prod olduğunu gösteriniz

(1)

Adı Soyadı: 08. 06. 2017 No:

Süre: 90 dakika

MT 342 Genel Topoloji Dönem Sonu Sınavı

1-a) Topoloji tanımını yapınız.

b) Hausdorff topolojik uzay tanımını yapınız.

2-a) X  R ve   _L ve Y R ve     _std olmak üzere

U {(x, y) : x 2 ve 0 y 1 }     prod olduğunu gösteriniz.

b) B {[a,b] : a, b R ve a b}   ailesinin R üzerinde bir topolojinin bazı olmadığını gösteriniz.

3-a) f : ( ,R _std)( ,R_L), ( )f x  x² olarak tanımlanan fonksiyonun sürekli olduğunu gösteriniz.

b) d ve ₁ d ₂ ^X üzerinde iki metrik olmak üzere ( , )x y d x y¹( , )d x y²( , ) olarak tanımlana dönüşümün X üzerinde bir metrik oluğunu gösteriniz.

4) ( ,X  ve ( , )_X) Y  iki topolojik uzay olsun. (her ikisinde de çarpım topolojisi ^Y kullanıldığında) X Y ile Y X in homeomorfik olduğunu gösteriniz. (Yol Gösterme:

( , ) ( , )

f x y  y x in bir homeomorfizma olduğunu gösterin. Çarpım topolojinin bazını kullanınız.)

5) Aşağıda bırakılan boşlukları doldurunuz.

( , )X  bir topolojik uzay ve A X olsun.

a) A İntA...

b) ...İntA^c

c) x...  x U A olacak şekilde U vardır.

d)x A, 'nın bir yığılma noktasıdır x U olacak şekildeki her U için ... dir.

(Her Soru 20 puandır) BAŞARILAR