KESİKLİ OLASILIK DAĞILIMLARI

(1)

KESİKLİ OLASILIK DAĞILIMLARI Kesikli düzgün dağılım

Kesikli düzgün dağılımların en basitlerindendir ve rassal değişkenlerin her birinin eşit olasılığa sahip olduğunu farz eder.

Kesikli düzgün dağılım: Eğer X rassal değişkeninin x₁,x₂,x₃,...x_k değerleri ile eşit olasılıklara sahip olduğu kabul edilirse, bu durumda kesikli düzgün dağılım aşağıdaki şekilde verilebilir;

 

^x ^x ^x ^x_k

k k x

f 1, , ,...

;   ₁ ₂

Örnek : İçinde bir tane 40 Watt, bir tane 60 Watt, bir tane 75 Watt ve bir tane 100 Watt ampul bulunan ( Bunların her biri S = {40, 60, 75, 100} örnek uzayının bir elemanıdır) bir kutudan rassal olarak bir ampul çekildiğinde bunların geliş olasılıkları ¼ tür. Bundan dolayı düzgün dağılım şöyle verilebilir;

 

^, ⁴⁰^,⁶⁰^,⁷⁵^,¹⁰⁰

4 4 1

;  x

x f

Örnek : Bir zar atıldığında örnek uzayı S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} şeklinde meydana gelir ve her birinin olasılığı 1/6 dır. Buna göre kesikli düzgün dağılım,

 

^, ¹^,²^,³^,⁴^,⁵^,⁶

6 6 1

;  x

x f

olur. Düzgün dağılımın grafik olarak gösterimi eşit büyüklüklere sahip dörtgenler yardımıyla bir histogram olarak ifade edilebilir. Örnek 7.2 için histogram Şekil 7.1’ de görülmektedir.

Örnek : belirli bir projeye nezaret etmek üzere bir memurun 10 aday arasından rassal olarak seçildiğini varsayalım. Her memurun seçilme olasılığı eşit olup 1/10’ dur. Memurların 1’ den 10’ a kadar numaralandığını farz edersek dağılım aşağıdaki gibi bulunur.



^x^;¹⁰



^ ¹ ^,^x^¹^,²^,...¹⁰

f

(2)

Teorem : ^f



^x^;^k



kesikli düzgün dağılımının ortalama ve varyansı aşağıdaki gibidir;

 

k x k

x

k

i i k

i



 





 ¹

2 2

1 ve







İspat:

      

 



k

i

k

i

k

i i i

i

i k

x k

k x x f x X

E

1 1

; 1



 

     

   

 







 











k

i

k

i i i

k

i

i i

k x k

x

k x f x

X E

1

2 2

1

2 2 2

;

 





Örnek : Örnek 7.2’ nin ortalama ve varyansı şöyle bulunabilir:

     

12 35 6

5 . 3 6 5

. 3 2 5 . 3 1

5 . 6 3

6 5 4 3 2 1

2 2

2

2       



 



 

 



Binomial ve multinomial dağılımlar

Bir deney çoğunlukla başarılı yada başarısız olarak sonuçlanır. Bir montaj hattındaki parçaların testleri sonucu kusurlu yada kusursuz olarak çıkabilir. Bernoulli prosesleri olarak da adlandırılabilen bir Binomial deney aşağıdaki özelliklere sahiptir:

1. Deney, n adet tekrarlı denemeden oluşur.

2. Her denemenin sonucu bir başarı yada başarısızlık (hata) olarak sınıflandırılabilir.

3. Başarının olasılığı (p) her deneme için sabit kalır.

4. Tekrarlı denemeler birbirinden bağımsızdır.

(3)

Bir üretim prosesinden rassal olarak üç parçanın seçildiğini, muayene edildiğini, kusurlu yada kusursuz (normal) olarak sınıflandırıldığını farz edelim ve bu Bernoulli kümemizi oluştursun.

Kusurlu bir sonuç, bir başarı olarak göz önüne alındığında, başarılıların sayısı ve mümkün sonuçları tablodaki gibi olacaktır.

SONUÇ X

NNN 0

NKN 1

NNK 1

KNN 1

NKK 2

KNK 2

KKN 2

KKK 3

Üretimin %25’ inin kusurlu olduğunu kabul ederek,

       

64 9 4 3 4 1 4

3 



 







 







 





 P N P K P N NKN

P

bulunur. Benzer şekilde diğer olasılıklar da hesaplanırsa aşağıdaki tablo elde edilir.

x 0 1 2 3

f(x) 27/64 27/64 9/64 1/64

n adet Bernoulli deneyindeki X adet başarılı sonuç sayısı Binomial rassal değişken olarak adlandırılır. Bu kesikli rassal değişkenin olasılık dağılımı ise Binomial dağılım olarak tanımlanır ve bunlar deney sayılarına ve verilen bir deneydeki bir başarının olasılığına bağlı olduklarından ^b



^x^;ⁿ^,^p



ile gösterilir. Bu durumda X’ in olasılık dağılımı için kusurluların sayısı

   

64 9 4 ,1 3

; 2 2

2 



 



 



 f b

X P

(4)

olarak yazılabilir. Bir Binomial deneyde n tekrar sayısındaki x adet başarılı sayıya ulaşılmasının olasılığı bulunmak isteniyor. Öncelikle x başarılıların ve n-x kusurluların olasılığı belirlenmelidir. Deneyler birbirinden bağımsız olduğundan farklı sonuçlardan karşımıza çıkan tüm olasılıkları çarpabiliriz. Her başarı sonucu p olasılığı ile meydana gelir ve her yanlış sonuç ise q=1-p olasılığı ile oluşur. Bundan dolayı belirli bir andaki olasılık p^xqⁿ^^x şeklinde meydana gelecektir. x adet başarılı ve n-x adet başarısızlığa sahip deneydeki örnek noktalarının toplam sayısı bir grupta x, diğerinde n-x olan iki gruptaki n adet sonucun sayısına eşittir ve 







 x

n ile verilir.

Binomial Dağılım: Bir bernoulli deneyi p olasılığına sahip bir başarı yada q=1-p olasılığına sahip bir başarısızlık ile sonuçlanabilir. N adet bağımsız deneydeki başarılı sonuçların sayısı olan X Binomial rassal değişkeninin olasılık dağılımı,

 

^p ^q ^x ⁿ

x p n n x

b ; ,  ^x ⁿ ^x 0,1,2,3,...,







 ^

Örnek : Bir parçanın uygulanan bir şok testinden geçme olasılığı 3/4 ‘ tür. Buna göre alınan herhangi bir dört parçanın tam olarak 2 tanesinin testten geçme olasılığını bulunuz.

Denemeler birbirinden bağımsızdır ve her bir deneme için p=3/4’ tür.

128 27 4

3

! 2

! 4 4

1 4 3 2 4 4 ,3 4

;

2 ₄

2 2 2



 



 



 



 















 

 b

Örnek : Bir para 6 kere atıldığında tam olarak 2 yazı gelmesi olasılığı nedir?

64 15 2

1 2 1

! 4

! 2

! ) 6 6 (

2 6 2

 



 



 



 



 





X P

Örnek : Bir para 6 kere atıldığında en azından 4 yazı gelmesi olasılığı nedir?

32 11 2

1 2 1 6 6 2

1 2 1 5 6 2

1 2 1 4 ) 6 4 (

6 6 6 5

6 5 4

6 4

 



 



 



 















 



 



 















 



 



 

















X P

(5)

Bazı durumlarda ^P



^X ^^r



^yada ^P



^a^ ^X ^^b



nin bulunması ile ilgili problemlerle de karşılaşılabilir.

Örnek : Bir para 3 kere atıldığında a. 3 yazı

b. 2 yazı ve 1 tura c. 2 tura ve 1 yazı

d. 3 tura gelmesi olasılıkları nedir?

a) (1) 1/8

8 ) 1 1 2 (

1 2 1 3

3 ³ ⁰

 



 



 



 



 



 













b) 3/8

2 1 4 ) 1 3 2 ( 1 2 1 2

3 ² ¹





 







 



 



 



 



 













c) 3/8

4 1 2 ) 1 3 2 (

1 2 1 1

3 ¹ ²





 







 



 



 



 



 













d) 1/8

2 1 2 1 0

3 ⁰ ³

 



 



 



 













Örnek : Ölümcül bir kan hastalığında hastaların tedavi edilme olasılığı 0.4’ tür. Eğer 15 kişinin bu hastalığa yakalandığı biliniyorsa,

a) En azından 10 hastanın kurtulma olasılığını bulunuz.

b) 3 ile 8 arasında hastanın kurtulma olasılığını bulunuz.

c) Tam olarak 5 hastanın kurtulma olasılığını bulunuz.

a)

   

 

0338 . 0

9662 . 0 1

4 . 0 , 15

; 1

10 1

10

9

0





















 x

x b X P X

P

b)

(6)

   

8779 . 0

0271 . 0 9050 . 0

4 . 0 , 15

; 4

. 0 , 15

;

4 . 0 , 15

; 8

3

2

0 8

3

















x x

x

x b x

b x b X

P

c)

   

1859 . 0

2173 . 0 4032 . 0

4 . 0 , 15

; 4

. 0 , 15

;

4 . 0 , 15

; 5 5

4

0 5

0















 x

x

x b x

b b X

P

Binomial dağılım birçok bilim alanında uygulaması olan bir dağılımdır. Bir endüstri mühendisi endüstriyel proseslerdeki kusur oranları ile ilgilenmek zorundadır. Çoğunlukla kalite kontrol ölçümleri ve proseslerden yapılan örneklemeler binomial dağılıma göre sonuçlandırılır. Binomial dağılım tıbbi ve askeri alanlarda da kendine yer bulur. Her iki bilim dalı için de bir başarılı yada hatalı sonuç büyük önem taşır.

Teorem : ^b



^x^;¹⁵^,⁰^.⁴



binomial dağılımının ortalama ve varyansı aşağıdaki gibidir;

npq

np 

 ²



Örnek : Bir firmanın ürettiği vidalar, birbirlerinden bağımsız olarak 0.01 olasılıkla kusurlu olabilmektedir. Eğer vidalar 10 luk paketler halinde satılıyorlarsa, iki yada daha fazla vidanın kusurlu çıkma olasılığı nedir?

X, kusurlu vida sayısı olsun. X, (10, 0.01) ile binomialdir.

P(X ≥ 2) = 1 – P(X<2) = 1 – P(X=0) – P(X=1)

= 1 – (10 0)(0.01)⁰(0.99)¹⁰– (10 1)(0.01)¹ (0.99)⁹ = 0.004

(7)

Hipergeometrik dağılım

Binomial ve hipergeometrik dağılım arasındaki fark yapılan örneklemededir.

Hipergeometrik uygulama tipleri binomial dağılımdakilere oldukça benzer. İstatistikte genellikle belirli bir kategorideki gözlem sayılarının olasılıklarının hesaplanması ile ilgileniriz. Binomial dağılımda deneyler arasında bağımsızlık esastır. Eğer bir grup nesneye binomial dağılım uygulanırsa, örnekleme türü her birim gözlemlendikten sonra tekrar yerine konulmak suretiyle yapılmalıdır. Diğer taraftan hipergeometrik dağılım, bağımsızlık gerektirmez ve tekrar yerine konulmadan örnekleme yapılabilir. Hipergeometrik dağılım özellikle kabul örneklemesi, elektronik test ve kalite güvenilirliğinde kullanılır. Bu gibi örneklemelerde test edilen yada kullanılan birim kullanılamaz hale geleceğinden tekrar yerine konulamayacaktır.

Örnek olarak 52’ lik bir oyun destesinden beş çekişte 3 kırmızı gelmesi olasılığı, kartlar her çekilişten sonra karıştırıldığı ve çekilen kartlar tekrar yerine konulmadığı durumlar için binomial dağılım kullanılarak bulunamaz. Eğer 5 kart rassal olarak çekilirse, 26 kırmızıdan 3 kırmızı kart seçme ve 26 siyahtan 2 siyah çekme olasılığı göz önüne alınacaktır.







 3

26 değişik kırmızı seçme yolu ve 







 2

26 siyah seçme yolu vardır. Toplam 3 kırmızı ve 2

siyah seçme yollarının toplam sayısı (5 çekilişte) 







 3 26







 2

26 dir. Herhangi bir 5 kartın 52 adet

karttan çekilme yollarının toplam sayısı 







 5

52 dir. Bu durumda 3 kırmızı ve 2 siyahtan oluşan

5 kartın, yerine konulmadan seçilme olasılığı,

3251 . 0 5

52 2 26 3 26



























olacaktır. Genelde N adet birimden n adet rassal örnek alındığında, k adet birimden düzgün (başarılı) olarak adlandırılan x adet düzgünün ve N-k adet birimden hatalı (başarısız) olarak adlandırılan n-x hatalının seçiminin olasılığı, hipergeometrik dağılıma uyar.

(8)

a) N adet birimden n adetlik rassal örnek hacmi yerine yerleştirilmeden seçilir.

b) N birimden k adedi düzgün ve N-k adedi hatalı olarak sınıflandırılır.

Bir hipergeometrik dağılımda düzgünlerin (başarılıların) x sayısı, hipergeometrik rassal değişken olarak adlandırılır. Hipergeometrik dağılım, ^h



^x^;^N^,ⁿ^,^k



ile gösterilir.

Örnek : 5 kişilik bir komite, 5 fizikçi ve 3 kimyacıdan rassal olarak seçilerek oluşturuluyor.

Komitedeki kimyacıların sayısının olasılık dağılımını bulunuz.

X rassal değişkeni komitedeki kimyacıların sayısını göstersin.

   

56 1 5

8 5 5 0 3 3 , 5 , 8

; 0

0 



























 h

X P

   

56 15 5

8 4 5 1 3 3 , 5 , 8

; 1

1 



























 h

X P

   

56 30 5

8 3 5 2 3 3 , 5 , 8

; 2

2 



























 h

X P

   

56 10 5

8 2 5 3 3 3 , 5 , 8

; 3

3 



























 h

X P

X’ in hipergeometrik dağılımının tablosu aşağıdaki gibidir:

x 0 1 2 3



^x^;⁸^,⁵^,³



h 1/56 15/56 30/56 10/56

(9)

Olasılık dağılımı aşağıdaki formül yardımıyla elde edilebilir:

 

⁰^,¹^,²^,³

5 8 5

5 3 3 , 5 , 8

; 

















 









 x x x

x h

Bu formül genelleştirilirse aşağıdaki tanım elde edilir.

Hipergeometrik Dağılım: k adet düzgün (başarılı) ve N-k adet hatalı (başarısız) olarak adlandırılmak şartıyla, N adet birimden seçilen n adetlik rassal örnek hacmindeki düzgün (başarılı) birim sayısı x hipergeometrik rassal değişkeninin olasılık dağılımı,

 

^x ⁿ

n N

x n x k k n N x

h 0,1,2,...

k - N ,

,

; 

















 











Örnek : Her biri 40 parçadan oluşan partiler, eğer içlerinde 3’ den fazla hatalı yoksa kabul edilebilir olarak adlandırılmaktadır. Partiler için örnekleme prosedürü, rassal olarak 5 parça seçmek ve eğer bir hatalı bulunursa partiyi reddetmek şeklindedir. Eğer tüm partide3 hatalı mevcutsa, örnekte tam olarak 1 hatalının bulunma olasılığı nedir?

n=5, N=40, k=3 ve x=1 için hipergeometrik dağılım yardımıyla aşağıdaki sonuç bulunur;

 

0.3011

5 40

4 37 1

3 3 , 5 , 40

;

1 

























 h

Teorem : ^h



^x^;^N^,ⁿ^,^k



hipergeometrik dağılımının ortalama ve varyansı aşağıdaki gibidir:

 nk

 



 

 k k

nn

N 1

2

(10)

Örnek : İmal edilen 25 cıvatadan 6 tanesinin kusurlu olduğu biliniyor. Rassal olarak 10 cıvata aldığımızı ve bir kutuya yerleştirdiğimizi kabul edelim. Kutuda hiç kusurlu cıvata bulunmaması olasılığı nedir?

X, kutudaki kusurlu cıvata sayısını göstersin. X, n = 10, N = 25 ve k = 6 ile hipergeometrik dağılımdır.

P(X=0) = (6 0)(19 10) / (25 10) = 0.028

Eğer n, N’ e az bağımlı ise, her çekiliş için olasılık çok az değişecektir. Bu durumda hipergeometrik dağılım p k N parametreli bir binomial dağılıma dönüştürülebilir. Burada ortalama ve varyans,

N np  nk

 



 



 



 N

k N n k

npq 1



olur.

Örnek : Bir otomobil lastiği üreticisi bir toptancıya gönderdiği 5000 lastikten 1000 tanesinin hafifçe inik olduğunu haber alıyor. Eğer herhangi birisi bu toptancıdan 10 lastik alırsa, tam olarak 3 tanesinin inik çıkma olasılığını bulunuz.

N=5000’ e göre n=10’ luk örnek hacmi ihmal edilebilir ve binomial dağılım kullanılabilir.

   

2013 0

6778 0 8791 0

2 . 0 , 10

; 2

. 0 , 10

;

2 . 0 , 10

; 3 1000 , 10 , 5000

; 3

2

0 3

0

.

. - .

x b x

b b h

x x











 

(11)

Poisson dağılımı ve poisson prosesi

Bir X rassal değişkeninin nümerik değerleri, verilen bir zaman aralığı yada belirli bir bölgedeki sonuçların sayısını gösteriyorsa, bunlar poisson deneyleri olarak adlandırılır.

Verilen zaman aralığı dakika, gün, hafta yada yıl bazında olabilir. Poisson deneyleri bir bürodaki 1 saatlik telefon konuşmalarının sayısı, kış süresince kardan dolayı kapalı okul günlerinin sayısını gösterebilir. Bölgeler ise bir alan, hacim yada bir metal parçası olabilir.

Örneğin verilen bir kültürdeki bakteri sayısı, sayfa başına daktilo hataları gibi. Bir poisson deneyi aşağıdaki özelliklere sahip poisson prosesinden elde edilen sonuçlara sahiptir;

1. Verilen bir zaman aralığında yada belirli bir bölgede oluşan sonuçların sayısı, başka bir zaman aralığı yada bölgedeki değerlerden bağımsızdır.

2. Çok kısa bir zaman aralığı süresince yada küçük bir bölgede meydana gelecek tek bir sonucun olasılığı, zaman aralıklarının uzunluğu yada bölgenin büyüklüğü ile orantılıdır ve bu zaman aralığı yada bölgenin dışında meydana gelen sonuçların sayısına bağımlı değildir.

3. Böyle bir kısa zaman aralığında yada küçük bir bölgede meydana gelen birden fazla sonucun olasılığı ihmal edilebilir.

Bir poisson deneyinde meydana gelen sonuçların sayısı olan X, poisson rassal değişkeni olarak adlandırılır ve olasılık dağılımına da poisson dağılımı denir. Sonuçların ortalama sayısı  t yardımıyla hesaplanır. Burada t, belirlenen zaman yada bölgeyi gösterir. Bunun olasılıkları, sonuçların meydana gelme oranı olan  ’ ya bağlı olduğundan



^x ^t



p ; sembolü ile gösterilir.

Poisson dağılımı: Verilen bir t zaman aralığı yada bölgede oluşan sonuçların sayısını gösteren X poisson rassal değişkeninin olasılık dağılımı şöyle verilebilir:

   

_

, 2 , 1 , 0

;  



x! x λt t e

x p

λt x



 , birim zaman yada bölge başına elde edilen sonuçların (gözlemlerin) ortalama sayısı, e=2.71828. . .

(12)

Tablo A2, poisson olasılıklarını P



r t



p



x t



r

x



 ;

;

0





 yi,  ’ nin 0.1 ile 18 değerleri t arasında göstermektedir.

Örnek : Bir laboratuar deneyinde 1 milisaniye süresince bir sayaçtan geçen radyoaktif partiküllerin ortalama sayısı 4’ tür. Verilen herhangi bir milisaniyede 6 partikülün sayaçtan geçmesi olasılığı nedir?

4 ,

6 

 t

x  için poisson dağılımı yardımıyla sonuç bulunabilir.

     

1042 . 0

7851 . 0 8893 . 0 4

; 4

6 ; 4 4

; 6

5

0 6

0 6 4











 





x p x

! p p e

x x

Örnek : Bir limana her gün ortalama 10 petrol tankeri gelmektedir. Limandaki tesisler günde en fazla 15 tankere hizmet verebilmektedir. Herhangi bir gün için gelen bir tankerin geri gönderilmesinin olasılığı nedir?

X günde gelen tanker sayısını göstersin. Çözüm Tablo A2 yardımıyla,

   

 

0487 . 0

9513 . 0 1

10 1

15 1

15

0





















x

x;

p X P X

P

Binomial dağılım gibi poisson dağılımı da kalite kontrol, kalite güvencesi ve kabul örneklemesi alanlarında kullanılır. Ayrıca güvenilirlik teorisi ve kuyruk teorisinde kullanılan bazı önemli sürekli dağılımlar da poisson prosesine bağlı olarak gelişirler.

Eğer n, p0 ve np sabit kaldığında binomial dağılım yerine poisson dağılımı kullanılır. Eğer n çok büyükse ve p, 0’ a yakınsa,  np ile binomial dağılım poisson dağılımına dönüşür. Pratikte eğer deneylerin sayısı en az 50 ise



ⁿ^⁵⁰



ve np 5’ den küçük ise bu durum uygulanır.

(13)

Teorem 7.7: X, ^b



^x^;ⁿ^,^p



olasılık dağılımına sahip bir binomial rassal değişken olsun.





n , p0 ve  np sabit olduğunda,



x;n,p



p



x;



b 

olur.

Örnek 7.30: Bir cam üretim hattında arzu edilmeyen kusurlu parçalar üretilmektedir. Üretilen her 1000 birimden ortalama 1 tanesinin bir yada daha fazla kusurunun olduğu bilinmektedir.

8000 adetlik bir rassal örnekte 7’ den daha az birimin kusurlu olması olasılığı nedir?

Bu n=8000 ve p=0.001 ile binomial bir deneydir. p, 0’ a çok yakın ve n çok büyük bir değer olduğundan  ^



⁸⁰⁰⁰



⁰^.⁰⁰¹



^⁸ parametresi ile poisson dağılımına yaklaşım kullanılabilir.

       

 









6

0

6

0

3134 . 0 8

; 001

. 0 , 8000

; 7

x x

x p x

b X

P

Örnek 7.31: Belirli bir üretim tesisinde üretilen cihazların %10 u kusurludur. Rassal olarak seçilen bir örnek kütledeki 10 cihazda tam olarak 2 kusurlu bulunması olasılığını binomial dağılımla ve binomial dağılıma poission yaklaşımı ile bulunuz.

P(2 kusurlu) =

  

⁰^.¹ ⁰^.⁹



⁰^.¹⁹

2

10 ₂ ₈

 









1 ) 1 . 0 )(

10

( 



  np

P(2 kusurlu) =

 

1839 .

! 0 2 1 ² ¹

 e