I. Genel Bilgiler
Bu kitabın okuyucusundan lise matematiği ve iktisat müfredatlarındaki matematik derslerinde kapsanan konularda yetkin olması beklenir. Buna göre (özellikler üslü sayılar ve kesirlerle ilgili) her türlü temel işlemler, iki bilinmeyenli denklem sistemi, düzlemde doğru denklemleri, temel fonksiyonların grafikleri, trigonometrik işlem- ler, temel türev alma teknikleri vb. konularının iyi bilindiği düşünülür. Aşağıda ki- tapta kullanılan bazı temel kavramların ve notasyonun tekrarı vardır.
Kümeler:
Küme belirli nesneler topluluğudur ve büyük harflerle gösterilir. Bir x nesnesi A kümesine aitse A kümesinin elemanıdır denir ve x ∈ A ile gösterilir. Bir x nesnesi A’nın elemanı değilse x ∉ A yazılır. A = {x ∈ ℝ: x > 5}5’ten büyük reel sayılar kümesi (ℝ = reel sayılar kümesi) olmak üzere 6 ∈ A, 4 ∉ A olur. Aşağıdaki notas- yon standarttır:
• Hiç bir elemanı olmayan kümeye boş küme denir ve ∅ ile gösterilir. Örne- ğin {x ∈ ℝ: x2 = −1} = ∅.
• A ve B kümelerinin kesişimi, A ∩ B, her iki kümede ortak olan elemanları gös- terir: A ∩ B = {x: x ∈ A ve x ∈ B}.
A ∩ B = ∅ ise A ve B ayrık kümelerdir.
• A ve B kümelerinin bileşimi, A ∪ B, her iki kümenin tüm elemanlarını içerir:
A ∪ B = {x: x ∈ A veya x ∈ B}.
• Her x ∈ A için x ∈ B ise, A kümesi B kümesinin alt kümesidir denir ve A ⊆ B ile gösterilir. Eğer A ⊆ B ve x ∈ B iken x ∉ A olacak şekilde elemanlar varsa, A kümesi B’nin has alt kümesidir denir ve A ⊂ B ile gösterilir.
• Eğer A ⊆ B ve B ⊆ A ise, yani her x ∈ A için x ∈ B ve her x ∈ B için x ∈ A ise, iki küme eşittir denir ve A = B ile gösterilir.
A = B, a.v.a a ∈ A ↔ a ∈ B.
• A ve B kümelerinin farkı: A\B = {x: x ∈ A, x ∉ B}.
A ∩ B = ∅ ise A\B = A; A\B = ∅ ise A = B olur.
• Eğer A ⊂ B ise Ac = B\A A kümesinin B kümesine göre tamlayanıdır (tümle- yenidir). Buna göre Ac∩ B = B\A olur.
• Bir kümenin bütün alt kümelerinin kümesi, güç kümesi, 2A ya da P(A) ile göste- rilir: 2A = {B: B ⊆ A}. Buna ∅ ve A’nın kendisi de dahildir.
• Aşağıdaki kurallar sıklıkla karşılaşılır (burada Ω evrensel küme olup bir bağ- lamda bütün elemanları içeren kümedir. Örneğin ℝ birçok durumda evrensel kü- medir).
A ∪ ∅ =A, A ∩ ∅ = ∅ A ∩ Ω = A
A ∪ A= A A ∩ A = A A ∪ Ac = Ω A ∩ Ac = ∅
A ∪ B = B ∪ A
A ∩ B = B ∩ A (değişme)
A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C
A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C (birleşme) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) (dağılma) (A ∪ B)c = Ac ∩ Bc
(A ∩ B)c = Ac ∪ Bc. (De Morgan)
De Morgan Yasalarının ispatı: (A ∪ B)c = Ac ∩ Bc. X = Y için X ⊆ Y ve Y ⊆ X olmalıdır.
(Ac ∩ Bc) ⊆ (A ∪ B)c: x ∈ (Ac ∩ Bc) → x ∈ Ac ve x ∈ Bc dolayısıyla x ∉ A ve x ∉ B → x ∉ (A ∪ B) → x ∈ (A ∪ B)c.
(A ∪ B)c ⊆ (Ac ∩ Bc): x ∈ (A ∪ B)c → x ∉ (A ∪ B) → x ∈ Ac ve x ∈ Bc → x ∈ (Ac
∩ Bc).
A ve B kümelerinin Kartezyen çarpımı
A×B = {(a, b): a ∈ A, b ∈ B},
(a, b) sıralı ikililerinden oluşur. Burada çarpımdaki sıraya göre sıralama önemlidir.
Örneğin A = {1, 2, 3} ve B = {a, b, c} ise,
A×B = {(1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c), (3, a), (3, b), (3, c)}
B×A = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3), (c, 1), (c, 2), (c, 3)}
olur ve bu iki küme farklıdır.
ℝ2 = ℝ × ℝ = {(x, y): x ∈ ℝ , y ∈ ℝ reel sayı sıralı ikilileri olup Kartezyen düzlem- dir. Burada da (2, 3) ve (3, 2) farklı elamanlardır.
ℝn = ℝ × ℝ × ℝ ×… ℝ sıralı (x1, x2, x3, … xn) reel sayı n-vektörleridir.
Reel Sayılar:
ℝ reel sayılar kümesinin temel alt kümeleri aşağıdaki gibidir:
ℕ = doğal sayılar = {1, 2, 3, 4, …}
ℤ = tamsayılar = {…,–4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, ….}
ℚ = rasyonel sayılar = {p/q: p, q ∈ ℤ, q ≠ 0}
ℚc = irrasyonel sayılar = ℝ/ℚ ℝ = ℚ ∪ ℚc
(a, b) = {x ∈ ℝ: a < x < b, a ≠ b ∈ ℝ } [a, b] = {x ∈ ℝ: a ≤ x ≤ b, a ≠ b ∈ ℝ } (a, b] = {x ∈ ℝ: a < x ≤ b, a ≠ b ∈ ℝ }.
Genişletilmiş reel sayılar ℝ ve ∞, −∞ sembollerinden oluşur ve ℝ ∪ {−∞, +∞} kü- mesinde x ∈ ℝ, −∞ < x < ∞ olarak düşünülür. Yani bir reel sayı ne kadar büyük olursa olsun sonludur: 10125 sonludur. Her ne kadar ∞ bir sayı değilse de bazı işlemler
tanımlıdır: x ∈ ℝ olmak üzere
x + ∞ = ∞, x – ∞ = –∞
x.∞ = ∞, x.–∞ = –∞ (x ≠ 0), 0 × (∞) tanımsız (bazı kaynaklarda 0 × (+∞) = 0) x/∞ = 0, x/–∞ = 0, x/0 = ∞ (x ≠ 0),
(x > 1) x∞ = ∞, x–∞ = 0 (x < 1) x∞ = 0, x–∞ = ∞
(+∞) × (+∞) = (−∞) × (−∞) = +∞, (+∞) × (−∞) = (−∞) × (+∞) = −∞.
(+∞) + (−∞) tanımsız
(−∞, 𝑎) = {x ∈ ℝ: –∞ < x < a, a ∈ ℝ}
(a, ∞) = {x ∈ ℝ: a < x < ∞, a ∈ ℝ}
Fonksiyonlar:
A ve B kümeleri arasında bir RAB bağıntısı A×B çarpımının herhangi bir altküme- sidir: RAB ⊆ A × B. Örneğin A = {1, 2, 3} ve B = {a, b, c} ise, RAB = {(1, a), (1, b), (2, b), (2, c), (3, c)} bir bağıntıdır; R’AB = {(3, a), (3, b), (3, c)} bir başka bağıntıdır.
A ve B kümeleri arasında
(a, b) ∈ RAB ve (a, c) ∈ RAB→ b = c
özelliğini sağlayan bağıntılara fonksiyon denir. Buna göre bir fonksiyon için A kü- mesinin bir elemanı B kümesinin sadece bir elemanı ile bağıntılı olabilir.
Örneğin A = {1, 2, 3} ve B = {a, b, c} ise, RAB = {(1, a), (1, b), (2, b), (2, c), (3, c)}
bir bağıntıdır ama fonksiyon değildir: (1, a) ∈ RAB ve (1, b) ∈ RAB ama a ≠ b.
RAB = {(1, a), (2, b)}, RAB = {(1, a), (2, a), (3, a)} bağıntılarının ikisi de fonksiyon- dur.
A ve B arasında fonksiyonları f: A → B olarak gösterilir. Burada A fonksiyonun tanım kümesidir ve a ∈ A için f(a) ∈ B ‘a’ elemanının f altındaki görüntüsüdür.
A kümesinin görüntüsü f(A) = {b ∈ B: f(a) = b} ⊆ B olarak tanımlanır ve fonksi- yonun değer kümesi olarak bilinir. Örneğin, A = {1, 2, 3} ve f(a) = a2 kuralı ile tanımlı f: A → ℝ için f(A) = {1, 4, 9} ⊂ ℝ olur.
Bir f: A → B için (a, f(a)) sıralı ikililerinden oluşan
{(a, f(a)): a ∈ A, f(a) ∈ f(A) ⊂ B} ⊂ A × f(A) ⊂ A × B
kümesine fonksiyonun grafiği denir. Dikkat edilirse fonksiyonun grafiği bir küme- dir. Bu kümeyi A×B düzleminde bir “grafik” olarak gösterebiliriz. Bu da genellikle reel sayılarla tanımlı fonksiyonlar için ℝ×ℝ Kartezyen düzlemde yapılır.
f: A → B ve x, y ∈ A için, f(x) = f(y) a.v.a x = y ise, f birebir fonksiyondur: her a’ya sadece bir b karşı gelir.
Örneğin X = {1, 2, 3} ve B = {a, b, c} ise, RXB = {(1, a), (2, b)} birebir fonksiyondur, ama RXB = {(1, a), (2, a), (3, b)} fonksiyonu birebir değildir: f(1) = f(2) = a.
Eğer f(A) = B ise, fonksiyon örten fonksiyondur. Bir f fonksiyonu hem birebir hem de örtense, fonksiyona eşleşme (bijeksiyon) denir. Bir eşleşme altında B kümesinin her elemanı A kümesinin farklı bir elemanının görüntüsüdür.
Örneğin X = {1, 2, 3} ve B = {a, b, c} ise, RXB = {(1, a), (2, b), (3, c} birebir-örten fonksiyondur, yani eşleşmedir. RXB = {(1, a), (2, b)} fonksiyonu birebirdir ama örten değildir.
f: A → B ve g: B → C iki fonksiyon olsun. gof: A → C fonksiyonuna bileşke fonk- siyonu denir. Her a ∈ A için f(a) ∈ B ve gof(a) = g(f(a)) ∈ C olur. f ve g fonksiyon- ları birebirse gof da birebirdir. f ve g fonksiyonları örtense gof da örtendir.
f, g: ℝ → ℝ, f(x) = x + 1 ve g(x) = x2 ise, fog(x) = x2 + 1, gof(x) = (x + 1)2 olur.
Her a ∈ A için I(a) = a şartını sağlayan I: A → A fonksiyonuna birim fonksiyon denir.
Bir f: A → B olsun. Her f(a) = b için a = g(b) olacak şekilde bir g: B → A fonksiyonu varsa bu fonksiyona ters fonksiyon denir ve f–1: B → A olarak gösterilir. Yani ters fonksiyon B kümesinin her elemanını A kümesi içinde görüntüsü olduğu elemana geri götürür. Ters fonksiyonu olan fonksiyonlar tersinirdir denir.
• Bir f: A → B fonksiyonu a.v.a eşleşme (birebir ve örten) ise tersinirdir.
Ama birebir bir fonksiyon için f–1: f(A) ⊆ B → A her zaman vardır.
• f: A → B fonksiyonun tersi a.v.a fof–1 = f–1of = I olacak şekilde bir f–1 fonksiyonu varsa vardır.
• f ve g fonksiyonlar tersinirse (fog)–1 = g–1of–1 olur.
