MATERIALS. Değiştirme Dönüşümleri. (Kitapta Bölüm 7) Third Edition. Ferdinand P. Beer E. Russell Johnston, Jr. John T. DeWolf

MECHANICS OF MATERIALS

Ferdinand P. Beer

E. Russell Johnston, Jr.

John T. DeWolf

Lecture Notes:

J. Walt Oler

Texas Tech University CHAPTER

© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

8 Gerilme ve Şekil

Değiştirme Dönüşümleri

(Kitapta Bölüm 7)

MUKAVEMET II

BÖLÜM

Düzenleyen:

Eray Arslan

Giriş

• En genel haliyle bir noktadaki gerilmeler 6 bileşenden oluşur,

) ,

,

: (Not

i gerilmeler kayma

, ,

gerilmeler normal

, ,

xz zx

zy yz

yx xy

zx yz xy

z y x































• Koordinat eksenleri döndürüldüğünde, aynı gerilme hali farklı bir bileşen takımıyla temsil edilecektir.

© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. ^{8 - 4}

Düzlem Gerilme

• Düzlem gerilme- kübik elemanın birbirine paralel iki yüzeyinin gerilmelerden bağımsız olduğu

duruma denir. Bu durumda gerilmeler:

. 0 ,

,







x

    



• Bir boyutu diğer iki boyutuna göre çok küçük olan ince levhalarda,

Düzlem gerilme durumu

• Herhangi bir dış yüke mağruz kalmayan yüzeylerde

kabul edilebilir.

Düzlem Gerilme Dönüşümü

• gerilme bileşenlerinin

tanımlandığı bir düzlem gerilme durumundaki elemanı ele alalım.

,

,  



• Elemanın z ekseni etrafında q açısı kadar döndükten sonraki durumuyla ilişkili

gerilme bileşenlerini belirlemeyi ve bu bileşenleri

cinsinden ifade etmeyi amaçlıyoruz.

' ,

' ,

'  



q







,

,

,

© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. ^{8 - 6}

Düzlem Gerilme Dönüşümü

   

   

   

 q q   q q



q q

 q q





q q

 q q



q q

 q q





sin sin

cos sin

cos cos

sin cos

0

cos sin

sin sin

sin cos

cos cos

0

A A

A A

A F

A A

A A

A F

xy y

xy x

y x y

xy y

xy x

x x





















 





















 











• x, y ve x’ eksenlerine dik yüzeyleri bulunan

prizmatik elemanın denge koşullarını düşünelim:.

• Böylece aşağıdaki denklemler elde edilir:

(1) (2) (3)

Düzlem Gerilme Dönüşümü

Kaynak: https://www.youtube.com/watch?v=D1n8n6VjJSs

© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. ^{8 - 8}

Örnek Problem 8.1

Şekildeki gerilme bileşenlerinin olduğu yüzey saat yönünde 35^o döndürülürse, yeni koordinat sisteminde oluşacak gerilmeler ne olur?

Asal Gerilmeler

• Denklemler (1)-(3) kullanılarak:

 

2 2 2

2 2 '

2 2

burada

xy y

x y

x ort

y x ort

x

R R

 





 







 



 



 

 







 _{ } (4)

• Denklem (4), yarıçapı R, merkez apsisi _ort ve ordinatı “0” olan bir çember denklemidir.

_ort

• Asal Gerilmeler (_max ve _min) kayma

gerilmesinin sıfır olduğu düzlemde (A ve B noktalarında) oluşur. Denklem (3) yardımıyla

y x

xy p

xy y

x y

x



 q 

 





 

 

 



 



 

 



2 2 tan

2 2

2 2 min

max,

_ort R

© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. ^{8 - 10}

Maksimum Kayma Gerilmesi

Maksimum Kayma Gerilmesi şartı sağlandığında gerçekleşir. Denklem (3) yardımıyla ^{x ort}



 _ 

2 2 2

tan

2

2 2

max

y x

ort

xy y x

s

xy y

R x



 





 q 

 

 

 

 

 



 



 



 





_ort

Asal Gerilme ve Maksimum Kayma Gerilmesi

_ort

Asal Gerilme Düzlemi Maksimum Kayma Gerilmesi Düzlemi

y x

xy

p  

q 

 2 2

tan

xy y x

s 

 q 

2 2

tan 





Aralarında 45^o var.

q_p + 45^o = q_s

Çember de ise aralarında 90^o var.

_max , _min

_xy = 0

_x = _y= _ort

_xy = _max

© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. ^{8 - 18}

Düzlem Gerilme için Mohr Çemberi

• Denklemlerle tarif edilen kritik değerler, Mohr Çemberi kullanılarak daha basit bir şekilde hesaplanabilir.

• Bunun için;

1. Gerilme bileşenleri doğru işaretler ile tanımlanır.

2. X(_x, -_xy) ve Y(_y, _xy) noktaları - grafiğinde bulunur.

3. X ve Y bir doğru ile birleştirilir. Doğrunun orta noktası C’dir ve _ort’a denk gelir.

4. R’i bulmak için Pisagor teoremi kullanılabilir:

5. _max ve_min:_ort ve R yarı çapı kullanılarak bulunabilir.

6. Asal düzlem ile referans düzlemi arasındaki açıyı (q_p) bulmak için yine dik üçgen özellikleri kullanılır.

_x

_y

_y_y)/2

R

max 2

2

2  

   



 



 

 ^{x y} _xy

R

2

y x ort



  ^

_ort _max= _ort + R

_max= _ort - R

2 ) 2 (

tan

y x

xy

p  

q 

 

Düzlem Gerilme için Mohr Çemberi

Ox’den Oa’ya dönme yönü CX’den

CA’ya dönme yönüyle aynıdır. Düzlemdeki dönme açısı değeri Mohr çemberindeki dönme açısının yarısıdır.

© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. ^{8 - 20}

Örnek Problem 8.2

Şekildeki düzlem gerilme durumu için (a) Mohr çemberini oluşturunuz,

(b) Asal düzlemi belirleyiniz, (c) Asal gerilmeleri hesaplayınız,

(d) Maksimum kayma gerilmesinin oluştuğu düzlemi belirleyiniz,

(e) Maksimum kayma gerilmesini ve karşılık gelen normal gerilmeyi hesaplayınız.

Örnek Problem 8.2

© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. ^{8 - 22}

Düzlem Gerilme için Mohr Çemberi

• Eksenel Yükleme için Mohr Çemberi

0

,  

 _{y xy}

x A

P  

 A

P

xy y

x    2



• Burulma için Mohr Çemberi

J Tc

xy y

x    

 0 _x  _y  _xy  0

J Tc 





Örnek Problem 8.3

540 mm

36 mm 300 mm

100 mm

(a) H noktasındaki (x ve y eksenlerine paralel) normal ve kayma gerilmelerini,

(b) H noktasındaki asal düzlem ve asal gerilmeleri hesaplayınız.

P = 900 N

© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. ^{8 - 31}

Mohr Çemberinin Üç Boyutlu Gerilme Analizine Uygulanması

• Asal eksenlerden biri etrafında döndürülen elemanda oluşan gerilmeler (bir düzlem gerilme dönüşümüymüş gibi) Mohr çemberi yardımıyla analiz edilebilir.

• A, B, C noktalarındaki gerilmeler, asal düzlemlerdeki asal gerilmeleri temsil eder.

min max

max 2

1  

  

• En büyük çemberin yarıçapı Q noktasındaki maksimum kayma gerilmesi değerini verir.

• Bu üç çember, her üç asal eksen etrafında döndürüldüğünde oluşacak normal ve kayma gerilmeleri temsil eder.

c ekseni etrafında döndüğünde (a-b ya da x-y

düzlemi) b ekseni etrafında

döndüğünde (a-c düzlemi)

a ekseni etrafında döndüğünde (b-c düzlemi)

Mohr Çemberinin Üç Boyutlu Gerilme Analizine Uygulanması

• Eğer A ve B’deki gerilmeler aynı işarete sahipse;

a) _max, _min, ve _max’i tanımlayan çember, xy düzlemi içindeki bir dönüşüme

karşılık gelen çember değildir.

b) _max = _a ve _min = ₀ c) _max = _a /2

d) Maksimum kayma gerilmesi düzlemi, düzlem gerilme ile 45^o açı yapar.

© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. ^{8 - 33}

Mohr Çemberinin Üç Boyutlu Gerilme Analizine Uygulanması

b) Maksimum kayma gerilmesi, maksimum “düzlem” kayma gerilmesine eşittir.

a) karşı gelen asal gerilmeler, Q’daki maksimum ve minimum normal gerilmelerine eşittir.

• Eğer A ve B’deki gerilmeler zıt işarete sahipse;

c) Maksimum kayma gerilmesi düzlemi asal düzlemle 45^o ‘lik açı yapar.

Örnek Problem 8.4

Gösterilen genel gerilme hali için (a) _z = 0,

(b) _z = + 45 MPa, (c) _z = - 45 MPa

Olduğu durumlar için Mohr çemberini çiziniz, asal gerilmeleri hesaplayınız ve maksimum kayma gerilmesini belirleyiniz.

© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. ^{8 - 35}

İnce Cidarlı Basınç Kaplarında Gerilmeler

İnce cidarlı kap r/t >10

İnce Cidarlı Silindirik Basınç Kaplarında Gerilmeler

• Silindirik kapta Asal Gerilmeler

₁ = Çembersel gerilme

₂ = Boyuna gerilme

   

t pr

x r p x

t F_z











 

1

1 2 2

0





• Çembersel gerilme:

• Silindirik kapta, eksenel simetriden dolayı (kabın ve akışkanın simetrisi) yüzey

elemanında kayma gerçekleşmez.

   

2 1

2

2 2

2 2

2 0





















 

t pr

r p rt

F_x

• Boyuna gerilme:

© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. ^{8 - 37}

İnce Cidarlı Silindirik Basınç Kaplarında Gerilmeler

• Mohr çemberindeki A ve B noktaları ₁

(çembersel) ve ₂ (boyuna) asal gerilmelerine karşılık gelir.

• Maksimum düzlem kayma gerilmesi:

t pr

duzlem

4 2

1

2 )

max( 





• Ancak, kabın cidarındaki maksimum kayma gerilmesi, daha büyüktür, OA çaplı çemberin yarıçapına eşittir ve boyuna eksen etrafında, gerilme düzleminin dışına çıkan 45^o’lik

dönmeye karşılık gelir.

t pr

2 2

max  



İnce Cidarlı Küresel Basınç Kaplarında Gerilmeler

• Küresel Basınç Kaplarında (iki asal doğrultuda eşit gerilme):

t pr

2 2

1  



• Maksimum kayma gerilmesi

t pr

1 4

2

max  1 



• Kap yüzeyinin teğet düzlemi

içindeki gerilme dönüşümleri için elde edilecek ohr çemberi bir

noktaya dönüşür.

0 s

) max(duzlem

2 1

















© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. ^{8 - 39}

Örnek Problem 8.5