1.Derece 2.Grat

§ 1. Açı ve yaylar ile bunlara ait birimler

Öğ. Gör. Sait TANRIÖĞEN

Açı ve yay

• Bir noktadan çıkan iki yarım doğru arasındaki açıklığa Açı denir. Şekil 1.1 de 0 noktasından çıkan D1, D2 doğruları bir açı meydana getirmektedirler. Bu meydana geliş bir hareket ile 

açıklanabilir.

• OD2 yarım doğrusu 0 noktası etrafında dönebilsin ve başlangıçta OD1 ile çakışık olsun.

OD2 nin şekildeki durumu, ya şekildeki ok veya bunun zıddı yönde hareket ile elde  edilebilir. Şu halde bir açıyı bir dönme hareketi ile beraber düşünebiliriz.

• Dönme esnasında 0 dan r uzaklıkta bir nokta alalım. P₁, P₂ bu noktanın Şekil 1.1 de görülen iki ayrı durumudur. OD2 tam bir dönmeden sonra tekrar OD1, üstüne gelirse 0 dan r uzaklıktaki noktalar, 0 merkezli ve r yarıçaplı çemberi meydana getirirler. OD1 ve OD2

doğru parçaları arasındaki açıya da böylelikle P₁P₂ bir yayı karşılık teşkil eder.

• Bu sebeple her açının karşılığı bir yay ve her yayın karşılığı bir açı göstermek mümkündür.

• Dönme yönü bir ok ile belirtilen çembere (Yönlü Çember), P₁P₂ yayına da (Yönlü Yay) denir.

• OD1 ve OD2 yarım doğruları arasındaki açıyı  ile gösterelim. Bu açı bir dönme hareketi ile meydana gelmiş ise aşağıdaki iki hal akla gelebilir

1. Dönme hareketinde yalnız  açısı veya P₁P₂ yayı çizilmiştir.

2. Dönme hareketinde bir veya daha fazla tur yapıldıktan sonra OD2 vaziyetine gelinmiştir.

• Birinci haldeki açı ve onun karşılığı yayın değeri  ise ikinci halde bu değer; çember çevresinin tur sayısı kadar fazla olur.

• Şu halde ikinci halde yayın değeri çember çevresinden büyüktür.

• Böyle yaylara (Genel Yaylar) adını vereceğiz.

• Yaylar çemberin bir parçası olduğu halde genel yaylar çemberin çevresinin tam misillerine bir parçanın eklenmesi suretiyle meydana gelirler.

Açı ve yay birimleri

1.Derece 2.Grat

3.Radyan

4.Milyem

1.2. a Derece:

• Çemberin 360 a bölünmesi ile bir derecelik yay elde edilir. Bu yayın karşılığı olan açı da bir derecelik açıdır. Bir derece, 1°

şeklinde gösterilir.

• Derece altmışa bölünerek derece dakikası (') ve dakika da altmışa bölünerek derece saniyesi (“) bulunur. Saniyenin 

küsuratları yani saliseler 100 lük sistemdir.

• Meselâ 3 derece 12 dakika 25 saniyelik bir açı 3° 12' 25” şeklin‐

de yazılır.

• Bu birimleri bulurken altmış ile böldüğümüzden derece sistemine; (60 lık sistem = systeme sexagesimal) denir.

• Çemberin uzunluğu 2..r formülü ile hesaplandığına göre;

l° lik yayın uzunluğu :

olur.

dır.

formülüyle bulunur.

Derece (°) Dakika (‘) Saniye (“)

Derece (°) 1 60 3600

Dakika (‘) 1/60 1 60

Saniye (“) 1/3600 1/60 1

• Açı birimleri olan dakika ve saniye ile zaman birimleri olan dakika (d) ve saniye (s) arasında ilişkiler kurulabilir.

• Dünyamızın kendi ekseni etrafında bir defa dönmesi, 1 gün, 24 saat ve 360' ile ifade edildiğinden:

1 360°

24 15° 900 54000"

1 900′

60 15′ 900"

1 900"

60 15"

olur.

• Şu halde zaman dakika ve saniyesinden açı dakika ve saniyesine geçmek için eldeki sayı 15 ile çarpılmalıdır.

Derecenin DD.DDDD ve DD° MM’ SS” formatında yazılışı

• Degree: Derece; Minute: Dakika; Second: Saniye olmak üzere

• Derece birimindeki açılar zaman zaman hem derece ve küsuratları; hem de derece dakika saniye biçiminde yazılabilir. Verilen veya elimizde bulunan 

derece değerini yanlış koyarsak muhakkak bulduğumuz sonuç da yanlış  olur. Bu yüzden elimizdeki derece değeri ile işlem yaparken muhakkak 

hangi form veya formatta olduğuna dikkat etmeliyiz.

• Derece ve küsuratları olarak yazılan derece DD.DDDD formatındadır. (100 lük sistem) dir. Örneğin 7,5 derece (7,5°) veya 12,45 derece (12,45°)

• Derece dakika saniye olarak yazılan açılar DD° MM’ SS” formatındadır. (60 lık sistem) dir. Örneğin 2 derece 15 dakika 38 saniye (2° 15’ 38”)

• Demek ki DD.DDDD formatından DD° MM’ SS”

formatına çevirmek için 60 ile çarpıyoruz;

• DD° MM’ SS” formatından DD.DDDD formatına

çevirmek için 60 a bölüyoruz.

60 lık sistemde toplama işlemi

Örnek:  = 74° 42’ 54” ve  = 27° 53’ 48” olduğuna göre + = ?

Öncelikle dereceler dakikalar ve saniyeler alt alta gelecek şekilde yazılır.

Toplama işlemine saniyeden başlanılır, Sırasıyla saniyeler, dakikalar ve dereceler toplanır.

Daha sonra saniye sütunundan başlamak üzere sırasıyla saniye ve dakika sütununda 60 dan büyük olandan 60 çıkartılıp; bir üst birime eklenir.

 74° 42‘ 54“

 27° 53‘ 48“

+ 101° 95‘ 102“ ^Toplam

101° 96‘ 42“ 102“ den 60”=1’ çıkartıldı 42” kaldı, dakika kısmına +1 ilave ettik.

+ 102° 36‘ 42“ 96’ den 60’= 1° çıkartıldı 36’kaldı, derece kısmına +1 ilave ettik.

Demek ki

+ = 74° 42’ 54” + 27° 53’ 48” = 102° 36’ 42” bulunur.

60 lık sistemde çıkarma

Örnek:  = 53° 36’ 12” ve  = 24° 53’ 48” olduğuna göre

 ‐  = ?

• Öncelikle dereceler dakikalar ve saniyeler alt alta gelecek şekilde yazılır.

• Çıkartma işlemine saniyeden başlanır. Eğer çıkartılan daha büyükse bir üst birimden bir alt birime dönüşüm 

yapılır.

Daha sonra saniye sütunundan başlamak suretiyle sırasıyla  saniye, dakika ve derece sütunlarında çıkartma yapılır.

 53° 36‘ 12“ 12” den 48” çıkamayacağı için 1’ =60” saniyeye çevrildi.

53° 35‘ 72“

52° 95‘ 72“ 35’ den 53’ çıkamayacağı için 1° =60’ dakikaya çevrildi

 24° 53‘ 48“

 -  28° 42‘ 24“ ^Çıkartma

Demek ki  -  = 53° 36’ 12” - 24° 53’ 48” =28° 42’ 24” olmuş olur.

60 lık sistemde çarpma

• Genellikle bir katsayı ile derece biriminde bir açı çarpılabilir.

Değilse bir derece ile başka bir derecenin çarpımı söz konusu  olamaz. (özel durumlar hariç). 

• Çarpma işleminde de yine saniyeden başlanarak sırasıyla saniye, dakika ve derece sütunları çarpılır.

• Daha sonra saniyeden başlayarak yine sırasıyla saniye ve dakika kısımlarında 60 ve 60 ın katlarından büyük olandan 

60 ve 60 ın katları çıkartılıp;  bir üst birime her 60 için +1  eklenir.

Örnek:  = 63° 25’ 36” olduğuna göre 3. = ?

 63° 25‘ 36“

X 3 ^Katsayı

189° 75‘ 108“ ^Çarpma

189° 76‘ 48“ 108 den 60”=1’ çıkartıldı dakikaya +1 eklendi.

3. 190° 16‘ 48“ 76’dan 60’=1° çıkartıldı dereceye +1 eklendi.

60 lık sistemde bölme

• Bu sistemde bir derece başka bir dereceye bölünerek bir katsayı veya bir oran veya dereceyi bir katsayıya bölerek bir 

derece bulmak için gerekebilir.

• Elimizde trigonometrik hesap makinesi yoksa aşağıda verilen örnekteki yöntemleri uygulayarak bölme işlemini yapabiliriz.

• Fakat bu işlemler zahmetli bir işlemler silsilesi olduğu için bilhassa bölme işleminde ve diğer işlemlerde trigonometrik  bir hesap makinesi edinip işlemleri yanlışsız olarak makineyle 

yapmakta yarar görüyorum.

60 lık sistemde bölmeye Örnek:

 = 63° 25’ 36” ve  = 24° 53’ 48” olduğuna göre

∆ nin sonucu nedir?

Çözüm: Önce  yı saniyeye çevirelim:

63 x 3600 + 25 x 60 + 36 = 228336” bulunur.

Şimdi de  yı saniyeye çevirelim:

24 x 3600 +53 x 60 + 48 = 89628” bulunur.

Oranı bulunmuş olur.

• Aşağıda vereceğim tek örnek kendi içinde toplama, çarpma ve bölme olmak üzere üç adet işlem içermektedir.

• Ayrıca derece olarak verilen değerler hibrit olarak verilmiştir. Yani derece bir yerde DD.DDDD bir yerde de DD° MM’ SS” formatında verilmiştir.

• Dikkatle çözümünü takip ederek siz de yapınız. Siz de aynı sonuçları bulmalısınız.

Bulamamışsanız bana sorabilirsiniz.

Örnek:

• Bir usta bir duvarı tek başına 6 saat 42 dakika

32 saniye 25 salisede örmektedir; Başka bir

duvar ustası aynı duvarı tek başına 7,7525 saatte

örmektedir. Her iki ustanın aynı zamanda

çalışması durumunda bu duvarı kaç saat kaç

dakika kaç saniye kaç salisede örerler?

Çözüm:

Saat sistemi de 60 lık sistem olduğu için saat sistemini de derece sistemi gibi  düşünebiliriz.

Zaman süre: Time Saat: Hour Dakika: Minute Saniye: Second 1.nci ustanın süresi T₁ = 6^H 42^M 32.25^S

2.nci ustanın süresi T₂ = 7,7525^H

Her iki ustanın çalışması durumundaki süre T = ?

Dikkat ederseniz T_1, DD° MM’ SS” formatında; T₂ ise DD.DDDD formatında  verilmiştir. Hesaplamada kolaylık olması için önce T₁ i DD.DDDD formuna 

çevirelim;

T₁ = 6^H 42^M 32.25^S olduğuna göre;

6 42 60

32,25

3600 6,708958333

T₁ = 6^H 42^M 32.25^S = 6,708958333^H olmuş olur. Artık şimdi her iki  değer de DD.DDDD formunda.

Sorunun çözümü için kullanılacak formül ters orantı formülüdür. Bu  formül seri bağlı kondansatörlerin kapasite‐sığa hesabında veya  paralel bağlı rezistansların ohmic direnç değerlerinin hesabında, 

ayrıca havuz problemlerinin çözümünde kullanılan formüldür.

1 1 1

→ 6,708958333 7,7525

6,708958333 7,7525

52,01119945

14,461458333 3,59653904 Demek ki her iki usta çalıştığı takdirde duvarı 3,59653904 saatte  örebilirlermiş. Şimdi DD.DDDD formunda bulduğumuz bu değeri  soruda istendiği gibi saat dakika saniye ve saliseye yani 60 lık sisteme 

çevirelim.

3,59653904 ‐ 3= 0,59653904 0,59653904 x 60 = 35,7923424

35,7923424 – 35 = 0,7923424 0,7923424 x 60 = 47,540544

3^H 35^M 47,54^S bulunur. Yani her iki usta çalıştığı takdirde;

3 saat 35 dakika 47 saniye ve 54 salisede bu duvarı örmüş  olurlar.

1.2 b Grat (=Grad)

• Çemberin 400 e bölünmesi ile bir gratlık yay elde edilir ve 1^g şeklinde gösterilir.

• Grat yüze bölünerek bir grat dakikası (1^c) veya santigrat

• ve bu da yüze bölünerek bir grat saniyesi (1^cc) bulunur.

• Grat sistemine (100 lük sistem = systeme cenétcimal) denir.

• Bir grat dakikasi 1^c, bir grat saniyesi 1^cc şeklinde gösterilir.

Bir gratlık yayın uzunluğunu hesaplayalım:

Çemberin uzunluğu 2..r formülü ile hesaplandığına göre l^g lik yayın  uzunluğu :

l lik yay 2. . 400 olur.

l lık yay 2. . 400.100 dır.

l lık yay 2. .

400.100.100 formülüyle bulunur.

Grat sisteminde dört işlem

• Bu birim 100 lük sistem olduğu için grat değeri ondalık sayı gibi hesaplanır.

• Bulunan sonuçların virgülden öncesindekine (tamsayı kısmına) pekala

grad ( ^g ) virgülden sonraki ilk iki rakamına grad dakikası ( ^c ) virgülden sonraki 3.üncü ve 4.üncü rakamlara grad saniyesi ( ^cc ) sembolü yerleştirilebilir.

Örnek:  = 84^g 32^c 64^cc = 84.3264^g Örnek:  = 42.36587^g = 42^g 36^c 58.7^cc

1.2 c Radyan = Analitik birim

• Uzunluğu yarıçapa eşit olan yaya bir radyanlık yay denir ve 1 rad, 1 rd veya 1 R şeklinde gösterilir.

• Bazen de a r c 1 şeklinde ifade edilir.

• Yarıçapı r olan bir çemberde uzunluğu y olan bir yayın radyan değerini bulmak için yay uzunluğu yarıçapa bölünür.

• Şu halde radyan değeri, bir orandan ibarettir. Matematiğin analiz bölümünde açıların bilhassa bu birimle ifadesi gerektiğinden buna 

analitik birim de denir. Radyan sistemine (enternasyonal sistem =  système International) denir.

• Aşağıda «Radyan nedir?» ile ilgili iki tane animasyon verilmiştir.

formülünü kullanarak tam bir çemberin radyan değerini bulalım:

olur.

Şeklinde de yazılabilir.

1.2. d Milyem

• Çemberin 6400 e bölünmesi suretiyle elde edilen yay 1 milyemlik yaydır.

• Bu birim askerlikte topçu birliklerinde kullanılır.

• Gösterilişi, değer sayısının üzerine iki çizgi koymak suretiyledir. 

• Bir milyemlik yayın uzunluğu:

1 2. .

6400 dır.

Örnek :

için 1 milyemlik yay boyunu bulalım.

bulunur.

Şu halde askerî hedefler 1000 metre uzaklıkta iseler 1 milyemlik bir açının karşılığı, yaklaşık olarak, 1 metrelik bir yaydır.

Açı ve yay birimlerinin birbirine çevrilmesi

• Bir tam açının ¼ inin karşılığı 90º = 100g = ½. R = 1600̿ dir. (dik  açı)

• Bir tam açının ½ sinin karşılığı 180º = 200g = R = 3200̿ dir. 

(üçgen iç açıları toplamı)

• Bir tam açının ¾ nün karşılığı 270º = 300g = 3/2. R = 4800̿  dir.

• Bir tam açının karşılığı 360º = 400g = 2R = 6400̿ dir.

• Trigonometrik hesaplamalarda her zaman böyle basit tam  açı değerleriyle karşılaşmayız. Çoğu kez küsuratlı 

değerlerle çalışırız. Bunun için aşağıda verilen formülle  istenilen dönüşümleri yapabiliriz.

• Bir açı veya yayın, Derece, Grat, Radyan ve Milyem değerleri sırasıyla D, G, R ve M olsun. Yayın bütün 

çembere oranı her birim için aynı olduğundan:

• .

• yazılabilir. Formüldeki dört oranı ikişer ikişer almak  suretiyle istenilen çevirmeler yapılabilir.

9

10 . , 180

. , 360

6400 . 10

9 . , 200

. , 400

6400 . 180 . ,

200 . ,

3200 . 6400

360 . , 6400

400 . , 3200

.

• Dinlediğiniz için teşekkür ederim.

• Örgün ve uzaktan eğitim öğrencileri için; bu ve buna benzer  kapsamlı anlatımları ve çözülmüş problemleri içeren bilgileri 

bana ait WEB SAYFASINDA bulabilirsiniz;

• WEB Sayfama Google arama motorunda arama kelimesi  olarak “mesleki trigonometri” yazarsanız arama sonucu 

gelen 1. sayfanın 1. satırında “Sait TANRIÖĞEN: 

Trigonometri“ yi bulabileceksiniz.

• Burayı tıklayarak WEB siteme ulaşabilirsiniz.