KONU 1:

1 KONU 1: DUYARLILIK ANALİZİ-I

Amaç Fonksiyonundaki (Fiyat Vektöründeki) Değişim

 

   max f A X cX X b X 0 (1)

biçiminde tanımlı bir doğrusal programlama problemi (d.p.p.) nin temel ve temel dışı değişken vektörleri ve bu değişken vektörlerine ilişkin fiyat vektörleri sırasıyla X



X_B X_N





ve c



c_B c_N



 biçiminde tanımlansın. Amaç fonksiyonunun katsayılarında olabilecek değişiklik c ya da _B c vektöründe olacaktır. N

a. Durum-1: (c vektöründeki değişim) _B

(En iyi çözümde yer alan bir karar değişkeninin amaç fonksiyonu katsayısının değişiminin incelenmesi)

 

  1... r... m

B cB cB cB

c olmak üzere, r. değişkenin fiyatı  kadar artsın (ˆ   

r r B B c c ).





  _   _ 1 ˆ_B c_B ... c_Br ...c_Bm c biçiminde tanımlansın.

Temel değişkenlere ilişkin Z_jc_j değerleri 0 olacaktır. Temel dışı değişkenlere ilişkin 

j j

2 olmalıdır. Eğer, (1) ifadesinde tanımlı model

 

   min f A X cX X b X 0 (2)

biçiminde tanımlı olursa





      ˆ ₀ j j j j rj Z c Z c y olmalıdır.

Tanımlanan problem türüne göre uygun koşullar sağlanacak biçimde  için aralık belirlenir.

b. Durum-2: (c vektöründeki değişim) _N

(En iyi çözümde yer almayan bir karar değişkeninin amaç fonksiyonu katsayısının değişiminin incelenmesi)

(1) ifadesi ile tanımlı model için temel dışı değişkenlerin fiyatlarındaki değişim Z_j cˆ_j c y_{B j} cˆ_j 0

olmalıdır. Buna göre,









                 ˆ ˆ ˆ 0 j j B j j B j j B j j j j j j Z c c c c Z c Z c c y c y c y olur.

(2) ifadesi ile tanımlı model için temel dışı değişkenlerin fiyatlarındaki değişim Z_j cˆ_j



Z_jc_j



  0 olmalıdır. Örnek 1.1:        1 2 1 2 1 2 1 2 max 6 8 30 20 300 5 10 110 , 0 Z X X X X X X X X

3 En iyi çözüm tablosu 6 8 0 0 B C T _V X _B y ₁ y ₂ y ₃ y ₄ 6 X ₁ 4 1 0 1/20 -2/20 8 X ₂ 9 0 1 -1/40 3/20  * ₉₆ Z 0 0 1/10 12/20

biçiminde tanımlanmıştır. Buna göre,

a. Temeldeki değişkenlerin (X ve ₁ X ) fiyatları hangi sınırlar arasında olursa en iyi çözüm ₂ değişmez?

b. Temelde olmayan değişkenlerin (X ve ₃ X ) fiyatları hangi sınırlar arasında olursa en iyi ₄ çözüm değişmez?

c. cˆ₁2 olduğunda en iyi çözüm değişir mi?

Çözüm:

a. Temeldeki değişkenlerin Z_jc_j, j=1,2 değerleri etkilenmeyecek ve sıfır olacaktır. Temel dışı değişkenlerin Z_jc_j, j=3,4 değerleri etkilenecek ve değişecektir.

1

X temel değişkeni için:

4

X temel değişkeni için: ₂





         3 3 3 3 33 ˆ 1 0 10 40 Z c Z c y   4    4 4





         4 4 4 4 34 ˆ 12 3 0 20 20 Z c Z c y    4 cˆ₂      c₂ cˆ₂ c₂                 4 4 4 cˆ₂ c₂ 4 4 cˆ₂ 8 4 4 cˆ₁ 12 b. 3

X temel dışı değişkeni için:

5

4

X temel dışı değişkeni için:

₄ ˆ₄



₄ ₄



  12            0 3 ˆ_{4 4} 3 ˆ₄ 0 3 20 5 5 5 Z c Z c c c c   ˆ₄ 3 5 c

c. cˆ₁2, cˆ₁



4, 12



aralığının dışında kaldığı için en iyi çözüm değişir. Ayrıca,