1
1. Ayfle’yle Bora birer kez zar at›yorlar. Ayfle’ye gelen zara a, Bora’ya gelen zara b diyelim. E¤er a ≥ b ise Ayfle kazan›yor. Aksi takdirde Bora kazan›yor. Ayfle kazand›¤›nda 1 kazan›yor. Kimseye haks›zl›k olmamas› için Bora kazand›¤›nda kaç kazanmal›d›r?
2. Biri kendisiyle flu oyunu oynamam› öneriyor: Zar ataca¤›m. E¤er 1 gelirse s lira kaybedece¤im. E¤er 1’den de¤iflik bir zar gelirse, gelen zar kadar para kazanaca¤›m. Hangi s de¤erleri için bu oyun benim için avantajl› bir oyundur?
3. x2+ 2x + 3 ≡ 0 mod 48 denkleminin 0 ≤ x < 48 eflitsizliklerini sa¤layan kaç tamsay› çözümü vard›r?
4. n, 2 ve 5’e bölünmeyen bir do¤al say›d›r. nk say›s›n›n onluk taban›nda yaz›l›m›nda sadece 1 raka- m›n›n oldu¤u, yani nk = 111...111 türünden bir eflitli¤in sa¤land›¤› bir k tamsay›s›n›n varl›¤›n› kan›tlay›n.
(Örne¤in 7 × 15873 = 111.111).
5a. Yandaki flekilde “3 yüksekli¤inde ikili bir tama¤aç” görüyorsunuz. (“‹ki- li” çünkü her noktadan iki ya da 0 “dal” ç›k›yor, yükseklik 3 çünkü en afla¤›dan en yukar›ya üç ad›mda ç›k›labiliyor.) Birinden di¤erine tek ad›mda geçilen nok- talara ba¤›nt›l› noktalar diyelim. Bu a¤ac›n noktalar›n›n afla¤›daki özelli¤i sa¤la- yan kaç tane ƒ efllemesi vard›r:
P ve Q noktalar› ba¤›nt›l› ⇔ ƒ(P) ve ƒ(Q) noktalar› ba¤›nt›l›.
5b. Yüksekli¤i h olan ikili bir tama¤ac›n noktalar›n›n yukardaki özelli¤i sa¤layan kaç efllemesi vard›r?
6a. E¤er n > 1 tek bir do¤al say›ysa düzgün bir n-genin her köflegeninin bir kenara paralel oldu¤unu kan›tlay›n. (Not: Komflu olmayan iki köfleyi birlefltiren kirifle köflegen denir.)
6b. Bir n-genin her köflegeni bir kenara paralelse, n’nin tek say› olmas› gerekti¤ini kan›tlay›n.
7. Sonlu tane parabolün içinin bir düzlemi kaplayamayaca¤›n› kan›tlay›n.
Not: E¤er a ≠ 0 ise, y = ax2+ bx + c türünden bir denk- lemin grafi¤i bir paraboldür. Bu pa-
rabol sa¤daki flekildeki gibidir. Para- bolün içi parabolün s›n›rlad›¤› d›flbü- key aland›r. Bir parabol, bu özel pa- rabollerden birinin döndürülmüfl ha- lidir.
8. n herhangi bir do¤al say› olsun. Düzlemde, birbirlerine olan uzakl›klar›n tamsay› oldu¤u ve do¤ru- sal olmayan n tane nokta bulun.
Cahit Arf Matematik Günleri V - 2006
Birinci Gün
Parabolün
içi x
y
x y
parabollerin içleri taraf›ndan örtülmeyen bir nokta
