Öreten 39 Mini Test. 26 Tarama Testi ve 780 Soru

>=- Hücreleme Teknii ^ile Anlatlm 39 Bölüm

> Öreten

1

00 Çözümlü Örnek Öreten 39 Mini Test

26 Tarama Testi ve 780 Soru

Üniversite Giri Snavlarnda Çkm ^Sorular

Bu ^{kitap. Milli} Eitim Bakanl Talim ve Terbiye Kurulu Bakanlnn ^en

son karar ile belirlenen ortaöretim matematik dersi programna göre

hazrlanmtr.

SUMU

Sevgili Örenciler,

Önünüzde geleceinizi belirleyecek olan zor

bir

snav

var.

Bu snavn

her zamanki zorluu yannda artk snavn 2 aamal olmas üniversite

snavn daha da zor

bir

hale

getirdi.

Ben de örencilerin her zaman ba-

arsn artrmay hedef alan

bir

eitimci olarak, sizlere yeni snav

sis-

teminde baarda

belirleyici

ve en fazla sorunun beklendii alanlarda

“ÖRETEN FASKÜLLER”

serisini

çkarmay uygun _gördüm.

Bu fasikülde; konuyu örencinin basit olarak anlayp kavramas

için

hücreleme teknii

ile

konu anlatmlar, çok sayda öreten sorularn çö- zümlerini her hücre

ile ilgili

öreten mini test ve çok sayda test yer

al-

maktadr. Limit ve Süreklilik konusunu bu teknik konu anlatmyla siz en

iyi

ekilde kavrayacaksnz.

Bu

fasikül,

ülkemizde fasikül olarak

ilk

defa hücreleme tekniiyle tara-

fmdan hazrlanm olup;

sizin

baarnz sonraki çalmalarmda da size en

iyiyi

vermek

için

beni gayretlendirecektir.

Hepinize

iyi

çalmalar, dileiniz gerçek olsun!

Sevgilerimle,

Güray KÜÇÜK

i.

RE]

;

: :

M tel

f"-7

I I

biA

E3

T'l

1

(

v i

t

i ‘j

LMT

Grafii

Verilen

Fonksiyonun

Limiti

Parçal Fonksiyonlarda

Limit

Mutlak Deer Fonksiyonunun

Limiti

-1 Mutlak Deer Fonksiyonunun

Limiti

- ₂

Fonksiyonlann

Limitleriile lgili

Teoremler-

1

Fonksiyonlann

Limitleriile lgili

Teoremler -2

Trigonometrik Fonksiyonlann

Limitleri

-

1

Trigonometrik Fonksiyonlarn

Limitleri

- 2 Trigonometrik Fonksiyonlarn

Limitleri

- 3

Geniletilmi Gerçel Saylar Kümesinde

^Limit

-

1 .

Geniletilmi Gerçel Saylar Kümesinde

Limit

- 2

^.

Geniletilmi Reel Saylar Kümesinde

Limit

- 3

....

f(x)

Fonksiyonunun

Limiti

.

Trigonometrik Fonksiyonlarn

Limitte

Sktnlmas

.

J^X!ve Biçimindeki ifadeler-

1

n-

_?^ve Biçimindeki fadeler- 2

^.

0

⁺

cr

Fonksiyonunun

Limiti

Logaritma Fonksiyonunun

Limiti

,

guryayinlari.com

guraykucuk.com

Öreten MâtemâfiRTâsiRülleiî o

LlNirr

VE SÜREKLLK

i

LMT

1

TANIM:

A =

(a,b) reel

saylarda

bir

açk aralk ve

f:

A- ^-* R

fonksiyonu verilmi

olsun.

x deikeni x

_Q

e R says- na yaklarken

^(x

—

»x₀₎f(x)

fonksiyonu da L e R

sa-

ysna yaklayorsa

f(x)

fonksiyonunun

x,

x

0

'

a yak- larken

^limiti L‘dir.

Hm

f(x)

= L

biçimindegösterilir.

x—

>x₀

UYARI:

i. lim f(x)= lim f(x)

= LeR

ise x-»xj x->xj

f(x)in

sadan ve

soldanlimiti

eit

isefonksiyonun

x

0

noktasnda

limiti

vardr ve L

dir.

II. lim f(x)* lim f(x) ise x->xj x-»xj

f(x) in

x=x„ noktasnda

limitiyoktur.

III. f(x)

fonksiyonunun x

Q

noktasnda

limitinin

olmas

için

tanml olmas gerekmez.

Öreten soru - ₁

Yanda grafii

verilen

Ay

f

fonksiyonu

için; i \

lim f(x)

ve \

^!

\

x->2*

\

^|

^\

lim f(x)

\

ⁱ

V

^,

x->2~

\

;

deerleri nedir?

⁰ _^|²

x

Çözüm:

x,

2 ye sadan yaklatnda,

fonksiyon +oo

a yaklar.

Buna

göre, lim f(x)

=

+oo olur.

X—

»2⁴

x,

2 ^{ye soldan} yaklatnda,

fonksiyon -oo

a yaklar.

Buna

göre, lim f(x)

=

-oo olur.

X-»2~

O

hâlde,

lim

f(x)*

lim f(x)

olduundan

f(x) fonksiyo- X-»Z⁴ X-»Z^_

nunun x = 2 noktasnda

limitiyoktur.

ÖRETEN MN ^TEST

Yanda grafii

verilen f(x)

fonksiyonu

için

aadakilerden

hangisi yanltr?

A)

lim f(x)

=

-oc X-J—^1*

C)

lim f(x)

= 0

x->~2’

B) lim f(x)

=

ro

x->-r D)

lim f(x)

= 0

x-»0~

E) lim f(x)

= -1

x-»-1

Yanda grafii

verilen f(x)

fonksiyonu

için

aadakilerden

hangisi yanltr?

A)

üm^ f(x)

=

-co

C)

lim f(x)

= 0

x

—

^>—

3

B)

lim f(x)

=

oo x-»3⁴

D)

_lim f(x)

=

oo

x->3

E) lim f(x)

= O

ÖRETEN SORU -2

Yanda _{y =}

f(x)

fonksiyonunun grafii görülmektedir.

Buna göre, aadaki

limitlerin

deerlerini bulalm.

Çözüm:

| j

y =

^f(x)

a. lim f(x)

=

oo b. lim f(x)

= 0

c. lim f(x)

= 2

x-»3⁴ x->3~ x->0

d. lim f(x)

=

—oo e. lim f(x)

= 0

f. lim f(x)

= 2

x-wo x-»4⁴ x-»0~

g. lim f(x)

= 0

x->4

3.

Yanda grafii

verilen f(x)

fonksiyonu

için

aadakilerden

hangisi dorudur?

A)

lim f(x)

= O x—

^>-3~

C)

_{lim f(x)}

= 0

x-»1

B)

lim f(x)

= —

oo x->T

D)

lim f(x)

=

—oo x->r

E) lim f(x)⁼ x-»—

3

Grafii Verilen Fonksiyonun Limiti

ÖRETEN SORU - 3

1 °

1-1 ¹ 3

^\j

Yukanda

verilen

y =

^f(x)

fonksiyonunun grafiine göre,

°

x ⁼

-4, o

x =

-2, o

x =

-1, o

x =

_0,

°x ⁼

1, o

x =

3, o

x =

4, o

x = 5

teki

sa ve

sollimitleri

nedir?

Çözüm:

° lim f(x)

= -2

x->—^4~

°

lim f(x)

= -2

x->-2~

° lim f(x)

= 0 x-*-r

°

lim f(x)

=

1

x->0“

o

_{lim f(x)}

= 3 x->r

° lim f(x)

=

1

x->3^_

o

_{lim f(x)}

= 0

x->4~

o

_{lim f(x)}

=

-1 x->5"

ÜRETEM SORU — 4

lim f(x)

= -2

x->-4⁺

lim f(x)

=

-1 x->-2*

lim f(x)

= 0

x->-r

lim f(x)

= 3

x->0*

lim f(x)

=

1

x->f

lim f(x)

=

1

x->3*

lim f(x)

= 0

x=>4*

lim f(x)

= -1

x->5*

Yukarda

verilen

y =

^f(x)

fonksiyonunun grafiine göre,

° x =

_-4, o

x =

-2,

o x = —

₁

, o

x =

0,

ox=1, qx =

_3, o

X =

4, o

x = 5

teki

noktalarn hangisinde

limit

vardr?

Çözüm:

lim

f(x)=

lim f(x)

olduundan

f(x) fonksi-

x^a

_x->a~ ^{' '}

yonunun x = a noktasnda

limitivardr.

O

hâlde,

yukardaki çözümlere

göre,

x =

_-4,

_x = —

_1,

x =

_3,

_x =

_4,

_ve x = 5 noktalarnda

sol limit

sa

limite

eit olduundan bu

noktalardalimitvardr.

Öreten Matematik

FasikülIeri

o LMT VESUREKLILIK

Parçal Fonksiyonlarda Limit

Parçal ekilde

verilen fonksiyonlarda

x = a noktas

kritik

nokta

ise

bu noktada

limitsorulursa

bu noktada

sa ^ve

sollimitler

tanmlanan

fonksiyonlara

göre bak-

lr.

Sa

limit,sollimite

eit

isekritik

noktada

limitvardr.

Eit deilse

yoktur.

x = a noktas

kritiknokta

deilse sa ^ve

^sollimite

^bak-

maya gerek

yoktur.Direklimit

hesaplanr.

x -1

,

x<2

f^;

R-*R,

^f(x)

⁼

^-

^2x-1

^,

2<x<4 3x-5

,

x>4

fonksiyonuna

göre,

lim

f(x)+

lim f(x)

toplam kaçtr?

x->2 x->4

ÖRETEN SORU - _S

^ f:

R ^-> R olmak

üzere,

[3x + 2

,

x<,2 2x + 4

,

2<x<5

f(x)

=

_<

x

2^z

-1

,

55x<7

[2x + 3

,

x^7

fonksiyonuna ^göre, aadaki deerlerin eitle-

ri

kaçtr?

a) lim f(x) b) lim f(x) c) lim f(x)

x->2 x->3 x->5

d) lim f(x) e) lim f(x) t) lim f(x)

x->6

x—

^>7~

x-»r

ÇÖZÜM:

a) lim

f(x)=

lim (3x

+ 2)=3-2 + 2 = 8

x->2~ x->2

lim f(x)= lim (2x

+ 4)=2-2+4 ⁼ 8

x->2⁺ x->2*

x = 2 de sa ve

sollimitler

eit olduundan,

lim f(x)

= 8

dir.

x->2

b) lim

f(x)=

lim (2x

+

4)

= 2.3+4 = 10

dur.

x->3 x-»3

2x

,

x < 3

2. f:

R ^->

R, f(x)

=

^-

x

² ,

3^x<5

3x + 2

,

x>5

fonksiyonuna

göre,

lim

f(x)+lim f(x)+

lim f(x)

toplam kaçtr?

x->2“ x->6 x-»4⁺

A) 36

B)

40 C) 42 D) 44

E)

48

“

(x

+ 4

,

x<0

ra 3.

f:R-»R, f(x)=x-1

,

0<x<1

S x + 5

,

x>1

g,

fonksiyonuna

göre,

S-

l

lim

f(x)+

lim

f(x)-

lim f(x)

kaçtr?

x->—i x->0* x->3

| ^A) -6 B) —4 C)-2 D) 0

E)

2

|2x

+

1 ,

x<-1

4.

f:R-*R,

f(x)

—

s „

[x²

-3

,

x>-1

fonksiyonuna

göre, lim f(x)

kaçtr?

x->-

1

c) lim

f(x)=

lim (2x

+

₄₎

= 2*5 + 4 = 14

x->5" x->5~ E)

Yoktur

lim

f(x)=

lim (xz

-1) = 5

^Z

-1 = 24

x->5* x-»5^t

x = ₅

_te

sa ^ve

^{sollimitlerfarkl}

^olduundan

lim f(x) yoktur.

x->5

d) lim

f(x)=

lim (x2

-1) = 6

^Z

-1 = 35

X-»6 x->6

e) lim f(x)

=

lim (x2

-1) = 7

²

-1 = 48

2 +

sinx , x<,^:

5. f:

R _-*

R, ^f(x)

= -1-cosx

,

-^<x<^

sin2x

,

x>-^

O fonksiyonuna

göre,

lim

f(x)+

lim

f(x)+

lim f(x)

kaçtr?

f) lim

f(x)=

lim (2x

+

3)

= 2-7 + 3 = 17

x->7*

x->r

A) 1-^

^B)

+ £ ^{C) i D)} _|

^E)

yjjjteer vaematlK

hasiklilleri

o

_LHV11T

VE SÜREKLLK

}

Mutlak Deer Fonksiyonunun Limiti -

f

Mutlak deer fonksiyonunun

limiti

bulunurken

verilen

noktann

kritik

nokta

olup

olmad

tespitedilir. Kritik

nokta deilse sadan ve soldan

limite

bakmaya gerek

yoktur.

Fakat

kritik

nokta

ise

mutlaka sadan ve soldan

limitiincelenir.

ÖRETEN SORU - S

f(x)

-

|x²

-

_2x|

₊

_|x

₊

11

fonksiyonunun x = 3 nokta- sndaki

limiti

nedir?

Çözüm:

x = 3

kritiknokta

olmadndan

direklimitalnabilir.

Hm

(|x²

-2x| +

^|x

+ 1|)=

|3²

-2.3| + |3+1|

= _131+14!

= 7

bulunur.

RETEN SORU - 7

f(x) |x²

-

_4|

fonksiyonunun x =

-3,

x = 2 ve x = 5 noktalarndaki

limitleri

nedir?

Çözüm:

x

²

-4 = 0

=>

x

1

= 2 ve x

2

= -2

dir.

X _-2

2+oo

X^{2 -}4

.* f

^-

}

*

|x2_-

4|

x

²

-4

|

-(x²-

4)

J

x^2-4

Yukardaki

tabloya göre,

>

lim [

x

2

— ₄

1

=

lim (x2

-4) = 9-4 = 5

x->-3 x->-3

> x =

_2,

fonksiyonun

kritik

noktas olduundan, sadan ve soldan

limitlerini

bulalm.

Hm |x

²

-4|=

lim (x2

-4) = 4-4 = 0

x->2* x-»2^t

lim 1

x

²

— ₄

1

=

lim

-(x

²

-4) = _-(4-4) = 0

x-»r

x -> 2^-

olduundan

|i

m lx

²

-4| =0 dr

x->2

>

^lim

^|x

²

-4| =

lim (x²

-4) = 25-4 =

₂₁

X—

>5

X—

>5

ÖRETEN MN TEST

f(x)

=

ix³

-x| + |x-4|

fonksiyonunun x = 2 noktasndaki

limit

kaçtr?

A

)

4 B)5 C) 6 D) 7

E)

8

lim

l^

^l

⁺

^|3

^-*l

X->4

X +

|

-X

_I

limitinin

deeri kaçtr?

lim

l^j- ⁺²

^l

^{2x - 3}

^l

x-+—₃

jx

²

-1|-x

limitinin

deeri kaçtr?

lim (|x²

-9| + |x +

_1|) x->3

limitinin

deeri kaçtr?

A) 2

B)

3 C) 4

D)

³ E)

1

4 8

D) 5

E)

6

NOT:

Mutlak deer

fonksiyonu-

nun

kritik

noktalarnda, fonksiyonun

limitinin

sfr olduuna

dikkatediniz.

-

2 \°

i

V

lim

fi^i + x x->r x-2

J limitinin

deeri kaçtr?

A) -6 B)-5 C)-4 D) -3

E)

-2

Öreten Matematik

Fasiküiieri <•

LMT VE SÜREKLLK

Mutlak Deer Fonksiyo nu nun ^Limiti - ₂

©RETEN SORU - 8

lim

x->4

x

²

-16

limitinin

deeri kaçtr?

Çözüm:

x = 4

kritiknokta

olduundan

I

x-4

^|*x

>^<*x 4

1 lim

—

^ö

—

1

— =

lim

—

^r:

⁼

^'i'

⁼

^o

x-»4⁺

x

²

-16

x->4^T jjt-^f)*(x

+

4)

8 2

I

x — ₄

|»x ..

-fc'-<î*x ⁴

¹

x->4-

x

²

-16

x->4“

j2C^4)*(x +

4)

8 2 sadan ve soldan

limit

eit olmadndan

^limit

yoktur.

ÖRETEN SORU - S x-3

lim

—

⁵

x-+3*

|

x

^z

- ₉

1

limitinin

deeri kaçtr?

Çözüm:

x-3 x-3 x-3

lim

—

⁼

⁼ hm ⁼

^{lim -}

— ^{— —} —

—

x-»3*

|

X

²

- ₉

I

x-»3*

X

²

-9

^x->3+

^{(X-3)-(x +}

³⁾

.. 1 1

=

lim

— - = -

x->3"

x+3 ⁶

bulunur.

x

²

-9

Hm

^-

—

x->3⁺

|x-3

j«x limitinin

deeri kaçtr?

A) 6

B)

4 C) 3

x

²

-25 x-1

lim

—

^r

⁺

^{lim 2 -*•}

x->5~ i

5 — X

i x->1⁺

x-1

limitinin

deeri kaçtr?

A) 0

B)

-9 C)-3

x^

0^J i

x

I

lim

ÎZ1

x

_>r x-1

limitinin

deeri kaçtr?

A) -5 B)-3 C)-1 D) 0

E)

2

Öreten soru - 10

, I

x

_l

hm

^-

—

¹

x->0~

x X

²

-4

x->2' i

X — ₂

1

limitinin

deeri kaçtr?

x-»3"

l

x —91

^X-»1

limitinin

deeri kaçtr?

-+

lim

|x-1|»x

°

»"i

E)^-

Çözüm:

lim

Ü

^lim

^{^}

x-»0~

X _

x-»0~

X

lim

—

x—

>o-

x

lim

<*= m ^{i 2}

⁾

x

1

i>

m 2-i^] ^x'? 2-^2) -r ^-CK-2)

= —1 — —

- bulunur.

± ⁴

-1

V9-6x + x

lim

— rr—

-

x-»3⁺ |

x — ₃

j

limitinin

deeri kaçtr?

1

2 — x

1

~

=» ».'-...u..u

gommc ^o

L.HV1II

VC OUKfcRLILIK

(X

+ 3).(X-1)

xü

>2

(x^4)

^limitinin

deeri kaçtr?

Çözüm:

lim ^<

x + 3

)‘(x-1) (2

+

3).

(2-1)

x->2

x-4 2-4

5-1

5

bulunur.

lirn (log₃

x

²

j

limitinin

deeri kaçtr?

Çözüm:

lim flnn-,x^z\

=

lnn„

o4

fon (log3

x

²

j

=

log₃9²

=

log₃

3

⁴

lim

(sinx + cosx)

^x

~î

limitinin

deeri kaçtr?

A) -2

B)

-1 C) 0

lim ^e^,nx3

+3

^xJ_23

j

sin--cosx

lim

2

X—

>7C , ⁱ

X

4 +

f

^0t

⁴

limitinin

deeri kaçtr?

D)

1 E)

2

X—

>5 \ )

limitinin

deeri kaçtr?

A) 28

B)

48 C) 96 D) 134

E)

142

=4*log₃

3 = 4

bulunur.

1.

c e R olmak

üzere, lim

c = c

dir.

; x->a

2. lim [f(x)

+ ^g(x)]=

^lim

^f(x)+

^{lim g(x)}

x-+a x-»a x->a

lim

[f(x)-g(x)]=

lim

f(x)-

lim g(x)

x-»a x-»a x-»a

3. lim [f{x)«g(x)]= lim f(x)«lim g(x)

x-»a x-»a x-»a

.. . lim f(x)

4. lim

44=

^x

^{^}

^a

x->a g(x) lim g(x) x->a

ÖRETEN MN TEST / ^{7 jjjjg}

lim _[(x²

-3x +

1).g(x)]

= 33

x->-2

olduuna göre,

lim g(x)

deeri kaçtr?

x->—

2

A) -2 B) —

1

C)1 D) 2

E)

3

2

. Ilm

(?L±3haM _{= 4}

x->2

g(x)-x

olduuna göre,

lim g(x)

deeri kaçtr?

X—

>2

SORU - IS ^{A) -3}

^B)

^-- 3 ^{C) -I} 3 ^{D) -2}

^E)

lim

[(x-2x

^z

+3x-2)*g(x)] = 12

x->2

ise lim g(x) limitinin

deeri kaçtr?

x-»2

ÇÖZÜM:

lim [(x3

-2x

²

+ 3x-2).g(x)] = 12

x->2

lim (x³

-2x

²

+ 3x-2).

lim g(x)

= 12

x->2 x-+2

lim f(x)

= 2

, lim g(x)

= 4

x->-3 x-+-3

)im

x

²

+ x-f(x) x—

>-3 f(x)

+ ^g(x)-2x

limitinin

deeri kaçtr?

(2³

-2-2

²

+3-2-2).

lim g(x)

= 12

x->2

4-

lim g(x)

= 12

x->2

lim g(x)

= 3

bulunur.

x->2

ÖRETEN SORU - 16

lim f (x)

= ₂

_, lim g(x)

= 3

x->4 x-»4

(jm

6x + 8-f(x).g(x)

x->4 4«f(x)

+ 2x-g(x)

limitinin

deeri kaçtr?

4. lim f(x)

= 6

, lim g(x)

= 2

x-»-1 X-*—

1

U

m f(x).g(x)-h(x) x-+- x

²«g(x)

+

h(x) limitinin

deeri kaçtr?

A) -2 B)— 4 C)-6

lim h(x)

= -4

x^—)

—

1

D) -8

E)

-10

Çözüm:

6x + 8-f(x)-g(x)

lim (6x 8) lim f(x) x->4

4-f(x)+2x-g(x) x—

>4

lim (6x

+ 8)-lim

f(x)> lim g(x) x->4 x->4 x->4

4-

lim f(x)+ lim

2x-

lim g(x)

x-»4 x-»4 x-»4

(24

+

8)

-2- 3 32-6 26 -

4.2 + 2*4-3~ _{8 +} 8-3 13

= 2

bulunur.

lim f (x)

= 4

lim g(x)⁼

X-+3 x-»3

I

Hm

X-»3 h(x)

+ X olduuna

göre, lim h(x)

X-»3 limitinin

deeri kaçtr?

N>|

W

'

aamucr °

_{tlHBII Vfc}

SÜREKLLK

Hm

x_>5 cosec

²

x

4

Çözüm:

lim

cos2 x -

tan²

x _

cos2 J ^~

^tan2

~

bulunur.

Öreten MâternatîR

FâsiKülleri

6

liivhi vfc

sukekuur

D) 8

E)

32

limitinin

deeri kaçtr?

tan

⁴

2x

lm ^-=—

x-»o

16x

³

limitinin

deeri kaçtr?

<>gr^tCTi-fvaciiiatiK-rasfKUKen^gnL:ilWII

VE SÜREKLLK —

Trigonome

trik

Fonksiyonlarn Limitleri - 3 TEOREM:

*

a

için,

g(x)-»0

ise;

1.

te ÖLlta ^JfcU

x-+a g(x) x->a sing(x)

2

. ^|

im «0 =iim

=

x->a g(x) x->a tang(x)

ÖRETEN MN TEST

iim

^ ^{n(3x ~ 12}

⁾

x->4

4x —

1

6

limitinin

deeri kaçtr?

sin(2x-10)

_.

—

4x-20 — l,mtmin deeri kaçtr?

ÇÖZÜM:

im ^ ^{2x ~ 10} L »m

x->5

4x-20

x->5

4[x-5]

x - 5 =

t dersek,

x 5

için t

= 0

olur.

O

hâlde,

îüfflz.,,™ Sa.î.

_bulunlIr

x->5

4(x-5)

t->0 4t

4 2

,

..

6x-6ît

hm

x->r sin(jt-x)

limitinin

deeri kaçtr?

D)

3 E)

6

Hrn

(sin2x«cot4x)

limitinin

deeri kaçtr?

Çözüm:

im (sin2x-cot4x)= im

^sin2x'\

²

¹

x->ovtan4xJ 4 2

ÖRETEN SORU - 25

,

im rax-12sin2x

x->o _V.

tan3x + 2x

limitinin

deeri kaçtr?

sin4x-tan

²

x

limitinin

deeri kaçtr?

Çözüm:

llm

fjjn4x-tan

²

xl

|jm

sin4x_

^

^tan2

^x

x-> o

Ç

2x

J

^x->o

2x

x->o

2x 4

..

tanx

.

=— _{- «m} — — -tanx 2

x->o

2x

= 2-0 = 2

bulunur.

.. f

sin4x-tan2x^

x™ l~sin6x + 4x

_J

lmtn

'

n ^geri kaçtr?

Çözüm:

sin4x tan2x

te f

^-

s

!

n4x -

|a

" 2x

l, im ^- 4

x->o l

sn6x + 4x

J_X x->o

sn6x 4x +

X X

im *!**- _im

_ x—

>0

X

x-»0

X

,.

sin6x

..

4x

lm + lm —

x-»o >

4-2

1

'6+4 ₅

^bulunur.

tan6x-sin

²

x

limitinin

deeri kaçtr?

iim

fetiggfcp

x-»o

V sin4x

_J

limitinin

deeri kaçtr?

D) 4

E)

5

D) 3

E)

N5|

Ol

Geniletilmi Gerçel Saylar Kümesinde Limit -

1

im ^(-3x

²

+ 4x +

5)

X->®

limitinin

deeri nedir?

im (-2x

³

+ 5x +

₁₎

X—

^>

—

co

limitinin

deeri nedir?

A)

—oo B)

—2 C) 0

im (-4x

⁴

+ 5x-1) X—

>—oo

limitinin

deeri nedir?

A) —

oo B)

—4 C) 0

im

^5(-x'

^+x+1

^>

X-»-«0

limitinin

deeri nedir?

«\ r»\ 1 e

im 3^

^+x)

X~>CO

limitinin

deeri nedir?

A)

—oo B)

—

1

C) 0

D) 3

E)^c

D) 2

E)^<

D) 4

E)

<

D) 0

E)^<

D) 3

E)^t

ugreter matematik

hâsikülleri o

LMT VESUREKLILK

Geniletilmi Gerçel Saylar Kümesinde

Limit -2

Pay ve paydann polinom fonksiyonu olduu

durumlar-

da Hm

f(x)

X—

>CC

rak

daha

kolaybulabiliriz,

m,

n

e R* olmak

üzere,

r,..,

a

_n

x

ⁿ

+a

n_1

x

^11'

belirsizlii

aadaki

kural kullana-

limitinin

deeri kaçtr?

+...+a

₁

x+a

_n

b m ^x +bm

^_1x

^m

^{^+...}

⁺

^{b^x}

⁺

bo

5

(Payn

derecesipay

m dann

derecesineeit)

1

0 (Payn

derecesipayda-

nn

derecesinden küçük) +°°

(Payn

derecesipayda-

nn

derecesinden büyük) limitinin

deeri kaçtr?

SORU

limitinin

deeri kaçtr?

Pay ve paydalarn

dereceleri

eit olduundan

limit,

en büyük

dereceliterimlerin

katsay oranna

eittir.

ta j£±2Uf.4 ^bulunu,

X-*n 2x‘^!

+X-3 ²

X-*-ca

X

²

+ 5

limitinin

deeri kaçtr?

SORU

limitinin

deeri kaçtr?

Payn

derecesi

paydann derecesinden büyük

ol-

duundan

limit oo dur.oo

un

iaretiise

x —

+ +oo

olduundan en büyük

dereceliterimlerin iaretleri

oranna

eittir.

Yani ± = _

dir.

limitinin

deeri kaçtr?

A)

—oc B)

/2 C) V2 D) 16

E)

oo bulunur.

SORU

limitinin

deeri kaçtr?

Payn

derecesi,

paydann derecesinden küçük olduu

için limit

O

dr.

[

l0

92(48x

²

- 4x) - log

₂

(3x

²

+

1)]

limitinin

deeri kaçtr?

A

)

2

B)

3 C) 4 O

bulunur.

iî~Cr2^E~3^E~4^B~5^Cl

D) 5

E)

6

öreten Matematik

Fasikülleri o

LMT VE SÜREKLLK

M|CJI

n

»!-

1

~~ Fonksiyonunun Limiti

f(x)

ÖRETEN SORU - 37

Aadaki

limitlerin

deerleri nedir?

a) lim

-

X->00

X

b

_{) iim}

—

X->-co

x

4 -5

lm — + lm —

X->-co

X

X

—

>cc

x

limitinin

deeri kaçtr?

A)

-oo B)

-1 D) 9

E)oo

c) lim

—

x->0⁺

X

^{d) lim}

—

x->(T

X

Çözüm:

y — —

ingrafii

yukardaki

gibidir.

Buna

göre;

a

_{) lim}

— = o

X->co

x

b

_{) lim}

— = O

X

—

>—co

X

Yanda y=— 3

in

x

grafiiverilmitir.

Buna

göre,

~

^

lim

f(x)+

lim

f(x)+

lim f(x) X

—

>0⁺

X—

^>oo X

—

^>

—

co

limitinin

deeri kaçtr?

A)

-oo B)

-3 _{C) -1}

c) lim

— =

+oo

x->0*

X

^{d) lim}

- =

-oo

x->o-

x olduu grafie göre

bulunur.

ÖRETEN SORU ^- 3S

lim

f 3+ -

X—

>—co v.

limitinin

deeri kaçtr?

Çözüm:

lim

5

=

iim

3+

iim

~

X

—

^>—00 X—>—co X—^>—co

X

= 3 + 0

= 3

bulunur.

ÖRETEN SORU - 39

iim

(2--5J)

X->oo ^

X-1 _J

limitinin

deeri kaçtr?

Çözüm:

lim _[

2 — ^— —

1

=

lim

2-

lim

—

X->® V.

X —

_{1J X}

_—

>co X

—

>00

X —

1

=

2-0

=

2

bulunur.

3. iim

|3 + -]+

lim

fz- —

x->«) _v.

Xj

x

—

^>

—

oo ^ X.

limitinin

deeri kaçtr?

A)

-oo

B)— 5 C)0

lim fi

— ?-)+

iim

f—

—

X->oo

V.

X-1 _J X—

>-oo

V.X+

1 limitinin

deeri kaçtr?

A) -«3 B)

—4 C)0

!

lim

6

¹

X—

^>oo

x +

lj1 lim

f-v ²

^]

X—

^>

—

co

U- ^J

iimitinin

deeri kaçtr?

A)

-oo B)

-6 C) -3

Oy

re iemvrâutttr

reure~aa mucr

t-

1.

E 0 u

ra

.E

>

ra

u 3

6^

1

ÖRETEN SORU —

*

y m ^{6x + s}

^*

^{n ? x}

^limitinin

^{deeri kaçtr?}

x->=o

5x ÇÖZÜM:

.

„

¹

sn3x

¹

-1<sn3x<1

^=>

— ^< —

5x 5x 5x

lim X->=o

1 ^ ^..

sn3x

- 1

— ^< lm ^< lm —

5X

i X->m

5X X—

^>ot

5x

_ ..

sn3x

„

.

=>

0< lm <0

X->co

5x

, _ ^..

sin3x „

^.

olduundan, lm — — ^{= 0}

^dr.

x->a>

5x

lim

X—

>30

6x + sin3x 5x

= lim

f^ ⁺ ^0

x—^>co \^5x

5x

_J

6x ^sin3x

x— 5x

x—^>co

5x

6 6

=— + 0 = — buunur.

5 5

ÖRETEN MN ^TEST

lim X

—

^>30

cosx

limitinin

deeri kaçtr?

A)

^—oo B)

—1 C) O

3.

lim

X—

>00

4x«sin

(i

limitinin

deeri kaçtr?

A)

-oo

B) -8 C) O

lim

X—

>Q0

6x»tan

@]

limitinin

deeri kaçtr?

A)

¹ B)

C)1

4. lim

X->30

8x + sin4x 2x

limitinin

deeri kaçtr?

A) 2

B)

4 C) 6

lim

X—

^>00

10x-cos3x 4x

limitinin

deeri kaçtr?

A)

¹

B)

1

C)

11-Ç

2-

D

3-

D 4-B

5-

E

D)

1 E)^oo

D) 8

E)

D) 6

E)

12

D) 8

E)

12

D) 2

E)

|

CN

Öreten Matematik

Fasiküieri

° LMT VE SÜREKLLK

|

Sa

y*

ve Sa y Biçimindeki ifadeler - 2

1.

Aadakilerden kaç tanesi dorudur?

1 i

I. lim

5

^x

=oo

II. lim

3

^x

=co

x->0’ x-»0~

1 -2

ili. lim

3

^X~2

=0

IV. lim

4

^X

^~

³

=0

x-»2*

X—

^>3"

1

V. lim

2

^x-2

=oo X—

^>2*

A)

1 B)

2 C) 3 D) 4

E)

5

x*+

2. lim

2 _x+3

x->3~

limitinin

deeri kaçtr?

A) —

oo B)

-2 C) 0 D) i

E)^oo

3.

Aadakilerden kaç

tanesi

dorudur?

i -i

I. lim

3

^x_2

=oo

II. lim

4

^3_x

=0

x-»2* x-»3~

-2 2

III. lim

5

^x

~4=oo

IV. lim

2

^X

=0

X-»4⁺ X->0~

2

V. lim

3

^X

=0

x-»0*

A)

1 B)

2 C) 3 D) 4

E)

5

4.

Aadakilerden kaç tanesi yanltr?

X -X

I. lim

2

^x_3

=co

II. lim

4

²

~

_x

=0

X—>3⁺ x-»2~

2 -2

III. lim 4^x-5

^ =0

IV. lim 5*2_x^

=

<»

x->5~ x->2*

4 V. lim

8

^X

=0

x->o~

A)

1 B)

2 C) 3 D) 4

E)

5

-2 5

5.

I. lim

3

^X_2

= 0

II. lim

4

^3~x

=0

X-*2~ x->3*

-3 -5

III. lim

4

^(x~3)2

=0

IV. lim

2

^x

-

₁

=oo

x->3~ x->r

x-1 V. lim

3 4_x =

co

x->4~

Yukardakiierden

hangileri

dorudur?

A)

^I, III, IV,

V

B)II, III, IV,

V C)

IV,

V

D)

II,

V

E)ili,

V

’gr-

Kimi yç guterVLIOF^

—

-öreten *Mâtgmaüjrra^Kue’rr^r~uw

^:

r ve süreklilik

lim

f(x)+

lim _{f(x) limitinin}

deeri kaçtr?

X->0~

X->co

A)

^-00

B)-1 C)0 D)

1

2,

Yanda y=^Zj

'

grafiiverilmitir.

Buna

göre,

n

lim

f(x)+

lim

f(x)+

lim f(x) x->-« x->0⁺

x—

^>0“

o e u

ra

E

>

ra

>

2.

3 m

limitinin

deeri kaçtr?

A)*-qo B)

0 C)

1

3.

x-2 lim

r«

X—

^>oo

^3

limitinin

deeri kaçtr?

A)

-00 B)

C)0 D)

1

4.

1-x lim

f-|

x->-oo 1^9

J

limitinin

deeri kaçtr?

A)

^—on B)

0 C) D)

1

5. lim

X->—OD

A

5

^X

+2

^x

- 3 X - j

^x

limitinin

deeri kaçtr?

A)

-oo B)-jc

C) -1 D) 0

1-D

2-

D

3-

E 4-B

5-

D

E)⁰⁰

D) 2

E)

<

E)«

E)00

E)00

Logaritma Fonksiyonunun Limiti

ÖRETEN SORU - 4S

Aadaki

^limitlerin

deerleri nedir?

a. lim ex _b.

lîm

e

^x

X— X—

^>—«û

c. lim

lnx

d. lim

lnx

X—

^{>03 x-»1*}

e. lim

lnx

f. lim e^x

X->0⁺ x->0^_

Çözüm:

i

V

y

=

e*

y

/

^

^y=lnx

0

/I

*x

Yukardaki grafie

gör^a*

a. lim

e

^x

=oo

b. lim

e

^x

= ₀

X-X30 X—⁾

—

co

8

X

II

E

JZ

d

^{d. lim lnx}

^{= 0}

X—>«3 x-»1*

I e. lim lnx

=

-oo f. lim

e

^x

=1

x-»0* x-»0"

bulunur.

ÖRETEN SORU - 49

Aadaki

limitlerin

deerleri nedir?

a. lim log₄

(x-3)

c. lim log₄

(x-3)

x-»3*

b. lim log₄

(x-3)

X-»4⁺

d. lim log₄

(x-3)

x-»4

ÇÖZÜM:

Yukardaki grafie

göre,

a. lim log4

(x-3) =

oo X—>co

b. lim log4

(x-3) = 0

x->4⁺

c. lim log4

(x-3) =

-oo x->3⁺

d. lim log4

(x-3) = 0

bulunur.

x->4~

ÖRETEN MN TEST

TEST 19

1.

Yanda _{y =}

e~^x ingrafii verilmitir.

Buna

göre,

lim

e~

^x

+

lim

e -x

x->co x->0~

limitinin

deeri kaçtr?

A) —

oo B)

-2 C) O D)

1 E)^oo

2

.

E o u

'E ra

E

>

ra

>

3

En

Yanda _y =

log

2

(x-1)

in grafiiverilmitir.

Buna

göre,

lim

f(x)+

lim f(x) x->1⁺ x->2*

limitinin

deeri kaçtr?

A)

^-oo

B) O

lim log₃

(x-5)

X-»14~

limitinin

deeri kaçtr?

A)

-oo

B) -1 C)0

4. lim log₅

(6-x) x->r

limitinin

deeri kaçtr?

A) —

oo B)

-1 C) O

lim

log(x +

3)

K_

* 2

2

limitinin

deeri kaçtr?

A)

^-oo B)

-3 C)-1

1

1-D

2-

A 3-D 4-A 5-D

D) 2

E)<

D)

1 E)<

D)

1 E)oo

A

^"N

5S

ugreten Matematik t-ascüiier

o

umu VE SÜREKLLK:

Biçimindeki Belirsizlikler -

1

lim f(x)

= 0 ve

lim g(x)

= 0

ise lim

=

x-»a x->a x->a g(x)

0

ifadesindekibelirsizlii

gidermek

için f

ve g

^fonksi-

yonlarnn durumlarna göre uygun dönüümler yap-

lp,belirsizlikgiderildikten

sonra

limit

hesaplanr.

Öreten soru -

«2 _H g

lim ^limitinin

deeri kaçtr?

X—

>4

x-4

Çözüm:

lim belirsizliivardr.

x->4

x-4 0

Bu

belirsizlii

gidermek

için, ifadeyi

çarpanlarna ayralm,

x

²

-16 +

4)

lim

— =

lim

M

^'

₌

lim (x

+

4) X->4

X-4

x->4 X—>4

=

(4

+

₄₎

= 8

bulunur.

ÖRETEN SORU - _SU

a

³

-b

³

lim

-=

_s- limitinin

deeri kaçtr?

b->a

a Çözüm

2

b

²

a

³

-b

³

belirsizliivardr.

iim ^-

b->a

a

²

—

_b²

0

Bu

belirsizlii

gidermek

için ifadeyi

çarpanlarna ayralm.

(a-b)(a

²

+ ab + b

²)

lim

a

³

-b

³

lim mil

—

«

~

»II1

1

b-»aa

^z

-b

^{z b-»a}

(a-b)(a +

b)

a

²

+ab + b

²

=

lim

b->a

a + b

2 2 2

a+a+a

a+a

3a^

2a 3a

bulunur.

Ugreten soru

^-

Jx ~

4

lim

x

->16

x

⁴

-15x-16

limitinin

deeri kaçtr?

Çözüm:

lim

Vx — 4

belirsizliivardr.

x ->16

x

²

-15x-16 ⁰

Bu

belirsizlii

gidermek

içinifadenin

pay ve payda-

sn Vx-4 ün elenii Vx + 4

ile

çarpalm

Vx-4 (S-4H&+4)

x^e

lim

x

²

-15x-16 x-»e

_(x^z

-15x-16)(Vx+4)

lim x->16

= lim

-y =

x-»i6

£^-t6)(x +

1)(vx

+

4)

11

17-8 _

136

bulunur.

E o u

’C ra

e

>

ra

>

î-

3

en

4.

limitinin

deeri kaçtr?

A) 20

B)

18

C) 15

D) —

^E)

¹

10 5

„

x

²

+2x-8

lim

-=

x—

>2

x

⁴

+3x-10

limitinin

deeri kaçtr?

A)

B)

C)

f ^D)

^E)

lim

4 4

m — n

m-»n m ^—

n

limitinin

deeri kaçtr?

A) n

⁴ B) n²

C) 4n

³

D) 2n

³

E)— 4n

³

lim x->4

x

⁴

- 3x - 4 -Jx-2

limitinin

deeri kaçtr?

A) 4

B) 8

C)10 D) 16

E)

20

lim

—

^3-~

^x ^- ^{8x +}

⁸

x-> x

²

-1

limitinin

deeri kaçtr?

7

"2

A) -4

B)

C) -3 D) —

E)

-2

1

1-D 2-A 3-C

4-

E 5-Bl

ogretemyatematiK'rasnanerr -o-am »trauraamBit

Biçimindeki Belirsizlikler - 2

ÖRETEN SORU - 53

cos2x

iim ^:

—

ît

cosx-snx

~4

limitinin

deeri kaçtr?

Çözüm:

lim

cos2x ^cos-

n

cosx-snx ^K

^{. 71}

cos — ^sn—

4 4

2 =£

belirsizlii var.

0

lim

cos2x -=

lim

cos²

x-

sin2

x

it

cosx-sinx

.. ,t

cosx-snx

X_>

4 ⁴

lim

(cosx-sinx)-(cosx+sinx) (cosx-sinx)

iim (cosx

+

sinx)

71 -J2 ^a/2

=

cos— + sin— = ££+££ =

-72 bulunur.

4

ÖRETEN SORU - 54

lim ^-

—

C0SX

limitinin

deeri kaçtr?

x->o

sinx Çözüm:

lim x->0

1-cosx 1-cosO ^1-1

sinx sinO

0 0

belirsizliini

gidermek

için ifadenin

pay ve payda-

sn

sinxile

çarpalm.

1-cosx (1-cosx)*sinx

lim

=

lim 4

x->o

snx

x->o sin

x (1-cosx)-sinx

x-»ö

(1-cos

²x)

(1^eoS>cy*sinx

lllll

—

x->o

jjj^eoSx)-(1 + cosx)

sinO

0

=

lim x-»c

=

lim

=

lim

x->o 1

+ cosO

1

+

1

0

bulunur.

ÖRETEN SORU - 55

sin3x+sinx

.. .... ...

iim limitinin

deeri kaçtr?

n

sinx«cosx

X_>

2

Çözüm:

„

^.

3x + x 3x-x

. „ ^.

2-sn

^-cos

— ^-

—

sn3x + snx _{2 2}

im = m — -

—

n

snx»cosx

2»sin2x-cosx Im —

:

=

lim

snx-cosx

2sin2x snx-cosx

j

snx

2

2-0

1

0

bulunur.

2

^.

E o 0

jl ra

E

>

ra s»

3

01

limitinin

deeri kaçtr?

A)

1 B)

2 C) 3

3.

1-smx

lim

t

b

cos2x +

1 2

limitinin

deeri kaçtr?

c)

lim

cos 2a

B

sin4a

limitinin

deeri kaçtr?

A)

¹

B)

¹

C)

4

. lim

x

-»0

1-cos4x 4x

²

limitinin

deeri kaçtr?

A) -2

B)

-1 C) 2

5. lim

sin5x + sin3x

it

sin3x-cosx

limitinin

deeri kaçtr?

A) -2 B) -1 C)0

1

1-D 2-B

3-

A ^{4-C 5-CI}

D) 6

E)

9

D)

1 E)

4

D)

E)

16

D) 4

E)

8

D)

1 E)

2

Ufeten Matematik

Fasîkülieri ö

UMITVE SÜREKLLK

Biçimindeki Belirsizlikler - ₃

Hm Px)

ifadesinin

x = a

için

paydas sfr

ise kesir x->a

Q(X)

tanmsz

olur.

Bu tanmszl yok etmek

için

£

belir-

0

sizlii

olutumlmaldr. Yani

P(x)

polinomunun

birçar-

pan x-a olmaldr.

..

x

²

+ ax-18 3

. , ^

_

lm

⁼

= —

ise

a kaçtr?

x

->6

j^-36 ⁴

ÖRETEN MN ^TEST

x -mx-12 7

lm

⁼

= -

x->4

x

²

-16 8

ise

m kaçtr?

D) 2

E)

4

ÇÖZÜM:

x

²

+ax-18

2

—

ZZ —

kesri

x = 6

iÇ n

paydas sfr

olup k

x —36

sir

tanmsz

olur.

Bu tanmszl yok etmek

için

—

0

belirsizlii

olutumlmaldr.

Ilm

x2 *"- ie ,l * [m fcaü±a,l a

x-»6

x

²

-36 4

x—>6

(x-6)(x +

6)

4 x

²

+ ax -

1

8 =

(x

-

₆₎•(x

+

₃₎

= x

²

- 3x -

1

8 a = -

bulunur.!

V ^ax + 1-2

. ,

_

,

lm — = b, beR

ise

a + b kaçtr?

x->3

x-3

,.

X

²

-25 5

lm -5 =-

x

->—

5

x +ax-15 ⁴

ise

a kaçtr?

Ilm

*-+-3

x

^z

-x-12 7

ise

m kaçtr?

D) 2

E)

3

Çözüm:

Vax + 1-2

kesri

x = 3

için

paydas sfr olup

ke- sir

tanmsz

olur.

Bu tanmszl yok etmek

için

-

0

belirsizlii

oluturulmaldr.

Yani,

^3a+1 -2 = 0

=>

3a +

1

= 4 => a =

1

olmaldr.

Kesrin pay ksmn elenii

ile

çarpp

bölelim.

lim

^

^-

^{- 2 =b}

^{=» lim}

^{I±g> ,t}

x->3

x-3

x->3

(x-3)*(Vx+1 +2)

Vmx- ^1-2

lm = n

x->6

X-6

n e R

ise

m + n toplam kaçtr?

D) —

^E)1

24

..

x+1-4

lm

^;

=

_b

x->3

(x-3)*(Vx+1 + 2

)

mil : :

x-+3

(x-3)-(Vx +

1

+2)

lim

— t— = _b

x->3

(Vx + 1+2)

V4+2'

b=—

^bulunur.

4

1

5

O hâlde a + b = 1+— = —

bulunur.

4 4

x—

4

lm

t

— ⁼ b

x^->4

V ax + 2-3

beR

ise

a + b toplam kaçtr?

Ugreten vaemaTiK ^asiKuen ^o -nm »c guncra-mn

Biçimindeki Belirsizlikler -

1

lim f(x)

=

ro

ve

lim g(x)

=

oo ise lim

^77-=—

x—>a^{: '-.} x—>a. x—>a 9(X).^:

^

olur.

Bu

belirsizlii

gidermek

için, fonksiyonlarn du-

rumlarna ^göre uygun ilemler yaplr ve

belirsizlik gi- derildikten

sonra

limit

hesaplanr.

ÖRETEN SORU - 58

4X

²

+ x

lim

—

⁼ limitinin

deeri kaçtr?

x->® x -2

Çözüm:

. 2

x

4x +x

^I

lm — = lm —

X->=a

X

²

— 2

X->

m x

²

H).

e

_1-- 2V

^ X,

belirsizlii

ÖRETEN MN ^TEST

lim

—

x—

>co

x + ³

limitinin

deeri kaçtr?

x->® 2x

limitinin

deeri kaçtr?

D) 5 E

)

6

x-»oo

3x +

1

=

lim

— ⁼ 4

bulunur.

x->m

^

_ ²

¹

— 0

x

ÖRETEN SORU -59

O

lim ^{.... limitinin}

deeri kaçtr?

X-»<o

x —

1

ÇÖZÜM:

X

²

1+^r

o

„ A

il ;

lim

X *— ₌

lim

—

_^

^

X-»<o

X —

1 X->C0

x 1__

X.

belirsizlii

3x + 5

lm —

x->® -x +4

limitinin

deeri kaçtr?

A)

-oo B)

-3 C) 0

=

lim

—

^{5 -}

⁼

^oo bulunur.

X—^{»CO 1}

— 0

2x

³

+ 4

x

^}”

3

lim

-=- —

^limitinin

deeri kaçtr?

x->m

x

²

+1 Çözüm:

( 4 ⁾

x + 3

I x,

lm _ — = lm —

)

7

X-»=o

X

²

+

1 x->co

x

²

1+

¹

belirsizlii

limitinin

deeri kaçtr?

A)

-oo B)

-2 C)0 D) 2

E)^oo

1

+ -

= «m

_v

t

xfn4

= lim

— — =— =o

bulunur.

X-M0 ^oo.(1

+

0) ⁰⁰

,.

-x

³

+ 3x

..

-X

²

+4x

lm —

5

+ lm

⁼

x->=o

x

²

+

1 x-»-co

3x

^a

+ 2

limitinin

deeri kaçtr?

A)

-oo

B)-| ^{C)0 D)}

Çözüm:

3x + ^/^VT«’

belirsizlii

vardr.

3x + Jxn 4 +

4x +

x,

9 +

3x-x-, 4 +

“TA

T OA

x—^*

— 3x-2x

= lim

— = 7

bulunur.

X

—

>

—

co

X

U1

|

^N)

ureen vra'enarr-rasmaerf _{o -tiran} VESUKElM-ll-in.

Biçimindeki Belirsizlikler - 3

ax + ^b + Vcx^ + dx

+_k_

ifedesinin

^ ^buIa|m

^.

x-.oo

mx + n

L

^{, d , k}

i.

ycx

²

+ ^dx +

k

= /x

^z

c+— +—

ⁱ

^{= x}

^•

./c+—

+

5x + 2 +

-/4x²H

lm —

x-o»

7x-3

limitinin

deeri kaçtr?

D) 2

E)co

îi.

n e N olmak

üzere,

^J X

^2"

=

^|

_x

[ ,

2n-

Vx

²ⁿ

^~

¹

=x

dir.

iii.

x — +

^oo için |x|

= x

x — -oo

için |xi

= — x

olur.

0

^hâlde,

,

ax + b + ^Vcx

²

+ dx + ^k

a)

lm

x-+« mx + n x[a + —

+ ^/c + 1 ₊ 4)

J ^X _x(m+^) ^{/ X}

^x2

^{L l±^ b}

^u,unur.

8x -

1

+

^-

limitinin

deeri kaçtr?

B)

5 C)

. .

ax + ^b + 7cx

²

+ dx +

k

a)

m

x

—

^co

^{mx+ n}

x(a + — - +

l

x V ^x x

²/

a-^ u

,

= hm =

bulunur.

X

10x + 2 + 7x

²

+ 7

limitinin

deeri kaçtr?

6x+4 + yi6x

^z

— _2x+1

limitinin

deeri kaçtr?

|

Cözür.i;

D) 3 E)

^-

6x + 4 + yi6x

²

— _2x+

1 00

= —

belirsizliivardr.

00

6x + 4 + y

¹

6x

²

- _2x +

1

6 + /m

= — = 2

bulunur.

5

limitinin

deeri kaçtr?

A)

1

B) 3 C) 5 D) 6

E)

7

Öreten soru - 65

lim

4x ~ _{3 +}

_v

^

^x2

+ ³

limitinin

deeri kaçtr?

x—

^co

_2x+

1

Çözüm:

lim

4x ~

₃

— —

-

= —

belirsizliivardr.

x

—

^co

2x +

^{1 00}

im 1^,1 bulunur.

x— = 2x +

1

2 2

..

— 2x + 4 + yi6;

x-» lm 3x + ⁸

limitinin

deeri kaçtr?

a\A n\ ^c-

o

t

vc^aoKEKtlLIlV

i co

biçimindeki

Belirsizlikler - 4

©RETENSORuITgg ^~~

a

>

b e

R~ömaklSzerer

lim

^îf+ta+

x->co

2x +

1

“*

ise

a + b _kaçtr?

ÇÖZÜM:

Limitin

sonucu 4 oiduundan

₍₄

_{e R)} pay ve paydann

dereceleri ayn, olman.

O

hâlde,

a = _{o ve}

^b

_„

2 ~ 4 =>

_b

= 8 olduundan

ÖRET EN SORU — @y

ÇÖZÜM:

x-2 ^{+ax + b} =3

_ise

_{b kaçtr?}

lim

— z

+a)( ^, h

x—>00

X -2 ^{+ax +}

^b

=3

lim

a*

²

+ bx - _2ax -

9h~)

K

—

>cr) ^' i—

-

lim

l a J

^1)x2

⁺

^(b

^-

2a) x

+ 2 -

X

—

>cr) ~~ T

=

Limitin

sonücu ₃ paydann

_dereceleri

aym _olmaldr.

O

hâlde.

a + 1*0=>a ⁼ _

¹ 1 -

= 3

=>

b + 2 = 3

=>

b=1

bulunur.

ÖRETEN _{SORU — (gg} ^~

^'

^~~~

n,

n,

k £ R yp ve

ry

m- — n 2 n olmak

1 _üzerejj^•

lim

î^r!)^jti2î!lz^x

²

+ 3x

=3

ise

k kaçtr?

Çözüm:

lim

21z4)îl+(2m-4)x

²

_{+ 3x}

X

^“ ₌₃

paydann

dereceleri ayn,

olmaldr.

O

hâlde,

m-4 = n u=> m —

,

m ^_ 4=>n

^.

^_ 2

djr

2m-4

2-k 4 = 6-3k k=- 2

_bulunur.

ÖRETEN V1NI1 TEST / 2€

a,b

e R olmak

üzere;

..

ax

²

-bx + 4 _„

lim

= ₂

x->a

2x + 3

olduuna

göre,

a + b toplam kaçtr?

A) —

1 B)

-2 C)-3 D) —4

a, b,

c e R olmak

üzere;

lim ⁽

a -

₁

)

x3 +(b +

2)x²

+cx-1

^

x-»tD

4x-1

olduuna

göre,

a + b + c toplam kaçtr?

A)

11 B)

10 0 ^{9 D) 8}

^E)

⁷

r 2 A ^'

lim

- — -+ax-b =-2

X—^>OT

x+1

V y

olduuna

göre,

b kaçtr?

A) -3 B)-2 0-1

-+ax-b =-3

x->“

(^ ⁺

¹ )

olduuna

göre,

a + b toplam kaçtr?

A) -2

_B)

_-1 Ol ^{D) 2}

k,I,t

e R ve k =

31

olmak

üzere;

lim

(k

+

6)x³

+(k-l)x

²

+ 4x-k

(2k

+

t)x2

-

_2t

olduuna

göre, t

kaçtr?

1H— ^îMEgilI