Örnek 3.2.8.
( )t 12=s
olduğunu gösteriniz.
Çözüm. Kısmi integrasyon metodu ile
0 0
2 0
2 2
( ) lim
lim 1
1 1
lim 0 0
R
st st
R
t R
st st
R t
sR sR
R
t te dt te dt
te e
s s
Re e
s s s
¥
- -
¥
=
- -
¥ =
- -
¥
= =
æ- ö÷
= çççè - ÷÷ø
æ- ö÷
= çççè - ÷÷ø+ + =
ò ò
elde ederiz, burada
Re( ) 0s sağ yarı düzleminde bulunan s değerleri için dönüşüm tanımlı olur çünkü sadece bu durumda
lim sR 0R e
¥ =
olmaktadır.
Örnek 3.2.9.
(cos )bt 2 s 2s b
= +
olduğunu gösteriniz.
Çözüm.
(eibt) 1=s ib
-
ve
(e ibt) 1 s ib- =
+
olduğundan
2 2
1 1 1 1 1 1
(cos ) ( ) ( )
2 2 2 2
ibt ibt s
bt e e
s ib s ib s b
= - - = + =
- + +
elde edilir.
Problemler.
1.
Re( )s >0olduğunu göz önüne alarak
(1) 1=s
olduğunu gösteriniz.
2.
( ) 1, 1 20, f t t
diğer durumlar ì < <
= íïï
ïïî
fonksiyonu için
( ( ))f tLaplace dönüşümünü bulunuz.
3.
( ) , 1 0,t t c
f t diğer durumlar ì < <
= íïï
ïïî
fonksiyonu için
( ( ))f tLaplace dönüşümünü bulunuz.
4.
( ) , 0 10, eat t
f t diğer durumlar ìï £ <
= íï
ïïî
fonksiyonu için
( ( ))f tLaplace dönüşümünü bulunuz.
5. Re( )s >0
olduğunu göz önüne alarak
( )t2 23=s
olduğunu gösteriniz.
3.2 Öteleme Teoremi
Teorem. 3.2.1. Eğer
f t( )nin Laplace dönüşümü
F s( )ise bu durumda
(e f tat ( ))=F s a( - )dır.
İspat.
0
( ( ))f t F s( ) f t e dt( ) st
¥
= =
ò
-
den
( )0 0
(e f tat ( )) e f t e dtat ( ) st f t e( ) s a tdt F s a( )
¥ ¥
- - -
=
ò
==ò
= -
elde
edilir.
Örnek 12.6.2.
( ) ! 1( )
n at
n
t e n
s a +
= -
olduğunu gösteriniz.
Çözüm. Eğer
f t( )=tnalırsak
( ) ( )n nn!1F s t
s+
= =
bulunur. Yukarıdaki öteleme teoreminden
1
( ) ( ) !
( )
n at
n
t e F s a n
s a +
= - =
-
Problemler.
1.
(et-tet)Laplace dönüşümünü bulunuz.
2.
(e-4tsin 3 )tLaplace dönüşümünü bulunuz.
3.
( cos ) 2 2( )
at s a
e bt
s a b
= -
- +
olduğunu gösteriniz.
4.
( sin ) 2 2( )
at b
e bt
s a b
= - +
olduğunu gösteriniz.
