Ba˘glayanlar˙IlintiliiseNeOlur?Yrd.Doç.Dr.A.TalhaYALTA Çoklue¸sdo˘grusallık

(1)

Çoklue¸sdo ˘grusallı ˘gın Niteli ˘gi Çoklue¸sdo ˘grusallı ˘gın Sonuçları Çoklue¸sdo ˘grusallı ˘gı Saptamak ve Düzeltmek

Çoklue¸sdo ˘grusallık

Ba ˘glayanlar ˙Ilintili ise Ne Olur?

Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA Ekonometri 2 Ders Notları

Sürüm 2,0 (Ekim 2011)

(2)

Açık Lisans Bilgisi

˙I¸sbu belge, “Creative Commons Attribution-Non-Commercial ShareAlike 3.0 Unported” (CC BY-NC-SA 3.0) lisansı altında bir açık ders malzemesi olarak genel kullanıma sunulmu¸stur.

Eserin ilk sahibinin belirtilmesi ve geçerli lisansın korunması ko¸sulu ile özgürce kullanılabilir, ço ˘galtılabilir ve de ˘gi¸stirilebilir.

Creative Commons örgütü ve “CC-BY-NC-SA” lisansı ile ilgili ayrıntılı bilgi “http://creativecommons.org” adresinde bulunmaktadır. Ekonometri ders notlarımın güncel sürümüne

“http://yalta.etu.edu.tr” adresinden ula¸sabilirsiniz.

A. Talha Yalta

TOBB Ekonomi ve Teknoloji Üniversitesi Ekim 2011

(3)

Ders Planı

1 Çoklue¸sdo ˘grusallı ˘gın Niteli ˘gi Çoklue¸sdo ˘grusallık Kavramı Çoklue¸sdo ˘grusallık Varken Tahmin

2 Çoklue¸sdo ˘grusallı ˘gın Sonuçları Kuramsal Sonuçlar

Uygulamaya ˙Ili¸skin Sonuçlar Açıklayıcı Örnek

3 Çoklue¸sdo ˘grusallı ˘gı Saptamak ve Düzeltmek Var Olup Olmadı ˘gını Anlamak

Çoklue¸sdo ˘grusallı ˘gı Düzeltici Önlemler

(4)

Çoklue¸sdo ˘grusallık Kavramı Çoklue¸sdo ˘grusallık Varken Tahmin

Ders Planı

(5)

Çoklue¸sdo ˘grusallık Kavramı

Klasik do ˘grusal ba ˘glanım modelinin (KDBM) varsayımlarından biri, modele katılan de ˘gi¸skenler arasında“çoklue¸sdo ˘grusallık”

(multicollinearity) olmadı ˘gı yönündedir.

Gözlem sayısının açıklayıcı de ˘gi¸sken sayısından çok oldu ˘gu ve açıklayıcıların yeterince de ˘gi¸skenlik gösterdi ˘gi varsayımları da çoklue¸sdo ˘grusallı ˘gın olmadı ˘gı varsayımının tamamlayıcılarıdır.

Bu bölümde ¸su sorulara yanıt arayaca ˘gız:

1 Çoklue¸sdo ˘grusallı ˘gın niteli ˘gi nedir?

2 Çoklue¸sdo ˘grusallık gerçekten bir sorun mudur?

3 Uygulamada do ˘gurdu ˘gu sonuçlar nelerdir?

4 Varlı ˘gı nasıl anla¸sılabilir?

5 Düzeltmek için ne gibi önlemler alınabilir?

(6)

Çoklue¸sdo ˘grusallık Kavramı

E¸sdo ˘grusallık kavramını ilk kez 1934 yılında Ragnar Frisch öne sürmü¸stür.

Önceleri bu terim bir ba ˘glanım modelinin tüm ya da bazı açıklayıcı de ˘gi¸skenleri arasında“kusursuz”(perfect) ya da

“tam”(exact) bir do ˘grusal ili¸ski oldu ˘gu anlamına geliyordu.

A¸sa ˘gıdaki örne ˘gi ele alalım:

λ₁X₁+ λ₂X₂+ · · · + λ_kX_k =0

Yukarıdaki e¸sitlikte yer alan herhangi bir X , örnek olarak X₂, di ˘gerlerinin do ˘grusal i¸slevi olarak gösterilebilir:

X₂= −^λ_λ¹

2X₁−^λ_λ³

2X₃− · · · −^λ_λ^k

2X_k

Di ˘ger bir deyi¸sle bu örnekteki herhangi bir X de ˘gi¸skenini di ˘gerlerinin do ˘grusal bir bile¸siminden türetmek olasıdır.

(7)

Çoklue¸sdo ˘grusallık Kavramı

Bugün çoklue¸sdo ˘grusallık hem tam çoklue¸sdo ˘grusallı ˘gı hem de X de ˘gi¸skenlerinin genel olarak birbirleriyle ili¸skili olduklarını gösteren daha geni¸s bir anlam içermektedir:

λ₁X₁+ λ₂X₂+ · · · + λ_kX_k +v_i =0 v_i burada olasılıksal hata terimidir.

Örnek olarak X₂ ¸su ¸sekilde yazılabilir:

X₂= −^λ_λ¹

2X₁−^λ_λ³

2X₃− · · · −^λ_λ^k

2X_k−_λ¹

2v_i

Buna göre X₂, di ˘ger X de ˘gi¸skenlerinin kusursuz olmayan bir do ˘grusal bile¸simidir.

(8)

Çoklue¸sdo ˘grusallık Kavramı

Tanımladı ˘gımız ¸sekliyle çoklue¸sdo ˘grusallık, yalnızca X ’ler arasındaki do ˘grusal ili¸skileri anlatmaktadır.

Örnek olarak a¸sa ˘gıdaki“çokterimli”(polynomial) ba ˘glanım modelini ele alalım:

Y_i = β0+ β1X_i+ β2X_i²+ β3X_i³+u_i

Burada X_i, X_i²ve X_i³’ün i¸slevsel ili¸ski içinde oldu ˘gu açıktır.

Ancak bu ili¸ski do ˘grusal olmadı ˘gı için çoklue¸sdo ˘grusallı ˘gın olmadı ˘gı varsayımını çi ˘gnemez.

Uygulamada ise X_i, X_i², ve X_i³arasında hesaplanan ilinti katsayısı yüksek çıkacak ve bu da anakütle katsayılarının tahmin edilmesini güçle¸stirecektir.

(9)

Çoklue¸sdo ˘grusallık Kavramı

Tam ve tamdan az e¸sdo ˘grusallık arasındaki farkı daha iyi görebilmek için, a¸sa ˘gıdaki varsayımsal verileri inceleyelim:

X1 X2 X₂^∗

10 50 52

15 75 75

18 90 97

24 120 129 30 150 152

Bu örnekte X₂=5X₁oldu ˘gu için, X₁ile X₂arasında tam e¸sdo ˘grusallık bulunmaktadır.

Di ˘ger bir deyi¸sle ilinti katsayısı r₁₂=1’dir.

X₂^∗ de ˘gi¸skeni ise X₂’ye rastsal sayılar çizelgesinden alınan {2, 0, 7, 9, 2} sayılarının eklenmesiyle bulunmu¸stur.

X₁ile X₂^∗ arasında bir tam e¸sdo ˘grusallık olmamakla birlikte

(10)

Çoklue¸sdo ˘grusallı ˘gın Nedenleri

Çoklue¸sdo ˘grusallık ¸su etmenlere ba ˘glı olabilir:

1 Veri derleme yöntemi:Örnek olarak, bir X ’in anakütlede aldı ˘gı de ˘gerlerin sınırlı bir aralı ˘gından örneklem almak.

2 Anakütle kısıtlamaları:Örnek olarak, elektrik tüketiminin gelir ve konut büyüklü ˘güne göre ba ˘glanımında görülen yüksek gelirli ailelerin büyük evlerde oturmaları durumu.

3 Model kurma hatası:Örnek olarak, bir X de ˘gi¸skeninin gözlenen aralı ˘gı darken ba ˘glanım modeline X²gibi terimler eklemek.

4 A¸sırı belirtimli model:Modelin gözlem sayısına göre çok fazla sayıda de ˘gi¸sken içermesi.

(11)

Tam E¸sdo ˘grusallık

Tam çoklue¸sdo ˘grusallık durumunda ba ˘glanım katsayıları belirsizdir.

Ayrıca ˆβkatsayılarının ölçünlü hataları da sonsuz olur.

Bunu görebilmek için üç de ˘gi¸skenli modeli sapmalar biçiminde yazalım:

y_i = ˆβ₂x_2i + ˆβ₃x_3i+u_i

Tahmin edilen β de ˘gi¸stirgeleri a¸sa ˘gıdaki gibidir:

βˆ2 = ^{(P y}ⁱ^x²ⁱ^{)(P x}

2

3i)−(P yix3i)(P x2ix3i) (P x_2i²)(P x_3i²)−(P x2ix3i)²

βˆ₃ = ^{(P y}ⁱ^x³ⁱ^{)(P x}

2

2i)−(P y_ix_2i)(P x_2ix_3i) (P x_2i²)(P x_3i²)−(P x_2ix_3i)²

(12)

Tam E¸sdo ˘grusallık

¸

Simdi, X_3i = λX_2i diyelim ve λ 6= 0 olsun.

Bu durumda tahmin edilen de ˘gi¸stirgeler ¸suna indirgenir:

βˆ₂= ˆβ₃= ˆβ = ^{(P y}ⁱ^x_{(P x}²ⁱ^)(λ2²^{P x}²ⁱ²^)−(λ^{P y}ⁱ^x²ⁱ^)(λ^{P x}²ⁱ²⁾ 2i)(λ²P x_2i²)−λ²(P x_2i²)² = ⁰₀ Yukarıdaki gösterimin belirsiz olmasının nedeni, X_2i ile X_3i’nin tam e¸sdo ˘grusallıktan dolayı birbirlerinden ayrılamamasıdır.

X_2i de ˘gi¸since X_3i de λ çarpanıyla de ˘gi¸sir, sabit tutulamaz.

Uygulamada bu durum yıkıcı olur çünkü bütün amaç zaten X_2i ve X_3i’nin Y_i üzerindeki kısmi etkilerini ayrı¸stırmaktır.

(13)

Tam E¸sdo ˘grusallık

Tam çoklue¸sdo ˘grusallı ˘gın yol açtı ˘gı belirsizlik sorununu görmek için X_3i = λX_2i özde¸sli ˘gini modele yerle¸stirelim:

y_i = βˆ₂x_2i+ ˆβ₃(λx_2i) +u_i

= ( ˆβ₂+ λ ˆβ₃)x_2i+u_i

= αxˆ _2i+u_i

Demek ki α de ˘geri için tek bir tahmin yapılabilirken, β₂ile β3için ayrı ayrı iki tahmin yapılamaz:

ˆ

α = ( ˆβ₂+ λ ˆβ₃) βˆ₂= ˆα − λ ˆβ₃

(14)

Yüksek E¸sdo ˘grusallık

Tam çoklue¸sdo ˘grusallık uç bir durumdur. ˙Iktisadi verilerde genellikle tam do ˘grusal ili¸skiye rastlanmaz.

Yüksek çoklue¸sdo ˘grusallık durumu için ¸su ili¸skiye bakalım:

x_3i = λx_2i+v_i

Burada λ 6= 0’dır. v_i ise x_2i’den ba ˘gımsız (P x_2iv_i =0) bir olasılıksal hata terimidir.

Yukarıda gösterilen yüksek çoklue¸sdo ˘grusallık durumunda, β₂ve β₃katsayılarının tahmin edilmesi olanaklıdır:

βˆ₂= ^{(P y}ⁱ^x²ⁱ^)(λ²^{P x}²ⁱ²^{+P v}ⁱ²^)−(λ^{P y}ⁱ^x²ⁱ^{+P y}ⁱ^vⁱ^)(λ^{P x}²ⁱ²⁾

(P x_2i²)(λ²P x_2i²+P v_i²)−(λP x_2i²)²

Yukarıdakine benzer bir gösterim β₃için de çıkarılabilir.

Demek ki yüksek çoklue¸sdo ˘grusallık durumunda tahmin yapılmasını engelleyen bir durum yoktur.

(15)

Kuramsal Sonuçlar Uygulamaya ˙Ili¸skin Sonuçlar Açıklayıcı Örnek

Ders Planı

(16)

Kuramsal Sonuçlar

Çoklue¸sdo ˘grusallık tama yakın olsa bile SEK tahmincileri yansız ve enaz varyanslıdırlar.

Di ˘ger bir deyi¸sle, çoklue¸sdo ˘grusallık durumunda da SEK tahmincileri EDYT’dirler.

Çoklue¸sdo ˘grusallı ˘gın tek etkisi, ölçünlü sapması dü¸sük tahminler yapmayı güçle¸stirmesidir.

Kuramsal anlamda (1) çoklue¸sdo ˘grusallık, (2) az sayıda gözlem ve (3) yüksek varyanslı ba ˘gımsız de ˘gi¸skenler kavramları aynı sorunun üç farklı ¸sekilde dile getirilmesidir.

Goldberger gibi bazı ekonometriciler, örneklem büyüklü ˘gü konusunu vurgulamak için çoklue¸sdo ˘grusallık terimi yerine

“mikrosayıdalık”(micronumerosity) sözcü ˘günü ye ˘glerler.

(17)

Kuramsal Sonuçlar

Çoklue¸sdo ˘grusallık temelde bir örneklem ya da örneklem ba ˘glanımı olgusudur.

Di ˘ger bir deyi¸sle, X de ˘gi¸skenleri anakütlede do ˘grusal ili¸skili olmasalar bile eldeki örneklemde do ˘grusal ili¸skili olabilirler.

AB˙I’yi tahmin etmek üzere kullanılan bir örneklemdeki X ’ler yüksek bir çoklue¸sdo ˘grusallık gösterir ise bunların Y üzerindeki tekil etkilerini ayırmak zorla¸sır.

Kısaca eldeki örneklem tüm X ’leri çözümlemeye katmaya yetecek kadar zengin olmayabilir.

(18)

Kuramsal Sonuçlar

Örneklemin yeterlili ˘gi sorununa örnek olarak a¸sa ˘gıda verilen tüketim-gelir örne ˘gini ele alalım:

Tüketim = β₁+ β₂Gelir + β₃Servet + u_i

˙Iktisat kuramına göre gelir ve servet, tüketim harcamalarını açıklamada önemli iki de ˘gi¸skendir.

Ancak veriler derlendi ˘ginde bu iki de ˘gi¸sken tam olmasa bile yüksek ili¸skili çıkar.

Di ˘ger bir deyi¸sle, gelir ve servetin tüketim harcamaları üzerindeki etkilerini örneklemde ayırmak zor olabilir.

Bu ayrımı yapabilmek için ise geliri az ama serveti çok olan ve geliri çok ama serveti az olan kimselerin yeterli sayıda örneklem gözlemini edinebilmek gereklidir.

Kesit verilerinde bunu sa ˘glamak mümkün olabilse de toplu zaman serilerinde buna eri¸smek neredeyse imkansızla¸sır.

(19)

Uygulamaya ˙Ili¸skin Sonuçlar

Tama yakın çoklue¸sdo ˘grusallık durumlarında, uygulamada ¸su sonuçlarla kar¸sıla¸sılabilir:

SEK tahmincileri, EDYT olmalarına kar¸sı yüksek varyans ve kovaryanslıdırlar.

Yüksek varyanslar nedeniyle güven aralıkları geni¸s olma e ˘gilimindedir.

Geni¸s güven aralıkları ise katsayı tahminlerine ili¸skin sıfır önsavlarının reddedilememesine ve birçok t oranının istatistiksel olarak anlamlı olmamasına yol açar.

Bir ya da daha çok katsayının anlamlı olmamasına kar¸sın bütünün yakı¸sma iyili ˘ginin ölçüsü R²yüksek olabilir.

SEK tahminleri“sa ˘glam”(robust) olmayabilirler. Di ˘ger bir deyi¸sle, verilerdeki küçük de ˘gi¸smelere duyarlı olabilirler.

(20)

Yüksek Varyans ve Kovaryans Sorunu

Yüksek varyans ve kovaryans sorununu görebilmek için üçlü ba ˘glanıma ait ¸su ili¸skileri anımsayalım:

var( ˆβ₂) = σ² P x_2i²(1 − r₂₃²) var( ˆβ₃) = σ²

P x_3i²(1 − r₂₃²) cov( ˆβ₂, ˆβ₃) = −r₂₃σ²

(1 − r₂₃²)

qP x_2i²P x_3i²

Buradaki r₂₃terimi X₂ile X₃arasındaki ilinti katsayısıdır.

E¸sdo ˘grusallık düzeyi yükselirken, di ˘ger bir deyi¸sle r₂₃1’e yakla¸sırken, iki tahmincinin varyanslarının artarak sonsuza yakla¸stı ˘gına dikkat ediniz.

(21)

Yüksek Varyans ve Kovaryans Sorunu

Çoklue¸sdo ˘grusallık altında varyans ve kovaryansların büyüme hızını görmek için“varyans ¸si¸sme çarpanı”

(variance inflating factor) kavramından yararlanılabilir:

V ¸SÇ = 1 (1 − r₂₃²)

Yukarıdaki formüle göre r₂₃ 1’e yakla¸sırken V ¸SÇ de ˘geri de sonsuza yakınsamaktadır.

V ¸SÇ tanımı kullanılarak ˆβ₂ve ˆβ₃’nın varyansları ¸söyle gösterilebilir:

var( ˆβ2) = ^σ²

P x_2i²V ¸SÇ var( ˆβ₃) = ^σ² V ¸SÇ

(22)

Yüksek Varyans ve Kovaryans Sorunu

r₂₃artarken varyans ve kovaryansların büyümelerine ili¸skin bir örnek olarak, ¸su çizelgeyi inceleyelim:

Çizelge:r23’teki Artı¸sın Etkisi r23De ˘geri V ¸SÇ var( ˆβ2) cov( ˆβ2, ˆβ3)

0,00 1,00 × 1 0

0,50 1,33 × 1,33 × 0,67

0,70 1,96 × 1,96 × 1,37

0,80 2,78 × 2,78 × 2,22

0,90 5,76 × 5,76 × 4,73

0,95 10,26 × 10,26 × 9,74 0,97 16,92 × 16,92 × 16,41 0,99 50,25 × 50,25 × 49,75 0,995 100,00 × 100,00 × 99,50 0,999 500,00 × 500,00 × 499,50

(23)

Yüksek Varyans ve Kovaryans Sorunu

Çizelgede görüldü ˘gü gibi, yüksek bir ölçünlü hata anakütle katsayılarının güven aralıklarının geni¸s olmasına neden olmaktadır.

Örnek olarak r₂₃ =0,95’ken β₂’nin güven aralı ˘gı da r₂₃=0 durumuna oranla√

10,26 ya da yakla¸sık 3 kat büyüktür.

Ayrıca, tahmin edilen ölçünlü hatalardaki artı¸s t de ˘gerlerini de küçültmektedir.

Bu yüzden anakütleye ait gerçek katsayının sıfır oldu ˘guna ili¸skin varsayımlar daha az reddedilir.

Son olarak, katsayılar istatistiksel olarak anlamlı olmasa bile kovaryansın yüksek olmasından dolayı R²de yüksek, örnek olarak 0,90’ın üstünde olabilir.

Demek ki anlamlı olmayan t de ˘gerleriyle birlikte görülen

(24)

Küçük De ˘gi¸smelere Duyarlılık Sorunu

Çoklue¸sdo ˘grusallık durumunda, ba ˘glanım tahminleri ve bunların ölçünlü hataları verilerdeki küçük de ˘gi¸smelere yüksek duyarlılık gösterirler.

Bunu görmek için ¸su iki varsayımsal veri setine bakalım:

Y X2 X3 Y X2 X3

1 2 4 1 2 4

2 0 2 2 0 2

3 4 12 3 4 0

4 6 0 4 6 12

5 8 16 5 8 16

˙Iki veri seti arasındaki tek fark X₃’ün üçüncü ve dördüncü gözlemlerinin yer de ˘gi¸stirmi¸s olmasıdır.

(25)

Küçük De ˘gi¸smelere Duyarlılık Sorunu

Birinci veri setine dayanarak ¸su sonuçlar bulunur:

Yˆ_i = 1,1939 + 0,4463 X_2i +0,0030 X_3i öh (0,7737) (0,1848) (0,0851)

t (1,5431) (2,4151) (0,0358) R²=0,8101 r₂₃= 0,5523 cov( ˆβ₂, ˆβ₃) = −0,0087

˙Ikinci veri seti ise a¸sa˘gıdaki ba˘glanım bulgularını verir:

Yˆi = 1,2108 + 0,4014 X2i +0,0270 X3i

öh (0,7480) (0,2721) (0,1252)

t (1,6187) (1,4752) (0,2158) R²=0,8143 r23= 0,8285 cov( ˆβ₂, ˆβ₃) = −0,0282

(26)

Açıklayıcı Örnek

Çoklue¸sdo ˘grusallı ˘ga bir di ˘ger örnek olarak, Türkiye’nin farklı illerinde faaliyet gösteren ¸sehirlerarası otobüs firma sayılarını inceleyen a¸sa ˘gıdaki modeli ele alalım.

Y_i = β₁+ β₂X_2i + β₃X_3i +u_i Burada

Y ilde faaliyet gösteren otobüs firma sayısını (adet), X 2 ildeki toplam otomobil sayısı (bin adet),

X 3 ise ildeki yeti¸skin nüfusu (milyon ki¸si) göstermektedir.

Dikkat:˙Ildeki nüfus ile otomobil sayısı arasında yüksek bir e¸sdo ˘grusallık gözlenece ˘gi açıktır.

(27)

Açıklayıcı Örnek

Otobüs firmalarının otomobil sayıları ve nüfus ile olan ili¸skisinin do ˘grusal oldu ˘gunu varsayarsak ¸sunu buluruz:

Yˆi =26,6672 + 0,1859 X2i − 1,0990 X_3i öh (3,7763) (0,0693) (14,5375)

t (7,0617) (2,6808) (−0,0756) R²=0,7455 Sonuçlar, otomobiller ve nüfusun birlikte firma sayılarındaki de ˘gi¸simin yakla¸sık %75’ini açıkladı ˘gını göstermektedir.

Di ˘ger yandan, nüfusun e ˘gim katsayısı istatistiksel olarak anlamlı de ˘gildir ve üstelik i¸sareti de yanlı¸stır.

Ayrıca, β₂= β3=0 önsavını sınamak için bir ortak güven aralı ˘gı belirlendi ˘ginde bu önsav reddedilmez.

Bunu görmek için bildik F sınamasına ba¸svurulabilir.

F sınaması yerine X₂ile X₃’ün güven elipsinin 0 noktasını

(28)

Açıklayıcı Örnek

-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4

X3

X2

%95 Güven Elipsi ve %95 Marjinal Aralıkları

0,186, -1,1

Güven elipsinin do ˘gruyu andıran ¸seklinin X₂ile X₃arasında tama yakın bir e¸sdo ˘grusallı ˘gı gösterdi ˘gine dikkat ediniz.

(29)

Açıklayıcı Örnek

Çözümlemeyi bir adım ileriye götürür ve X₃’ün X₂’ye göre ba ˘glanımını hesaplarsak a¸sa ˘gıdaki sonuçları elde ederiz.

Xˆ3i = 0,1620 + 0,0047 X2i

öh (0,0228) (9,25e-05)

t (7,0913) (50,7795) r²=0,9703 Buna göre X₃ile X₂arasında oldukça yüksek bir e¸sdo ˘grusallık bulunmaktadır.

Ayrıca Y ’nin X₂ve X₃’e göre ayrı ayrı ikili ba ˘glanımlarını alacak olursak, e ˘gim katsayılarının i¸saretlerinin do ˘gru ve anlamlılık düzeylerinin de yüksek oldu ˘gunu görürüz.

Bu da gösterir ki yüksek çoklue¸sdo ˘grusallık gösteren X de ˘gi¸skenlerinden birini modelden çıkartmak, ço ˘gu zaman di ˘ger(ler)inin istatistiksel olarak anlamlı çıkmasını sa ˘glar.

(30)

Var Olup Olmadı ˘gını Anlamak Çoklue¸sdo ˘grusallı ˘gı Düzeltici Önlemler

Ders Planı

(31)

Var Olup Olmadı ˘gını Anlamak

Bir ba ˘glanımda çoklue¸sdo ˘grusallı ˘gın varlı ˘gını anlama konusu ile ilgili olarak ¸su noktalara dikkat edilmelidir:

Çoklue¸sdo ˘grusallık nitelik de ˘gil nicelik sorunudur. Anlamlı bir ayrım çoklue¸sdo ˘grusallı ˘gın çe¸sitli dereceleri arasında yapılmalıdır.

Çoklue¸sdo ˘grusallık örneklemin bir özelli ˘gi oldu ˘gu için çoklue¸sdo ˘grusallı ˘ga ili¸skin bir sınama yapılamaz. Ancak derecesi ölçülebilir.

Çoklue¸sdo ˘grusallı ˘gın var olup olmadı ˘gını anlamak ve e ˘ger varsa derecesini ölçmek için tek bir yöntem yoktur. Bunun yerine izlenebilecek birkaç gev¸sek kural vardır.

(32)

Var Olup Olmadı ˘gını Anlamak

Çoklue¸sdo ˘grusallı ˘gın var olup olmadı ˘gını anlamak için kural olarak yararlanılabilecek bazı belirtiler ¸sunlardır:

1 Yüksek R²’ye kar¸sı anlamlı olmayan t oranları

2 De ˘gi¸sken çiftleri arasında yüksek ilinti

3 Yüksek dereceli kısmi ilintilerin yüksek olması

4 Yardımcı ba ˘glanımlarda görülen güçlü ili¸skiler

5 Dü¸sük özde ˘gerler ya da yüksek ko¸sul endeksi de ˘geri

6 Yüksek varyans ¸si¸sme çarpanları

(33)

Var Olup Olmadı ˘gını Anlamak

Kural 1: Yüksek R²’ye kar¸sı anlamlı olmayan t oranları Kısmi e ˘gim katsayıları tekil olarak sıfırdan farklı de ˘gilken R² de ˘gerinin yüksek (örne ˘gin 0,8 ve üzeri) bulunması.

Bu klasik belirtinin kötü yanı a¸sırı güçlü olmasıdır.

Di ˘ger bir deyi¸sle, bu tanı ancak X ’lerin Y üzerindeki tüm etkileri birbirinden ayırt edilemeyecek noktadaysa çoklue¸sdo ˘grusallı ˘gı zararlı sayar.

Öyleyse bu durum çoklue¸sdo ˘grusallı ˘gın varlı ˘gı için yeterli ama gerekli de ˘gildir.

(34)

Var Olup Olmadı ˘gını Anlamak

Kural 2: De ˘gi¸sken çiftleri arasında yüksek ilinti

˙Iki açıklayıcı de˘gi¸sken arasındaki ilinti katsayısının 0,8 gibi yüksek bir de ˘ger olması.

Bu ölçütteki sorun ise yalnızca sıfırıncı dereceden ilintilere bakmanın tek ba¸sına yeterli olmamasıdır.

˙Ikiden fazla açıklayıcı de˘gi¸sken olması durumunda, basit ilintiler tekil olarak dü¸sük (örne ˘gin 0,5 ve altı) olsa bile çoklue¸sdo ˘grusallık ciddi derecede yüksek olabilir.

(35)

Var Olup Olmadı ˘gını Anlamak

Kural 3: Yüksek dereceli kısmi ilintiler

Sıfırıncı dereceden ilintilere güven sorunu nedeniyle bakılan yüksek dereceli kısmi ilinti katsayılarının yüksek çıkması.

Örnek olarak Y ’nin X₂, X₃, X₄’e göre ba ˘glanımında yüksek bir R_1.234² ama dü¸sük r_12.34² , r_13.24² , r_14.23² de ˘gerleri bulmak.

Böyle bir durum; X₂, X₃ve X₄’ün kendi aralarında yüksek ilintili oldu ˘gu ve dolayısıyla bunlardan en az birinin gereksiz oldu ˘gu izlenimini verir.

Çoklue¸sdo ˘grusallık bir ya da daha çok de ˘gi¸skenin di ˘ger de ˘gi¸skenlerin tam ya da tama yakın bir do ˘grusal bile¸simi demek oldu ˘gu için, çok karma¸sık ¸sekillerde olu¸sabilir.

Dolayısıyla kısmi ilintileri incelemek yararlıdır ama bu da

(36)

Var Olup Olmadı ˘gını Anlamak

Kural 4: Yardımcı ba ˘glanımlarda görülen güçlü ili¸skiler

Hangi X ’in di ˘ger X ’ler ile ili¸skili oldu ˘gunu bulmak amacıyla her bir X_i de ˘gi¸skeninin di ˘gerlerine göre ba ˘glanımını tahmin etmek ve buna kar¸sılık gelen R_i²de ˘gerini hesaplamak.

Bu ba ˘glanımlara“yardımcı”(auxiliary) ba ˘glanım denir.

Örnek olarak, X_2i =a₁+a₃X_3i +a₄X_4i + · · · +a_kX_ki+u_i ba ˘glanımından R_X²

2 elde edilir.

Daha sonra (k-2) ve (n-k+1) sd ile F da ˘gılımına uyan ¸su istatistik hesaplanır:

F_i = R²_x_i_.x₂_x₃_...x_k/(k − 2) (1 − R²_x_i_.x₂_x₃_...x_k)/(n − k + 1)

Bulunan F_i e ˘ger kritik de ˘geri a¸sıyorsa, X_2i’nin di ˘ger X ’lerle çoklue¸sdo ˘grusal oldu ˘gu önsavı reddedilmez.

(37)

Var Olup Olmadı ˘gını Anlamak

Yardımcı ba ˘glanım yönteminde e ˘ger hesaplanan bir F_i anlamlıysa, ilgili X_i’nin çıkartılıp çıkartılmayaca ˘gına ayrıca karar vermek gereklidir.

Çok sayıda karma¸sık do ˘grusal ili¸ski varsa kar¸sılıklı ili¸skileri saptamak güç olaca ˘gından, bu yöntem pek yararlı olmaz.

Bütün R_i²’leri tek tek sınamaya alma¸sık olarak“Klein’ın ba¸sparmak kuralı”(Klein’s rule of thumb) da uygulanabilir.

Bu kurala göre bir yardımcı ba ˘glanımdan elde edilen R² bütünün R²’sinden büyükse, çoklue¸sdo ˘grusallık dikkate alınmaya de ˘gecek kadar yüksek demektir.

Di ˘ger kurallar gibi bu kural da dikkatli kullanılmalıdır.

(38)

Var Olup Olmadı ˘gını Anlamak

Kural 5: Dü¸sük özde ˘gerler ya da yüksek ko¸sul endeksi de ˘geri Do ˘grusala yakın ba ˘gımlılıkların bir i¸sareti olarak bir de ˘gi¸skene ait“özde ˘ger”(eigen value) büyüklü ˘günün dü¸sük olması.

Ekonometri yazılımları ile kolayca bulunabilen özde ˘gerler kullanılarak“ko¸sul sayısı”(condition number) k ve“ko¸sul endeksi”(condition index) KE de ˘gerleri ¸söyle hesaplanır:

k = En Yüksek Özde ˘ger

En Dü¸sük Özde ˘ger, KE =√ k

Çoklue¸sdo ˘grusallık, k e ˘ger 100 ile 1000 arasındaysa orta ya da güçlü derecededir. E ˘ger 1000’i a¸sıyorsa da ciddidir.

Alma¸sık olarak, çoklue¸sdo ˘grusallık e ˘ger KE 10 ile 30 arasındaysa orta ya da güçlüdür. 30’u a¸sıyorsa da ciddidir.

Bu gev¸sek kural da di ˘gerleri gibi dikkatli kullanılmalıdır.

(39)

Var Olup Olmadı ˘gını Anlamak

Kural 6: Yüksek varyans ¸si¸sme çarpanları

X_i’nin di ˘ger de ˘gi¸skenlerle ili¸skisi artarken“varyans ¸si¸sme çarpanı”(variance inflation factor) ya da kısaca“V ¸SÇ”(VIF) de ˘gerinin de artmasının bir ölçüt olarak kullanılması.

k de ˘gi¸skenli modeldeki bir kısmi ba ˘glanım katsayısının varyansı, V ¸SÇ cinsinden ¸su ¸sekilde gösterilebilir:

var( ˆβ_i) = σ² P x_i²

1 1 − R_i²

!

= σ² P x_i²V ¸SÇ_i βˆive R_i²de ˘gerleri burada X_i’nin kısmi ba ˘glanım ve

belirleme katsayılarıdır. V ¸SÇ_i ise varyans ¸si¸sme çarpanıdır.

Bir ba¸sparmak kuralı olarak, bir de ˘gi¸skenin V ¸SÇ de ˘geri

(40)

Ho¸sgörü ve Varyans ¸ Si¸sme Çarpanı

Bazı ekonometriciler V ¸SÇ yerine alma¸sık olarak“ho¸sgörü”

(tolerance), kısaca“HO ¸S”(TOL) de ˘gerini kullanırlar:

Ho¸sgörü

HO ¸S_i = 1

V ¸SÇ_i = (1 − R_i²)

Buna göre X_i di ˘ger de ˘gi¸skenlerle tam ili¸skiliyse HO ¸S_i =0, ili¸skisizse de HO ¸S_i =1 olur.

var( ˆβi)tanımından, yüksek bir HO ¸S_i de ˘gerinin dü¸sük bir σ² ya da yüksek birP x_i²ile dengelenebildi ˘gi görülmektedir.

Dolayısıyla küçük bir HO ¸S (ya da büyük bir V ¸SÇ) yüksek ölçünlü hatalar bulmak için ne yeterli ne de gereklidir.

(41)

Çoklue¸sdo ˘grusallı ˘gı Düzeltici Önlemler

Çoklue¸sdo ˘grusallı ˘gın nasıl giderilece ˘gine ili¸skin kesin kurallar yoktur. Uygulanabilecek gev¸sek kurallardan bazıları ¸sunlardır:

1 Önsel bilgilere ba¸svurmak

2 Havuzlamalı verilerden yararlanmak

3 Bazı de ˘gi¸skenleri bırakmak

4 Verileri dönü¸stürmek

5 Ek ya da yeni veriler derlemek

6 Di ˘ger iyile¸stirici önlemler

(42)

Önsel Bilgilere Ba¸svurmak

Yöntem 1: Önsel bilgilere ba¸svurmak

Çoklue¸sdo ˘grusallık sorununu gidermek için, modele önsel bilgilere dayalı sınırlamalar getirilebilir.

A¸sa ˘gıdaki modeli ele alalım:

Y_i = β₁+ β₂X_2i+ β₃X_3i +u_i

Burada Y_i tüketimi, X_2i geliri, X_3i de serveti göstermektedir.

Gelir ile servet yüksek derecede e¸sdo ˘grusaldır.

β₃=0,1β₂oldu ˘gunu“önsel”(a priori) olarak bildi ˘gimizi varsayalım. Bundan yararlanarak ¸sunu elde edebiliriz:

Y_i = β₁+ β₂X_2i+0,1β₂X_3i +u_i

= β1+ β2X_4i+u_i Burada X_4i =X_2i +0,1X_3i’dir.

βˆ₂bir kez bulunduktan sonra ˆβ₃da β₂ile β₃arasında var oldu ˘gu dü¸sünülen ili¸skiden kolayca bulunabilir.

(43)

Önsel Bilgilere Ba¸svurmak

Önsel bilgiden yararlanabilmek için katsayılar arasındaki ili¸skiye ait böyle bir bilginin öncelikle var olması gereklidir.

Önsel bir bilgi daha önceki görgül çalı¸smalardan ya da modelin gerisinde yatan kuramdan gelebilir.

Örnek olarak, Cobb-Douglas türü üretim i¸slevine dayanan bir modelde ölçe ˘ge göre sabit getiri olması bekleniyorsa, β₁+ β₂=1 sınırlaması geçerli olur.

Di ˘ger yandan, modele sınırlama getirmek konusunda dikkatli olunmalıdır.

Öncelikli amacımızın kuramın ileri sürdü ˘gü önsel bilgileri modele zorla sokmak de ˘gil, bu beklentilerin kendisini sınamak oldu ˘gunu unutmamalıyız.

(44)

Havuzlamalı Verilerden Yararlanmak

Yöntem 2: Havuzlamalı verilerden yararlanmak

Dı¸ssal ya da önsel bilginin bir biçimi de“havuzlamalı veriler”

(pooled data) kullanmak, di ˘ger bir deyi¸sle yatay kesit ve zaman serisi verilerini bir araya getirmektir.

A¸sa ˘gıdaki ba ˘glanımı ele alalım:

ln Y_t = β1+ β2ln P_t + β3ln I_t +u_t

Burada Y satı¸s sayısını, P ortalama fiyatı, I geliri ve t ise zamanı göstermektedir.

Zaman serisi verilerinde fiyat ve gelir de ˘gi¸skenleri yüksek bir e¸sdo ˘grusallık gösterme e ˘gilimindedir.

Di ˘ger yandan, zaman içerisinde tek bir noktada derlenen kesit verilerinde fiyat çok de ˘gi¸sikli ˘ge u ˘gramadı ˘gı için bu sorunla fazla kar¸sıla¸sılmaz.

(. . . devam)

(45)

Havuzlamalı Verilerden Yararlanmak

Yatay kesit verileri kullanılarak β₃’ün güvenilir bir tahmini bulunduktan sonra, zaman serisi ba ˘glanımı ¸söyle yazılır:

Y_t^∗= β1+ β2ln P_t +u_t

Burada Y^∗=ln Y − β₃ln I dönü¸stürmesi kullanılmı¸stır.

Gelir etkisinden arındırmalı Y de ˘gerleri kullanılarak, artık β₂tahmin edilebilir.

Yatay kesit ve zaman serisi verilerini bir araya getirmenin bazı yorum sorunları do ˘gurabilece ˘gi unutulmamalıdır.

Örnek olarak, burada kesit verileriyle bulunan esnekli ˘gin zaman serisiyle bulunan de ˘gere e¸sit oldu ˘gu örtük olarak varsayılmaktadır.

(46)

Bazı De ˘gi¸skenleri Bırakmak

Yöntem 3: Bazı de ˘gi¸skenleri bırakmak

Ciddi bir çoklue¸sdo ˘grusallıkla kar¸sıla¸sınca izlenebilecek bir di ˘ger yol da de ˘gi¸skenlerden bir ya da birkaçını bırakmaktır.

Di ˘ger yandan, modelden de ˘gi¸sken çıkartmak bir model

“belirtim yanlılı ˘gı”(specification bias) ya da“belirtim hatası”

(specification error) sorununa yol açabilir.

Örnek olarak, do ˘gru model a¸sa ˘gıdaki gibi olsun:

Y_i = β1+ β2X_2i+ β3X_3i +u_i Yanlı¸slıkla a¸sa ˘gıdaki modeli yakı¸stırmı¸s olalım:

Y_i =b₁+b₁₂X_2i + ˆu_i Bu durumda ¸söyle bir yanlılık ortaya çıkar:

E (b₁₂) = β₂+ β₃b₃₂

b₃₂ burada X₃’ün X₂’ye göre ba ˘glanımındaki e ˘gimdir.

(47)

Bazı De ˘gi¸skenleri Bırakmak

Örnekte gösterilen b₁₂, β₂’nin“yanlı”(biased) tahmincisidir.

Di ˘ger bir deyi¸sle b₁₂katsayısı, β₃b₃₂ çarpımının i¸saretine ba ˘glı olarak β₂’yi dü¸sük ya da yüksek tahmin eder.

Bu noktada, tama yakın çoklue¸sdo ˘grusallık varken bile SEK tahmincilerinin EDYT oldu ˘gunu anımsayalım.

Çoklue¸sdo ˘grusallık modeldeki anakütle katsayılarının keskin olarak tahmin edilmesini engellemektedir.

Bir de ˘gi¸skeni çıkartmak ise yanlılı ˘ga yol açarak anakütle katsayılarının gerçek de ˘geri konusunda bizi yanıltabilir.

Demek ki bazı durumlarda ilaç hastalıktan daha kötü olabilmektedir.

(48)

Verileri Dönü¸stürmek

Yöntem 4: Verileri dönü¸stürmek

Çoklue¸sdo ˘grusallık, verileri dönü¸stürerek de yok edilebilir.

Uygulamada sıkça kullanılan veri dönü¸stürme yollarından biri,“oran dönü¸sümü”(ratio transformation) yöntemidir.

A¸sa ˘gıdaki modeli ele alalım:

Y_i = β₁+ β₂X_2i+ β₃X_3i +u_i

Burada Y_i tüketim, X_2i milli gelir ve X_3i de toplam nüfustur.

Toplam gelirin nüfus ile e¸sdo ˘grusallık göstermesi sorunu, modelin ki¸si ba¸sına olarak belirtilmesiyle çözülebilir:

Y_i X3i

= β₁

1 X3i

+ β₂ X_2i X3i

+ β₃+ u_i X3i

Buradaki sorunsa ilk ba ˘glanımdaki u_i terimi sabit varyansla da ˘gılıyor olsa bile dönü¸stürmeli ba ˘glanımındaki u_i/X_3i’nin

“farklıserpilimsellik”(heteroscedasticity) göstermesidir.

(49)

Verileri Dönü¸stürmek

Bir di ˘ger dönü¸stürme yöntemi olarak ¸su modeli ele alalım:

Yt = β₁+ β₂X_2t+ β₃X_3t +ut

Buradaki gelir (X_2t) ve servetin (X_3t) e¸sdo ˘grusallıklarının bir nedeni, bunların zaman içinde birlikte de ˘gi¸smeleridir.

Zamanın ilk noktası t iste ˘ge ba ˘glı oldu ˘gu için ¸su yazılabilir:

Y_t−1= β₁+ β₂X_2,t−1+ β₃X_3,t−1+u_t−1 Yukarıdaki ikinci denklemi birinciden çıkartırsak, modeli

“birinci fark”(first difference) biçiminde yazmı¸s oluruz:

Yt− Y_t−1= β₂(X_2t − X_2,t−1) + β₃(X_3t− X_3,t−1) +vt

Bu i¸slem e¸sdo ˘grusallık sorununu azaltır çünkü X₂ile X₃’ün farklarının e¸sdo ˘grusal olması için önsel bir neden yoktur.

Ancak birinci fark dönü¸sümü gözlemlerin sıralı olmadı ˘gı yatay kesit verileri için uygun de ˘gildir.

Ayrıca, fark alma nedeniyle ba¸staki gözlem yitirildi ˘gi için

(50)

Yeni Veriler Derlemek

Yöntem 5: Yeni veriler derlemek

Çoklue¸sdo ˘grusallık bir örneklem özelli ˘gi oldu ˘guna göre, daha büyük ya da aynı de ˘gi¸skenlerin yer aldı ˘gı farklı bir örneklemde daha az ciddi olabilir.

Üç de ˘gi¸skenli model için varyans formülünü anımsayalım:

var( ˆβ₂) = σ² P x_2i²(1 − r₂₃²)

Görüldü ˘gü gibi, örneklem büyürkenP x_2i² de büyümekte ve buna ko¸sut olarak azalan var( ˆβ₂)de ˘geri β₂’nin daha kesin tahmin edilmesini sa ˘glamaktadır.

Ancak, iktisadi çalı¸smalarda ek veriler bulabilmek ya da

“daha iyi” veriler derleyebilmek her zaman kolay de ˘gildir.

(51)

Di ˘ger Düzeltici Önlemler

Yöntem 6: Di ˘ger düzeltici önlemler

Çoklue¸sdo ˘grusallı ˘gı gidermeye yönelik ba¸ska dönü¸stürme ve tahmin yöntemleri de bulunmaktadır.

Örnek olarak, açıklayıcı de ˘gi¸skenlerin çe¸sitli üstlerle girdi ˘gi

“çokterimli”(polynomial) modellerde, çoklue¸sdo ˘grusallı ˘gı azaltmanın bir yolu X ’leri sapmalar biçiminde kullanmaktır.

Bunların dı¸sında, çoklue¸sdo ˘grusallık sorununu çözmede

“etmen çözümlemesi”(factor analysis),

“ba¸s bile¸senler” (principal components),

“sırt ba ˘glanımı” (ridge regression) gibi yöntemler de sıkça kullanılır.

Bunlar daha ileri düzeydeki bir tartı¸smanın konusudur.

(52)

Önümüzdeki Dersin Konusu ve Ödev

Ödev

KitaptanBölüm 10“Multicollinearity: What Happens if the Regressors Are Correlated?” okunacak.

Önümüzdeki Ders Farklıserpilimsellik