AHİ EVRAN MESLEKİ EĞİTİM MERKEZİ 10.SINIF MATEMATİK DERSİ. ORAN ve ORANTI. a ve b reel sayılarının en az biri sıfırdan farklı olmak üzere,

(1)

Zeki DOĞAN Matematik Öğretmeni Sayfa 1

ORAN ve ORANTI

A. ORAN

a ve b reel sayılarının en az biri sıfırdan farklı olmak üzere, ye a nın b ye oranı denir.

B. ORANTI

En az iki oranın eşitliğine orantı denir. Yani , oranı ile nin , eşitliği olan = ye orantı denir.

= ise, a : c = b : d dir. Burada a ile d ye dışlar, b ile c ye içler denir.

C. ORANTININ ÖZELİKLERİ

1) = ise, a• d = b • c ‘ dir. ( Dışlar çarpımı ,içler çarpımına eşittir.)

2) = ise, = ‘ dir. ( İçler yer değiştirebilir.)

3) = ise, = ‘dır. (Dışlar yer değiştirebilir.)

4) = ise, = ‘dir. (Orantının payları paydaya , paydaları paya yazılabilir.Orantının tersleri alınabilir.)

• Oranlanan çokluklardan ikisi aynı anda sıfır olamaz.

• Oranın payı ya da paydası sıfır olabilir.

• Oranlanan çoklukların birimleri aynı cinsten olmalıdır.

• Oranın sonucu birimsidir.

(2)

Zeki DOĞAN Matematik Öğretmeni Sayfa 2 5) = = k ise, ‘k’ sayısına orantının sabiti denir.

6) = = = ise , = k’ dır.

7) a : b : c = x : y : z ise, = = = k’ dır.

D. ARİTMETİK ORTALAMA

n tane sayının aritmetik ortalaması bu n sayının toplamının n ye bölümüdür.

x1 + x2 + x³ + ….+ xn Buna göre, x1, x₂, x₃, … , xn sayılarının aritmetik ortalaması, ‘dir.

n

ÖRNEK: 11 , 18 , 26 ve 45 sayılarının aritmetik ortalamasını bulalım.

ÇÖZÜM:

11 + 18 + 26 + 45 100

= = 25 bulunur.

4 4

E. GEOMETRİK ORTALAMA(ORTA ORANTILI)

= orantısında x sayısı a ile b arasında geometrik ortadır.İçler dışlar çarpımı yapılırsa, x² = a • b x = ’ dir.

m≠ 0 veya n ≠ 0 olmak üzere

a) =

= k ‘dır. d) b)

= k ‘dır. e) + p = + p = k + p ’ dir.

c) • = k^{2 ‘}dir. f) = =

‘ dir.

(3)

Zeki DOĞAN Matematik Öğretmeni Sayfa 3 ÖRNEK:

x sayısı 4 ile 9 arasında geometrik ortadır. x sayısını bulalım.

ÇÖZÜM:

x² = 4 • 9 x² = 36 x² = 36 x = 6 bulunur.

( Hangi sayının karesi 36 olur?)

ÖRNEK:

= orantısında x sayısını bulalım.

ÇÖZÜM:

= x² = 3 • 27 x² = 81 x² 81 x = 9 bulunur.

( Hangi sayının karesi 81 olur?)

F. DÖRDÜNCÜ ORANTILI

= orantısını sağlayan x sayısına a, b, c sayıları ile dördüncü orantılı olan sayı denir.

ÖRNEK:

= orantısında x sayısını bulalım.

ÇÖZÜM:

x sayısı dördüncü orantılıdır. İçler dışlar çarpımlarını yapalım.

= 3 • x = 8 • 6 3x = 48 x = 16 bulunur.

G. ORANTI ÇEŞİTLERİ

Doğru Orantılı Çokluklar

Orantılı iki çokluktan biri artarken diğeri de aynı oranda artıyorsa ya da biri azalırken diğeri de aynı oranda azalıyorsa bu iki çokluk doğru orantılıdır denir.

x ile y çoklukları doğru orantılı ve k pozitif bir doğru orantı sabiti olmak üzere, y = k • x ifadesine doğru orantının denklemi denir. Bu denklemin grafiği diğer sayfada verilmiştir.

x ile y çokluklarının doğru orantılı olduğu grafik aşağıdaki gibidir.

(4)

Zeki DOĞAN Matematik Öğretmeni Sayfa 4 (x > 0 ve y > 0)

ÖRNEK:

16 kg undan 40 ekmek yapılmaktadır. 20 kg undan kaç ekmek yapılır ÇÖZÜM:

16 kg undan 40 ekmek yapılırsa, 20 kg undan x ekmek yapılır.

16 • x = 20 • 40 16x = 800

x = 50 ekmek yapılır.

Aynı soruyu; aşağıdaki gibi de çözebiliriz.

=

16 • x = 20 • 40 16x = 800 x = 50 ekmek

ÖRNEK:

Bir günde 6 işçi birlikte çalışarak 100 m² duvar örüyor. Bir günde 12 işçi birlikte çalışarak kaç m² duvar örer?

ÇÖZÜM:

6 işçi 100 m², 12 işçi x m² 6 işçi • x = 12 • 100 6x = 1200 x = 200 m²

=

6 • x = 12 • 100 6x = 1200 x = 200 m²

(5)

Zeki DOĞAN Matematik Öğretmeni Sayfa 5 Ters Orantılı Çokluklar

Orantılı iki çokluktan biri artarken diğeri aynı oranda azalıyorsa ya da biri azalırken diğeri aynı oranda artıyorsa bu iki çokluk ters orantılıdır denir.

x ile y çoklukları ters orantılı ve k pozitif bir ters orantı sabiti olmak üzere, x • y = k ifadesine ters orantının denklemi denir.

x ile y çokluklarının ters orantılı olduğu grafik aşağıdaki gibidir.

(x > 0, y > 0 ve k > 0)

ÖRNEK:

Bir işi 6 işçi birlikte çalışarak 12 günde bitiriyorlar.Aynı işi 8 işçi kaç günde bitirir?

ÇÖZÜM:

6 işçi 12 günde bitirirse, 8 işçi x günde bitirir 8 • x = 6 • 12

8x = 72

x = 9 günde

x • y = k 6 • 12 = k k = 72 8 • y = 72 y = 9 günde

(6)

Bir otomobil bir yolu 90 km/sa hızla 2 saatte alıyor. Aynı otomobil aynı 120 km/sa hızla kaç saatte alır?

ÇÖZÜM:

90 km/sa hızla 2 saatte alırsa, 120 km/sa hızla x saatte alır.

90 • 2 = 120 • x 120 x = 180 x = 1,5 saatte

x • y = k 90 • 2 = k k = 180 120 • y = 180 y = 1,5 saatte

GEOMETRİK KAVRAMLAR

Geometride “Nokta”, “Doğru”, “Düzlem” gibi kavramlar tanımsız olarak kabul edilir.

1. Nokta: “.” biçiminde gösterilir. Boyutu yoktur. ( • A noktası gibi ) 2. Doğru: İki uçtan sınırsız noktalar kümesidir.

3. Düzlem: Her yönde sonsuza giden noktalar kümesidir.

E düzlemi dört yönde de sonsuza kadar gider.

Edüzlemi yandaki gibi gösterilir.

(7)

Zeki DOĞAN Matematik Öğretmeni Sayfa 7 İki nokta arasındaki uzaklık

Apsisleri veya ordinatları eşit olan noktalar arasındaki uzaklık.

Apsisleri eşit olan iki nokta arasındaki uzaklık, bu iki noktanın ordinatları farkının mutlak değeridir.

A(a, c) ve

B(a, b) noktaları için

|AB| = |c – b|

Ordinatları eşit olan iki nokta arasındaki uzaklık, bu iki noktanın apsisleri farkının mutlak değeridir.

A(b, a) ve

B(c, a) noktaları için |AB| = |c – b|

AÇILAR

Açı: Aynı doğru üzerinde olmayan, başlangıç noktaları ortak olan iki ışının birleşim kümesine AÇI denir.

Açılar üç şekilde okunur;

1) Işınların nokta adları alınarak:

(ABC) açısı = (CBA) açısı

2) Sadece başlangıç noktası alınarak:

3) (B) açısı şeklinde.

Açıyı oluşturan iki ışının kesişim noktası B’ ye AÇININ KÖŞESİ, [BA ve [BC ışınlara ise, açının AÇININ KOLLARIdenir.

(8)

Zeki DOĞAN Matematik Öğretmeni Sayfa 8 Bir açı, bulunduğu bölgeyi üç bölgeye ayırır;

Açı ölçüsü DERECEDİR. Açıların ölçüsünü bulmak için AÇI ÖLÇER (İLETKİ )kullanılır.

Açı Çeşitleri

1) Dar Açı: Ölçüsü 0º `den büyük ve 90º`den küçük açılara DAR AÇI denir.

2) Dik Açı: Ölçüsü 90º olan açıya DİK AÇI denir.

3) Geniş Açı: Ölçüsü 90º`den büyük 180º`den küçük olan açıya GENİŞ AÇI demir.

4) Doğru Açı: Ölçüsü 180º olan açıya DOĞRU AÇI denir.

1.Açının Kendisi 2.Açının Dış Bölgesi 3.Açının İç Bölgesi

m(BAC) = 90⁰ dır.

α = 90⁰

[AB] ⊥ [AC]’dir.

BAC açısı. 90⁰ < α < 180⁰ ‘dir 0º < α < 90º’ dir.

(9)

Zeki DOĞAN Matematik Öğretmeni Sayfa 9 5) Tam Açı: Ölçüsü 360º olan açıya TAM AÇI denir.

6) Tümler Açı: İki açının ölçüleri toplamı 90º olan açıya TÜMLER AÇI denir.

ÖRNEK:

Tümler iki açıdan biri 35⁰ ise, diğeri kaç derecedir?

ÇÖZÜM:

Açı x olsun. x + 35⁰ = 90⁰ olmalıdır.

x = 90⁰- 35⁰ x = 55⁰ bulunur.

7) Bütünler Açı: İki açının ölçüleri toplamı 180º ise bu açılara BÜTÜNLER AÇI denir.

ÖRNEK:

Bütünler iki açıdan biri 105⁰ ise, diğeri kaç derecedir?

ÇÖZÜM:

Açı x olsun. x + 105⁰ = 180⁰ olmalıdır.

x = 180⁰- 105⁰ x = 75⁰ bulunur.

Tam açı = Çember açı

α + β = 90⁰’dir.

BAC ve DEF açıları ölçüleri toplamı 90⁰’dir.

α + β = 180⁰’dir.

ABC ve DEF açıları ölçüleri toplamı 180⁰’dir.

(10)

Zeki DOĞAN Matematik Öğretmeni Sayfa 10 Bir Noktada Kesişen İki Doğrunun Oluşturduğu Açılar:

a) Komşu Açılar: Başlangıç noktaları aynı iki veya daha fazla açıya KOMŞU AÇILAR denir.

b) Komşu Tümler Açılar: Başlangıç noktaları aynı, ölçüleri toplamı 90º olan iki farklı açıya KOMŞU TÜMLER AÇILAR denir.

ÖRNEK:

ÇÖZÜM:

c) Komşu Bütünler Açılar: Başlangıç noktaları aynı, ölçüleri toplamı 180º olan açıya KOMŞU BÜTÜNLER AÇILAR denir.

α + β = 90⁰’dir.

BAC açısının ölçüsü 90⁰’dir Yandaki şekilde komşu

açıları bulunuz.

α + β = 180⁰’dir.

ABC ve CBD açıları ölçüleri toplamı 180⁰’dir.

m(ABD) + m(DBC) = 90⁰ olmalıdır.

x + 50⁰ = 90⁰ x = 90⁰ - 50⁰ x = 40⁰ bulunur.

Yandaki şekilde; m(DBC) = 50⁰ ise, m(ABD)=? kaç derecedir?

(11)

Şekilde; m(CBD) = 70⁰’dir. m(ABC) = ? kaç derecedir?

ÇÖZÜM:

ÖRNEK:

Bütünler iki açıdan birinin ölçüsü diğerinden 20⁰ fazladır.Bu açıların bulunuz.

ÇÖZÜM:

Açının biri x olsun. Diğeri x + 20⁰ olur. Bu açılar bütünler iki açı olduğundan x + x + 20⁰ = 180⁰ ‘dir.

2x + 20⁰ = 180⁰ 2 x = 180⁰ - 20⁰ 2 x = 160⁰ x = 80⁰ bulunur.

d) Ters Açılar: Köşeleri ortak ve kenarları birbirine zıt ışınları olan iki açıya TERS AÇI denir. Ters açıların ölçüleri birbirine eşittir.

ÖRNEK:

Yandaki şekilde verilen ters açıları inceleyelim.

ÇÖZÜM:

m(AOD) = m(BOC) =α’dır. m(AOC) = m(BOD) = β’dir.

m(ABC) + m(CBD) = 180⁰ olmalıdır.

α + 70⁰ = 180⁰ α = 180⁰ - 70⁰ α = 110⁰ bulunur.

m(AOC) = m(DOB) = 75⁰’ dir.

m(AOD) = m(COB) = 105⁰’dir.

(12)

Zeki DOĞAN Matematik Öğretmeni Sayfa 12 Paralel İki Doğrunun Bir Kesenle Yaptığı Açılar

a)Yöndeş Açılar: Şekildeki gibi konumlanan açılara YÖNDEŞ AÇILAR denir.

Yöndeş açılar birbirine eşittir.

b) Ters Açılar: Köşeleri ortak ve kenarları birbirine zıt ışınları olan iki açıya TERS AÇI denir. Ters açıların ölçüleri birbirine eşittir.

c) Dış Ters Açılar: Şekildeki gibi konumlanan açılara DIŞ TERS AÇILAR denir.

Dış ters açıların ölçüleri birbirine eşittir.

d) İç Ters Açılar: Şekildeki gibi konumlanan açılara İÇ TERS AÇILAR denir.

Dış ters açıların ölçüleri birbirine eşittir.

Yandaki şekilde,[AB] kesen ve [CE] // [FG] ‘dir.

m(DAE) = m(DBG), m(EAH)=m(GBH)’dır.

m(DAC) = m(DBF), m(CAH)=m(FBH)’dir.

m(DAE) = m(CAB), m(CAD)=m(BAE)’dir.

m(ABG) = m(FBH), m(FBA)=m(GBH)’dir.

m(DAE) = m(FBH), m(CAD)=m(GBH)’dir.

m(BAC) = m(ABG), m(ABF)= m(BAE)’dir.

(13)

Zeki DOĞAN Matematik Öğretmeni Sayfa 13 e) Karşı Konumlu Açılar: Şekildeki gibi konumlanan açılara KARŞI KONUMLU AÇILAR denir. Karşı konumlu açıların toplamı 180º`dir.

ÖRNEK:

Yandaki şekilde, k // l ‘dir. d kesen ve m(DAH) = 70⁰ ise,

a) m(CBF) = x⁰ = ? b) m(CBG) = ? c) m(CAE) =?

d) m(CAD) =?

e) m(GBH) = ?

f) m(EAH) = ? Bulalım.

ÇÖZÜM:

Yandaki şekilde,[AB] kesen ve

[CE] // [FG] ‘dir.

BAE ile ABG ve CAB ile ABF açıları için;

m(BAE) +m (ABG) = 180⁰’dir.

m(CAB) + m(ABF) = 180⁰’dir.

a) m(CBF) + m(DAH) = 180⁰’dir.

( Karşı konumlu açıların toplamı. 180⁰’dir.) x⁰ + 70⁰ = 180⁰

x⁰ = 180⁰ - 70⁰ x⁰ = 110⁰ bulunur.

b) m(CBG) = m(DAH) = 70⁰’dir. (İçters açılar eştir.) c) m(CAE) = m(DAH) = 70⁰’dir. (Ters açılar eştir.) d) m(CAD) = m(CBF) = 110⁰ ’dir. (Yöndeş açılar eştir.) e) m(GBH) = m(CBF) = 110⁰ ‘dir. (Ters açılar eştir.) f) m(EAH) = m(GBH) = 110⁰’dir. (Yöndeş Açılar eştir.)

(14)

Zeki DOĞAN Matematik Öğretmeni Sayfa 14 ÜÇGEN VE ÜÇGENDE AÇILAR

ÜÇGEN

Doğrusal olmayan üç noktayı birleştiren üç doğru parçasının birleşimine üçgen denir.

ÜÇGEN ÇEŞİTLERİ

1. Kenarlarına göre üçgen çeşitleri a) Çeşitkenar üçgen

Üç kenar uzunlukları da farklı olan üçgenlere çeşitkenar üçgen denir.

AB] U [AC] U [BC = ABC üçgenidir.

Burada; A, B, C noktaları üçgenin köşeleri, [AB], [AC], [BC] doğru parçaları üçgenin kenarlarıdır.

BAC, ABC ve ACB açıları üçgenin iç açılarıdır.

|BC| = a, |AC| = b, |AB| = c uzunluklarına üçgenin kenar uzunlukları denir.

İç açıların bütünleri olan açılara dış açılar denir.

BAD, DCF ve FBE açıları dış açılardır.

ABC üçgeni bir düzlemi; üçgenin kendisi, iç bölge, dış bölge, olmak üzere üç bölgeye ayırır. ABC üçgeni U {ABC iç bölgesi} = (ABC) (üçgensel bölge)

(15)

Zeki DOĞAN Matematik Öğretmeni Sayfa 15 b) ikizkenar Üçgen

.

c) Eşkenar Üçgen

2.Açılarına göre üçgenler a) Dar açılı üçgen

b) Dik açılı üçgen

Herhangi iki kenar uzunlukları eşit olan üçgenlere ikizkenar üçgen denir.

A’ ya TEPE NOKTASI denir.

IABI = IACI ‘dir

[BC]’ye taban, B ve C açılarına TABAN AÇILARI denir.

Taban açıları eştir.

.

Üç kenar uzunlukları da eşit olan üçgenlere eşkenar üçgen denir.

A’ ya TEPE NOKTASI denir.

IABI = IACI= IBCI ‘dir.

[BC]’ye taban, B ve C açılarına TABAN AÇILARI denir.

Bütün açıları eştir.

.

Üç açısının ölçüsü de 90° den küçük olan üçgenlere dar açılı üçgen denir.

Üç açısının da ölçüsü de 90° den küçük olan üçgenlere dar açılı üçgen denir.

x < 90⁰ , y < 90⁰ ve z < 90⁰ ‘dir.

Bir açısı 90⁰ diğer iki açısı dar açı olan üçgenlere dik açılı üçgen denir.

m(B) = x = 90⁰’dir.

y < 90⁰ ve z < 90⁰ ‘dir.

(16)

Zeki DOĞAN Matematik Öğretmeni Sayfa 16 c) Geniş açılı üçgen

ÜÇGENİN TEMEL ve YARDIMCI ELEMANLARI Üçgenin kenarları ve açıları temel elemanlardır.

Yardımcı elemanlar ise, Yükseklik, kenarortay ve açıortaylardır.

1.Yükseklik

Bir köşeden karşı kenara veya karşı kenarın uzantısına çizilen dik doğru parçasına yükseklik denir.

2.Açıortay

Üçgenin bir köşesindeki açıyı iki eş parçaya ayıran ışına o köşenin açıortayı denir.

Bir açısının ölçüsü 90° den büyük olan üçgenlere geniş açılı üçgen denir.

Bir üçgende bir tek geniş açı olabilir.

a kenarına ait yükseklik ha, b kenarına ait yükseklik hb,

c kenarına ait yükseklik hc biçiminde gösterilir.

Yüksekliklerin kesim noktasına üçgenin Diklik Merkezi denir.

A açısına ait açıortay

n

A, B açısına ait açıortay

n

B,

C açısına ait açıortay

n

C biçiminde gösterilir.

(17)

Zeki DOĞAN Matematik Öğretmeni Sayfa 17 3.Kenarortay

Üçgenin bir kenarının orta noktasını karşısındaki köşe ile birleştiren doğru parçasına o kenara ait kenarortay denir.

Dik üçgende, hipotenüse ait kenarortay hipotenüsün yarısına eşittir.

ÜÇGENDE AÇI ÖZELLİKLERİ

1.Üçgende iç açıların ölçüleri toplamı 180° dir.

a kenarına ait kenarortay

V

a,

b kenarına ait kenarortay

V

b,

c kenarına ait kenarortay

V

C biçiminde gösterilir.

[AD // [BC] olduğundan, iç ters ve yöndeş olan açılar bulunur.

m + n + k = 180°

m(A) + m(B) + m(C) = 180°

|BC| = a (hipotenüs)

(18)

Şekilde; ABC üçgeninde m(A) = 58⁰ ve m(B) = 60⁰ olduğuna göre, C açısının ölçüsünü bulunuz?

ÇÖZÜM:

2.Üçgende dış açıların ölçüleri toplamı 360° dir.

ÖRNEK:

Şekilde; ABC üçgeninde m(A) = 65⁰ , m(B) = 55⁰ ve m(C) = 60⁰ olduğuna göre, üçgenin dış açılarının ölçüsünü bulalım.

ÇÖZÜM:

3.Üçgende bir dış açının ölçüsü kendisine komşu olmayan iki iç açının ölçüleri m(DAB) = m(A’) = 55⁰ + 60⁰= 115⁰

m(EBF) = m(B’) = 65⁰ + 60⁰ = 125⁰ m(ACF) = m(C’) = 65⁰ + 55⁰ = 120⁰ m(A’)+ m(B’)+ m(C’)=180⁰ ‘dir.

m(A) + m(B) + m(C) = 180⁰’dir.

58⁰ + 60⁰ + x = 180⁰ 118⁰ + x = 180⁰ x = 180⁰ - 118⁰ x = 62⁰ bulunur.

Yandaki sakilde, x +y+ z= 360⁰

(19)

Zeki DOĞAN Matematik Öğretmeni Sayfa 19 toplamına eşittir.

ÖRNEK:

Şekilde; ABC üçgeninde m(B) = 55⁰ ve m(C) = 60⁰ olduğuna göre, x ile verilen dış açının ölçüsünü bulalım.

ÇÖZÜM:

ÖRNEK:

Şekilde; ABC üçgeninde m(B) = 54⁰ ve m(ACE) = 120⁰ olduğuna göre, A açısının ölçüsünü bulalım.

ÇÖZÜM:

[AB] // [CE olduğundan m(ACD)= x+y

x = m(B) + m(C)

x = 55⁰ + 60⁰ bulunur.

m(A) + m(B) = m( ACE) olmalıdır.

x + 54⁰ = 120⁰ x = 120⁰- 54⁰ x = 66⁰ bulunur.