u, a = 5 cm dir.

Düzgün sekizyüzlünün alan›:

S = 8. a² 3

4 = 2 . a² 3 = 2 3 a² birimkaredir.

S = 2 3a² ifadesinden, S = 2 3. 5² = 50 3 cm² olur.

❂

ç. Düzgün Sekizyüzlünün Hacmi

Düzgün sekizyüzlünün hacmi, taban› ABCD kare ve tepesi T noktas› olan piramidin, hacminin iki kat›d›r (fiekil 2.11).

(T, ABCD) piramidin hacmi : V₁ = 1

3 G . h ifadesinden, V₁ = 1

3 a². 2 a

2 = 2 a³

6 birimküptür.

Düzgün sekizyüzlünün hacmi: V = 2 V₁ = 2 2 a³

6 = 2 a³

3 birimküptür.

V = 2 a³

3 ifadesinden, V = 2 9³

3 = 729 2

3 = 243 2 cm³ olur.

fiekil 2.11

ÖRNEK 2. 7

Bir ayr›t›n›n uzunlu¤u 9 cm olan düzgün sekizyüzlünün hacmini bulal›m.

ÇÖZÜM

Verilen düzgün sekizyüzlünün bir ayr›t›n›n uzunlu¤u, a = 9 cm d›r.

Düzgün sekizyüzlünün hacmi:

fiekil 2.12

❂

❂

7. KES‹K P‹RAM‹T a. Tan›m

Bir piramit taban›na paralel bir düzlemle kesilirse, kesit düzlemi ile piramidin taban› aras›nda kalan cisme, kesik piramit denir.

(fiekil 2.12) deki piramidin taban› olan ABCD çokgenine, kesik piramidin alt taban›, kesit düzlemle ara kesiti olan A′B′C′D′ çokgenine, kesik piramidin üst taban›d›r. Alt tabanla üst taban, birbirine benzer olan çokgenlerdir. Kesik piramidin iki taban aras›ndaki |HH′| uzakl›¤›na, kesik piramidin yüksekli¤i denir. [AA′], [BB′], [CC′], [DD′] do¤ru parçalar›na yan ayr›tlar›, yan yüzlerdeki yamuklara, yan yüzler ve bu yamuklar›n yüksekli¤ine de, yan yüz yüksekli¤i denir.

b. Düzgün Kesik Piramit

Düzgün bir piramidin taban›na paralel bir düzlemle kesilmesinden elde edilen kesik piramide, düzgün kesik piramit denir.

c. Düzgün Kesik Piramidin Özelikleri

1. Düzgün kesik piramitte, alt tabanla üst taban, kenar say›lar› ayn› olan benzer iki düzgün çokgendir.

2. Düzgün kesik piramitte, yan yüzler birbirine efl olan ikizkenar yamuklard›r.

3. Düzgün kesik piramitte, yan yüz yüksekliklerinin uzunluklar› birbirine eflittir.

4. Düzgün kesik piramitte, tabanlar›n a¤›rl›k merkezlerini birlefltiren do¤ru parças›

tabanlara diktir. Uzunlu¤u kesik piramidin yüksekli¤ine eflittir.

‹spat: Düzgün kesik piramitte, tabanlar› düzgün çokgen ve yan yüzler, birbirine efl olan ikizkenar yamuktur. Düzgün kesik piramidin alt taban ayr›t›n›n uzunlu¤u a birim, üst taban ayr›t›n›n uzunlu¤u a′ birim ve yan yüzü olan ikizkenar yamu¤un yüksekli¤i h′

birim olsun (fiekil 2. 13).

Bu yamu¤un alt taban çevresi Ç birim, üst taban çevresi Ç′ birim olsun. Taban›n kenar uzunluklar› eflit ve n tane efl olan kesik piramitte, n tane ikizkenar yamuk olaca¤›ndan, düzgün kesik piramidin yanal alan›,

Bu teoreme göre, afla¤›daki ifadeleri söyleyebiliriz:

1. Bir düzgün kesik piramidin tüm alan›, yanal alan› ile alt ve üst taban alanlar›n›n toplam›na eflittir.

fiekil 2.13

ç. Düzgün Kesik Piramidin Alan›

Teorem: Bir düzgün kesik piramidin yanal alan›, alt ve üst tabanlar›n›n çevreleri toplam›n›n yar›s› ile, yan yüz yüksekli¤inin çarp›m›na eflittir.

Y = n a + a′

2 h′ = 1

2 na + na′ h′ = 1

2 Ç + Ç′ h′ olur.

Bir düzgün kesik piramidin alt taban alan› G br², üst taban alan› G′ br², yanal alan›

Y br²ve tüm alan› S br² ise, S = G + G′ + Y dir.

2. Taban alan› G olan bir piramidin herhangi bir taban›na paralel enine kesitinin alan› G′ olsun. Piramidin yüksekli¤i h ve enine kesitin tepeden uzakl›¤› h′ ise,

3. ‹ki piramidin tabanlar›n›n alanlar› ve yükseklikleri eflit ise, bu piramitlerin tepe- den eflit uzakl›kta bulunan enine kesitlerinin alanlar› da eflittir.

4. Taban› n gen olan düzgün kesik piramitte, yan yüzleri birbirine efl n tane ikizke- nar yamuk vard›r.

ÖRNEK 2.8

Bir kare düzgün kesik piramidin, alt taban›n›n bir kenar›n›n uzunlu¤u 8 cm, üst taban›n›n bir kenar›n›n uzunlu¤u 6 cm ve yan yüz yüksekli¤i, 12 cm dir. Bu kesik piramidin yanal alan›n› ve tüm alan›n› bulal›m.

ÇÖZÜM

Verilen kare düzgün kesik piramidin taban kenarlar›n›n uzunluklar›, a =8 cm, a′ = 6 cm ve yan yüz yüksekli¤i h′ = 12 cm dir. Bu kare düzgün kesik piramidin yanal alan›n› bulmak için, önce alt ve üst taban çevrelerini bulal›m.

Kare düzgün kesik piramidin;

Alt taban çevresi: Ç = 4. a ifadesinden, Ç = 4. 8 = 32 cm dir.

Üst taban çevresi: Ç′ = 4. a′ ifadesinden, Ç = 4. 6 = 24 cm dir.

Alt taban›n alan›: G = a² ifadesinden, G = 8²= 64 cm² dir.

Üst taban›n alan›: G = (a′)²ifadesinden, G = 6²= 36 cm²dir.

Tüm alan: S = Y + G + G′ ifadesinden, S = 336 + 64 + 36 = 436 cm² olur.

d. Kesik Piramidin Hacmi

Teorem: Taban alanlar› G ve G′ yüksekli¤i h olan bir kesik piramidin hacmi:

h h′

2 = G

G′ dir.

Yanal alan: Y = 1

2 Ç + Ç′ . h′ ifadesinden, Y = 1

2 32 + 24 . 12 = 56

2 . 12 = 28 . 12 = 336 cm² olur.

‹spat: Kesik piramidin yüksekli¤i h, alt taban› G ve üst taban› G′ dür.

(T, DEF) piramidin yüksekli¤i h′, (T, ABC) piramidin yüksekli¤i h + h′ olsun., (fiekil 2.14) deki kesik piramidin hacmi, (T, ABC) ve (T, DEF) piramitlerinin hacimleri fark›na eflittir. Buna göre,

Bu teoreme göre, afla¤›daki ifadeleri söyleyebiliriz:

1. Verilen bir piramit, tabana paralel bir düzlemle kesilirse, elde edilen küçük piramit ile kendisinin hacimleri oran›, yüksekliklerinin oran›n›n küpüne eflittir.

V = h

3 G + G′ + G . G′ dür.

fiekil 2.14

V = G . h + h′

3 - G′h′

3 = Gh + Gh′ - G′h′

3 = Gh + G - G′ h′

3 dür. (1) DEF ≈ ABC oldu¤undan, G′

G = h′²

h +h′² dir.

Her iki taraf›n karekökünü al›rsak,

2. Herhangi bir piramit, taban›na paralel eflit aral›kl› paralel düzlemlerle kesilsin.

Üstte kalan küçük piramidin hacmi V ise, kesik piramitlerin hacimleri s›ras›yla, 7V, 19V, 37V, 61V, ... dir.

3. Bir kesik piramitin, alt taban›n kenar uzunlu¤u a, alan› G ve üst taban›n kenar uzunlu¤u a′, alan› G′ olsun. Bu taban kenarlar›n›n uzunluklar›n›n oran›

G′

G = h′

h +h′ Buradan, h′ . G = h G′ + h′ G′, h′ G - h′ G′ = h G′ ; h′ G - G′ = h G′ ise, h′ = h G′

G - G′ olur. Bu de¤er (1) eflitli¤inde yerine yaz›l›rsa,

V =

Gh + G - G′ h G′

G - G′

3 = 1

3 Gh + G - G′ h G′

G - G′ ; V = h

3 G + G + G′ . G′ = h

3 G + G ′ + G.G′ olur.

V₁ V₂ = h¹

h₂

3 dir.

G′

G = k² oldu¤undan, G′ = G . k² dir.

V = h

3 G + G′ + GG′ ifadesinde G ′ de¤eri yerine yaz›l›rsa, V = h

3 G + G .k² + G . G . k² = h

3 G + G . k² + Gk dir.

Bunu da düzenlersek, V = G . h

3 1 + k + k² olur.

a′

a = k ise, a′²

a² = k² dir. Bunu da taban alanlar› cinsinden yazarsak,

ÖRNEK 2. 9

Yüksekli¤i 15 cm olan bir piramit, tepeden 5 cm uzakl›kta, tabana paralel bir düzlemle kesiliyor. Kesit alan› 30 cm² oldu¤una göre, bu kesik piramidin hacmini bulal›m.

ÇÖZÜM

Verilen piramidin yüksekli¤i h = 15 cm ve h′ = 5 cm dir. Kesitin alan› G′ = 30 cm² oldu¤una göre, önce bu piramidin taban alan›n› bulal›m.

Bir piramitte, tabana paralel kesit alan›n›n, taban alan›na oran›, tepenin bu düzlem- lere olan uzakl›klar›n›n karelerinin oran›na eflittir.

Buna göre,

8. ÇEfi‹TL‹ ÖRNEKLER ÖRNEK 2. 10

Taban çevresi 48 cm ve yan yüz yüksekli¤i 10 cm olan kare dik piramidin yanal alan›n›, tüm alan›n› ve hacmini bulal›m.

30 G = 5

15

2 ; 30 G = 25

225 ; 30 G = 1

9 Buradan, G = 30 . 9 = 270 cm² olarak bulunur.

Kesik piramidin yüksekli¤i: h = 15 - 5 = 10 cm dir.

Kesik piramidin hacmi: V = h

3 G + G′ + G . G′ ifadesinden, V = 10

3 270 + 30 + 270 . 30 = 10

3 270 + 30 + 8100 , V = 10

3 270 + 30 + 90 = 3900

3 = 1300 cm³ olur.

G′

G = h′

h

2

oldu¤undan,

ÇÖZÜM

Verilen kare dik piramidin taban çevresi Ç = 48 cm ve yan yüz yüksekli¤i l = 10 cm dir. Taban›n bir kenar uzunlu¤u a ise, Ç = 4. a ifadesinden, 48 = 4. a oldu¤undan, a = 12 cm dir.

(fiekil 2.15) de, H. noktas› karenin a¤›rl›k merkezi oldu¤undan,

Kare dik piramidin yan yüz yüksekli¤i l = |TE| = 10 cm olarak veriliyor.

THE dik üçgeninde pisagor teoremine göre,

ÖRNEK 2. 11

Taban›n bir kenar›n›n uzunlu¤u 24 cm olan kare dik piramidin yan yüz yüksekli¤i 13 cm dir. Bu piramidin tepesinden 3 cm uzakl›kta, taban›na paralel bir düzlemle kesili yor.

Elde edilen kesitin alan›n› bulal›m.

ÇÖZÜM

Verilen kare dik piramidin taban›n›n bir kenar›n›n uzunlu¤u a = 24 cm yan yüz yüksekli¤i l = 13 cm ve h′ = 3 cm dir.

HE = a 2 = 24

2 = 12 cm dir.

TH² = TE² - HE² ifadesinden,

TH² = 10² - 6² = 100 - 36 = 64 ise, TH = 8 cm dir.

Böylece, kare dik piramidin yüksekli¤i : TH = h = 8 cm dir.

Kare dik piramidin;

Yanal alan›: Y= Ç. l

2 ifadesinden, Y = 48 . 10

2 = 240 cm² dir.

Taban alan›: G = a² ifadesinden, G = 12² = 144 cm² dir.

Tüm alan›: S = Y + G ifadesinden, G = 240 + 144 = 384 cm² dir.

Hacmi: V = G. h

3 ifadesinden, V = 144 . 8

3 = 1152

3 = 384 cm³ olur.

(fiekil 2. 16) da, H noktas› karenin a¤›rl›k merkezidir. Buna göre,

Kare dik piramidin yanal yüksekli¤i, l = |TE| = 13 cm olarak veriliyor.

THE dik üçgeninde pisagor teoremine göre,

Kare dik primadin taban›n›n alan›: G = a²ifadesinden, G = 24²= 576 cm² dir.

fiekil 2.16

HE = a 2 = 24

2 = 12 cm dir.

TH² = TE²- HE² ifadesinden, TH² = 13² - 12² = 169 - 144 = 25 ise, TH = 5cm dir.

Böylece kare dik piramidin yüksekli¤i TH = h = 5 cm dir.

Kesitin alan› G ′ ise, G′

G = h′²

h² ifadesinden, G′

576 = 3² 5² ; G′

576 = 9 25 ; G′ = 576 . 9

25 = 5184

25 = 207,36 cm² olur.

ÖRNEK 2.12

Taban› kare olan bir düzgün piramidin, taban kenar uzunlu¤u 6 cm ve yüksekli¤i 4 cm dir. Bu piramidin tüm alan› ve hacmini bulal›m. Aç›n›m›n› çizelim.

ÇÖZÜM

Bir kenar uzunlu¤u a = 6 cm olan ABCD karesinin merkezi H olsun. H noktas›ndan kare düzlemine ç›k›lan dikme üzerinde |HT| = 4 cm alal›m. Böylece istenilen (T, A B C D ) piramidini elde etmifl oluruz (fiekil 2.17).

[BC] nin ortas› E noktas› olsun. TBC ikizkenar üçgen oldu¤undan, [BC] ^ [TE] dir.

fiekil 2.17

HE = AB 2 = 6

2 = 3 cm ve TH = h = 4 cm dir.

THE dik üçgeninde pisagor teoremine göre, TE ² = TH ² + HE ² ifadesinden,

TE ² = 4² + 3² = 16 + 9 = 25 ise, TE= 5 dir.

Böylece yanal yükseklik TE = l = 5 cm dir.

Düzgün kare piramidin;

Taban çevresi : Ç = 4. a ifadesinden, Ç = 4. 6 = 24 cm dir.

Yanal alan›: Y = Ç . l

2 ifadesinden, Y = 24 . 5 2 = 120

2 = 60 cm² dir.

Taban alan›: G = a² ifadesinden G = 6² = 36 cm² dir.

Tüm alan›: S = Y + G ifadesinden, S= 60 + 36 = 96 cm² dir.

fiimdi de düzgün kare piramidin aç›k fleklini çizelim.

(T, ABCD) düzgün kare piramidini çizmek için, önce bir kenar uzunlu¤u 6 cm olan ABCD karesi çizilir. Bu karenin kenarlar› üzerine yüksekli¤i 5 cm olan dört tane ikizkenar üçgenler çizilir. Böylece, düzgün kare piramidin aç›k flekli çizilmifl olur (fiekil 2. 18).

ÖRNEK 2. 13

Bir eflkenar üçgen dik piramidin taban›n›n bir kenar›n›n uzunlu¤u 12 cm ve yan yüz yüksekli¤inin, piramidin yüksekli¤i ile yapt›¤› aç›n›n ölçüsü , 45° dir. Bu piramidin tüm alan› ve hacmini bulal›m.

ÇÖZÜM

Taban›n›n bir kenar›n›n uzunlu¤u a = 12 cm olan üçgen dik piramit (T, ABC) olsun. (fiekil 2.19).

fiekil 2.18

Burada |TH| = h piramidin yüksekli¤i, |TD| = l yan yüz yüksekliktir. H noktas›

ABC üçgenin a¤›rl›k merkezidir.

ABC üçgeninde, [AD] kenarortay ayn› zamanda üçgenin yüksekli¤i oldu¤undan,

ÖRNEK 2. 14

Bir düzgün dörtyüzlünün tüm alan›

Bu düzgün dörtyüzlünün hacmini bulal›m.

ÇÖZÜM

Verilen düzgün dörtyüzlünün tüm alan›

Hacmini bulmak için, önce düzgün dörtyüzlünün bir ayr›t›n›n uzunlu¤unu bulal›m.

Bir düzgün dörtyüzlünün tüm alan›, AD = a 3

2 ifadesinden, AD = 12 3

2 = 6 3 cm dir.

HD = 1

3 AD oldu¤undan, HD = 1

3 6 3 = 2 3 cm dir.

THD diküçgeninde, s HTD = 45° oldu¤undan, THD üçgeni ikizkenar dik üçgendir.

TH = HD = 2 3 cm dir.

THD dik üçgeninde pisagor teoremine göre,

TD ² = TH² + HD² ifadesinden, TD² = 2 3 ² + 2 3² ; TD² = 12 + 12 = 24 ise, TD = 24 = 2 6 cm dir.

Eflkenar üçgen dik piramidin;

Taban çevresi : Ç = 3. a ifadesinden, Ç = 3. 12 = 36 cm dir.

Taban›n alan› : G = a² 3

4 ifadesinden, G = 12² 3

4 = 144 3

4 = 36 3 cm² dir.

Yanal alan : Y = Ç. l

2 ifadesinden, Y = 36 . 2 6

2 = 72 6

2 = 36 6 cm² dir.

Tüm alan : S = Y + G ifadesinden, S = 36 6 + 36 3 = 36 6 + 3 cm² dir.

Hacmi : V = G . h

3 ifadesinden, V = 36 3 . 2 6

3 = 72 3 . 6

3 = 24 18 = 72 2 cm³ olur.

18 3 cm² dir.

S = a² 3 ifadesinden, 18 3 cm² dir.

ÖRNEK 2. 15

ÇÖZÜM

ÖRNEK 2. 16

Bir ayr›t›n›n uzunlu¤u 12 cm olan düzgün sekizyüzlünün alan›n› ve hacmini bulal›m.

ÇÖZÜM

Verilen düzgün sekizyüzlünün bir ayr›t›n›n uzunlu¤u a = 12 cm dir.

18 3 = a² 3 ; a² = 18 ise, a= 3 2 cm dir.

Düzgün dörtyüzlünün hacmi: V = a³ 2

12 ifadesinden, V = 3 2 ³ 2

12 = 27 . 2 . 2 . 2

12 = 108

12 = 9 cm³ olur.

Taban alan› 6 3cm² olan düzgün dörtyüzlünün tüm alan›n› ve hacmini bulal›m.

Verilen düzgün dörtyüzlünün taban alan› G = 6 3 cm² dir.

Düzgün dörtyüzlünün, taban› eflkenar üçgen oldu¤undan, Taban alan›, G = a² 3

4 ifadesinden, 6 3 = a² 3

4 ; a² = 24 ise, a= 2 6 cm dir.

Böylece, düzgün dörtyüzlünün bir kenar›n›n uzunlu¤u, a = 2 6 cm dir.

Düzgün dörtyüzlünün dört yüzü de birbirine eflit oldu¤undan, Tüm alan› : S = 4 . 6 3 = 24 3 cm² dir.

Hacmi : V = a³ 2

12 ifadesinden, V = 2 6 ³ . 2

12 = 48 6 2 12 V = 48 12

12 = 96 3

12 = 8 3 cm³ olur.

Düzgün sekizyüzlünün;

Alan› : S = 2 3 a² ifadesinden, S = 2 3 12² = 2 3 . 144 = 288 3cm² dir.

Hacmi: V = 2

3 a³ ifadesinden, V = 2

3 12³ = 2

3 . 1728 = 576 2cm³ olur.

ÖRNEK 2. 17

Bir piramidin taban alan› 27 cm², yanal alan› 90 cm² ve yüksekli¤i 12 cm dir.

Yüksekli¤i tepeden 4 cm uzakl›kta tabana paralel bir düzlemle kesildi¤inde, elde edilen kesik piramidin tüm alan›n› bulal›m.

ÇÖZÜM

Verilen bir piramidin taban alan› G = 27 cm², yanal alan› Y = 90 cm², yüksekli¤i h = 12 cm ve h′ = 4 cm dir.

(fiekil 2.20) de, ABC üçgeni DEF üçgenine bezerdir.

Benzerlik oran›, h′

h = 4 12 = 1

3 = k dır.

A DEF A ABC

= k² oldu¤undan, A DEF 27 = 1

9 ,

G′ = A DEF = 27

9 = 3 cm² dir.

Üsteki küçük piramidin yanal alan› Y′ olsun Y′

Y = k² oldu¤undan, Y′

90 = 1

9 ; Y′ = 90

9 = 10 cm² dir.

Kesik piramidin yanal alan›: Y - Y′ = 90 - 10 = 80 cm² dir.

Kesik piramidin tüm alan›: S = G + G′ + Y - Y′ ifadesinden,

fiekil 2.20

ÖRNEK 2. 18

Alt taban ayr›t›n›n uzunlu¤u 8 cm, üst taban ayr›t›n›n uzunlu¤u 5 cm olan düzgün kesik kare piramidin yüksekli¤i 12 cm dir. Bu düzgün kesik kare piramidin hacmini bulal›m.

ÇÖZÜM

ÖRNEK 2. 19

Bir piramit, yanal ayr›tlar›n›n orta noktalar›ndan geçen bir düzlemle kesiliyor. Elde edilen kesik piramit, küçük piramidin 7 kat› oldu¤unu bulal›m.

ÇÖZÜM

(fiekil 2.21) deki (T, ABCD) piramidini, yan ayr›tlar›n orta noktalar›ndan geçen (A′B′C′D′) düzlemiyle keselim. (T, ABCD) piramidinin (T, A′B′C′D′) piramidinin 8 kat›na denk oldu¤unu gösterirsek, kesik piramit, küçük piramidin 7 kat›na denk olur.

Verilen düzgün kesik kare piramidin, alt taban ayr›t›n›n uzunlu¤u a = 8 cm, üst taban ayr›t›n›n uzunlu¤u, a = 5 cm ve yüksekli¤i h = 12 cm dir.

Buna göre, düzgün kesik kare piramidin;

Alt taban alan›: G = a² ifadesinden, G = 8² = 64 cm² d›r.

Üst taban alan›: G ′ = a′² ifadesinden, G ′ = 5² = 25 cm² dir.

Hacmi : V = h

3 G + G + G . G′ ifadesinden, V = 12

3 64 + 25 + 64.25 = 4 89 + 8. 5 V = 4 89 + 40 = 4 . 129 = 516 cm³ olur.

Böylece, büyük piramit, küçük piramidin 8 kat› oluyor.

O halde, kesik piramit, küçük piramidin 7 kat› olur.

T, ABCD piramidin hacmi: V = 1

3 G . h d›r.

T, A′B′C′D′ piramidin hacmi: V′ = 1 3 G′ h

2 dir.

V V′ =

1 3 G. h 1 3 G′ h

2

= 2 G

G′ dir.

G G′ = h²

h 2

2 = 4 tür. Bu de¤er yerine yaz›l›rsa, V

V′ = 8 veya V = 8 V′ olur .



Bir düzlemsel çokgen ve bu çokgensel bölgenin d›fl›ndaki sabit bir nokta alal›m.^ÖZET Sabit nokta ile çokgensel bölgenin kenarlar› üzerindeki noktalardan geçen do¤rular›n oluflturdu¤u yüzeye piramidal yüzey, çokgensel bölgenin s›n›rlad›¤› cisme de piramit denir. Çokgensel bölgeye piramidin taban›, sabit noktaya piramidin tepe noktas›, tepe noktas›ndan taban düzlemine indirilen dikmeye, piramidin yüksekli¤i denir.

Piramitler, taban›n› oluflturan çokgenin kenar say›s›na göre adland›r›l›r.

Taban› düzgün çokgen olan ve yükseklik aya¤› taban merkezinde bulunan piramide düzgün piramit denir. Bir düzgün piramidin yan yüzleri birbirine efl, yan ayr›tlar›n›n uzunluklar› ve yan yüz yüksekliklerinin uzunluklar› eflittir.

Düzgün olmayan bir piramidin tüm alan›, taban alan› ile yanal alanlar›n›n toplam›na eflittir.

S = G + Y dir.

Düzgün piramidin yanal alan›, tabana çevresi ile, yan yüz yüksekli¤inin çarp›m›n›n yar›s›na eflittir. Tüm alan› ise, taban alan› ile yanal alan›n toplam›na eflittir.

Bir piramidin hacmi, taban alan› ile yüksekli¤inin çarp›m›n›n üçte birine eflittir.

Bütün ayr›t›da ayn› uzunlukta olan üçgen piramide, düzgün dörtyüzlü denir.

Düzgün dörtyüzlünün, bütün yüzleri birbirine efl olan eflkenar üçgenlerdir. Yükseklik aya¤› da, tabandaki eflkanar üçgenin a¤›rl›k merkezidir.

Bir ayr›t›n›n uzunlu¤u a birim olan düzgün dörtyüzlünün,

Bütün ayr›tlar›n›n uzunluklar› a birim olan iki kare piramidin, tabanlar›n›n birleflmesi ile oluflan cisme düzgün sekizyüzlü denir. Düzgün sekizyüzlünün bütün yüzleri birbirine efl olan eflkenar üçgenlerdir. Sekiz tane yan yüzü vard›r.

Y = 1

2 Ç. h′ ve S = G + Y dir.

V = 1

3 G. h dir.

1. Yan yüz yüksekli¤i : h ′ = a 3

2 birimdir.

2. Cisim yüksekli¤i : h = a 6

3 birimdir.

3. Alan› : S = a² 3 birimkaredir.

4. Hacmi : V = a³ 2

12 birimküptür.

Bir ayr›t›n›n uzunlu¤u a birim alan düzgün sekizyüzlünün,

Bir piramit taban›na paralel bir düzlemle kesilirse, kesit düzlemi ve piramidin taban› aras›nda kalan cisme, kesik piramit denir. Kesik piramidin alt taban ve üst taban olmak üzere iki taban› vard›r. Bu tabanlar birbirine benzer olan çokgenlerdir. Kesik piramidin iki taban aras›ndaki uzakl›¤a kesik piramadin yüksekli¤i denir.

Düzgün bir piramidin taban›na paralel bir düzlemle kesilmesinden elde edilen kesik piramide, düzgün kesik piramit denir. Düzgün kesik piramitte alt tabanla üst taban kenar say›lar› ayn› olan benzer iki düzgün çokgendir. Yan yüzleri de birbirine efl olan ikizkenar yamuklard›r. Yan yüz yüksekliklerinin uzunluklar› birbirine eflittir.

Bir düzgün kesik piramadin yanal alan›, alt ve üst tabanlar›n›n çevreleri toplam›n›n yar›s› ile, yan yüz yüksekli¤inin çarp›m›na eflittir.

Bir kesik piramidin tüm alan›, alt taban alan› ve üst taban alan› ile yanal alan›

toplam›na eflittir.

S = G + G′ + Y dir.

Taban alanlar› G ve G′, yüksekli¤i h olan bir kesik primadin hacmi:

Verilen bir piramit tabana paralel bir düzlemle kesilirse, elde edilen küçük piramit ile kendisinin hacimleri oran›, yüksekliklerinin oran›n›n küpüne eflittir.

1. Alan› : S =2 3 a² birimkaredir.

2. Hacmi : V = 2

3 a³ birimküptür.

Y = 1

2 Ç + Ç′ . h′ d›r.

V = h

3 G + G′ + G . G′ dür.

V₁ V₂ = h¹

h₂

3 dür.

ALIfiTIRMALAR

1. Taban›n›n bir kenar›n›n uzunlu¤u 20 cm ve yan yüz yüksekli¤i 25 cm olan, kare dik piramidin yanal alan›n› ve tüm alan›n› bulunuz.

2. Yüksekli¤i 12 cm ve yan yüz yüksekli¤i 15 cm olan kare dik piramidin tüm alan›n› ve hacmini bulunuz.

3. Bir taban kenar›n›n uzunlu¤u 6 cm ve yüksekli¤i 12 cm olan, düzgün alt›gen piramidin hacmini bulunuz.

4. Dikdörtgen tabanl› dik piramidin taban kenarlar›n›n uzunluklar› 18 cm, 10 cm ve yük sekli¤i 13 cm dir. Bu piramidin hacmini bulunuz.

5. Taban›n›n bir kenar›n›n uzunlu¤u olan bir düzgün alt›gen dik piramidin yük sekli¤i 4 cm dir. Bu piramadin hacmini bulunuz.

6. Bütün alan› olan düzgün dörtyüzlünün bir ayr›t›n›n uzunlu¤unu ve hacmini bulunuz.

7 . Bir ayr›t›n›n uzunlu¤u olan bir düzgün sekizyüzlünün alan›n› ve hacmini bulunuz.

8 . Hacmi 48 cm3 olan bir eflkenar dörtgen piramidin taban köflegenlerinin uzunluklar›

s›rayla 4 cm ve 6 cm dir. Bu piramidin yüksekli¤ini bulunuz.

9. Taban alan› 60 cm2 ve yüksekli¤i 6 cm olan bir piramit, tepeden itibaren 3 cm uzakl›ktan tabana paralel bir düzlemle kesiliyor. Kesitin alan›n› ve kesik piramidin hacmini bulunuz.

10. Tabanlar› kare olan düzgün kesik piramidin alt taban ayr›t›n›n uzunlu¤u 24 cm, üst taban ayr›t›n›n uzunlu¤u 8 cm ve yan ayr›t›n›n uzunlu¤u 15 cm dir. Bu düzgün kesik piramidin tüm alan›n› ve hacmini bulunuz.

11. Yanal yüzleri eflkenar üçgen olan bir kare düzgün piramidin taban alan› 64 cm2 dir.

Buna göre, bu dik piramidin tüm alan›n› bulunuz.

12. Tabanlar› eflkanar üçgen olan kesik piramidin alt taban ayr›t›n›n uzunlu¤u 6 cm, üst taban ayr›t›n uzunlu¤u 4 cm dir. Yüksekli¤i 3 cm oldu¤una göre, bu kesik piramidin hacmini bulunuz.

13. Taban ayr›t›n›n uzunlu¤u 16 cm ve hacmi 512 cm3 olan düzgün kare piramidin 2 3 cm

100 3 cm²

6 2 cm

14. Bir piramidin taban alan› 36 cm2 dir. Taban›na paralel bir düzlemle kesiliyor.

Kesitin alan› 9 cm2 oldu¤una göre, büyük piramidin hacmi, küçük piramidin hacminin kaç kat› oldu¤unu bulunuz.

1 5 . Yanal yüzleri taban düzlemiyle 30° lik aç› yapan düzgün kare piramidin yüksekli¤i 4 cm dir. Buna göre, bu düzgün kare piramidin tüm alan›n› ve hacmini bulunuz.

TEST I I

1. Bir kare dik piramidin taban›n bir kenar›n›n uzunlu¤u 12 cm ve yüksekli¤i 8 cm oldu¤una göre, yanal alan› kaç cm²dir?

A) 240 B) 320 C) 360 D) 480

2 . Bir kare dik piramidin taban›n bir kenar›n›n uzunlu¤u 16 cm ve yan yüz yüksekli¤i 17 cm dir. Bu piramidin hacmi kaç cm³tür?

A) 1156 B) 1280 C) 1360 D) 1420

3 . Taban›n›n bir kenar›n›n uzunlu¤u 6 cm olan kare dik piramidin yüksekli¤i 4 cm dir.

Bu piramidin tüm alan› kaç cm²dir?

A) 78 B) 84 C) 96 D) 102

4 . Bir kare dik piramidin taban›n›n bir kenar›n›n uzunlu¤u 12 cm, yüksekli¤i 15 cm dir.

Bu piramidin hacmi kaç cm³ tür?

A) 360 B) 720 C) 1440 D) 2160

5 . Taban›n›n bir kenar›n›n uzunlu¤u 24 cm olan kare dik piramidin yan yüz yüksekli¤i 20 cm dir. Bu piramidin hacmi kaç cm³tür?

A) 2885 B) 2960 C) 3024 D) 3072

✎

6. Bir düzgün dörtyüzlünün kaç ayr›t› vard›r?

A) 4 B) 6 C) 8 D) 12

7 . Bir düzgün dörtyüzlünün yüksekli¤i oldu¤una göre, hacmi kaç cm³t ü r ?

8. Bir düzgün sekizyüzlünün alan›n›n say›sal de¤eri ile hacminin say›sal de¤erine eflittir. Bu sekizyüzlünün bir ayr›t›n›n uzunlu¤u kaç birimdir?

9. Taban› eflkenar üçgen olan bir dik piramidin taban alan›n›n say›sal de¤eri ile hacminin say›sal de¤eri birbirine eflit ise, yüksekli¤i kaç birimdir?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 6

10. Bir kare dik piramidin taban alan› 100 cm2 ve yüksekli¤i 12 cm dir. Bu kare dik piramidin tüm alan› kaç cm2 dir?

A) 340 B) 360 C) 420 D) 480

2 3 cm A) 9 2

B) 12 2 C) 18 2 D) 36 2

A) 3 2 B) 3 3 C) 3 5 D) 3 6

11. Taban çevre uzunluklar› eflit, yan yüz yüksekliklerinin oran› olan, ayn› tür iki dik piramidin yanal alanlar›n›n oran› kaçt›r?

12. Taban alanlar› eflit olan iki dik piramidin hacimleri oran›n›n olmas› için, yüksek liklerinin oran› kaçt›r?

1 3 . Alt taban kenar›n›n uzunlu¤u 10 cm, üst taban kenar›n›n uzunlu¤u 5 cm ve yüksekli¤i 6 cm olan kare dik kesik piramidin hacmi kaç cm3 tür?

A) 250 B) 300 C) 350 D) 400

14. Kare dik piramidin taban›n›n bir ayr›t›n›n uzunlu¤u 12 cm tüm alan› 384 cm²ise, bu piramidin hacmi kaç cm³ tür?

A) 384 B) 480 C) 576 D) 672

1 3

1 3 A) 1

12 B) 1

9 C) 1 6 D) 1 3

A) 1 27 B) 1

18 C) 1 9 D) 1 3

1 5 . Bir taban ayr›t›n›n uzunlu¤u 8 cm ve yüksekli¤i 12 cm olan kare dik piramit, tepeden 3 cm uzakl›kta tabana paralel bir düzlemle kesiliyor. Bu kesitin alan› kaç cm²dir?

A) 4 B) 6 C) 8 D) 12

16. (fiekil 2 .22 ) deki kesik piramitte,

T ( A′B′C′) piramidinin hacmi 8 cm³i s e , ( T, ABC) piramidinin hacmi kaç cm³ t ü r ? A) 64

B) 125 C) 128 D) 175

17. Bir kare dik piramit, tepeden itibaren oran›nda taban, düzlemine paralel bir düzlemle kesiliyor. Kesitin taban alan› 8 cm²ise, ilk piramidin taban alan› kaç cm²dir?

A) 24 B) 72 C) 96 D) 192

A ABC A A′B′C′

= 25

4 dür.

1 3

fiekil 2 .22

18. Taban alan› 16 cm² olan bir kare dik piramit (fiekil 3.23) deki gibi tabana paralel yüzey oluflturacak flekilde kesiliyor. Elde edilen yüzeyin alan› 4 cm² ve kesik piramidin yüksekli¤i 6 cm oldu¤una göre, bu kesik piramidin hacmi kaç cm³ tür?

A) 28 B) 56 C) 84 D) 112

19. Bütün ayr›tlar›n›n uzunluklar› toplam› 54 cm olan düzgün dörtyüzlünün alan›, kaç cm²dir?

20. Tüm ayr›t uzunluklar›n›n herbiri 6 cm olan kare dik piramidin hacmi kaç cm³tür?

fiekil 2 .23

A) 27 3 B) 81 3 C) 162 3 D) 243 3

A) 36 2 B) 72 C) 72 2

D) 108