ANKARA ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ DOKTORA TEZĠ RĠEMANN MANĠFOLDLARI ÜZERĠNDE EĞRĠLER VE MANYETĠK YÖRÜNGELER. Osman ATEġ

ANKARA ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ

DOKTORA TEZĠ

RĠEMANN MANĠFOLDLARI ÜZERĠNDE EĞRĠLER VE MANYETĠK YÖRÜNGELER

Osman ATEġ

MATEMATĠK ANABĠLĠM DALI

ANKARA 2020

Her hakkı saklıdır

ÖZET

Doktora Tezi

R·IEMANN MAN·IFOLDLARI ÜZER·INDE E ¼GR·ILER VE MANYET·IK YÖRÜNGELER

Osman ATE¸S

Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dal¬

Dan¬¸sman: Prof. Dr. ·Ismail GÖK

Bu tez be¸s bölümden olu¸smaktad¬r. ·Ilk bölüm giri¸s k¬sm¬na ayr¬lm¬¸st¬r. ·Ikinci bölümde, çal¬¸sma boyunca kullanaca¼g¬m¬z temel kavramlar hat¬rlat¬lm¬¸st¬r.

Üçüncü bölümde; R S³çarp¬m uzay¬ndaJ-yörünge e¼grilerinin hareket denklemleri elde edilmi¸stir. 3-küre üzerindeki izdü¸süm e¼grileri, Legendre e¼gri olan J-yörüngelerin periyo- dikli¼gi çal¬¸s¬lm¬¸st¬r ve bir periyodik olma kriteri belirlenmi¸stir. Ayr¬ca, bir J-yörüngenin 3-küre üzerine izdü¸süm e¼grisinin kontak aç¬s¬elde edilmi¸stir.

Dördüncü bölümde; R S³ çarp¬m manifoldu üzerindeki J-yörünge e¼grilerinin, 3-küre üzerinde yatan bile¸seninin dinamikleri ara¸st¬r¬lm¬¸st¬r. Hopf …brasyon yard¬m¬yla, 2-küre üzerindeki izdü¸süm e¼grilerinin çok say¬da geometrik özelli¼gi elde edilmi¸stir ve Mathematica program¬yla izdü¸süm e¼grilerinin baz¬örnekleri verilmi¸stir. Bu izdü¸süm e¼grileri 3-boyutlu Öklid uzay¬nda ele al¬nm¬¸st¬r ve izdü¸süm e¼grilerinin e¼grili¼gi ve torsiyonu belirlenmi¸stir.

Ayr¬ca uzay e¼grilerinin temel teoreminden, bu iki karakteristik bir e¼gri tan¬mlar ve Math- ematica program¬yla, bu izdü¸süm e¼grilerin baz¬ örnekleri çizilmi¸stir. Son olarak, 2-küre üzerindeki izdü¸süm e¼grilerinin Hopf dönü¸sümü yard¬m¬yla tam lift olarak tan¬mlanan, 3- küre üzerindeki Hopf tüpler incelenmi¸stir. 3-küre üzerindeki e¼grilerin, izdü¸süm e¼grileri taraf¬ndan tan¬mlanan Hopf tüp üzerinde geodezik olmas¬ için gerek ve yeter ¸sart¬n bu e¼grilerin Legendre e¼gri olmas¬oldu¼gu ispatlanm¬¸st¬r.

Be¸sinci bölümde; yap¬lan çal¬¸smalar ile ilgili sonuçlar¬n analizine yer verilmi¸stir.

Haziran 2020 , 64 sayfa

Anahtar Kelimeler: Manyetik e¼gri, Legendre e¼gri, Kontak manifold, Hopf …brasyon, Hopf tüp, J-yörünge

ABSTRACT

Ph.D. Thesis

CURVES AND MAGNETIC TRAJECTORIES ON RIEMANNIAN MANIFOLDS

Osman ATE¸S

Ankara University

Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Mathematics

Supervisor: Prof. Dr. ·Ismail GÖK

This thesis consist of …ve chapters. The …rst chapter is devoted to the introduction. In the second chapter, basic concepts that we will use throughout the work are recalled.

In chapter three; the equations of motion for a J-trajectory are founded in the product space R S³. The periodicity of J-trajectories whose projection on the 3-sphere is a Legendre curve are studied and a periodicity criterion is founded. Moreover, the contact angle for the projection on 3-sphere of a J-trajectory is obtained.

In chapter four; the dynamics of the 3-sphere-component of a J-trajectory are investigated in product manifoldsR S³. Several geometric properties are obtained for the projection curve on 2-sphere via the Hopf …bration and some examples of the projection curve are generated with Mathematica. The projection curve is regarded in 3-dimension Euclidean space and determined its curvature and torsion. Using the fundamental theorem of curves in space, these two characteristics de…ne a curve and some examples of the projection curve are plotted with a Mathematica program. Finally, The Hopf tubes on the 3-sphere, de…ned as the complete lift via the Hopf map of the projection curve on the 2-sphere, are investigated. It is also proved that the curves in 3-sphere are geodesics on the Hopf tubes over the projection curve on the 2-sphere if and only if they are Legendre curves.

In chapter …ve; the analysis of the results considered in previous chapters are given.

June 2020 , 64 pages

Key Words: Magnetic curve, Legendre curve, Contact manifold, Hopf …bration, Hopf tube, J-trajectory

TE¸SEKKÜR

Bana bu konuda çal¬¸sma imkan¬ sa¼glayan, tez çal¬¸smam boyunca yak¬n ilgi ve deste¼gini hiç esirgemeyen, duydu¼gu güvenle; kar¸s¬la¸st¬¼g¬m her türlü zorlu¼gun üstesinden gelebile- ce¼gime beni inand¬ran, sürecin her a¸samas¬nda gösterdi¼gi anlay¬¸s ve sab¬r için minnettar oldu¼gum sayg¬de¼ger dan¬¸sman hocam Prof. Dr. ·Ismail GÖK (Ankara Üniversitesi Mate- matik Anabilim Dal¬)’e, …kirleriyle beni yönlendiren de¼gerli hocalar¬m Prof. Dr. Yusuf YAYLI (Ankara Üniversitesi Matematik Anabilim Dal¬)’ya, Prof. Dr. F.Nejat EKMEKC·I (Ankara Üniversitesi Matematik Anabilim Dal¬)’ye ve Doç. Dr. Çetin CAMCI (Çanakkale Onsekiz Mart Üniversitesi Matematik Anabilim Dal¬)’ya ve de¼gerli zaman¬n¬ ay¬ran tez savunma juri üyem Say¬n Prof. Dr. Kaz¬m ·ILARSLAN (K¬r¬kkale Üniversitesi Matematik Anabilim Dal¬)’a sonsuz te¸sekkürlerimi ve sayg¬lar¬m¬sunar¬m.

Romanya’da kald¬¼g¬m süre boyunca, çal¬¸smalar¬ma farkl¬bak¬¸s aç¬lar¬kazand¬ran ve önemli katk¬larda bulunan, ayr¬ca göstermi¸s oldu¼gu ilgiden ve misa…rperverlikten dolay¬ Say¬n Prof. Dr. Marian Ioan MUNTEANU (Alexandru Ioan Cuza Üniversitesi)’ya ve k¬ymetli ailesine en içten sayg¬ve te¸sekkürlerimi sunar¬m.

Bu uzun ve yorucu süreçte beraber yol ald¬¼g¬m karde¸sim Erdem KOCAKU¸SAKLI’ya, her zaman yan¬mda olan ve karde¸si olmaktan gurur ve mutluluk duydu¼gum sevgili abim Raif NALBANT’a te¸sekkür ederim.

Ayr¬ca uzun e¼gitim ya¸sam¬m boyunca hep yan¬mda olan, desteklerini hiç bir zaman eksik etmeyen can¬m annem Aynur ATE¸S’e ve can¬m babam Yener ATE¸S’e, sevgili abim Tanser ATE¸S’e ve karde¸slerime en derin sayg¬lar¬m¬ve te¸sekkürlerimi sunmay¬bir borç bilirim.

Her zaman oldu¼gu gibi bu süreçte de anlay¬¸s¬, bilgisi, sevgisi, güler yüzü ve yard¬mlar¬yla bana destek olan sevgili e¸sim Meryem ATE¸S’e çok te¸sekkür ederim.

Bu tez " 2211-A Genel Yurt ·Içi Doktora Burs Program¬" taraf¬ndan desteklenmi¸stir.

TUB·ITAK’a en içten te¸sekkürlerimi sunar¬m.

Osman ATE¸S

Ankara, Haziran 2020

v

ĠÇĠNDEKĠLER

TEZ ONAY SAYFASI

ETĠK ... i

ÖZET ... ii

ABSTRACT ... iii

TEġEKKÜR ... iv

SĠMGELER DĠZĠNĠ ... vi

ġEKĠLLER DĠZĠNĠ ... vii

1. GĠRĠġ ... 1

2. TEMEL TANIM ve KAVRAMLAR ... 5

2.1 Kontak Metrik Manifold ... 7

2.2 Küre ve Çarpım Manifold ... 12

3. ÇARPIM MANĠFOLDUNDA J-YÖRÜNGELER ... 17

3.1 Çarpım Manifoldunda Periyodik J-yörüngeler ... 37

3.2 Küresi Üzerinde Tanımlı c Eğrisi Ġçin Kontak Açı ... 39

4. HOPF FĠBRASYON ... 41

4.1 Hopf Fibrasyon Altında Geometrik Özelikler ... 41

4.2 Mathematica Örnekleri ... 55

4.3 Hopf Tüp ... 57

5. TARTIġMA VE SONUÇ ... 59

KAYNAKLAR ... 61

ÖZGEÇMĠġ... 63

S·IMGELER D·IZ·IN·I

Lorentz kuvveti fonksiyonu

R Reel uzay

E Öklid uzay

H Kuaterniyonlar cümlesi

Cⁿ Kompleks uzay

Sⁿ n-boyutlu küre

R S³ Çarp¬m manifold

' (1,1)-tensör alan¬

Karakteristik (Reeb) vektör alan¬

Kontak 1-form g; g; ^g Metrik tensörler r; r; ^r; _r Koneksiyonlar (M; ) Kontak manifold

('; ; ) Hemen hemen kontak yap¬

(M; '; ; ) Hemen hemen kontak manifold ('; ; ; g) Hemen hemen kontak metrik yap¬

(M; '; ; ; g) Hemen hemen kontak metrik manifold

J Hemen hemen kompleks yap¬

(J; g) Hermityen yap¬

(M; J; g) Hermityen manifold N Nijenhuis torsiyon tensörü S(X; Y ) Normal tensör alan¬

Temel 2-form Kähler form f d

dt; X R S³ uzay¬nda vektör alan¬

Hopf …brasyon

H Hopf tüp

J yörünge

c S³ küresi üzerindeki e¼gri

^

c S² küresi üzerine izdü¸süm e¼grisi

vii

ġEKĠLLER DĠZĠNĠ

Şekil 1.1 Hopf Fibrasyon ... 3

Şekil 3.1 J-Yörünge, ve ^√ ... 24

Şekil 3.2 J-Yörünge, ^{√ √} ve ^{√ √} ... 25

Şekil 3.3 c Eğrisinin Stereografik İzdüşümleri, √ ve ... 29

Şekil 3.4 c Eğrisinin Küresinde Tüp Yüzeyine Stereografik İzdüşümü, ... 29

Şekil 3.5 c Eğrisinin Küresinde Tüp Yüzeyine Stereografik İzdüşümü, _√ ... 30

Şekil 4.1 ̂ Eğrisi, ve ... 51

Şekil 4.2 ̂ Eğrisi, ve ^√ ... 51

Şekil 4.3 ̂ Eğrisi, ve ^√ ... 52

Şekil 4.4 Sabit Torsiyonlu ̂ Eğrisi, ... 53

1.

Manyetik alanlar¬n ve farkl¬ manifoldlar üzerinde tan¬mlanan manyetik alanlarla ili¸skili manyetik e¼grilerin incelenmesi, diferensiyel geometri ve …zik alanlar¬ndaki önemli ara¸st¬rma konular¬ndand¬r. Riemann manifoldlar¬üzerindeki manyetik e¼griler, manyetik alan etkisiyle bu manifold üzerinde hareket eden yüklü parçac¬klar¬n yörün- geleridir. Özel olarak; manyetik alan¬n yoklu¼gunda, manyetik e¼griler serbest dü¸sme hareketi yapan parçac¬klar¬n yörüngeleridir. Di¼ger bir ifadeyle, içinde bulunduk- lar¬ uzay¬n geodezikleridir. Manifold üzerinde tan¬ml¬ olan kapal¬ 2-form, q yüklü parçac¬¼g¬etkileyen Lorentz kuvveti ile ili¸skili bir manyetik alan tan¬mlar. Dinamik sistemin bir manyetik yörüngesi

r ^{0 0} = q ⁰ Lorentz denkleminin bir çözümüdür.

Farkl¬uzaylardaki, manyetik e¼grilerin geometrisi, birçok ara¸st¬rmac¬taraf¬ndan yo¼gun bir ¸sekilde incelenmi¸stir. 2-boyutlu uzayda, paralel Lorentz kuvvetine kar¸s¬l¬k gelen manyetik yörüngeler, Comtet ve Sunada taraf¬ndan elde edilmi¸stir. Comtet, sabit bir manyetik alan içerisinde hiperbolik düzlemde hareket eden yüklü bir parçac¬¼g¬n klasik ve quantum mekani¼gini incelemi¸stir (Comtet 1987). Sunada, S² küresi ve hiperbolik yüzeyler üzerinde manyetik alan etkisi alt¬ndaki yüklü parçac¬klar¬n yörün- gelerini belirlemi¸s ve karakterizasyonlar¬n¬vermi¸stir (Sunada 1993). Adachi, Kähler manifoldlar¬nda Kähler manyetik e¼grileri s¬n¬‡and¬rm¬¸st¬r (Adachi 1994). Cabrerizo ise 3-boyutlu Sasaki manifoldlar¬nda manyetik alanlar¬ara¸st¬rm¬¸st¬r (Cabrerizo vd.

2009). 3-boyutlu Minkowski uzay¬nda ve kontak manifoldlarda Killing vektör alan¬yla verilen manyetik e¼grilerin s¬n¬‡and¬r¬lmas¬Calvaruso, Druta-Romaniuc ve Munteanu taraf¬ndan yap¬lm¬¸st¬r (Calvaruso vd. 2015), (Druta-Romaniuc ve Munteanu 2013).

Di¼ger taraftan Barros vd. 3-boyutlu manifoldlarda, Killing manyetik alanlar¬ile ilgili manyetik yörüngeleri, varyasyonel problemin sonucu olarak elde etmi¸stir (Barros vd.

2007). Ayr¬ca, Killing manyetik yörüngelerin s¬n¬‡and¬r¬lmas¬, Druta-Romaniuc ve Munteanu taraf¬ndan s¬ras¬yla E³ ve S² R uzaylar¬nda verilmi¸stir (Druta-Romaniuc ve Munteanu 2011), (Munteanu ve Nistor 2012).

Bu konsepti, di¼ger uzaylara geni¸sletmek istiyorsak, manifoldlar ve bu manifold- lar¬n te¼get vektör uzaylar¬ aras¬ndaki ili¸ski göz önüne al¬nmal¬d¬r. Bu ba¼glamda, küre yüzeyleri bu manifoldlar aras¬nda önemli rol oynar. Küre yüzeylerinin normal vektörlerinin, orjin boyunca olmas¬ ve ayn¬ topolojiye sahip sabit ortalama e¼grilik yüzeyleri boyunca düzgün bir deformasyona sahip olmas¬, küre yüzeylerini önemli k¬lm¬¸st¬r. Farkl¬uzaylarda, manyetik alanlara kar¸s¬l¬k gelen manyetik yörüngelerin s¬n¬‡and¬r¬lmas¬ndan elde edilen tüm bu sonuçlara bak¬ld¬¼g¬nda, 3-boyutlu küre yüzeyi üzerinde manyetik e¼griler hakk¬nda çok az bilgiye sahip olundu¼gu görülmek- tedir.

R S³ uzay¬, teorik …zik alan¬nda büyük ilgi gören, ayn¬zamanda Lorentz metri¼gi ile donat¬lm¬¸s olan bir uzayd¬r. Örne¼gin; Adam, R S³ çarp¬m manifoldunda S² de¼gerli birim vektör alan¬n¬içeren alan teorilerini incelemi¸stir (Adam 2006). Dari- escu, çal¬¸smas¬nda R S³ uzay¬içindeki …ziksel sistemlerin önemini vurgulam¬¸st¬r.

Ayr¬ca, alan teorilerinin incelenmesinde ve R S³ uzay¬n¬n di¼ger özelliklerinin etki- leri hakk¬nda daha fazla ayr¬nt¬verilmi¸stir (Dariescu 1996).

Bir (M; g; J ) Kähler manifoldu üzerinde tan¬mlanan J( ; ) = g(J ; ) ikinci temel formu kapal¬d¬r ve böylece bu temel form bir Kähler manyetik alan tan¬mlar. J

ikinci temel formuna göre, Lorentz kuvveti J oldu¼gundan, q 6= 0 olmak üzere, M manifoldu üzerinde bir Kähler manyetik e¼gri

r ^{0 0} = qJ ⁰ (1.1)

Lorentz denkleminin bir çözümüdür.

R S³çarp¬m manifoldu ise bir Kähler manifold de¼gildir. Yani, g metri¼gi ve J komp- leks yap¬s¬ ile verilen ikinci temel form J kapal¬ olmad¬¼g¬ndan R S³ manifoldu üzerinde bir manyetik alan tan¬mlamaz, fakat R S³ manifoldu üzerinde J -yörünge e¼grileri (1.1) diferensiyel denklemini sa¼glayan e¼griler olarak tan¬mlanabilir.

¸

Sekil 1.1 Hopf …brasyon

S³ küresinin 4-boyutlu uzayda daha iyi anla¸s¬lmas¬için uzay¬n dairelerle nas¬l doldu- ruldu¼gunu aç¬klayal¬m ve …brasyon kavram¬ndan bahsedelim; 4-boyutlu uzayda ori- jine birim uzakl¬kta olan noktalar kümesinin geometrik yeri S³ küresini verir. S³ birim küresi, 4-boyutlu uzayda 2-boyutlu kompleks düzlemde, orijinden geçen her bir kompleks do¼gru için dairelerle doldurulmu¸stur ve bu dairelerin kesi¸sti¼gi dü¸sünülse de 4-boyutta bu dü¸sünce yanl¬¸st¬r. Kürenin dairelere bölündü¼gü Hopf taraf¬ndan ke¸sfedilmi¸stir ve buna Hopf f ibrasyon ad¬ verilir. Hopf …brasyonun görüntülen- mesi Alvarez taraf¬ndan ayr¬nt¬l¬bir ¸sekilde ara¸st¬r¬lm¬¸st¬r. Bunun bir örne¼gi ¸Sekil 1.1 de verilmi¸stir (Alvarez vd. 2008).

Hopf …brasyon kavram¬, ilk olarak 1931 y¬l¬nda Hopf taraf¬ndan tan¬mlanm¬¸st¬r.

Hopf , S² küresinin üçüncü homotopi grubunu belirlemek istemi¸s ve günümüzde Hopf

…brasyon olarak adland¬r¬lan, S³ küresinden S² küresine tan¬mlad¬¼g¬, bir dönü¸süm yard¬m¬yla bu grubun bo¸s kümeden farkl¬oldu¼gunu göstermi¸stir. Ayn¬…kir, dalga mekani¼gi üzerinde çal¬¸san Dirac taraf¬ndan da ortaya at¬lm¬¸st¬r. Dirac manyetik bir tek kutup alan¬nda kuantum mekanik hareketini incelemi¸stir. Hopf …brasyonun baz¬

teorik …zik konular¬ndaki uygulamalar¬; iki seviyeli kuantum sistemleri, iki boyutlu izotropik harmonik osulatör, Taub-nut uzay¬, Twistor teorisi, helisite gösterimleri, Dirac’in tek kutup kuantizasyonu veya Dirac e¸sitli¼gi ve Dirac operatörü olarak gös- terilebilir (Urbantke 2003).

S³ = (z; w)2 C² :jzj²+jwj² = 1

= (x; y; u; v)2 R⁴ : x²+ y²+ u²+ v² = 1g

¸seklinde tan¬mlanan S³küreyi görselle¸stirmek için stereogra…k izdü¸sümü kullanabili- riz. R⁴ reel uzay¬nda N = (0; 0; 1; 0) noktas¬n¬S³ küresinin kuzey kutubu olarak göz önüne alal¬m. (0; 0; 1; 0) güney kutup noktas¬ndaki te¼get düzleme N noktas¬ndan izdü¸süm al¬n¬rsa (x; y; u; v) 2 S³ noktas¬, (a; b; 1; c) izdü¸süm noktas¬ve N noktas¬

do¼grusal olur. Dolay¬s¬yla,

: S³nN ! R³; (x; y; u; v) = 2x

1 u; 2y

1 u; 2v

1 u ;

elde edilir. S³ küresinden bir nokta ç¬kar¬l¬rsa 3-boyutlu uzayla temsil edilebilir.

Kompleks do¼grular, S² küresindeki noktalarla tan¬mlanmak üzere S² küresindeki her nokta için bir çember elde edilir. Tüm bu çemberler S³ küresini doldururlar ve S³ küresindeki her nokta yaln¬z bir çembere ait olup S² küresindeki bir noktay¬belirler.

Böylece S² küresinin üzerinde, S³ küresinin izdü¸sümüne benzer bir ¸sekil elde edilir.

Sonuç olarak S² üzerindeki her noktan¬n, S¹ çemberi olan bir lif(…bre) oldu¼gunu ve bu …brasyonun tüm uzay¬n S³ küresi oldu¼gu söylenebilir.

R S³ çarp¬m manifoldu üzerindeki J -yörünge e¼grileri, matematik ve teorik …zik etkile¸simi içerisinde yer al¬r. Ayn¬ zamanda, hemen hemen Hermityen manifold üzerinde J -yörünge e¼grileri manyetik alanlar¬, dolay¬s¬yla geodezikleri genelle¸stirir.

Bu tez çal¬¸smas¬nda; R S³ çarp¬m uzay¬nda J -yörünge e¼grilerinin hareket denk- lemleri elde edilmi¸stir. S³ küresi üzerindeki izdü¸süm e¼grileri Legendre e¼gri olan J-yörüngelerin, periyodik olma kriterleri belirlenmi¸stir. Ayr¬ca J -yörüngelerin S³ küresi üzerine izdü¸süm e¼grilerinin kontak aç¬lar¬incelenmi¸stir. Di¼ger taraftan; R S³ çarp¬m manifoldu üzerindeki J -yörünge e¼grilerinin, S³küresi üzerinde yatan bile¸seninin dinamikleri ara¸st¬r¬lm¬¸st¬r. Hopf …brasyon yard¬m¬yla, S² küresi üzerindeki izdü¸süm e¼grilerinin çok say¬da geometrik özeli¼gi elde edilmi¸stir. Bu izdü¸süm e¼grileri E³ uza- y¬nda ele al¬nm¬¸st¬r ve izdü¸süm e¼grilerinin e¼grili¼gi ve torsiyonu belirlenmi¸stir. Ayr¬ca, uzay e¼grilerinin temel teoreminden, bu iki karakteristik, bir e¼gri tan¬mlar ve Math- ematica program¬yla bu izdü¸süm e¼grilerin baz¬ örnekleri çizilmi¸stir. Son olarak, S² küresi üzerindeki izdü¸süm e¼grilerinin Hopf dönü¸sümü yard¬m¬yla tam lift olarak tan¬mlanan S³ küresi üzerindeki Hopf tüpler incelenmi¸stir. S³ küresi üzerindeki e¼gri- lerin, izdü¸süm e¼grileri üzerine tan¬mlanan Hopf tüp üzerinde geodezik olmas¬ için gerek ve yeter ¸sart¬n bu e¼grilerin Legendre e¼gri olmas¬oldu¼gu ispatlanm¬¸st¬r.

2.

Tan¬m 2.1 Bir M manifoldu üzerinde tan¬ml¬(0,2) tipinde bir g : (M ) (M )! C¹(M; R)

metrik tensör, simetrik, bi-lineer ve pozitif tan¬ml¬l¬k özeliklerini sa¼gl¬yor ise g metrik tensörüne M manifoldu üzerinde tan¬ml¬bir Riemann metrigi denir (Hac¬saliho¼glu 1980).

Tan¬m 2.2 M, bir manifold olsun. M üzerinde bir g Riemann metri¼gi tan¬m- lanabiliyor ise (M; g) ikilisine bir "Riemann manif oldu" ad¬ verilir. E¼ger, g Rie- mann metri¼gi pozitif tan¬ml¬l¬k aksiyomu yerine non-dejenere aksiyomunu sa¼gl¬yor ise (M; g) ikilisine bir yar{ Riemann manif oldu denir

(Hac¬saliho¼glu 1980).

Tan¬m 2.3 M bir Riemann manifoldu ve M manifoldu üzerinde tan¬ml¬ bir Rie- mann koneksiyonu r olsun. r koneksiyonunun M manifolduna ait bir bölge üze- rinde tan¬ml¬olan

r : (M ) (M ) ! (M )

(X; Y ) ! r(X; Y ) = r^XY bi-lineer dönü¸sümü 8X; Y; Z 2 (M) ve 8f 2 C¹(M; R) için

i) r^X(Y + Z) =r^XY +r^XZ ii) r^X+YZ =r^XZ +r^YZ iii) r^{f X}Y = fr^XY

iv) r^X(f Y ) = fr^XY + X(f )Y

özeliklerini sa¼gl¬yor ise r dönü¸sümüne M manifoldu üzerinde tan¬ml¬ bir afin koneksiyon veya kovaryant t•urev ad¬verilir (Hac¬saliho¼glu 2003).

Tan¬m 2.4 (M; g) bir Riemann manifoldu ve M manifoldu üzerinde tan¬ml¬olan bir a…n koneksiyon r olsun. 8X; Y; Z 2 (M) olmak üzere r dönü¸sümü,

i) S¬f¬r torsiyon özeli¼gi: r^XY r^YX = [X; Y ]

ii) Koneksiyonun metrikle ba¼gda¸sabilme özeli¼gi: Xg(Y; Z) = g(r^XY; Z)+g(Y;r^XZ) ko¸sullar¬n¬sa¼gl¬yor ise, r dönü¸sümüne M manifoldu üzerinde tan¬ml¬bir Riemann koneksiyonuveya M manifoldunun Levi Civita koneksiyonuad¬verilir (Hac¬sal- iho¼glu 2003).

Tan¬m 2.5 M bir C¹ manifold ve I R bir aç¬k aral¬k olsun.

: I R ! M

dönü¸sümü diferensiyellenebilir ise e¼grisine M manifoldu üzerinde bir dif erensiyellenebilir egridenir (Hac¬saliho¼glu 2003).

Tan¬m 2.6 Eⁿ; n-boyutlu Öklid uzay¬nda bir e¼grisi (I; ) koordinat kom¸sulu¼gu ile verilsin. : I R ! Eⁿ fonksiyonunun Öklidyen koordinat fonksiyonlar¬

1; ₂; ₃:::; _n olmak üzere

= ( ₁; ₂; :::; _n); (t)2 M

0(t) = (@ ₁

@t ;@ ₂

@t ; :::;@ _n

@t )

biçimindedir. ⁰(t) tanjant vektörüne, e¼grisinin t 2 I parametre de¼gerine kar¸s¬l¬k gelen (t) noktas¬nda, (I; ) koordinat kom¸sulu¼guna göre h{z vekt•or•u denir.

0(s) = 1 olmas¬ durumunda ise e¼grisine (I; ) koordinat kom¸sulu¼guna göre birim h¬zl¬e¼gri denir. Bu durumda, e¼grinin s 2 I parametresine yay parametresi ad¬verilir (Hac¬saliho¼glu 2003).

Tan¬m 2.7 r 1 bir olmak üzere e¼grisi M manifoldu üzerinde oskülatör mer- tebesi r olan bir Frenet e¼grisi olsun. Bu durumda e¼grisinin Frenet elemanlar¬

fT = _ ; ¹; :::; _{r 1}g

r^TT = 1 1;

r^{T 1} = ₁T + _{2 2};

r^{T j} = j j 1+ j+1 j+1 j = 2; :::; r 2;

r^{T r 1} = _{r 1 r 2};

(2.1)

¸seklinde gösterilir. Burada 1; ₂; :::; _{r 1} pozitif C¹ fonksiyonlard¬r ve j ile e¼grisinin j-inci e¼grili¼gi gösterilmektedir (Hac¬saliho¼glu 2003).

2.1 Kontak Metrik Manifold

Tan¬m 2.8 M manifoldu, (2n+1)-boyutlu diferensiyellenebilir bir manifold olsun.

Bu manifold üzerinde al¬nan her noktada

^ (d )ⁿ6= 0

¸sart¬n¬sa¼glayan bir diferensiyel 1-formu mevcut ise formuna kontak f orm, (M; ) ikilisine ise kontak manif old denir (Blair 1976).

Tan¬m 2.9 (2n+1)-boyutlu bir (M , ) kontak manifoldu verilsin. Bu durumda, D =fX 2 (M) : (X) = 0g

¸seklinde tan¬ml¬D cümlesine M kontak manifoldunun kontak dag{l{m{ (distribution) ad¬verilir (Blair 1976).

Tan¬m 2.10 (2n+1)-boyutlu diferensiyellenebilir bir M manifoldu verilsin.

' : (M ) lineer

! (M ) (1,1) tipinden bir tensör alan¬, bir vektör alan¬ve

: (M ) dif:bilir

! C¹(M; R)

formu da M manifoldu üzerinde tan¬ml¬bir diferensiyel form olmak üzere, 8X 2 (M) için ('; ; ) yap¬s¬;

( ) = 1 ve '²(X) = X + (X) (2.2)

¸sartlar¬n¬sa¼gl¬yor ise ('; ; ) yap¬s¬na bir hemen hemen kontak yap{, (M; '; ; ) manifolduna ise hemen hemen kontak manif old denir (Blair 1976).

Tan¬m 2.11 M hemen hemen kontak manifoldu üzerinde X 6= vektör alan¬için,

( ) = 1 ; d ( ; X) = 0 (2.3)

olacak ¸sekilde bir tek 2 (M) vektör alan¬mevcut ise vektör alan¬na karakteristik vekt•or alan{ ya da Reeb vekt•or alan¬ad¬verilir (Blair 1976).

Sonuç 2.1 (2n+1)-boyutlu (M; '; ; ) hemen hemen kontak manifoldu üzerinde '( ) = 0

' = 0 (2.4)

rank' = 2n e¸sitlikleri sa¼glan¬r (Yano ve Kon 1984).

Tan¬m 2.12 (2n+1)-boyutlu bir M hemen hemen kontak manifoldu üzerinde tan¬ml¬, 8X; Y; 2 (M) için

(X) = g(X; ) (2.5)

ve

g('X; 'Y ) = g(X; Y ) (X) (Y ) (2.6)

¸sartlar¬n¬sa¼glayan bir g metri¼gi mevcut ise ('; ; ; g) yap¬s¬na hemen hemen kontak metrik yap{, (M; '; ; ; g) manifolduna ise hemen hemen kontak metrik manif old ad¬verilir (Yano ve Kon 1984).

Teorem 2.1 (2n+1)-boyutlu M hemen hemen kontak manifoldu üzerinde, g('X; 'Y ) = g(X; Y ) (X) (Y )

biçiminde bir g Riemann metri¼gi daima tan¬mlanabilir (Yano ve Kon 1984).

Sonuç 2.2 M;(2n+1)-boyutlu hemen hemen kontak metrik manifold olmak üzere, 8X; Y 2 (M) için

g('X; Y ) = g(X; 'Y ) (2.7)

e¸sitli¼gi mevcuttur. Bu e¸sitlik ise, ' tensör alan¬n¬n g metrik tensörüne göre anti- simetrik bir tensör alan¬oldu¼gunu gösterir (Yano ve Kon 1984).

Tan¬m 2.13 (M; '; ; ; g) hemen hemen kontak metrik manifoldu olsun.

8X; Y 2 (M) vektör alanlar¬için

(X; Y ) = g('X; Y )

biçiminde tan¬ml¬ -formuna ('; ; ; g) hemen hemen kontak metrik yap¬n¬n T emel 2 f ormu denir (Yano ve Kon 1984).

Tan¬m 2.14 (2n+1)-boyutlu bir M hemen hemen kontak metrik manifoldu verilsin.

8X; Y 2 (M) vektör alanlar¬için

2d (X; Y ) = X (Y ) Y (X) ([X; Y ] (2.8)

e¸sitli¼gi gerçeklenir (Yano ve Kon 1984).

Tan¬m 2.15 (2n+1)-boyutlu bir M hemen hemen kontak metrik manifoldu verilsin.

8X; Y 2 (M) vektör alanlar¬için

(X; Y ) = d (X; Y ) (2.9)

e¸sitli¼gi sa¼glan¬yor ise ('; ; ; g) yap¬s¬na kontak metrik yap{, (M; '; ; ; g) mani- folduna ise kontak metrik manif old denir (Yano ve Kon 1984).

Tan¬m 2.16 M diferensiyellenebilir bir manifold olsun. E¼ger 8p 2 M noktas¬için J² = I olacak biçimde TpM tanjant uzay¬n¬n bir J endomor…zmi mevcut ise, M manifoldu üzerindeki J tensör alan¬na hemen hemen kompleks yap{ denir. J hemen hemen kompleks yap¬s¬ile verilen M manifolduna ise hemen hemen kompleks manif oldad¬verilir (Yano ve Kon 1984).

Tan¬m 2.17 M manifoldu, J hemen hemen kompleks yap¬s¬ ile verilen hemen hemen kompleks manifold ve g ise M manifoldu üzerinde bir Riemann metrik olmak üzere, 8X; Y 2 (M) için

g(J X; J Y ) = g(X; Y )

ise (J; g) yap¬s¬na hemen hemen Hermityen yap{, M manifolduna ise hemen hemen Hermityen manif oldad¬verilir (Yano ve Kon 1984).

Tan¬m 2.18 (M; J; g) hemen hemen Hermityen manifold olsun. 8X, Y 2 (M) vektör alanlar¬için

(X; Y ) = g(X; J Y )

biçiminde tan¬ml¬ -formuna M hemen hemen Hermityen manifold üzerinde bir K•ahler f orm ad¬verilir (Yano ve Kon 1984).

Tan¬m 2.19 (M; J; g)hemen hemen Hermityen manifold olsun. M üzerinde tan¬ml¬

Kähler form kapal¬, yani d = 0 ise M manifolduna Kähler manifold ad¬verilir (Yano ve Kon 1984).

Teorem 2.2 M manifoldu, J hemen hemen kompleks yap¬s¬ ile verilen hemen hemen kompleks manifold olsun. g metri¼gi M manifoldu üzerinde bir Riemann metrik ve r, M manifoldu üzerinde Levi-Civita koneksiyonu olmak üzere a¸sa¼g¬da verilen önermeler

i) g bir K•ahler metriktir.

ii) d = 0:

iii)rJ = 0:

denktir (Yano ve Kon 1984).

Tan¬m 2.20 F, M manifoldu üzerinde (1,1)-tipinde tensör alan¬olmak üzere, 8X; Y 2 (M) vektör alanlar¬için

N_F : (M ) (M ) ! (M )

(X; Y ) ! NF(X; Y )

N_F(X; Y ) = F²[X; Y ] + [F X; F Y ] F [F X; Y ] F [X; F Y ]

¸seklinde bir (1,2)-tensör alan¬ tan¬mlanabilir. Bu N_F tensör alan¬na N ijenhuis tens•or alan{ denir.

F = ' al¬n¬r ise ' tensör alan¬n¬n

N_'(X; Y ) = [X; Y ] + [X; Y ] + ['X; 'Y ] '['X; Y ] '[X; 'Y ] (2.10) Nijenhuis torsiyon tensörü tan¬mlan¬r.

F = J al¬n¬r ise J hemen hemen kompleks yap¬s¬n¬n

N_J(X; Y ) = [X; Y ] + [J X; JY ] J [J X; Y ] J [X; J Y ] (2.11)

Nijenhuis torsiyon tensörü tan¬mlan¬r (Yano ve Kon 1984).

Tan¬m 2.21 (2n+1)-boyutlu bir M hemen hemen kontak metrik manifoldu verilsin.

8X; Y 2 (M) vektör alanlar¬için normal tensör alan¬

S(X; Y ) = N'(X; Y ) + 2d (X; Y )

s¬f¬ra e¸sit ise ('; ; ; g) hemen hemen kontak metrik yap¬s¬na normal denir (Yano ve Kon 1976).

Tan¬m 2.22 (2n+1)-boyutlu bir (M; '; ; ; g) kontak metrik manifoldu verilsin.

M manifoldunun ('; ; ; g) kontak metrik yap¬s¬normal ise ('; ; ; g) kontak metrik yap¬s¬na Sasaki yap{ ve (M; '; ; ; g) manifolduna ise Sasaki manif old denir (Yano ve Kon 1984).

Teorem 2.3 (2n+1)-boyutlu bir (M; '; ; ; g) hemen hemen kontak metrik ma- nifoldunun, Sasaki manifold olmas¬için gerek ve yeter ¸sart r koneksiyonu, M mani- foldu üzerindeki Levi-Civita koneksiyonu olmak üzere; 8X; Y 2 (M) vektör alanlar¬

için

(r^X')Y = g(X; Y ) + (Y )X (2.12)

e¸sitli¼ginin sa¼glanmas¬d¬r (Yano ve Kon 1984).

Sonuç 2.3 (2n+1)-boyutlu bir (M; '; ; ; g) Sasaki manifoldunda 8X 2 (M) vek- tör alan¬için

r^X = 'X (2.13)

e¸sitli¼gi sa¼glan¬r (Yano ve Kon 1984).

Tan¬m 2.23 (M; '; ; ; g), 3-boyutlu bir Sasaki manifoldu ve

: I R ! M³ bu manifold üzerinde s yay parametresi ile verilen bir e¼gri olsun.

e¼grisinin te¼get vektör alan¬T (s) = ⁰(s)olmak üzere cos (s) = g(T (s); )

biçiminde tan¬mlanan (s) fonksiyonuna e¼grisinin te¼get vektör alan¬ile Reeb vektör alan¬aras¬ndaki kontak aç{ ad¬verilir. Kontak aç¬s¬sabit olan e¼griye bir slant egri denir. Özel olarak bu sabit kontak aç¬ =

2 ise, bu durumda e¼grisine bir Legendre egridenir (Cho vd. 2006).

2.2 S³ Küre ve R S³ Çarp¬m Manifoldu

Bu bölümde, S³ küresinin baz¬ geometrik özelikleri verilmi¸stir ve R S³ çarp¬m manifoldun yap¬s¬ndan bahsedilmi¸stir.

S³ küresi bir kontak manifold olup, üzerindeki bir hemen hemen kontak metrik yap¬

a¸sa¼g¬daki ¸sekilde tan¬mlan¬r:

S³ = p = (z; w)2 C² :jzj²+jwj² = 1 küresi C² uzay¬n¬n Kähler yap¬s¬taraf¬ndan indirgenmi¸s ('; ; ; g) yap¬s¬yla donat¬lm¬¸s olsun. g metri¼gi de R⁴ C² uzay¬n¬n Öklidyen metri¼gi olmak üzere S³ manifoldunun p 2 S³ noktas¬ndaki karakteristik vektör alan¬

p = J₀p = ip = (iz; iw) 2 T^pS³ e¸sitli¼giyle tan¬mlan¬r. J0 ise C² üzerinde imajiner i =p

1ile çarp¬ma e¸sde¼gerdir.

S³ küresi üzerinde '; (1-1)-tensör alan¬ve ; 1-form a¸sa¼g¬daki gibi tan¬ml¬d¬r. Bu- rada, JoX herhangi bir X 2 T^pS³ vektör alan¬n¬s¬ras¬yla te¼get ve normal bile¸senlere ay¬r¬r ve

J₀X = 'X (X)p

¸seklinde tan¬mlan¬r.

8p = (p¹; p_2;p₃; p₄)2 S³ için

J_o = 2 66 66 66 4

0 1 0 0

1 0 0 0

0 0 0 1

0 0 1 0

3 77 77 77 5

yap¬s¬yard¬m¬yla

J_o(p₁; p_2;p₃; p₄) = ( p₂; p₁; p₄; p_3;) = _p elde edilir. p noktas¬ndaki karakteristik vektör alan¬

p = 2 66 66 66 4

p2

p₁ p4

p₃ 3 77 77 77 5

olarak tan¬ml¬d¬r.

g(X; _p) _p =

* 2 66 66 66 4

x₁ x₂ x₃ x₄

3 77 77 77 5

; 2 66 66 66 4

p₂ p₁ p₄ p₃

3 77 77 77 5

+ 2 66 66 66 4

p₂ p₁ p₄ p₃

3 77 77 77 5

oldu¼gundan

g(X; _p) _p = ( x₁p₂+ x₂p₁ x₃p₄ x₄p₃) 2 66 66 66 4

p₂ p₁ p₄ p3

3 77 77 77 5

¸seklinde hesaplan¬r. Yukar¬da verilen e¸sitlikte

= ( x₁p₂+ x₂p₁ x₃p₄ x₄p₃) al¬nmas¬durumunda ise

(X) = g(X; _p) = olarak elde edilir. ' tensör alan¬için,

'²(X) = '('X);

= J_o('X) + ('X)p;

= J_o(J_oX + (X)p) + (J_oX + (X)p)p;

= J_o 2 66 66 66 4 2 66 66 66 4

x2

x₁ x4

x₃ 3 77 77 77 5

+ 2 66 66 66 4

p1

p₂ p3

p₄ 3 77 77 77 5 3 77 77 77 5

+ g(J_oX + (X)p; )p;

= J_o 2 66 66 66 4

x2+ p1

x₁+ p₂ x4+ p3

x₃+ p₄ 3 77 77 77 5

+

* 2 66 66 66 4

x2+ p1

x₁+ p₂ x4+ p3

x₃+ p₄ 3 77 77 77 5

; 2 66 66 66 4

p2

p₁ p4

p₃ 3 77 77 77 5

+ 2 66 66 66 4

p1

p₂ p3

p₄ 3 77 77 77 5

;

= J_o 2 66 66 66 4

x2+ p1

x₁+ p₂ x4+ p3

x₃+ p₄ 3 77 77 77 5

e¸sitli¼gi sa¼glan¬r. Bu e¸sitlik düzenlenirse,

'('X) = 2 66 66 66 4

x₁ p₂ x2+ p1

x₃ p₄ x4+ p3

3 77 77 77 5

= 2 66 66 66 4

x₁ x2

x₃ x4

3 77 77 77 5

+ 2 66 66 66 4

p₂ p1

p₄ p3

3 77 77 77 5

¸seklinde yaz¬labilir. Dolay¬s¬yla,

'²(X) = X + (X) _p e¸sitli¼gi de gerçeklenir. Di¼ger taraftan

' _p = J_{o p}+ ( )p oldu¼gundan

' _p = 2 66 66 66 4

0 1 0 0

1 0 0 0

0 0 0 1

0 0 1 0

3 77 77 77 5

2 66 66 66 4

p2

p₁ p4

p₃ 3 77 77 77 5

+ 2 66 66 66 4

p1

p₂ p3

p₄ 3 77 77 77 5

;

= 2 66 66 66 4

p1

p₂ p3

p₄ 3 77 77 77 5

+ 2 66 66 66 4

p1

p₂ p3

p₄ 3 77 77 77 5

;

= 0

olarak hesaplan¬r. Ayr¬ca, S³ küresinin özeli¼ginden dolay¬, ('X) = g('X; _p);

= g(J₀X + (X)p; _p);

= x₁p₁+ x₂p₂+ x₃p₃+ x₄p_4;

= 0

elde edilir.

Sonuç olarak ('; ; ; g) yap¬s¬ S³ küresi üzerinde bir hemen hemen kontak metrik yap¬olu¸sturur. Ayn¬zamanda, S³ küresi C² uzay¬n¬n Kähler yap¬s¬taraf¬ndan in- dirgenmi¸s ('; ; ; g) kanonik Sasaki yap¬s¬yla donat¬lm¬¸st¬r.

M = R S³ çarp¬m manifoldu ile ili¸skili ve tez boyunca kullanaca¼g¬m¬z baz¬notas- yonlar¬belirleyelim :

Xvektör alan¬S³küresinin te¼get uzay¬nda bir vektör alan¬ve f ise manifold üzerinde C¹ fonksiyon olmak üzere M = R S³ çarp¬m manifoldunda bir vektör alan¬

f d

dt; X (2.14)

ikilisi ile tan¬mlan¬r.

M = R S³ manifoldu üzerindeki metrik ise g = dt² + g ¸seklinde tan¬ml¬d¬r. Tez boyunca, S³ küresi üzerindeki Levi-Civita koneksiyonu r ve M = R S³ çarp¬m manifoldu üzerindeki Levi-Civita koneksiyonu ise r ile gösterilmi¸stir.

M = R S³ manifoldu üzerindeki hemen hemen kompleks yap¬ise

J f d

dt; X = (X)d

dt; 'X f (2.15)

¸seklinde tan¬ml¬d¬r.

M = R S³ çarp¬m manifoldu üzerinde tan¬ml¬hemen hemen kompleks J yap¬n¬n integrallenebilir oldu¼gunu gösterelim;

[J; J ]tensör alan¬, (1-2) tipinde tensör alan¬oldu¼gundan, J yap¬s¬n¬n integrallenebilir olmas¬için

[J; J ]((0; X); (0; Y )) ve [J; J ]((d

dt; 0); (0; X))

de¼gerleri s¬f¬ra e¸sit olmal¬d¬r.

M = R S³ çarp¬m manifoldunda X ve Y birer vektör alan¬olmak üzere, [J; J ]((0; X); (0; Y )) = [X; Y ] + ['X; 'Y ] + 'X( (Y ))d

dt 'Y ( (X))d dt Y (X) ['X; Y ]d

dt '['X; Y ] +X (Y ) [X; 'Y ]d

dt '[X; 'Y ];

=

(

)

[X; Y ] + ['X; 'Y ] '['X; Y ] '[X; 'Y ] +

(

)

=

(

)

+['; '](X; Y ) + 2d (X; Y )

¸seklinde hesaplan¬r. Normallik ¸sart¬ndan ve S³ küresi Sasaki manifold oldu¼gundan, s¬ras¬yla

['; '](X; Y ) + 2d (X; Y ) = 0 ve

'X( (Y )) ['X; Y ] 'Y ( (X)) + [X; 'Y ] = 0 olarak elde edilir. Di¼ger taraftan

[J; J ]((d

dt; 0); (0; X)) = ( ([ ; X]) (X)) d dt +([ ; 'X] '[ ; X])

= 0

bulunur. Sonuç olarak, J kompleks yap¬s¬integrallenebilirdir fakat (M; g; J ) yap¬s¬

bir Kähler yap¬olu¸sturmaz.

3.

Bir (M; g; J ) Kähler manifoldu üzerinde tan¬mlanan J( ; ) = g(J ; ) ikinci temel formu kapal¬d¬r ve böylece bu temel form bir Kähler manyetik vektör alan¬tan¬mlar.

J ikinci temel formuna göre Lorentz kuvveti J oldu¼gundan, q 6= 0 olmak üzere M manifoldu üzerindeki bir Kähler manyetik yörünge

r^__ = qJ _ Lorentz denkleminin bir çözümüdür.

M = R S³ manifoldu Kähler manifold de¼gildir, yani ikinci temel form J kapal¬

olmad¬¼g¬ndan dolay¬M manifoldu üzerinde bir manyetik alan tan¬mlamaz; fakat M manifoldu üzerinde J -yörünge a¸sa¼g¬daki ¸sekilde tan¬mlanabilir.

Tan¬m 3.1 : I R ! R S³, (s) = (t(s); c(s)) e¼grisi M manifoldu üzerinde ve ce¼grisi de S³ küresi üzerinde tan¬ml¬bir e¼gri olsun. e¼grisinin

r^__ = qJ _ (3.1)

diferensiyel denklemini sa¼glamas¬durumunda e¼grisine J y•or•unge denir.

(3.1) denkleminin bir sonucu olarak a¸sa¼g¬daki önerme verilebilir.

Önerme 3.1 R S³ çarp¬m manifoldu üzerinde verilen bir J -yörünge sabit h¬za, dolay¬s¬yla sabit enerjiye sahiptir.

Ispat.· R S³ çarp¬m manifoldu üzerinde : I R ! R S³ bir J -yörünge olmak üzere

d

dsg( _ ; _ ) = 2g(r^__ ; _ ) = 2g(qJ _ ; _ ) = 0 oldu¼gundan _ sabit uzunlu¼ga sahiptir.

: I R ! R S³ e¼grisi M = R S³ manifoldu üzeride s yay parametreli bir J-yörünge olsun. Böylece (s) = (t(s); c(s)) e¼grisi

_t(s)²+j _c(s)j² = 1; 8s 2 I (3.2) e¸sitli¼gini sa¼glar.

Uyar¬3.1 M = R S³ çarp¬m manifoldu üzerinde 8X; Y 2 T (S³) için 0

@r d dt

J 1 A d

dt = 0

@r d dt

J 1

A X = 0;

(r^XJ ) d

dt = 'X;

(r^XJ ) Y = g('X; Y )d

dt g(X; Y ) + (Y )X

(3.3)

e¸sitlikleri sa¼glan¬r.

Ispat.· M = R S³ çarp¬m manifoldunda X ve Y birer vektör alan¬olmak üzere, 0

@r d dt

J 1 A d

dt = r d dt

J d

dt J

0

@r d dt

d dt

1 A ;

= r d dt

J d

dt

¸seklindedir. (2.15) e¸sitli¼ginden J d

dt = oldu¼gundan 0

@r d dt

J 1 A d

dt =r d dt

( ) = 0

elde edilir. Ayr¬ca, 0

@r d dt

J 1

A X = r d dt

J (X) J 0

@r d dt

X 1 A ;

= r d dt

(X)d

dt + 'X ;

= (X)r d dt

d dt + d

dt[ (X)] d

dt +r d dt

('X);

= 0 olarak hesaplan¬r. Di¼ger taraftan;

(r^XJ ) d

dt = r^XJ d

dt J r^X d dt ;

= r^X ;

= 'X

e¸sitli¼gi gerçeklenir. Son olarak;

(r^XJ ) Y = r^XJ Y J (r^XY ) ;

= r^X (Y ) d

dt +r^X('Y ) J (r^XY ) ;

= (Y )r^X d

dt + X [ (Y )] d

dt +r^X ('Y ) J (r^XY ) ;

= X [ (Y )] d

dt +r^X('Y ) J r^XY e¸sitli¼gi edilir.

R S³ çarp¬m manifoldunun J hemen hemen kompleks yap¬s¬tan¬m¬ndan dolay¬

(r^XJ ) Y = X [ (Y )] d

dt +r^X('Y ) r^XY d

dt 'r^XY;

= X (Y ) r^XY d

dt + r^X('Y ) 'r^XY ;

= Xg ( ; Y ) g ;r^XY d

dt + r^X' Y:

olarak hesaplan¬r. Ayr¬ca, (2.12) e¸sitli¼ginden (r^X')Y = g(X; Y ) + (Y )Xoldu¼gu bilindi¼ginden,

(r^XJ ) Y = g r^X ; Y + g ;r^XY g ;r^XY d dt g(X; Y ) + (Y ) X;

= g ('X; Y ) d

dt g (X; Y ) + (Y ) X e¸sitli¼gi sa¼glan¬r.

: I R ! R S³ e¼grisi, M = R S³ manifoldu üzerinde s yay parametreli bir e¼gri olsun. c e¼grisi S³ küresi üzerinde bir e¼gri ve t de R üzerinde global koordinat sistemi olmak üzere, (s) = (t (s) ; c (s)) biçiminde gösterilen J -yörünge e¼grisi için

(r^_J ) _ = 0

@r

_td dt^{+ _c}

J 1 A _td

dt + _c ;

= 0

@r

_td dt^{+ _c}

J 1 A _td

dt + 0

@r

_td dt^{+ _c}

J 1 A _c;

= 0

@r

_td dt

J 1 A _td

dt + (r^_cJ ) _td dt +

0

@r

_td dt

J 1

A _c + (r^_cJ ) _c;

= (r^_cJ ) _td

dt + (r^_cJ ) _c biçiminde hesaplan¬r.

(3.3) e¸sitlikleri yard¬m¬yla J -yörüngeyi karakterize etmek için kulanaca¼g¬m¬z (r^_J ) _ = _t' _c g (' _c; _c) d

dt g ( _c; _c) + ( _c) _c;

= _t' _c g ( _c; _c) + ( _c) _c;

= _t' _c j _cj² + ( _c) _c

(3.4)

e¸sitli¼gi elde edilir.

M = R S³ manifoldu üzerinde tan¬mlanan bir J -yörüngesi boyunca ilerleyen bir parçac¬¼g¬n hareket denklemleri yaz¬labilir.

Teorem 3.1 : I R ! R S³ e¼grisi M = R S³ manifoldu üzerinde s yay parametreli bir e¼gri olsun. c e¼grisi S³ küresi üzerinde bir e¼gri ve t de R üzerinde global koordinat sistemi olmak üzere e¼grisin J -yörünge olmas¬için gerek ve yeter

¸sart e¼grisinin

•t = q ( _c); (3.5)

r^_c_c = q( _t + ' _c) (3.6)

diferensiyel denklemlerini sa¼glamas¬d¬r.

(3.5) ve (3.6) e¸sitliklerine, q yüklü parçac¬¼g¬yla verilen J -yörüngenin hareket denk- lemleri denir.

Ispat.· e¼grisi M = R S³ manifoldu üzerinde s yay parametreli bir J -yörünge ve ce¼grisi S³ küresi üzerinde bir e¼gri olmak üzere, (s) = (t (s) ; c (s)) e¼grisi için

r^__ =r

_td dt^{+ _c}

_td

dt + _c =r

_td dt^{+ _c}

_td

dt +r

_td dt^{+ _c}

_c (3.7)

¸seklinde hesaplan¬r. Di¼ger taraftan

r

_td dt^{+ _c}

_td

dt = •t d dt + _t

0

@r

_td dt

d

dt +r^_cd dt

1 A ;

= •t d dt + _t²

0

@r d dt

d dt

1 A ;

= •t d dt

(3.8)

ve

r

_td dt^{+ _c}

_c = _tr d dt

_c +r^_c_c =r^_c_c =r^_c_c (3.9)

elde edilir. (3.8) ve (3.9) e¸sitlikleri (3.7) denkleminde yerine yaz¬l¬rsa r^__ = •td

dt +r^_c_c (3.10)

bulunur. M = R S³ çarp¬m manifoldu üzerinde J -yörünge tan¬m¬ndan, r^__ = qJ _ ;

= qJ _td

dt + _c ;

= q _t + ( _c) d

dt + ' _c ;

= q ( _c) d

dt + q _t + ' _c

(3.11)

olarak hesaplan¬r. Son olarak, (3.10) ve (3.11) e¸sitlikleri birlikte kullan¬l¬rsa J yörüngelerin hareket denklemleri elde edilir.

M = R S³ çarp¬m manifoldu üzerinde, genel durumda J -yörüngenin geometrisini incelemeden önce baz¬özel durumlar¬tart¬¸sal¬m:

Durum 1. _c ile Karakteristik vektör alan¬n¬n paralel olmas¬ durumu, yani sürekli bir fonksiyon olmak üzere

_c(s) = (s) (c(s)); 8 s 2 I; (3.12)

¸seklinde ifade edilir. Bu durumda

( _c) = (s) ve '( _c) = 0

olmak üzere M = R S³ çarp¬m manifoldu üzerinde bulunan J -yörüngenin hareket denklemlerinden

t =• q ; (3.13)

r^_c_c = q _t (3.14)

e¸sitlikleri elde edilir.

Yay parametresi ko¸sulu ve (3.12) e¸sitli¼gi birlikte göz önüne al¬n¬rsa

_t²(s) + (s)² = 1 (3.15)

olarak hesaplan¬r. (3.15) denkleminin türevi al¬n¬r ve (3.13) e¸sitli¼gi kullan¬l¬rsa _t•t+ _ = _tq + _ = 0

e¸sitli¼ginden

( _ + q _t) = 0 olarak hesaplan¬r.

= 0 olmas¬durumunda _c = 0 ve _t = 1 olur. Böylece p0 noktas¬S³ küresi üzerinde sabit bir nokta olmak üzere (s) = (s; p0)¸seklinde ifade edilir. Bu durumda e¼grisi bir geodezik e¼gridir. Dolay¬s¬yla q = 0 olur, bu ise bir çeli¸skidir.

6= 0 olmas¬durumunda _ + q _t = 0 olur. Son e¸sitli¼gin integrali al¬n¬rsa

+ qt = aq; a2 R (3.16)

elde edilir.

(3.13) ve (3.16) e¸sitlikleri birlikte kullan¬l¬rsa

•t + q²t = aq²

diferensiyel denklemi elde edilir. Bu diferensiyel denklemin genel çözümü de

t(s) = a + ₁cos(qs) + ₂sin(qs); ₁; ₂ 2 R (3.17) biçimindedir. Son e¸sitlik yard¬m¬yla

(s) = q ₁cos(qs) + ₂sin(qs) ; (3.18) olarak elde edilir. Yay parametresi ko¸sulu

j _c(s)j²+ _t(s)² = (s)²+ _t(s)²;

= 1

q²( ²₁+ ²₂);

= 1 olmak üzere q²( ²₁+ ²₂) = 1 olarak hesaplan¬r.

Bu noktadaki amac¬m¬z elde etti¼gimiz ifadesiyle birlikte (3.12) e¸sitli¼gini çözmektir.

Kompleks koordinat sistemde c(s) = (z(s); w(s)) olarak parametrelendirilmi¸s c e¼grisi jz(s)j²+jw(s)j² = 1

¸sart¬n¬sa¼glar.

_c(s) = ( _z(s); _w(s)) ve (c(s)) = (iz(s); iw(s)) oldu¼gundan (3.12) denklemi ile 8>

<

>:

_z(s) = i (s)z(s);

_

w(s) = i (s)w(s)

(3.19)

denklemleri birbirine denktir.

Di¼ger taraftan p0 = (z0; w0) 2 S³, ₀ = J0p0 = (iz0; iw0) ve b 2 R olmak üzere q²(a²+ b²) = 1 e¸sitli¼gi ve

(0) = (0; p₀) ve _ (0) = q(b; a ₀);

ba¸slang¬ç ko¸sullar¬alt¬nda ₁ = a ve ₂ = b olarak elde edilir.

(3.18) e¸sitli¼ginde elde edilen de¼geri sayesinde,

_z(s) = iq ₁cos(qs) + ₂sin(qs) z(s);

_

w(s) = iq ₁cos(qs) + ₂sin(qs) w(s) olmak üzere, (3.19) diferensiyel denkleminin genel çözümünü

z(s) = z₀e i(b(cos(qs) 1)+a sin(qs))

w(s) = w₀e i(b(cos(qs) 1)+a sin(qs))

¸seklinde hesaplan¬r.

Sonuç olarak, $(s) = b(cos(qs) 1) + a sin(qs) olmak üzere istenilen genel çözüm z(s) = z₀e^i$(s) ve w(s) = w₀e^i$(s);

biçiminde yaz¬labilir. z₀ = x₀ + iy₀; w₀ = u₀ + iv₀ 2 C ve p⁰ = (z₀; w₀) = (x₀; y₀; u₀; v₀)2 S³ olmak üzere

z(s) = (x₀+ iy₀)(cos $(s) + i sin $(s));

= (x₀cos $(s) y₀sin $(s)) + i(x₀sin $(s) + y₀cos $(s))

w(s) = (u₀+ iv₀)(cos $(s) + i sin $(s));

= (u₀cos $(s) v₀sin $(s)) + i(u₀sin $(s) + v₀cos $(s))

ve

c(s) = cos $(s)(x₀; y₀; u₀; v₀) + sin $(s)(y₀; x₀; v₀; u₀);

= cos $(s)p₀+ sin $(s)J₀p₀;

= cos $(s)p₀+ sin $(s) ₀ olarak elde edilir.

Son olarak J -yörünge e¼grisinin parametrizasyonu 8>

<

>:

t(s) = a(1 cos(qs)) + b sin(qs);

c(s) = cos $(s)p₀+ sin $(s) ₀

(3.20)

¸seklinde verilir.

Uyar¬3.2 (3.20) e¸sitli¼giyle verilen J -yörünge e¼grisi M manifoldu üzerinde bir Riemann çemberidir.

Ispat.· e¼grisi, e¼grili¼gi 1 =jqj = sabit ve ² =j' _cj = 0 oldu¼gundan M manifoldu üzerinde bir Riemann çemberidir.

Uyar¬3.3 ce¼grisi, w0z z₀w = 0 düzleminde yatan düzlemsel bir e¼gridir. Böylece S³ küresi üzerindeki büyük çemberlere kar¸s¬l¬k gelir.

fp⁰; ₀; Rg taraf¬ndan tan¬mlanan J-yörünge e¼grilerinin gra…kleri ¸Sekil 3.1 ve ¸Sekil 3.2 de görülmektedir.

¸

Sekil 3:1 J y•or•unge; q = 1; a = 1

2 ve b = p3

2

¸

Sekil 3:2 J y•or•unge; q = 2; a =

p6 p 2

8 ve b =

p6 +p 2 8

Durum 2. ce¼grisinin S³küresi üzerinde Legendre e¼grisi olmas¬, yani _c(s) 2 ker jc(s)

olmas¬durumunda J -yörüngenin hareket denklemlerinden

t(s) = a₀s; (3.21)

ve

r^_c_c = q ( a₀ + ' _c); (3.22) olarak elde edilir. a0 sabit bir reel say¬ olmak üzere yay parametre ¸sart¬ ve (3.21) e¸sitli¼gi yard¬m¬yla

j _cj²+ a²₀ = 1:

denklemi bulunur. Böylece ja⁰j 1 ve j _cj = p

1 a²₀ olmak zorundad¬r. Kolayca gösterilebilir ki a0 = 1olmas¬durumunda q = 0 oldu¼gundan bir çeli¸skidir. Sonuç olarak a0 2 ( 1; 1) olmal¬d¬r.

c e¼grisi, s = p

1 a²₀ s yay parametresi ile parametrelendirilir ve c e¼grisinin s parametresine göre türevi c⁰ olarak al¬n¬rsa, S³ küresi, E⁴ Öklidyen uzay¬na gömülü oldu¼gundan, (3.22) diferensiyel denklemi

(1 a²₀)(c⁰⁰+ c) = q a₀J₀c + q

1 a²₀ J₀c⁰ (3.23) olarak tekrar düzenlenir.

Son denklemin J0c ile çarp¬lmas¬ ve hc; J⁰ci = 0, hc⁰; J₀ci = 0 ve hc⁰⁰; J₀ci = 0

e¸sitlikleri yard¬m¬yla

qa0(1 a²₀) = 0 denklemi elde edilir.

q6= 0 ve a⁰ 6= 1 oldu¼gundan dolay¬a0 = 0 olmak zorundad¬r ve sonuç olarak

c⁰⁰+ c = qJ₀c⁰ (3.24)

e¸sitli¼gi elde edilir.

Uyar¬3.4 c e¼grisi r^c0c⁰ = q'c⁰ Lorentz denklemini sa¼glad¬¼g¬için c e¼grisi S³ küresi üzerinde ayn¬ q yükü ile verilen bir normal manyetik e¼gridir. Bunun anlam¬ ise R S³ manifoldu üzerindeki J yörünge, S³ küresi üzerindeki manyetik e¼grilerin genellemesidir.

(3.24) e¸sitli¼gi ile verilen c⁰⁰+c = qJ₀c⁰denkleminin çözümünü elde etmek için Durum 1 de oldu¼gu gibi, c e¼grisini C² uzay¬nda bir e¼gri olarak dü¸sünmek ve kompleks koordinat sisteminde çal¬¸smak daha uygun olacakt¬r.

Yani c e¼grisi, jz(s)j²+jw(s)j² = 1 olmak üzere c(s) = (z(s); w(s));

¸seklinde parametrelendirilmi¸s olsun. Dikkat edilmelidir ki a0 = 0 oldu¼gundan s = s olarak elde edilir.

(3.24) e¸sitli¼gi

(z⁰⁰(s); w⁰⁰(s)) + (z(s); w(s)) = q(iz⁰(s); iw⁰(s)) z⁰⁰(s) qiz⁰(s) + z(s) = 0; w⁰⁰(s) qiw⁰(s) + w(s) = 0:

olarak yeniden düzenlenebilir.

Ba¸slang¬ç ko¸sullar¬n¬n

c(0) = (1; 0; 0; 0) ve c⁰(0) = (0; 0; 1; 0) (3.25) olarak belirlenmesi durumunda (3.24) e¸sitli¼gin genel çözümünü elde edilebilir.

z⁰⁰(s) qiz⁰(s) + z(s) = 0 diferensiyel denkleminin genel çözümü

z(s) = c₁ cos^q+

pq²+4

2 s + i sin^q+

pq²+4

2 s + c₂ cos^q

pq²+4

2 s + i sin^q

pq²+4

2 s ;

= c₁ cos^q₂s cos pq²+4

2 s sin^q₂s sin pq²+4

2 s +ic₁ sin^q₂s cos pq²+4

2 s + cos₂^qs sin pq²+4

2 s

+c₂ cos^q₂s cos pq²+4

2 s + sin ^q₂s sin pq²+4

2 s +ic₂ sin^q₂s cos pq²+4

2 s cos^q₂s sin pq²+4

2 s

olmak üzere

z(s) = (c₁+ c₂) cos^q₂s cos pq²+4

2 s + (c₂ c₁) sin^q₂s sin pq²+4

2 s

+ i(c₁+ c₂) sin^q₂s cos pq²+4

2 s + i(c₁ c₂) cos^q₂s sin pq²+4

2 s

ve

z⁰(s) = c₁^q+

pq²+4

2 sin^q+

pq²+4

2 s + i cos^q+

pq²+4

2 s

+ c₂^q

pq²+4

2 sin^q

pq²+4

2 s + i cos^q

pq²+4

2 s

olarak elde edilir.

(3.25) denklemi ile verilen ba¸slang¬ç ko¸sullar¬dikkate al¬n¬rsa z(0) = c₁ + c₂ = 1

z⁰(0) = c₁q +p q²+ 4

2 + c₂q p

q²+ 4

2 = 0

e¸sitliklerinden

c₁ =

pq²+ 4 q 2p

q²+ 4

c₂ =

pq²+ 4 + q 2p

q² + 4

¸seklinde hesaplan¬r. Benzer ¸sekilde;

w⁰⁰(s) qiw⁰(s) + w(s) = 0;

diferensiyel denkleminin genel çözümü w(s) = d₁ cos^q+

pq²+4

2 s + i sin ^q+

pq²+4

2 s + d₂ cos^q

pq²+4

2 s + i sin^q

pq²+4

2 s ;

= d₁ cos^q₂s cos pq²+4

2 s sin₂^qs sin pq²+4

2 s +id₁ sin^q₂s cos pq²+4

2 s + cos ^q₂s sin pq²+4

2 s

+d₂ cos^q₂s cos pq²+4

2 s + sin^q₂s sin pq²+4

2 s +id₂ sin^q₂s cos pq²+4

2 s cos₂^qs sin pq²+4

2 s

olmak üzere

w(s) = (d₁+ d₂) cos^q₂s cos pq²+4

2 s + (d₂ d₁) sin^q₂s sin pq²+4

2 s

+ i(d₁+ d₂) sin^q₂s cos pq²+4

2 s + i(d₁ d₂) cos^q₂s sin pq²+4

2 s

ve

w⁰(s) = d₁^q+

pq²+4

2 sin^q+

pq²+4

2 s + i cos^q+

pq²+4

2 s

+ d₂^q

pq²+4

2 sin^q

pq²+4

2 s + i cos^q

pq²+4

2 s

olarak elde edilir.

(3.25) denklemi ile verilen ba¸slang¬ç ko¸sullar¬dikkate al¬n¬rsa w(0) = d₁+ d₂ = 0

w⁰(0) = d₁q +p q²+ 4

2 + d₂q p

q²+ 4

2 = i

e¸sitliklerinden

d₁ = i

pq²+ 4

d₂ = i

pq²+ 4

¸seklinde hesaplan¬r. Yukar¬da yap¬lan hesaplamalar yard¬m¬yla (3.24) e¸sitli¼gin genel çözümü

z(s) = eiqs=2 cossp q²+ 4

2

p iq

q² + 4sinsp q²+ 4

2

!

;

w(s) = 2eiqs=2

pq²+ 4sinsp q²+ 4

2 :

olarak elde edilir.

Sonuç olarak J -yörünge e¼grisinin parametrizasyonu t(s) = 0;

c(s) = eiqs=2 cossp q² + 4

2

p iq

q²+ 4sinsp q²+ 4

2 ; 2

pq² + 4sinsp q²+ 4

2

!

(3.26)

biçiminde verilir.

Uyar¬3.5 (3.26) e¸sitli¼giyle verilen J -yörünge e¼grisi 1 = jqj ; ² = 1 ve 3 = 0 e¼griliklerine sahiptir.

Uyar¬3.6 c(s) = eiqs=2 (s) e¼grisi S³(1) küresinin büyük çemberleridir. Burada e¼grisi 2x² + qx³ = 0, x⁴ = 0 düzleminde yatar, x¹, x², x³ ve x⁴ ise E⁴ uzay¬n¬n kartezyen koordinatlar¬d¬r.

c e¼grisinin iki özel durumda stereogra…k izdü¸sümlerinin gra…kleri ¸Sekil 3.3 - ¸Sekil 3.5 de görülmektedir;

¸

Sekil 3.3 c e¼grisinin stereogra…k izdü¸sümleri, q = 4

p5 (sol) ve q = 2 (sa¼g)

¸

Sekil 3.4 c e¼grisinin S³ küresinde tüp yüzeyine stereogra…k izdü¸sümü, q = 2