ÇOK FAZLI DEVRELER
Üç Fazlı
Devreler
Eğer gerilim kaynaklarının genlikleri aynı ve aralarında 1200 faz farkı var ise böyle bir kaynağa dengeli üç fazlı gerilim kaynağı denir.
Eğer bu kaynağa bağlı yükten geçen akımların genlikleri de aynı ise bir bütün olarak bu sisteme dengeli üç fazlı sistem denir.
Vrms V
veya
Vrms V
Vrms V
Vrms V
cn bn an
0 0 0 0
120 120
240 120
120 120
0 120
∠
=
−
∠
=
−
∠
=
∠
=
a
n b Vrms c
Van =120∠00 Vbn =120∠−1200Vrms
Vrms Vcn =120∠−2400
Van Vbn Vcn
t
Üç fazlı sistemlerde üretilen anlık güç ( )
( )
( )
( )t
(
t)
Vv
V t
t v
tV t
v
cn bn an
0 0
240 cos
2 120
120 cos
2 120
cos 2 120
−
=
−
=
=
ω ω ω
( )
( )
( )
( )t V
(
t)
Vv
V t
V t
v
tV V
t v
M cn
M bn
M an
0 0
240 cos
120 cos
cos
−
=
−
=
=
ω ω ω
( ) ( )
( )
( )
( )t I
(
t)
Ai
A t
I t
i
A t
I t
i
M c
M b
M a
0 0
240 cos
120 cos
cos
−
−
=
−
−
=
−
=
θ ω
θ ω
θ ω
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
− +
−
−
− +
−
=
+ +
=
0 0
0 0
240 cos
240 cos
120 cos
120 cos
cos cos
θ ω
ω
θ ω
ω
θ ω
ω
t t
t t
t t
I V t
p
t p t
p t
p t
p
M M
c b
a
Trigonometrik eşitlikleri kullanırsak;
( ) ( )
[
α β α β]
β
α cos = cos − + cos +
cos 21
( )
( )
( )
( )
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
− +
+
−
− +
+
− +
=
0 0
120 2
cos cos
240 2
cos cos
2 cos cos
2 θ ω θ
θ ω θ
θ ω θ
t t I t
t V
p M M
(
120)
cos(
120)
0cos
cosφ + φ − 0 + φ + 0 =
( )
V IÜç Fazlı
Bağlantılar
a
n b c
an bn
cn
Faz a
Faz b
Faz c Dengeli
Üç Fazli
Güç Kaynagi
0 0 0
120 120 0
+
∠
=
−
∠
=
∠
=
F cn
F bn
F an
V V V V
V V
= 0 +
+
bn cnan
V V
V
= 0
∠Van 0
Aksi belirtilmedikçe alınacaktır.
Yıldız (Y) Bağlı Yük:
Üçgen Bağlı Yük:
( )
∆a
b
c
Z
Yük Z
Z
a
b c
Z
Yük
Z Z
Kaynak / Yük
Bağlantıları
Kaynak/Yük Bağlantıları:
1. Yıldız-Yıldız Bağlantı
2. Yıldız-Üçgen Bağlantı
3. Üçgen-Yıldız Bağlantı
4. Üçgen-Üçgen Bağlantı
Dengeli Yıldız-Yıldız Bağlantı
a b
c
Y Y Y an
bn
a
cn
b
c
n
Devreden;
0 0 0
120 120 0
+
∠
=
−
∠
=
∠
=
F cn
F bn
F an
V V V V
V V
Kirchoff’un gerilimler kanununu kullanırsak;
0 0
2 3 2
3
2 3 2
1
120 0
⎥⎦
⎢ ⎤
⎣
⎡ +
=
⎥⎦
⎢ ⎤
⎣
⎡− −
−
=
−
∠
−
∠
=
−
=
F
F F
j V
j V
V
V V
ab ab
F F
ab
bn an
ab
V V V
V V
V
0 0 0
210 3
90 3
30 3
−
∠
=
−
∠
=
∠
=
F F
V V V
ca bc
F ab
V V V
Hat gerilimi;
F
H
V
V = 3
Akım hesaplamaları;
Y F Y
a an
V Z Z
I V
0
0= ∠
=
I
cI
b ve aynı fakat sırasıyla 120 ve 240 derece geriler.Nötr akım ise;
( + + ) = 0
=
a b cn
I I I
I
Buradan yıldız-yıldız bağlantı;
Y
H
I
I =
olur.Örnek;
a,b,c pozitif faz sıralı üç fazlı gerilim kaynağı dengeli yıldız olarak bağlanmıştır.
ise faz gerilimleri nedir?
ab
Vrms
30
0208 ∠ −
=
V
Çözüm;
Vrms V
V
F F
120 3 208
=
=
Hat ve faz gerilimleri arasındaki faz ilişkileri;
Vrms Vrms
Vrms
cn bn an
0 0
0 0
60 120
180 120
) 30 30
( 120
+
∠
=
−
∠
=
−
−
∠
= V
V V
olur.
Örnek;
Üç fazlı yıldız bağlı yük, a,b,c faz sıralı dengeli üç fazlı yıldız bağlı kaynak tarafından beslenmektedir.
Vf=120
Bir faz için hat empedansı=1+j1 Bir faz için yük empedansı=20+j10
Vrms
Ω Ω
ise;
Hat akımları ve yük gerilimleri nedir?
Çözüm;
Faz gerilimleri;
Vrms Vrms Vrms
cn bn an
0 0 0
120 120
120 120
0 120
+
∠
=
−
∠
=
∠
=
V V V
a fazı için hat akımı;
Arms j
aA aA
0 0
65 , 27 06
, 5
11 21
0 120
−
∠
=
+
= ∠
I
I
a fazı için yük gerilimi
( ) ( )
Vrms j
AN AN
0 0
08 . 1 15
. 113
10 20
65 . 27 06
. 5
−
∠
=
+
−
∠
= V
V
Buradan diğerlerini de yazabiliriz.
Arms Arms
cC bB
0 0
65 . 267 06
. 5
65 . 147 06
. 5
−
∠
=
−
∠
= I
I
Vrms Vrms
CN BN
0 0
08 . 241 15
. 113
08 . 121 15
. 113
−
∠
=
−
∠
= V
V
Üçgen Bağlı Kaynak
a
b c
Vab
Vbc
Ia
Vca
Ib
Ic
0 0
120 0
−
∠
=
∠
=
H bc
H ab
V V V
V
0 0
0 0
0 0
90 270
150 3 150
30 3 30
+
∠
=
−
∠
=
−
∠
=
−
∠
=
−
∠
=
−
∠
=
H F cn
H F bn
F H
an
V V V V V V
V V V
Örnek;
a
b
c
A
B
C
N Ω
1 .
0 j0.2Ω 12Ω j4Ω
Vrms
00
208∠
Vrms
1200
208∠− Vrms
2400
208∠−
Ω 1 .
0 j0.2Ω 12Ω j4Ω
Ω 1 .
0 j0.2Ω 12Ω j4Ω
Hat akımlarını ve yük üzerindeki hat gerilimlerinin
Çözüm;
Hat akımları;
( )
Arms
aA j
0
0
14 . 49 38
. 9
2 . 4 1
. 12
30 3
/ 208
−
∠
=
+
−
= ∠ I
ve
Arms Arms
cC bB
0 0
86 . 70 38
. 9
14 . 169 38
. 9
∠
=
−
∠
= I
I
Gerilim ise (A-N);
( ) ( )
Vrms
AN
j
0
0
71 . 30 65
. 118
4 12
14 . 49 38
. 9
−
∠
=
+
−
∠
= V
Buradan hat gerilimi;
( )
Vrms V
H51 . 205
65 . 118 3
=
=
Yükteki faz gerilimi iken kaynaktaki faz gerilimi VF =V205F =.51208/ /3 =3118=120.65VrmsVrms ‘dir.
Üçgen Bağlı Yük
Eğer kaynağın faz gerilimleri;
0 0 0
120 120 0
+
∠
=
−
∠
=
∠
=
F cn
F bn
F an
V V V V
V V
ise hat gerilimleri;
BC H
F bc
AB H
F ab
V V
V V
V V
V V
=
−
∠
=
−
∠
=
=
∠
=
∠
=
0 0
0 0
90 90
3
30 30
3
a b
c
Z∆
Van
Vbn
IaA
Vcn
IbB
IcC Z∆ Z∆
Vab
Vbc
ICA
IAB
IBC
Vca
∆
= Z I
ABV
ABCA AB
aA
I I
I
I I
I
+
=
−
=
Üçgen-yıldız dönüşümleri;
( )
( )
( )
3 1
2
3 1
2
2 1
3
2 1
3
3 2
1
3 2
1
Z Z
Z
Z Z
Z Z Z
Z
Z Z
Z
Z Z
Z Z Z
Z
Z Z
Z
Z Z
Z Z Z
Z
+ +
= + +
=
+ +
= + +
=
+ +
= + +
=
a c
ca
c b
bc
b a
ab
3 2
1
3 2
3 2
1
3 1
3 2
1
2 1
Z Z
Z
Z Z Z
Z Z
Z
Z Z Z
Z Z
Z
Z Z Z
+
= +
+
= +
+
= +
c b a
Za
Zb
Zc
a
a c c
b b
a
b
a c c
b b
a
c
a c c
b b
a
Z
Z Z Z
Z Z
Z Z
Z
Z Z Z
Z Z
Z Z
Z
Z Z Z
Z Z
Z Z
+
= +
+
= +
+
= +
3 2 1
Z1
Z2 Z3
Dengeli yük için;
= Z
∆Z 3 1
Y
Y an
aA
Z
I = V
= I
∆I
H3
Örnek;
Dengeli üçgen bağlı yük ‘luk bir direnç ve 20mH’lik bir indüktör içermektedir. Gerilim kaynağı a,b,c faz sıralı
dengeli üç fazlı yıldız bağlıdır. ‘dir.
Bütün fazlara ait faz akımlarını ve hat akımlarını bulunuz?
f=60Hz
Ω 10
an Vrms
300
120∠
= V
Çözüm;
Üçgen yükün empedansı;
Ω +
∆ =10 j7.54 Z
Hat gerilimi;
Vrms VF
ab
600
3 ∠
= V
olduğundan;
ab Vrms
AB
600
3 120 ∠
=
= V V
Buradan;
Arms j
AB AB
0 0
98 . 22 60
. 16
54 . 7 10
60 3
120
+
∠
=
+
= ∠
I I
Eğer ise;Z∆ =10 + j7.54Ω
Ω +
=
=
∆3 1
j
Y
Z
Z
Hat akımları;
Arms j
aA aA
Y aA an
0 0 0
0
01 . 7 78
. 28
01 . 37 17
. 4
30 120
51 . 2 33
. 3
30 120
−
∠
=
∠
= ∠
+
= ∠
=
I I
Z I V
olduğundan;
Arms Arms
CA BC
0 0
98 . 142 60
. 16
02 . 97 60
. 16
+
∠
=
−
∠
= I
I
Arms Arms
cC bB
0 0
99 . 112 78
. 28
01 . 127 78
. 28
+
∠
=
−
∠
= I
I
Y ve için gerilim, akım ve empedans ilişkileri
Y
(
Vab yadaVAB)
( )
θ φ
φ φ
φ φ
φ φ
−
∠
∠
=
∠
∠
∠
+
∠
=
+
∠
Y
F H
AN an
F H
H F
Z
I I
veya V
I V
V
V V
0 0
30 30 3
θ φ
φ φ φ
φ
−
∠ +
∠
+
∠
∠
+
∠
Y H
F H
H
Z I
V I V
3 3 30
30 3
30
0 0
Hat gerilimi 0
Hat akımı Faz gerilimi Faz akımı
Yük empedansı
Örnek;
Bütün yük akımlarını bulunuz?
Çözüm;
Arms
aA
0
0
0 5 . 7
16 0 120
∠
=
= ∠ I
(
∠) ( )
=
a
n
A
30 Vrms
00
120
4
20
N IaA
ve
Orijinal yıldız bağlı yük için
Arms
AN
0
0
0 3
30 0 90
∠
=
= ∠ I
ve buradan;
BN Arms
1200
3∠ −
= I
CN Arms
1200
3∠+
= I
Orijinal üçgen bağlı yük için
Vrms
AB
0
0 0
30 88
. 155
30 0
3 90
∠
=
+
∠ V =
Bu yüzden;
Arms
AB
0
0
30 60
. 2
60
30 88
. 155
∠
=
= ∠ I
BC Arms
900
60 .
2 ∠ −
= I
ve buradan;
CA Arms
1500
60 .
2 ∠ +
= I
Yük akımların toplamı hat akımına eşit olmalıdır.
CA AB
AN
AC AB
AN aA
− +
=
+ +
=
I I
I
I I
I I
Örnek;
a
n
1 A
8
N 10 5 . j0
j6 j3
Yük Faz gerilim Kaynak
Faz gerilim
Devredeki hat akımlarını yük faz gerilimlerini ve üçgen bağlı yükteki akımları bulunuz?
(üçgen bağlı yükün yıldız bağlı durumundaki değeri a faz için)
Çözüm;
Üçgen yükün yıldız yüke dönüşümü;
Ω +
=
= 31 ∆1 8 3
1 j
Y Z
Z
Yıldız yük empedansları;
( )( )
Ω +
=
∠ + =
+ +
+
= +
= +
09 . 2 49
. 4
95 . 24 95
. 3 4
8 6 10
3 8
6
10 0
2 1
2 1
j
j j
j j
Y Y
Y Y
Y Z Z
Z Z Z
Hat akımı;
Arms j
j
Yük hat
aA an
0 0
26 . 25 77
. 19
09 . 2 49
. 4 5 . 0 1
0 120
−
∠
=
+ +
+
= ∠
= +
Z Z
I V
AN
VF = V ‘den;
( )( )
Vrms
A Yük a AN
0
0 0
31 . 0 86
. 97
95 . 24 95
. 4 26 . 25 77
. 19
−
∠
=
∠
−
∠
=
= I Z V
Buradan hat akımları ve yük faz gerilimleri;
Arms Arms Arms
cC bB aA
0 0 0
74 . 94 77
. 19
26 . 145 77
. 19
26 . 25 77
. 19
+
∠
=
−
∠
=
−
∠
= I
I I
Vrms Vrms Vrms
CN BN AN
0 0 0
69 . 119 86
. 97
31 . 120 86
. 97
31 . 0 86
. 97
+
∠
=
−
∠
=
−
∠
= V
V V
Olduğundan;
AN Vrms
310
. 0 86
.
97 ∠ −
= V
ise;
Vrms
AB
0
0 0
69 . 29 5
. 169
30 31
. 0 3
86 . 97
∠
=
+
−
∠
= V
Arms
j
AB AB
0
0
13 . 9 61 . 6
9 24
69 . 29 5
. 169
∠
=
+
= ∠
= Z
∆I V
BC Arms
870
. 110 61
.
6 ∠ −
= I
Arms + 0
∠
= Faz akımları;
Güç İlişkileri
Güç ister üçgen bağlı ister yıldız bağlı olsun bir faza ait güç ilişkileri;
θ θ
sin cosF F F
F F F
I V Q
I V P
=
=
θ θ
3 sin3 cos
H H F
H F H
I Q V
I P V
=
=
Toplam gerçek ve reaktif güç;
θ θ
sin 3cos 3
H H T
H H T
I V Q
I V P
=
=
ve buradan karmaşık güç;
H H
T T
T
I V
Q P
S
3
2 2
=
+
=
ve
θ
=
∠ S
TÖrnek;
Üç fazlı dengeli yıldız-üçgen bağlı bir sistemde hat gerilimi 208 Vrms ‘dir. Toplam gerçek güç 1200W ve güç faktörü
açısı 200 geri ise;
Hat akımlarının büyüklüğünü ve üçgen bağlı yükün bir faza ait empedansını bulunuz?
Buradan da empedans;
Ω
=
=
=
∆
∆
46 . 101
05 . 2
208 I VH Z
Güç faktörü 200 geri olduğundan yük empedansı;
Ω +
=
∠
∆
=
70 . 34 34
. 95
20 46
.
101
0j
Z
Örnek;
Dengeli üç fazlı bir kaynak aşağıdaki yükleri beslemektedir.
1.Yük : 24kW , pf=0.6 geri 2.Yük : 10kW , pf=1
3.Yük :12kVA , pf=0.8 ileri
Eğer hat gerilimi 208 Vrms ise hat akımının büyüklüğünü ve yüklerin birleştirilmiş güç faktörünü bulunuz?
Çözüm;
7200 9600
9 , 36 12000
0 10000
32000 24000
0 3
2 1
j j
j
−
=
−
∠
=
+
=
+
=
S S S
Bu yüzden;
V I S
VA j
H yük H
yük
50160 3
63 , 29 50160
24800 43600
0
=
=
∠
=
+
= S
ve birleştirilmiş güç faktörü;
geri pf
load869 .
0
63 . 29
cos
0=
=
Üç Fazlı Ölçümler
Ortalama Güç Ölçümü
Wattmetrelerdeki ölçümler;
∫ ⋅
=
T AN AA
v i dt
P T
0 *
1
∫
∫
⋅
=
⋅
=
T
C CN
C
T
B BN
B
dt i
T v P
dt i
T v P
0 *
0 *
1 1
Wattmetrelerdeki ölçümlerin toplam;
( )
∫ ⋅ + ⋅ + ⋅
=
Tv i v i v i dt
P 1
x CN
CN
x BN
BN
x AN
AN
v v
v
v v
v
v v
v
−
=
∗
−
=
∗
−
=
∗
( ) ∫ ( )
∫
+ + − + += T AN A BN B CN C T vx iA iB iC dt dt T
i v i
v i
T v
P 0 0
1 1
= 0 +
+ B C
A i i
i
∫
∫
∫
+ += T AN A T BN B T vCNiCdt dt T
i T v
dt i T v
P 0 0 0
1 1
1
İki wattmetre ile güç ölçümü;
Toplam Güç
( )
(
BC bB)
bB BC
aA AC
aA AC
T
B A
T
I V
I V
P
P P
P
I V
I V
∠
−
∠ +
∠
−
∠
=
+
=
cos
cos
şeklinde olur.
Örnek;
Dengeli yıldız-üçgen bağlı a,b,c faz sıralı bir sistem.
dengeli yükün bir faza ait empedansı
İki wattmetre kullanarak yük tarafından harcanan ortalama güç nedir?
an Vrms
00
120∠
= V
Ω + 5 10 j
Çözüm;
an
Vrms
0
0120∠
= V
Eğer
ise
Vrms Vrms Vrms
CA BC AB
0 0 0
210 208
90 208
30 208
−
∠
=
−
∠
=
∠
=
V V V
ve buradan;
AC Vrms
300
208∠ −
= V
Empedansı
Ω
∠
=
+ 5 11.18 26.570 10 j
Olduğundan üçgen akımın büyüklüğü;
Arms I 18,60
18 ,
11208 =
∆ =
Ortalama güç buradan;
( ) ( )
W PF
3461
10 60
,
18 2
=
=
ve toplam güç;
W PT =10383
İki wattmetre metodunu kullanarak;
Arms
Arms Arms
bB bB aA
0
0 0
57 . 146 3
60 . 18
57 . 26 120
3 60 . 18
57 . 26 3
60 . 18
−
∠
=
−
−
∠
=
−
∠
=
I I I
Y an
aA V Z
I = ∠ − ∠
∠
Bu yüzden;
( )( ) ( )
( )( ) ( )
W PT
10383
57 , 146 90
cos 22
, 32 208
57 , 26 30
cos 22
, 32 208
0 0
0 0
=
+
− +
+
−
=
Güç faktörü ölçümü
Eğer yük dengeli ise iki wattmetre metodu güç faktörü ölçümünde kullanılır.
θ
∠
= yük
yük Z Z
Eğer ise;
00
=
∠Van
( )
0
0 30
180 cos
−
= +
∠
=
∠
=
∠
−
∠
=
CA AC
H AC
aA AC
aA AC A
ve V
V
I V P
V V
I V
Bu yüzden;
(
− +θ)
= H H cos 300
A V I
P
(
+θ)
= H H cos 300
B V I
P
İki wattmetrede okunan değerlerin oranı;
( )
(
0)
0
30 cos
30 cos
+ +
= −
θ
θ
B A
P P
2 / 1 30
sin
2 / 3 30
cos
0 0
=
=
Trigonometrik değerlerini kullanırsak;
( )
B A
B A
P P
P P
+
= − 3
tanθ
Ayrıca
B A
T P P
P = + olduğundan;
(
PA PB)
31 −
= − θ
Yük sadece R’dir veya rezistifdir.
Yük endüktifdir.
B
A P
P = ise
ise
ise Eğer
Eğer
Eğer
B
A P
P >
B
A P
P < Yük kapasitiftir
Güç Faktörünün
Düzeltilmesi
Örnek;
Dengeli üç fazlı sistemde; hat gerilimi 34.5 kVrms, frekans 60 Hz, yük 24MVA ve güç faktörü 0.78 geri.
Güç faktörünü 0.94 ileri yapmak için her faza paralel bağlanacak kapasitörün değeri nedir?
Çözüm;
güç faktörü düzeltilmesinde;
MVA j
eski MVA
02 . 15 72
. 18
78 . 0 cos
24 1
+
=
∠
= −
S
ve
0 1
95 . 19
94 . 0 cos
−
=
−
= −
θyeni
Buradan;
( )
MVA j
yeni j
80 . 6 72
. 18
95 . 19 tan
72 . 18 72
.
18 0
−
=
− +
= S
ve
MVA j
eski yeni
c
82 .
− 21
=
−
= S S S
Bundan dolayı;
MVAR j
jwCVrms2 = − 21.82
−
ve
( )
3 82 . 21 3
5 . 377 34
2
⎟⎟ =
⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛ k C
olduğundan;
Uygulamalar
Örnek;
rms
ab kV
V =12∠0
rms
AB kV
V =12∠50 Ω +
=1 j2 Zhat
A ve B olarak ifade edilen dengeli üç fazlı iki sistem
Empedansı ile birbirine bağlanmıştır. Verilen değerlere göre sistemlerden hangisinin kaynak hangisinin yük olduğunu,
kaynağın ürettiği ortalama gücü ve yük üzerinde harcanan ortalama gücü bulunuz?
Çözüm;
rms hat
AN an
aA
A
0 0
0 0
93 . 180 30
. 270
43 . 63 5
25 3
000 , 30 12
3 000 , 12
−
∠
=
∠
−
∠
−
−
∠
=
= −
Z V I V
Sistem Y’nin ortalama gücü;
( )
( )( ) ( )
MW I V
PY AB aA V an I aA 130
. 5
93 . 180 25
cos 30
, 270 000
, 12 3
cos 3
0 0
−
=
+
−
=
−
=
θ θ
Sistem X’in ortalama gücü;
(
V an I an)
Aa ab
X
V I
P = 3 cos θ − θ
buradan;
rms aA
Aa = I− = 270.30∠ − 0.930 A I
Bu yüzden;
( )( ) ( )
MW PX
910 .
4
93 . 0 30
cos 30
. 270 000
, 12
3 0 0
=
+
−
=
