Alan Yeterlilik Testi

(1)

İvedik Organize Sanayi 1518 Sok. Matbaacılar Sitesi

Mat-Sit İş Merkezi No:2/20 Yenimahalle / ANKARA Tel: 0 312 384 20 33 Fax: 0312 342 23 58

WhatsApp: 0 505 925 57 81

www.editoryayinevi.com | bilgi@editoryayinevi.com

Yeni Nesil Sorularla

Matematik Matematik

Yeni Nesil Sorularla

AYT AYT

Alan Yeterlilik Testi

ISBN 978-605-280-196-3

9 786052 801963

SORU BANKASI

(2)

AYT Alan Yeterlilik Testi

Matematik

SORU BANKASI

Yeni Nesil Sorularla

(3)

EDİTÖR Turgut MEŞE

YAZAR Komisyon

Bütün hakları Editör Yayınevine aittir.

Yayıncının izni olmaksızın kitabın tümünün veya bir kısmının elektronik, mekânik yolla ya da fotokopi yoluyla basımı,

çoğaltılması ve dağıtımı yapılamaz.

ISBN / TARİH 978-605-280-196-3 / 05 09 19

SERTİFİKA NO 16199

KAPAK TASARIMI Editör Yayınevi Dizgi Ekibi

SAYFA TASARIMI Editör Yayınevi Tasarım Ekibi

BASKI VE CİLT Özbaran Matbaacılık

ANKARA

İLETİŞİM

İvedik Organize Sanayi Matbaacılar Sitesi 1518 Sok. Mat-Sit İş Merkezi No:2/20

Yenimahalle / ANKARA Tel: 0 312 384 20 33 - 0 505 925 57 81

Fax: 0312 342 23 58 www.editoryayinevi.com

(4)

FONKSIYONLAR �� 5

POLINOMLAR �� 19

IKINCI DERECEDEN DENKLEMLER �� 29

IKINCI DERECEDEN FONKSIYONLAR �� 39

ASAL SAYI VE TAM BÖLENLER �� 51

FAKTÖRIYEL �� 57

BÖLME VE BÖLÜNEBILME KURALLARI �� 61

PERIYODIK PROBLEMLER �� 69

EŞITSIZLIKLER �� 73

TRIGONOMETRI �� 81

LOGARITMA �� 105

DIZILER �� 115

LIMIT VE SÜREKLILIK �� 125

TÜREV VE TÜREVIN UYGULAMALARI �� 143

INTEGRAL �� 179

SAYMA VE OLASILIK �� 213

CEVAP ANAHTARI �� 237

(5)

(6)

1.

1 A

B

C D

2 3 4 5

Fizik ödevi için elektrik devresi kuracak olan Melih pillerden, ledlere doğru giden fonksiyon oluşturmak istiyor. B pilinin kapasitesi farklı olduğu için; B ile sadece 2. ledi bağlayabiliyor.

Buna göre, Melih pillerden ledlere fonksiyon ola- bilen kaç farklı bağlantı yapabilir?

A) 625 B) 126 C) 125 D) 75 E) 64

2. Aşağıdaki grafiklerden hangisi R→R tanımlı bir fonksiyona aittir?

A) y

x

B) y

x

C) y

x

D) y

x

E) y

x

3. f: A →  ve g: B →  olmak üzere, f(x) = 2x+5

x² - 5x + 6, g(x) = x² + 1 x² -2x - 15

fonksiyonları veriliyor. Buna göre A ve B kümele- ri aşağıdakilerden hangisi olabilir?

A) Asal Sayılar

B) Pozitif Tek Tam Sayılar C) Negatif Çift Tam Sayılar D) Doğal Sayılar

E) Negatif Rasyonel Sayılar

4. Bir halka atma oyununda, Ahmet, Burcu ve Cüneyt üzerinde a, b, c yazan halkaları 1, 2, 3 nolu çubukla- ra atarak takmaya çalışacaklardır.

a

c

b

1

2

3

Ahmet, Burcu ve Cüneyt atışlarını yaptıktan sonraki durum aşağıda gösterilmiştir.

Ahmet = {a halkası 1 e, b ve c halkası 2 ye girdi}

Burcu = {a halkası girmedi, b halkası 3 e, c halkası 1 e girdi)

Cüneyt = {Tüm halkalar 2 ye girdi}

Buna göre, hangi sonuç halkalardan çubuklara doğru bir fonksiyon belirtir?

A) Ahmet ve Burcu B) Ahmet ve Cüneyt C) Burcu ve Cüneyt D) Yalnız Ahmet

E) Yalnız Cüneyt

FONKSİYONUNUN TANIMI

A ve B boş olmayan iki küme olmak üzere, A kümesinin her elemanını B kü- mesinin yalnız bir elemanına eşleyen bağıntıya A dan B ye bir fonksiyon denir.

f: A → B şeklinde gösterilir.

NOT: s(A) = m ve s(B) = n olmak üzere, A dan B ye tanımlı fonksiyon sayısı n^m dir.

NOT: Bir bağıntının fonksiyon olup olmadığını daha kolay kavrayabilmek için, tanım kümesine "çocuk", değer kümesine "kadın" benzetmesi yaparız.

Örneğin, aşağıdaki bağıntılara çocuk ve kadın benzetmesiyle bakalım.

A f

Çocuk Kadın B

A f

Çocuk Kadın B

• 4 çocuğun 1 annesi var (olur) • 1 çocuğun annesi yok (olamaz)

• 3 kadının çocuğu yok (olur)

O halde f: A → B bir fonksiyondur. f: A → B bir fonksiyon değildir.

(7)

5. f(x) = ó3–x + 1 óx+2 – 1

fonksiyonunun en geniş tanım kümesi nedir?

A) (–2, 3) B) [–2, 3] C) (–2, 3]

D) (–2, 3) – {–1} E) [–2, 3] – {–1}

6. f: R – {–1} → R – {1} olmak üzere, f(x) = x + 13

x + 1

fonksiyonunun grafiğinde, apsisi ve ordinatı tam sayı olan kaç nokta vardır?

A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) 13

7. Tam sayılar kümesi üzerinde,

f m : m den küçük veya eşit olan en büyük asal sayı,

g n : n den büyük ve 3 ün katı olan en küçük çift tam sayı

fonksiyonları tanımlanıyor.

f x < f 15 + g 7

olduğuna göre, x in alabileceği en büyük tam sayı kaçtır?

A) 25 B) 26 C) 27 D) 28 E) 29

8.

A

m n

p k y

B x

D C

Serkan, eşit karelere böldüğü ABCD dikdörtgeninin içine şekildeki gibi x ve y koordinat eksenlerini yer- leştiriyor ve

f: [m, n] → [p, k] tanımlı bire bir ve içine olan bir f fonksiyonunun grafiğini çiziyor.

Buna göre, aşağıdaki yargılardan hangileri doğ- rudur?

I. Dikey doğruların her biri, yatay doğruların bir kıs- mı grafiği yalnızca 1 noktada keser.

II. Dikey doğruların her biri, yatay doğruların her biri grafiği yalnızca 1 noktada keser.

III. Dikey doğruların bir kısmı, yatay doğruların bir kısmı grafiği yalnızca 1 noktada keser.

A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve II E) I ve III

9. f: N→N tanımlı f(x) fonksiyonu için;

f(x) = f(x + 9)

olduğuna göre, f(x)'in görüntü kümesi kaç ele- manlıdır?

A) 8 B) 9 C) 10 D) 18 E) 20

DÜŞEY DOĞRU TESTİ

Bir grafiğin fonksiyona ait olup olmadığını anlayabilmek için düşey doğru testi uygularız. x eksenine dik çizdiğimiz doğruların hepsi, grafiği 1 den fazla noktada kesiyorsa veya hiç kesmiyorsa, bu grafik bir fonksiyona ait değildir.

y

x f(x)

y

a x

f(x) Dikey doğru, grafiği 2 noktada kestiği için f(x) bir fonksiyon değildir.

x= a dan çizilen dikey doğru, grafiği kesmediği için f(x) bir fonksiyon değildir.

x eksenine dik çizilen doğrular grafiği sadece ve mutlaka 1 noktada kesiyorsa, o grafik bir fonksiyona aittir.

(8)

1. Bir spor kulübü, kadrosuna kattığı futbolcu ile yıllık maaşına ek olarak atacağı gol sayısına göre sözleşme imzalayacaktır. Sözleşme maddelerine göre,

• Futbolcunun sezon boyunca 30 gol atması beklenmektedir. Bu beklentiye karşılık yıllık ücreti 500.000 TL olarak belirlenmiştir.

• Oyuncu, 30 golden fazla atarsa gol başına 5000 TL prim alacaktır.

• Oyuncu, 30 golden az atarsa eksik attığı gol başına 5000 TL, yıllık ücretinden kesilecektir.

Bu sözleşme maddelerine göre, oyuncunun gol sayısına bağlı olarak kazanacağı yıllık ücreti ve- ren fonksiyon aşağıdakilerden hangisidir?

A) f(x) = 350000 + 5000x

B) f(x) = 50000 + 5000x, x ≥ 30 500000 - 5000x, x < 30 C) f(x) = 500000 + 5000x

D) f(x) = 650000 + 5000x, x ≤ 30 650000 - 5000x, x < 30

E) f(x) = 350000 + 5000x, x ≥ 30 500000 - 5000x, x < 29

2. x pozitif bir tam sayı olmak üzere, bir şapka dükkanı- nın 1. günden x. günün sonuna kadar satmış olduğu toplam şapka sayısını gösteren fonksiyon

f(x) = x² + 8x

olduğuna göre, bu dükkanda sadece dördüncü gün satılan şapka sayısı kaçtır?

A) 15 B) 14 C) 13 D) 12 E) 11

3. Matematikçi Lothar Collatz'a göre "Tüm sayma sa- yılarının basit iki işlemi ard arda uygulanması ile 1'e ulaşması mümkündür." Kodlama dersinde bu teoriyi test etmek isteyen Efe, aşağıdaki algoritmayı yazıyor.

f(x) = x

2 ve g(x) = 3x + 1 olmak üzere,

BAŞLA

x'i oku

x = çift mi?

x = 1 mi? x = A

DUR

A = f(x) A = g(x)

E

H

Örneğin, x = 6 için program;

6 → 3 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1 Yani 8 adımda 1'e ulaşmaktadır.

Buna göre, x = 9 için program kaç adımda 1'e ula- şır?

A) 13 B) 15 C) 17 D) 19 E) 21

4.

x y

y=f(x)

1

-2 0 1

2

2 3

Yanda y= f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.

Buna göre, (fofo...of)(–2) 123 10 tane değeri kaçtır?

A) 3 B) 2 C) 1 D) 0 E) –1

FONKSİYONLARIN TANIM, DEĞER VE GÖRÜNTÜ KÜMESİ

A f B

C

A: Tanım kümesi B: Değer kümesi

C: Görüntü kümesi C = f(A)

f: A → B tanımlı bir fonksiyondur.

Bir fonksiyonun grafiğinin aldığı x değerleri tanım kümesini, aldığı y değerleri görüntü kümesini oluşturur.

³

x y

-1 -2

2

¹ ^x y 2

Tanım kümesi : (–2, 3] Tanım kümesi : R – {1}

Görüntü kümesi : (–1, 2] Görüntü kümesi : R – {2}

(9)

5. f: [–1, 2] → R tanımlı, f(x) = 3x – 2

fonksiyonunun görüntü kümesindeki tam sayıla- rın toplamı kaçtır?

A) –5 B) –4 C) –3 D) –2 E) –1

6. Aşağıda matematik yazılı sınavında sorulan bir soru verilmiştir.

f(xyz) = x + yz

biçiminde tanımlanan f fonksiyonu için aşağıda- ki bilgiler veriliyor:

• x, y, z sıfırdan ve birbirinden farklı rakamlardır.

• xyz üç basamaklı, yz iki basamaklı doğal sa- yılardır.

Bu bilgilere göre bir f(xyz) değeri bulunuz.

Aşağıdaki tabloda bu soruya beş öğrencinin verdiği cevaplar görülmektedir.

ARDA ELİF CENK ONUR İREM

101 16 106 72 50

Buna göre, hangi öğrencinin cevabı kesinlikle yanlıştır?

A) Arda B) Elif C) Cenk D) Onur E) İrem

7.

x y

y=f(x-1) 3

-10 1 2

Yanda y= f(x – 1) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.

Buna göre, f(0) + f^–1(–1) f(–1) + f^–1(0) , işleminin sonucu kaçtır?

A) 1

2 B) 1

3 C) 1 D) 2 E) 3

8. Bir İnternet operatörünün bir aylık kullanım tarifesi aşağıdaki gibidir.

• Toplam 1 GB kadar olan kullanımlar 10 TL dir.

• 1 GB lık kullanımdan sonra her bir 1 GB lık kulla- nımlar için ekstra 5 TL dir.

• Ücret 5 GB lık kullanımdan sonra 40 TL olarak sabitlenmiştir.

Buna göre, İnternet operatörünün bir aylık kul- lanımlarla ilgili TL cinsinden bir aylık fiyat tarife- sinin kurallarını belirten fonksiyon aşağıdakiler- den hangisidir?

A) ( )

, , , f x =

x

x x

x

10 0 1

5 5 1 5

40 > 5

1

# #

# +

Z [

\ ]]]] ]]]] B) ( )

, , , f x =

x

x x

x

20 0 1

20 1 5

30 5

<

>

# + #

Z [

\ ]]]] ]]]]

C) ( ) ,

f x = , x

x

20 0 1

40 >1

# #

) D) ( )

, , , f x =

x

x x

x

20 0 1

10 4 1 5

40 5

<

>

#

# +

Z [

\ ]]]] ]]]] E) ( )

, , , f x =

x

x x

x

20 0 1

20 5 1 5

40 5

<

< <

#

$ +

Z [

\ ]]]] ]]]]

9. a ve b sıfırdan farklı reel sayılar olmak üzere,

f

(

^{ax – b}_{bx – a}

)

^{= –x}³^{+ x}²^{– x + 1}

olduğuna göre, f(1) kaçtır?

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

FONKSİYONLARIN TANIMLI OLDUĞU ARALIKLAR f(x) ve g(x) birer polinom ve n bir pozitif tam sayı olmak üzere,

• f(x)

g(x)fonksiyonu g(x) ċ0 için tanımlıdır.

n tek ise R de

• ⁿòf(x) fonksiyonu

{

n çift ise f(x) ≥ 0 da tanımlıdır.

Örnek:

f(x) = x

x²– 4 + óx–1 fonksiyonunun tanım kümesini bulunuz.

Çözüm:

x² – 4 ċ 0 olmalı. x ċ {–2, 2} Ayrıca x – 1 ≥ 0 olmalı. x ≥1 Bulduğumuz bu iki kümenin kesişim kümesi,

1 2

tanım kümesidir. -2

Tanım kümesi : [1, ∞) – {2} olur.

(10)

1. f ve g fonksiyonları için aşağıdaki bilgiler verili- yor.

• f, g fonksiyonları reel sayılarda tanımlıdır.

• f(x): "x'ten küçük, en büyük tam sayı"

• g(x): "x'ten büyük, en küçük tam sayı"

x∈(2,5) ve y∈(-3,-1) olduğuna göre; f(5y) - g(3x) ifadesinin değeri kaçtır?

A) 22 B) -27 C) -30 D) -33 E) -35

2. f(x + 1) = f(x) + x f(11) = 66

olduğuna göre, f(1) kaçtır?

A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) 13

3. Bir matematik dersinde fonksiyonlar konusu işlenir- ken öğretmen Zeynep ve Elif'in tahtaya kaldırır ve şu açıklamayı yapar:

"İki basamaklı doğal sayılardan tam sayılara tanımlı bir fonksiyonumuz var. Zeynep bu fonksiyonun tanım kümesini, Elif ise görüntü kümesini oluşturacaklar- dır. Zeynep AB biçiminde iki basamaklı doğal sayılar söyleyecek, Elif ise eğer AB çift sayı ise A.B + 1, eğer AB tek sayı ise 2.A + B + 1 değerini bulacaktır."

Buna göre, Zeynep'in söylediği kaç farklı iki ba- samaklı sayı için Elif 13 değerini bulmuştur?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

4. ÖZSAYI FONKSİYONU:

Pozitif tam sayılarda tanımlı öz sayı fonksiyonu, bir sayıyı, 9 katının rakamlarının toplamına götürür.

x∈Z⁺ sayısının özsayısı b(x) ile gösterilir.

ÖRNEK:

x = 17 için

b(x) = b(17) ⇒ 9.17 = 153 1 + 5 + 3 = 9

b(17) = 9'dur.

Yukarıda verilen bilgilere göre x sayısı 7 basa- maklı bir doğal sayı olmak üzere b(x) aşağıdaki- lerden hangisi olamaz?

A) 36 B) 45 C) 54 D) 63 E) 72

5. Yandaki y= f(x) doğrusal y

y=f(x)

0 A 3

x fonksiyonu üzerindeki A

noktasının x eksenine olan uzaklığı, y eksenine olan uzaklığının 2 katıdır.

A noktasının koordinatları toplamı 1 olduğuna göre, f(x)'in x eksenini kestiği noktanın apsisi kaçtır?

A) –6 B) –5 C) –4 D) –3 E) –2

6. f(x) = 1

x² + x

olduğuna göre, f(1) + f(2) + ...f(49) toplamının değeri kaçtır?

A) 11

25 B) 12

25 C) 17

25 D) 19

50 E) 49 50

DOĞRUSAL (LİNEER) FONKSİYON a ve b birer reel sayı olmak üzere,

f(x) = ax + b şeklindeki fonksiyonlara doğrusal fonksiyon denir.

Grafiği verilen bir doğrusal fonksiyonun denklemi:

a x

y

y=f(x) b

0

x a + y

b = 1 bağıntısıyla bulunur.

SABİT FONKSİYON

c bir reel sayı olmak üzere, f(x) = c biçimindeki fonksiyonlara sabit fonksiyon denir. Sabit fonksiyonda görüntü kümesi 1 elemanlıdır.

NOT

f(x) = ax² + bx + c

dx² + ex + f biçiminde verilen bir fonksiyonun sabit fonksiyon olabilmesi için a

d = b e = c

f olmalıdır.

(11)

7. m > 0 olmak üzere, y

-3 02

x d

x=m f(m) = "x = m, x = 0 ve d doğru-

ları ile x ekseni arasında kalan taralı alan" şeklinde tanımla- nan f(m) fonksiyonu aşağıda- kilerden hangisidir?

A) f(m) = m² + 6m B) f(m) = m² + 3m C) f(m) = m²

3 + 2m D) f(m) = m² 2 + 3m E) f(m) = m²

2 + 2m + 3

8. "Kural: A köşesi parabolün

2x

D C

A B

x tepe noktasında, C köşesi

parabolün üzerinde olan ABCD dikdörtgeninde, para- bolün altında kalan kısmın

alanı x ise, üstünde kalan kısmın alanı 2x'dir."

Buna göre,

0 x

x= a x= -a

y y=x²+1

a > 0 olmak üzere, f(a) = "x = –a, x = a ve y = 0 doğruları ile y= x² + 1 parabolü arasında kalan taralı alan" şeklinde tanımlanan f(a) fonksiyonu aşağı- dakilerden hangisidir?

A) f(a) = 2a³

3 + 2a B) f(a) = a³ 3 + a C) f(a) = a³

3 + 2a – 1 D) f(a) = 2a³ 3 – 2a + 1 E) f(a) = a³ + 2a

9. Murat ve Suat, boş kümeden farklı A, B, C kümelerini kullanarak oluşturdukları fonksiyonlar hakkında aşa- ğıdaki bilgileri veriliyorlar:

Murat : Benim oluşturduğum fonksiyon A dan B ye tanımlı ve birebirdir ama örten değildir.

Suat : Benim oluşturduğum fonksiyon B den C ye tanımlı, bire bir ve içinedir.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

A) s(A) = s(B) = s(C) B) s(A) < s(B) < s(C) C) s(C) < s(B) < s(A) D) s(A) < s(C) < s(B) E) s(A) = s(C) < s(B)

10. Bir öğretmen öğrencilerine fonksiyon türlerini görsel olarak anlatabilmek için sınıfa 5 farklı renkte bilye ve 5 farklı renkte bardak getiriyor. Tanım kümesi bilye- ler, değer kümesi bardaklar olacak şekilde bilyeleri bardaklara dağıtarak her bir duruma karşılık gelen fonksiyon türünü öğrencilerine yazdırıyor. Bir öğren- ci anlatılanları defterine yazarken bir tanesini yanlış yazıyor.

Buna göre, bu öğrencinin yanlış yazdığı durum aşağıdakilerden hangisi olabilir?

Bire bir ve örten fonksiyon A)

İçine fonksiyon B)

Sabit fonksiyon C)

Örten olmayan fonksiyon D)

Birim fonksiyon E)

BİRİM FONKSİYON

Tanım kümesi ile görüntü kümesi birbirine eşit olan fonksiyonlara birim fonksiyon denir.

f(A) = A

BİRE BİR FONKSİYON

Tanım kümesindeki her bir elemanı, değer kümesinde farklı bir elemana eşleyen bağıntıya bire bir fonksiyon denir.

Bire bir fonksiyonlarda, tanım kümesinin eleman sa- _A _f _B

C yısı görüntü kümesinin eleman sayısına eşittir.

s(A) = s(C)

x₁ċ x₂ ise f(x₁) ċ f(x₂)

∀x₁, x₂∈ A için

{

x₁= x₂ ise f(x₁) = f(x₂)

s(A) = a ve s(B) = b (a ≥ b) olmak üzere, A'dan B'ye tanımlı bire bir fonksiyon sayısı:P(a, b) =

a!

(a–b)! tanedir.

(12)

1. Binary Kod: Özellikle bilgisayar sistemlerinde kulla- nılan ikili sayma sistemidir. Bir doğal sayının ikili sayma sistemindeki karşılığını bulmak için sayı, 2'nin kuvvetlerine göre çözümlenir.

Örnek: 13 = 1.2³ + 1.2² + 0.2¹ + 1.2⁰ olduğundan 13'ün ikili sistemde karşılığı (1101)'dir.

Doğal sayılarda tanımlı bir f fonksiyonu girilen sayıyı Binary Kod'a çevirmektedir.

Örnek: f(0) = (0), f(1) = (1), f(2) = (10), f(3) = 11, f(4) = (100)

Buna göre, f(90)'ın eşiti aşağıdakilerden hangisi- dir?

A) 1001010 B) 1011010 C) 1011011 D) 1100101 E) 1001011

2. A ⊂ R olmak üzere,

f: A → R , f(x) = ÃxÄ şeklinde tanımlanan fonksiyona tam değer fonksiyonu denir.

• ÃxÄ = a ⇔ a ≤ x < a+1 (a∈Z)

• Her x ∈ R ve a ∈ Z için Ãx+a Ä = Ãx Ä + a

• Her x, y ∈ R için Ãx+ y Ä ≥ Ãx Ä + ÃyÄ dir.

Verilen bu bilgilere göre, 2x – 11 = Ãx – 1Ä

denklemini sağlayan x değerlerinin toplamı aşa- ğıdakilerden hangisidir?

A) 16,5 B) 17 C) 18,5 D) 19 E) 19,5

3. Aşağıdaki modelde bir tiyatro salonundaki koltuklar gösterilmiştir.

1 2 3 10

11 12 13 20

91 92 93 100

1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2

3 4 5 6 7

9 8

10

Tiyatro salonunun yöneticileri koltuk numara- sına göre bilet numarası oluşturan bir sistem yaptırmak istiyor. Bu sisteme göre; x. satır, y.

sütundaki bir koltuk için bilet numarasını veren fonksiyon;

f(x,y) = {(12x+20y)'nin asal bölenlerinin küçükten bü- yüğe doğru yazılmış hali}

olarak belirleniyor.

ÖRNEK: 5. satır, 6. sütundaki koltuğun bilet numa- rası:

x = 5

y = 6 12. 5 + 20 . 6 = 180 ⇒ 180 = 2.2.3.3.5

⇒ Bilet No: 2 2 3 3 5

Buna göre, bilet numarası 2 2 3 11 olan kaç kol- tuk vardır?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

4. f:  →  olmak üzere, f(x) = f(x-1) + 2x+1, x > 5

3x - f(x+1)+2, x ≤ 5 olarak tanımlanıyor.

Buna göre, f(6) + f(7) + f(8) ifadesinin değeri kaç- tır?

A) 47 B) 68 C) 92 D) 117 E) 119

YATAY DOĞRU TESTİ

Bir fonksiyon grafiğinde, x eksenine paralel çizilen tüm yatay doğrular, grafiği yalnızca 1 noktada kesiyorsa bu grafik bire bir fonksiyona ait bir grafiktir.

y

x f

y

x

g f, bire bir fonksiyondur.

g, bire bir fonksiyon değildir.

ÖRTEN FONKSİYON

f: A→B ve f(A) = B ise f örten bir fonksiyondur. Örten fonksiyonlarda; • Değer kümesinde açıkta eleman kalmaz. • Değer kümesi ile görüntü kümesi aynıdır.

NOT: Hem bire bir hem de örten olan fonksiyonlara bire bir ve örten fonksiyon denir. f: A→B tanımlı bire bir ve örten fonksiyon ise,

• s(A) = s(B) dir.

• s(A) = s(B) = x olmak üzere, A'dan B'ye tanımlı bire bir ve örten fonksiyon sayısı:

P(m, m) = m! dir.

(13)

5. _y

6 11 15 18 x

Yukarıdaki koordinat sisteminde, 4 kare gösteril- diği gibi yerleştirilmiştir. y = d doğrusu çizilerek;

x ekseni d doğrusu ve karelerin arasında kalan alan hesaplanıyor. y = d doğrusunun x eksenine uzaklığı a olmak üzere, 4 < a < 5 ise, taralı alanı veren fonksiyon aşağıdakilerden hangisidir?

A) 11a + 25 B) 13a + 17 C) 9a + 16 D) 9a + 25 E) 7a + 16

6. y = f(x) eğrisinin y= x doğrusuna en yakın noktası A(1, 3) olduğuna göre, A noktasının y = f^–1(x) eğ- risine uzaklığı kaç birimdir?

A) 2ñ2 B) 3ñ2 C) 2ñ5 D) 6 E) 8

7.

o -1

y=x+1

M -2

y=f(x) y

x

Yanda grafiği verilen y = f(x) fonksiyonu y= x + 1 doğrusuna M(–2, –1) noktasında teğettir.

f(x) eğrisi ile y = x + 1 doğrusunun M noktası dı- şında başka bir ortak noktası olmadığına göre, f(x) ile f^–1(x) arasındaki en kısa uzaklık kaç birim- dir?

A) 1 B) ñ2 C) ñ3 D) 2ñ2 E) 2ñ3

8. f(x) = x² . (x – 2) + x + 1

fonksiyonunun azalan olduğu aralıktaki tam sa- yıların toplamı kaçtır?

Yukarıdaki soruyu öğrencilerine soran Volkan Öğretmen'in alması gereken doğru cevap aşağı- dakilerden hangisidir?

A) –1 B) 0 C) 1 D) 2 E) –2

9. BİRLİKTEN KUVVET DOĞAR

Matematik bölümünün duvar panosunda yukarı- daki cümleye göre profesörün aklına hemen uy- gun koşullarda,

f(x+y) = f(x) + f(y) + 7

fonksiyonunu tanımlamak geliyor. Derse girer girmez de öğrencilere aşağıdaki soruyu soruyor;

f(x+y)=f(x)+f(y)+7 ve 󰈇󰈇(󰈇) = 󰈇 󰈇󰈇󰈇󰈇

5 󰈇7

f f ?

8 8

   

+ =

   

   

Profesör'ün sorduğu sorunun yanıtı aşağıdaki- lerden hangisidir?

A) 72

11 B) 91

8 C) 8 D) 13 E) 101 8

10. Bir f fonksiyonu hakkında aşağıdaki bilgiler veriliyor.

• f, reel sayılar kümesinden tam sayılar kümesine tanımlıdır.

• f[x] = "x den küçük ya da eşit olan en büyük tam sayı"

Örneğin,

f[3, 8] = 3 , f [–5, 71] = –6 Buna göre,

f_<2x 53- _F=-7

eşitliğini sağlayan x in tam sayı değerlerinin top- lamı kaçtır?

A) -21 B) -18 C) -17 D) -15 E) -13

İÇİNE FONKSİYON

f: A→B, f(A)⊂B ve f(A) ċ B ise f içine fonksiyondur.

İçine fonksiyonlarda;

• Değer kümesinde en az 1 tane eleman açıkta kalır.

• Görüntü kümesi daima değer kümesinin alt kümesidir. (Ancak eleman sayıları hiç bir zaman eşit olmaz.)

• Bir fonksiyon örten ise içine değildir. Benzer şekilde içine ise örten değildir.

TEK VE ÇİFT FONKSİYON f: A→R tanımlı bir f fonksiyonu için;

a) f(x) çift fonksiyon ise;

• f(–x) = f(x) dir. • f(x) polinom ise x in tüm kuvvetleri çifttir.

• f(x) in grafiği y eksenine göre simetriktir.

b) f(x) tek fonksiyon ise;

• f(–x) = –f(x) • f(x) polinom ise x'in tüm kuvvetleri tektir.

• f(x)'in grafiği orijine göre simetriktir.

(14)

1. Matematik dersinde öğretmen öğrencilerden, R → R tanımlı ve grafiği y eksenine göre simetrik olan bir fonksiyon yazmalarını ister.

Aşağıda beş öğrencinin yazdığı fonksiyonlar veril- miştir.

f(x)= x.(x–5) Fatih f(x)= x³– x

Zeynep

f(x)= x²+x+1 Büşra

f(x)= (x² –1).(x+2) Mehmet

f(x)= (x³ – x)² Zülal

Buna göre, hangi öğrenci öğretmenin istediği fonksiyonu yazabilmiştir?

A) Zeynep B) Büşra C) Fatih D) Mehmet E) Zülal

2. f(x) tek fonksiyondur.

f(x² – 3x – 2) = f(3x + 1) + x² – x – 4 olduğuna göre, f(2) kaçtır?

A) –2 B) –1 C) 0 D) 1 E) 2

3. f(x) ne tek ne de çift fonksiyondur.

f(x) = x^{a – 2} + x^{b + 1}

fonksiyonu 3. dereceden bir polinom fonksiyon olduğuna göre, a – b'nin alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır?

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

4. Nikah şekeri imalatı ile ilgili aşağıdakiler bilinmek- tedir.

• Sabit maliyeti 300 TL'dir.

• 500 adedin altında üretim yapılabilecek ise adet ücreti 0,5 TL'dir.

• 500-750 adet arasında ürün yapılacak ise adet ücreti 0,4 TL'dir.

• 1000 adet üzeri ürün yapılacak ise ilk 1000 ürün 0,4 TL, 1000 adetten daha fazla olan kı- sım 0,2 TL olarak ücretlendirilecektir.

Verilen bilgilere göre x adet nikah şekerinin ya- pım maliyetini veren fonksiyon aşağıdakilerden hangisidir?

J 300 TL , x < 500 O

A) f(x) = [ 500 TL , 500 ≤ x ≤ 750 O

L 1000 TL , x > 1000 300 + x.0,5 , x < 500 B) f(x) = *

300 + x.0,3 , x > 1000 J 300 + x.0,5 , x < 500 O

C) f(x) = [ x . 0,4 , 500 ≤ x ≤ 750 O

L x . 0,3 , x > 1000 J 300 + x.0,5 , x < 500 O

D) f(x) = [ 300 + x.0,4 , 500 ≤ x ≤ 750 O

L 300 + x.0,2 , x > 1000 J 300 + x.0,5 , x < 500 O

E) f(x) = [ 300 + x.0,4 , 500 ≤ x ≤ 750 O

L 700 + (x–1000).0,2 , x > 1000

5. "Bir bilet kuyruğunda Ali, baştan A., sondan B. sıra- dadır. Kuyrukta toplam 197 kişi vardır."

f(x,y) = x² - 1 + 2y - y²

x² + y - y² + x fonksiyonu için f(A,B) de- ğeri kaçtır?

A) 0 B) 1 C) 195

196 D) 197

198 E) 196 197

FONKSİYONLARDA İŞLEMLER f: R→R ve g: R→R olmak üzere,

• (f + g)(x) = f(x) + g(x)

• (f – g)(x) = f(x) – g(x)

• (f.g)(x) = f(x) . g(x)

•

(

_g^f

)

^{(x) =}_g(x)^f(x), (g(x) ċ 0)

PARÇALI FONKSİYONLAR

Tanım kümesinin alt aralıklarında ayrı birer fonksiyon olarak tanımlanan fonk- siyonlardır.

g(x), x < a ise f(x) =

{

h(x), x ≥ a ise

• x= a'ya kritik nokta denir.

• g(x) ve h(x) fonksiyonlarına f(x)'in dalları denir.

(15)

6. Uygun koşullarda tanımlı f(x) ve g(x) fonksiyon- ları için;

g(x) = 3.f�3

x � - f(x) olarak tanımlanıyor.

g(x) y

x

-4 -1

g(x) fonksiyonunun grafiği yukarıdaki gibi oldu- ğuna göre, f(x) fonksiyonu aşağıdakilerden han- gisidir?

A) x² + 9

2x B) 4x²+36

3x C) x²+9

x D) 3x²+9

2x E) 4x²+9

3x

7. Fonksiyonların bileşkesi ile ilgili ödev hazırlayan bir öğrenci, bileşke fonksiyonlarla birsayı dizisi oluştu- ruyor.

f(x) = A.x ve g(x) = x + A fonksiyonları ile oluştu- rulan dizilerde, örneğin A = 3 sabiti için aşağıdaki diziler ortaya çıkabiliyor;

x = 2 ⇒ (fogogofof)(x) ⇒ 6 → 18 → 21 → 24 → 72 x = 5 ⇒ (fogofog)(x) ⇒ 8 → 24 → 27 → 81

Buna göre; (fogogof)(7)=324 olduğuna göre, A∈Z⁺ sabiti aşağıdakilerden hangisidir?

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

8. abc üç basamaklı bir doğal sayı olmak üzere, f(abc) = a.b.c + a+b+c

fonksiyonu veriliyor.

Zeynep f(abc) = 18 eşitliğini sağlayan en büyük abc sayısını, Elif ise f(abc) = 18 eşitliğini sağlayan en kü- çük abc sayısını buluyor.

Buna göre, Zeynep'in bulduğu sayı ile Elif'in bul- duğu sayının toplamı kaçtır?

A) 898 B) 976 C) 1108

D) 1130 E) 1206

9.

0 y

x

f(x) g(x)

B A

Tabanı y eksenine dik ve tepesi orijinde olan OAB eşkenar üçgeninin A köşesinden g(x) fonksiyonu, B köşesinden f(x) fonksiyonu geçmektedir.

OAB eşkenar üçgeninin alanı 4ñ3 br² olduğuna göre, (f^–1og)(2) kaçtır?

A) –2 B) –1 C) 0 D) 1 E) 2

10. _y

x

g(x) f(x)

9 4

Yukarıdaki koordinat sisteminde f(x) = x² - Ax + B ve g(x) = x² + Cx + A fonksiyonlarının grafikleri ve- rilmiştir.

İki fonksiyon x ekseni üzerinde kesiştiğine göre;

A+C B+C işleminin sonucu kaçtır?

A) 1 B) 1

2 C) 1

3 D) 1

4 E) 1

6

BİR FONKSİYONUN TERSİ

f: A→B tanımlı f(x) = y fonksiyonunun tersi f^–1 : B→A, f^–1(y) = x dir.

• Bir fonksiyonun tersinin de fonksiyon olabilmesi için

A f

f^-1 o fonksiyon bire bir ve örten olmalıdır. B

• f: A→B tanımlı f fonksiyonu bire bir ve örten değilse f^–1: B→A tanımlı bir bağıntıdır.

• f'in grafiği ile f^–1 in grafiği, y= x doğrusuna göre simetriktir.

TERS ALMA YÖNTEMLERİ A) f(x) = y ⇔ f^–1(y) = x dir.

Tanım ve görüntü kümesini yer değiştirerek ters alırız. Bu yöntem sayısal değer- lerin verildiği ters fonksiyon sorularında pratiklik sağlar.

B) x yalnız bırakılarak ters bulunur.

Tersini bulmak istediğimiz fonksiyonda önce eşitliğin bir tarafında yalnızca x, diğer tarafında da f(x)'li bir ifade elde edilir. Daha sonra tüm f(x)'lerin yerine x, x'in yerine de f^–1(x) yazılır.

(16)

1. Otomotiv şirketi sahibi Furkan A model aracı 80.000 TL'den satmaktadır. Furkan ile İzmir'deki bayisi Mah- mut arasında yapılan sözleşmeye göre bayinin alım adedi 200'den fazla olduğu durumlarda 200 adedin üzerindeki her araç için 1.000 TL prim Furkan tara- fından Mahmut Bey'e ödenecektir.

Verilen bu bilgilere göre Araç satışı yapan Fur- kan Bey'in İzmir'deki bayiye sattığı x adet araçtan elde edeceği geliri gösteren fonksiyon aşağıdaki- lerden hangisidir?

500 x , x ≤ 200 A) f(x) = * 2500 + 40x , x > 200 500 x , x ≤ 200 B) f(x) = * 80.000x , x > 200

80.000x , x ≤ 200 C) f(x) = * 80.000x – (x– 200) , x > 200 80.000x , x ≤ 200 D) f(x) = * 80.000x – (x– 200).1000 , x > 200 500 x , x ≤ 200

E) f(x) = *

80.000 – 1.000x , x > 200

2. ^y

x y=-f(-x)

Analitik düzlem- de y=-f(-x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.

y = f(x), y=f(-x), y =-f(x) fonksi- yonlarının grafikleri de aynı analitik düzleme çiziliyor.

Buna göre,

I. y = f(x) ve y= -f(x) II. y = f(-x) ve y= -f(-x) III. y = f(x) ve y = -f(-x) IV. y = f(-x) ve y = f(x) V. y = -f(x) ve y =-f(-x)

durumlarından kaç tanesinde verilen iki fonksi- yonunun grafiklerinin birleşimi yine bir fonksi- yon grafiği olur?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 3.

x

y y=f(x)

0 -1

1 2 4 y=g(x) 2

Yukarıda y= f(x) ve y = g(x) fonksiyonlarının grafikleri verilmiştir.

Buna göre, (g^–1og^–1of)(2) kaçtır?

A) –1 B) 0 C) 1 D) 2 E) 4

4.

x y

y=x y= (gof^–1)(x)

y= g^–1(x+1) 0

Yukarıda verilen y= (gof^–1)(x) fonksiyonunun grafiği ile y= g^–1(x + 1) fonksiyonunun grafiği y = x doğrusu- na göre simetriktirler.

Buna göre, f(x) fonksiyonu aşağıdakilerden han- gisidir?

A) x – 1 B) x C) x + 1

D) 1 – x E) 2 – x

BİLEŞKE FONKSİYON f: A→B ve g: B→C olmak üzere,

(gof)(x) = g(f(x)) bileşke fonksiyonu A'dan C'ye ^x f

A B C

gof g f(x) g(f(x)) tanımlı bir fonksiyondur.

Bileşke fonksiyonun özellikleri

• fog ċ gof

• (fog)oh = fo(goh)

• fof^–1 = I (I : Birim fonksiyon)

• (fog)^–1 = g^–1of^–1

• (fogoh)^–1 = h^–1og^–1of^–1 f = hog^–1

• fog = h ise

{

g = f^–1oh

(17)

Euler Fonksiyonu:

x bir pozitif tam sayı olmak üzere, x'ten küçük ve x ile aralarında asal olan pozitif tam sayıların sayısı olarak tanımlanır ve Φ(x) ile gösterilir.

x'in asal çarpanlarına ayrılmış hali, x = P₁â¹_.P₂â²_.P₃â³_...

(P_1,P₂, ... asal) olmak üzere;

Φ(x) = x. �P₁ - 1

P₁ �.�P₂ - 1

P₂ �.�P₃ - 1

P₃ �... ile hesaplanır.

Yukarıda verilen bilgiye göre aşağıdaki iki soruyu yanıt- layınız.

5. Φ(180) değeri aşağıdakilerden hangisidir?

A) 18 B) 24 C) 36 D) 48 E) 72

6. Φ(2x) = Φ(x)⁰ koşulunu sağlayan, (100,200) aralı- ğında kaç x∈N vardır?

A) 25 B) 35 C) 40 D) 50 E) 65

7. Pozitif tam sayılar kümesi üzerinde,

f(x) = "x in pozitif tam bölenlerinin toplamı"

fonksiyonu tanımlanıyor.

Buna göre, f(2020) – f(1010) işleminin sonucu kaçtır?

A) 0 B) 1010 C) 2020 D) 2448 E) 3030 8.

y f(x)

3 6 x

y

f: R →  tanımlı, f(x) = |3x-A| - B (A, B∈N)

Fonksiyonunun grafiği yukarıdaki koordinat sisteminde verilmiştir.

Buna göre, A+B toplamı kaçtır?

A) 9 B) 12 C) 15 D) 18 E) 21

9. Uygun koşullarda tanımlı y=f(x) fonksiyonu için aşağıdaki bilgiler veriliyor.

• f(0) = 0

• f(1) = 1

• x ≥ 1 için f(2x-1) f(x) - 1 f(2x) = f(x)

Buna göre, f(401) aşağıdakilerden hangisine eşit- tir?

A) -5 B) -4 C) -2 D) 1 E)3

10.

x y

y=f(x+5)

-2 1 4

Yandaki şekil y= f(x + 5) fonksiyonunun grafiği ol- duğuna göre,

f(x –1) = 0

eşitliğini sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır?

A) 3 B) 7 C) 11 D) 17 E) 21

FONKSİYON GRAFİKLERİ f(x) için; x → Eğri → y

x'den eğriye, eğriden y'ye gidilir. f(a) = b

y=f(x)

x y

a b

y=f(x)

x y

a b

f^–1(x) için; y → Eğri → x y'den eğriye, eğriden y'ye gidilir. f^–1(b) = a

NOT:y= f(x)'in grafiğinin x eksenini kestiği noktaları bulmak için y= 0 yazılır, y eksenini kestiği noktaları bulmak için x= 0 yazılır.

y= f(g(x))'İN GRAFİĞİ ÜZERİNDE YAPILAN İŞLEMLER Yukarıda y= f(x + 1)'in grafiği verilmiştir. Buna göre, y

y=f(x+1) -1 x

-2 -4 1 2

3 bazı değerleri bulalım.

Bu tip sorularda önce grafikte x ve y değerleri tespit edilir. Daha sonra

y= f(x + 1) eşitliğinde yerine yazılır.

(18)

1. Aşağıdaki şekilde, bir kısmı O merkezli yarım çem- ber biçiminde olan bir bisiklet yolu gösterilmiştir.

Bir bisikletli, şekildeki K noktasında harekete baş- layıp, sabit hızla bisiklet yolunu takip ederek yoluna devam ediyor.

←

K O

Buna göre, bu bisikletli ile O noktası arasındaki uzaklığın zamana bağlı olarak değişimini göste- ren grafik aşağıdakilerden hangisi olabilir?

A)

C

B)

D)

E) 20

20 30

15 20

20

20 10

10

10 0

0

0 1

1

1 2

2

2 3

3

3 Zaman

Zaman

Zaman Uzaklık

Uzaklık

2. Reel sayılarda tanımlı, f(x) = 16^x

16^x + 4 fonksiyonu veriliyor.

f� 1

2019 � + f� 2

2019 � + f� 3

2019 � + ... + f�2018 2019 � toplamının değeri aşağıdakilerden hangisidir?

A) 1009 B) 2019

16 C) 16

2019 D) 4

2019 E) 2018

3.

2

2 x

y

(fog^-1)(x)

Yukarıdaki koordinat sisteminde y=(fog^-1)(x) fonksiyonunun grafiği çizilmiştir.

2.f(x) + 3g(x) = 5.f(x) + 2.g(x) + 2-5x eşitliği sağlandığına göre, f^-1(x)'in eşiti aşağıdaki- lerden hangisidir?

A) 3x+5

2 B) 2x+2

5 C) 3x-2

5 D) 5x-3

2 E) -2x-3

5

4.

{

x, x ≥ 0 f(x) =

–x², x < 0

olduğuna göre, y = f(|x|) in grafiği aşağıdakiler- den hangisidir?

x A) y

x B) y

x C) y

x D) y

x E) y

SİMETRİ

• A(a, b) noktasının x eksenine göre y göre simetrisi^{x eksenine}

y eksenine göre simetrisi

x y

x y simetriği A^ı(a, –b)'dir. x

• A(a, b) noktasının y eksenine göre simetriği A^ı(–a, b)'dir.

• Fonksiyon grafiklerinin x ve y eksen- lerine göre simetrisi alınırken x ve y eksenleri ayna gibi düşünülür.

y

x

y=f(x) y

x y=f(-x) f(-x)'in graﬁği f(x)'in graﬁği- nin y eksenine göre simetriğidir.

y

x y=f(x)

y x

y=-f(x) –f(x)'in graﬁği, f(x)'in graﬁği- nin x eksenine göre simetriğidir.

(19)

5. f(x) = 2x + 3 4

olduğuna göre, f(2x)'in f(x) türünden eşiti nedir?

A) 4.f(x) – 3

3 B) f(x) – 2

4 C) 2.f(x) – 3

2 D) 4.f(x) + 1

3 E) 8.f(x) – 3

4

6. f(x) = x + 1 x – 2

olduğuna göre, f(x – 1)'in f(x) türünden eşiti ne- dir?

A) f(x)

f(x) – 4 B) f(x) – 4

3f(x) C) 2f(x) + 1 4 – f(x) D) f(x) + 1

f(x) – 2 E) 2f(x) + 1 f(x) – 1

7. f(x) = x - 3, g(x) = x ve h(x) = 3 fonksiyonları veri- liyor. Buna göre, grafiği;

y 3

3 x T(x) -3

Şeklinde olan T(x) fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir?

A) T(x) = h(x)

|f(x)|

B) T(x) = |g(x)|

h(x) C) T(x) = g(x).|f(x)|

D) T(x) = |g(x)| - |f(x)|

E) T(x) = |f(x)| - |g(x)|

8. Yandaki kap sabit hızla su akıtan bir muslukla doldurulurken, kap- taki suyun yüksekliğinin zamana göre değişimini gösteren grafik aşağıdakilerden hangisidir?

Zaman 0

Yükseklik

A)

Zaman 0

Yükseklik

B)

Zaman 0

Yükseklik

C)

Zaman 0

Yükseklik

D)

Zaman 0

Yükseklik

E)

9.

2 1

1 y=f(x)

y=g(x) -1

Yandaki y= f(x) ve y= g(x) doğrularının grafikleri veril- miştir.

f(a – 2) = g(b + 1) olduğuna göre, a + b kaçtır?

A) 1

3 B) 2

3 C) 4

3 D) 3

2 E) 5

3

ÖTELEME A(a, b) noktası

k birim sağa ötelenirse A^ı(a + k, b) k birim sola ötelenirse A^ı(a – k, b) k birim aşağı ötelenirse A^ı(a, b – k) k birim yukarı ötelenirse A^ı(a, b + k)

y = f(x)'in grafiği

k birim sağa ötelenirse, y = f(x – k) k birim sola ötelenirse, y = f(x + k) k birim aşağı ötelenirse, y = f(x) – k k birim yukarı ötelenirse, y = f(x) + k

(20)

1. Sabit Polinom: c∈R olmak üzere P(x) = c şek- lindeki polinomlara sabit polinom denir.

ÖRNEK: P(x) = 5 ise

P(1) = P(2) = P(-3) = P(1500) = ... = 5 yukarıda verilen tanıma göre, P(x) = (a-5).x^a²^-36 + 4

polinomu sabit polinom ise P(1)'in alacağı farklı değerlerin toplamı kaçtır?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

2. P(x) = 3.x^m+2 – 2.x

5 m+7 + 4

ifadesi bir polinom olduğuna göre, I.

III.

II.

P(x) polinomunun derecesi 2 dir.

P(x) polinomunun baş katsayısı 3 tür.

P(x) polinomunun sabit terimi 7 dir.

yargılarından hangileri doğrudur?

A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve II E) II ve III

3. P(x) = ⁿòx¹⁰+ ñxⁿ–1

ifadesi bir polinom olduğuna göre, n nin alabile- ceği değerler toplamı kaçtır?

A) 14 B) 12 C) 10 D) 8 E) 6

4. P(x) = x⁴ + Ax³ + Bx² + 12x + 4

Polinomu bir tam kare polinom olduğuna göre A+B'nin alacağı farklı değerlerin toplamı kaçtır?

A) 6 B) 9 C) 13 D) 18 E) 21

5. P(x) bir polinomdur.

P(2x²–3) – P(x²+1) =x⁴–2x²+m olduğuna göre, m kaçtır?

A) –8 B) –5 C) 0 D) 2 E) 4

6. a ≠ 0 olmak üzere,

P(a.x–1) = a²x² + 2ax –5 polinomu veriliyor.

Buna göre, P(ax+1) polinomunun sabit terimi kaçtır?

A) 4 B) 3 C) 2 D) 1 E) 0

7. Cansu Öğretmen polinomlar konusunu anlatırken tahtaya aşağıdaki soruyu yazarak öğrencilerinden çözmelerini istemiştir.

P(x) bir polinomdur.

P(x+1) + (x–1) . P(x) = x²+x+1 olduğuna göre, P(x+2) polino- munun kat sayılar toplamı kaç- tır?

Öğrencilerden Duru soruyu doğru cevapladığına göre, Duru'nun verdiği cevap aşağıdakilerden hangisidir?

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

REEL KATSAYILI POLİNOM

a_n, a_n-1, ... a₁, a₀ birer reel sayı ve n bir doğal sayı olmak üzere, P(x) = a_n. xⁿ+ a_n-1 . x^n-1 + ... + a₁ . x + a₀

ifadesine, x değişkenine bağlı n. dereceden reel katsayılı polinom denir.

• Katsayılar: a_n, a_n-1, ... , a₁, a₀

• Başkatsayı: a_n (a_n ≠ 0)

• Sabit terim: a₀ • Polinom derecesi : der[P(x)] = n

Örnek:

P(x) = 5 . x³ – 2x²+ x – 4 polinomunun

• Katsayıları: 5, –2, 1, – 4

• Başkatsayı: 5

• Sabit terim: –4

• Derecesi: der[P(x)] = 3

(21)

8. P(x), bir polinom olmak üzere;

• P(x) = P(x+1) + x² - 3x + 5

• P(1) + P(7) = -12

bilgileri veriliyor. Buna göre P(x) polinomunun sabit terimi kaçtır?

A) 36 B) 28 C) 23 D) 13 E) 8

9. 10. sınıfta okuyan Ahmet matematik konularının için- de bazı bölümleri kendine göre adlandırarak daha verimli çalıştığını söylemektedir. Matematik dersinde polinomlar konusunda sabit olmayan başkatsayısı 1 olan ve en az birinci dereceden iki polinomun çar- panı olarak yazılamayan polinomlara "inat polinom"

olarak adlandırmak istiyor.

Örneğin, x ≥ 0 olmak üzere, P(x) = x² + x + 1 polinomu inat polinomdur.

Buna göre,

I. x ≥ 0 olmak üzere, P(x) = x² – x + 1 II. P(x) = x³ – 27

III. P(x) = 2(x² +1)² – x² – 2

ifadelerinden hangileri inat polinomlardır?

A) Yalnız I B) Yalnız II C) I ve II

D) II ve III E) I, II ve III

10. P(x–2) = x²+ 2x + 2 Q(x) = 2x – 3

olduğuna göre, P

[

Q(x)

]

aşağıdakilerden hangisi- dir?

A) 4x²+4x+1 B) 4x²–8x+1 C) 4x²+1 D) 4x²–1 E)4x²+2

11. P(x), R(x) ve Q(x) birer polinomdur.

R(x) = P(x+1)–Q(x+1)

eşitliği veriliyor. P(x) in katsayılar toplamı,Q(x) in katsayılar toplamından 3 fazla olduğuna göre, R(x) in sabit terimi kaçtır?

A) –3 B) –1 C) 0 D) 1 E) 3

12. P(x–1) = x³– 3x²+ ax + b P(bx) = –x³– x + 1

olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır?

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

13. ^{4x + 16}

x(x²– 4) = A x + B

x + 2 + C x – 2 olduğuna göre, B + C – A kaçtır?

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

14. a(x + 3)

x.(x +b) . x²– 1

(x + c) .(x + 2) = 1 x + 1

x + 2 olduğuna göre , a + b + c toplamı kaçtır?

A) 2 C) 3 C) 4 D) 5 E) 6

SABİT POLİNOM VE SIFIR POLİNOMU k, sıfırdan farklı bir reel sayı olmak üzere,

• P(x) = k sabit polinomdur.

• P(x) = 0 sıfır polinomdur.

Örnek:

P(x) = 3 polinomunda,

• Katsayılar: 3 • Başkatsayı: 3 • Sabit terim: 3 • Derecesi: 0

Örnek:

P(x) = 0 polinomunda,

• Katsayılar: 0

• Başkatsayı: Yok

• Sabit terim: 0

• Derecesi: der [P(x)] = Yok

(22)

1. Tolga Bey'in 1, 2 ve 3 yaşlarında üç çocuğu vardır.

Tolga Bey'in çocuklarının yaşları P(x) polinomunun sıfırlarıdır.

Üçüncü dereceden P(x) polinomunun sabit teri- mi 12 olduğuna göre, P(x) polinomunun x + 1 ile bölümünden kalan kaçtır?

A) 39 B) 41 C) 43 D) 46 E) 48

2. Baş katsayısı -1 olan 4. dereceden bir P(x) poli- nomu için aşağıdaki tablo verilmiştir.

x -1 2 -4 7

P(x) P(-1)=1 P(2)=4 P(-4)=16 P(7)=49

Buna göre; P(1) + P(4) toplamının değeri kaçtır?

A) 17 B) 36 C) 126 D) 197 E) 226

3. _{İpucu - 1} P(x)'in katsa-

yıları doğal sayıdır.

İpucu - 2 P(x)'in derece-

si 4'tür.

İpucu - 3 P(1) = 7'dir.

Meral Öğretmen; öğrencilerine, bir P(x) polinomu için yukarıdaki üç ipucunu veriyor.

Öğrenciler bu ipuçlarını kullanarak kaç farklı P(x) polinomu yazabilir?

A) 320 B) 210 C) 165 D) 120 E) 90

4. P(x) ve Q(x) birer polinom olmak üzere,

der[P²(x)–2.Q(x)] = 6 der[5.Q(x)+x³] = 4

olduğuna göre, der

[

P(x) . Q(x)

]

kaçtır?

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

5. m ve n sıfırdan farklı birer reel sayı olmak üzere, P(x)= x^m+n.³ñx –1

polinomu sabit polinom olduğuna göre, 3m–n kaçtır?

A) 1 B) 2 C) 3 D)4 E) 5

6. Aşağıdaki şekilde boyutları 3 metre ve 4 metre olan dikdörtgenin her bir köşesinden, alanı x² metrekare olan kareler kesilerek atılıyor.

x² x²

3 m

4 m

0 < 2x < 3

olduğuna göre, elde edilen yeni şeklin çevresini veren polinom aşağıdakilerden hangisidir?

A) P(x) = –2x + 14 B) P(x) = –4x + 8 C) P(x) = –8x – 14 D) P(x) =14 E) P(x) = 16

7. P(x,y) = (x + 3y – 2)³ + (3x – y – 1)⁴

polinomunun katsayılar toplamı A, sabit terimi B olduğuna göre, A + B kaçtır?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

SIFIR (0) POLİNOMUN DERECESİ

• Sıfır polinomunun derecesi yoktur. Çünkü, sıfır yutan eleman olduğu için yanı- na çarpan olarak tüm x li terimler yazılabilir.

0 . x³ 0 . x⁵ 0 . x⁷

• Bir polinomun başkatsayısı sıfır olmaz. Başkatsayı; "en büyük dereceli x in katsayısı" idi. Yukarıdaki bilgide de anlatıldığı gibi, sıfırın yanına tüm x li terimler yazılabileceğinden, bu durumda tüm polinomların katsayısının sıfır olması gerekirdi.

POLİNOM FONKSİYON İLİŞKİSİ

Polinomlar kümesi, fonksiyonlar kümesinin alt kümesidir. ^Fonksiyon Polinom Bütün polinomlar aynı zamanda birer fonksiyondurlar.

Bir fonksiyonun polinom olabilmesi için iki şartı sağla- ması gerekir.

1. Şart : x in tüm kuvvetleri doğal sayı olmalıdır.

2. Şart : Tüm katsayılar reel sayı olmalıdır.