0 oldu˘gundan maksimum de˘geri=0 ve minimum de˘geri=f (±12

MT 131 Analiz I F˙INAL SINAVI C¸ ¨oz¨umler

1. (a) f (x) = x^8/3− x^2/3, [−1, +1] aralı˘gında s¨urekli oldu˘gundan, Maksimum-Minimum Teoreminden, bu aralıkta maksimum ve minimum de˘gerlerine eri¸sir. ˙I¸c Ekstremum teoreminden, f bu de˘gerlere ya bir i¸c kritik sayıda ya da bir u¸c noktasında eri¸sir.

f⁰(x) = ⁸₃x⁵³ − ²₃x⁻³² = ²₃x⁻²³(4x² − 1). kritik sayılar:0;±¹₂ dir. f (±1) = f (0) = 0, f (±¹₂) < 0 oldu˘gundan maksimum de˘geri=0 ve minimum de˘geri=f (±¹₂) = ₄⁻³√3

dir. 4

(b) 0⁰belirsizli˘gi. y = (sin x)^{1−cos x}olsun. ln y = (1−cos x) ln sin x = ^{ln sin x}1 1−cos x

, ⁰₀ belirsizli˘gi var

limx→0+

cos x sin x

− sin x (1−cos x)2

=limx→0+

cos x(1−cos x)2

− sin2 x =limx→0+

cos x(1−cos x)2(1+cos x)

− sin2 x(1+cos x) =limx→0+

− cos x(1−cos x) 1+cos x =0

olur. L’Hospital Kuralından lim_x→0⁺(1 − cos x) ln sin x = 0 olur ve (e^x, 0 da s¨urekli oldu˘gundan) lim_x→0⁺(sin x)^{1−cos x}= lim_x→0⁺e(1−cos x) ln sin x = e⁰ = 1 olur.

2. (B¨olerek) ^x_x⁴2⁺¹−1 = x² + 1 + _x2²−1 oldu˘gundan y = x² + 1 bu rasyonel fonksiyonun d¨u¸sey olmayan tek asimptotudur. f⁰(x) = ^2x(x_(x⁴2^−2x−1)²²⁻¹⁾ oldu˘gundan kritik sayılar :0, ±p

1 +√ 2

x<−√

1+√

2 −√

1+√

2<x<−1 −1 < x < 0 0 < x < 1 1<x<√

1+√

2 x>√

1+√ 2

f⁰ − + + − − +

f & % % & & %

f , 0, ±p 1 +√

2 de s¨urekli oldu˘gundan, I. T¨urev testinden, f , 0 da yerel maksimuma,

±p 1 +√

2 de yerel minimuma eri¸sir.

3. (a) lim_x→+∞x^sin1x, ∞⁰ belirsizli˘gi var. ln(x^sin1x) = sin_x¹ln x, lim_x→+∞sin¹_xln x = lim_t→0^{+ − ln t}1

sin t

, ^∞_∞ belirsizli˘gi var. lim_t→0⁺ ₋⁻cos t^1t sin2 t

= lim_t→0⁺ _{t cos t}^sin2t = lim_t→0^{+ sin t}_{t cos t}^{sin t} = 0. L’Hospital Kuralından dolayı lim_x→+∞sin¹_xln x = 0 olur. e^x, 0 da s¨urekli oldu˘gundan, (bile¸skenin limiti teoreminden) limx→+∞x^sin1x = e⁰ = 1 olur.

(b) lim

x→−∞

sinh⁻¹x ln(x²+ 1), ∞

∞belirsizli˘gi var. lim

x→−∞

√ 1 x²+1

2x x²+1

= lim

x→−∞

√x²+ 1

2x = lim

x→−∞

|x|

q 1 + _x¹2

2x =

x→−∞lim

− q

1 + _x¹2

2 = −1

2 L’Hospital Kuralından dolayı lim

x→−∞

sinh⁻¹x

ln(x²+ 1) = −1 2 olur.

4. (a) lim

x→af (x) = lim

x→ag(x) = +∞ olsun.

i. lim

x→a

1

f (x) = 0 ve a yı i¸ceren bir a¸cık aralıkta belki a dı¸sında f (x) > 0 ii. lim

x→a

1

g(x) = 0 ve a yı i¸ceren bir a¸cık aralıkta belki a dı¸sında g(x) > 0

(Bu aralıkların arakesiti olan a¸cık aralıkta, belki a dı¸sında) 0 < f (x) < f (x) + g(x) oldu˘gundan (aynı k¨umede) 0 < _{f (x)+g(x)}¹ < _{f (x)}¹ dir. lim_{x→af (x)}¹ = 0 = lim_x→a0 oldu˘gundan Sandvi¸c (Sıkı¸stırma) Teoreminden limx→a 1

f (x)+g(x) = 0 olur. Aynı k¨umede f (x) + g(x) > 0 ve lim_{x→af (x)+g(x)}¹ = 0 oldu˘gundan lim

x→a(f (x) + g(x)) = +∞ olur.

(b) i. Birinci C¸ ¨oz¨um:f (x) = Arccos(−x), g(x) = π − Arccos x olsun. f ve g, [−1, 1]

aralı˘gında s¨urekli ve (−1, 1) aralı˘gında t¨urevlenebilirdir. Her x ∈ (−1, 1) i¸cin 1

f⁰(x) = ^√_1−x¹ ₂ = g⁰(x) oldu˘gundan ODT nin sonucu olarak [−1, 1] aralı˘gında f (x) − g(x) bir sabittir. f (0) = g(0) = ^π₂ oldu˘gundan bu sabit 0 dır ve [−1, 1]

aralı˘gında f (x) = g(x) olur.

ii. ˙Ikinci C¸ ¨oz¨um: Her x ∈ [−1, 1] i¸cin (0 ≤ Arccos x ≤ π oldu˘gundan) 0 ≤ π − Arccos x ≤ π olur.

Cos(π −Arccos x) = cos(π −Arccos x) = − cos(Arccos x) = −x olur. Dolayısıyla Arccos(−x) = Cos⁻¹(−x) = π − Arccos x

olur.

iii. ¨U¸c¨unc¨u C¸ ¨oz¨um: (Derste ispatlanan her x ∈ [−1, 1] i¸cin Arcsin x + Arccos x = ^π₂ ve Arcsin x in tek fonksiyon oldu˘gunu kullanarak)

Arccos(−x) = π

2−Arcsin(−x) = π

2+Arcsin(x) = π 2+π

2−Arccos(x) = π−Arccos x

5. ˙I¸cteki koninin hacmı maksimum yapılacak. Hacım=¹₃πr²h maksimum yapılacak. Benzer ¨u¸cgenlerden ^r₂ = ^3−h₃ , 3r + 2h = 6 olur. h = 3 −^3r₂. Hacım form¨ul¨unde yerine yazılırsa:

V = V (r) = ^π₂(2r²− r³) Maksimum yapılacak.

0 < r < 2 olmalıdır. V = V (r) = ^π₂(2r²− r³), (0, 2) aralı˘gında maksimum yapılacak.

V⁰(r) = ^π₂r(4 − 3r) Kritik sayılar:0, ⁴₃. (0, 2) aralı˘gındaki yegane kritik sayı ⁴₃. 0 < r < ⁴₃ ⁴₃ < r < 2

V⁰(r) + −

V (r) % &

V, ⁴₃ de s¨urekli oldu˘gundan V, (0, 2) aralı˘gında maksimum de˘gerine ⁴₃ de olu¸sur. h = 1 bulunur.

2