Reel sayıların çeşitli algoritmalar yardımıyla gösterilmesi

T.C.

SAKARYA ÜNĐVERSĐTESĐ

FEN BĐLĐMLERĐ ENSTĐTÜSÜ

REEL SAYILARIN ÇEŞĐTLĐ ALGORĐTMALAR

YARDIMIYLA GÖSTERĐLMESĐ

YÜKSEK LĐSANS TEZĐ

Zeynep AKYÜZ

Enstitü Anabilim Dalı : MATEMATĐK

Tez Danışmanı : Yrd. Doç. Dr. Serpil HALICI

Haziran 2007

T.C.

SAKARYA ÜNĐVERSĐTESĐ

FEN BĐLĐMLERĐ ENSTĐTÜSÜ

REEL SAYILARIN ÇEŞĐTLĐ ALGORĐTMALAR

YARDIMIYLA GÖSTERĐLMESĐ

YÜKSEK LĐSANS TEZĐ

Zeynep AKYÜZ

Enstitü Anabilim Dalı : MATEMATĐK

Bu tez 05 / 06 /2007 tarihinde aşağıdaki jüri tarafından Oybirliği ile kabul edilmiştir.

Yrd.Doç.Dr.Serpil HALICI Prof.Dr.Metin BAŞARIR Doç.Dr.Đbrahim OKUR

Jüri Başkanı Üye Üye

ÖNSÖZ

Bu çalışmada, a₀∈Z ve a₁,a₂,K∈Z⁺ olmak üzere α=

[

^a0^;a1^,K

]

basit sürekli kesir açılımı bilindiğinde a,b,c,d ∈Z ve determinantı 0’dan farklı olan 



 



=c d b M a

matrisi yardımıyla

d c

b a

+ α

+

= α

β sayısının sürekli kesir açılımının nasıl bulunabileceği anlatıldı. Kullanılan matrislerin satır ve sütunları arasındaki bulunması gereken bağıntılar, yapılacak işlemleri zorlaştırmaktadır. Bunun için matrislerin bulunması ile ilgili örnekler verilmiştir.

Ayrıca sürekli kesir biçiminde yazılmış reel sayıların bazı özel tanımlanmış matrislerle kodlanması yöntemleri açıklandı.

Bu çalışmanın her aşamasında ilgi, teşvik ve yardımlarını esirgemeyen danışmanım Sayın Yrd. Doç. Dr. Serpil HALICI’ya teşekkürlerimi sunmayı bir borç bilirim.

Çalışmayı hazırladığım zaman zarfında bana olan desteğinden dolayı değerli eşim Kürşat AKYÜZ’e, ayrıca tezin yazımında bilgisayar ve Đngilizce konusunda bana yardımcı olan okulumdaki öğretmen arkadaşlarıma ve fikirlerinden istifade ettiğim Matematik bölümündeki hocalarıma teşekkürlerimi sunarım.

Bu tez Sakarya Üniversitesi Bilimsel Araştırma Projeler Komisyonu tarafından 2006.50.01.091 no’lu proje ile desteklenmiştir.

Zeynep AKYÜZ 2007

ĐÇĐNDEKĐLER

ÖNSÖZ ... ii

ĐÇĐNDEKĐLER ... iii

SĐMGELER VE KISALTMALAR LĐSTESĐ... v

ŞEKĐLLER LĐSTESĐ ... vi

TABLOLAR LĐSTESĐ... vii

ÖZET... viii

SUMMARY... ix

BÖLÜM 1. GĐRĐŞ ……… 1.1. Bir Reel Sayının Sürekli Kesri... 1

1 BÖLÜM 2. MATRĐS YARDIMI ĐLE SÜREKLĐ KESĐRLERĐN GÖSTERĐMĐ... 9

2.1. (L,R) Dizi Açılımı……... 9

2.2. Satır Dengeli, Sütun Dengeli ve Çifte Dengeli Matrisler... 12

2.3.(R,B)_n,(C,B)_nveya(D,B)_nKümelerine Ait Olan Bütün Matrisleri Bulmak Đçin Etkili Bir Yöntem ………... 14

2.4. Satır Dengeli Matrisler Đçin Geçişler………... 20

2.5. τ_n,v

Dönüştürücüleri ve (LR) Dizi Dönüşümleri... 23

2.6.

{ }

1 *ın veD R , L in Otomorfizmi ve Anti-otomorfizmi τ_n,v nin Simetrikleri……… 29 2.7. τn,_υ nin Kuvvetli Bağlantılılığı...

2.8. Genel Problemin Çifte Dengeli Duruma Đndirgenmesi...

2.9. Sürekli Kesirler ve Matris Çarpımları ...

32 38 42

BÖLÜM 3.

GRAFLAR ……… 47

3.1. Grafların Matris Gösterimi……... 48

3.2. Yollar ve Halkalar………... 48

3.3. Ağaçlar………... 49

3.3.1. Köklü ağaçlar…………... 49

3.5.2. Đkili ağaçlar ………...………... 50

3.4. Matrisler ve Ağaçlar... 51

3.5. Raney Ağacı……... 55

3.6. Stern-Brocot Ağacı ………... 57

3.7. Stern-Brocot Ağacı Üzerinde Sürekli Kesirler ……….... 59

3.8. Raney Sayıları ve Stern –Brocot Sayıları Arasındaki Đlişki ……… 62

BÖLÜM 4. SONUÇLAR VE ÖNERĐLER………... 64

KAYNAKLAR……….. 66

ÖZGEÇMĐŞ……….……….. 68

SĐMGELER VE KISALTMALAR

Ak : Sürekli Kesrin k. Payı

A(G) : G Grafının Komşuluk Matrisi Bk : Sürekli Kesrin k. Paydası

Ck : Sürekli Kesrin k. Yakınsaklığı )n

B , C

( : n Determinantlı Sütun Dengeli Matrislerin Kümesi Dn : n Determinantlı 2x2 Matrislerinin Kümesi

)n

B , D

( : n Determinantlı Çifte Dengeli Matrislerin Kümesi G(V,E): V Düğümlü, E Kenarlı Graf

INT : (L,R) Kelimelerinde L ve R nin Yerini Değiştiren Dönüşüm Kn : n Düğümlü Tam Graf

L : 



 



 1 1

0

1 Biçimindeki Matris

}

{

^{L,R *} : Bütün (L,R) Kelimelerinin Kümesi N : Doğal Sayılar Kümesi

Ra(W) : Raney Sayısı R : 



 



 1 0

1

1 biçimindeki matris

)n

B , R

( : n Determinantlı Satır Dengeli Matrislerin Kümesi REV : (L,R) Kelimelerini Tersine Çeviren Dönüşüm S : (L,R) dizisi

SB : Stern-Brocot Sayısı Z : Tamsayılar Kümesi

τ : Dönüştürücü W : (L,R) kelimesi

ŞEKĐLLER LĐSTESĐ

Şekil 2.5.1. τ_3,1 için durumgrafiği...………28

Şekil 2.7.1. τ_2,1 için durum grafiği...………...34

Şekil 2.7.2. τ_5,1 için durum grafiği...………..36

Şekil 2.7.3. τ_7,1 için durum grafiği…...………...37

Şekil 3.1a. Graf………...47

Şekil 3.1b. Graf………...47

Şekil 3.2a. Tam Graf………...47

Şekil 3.2b. Tam Graf………...47

Şekil 3.1.1. Graf………...48

Şekil 3.2.1. Çoklu Graf………49

Şekil 3.3.1. Ağaç………..49

Şekil 3.3.1.1. Köklü Ağaç………...50

Şekil 3.3.2.1. Đkili Ağaç………..51

Şekil 3.5.1. Raney Ağacı………..57

Şekil 3.6.1. Stern-Brocot Ağacı...………58

TABLOLAR LĐSTESĐ

Tablo 2.5.1. τ_3,1 için geçiş tablosu………27

Tablo 2.7.1. τ_2,1 için geçiş tablosu…...………....34

Tablo 2.7.2. τ_5,1 için geçiş tablosu……...………35

Tablo 2.7.3. τ_7,1 için geçiş tablosu………...………37

ÖZET

Anahtar kelimeler: Sürekli Kesirler, Satır Dengeli Matris, Sütun Dengeli Matris, Çifte Dengeli Matris, Dönüştürücü, Graf, Ağaç, Raney Ağacı, Stern-Brocot Ağacı Bu çalışmada ilk olarak bir rasyonel sayının Öklid algoritması yardımıyla sürekli kesir açılımının bulunması ve bu açılımın bazı özellikleri anlatıldı.

Đkinci kısımda R ve L matrisleri tanıtıldı. Bu matrisler determinantları 1 olan



 



=1 1 0

L 1 ve 



 



=0 1 1

R 1 biçimindeki matrislerdir. Bu matrislerin zincirleme çarpımlarından söz edildi.

Ayrıca a₀ ∈Z ve a₁,a₂,K∈Z⁺ olmak üzere α =

[

^a0^;a1^,K

]

basit sürekli kesir açılımı bilindiğinde a,b,c,d ∈Z ve determinantı 0 (sıfır) dan farklı olan 



 



=c d b M a

matrisi yardımıyla

d c

b a

+ α

+

= α

β sayısının sürekli kesir açılımının nasıl bulunabileceği anlatıldı. Burada yine R ve L matrisleri kullanıldı.

Son bölümde graflar, ağaçlar ve ağaçların matrislerle ilişkisi anlatıldı. Bir sürekli kesrin R ve L matrislerinin zincirleme çarpımı ile temsil edilmesi ve bu çarpımın aynı zamanda bir grafikle gösterilmesi verildi. Bu bağlamda Raney ve Stern-Brocot ağaçlarından ve bu ağaçlarda bir düğüm olan Raney ve Stern-Brocot sayılarından bahsedildi.

THE REPRESENTATION OF THE REAL NUMBERS

BY VARIOUS ALGORITHM

SUMMARY

Key words : Continued Fraction, Row Balanced Matrices, Column Balanced Matrices, Doubly Balanced Matrices, Transducers, Graph, Tree, Raney Tree, Stern- Brocot Tree

Firstly in this thesis , we mention about; finding a continued fraction expansion of a rational number by using Euclid algorithm and some properties of this expansion.

In second part R and L matrices are constructed. This matrices whose determinant’s are equal to 1 and shown as 



 



=1 1 0

L 1 and 



 



=0 1 1

R 1 . Than mention about catenation multiplication of these matrices.

Moreover, while a₀ ∈Z and a₁,a₂,K∈Z⁺, if α =

[

^a0^;a1^,K

]

simple continued rational expansion is known a,b,c,d ∈Z and by using 



 



=c d b

M a matrices whose

determinant is different than 0(zero), we explain how to find

d c

b a

+ α

+

= α

β continued

fraction expansion. Here we also used R and L matrices.

In last part,we mention about graphs,trees,and the relationship between trees and matrices.We explained a continued fraction number which can be implemented by using catenation multiplication. R and L matrices.Also this multiplication is shown in graph. Also we mention about; Raney and Stern-Brocot trees,and the Raney and

Stern-Brocot numbers who are node of these trees.

BÖLÜM 1. GĐRĐŞ

1.1. Bir Reel Sayının Sürekli Kesri

Tanım 1.1.1. p ve q birer tamsayı ve olsun. p’nin q₀ ile bölümünden elde edilen bölüm ve kalanlar düzenlenirse;

p=a₀q₀ +q₁ ; 0<q₁ <q₀

2 1 1

0 a q q

q = + ; 0<q₂ <q₁

3 2 2

1 a q q

q = + ; 0<q₃ <q₂ M

1 i i i 1

i a q q

q₋ = + ₊ ; 0<q_i+1 <q_i

bulunur. Bu eşitliklere Öklid algoritmasının adımları denir. q₁,q₂,q₃K ler kalanlar olup pozitif tamsayılardır, gittikçe azalır ve sonunda “sıfır” olur ve böylece algoritma biter. q_N−1 =a_Nq_N, q_N+1 =0 olduğunda q sayısı p ve q’nun en büyük ortak _N bölenidir. Burada 1. adımda q₀ =q alınıp her terim q’ya bölünürse

1 0

0q q

a

p= + ⇒

q a q q

p ₁

0 +

= bulunur. Bu şekilde devam edilirse;

=L + +

+ + =

+ + =

+

= +

=

2 3 2 1 0

2 1 1 0

1 2 1 0

1 0

q a q a 1 a 1

q q a 1 a 1 q a q a 1 q

q a 1 q p

q0

q=

N 3

2 1 0

a 1 a 1

a 1 a 1 a 1 q p

+ + + + +

=

O

elde edilir. Burada a₀∈Z olup; a₁,a₂,a₃,K,a_n sayıları pozitif tamsayılardır ve 1

a_N > dir.

( 1.1.1)

biçimindeki ifadeye basit sürekli kesir denir.

Eğer alınan sayı rasyonel sayı değilse, q_N+1= 0 asla olamaz ve sürekli kesir sonsuza kadar devam eder.

N 3

2 1 0

a 1 a 1

a 1 a 1 a 1 q p

+ + + + +

=

O

sürekli kesri,

N 3

2 1

0 a

1 a

1 a 1 a a 1 q p

+ +

+ + +

= L

K

biçiminde de yazılabilir.

N 3

2 1 0

a 1 a 1

a 1 a 1 a 1 q p

+ + + +

+

=

O

3

Ayrıca (1.1.1) sürekli kesri [a₀;a₁,a₂,K,a_n] veya 〈a₀,a₁,a₂,K,a_n〉 şeklinde gösterilebilir. Eğer, sayı irrasyonel ise [a₀;a₁,a₂,K gösterimi kullanılır. ]

Örnek 1.1.1.

3 1 1 5 1

3 4 5 1 4 5 3 4 23

+ +

= +

= +

= sürekli kesir açılımına sahip rasyonel

sayı ; 4

23 = [5; 1,3] biçiminde yazılabilir.

Örnek 1.1.2. 2 irrasyonel sayısının sürekli kesir açılımı aşağıdaki şekilde bulunur.

M L

2 1 2 1 2 1

1

) 1 2 ( 2 2 1 2 1

1 )

1 2 ( 2 2 1

1 )

1 2 ( 2 1 1 2

+ + +

=

=

− + +

+

=

− + +

− =

= +

−

Buradan,

M 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2

+ + + + +

=

biçiminde yazılır. Bu ifade kısaca 2 =[1;2,2,2,K] şeklinde ifade edilir. Basit sürekli kesrin yakınsaklıkları aşağıdaki gibi açıklanabilir:

C₀ =a₀,

1 1 0

1 0

1 a

1 a a a a 1

C = + = +

M

1 a a

a ) 1 a a ( a a a 1 a 1 C

2 1

2 2

1 0

2 1 0

2 +

+

= + + +

=

biçimindeki yazılışlara (1.1.1) sürekli kesrinin yakınsaklıkları denir. Genel ifadesi

k k

k B

C = A

biçimindedir. Buradaki C_k ya (1.1.1) sürekli kesrinin k. yakınsaklığı denir. A_k ve Bk da sırasıyla k. pay ve k. paydadır.

O halde;

0 0 0

0 B

a A

C = = ; A₀ =a₀ , B₀ =1 alınır.

1 1

1 1 0

1 B

A a

1 a

C = a + = ^{; A}₁ =^a₀^a₁+¹ , B₁ =a₁

olur.

Örnek 1.1.3. ^{2 =}

[

^1;2,2,2,K

]

biçiminde yazılabilen sürekli kesrin yakınsaklıkları bulunabilir:

[ ]

M K

2 1 2 1 2 1 1 1 , 2 , 2 , 2

; 1 2

+ + + +

=

=

olduğundan;

C₀ =1

1,5 2 3 2 1 1

C₁ = + = =

4 , 5 1 7 2 2 1 1 1

C₂ = =

+ +

=

5

1,41666...

15 17

2 2 1 2 1 1 1

C₃ = =

+ + +

=

Benzer biçimde, 1,41379K 29

C₄ = 41 = bulunur. Yakınsaklıkların gittikçe irrasyonel

sayının gerçek değerine yaklaştığı kolayca görülür.

Önerme 1.1.1.

{ }

Ak k_≥−1 ve

{

Bk

}

k_≥−1 dizileri, terimleri a sayılarından oluşan iki _k dizi olsun.

A₋₁ =1^, B₋₁ =0 A₀ =a₀ , B₀ =1

başlangıç koşulları olmak üzere;

1 k k 1 k 1

k a A A

A ₊ = ₊ + ₋

B_k+1 =a_k+1B_k +B_k−1 , 0≤k≤n−1^.

tekrarlı bağıntıları sağlanır. Bu bağıntıları tümevarımla göstermek kolaydır; k=1 için doğru olduğu gösterilir. k = n-1 için doğru olduğu kabul edilir.

[

0 1 2 n

]

n

n a ;a ,a , ,a

B

A = K ise,



 



 +

=

+ +

+

1 n n 2 1 0 1 n

1 n

a a 1 , , a , a

; B a

A K

şeklinde alınır ve

1 n n

n a

a 1 a

+

+

= alınırsa, ispat tamamlanır [1].

Önerme 1.1.2. k ≥0 için , AkBk₋1−Ak₋1Bk =

( )

−1^k−1 dır .

Đspat: Tümevarımla bu eşitliğin doğruluğu gösterilebilir. k = 1 için

( )

^{1 1}

B A B

A_{1 0} − _{0 1} = − ⁰ =

olmalıdır. (a₀a₁ +1).1−a₀a₁ =a₀a₁ +1−a₀a₁ =1 olduğundan eşitlik sağlanır. k = n için eşitlik doğru olsun.

( )

^{n 1}

n 1 n 1 n

nB A B 1

A ₋ − ₋ = − ⁻

olur. Đspatın tamamlanması için k = n+1 için eşitliğin sağlandığı, yani

( )

ⁿ

1 n n n 1

n B A B 1

A ₊ − ₊ = −

olduğu gösterilmelidir; bu durumda,

1 n n n 1

n B A B

A ₊ − ₊ ⁼

(

an₊1An +An₋1

)

Bn −An

(

an₊1Bn +Bn₋1

)

= a_n+1A_nB_n +A_n−1B_n −a_n+1A_nB_n −A_nB_n−1 = A_n−1B_n −A_nB_n−1

= −

(

AnBn₋1 −An₋1Bn

)

=

( )

⁻¹ⁿ

bulunur. Böylece ispat tamamlanmış olur.

Önerme 1.1.3. n ≥ 1 için,

( )

1 n n

n n

1

n B B

C 1 C

−

− − = −

olur.

Đspat:

1 n

1 n 1

n B

C A

−

− = − ve

n n

n B

C = A yazılabilir. Buradan,

7

B B

) B A B A ( B

B

B A B A B A B

C A C

1 n n

n 1 n 1 n n

1 n n

1 n n n 1 n

n n

1 n

1 n n 1 n

−

−

−

−

−

−

−

− − = − − = − = − −

( ) ( )

1 n n

n

1 n n

1 n n

1

n B B

1 B

B C 1 C

−

−

−

−

= −

−

= −

−

bulunur. O halde;

( )

1 n n

n n

1

n B B

C 1 C

−

− − = −

eşitliği gösterilmiş olur.

Teorem 1.1.1. C₀ <C₂ <C₄ <K ve C₁ >C₃ >C₅ >K eşitsizlikleri sağlanır.

Đspat:

Ck₊2 −Ck =

(

Ck₊2 −Ck₊1

) (

+ Ck₊1−Ck

)





 



 −

+



 



 −

=

+ + +

+ +

+

k k

1 k

1 k

1 k

1 k

2 k

2 k

B A B

A B

A B

A

1 k k

1 k k k 1 k

2 k 1 k

2 k 1 k 1 k 2 k

B B

B A B A B

B

B A B A

+ + +

+ +

+ + +

+ − + −

=

( ) ( ) ( ) ( )

2 k 1 k k

k 2 k k

1 k k

k

2 k 1 k

1 k k

2

k B B B

B B

1 B

B 1 B

B C 1 C

+ +

+ +

+ +

+ +

−

= − + −

= −

−

bulunur. Şimdi bulunan bu ifadenin pozitif ve negatifliği incelenecek olursa;

∀ i ≥ 0 için B_i > 0 olup, bir sürekli kesirde, B₀ <B₁ <B₂ <Keşitsizliği daima vardır. O halde,

0 B

B_k+2 − _k > ^{dır. k=2m alınırsa}

( ) (

^{1 B}2m 2 ^B2m

)

⁰

m

2 − >

− ₊ olacağından

0 C

C_k+2 − _k > olur. Buradan C_k+2 >C_k olduğu sonucuna varılır. Böylece;

...

C C

C₀ < ₂ < ₄ <

bulunur. k=2m+1alınırsa, C_2k+1−C_2k−1 <0 olur ve C_2k+1 <C_2k−1 yazılabilir.

Böylece;

>K

>

> _{3 5}

1 C C

C

sonucu bulunur[1].

BÖLÜM 2. MATRĐS YARDIMI ĐLE SÜREKLĐ KESĐRLER

2.1. (L,R)-Dizi Açılımı

Tanım 2.1.1. M boş olmayan bir küme ve o, M üzerinde tanımlı bir ikili işlem olsun. (M,o yapısı M üzerinde ) o işlemine göre birleşme özelliğine sahip ise yarı- grup tur. Yani, içinde asosyatif bir ikili işlem tanımlanmış olan tek işlemli bir cebirsel yapıya bir yarı grup denir[2].

Birimli bir yarı-gruba monoid denir. Monoid aksiyomları aşağıdaki gibidir;

1-∀a,b∈M için aob∈M

2-∀a,b,c∈M için (aob)oc=ao(boc) 3-∃ e∈M∋∀a∈M ^için eoa=aoe=a

Tanım 2.1.2. A, sembollerden oluşan boş olmayan bir küme olsun. Böyle bir kümeye alfabe denir. Örneğin;

{

α β γ δ θσ π

}

= , , , , , ,

A veya ^A=

{

^{a,b,c,d,x,y,z}

}

gibi. Bir A alfabesi verilmişse, bu alfabeden sonlu, sıralı semboller dizisi tanımlanabilir ve buna kelime denir. Kelimenin uzunluğu, içerdiği sembol sayısı kadardır. O halde A üzerindeki tüm kelimelerin kümesi A ile gösterilsin ve ^∗ A ^∗ kümesindeki tüm elemanlar üzerinde bir birleştirme (ekleme) işlemi tanımlansın. x ve y, A kümesinin iki elemanı ise x ve y’nin birleştirme işlemi ^∗ x∗y şeklinde gösterilir ve x ile y kelimelerinin yan yana yazılmaları ile elde edilir. Örneğin;

abd∗cabc=abdcabc

baaa∗ccbabb=baaaccbabb gibi.

Verilen bir A alfabesi için A üzerindeki birleştirme işlemi bir ikili işlemdir ve ^∗ tanımdan açıkça anlaşılacağı gibi bu işlem birleşme özelliğine sahiptir. Bu nedenle,

( )

^A∗,∗ yapısı bir yarı-gruptur[2].

Tanım 2.1.3. ξ₁ ^ve ξ2 sıfırdan farklı ve negatif olmayan reel sayılar olmak üzere,



 



ξξ

=

2

x 1 vektörlerinin kümesi ζ₂ ile gösterilsin.



 



=1 1 0

L 1 , 



 



=0 1 1 R 1

biçiminde L ve R matrisleri verilsin. x∈ζ₂ ^{ve x'}∈ζ₂ için eğer, ξ₁ ≤ξ₂ ^ise Lx'

x = ve eğer ξ₁ ≥ξ₂ ise x=Rx^' olur. L ve R matrislerine dikkat etmeye devam edilirse bu matrisler, bir

{

^L,R

}

alfabesinin elemanları olarak düşünülebilir.

}

{

^L,R alfabesi kelime ve dizilerden oluşur. Bir (L,R) kelimesi ile k≥0 ^için

k 2

1S S

S L sonlu dizisi anlaşılır. Burada 1≤ j≤kiçin, S ya L ya da R dir ve eğer _j k=0 ise dizilim boştur.

{

^L,R

}

^* ile bütün (L,R) kelimelerinin kümesi tanımlanır.

Kelimelerin zincirleme (birleştirme) işlemi altında

{

^L,R

}

^* bir serbest monoiddir; bu monoidin birim elemanı boş kelime olup Λile gösterilir.

L L k

1 S

S

S= bir sonsuz dizi iken her durumda S_ielemanı ya L yada R dir. Bu yüzden (L,R) dizisi olarak söylenir. Eğer V=S₁S₂LS_j kelimesi S’nin bir başlangıç kısmı ise S_j+1S_j+2L dizisini tanımlamak için S V yazılır ki sonuçlar S’nin başlangıcında bir V parçasındadır.

Eğer W⁽¹⁾,K,W^(k),K boştan farklı (L,R) kelimelerinin sonsuz bir dizisi ise bu özel mertebeden sonuçları olan (L,R) dizisini gösterir.Zincirleme çarpımın anlatımında ve matris çarpımların tanımlanmasında üstel gösterimler kullanılır. Böylece bir

11

k 3 2 1

0 a a a a

a L R L L

R L açılımı (burada k,a₀,a₁,La_k negatif olmayan tamsayılardır) belli durumlarda (L,R) kelimesi anlamına gelir ve özel bir matrisin yerini alır [3].

Tanım 2.1.4. ₂

2

x 1 ∈ζ



 



ξξ

= biçimindeki vektör ile bir (L,R) dizisi anlaşılır.

S= L L

k

1 S

S olmak üzere ( L L

k

1 S

S

x≈ ^veya L L

k 1 2

1 ξ ≈S S

ξ dır. ) eğer her

0

i≥ için x₀ =x olacak şekilde ζ₂ deki vektörlerin bir x₀,x₁,Lx_k,L dizisi varsa

1 i 1 i

i S x

x = _{+ +} yazılabilir. Bu en az bir (L,R) dizisinde her ₂

2

x 1 ∈ζ



 



ξξ

= vektörüne

bakılarak kolayca anlaşılır ve ξ₁ ξ₂ oranında x ile bağlı (L,R) dizisi anlaşılır. Her

}

{

^∗

∈ L,R

W kelimesi için matris çarpımı PROD(W) ile gösterilir. Örneğin;

^PROD

( )

^{Lh =}_^1_h ⁰₁^_^{ ,}

^PROD

( )

^{Rh =}_^1₀ ^h₁^_^{ ,}

( )





 



=

Λ 0 1 0 PROD 1

alınır.

Tanım 2.1.5. p ve q pozitif tamsayılar ve en büyük ortak bölenleri g olsun.

Aşağıdaki eşitlikten,



 



= 



 





g )) g W ( PROD q (

p

olacak biçimde bir tek ^W∈

{

^L,R

}

^∗ kelimesinin olduğu görülür. Bu kelimeye 



 



 q p

için “üretici kelime” denir.

Teorem 2.1.1. ₂

2

x 1∈ζ



 



ξξ

= olsun. Bu durumda;

i) Eğer ; ξ₁ ξ₂ irrasyonel ve

[

^a0^,a1^,a2^,K

]

sürekli kesir açılımına sahip ise x ile K

3 2 1

0 a a a

a L R L

R olan (L,R) dizisi anlaşılır.

ii) Eğer ; ξ₁ ξ₂ =u v (u ve v pozitif tamsayılar) ise, buradan x, WLR^∞ ve WRL ^∞ olmak üzere iki (L,R) dizisinden biridir.

iii) Eğer ; ξ₁ =0 ise, buradan x, L , (L,R) dizisi anlaşılır. ^∞

iv) Eğer ; ξ₂ =0 ise, buradan x, R , (L,R) dizisi anlaşılır. ^∞

Gerçekte (L,R) dizisi,ξ₁ ξ₂ için sürekli kesir bulmak için ihtiyaç duyulan bölme adımlarını oluşturmada hesaplama adımlarının hepsini kaydeder; fakat (L,R) dizi açılımı sürekli kesir açılımı üzerinde avantaja sahiptir. Bu avantaj aşağıdaki bölümlerde önemli rol oynar[3].

2.2. Satır Dengeli, Sütun Dengeli ve Çifte Dengeli Matrisler

a, b, c, d negatif olmayan tamsayılar ve detM=ad−bc=n olacak şekilde n pozitif

bir tamsayı ve bütün 



 



=c d b

M a matrislerinin kümesi D olsun. _n M∈D_n ^alınsın.

Eğer a≥c veb≥d ise M’nin birinci satırı dominant yani üstündür denir. Eğer b

d ve a

c≥ ≥ ise M’nin ikinci satırı dominant yani üstündür denir. Eğer M’nin satırlarından hiçbiri dominant değilse M’ye satır dengeli matris denir. Eğer M’nin sütunlarından hiçbiri dominant değilse M’ye sütun dengeli matris denir.

a < c ve d < b yada a < b ve d < c durumları olamaz, çünkü bu şartlar altında 0

M

det ≤ olur. Böylece; M satır dengeli matristir ancak ve ancak a>c ved>b ^dir.

M sütun dengeli matristir ancak ve ancak a >b ved>c ^dir.

13

Satır dengeli matrislerin kümesi (R,B)_n ile sütun dengeli matrislerin kümesi (C,B)_n ile gösterilir. M∈D_n matrisi için M hem satır dengeli hem de sütun dengeli ise çifte dengeli matris denir. D kümesinde çifte dengeli matrislerin kümesi _n (D,B)_n ile gösterilir.

Aşağıdaki , (2.1)-(2.12) arasındaki kavramları kolayca görülebilir[3].

(2.1) Her n için (R,B)_n ve (C,B)_n sonlu kümelerdir.

(2.2) (R,B)₁ =(C,B)₁ =

{ }

Ι

(2.3) M ∈D_n için M’nin ilk satırı dominanttır ancak ve ancak M, R gibi bir sol çarpana sahip ve M∈R.D_ndir. M∈D_n için M’nin ikinci satırı dominanttır ancak ve ancak M, L gibi bir sol çarpana sahip ve M∈L.D_n ^dir.

Örnek 2.3.1. D₁

1 1

2

A 3 ∈



 



= olsun. 



 



= 1 0

1

R 1 olmak üzere

R. A 



 



= 1 0

1 1



 



 1 1

2

3 = D₁

1 1

3 4 ∈



 





bulunur.

(2.4) R.D_n, L.D_n ve (R,B)_n kümeleri ayrık olup birleşimleri D dir. _n

(2.5) M∈D_n için M’nin birinci kolonu dominanttır ancak ve ancak M’nin bir L sağ çarpanı vardır ve M∈D_n.L ^dir. M∈D_n için M’nin ikinci kolonu dominanttır ancak ve ancak M’nin bir R sağ çarpanı vardır ve M∈D_n.R dir.

(2.6) D_n.L, D_n.R ve (C,B)_n kümeleri ayrık olup birleşimleri D dir. _n

(2.7) ∀ M ∈D₁ matrisi için tam olarak bir ^W∈

{

^L,R

}

^* kelimesi vardır öyleki )

W ( PROD

M= dir.

(2.8) PROD dönüşümü

{

^L,R

}

^* serbest monoidinden D₁ yarı grubu üzerine bir izomorfizmdir

(2.9) ∀M∈D_nmatrisi için P∈D₁ ^ve Q∈(R,B)_n olmak üzere bir M=PQ çarpımı bir tek şekilde ifade edilebilir.

Örnek 2.9.1. D₁

2 1

5

P 3 ∈



 



= ve (R,B)₄

2 2

1

Q 3 ∈



 



= olmak üzere

P.Q= 



 



 2 1

5

3 



 



 2 2

1

3 = D₄

5 7

13 19 ∈



 



 bulunur.

(2.10) ∀M∈D_nmatrisi için Q∈(C,B)_n ^ve P∈D₁ olmak üzere bir M=QP çarpımı bir tek şekilde ifade edilebilir.

(2.11) M∈(C,B)_n ve M=PQ,P∈D₁,Q∈(R,B)_n ise o zaman Q∈(D,B)_n dir.

(2.12) M∈(R,B)_n ^{ve M=QP,}Q∈(C,B)n ^,P∈D1 ise o zaman Q∈(D,B)_n ^dir.

2.3. (R,B)_n, (C,B)_n veya (D,B)_n Kümelerine Ait Olan Bütün Matrisleri Bulmak Đçin Etkili bir Yöntem

Dn

M∈ , 



 



=c d b

M a olsun. p = d-b ve q = a-c olmak üzere ^r

( )

^{M =}_^_q^p_^= _



 





−

− c a

b d

şeklinde tanımlıdır. Eğer M∈(R,B)n ise hem p hem de q pozitiftir. Bu durumda



 



 q

p için üreteç kelimeyi gösteren W_M kullanılır. Aşağıdaki gerçekleri göstermek

kolaydır[3].

(2.3.1) ∀M∈D_n için

^r

( )

^{ML =L−1.r(M)}

^r

( )

^{MR =R−1.r(M)} dir.

15

Örnek 2.3.1.1: 



 



=c d b

M a ∈D_n alınsın.

ML= 



 



 d c

b

a 



 



 1 1

0

1 = 



 



 + +

d d c

b b

a ve

( )

_



 





−

− +

= −

d c b a

b ML d

r dir.



 





= −

−

1 1

0 1

L¹ ,

( )

_



 





−

= − c a

b M d

r ise ^L−1r

( )

^{M =} _



 





−1 1 0 1



 





−

− c a

b

d = 



 





−

− +

−

d c b a

b

d dir.

Böylece ^r

( )

^{ML =L−1.r(M) bulunur.}

(2.3.2) ∀M∈D_n^{ve ∀ W∈}

{

^L,R

}

^{* için}

r(M.PROD(W))=(PROD(W))⁻¹r(M) dir.

(2.3.3) M∈D_n^için

( )





 



= g M g

r dir ancak ve ancak



 



 + +

= s s g s g M s_'

'

dir. Burada

(

^g,s,s'

)

^{üçlüsü g}

(

^s+s'+g

)

⁼ⁿeşitliğini sağlar.

Tanım 2.3.1. Eğer ^g

(

^s+s'+g

)

⁼ⁿise negative olmayan tamsayıların

(

^g,s,s'

)

üçlüsüne bir ∗ üçlüsü denir. M∈D_n için eğer,



 



 + +

= s s g s g ) s

W ( PROD .

M _'

'

olacak şekilde bir ^W∈

{

^L,R

}

^* kelimesi varsa,

(

^g,s,s'

)

^∗ üçlüsüne “M ile bağlantılıdır” denir.

Teorem 2.3.1. ∀M∈(R,B)_n için M ile bağlantılı tam olarak bir ∗ üçlüsü vardır. Bu üçlü için,













+

= +

g s s

s g ) s

W ( PROD .

M '

'

M

eşitliği sağlanır[4].

Đspat: M∈(R,B)_nolsun. Buradan 



 



= g

)) g W ( PROD ( ) M (

r _M yazılır ve g, r(M)’nin

elemanlarının en büyük ortak bölenidir. (2.3.2) kullanılarak



 



=

= ⁻

g ) g M ( r . ) W ( PROD ( )) W ( PROD . M (

r _M ¹

yazılır. Böylece (2.3.3) de kullanılarak,



 



 + +

= s s g s g ) s

W ( PROD .

M _'

' M

yazılır ve (g,s,s^') ∗üçlüsünün, M ile bağlantılı olduğu görülür. Şimdi bu∗üçlüsünün tek olduğu gösterilsin:

) s , s , g

( _{1 1 1}^' üçlüsü M ile bağlantılı olsun. W1∈

{

L,R

}

^* vardır ve



 



 + +

=

1 1 '

1

1 1 '

1 s1 s g s g ) s

W ( PROD . M

olur. (2.3.2) kullanılarak



 



=

=

−

1 1 1

1

1 g

)) g W ( PROD . M ( r ) M ( r )) W ( PROD (



 



= 

=



 





g ) g W ( PROD ( ) M ( g r )) g W ( PROD

( _M

1 1 1

yazılır. Buradan,

17

' ' 1 1

1 M

1 W ve g g ,s s ,s s

W = = = =

bulunur. Bundan dolayı (g,s,s^') , M ile bağlantılı tek ∗ üçlüsüdür.

Teorem 2.3.2. ∀(g,s,s^')∗ üçlüsü için tam olarak bir tane Q∈(D,B)_n matrisi vardır ki bu matrisin bağlantılı ∗ üçlüsü (g,s,s^') dir. Bağlantılı ∗ üçlüsü olarak (g,s,s^') üçlüsüne sahip olan M∈(R,B)_n matrisi, U,W ’nun başlangıç parçası olmak üzere, _Q

) U ( PROD . Q

M= formundadır. Üstelik bu durumda, W_Q =UW_M yazılır.

Đspat: (g,s,s^') bir ∗ üçlüsü olsun. _{' n}

'

) B , R ( g s s

s g

s ∈



 





+ + olduğundan (2.10) ve

(2.12) kullanılarak,

QP g s s

s g s

'

' =



 



 + + , Q∈(D,B)_n^,

D1

P∈ yazılabilir. (2.7)’ den P=PROD(W),^W∈

{

^L,R

}

^*olur. Teorem 2.3.1 den



 



 + +

= s s g s g ) s

W ( PROD .

Q _'

' Q

dır. Böylece, W=W_Q olur.

)n

B , R (

M∈ bağlantılı ∗ üçlüsü olarak (g,s,s^') ’ e sahip olsun.



 



 + +

= s s g s g ) s

W ( PROD .

M _'

' M

ve böylece M.PROD(W_M)=Q.PROD(W_Q) olur. (2.10) ,(2.12), (2.7) kullanılarak )

U ( PROD . Q

M= ₁ yazılabilir. ^U∈

{

^L,R

}

^*ve Q1∈(D,B)n dir. Böylece, )

UW ( PROD . Q ) W ( PROD .

Q _Q = _{1 M} ,

olur.Q=Q₁^,WQ =UWMve M∈(D,B)_n dır.(2.10) dan M=Q bulunur. Buradan Q, bağlantılı * üçlüsü (g,s,s^') olan (D,B)_n’deki tek matristir.

Sonuç 2.3.1. M∈(R,B)_n ve ^V∈

{

^L,R

}

^{* ise}

W , V )

B , R ( ) V ( PROD .

M ∈ _n ⇔ _M ’nin bir başlangıç parçasıdır.

Đspat: Q∈(D,B)_n matrisi M ile aynı bağlantılı * üçlüsüne sahip olsun. Teorem 2.3.2 yardımıyla,

) U ( QPROD

M= , W_Q =UW_M

dir. V ,W_M’nin bir başlangıç parçasıdır⇔UV , W ’ nun bir başlangıç parçasıdır. _Q Teorem 2.2.2 den, Q.PROD(UV)∈(R,B)_n ⇔ UV,W_Q’nun bir başlangıç parçasıdır.

Çünkü , M.PROD(V)∈(R,B)_n olduğundan

WM

, V ) UV ( PROD . Q ) V ( PROD .

M = ⇔ ’ nin bir başlangıç parçasıdır.

Sonuç 2.3.2. p asal sayı ise (D,B)_p’nin p tane elemanı vardır.

Đspat: n= p için * üçlüsü g(s+s^'+g)=p’yi sağlamadır.

Eğer p asal ise g=1 ve s+s^' +g=p olur ve buradan s+s^' =p−1dır. Buradan tam olarak p tane * üçlüsü vardır. Çifte dengeli matrisler * üçlüleriyle (1-1) eşlenmiş olduğundan (D,B)_p tam olarak p tane elamana sahiptir.

Örnek 2.3.2.1. p=5 olsun. 



 



 + +

= s s g s g

M s_'

'

olacak şekilde bir M matrisi alınsın. Buna göre M∈(D,B)₅ olmalıdır. Yani, g(s+s^'+g)=5 sağlanmalıdır. Bu çarpımda g=1 ve (s+s^'+g)=5 alınırsa s +s^'=4 olur. Buradan s=0 için s^'=4, s=4

19

için s^'=0,s=2 için s^'=2, s=1 için s^'=3, s=3 için s^'=1 bulunur. Böylece bu değerler kullanılarak;



 



 1 4

0

5 , 



 



 5 0

4

1 , 



 



 2 3

1

4 , 



 



 4 1

3

2 , 



 



 3 2

2 3

satır dengeli matrisleri bulunur. Bu matrislerin transpozları alınarak



 



 1 0

4

5 , 



 



 5 4

0

1 , 



 



 2 1

3

4 , 



 



 4 3

1

2 , 



 



 3 2

2 3

sütun dengeli matrisleri bulunur. Yukarıda bulunan matrislerden 



 



 3 2

2

3 matrisi

çifte dengelidir. Diğerlerini bulmak için

)5

B , D y ( a a

a x

Q a ∈



 





+

= +

olsun. Buradan (a+x)(a+y)−a² =5 bulunur. a= 0 alınırsa x.y=5 olur ve x=1 ve y=5 alınır. a=1 alınırsa x+y+x.y=5 olur ve x=1, y=2 ve x=2, y=1 alınır. Böylece bulunan bu değerlerle aşağıdaki çifte dengeli matrisler yazılır:



 



 5 0

0

1 , 



 



 1 0

0

5 , 



 



 3 1

1

2 , 



 



 2 1

1

3 .

Yukarıda bulunan 



 



 3 2

2

3 matrisi ile birlikte 5 tane çifte dengeli matris bulunmuş

olur.

Sonuç 2.3.3. n asal olmayan bir sayı ise (D,B)_n, n elemandan fazla elemana sahiptir.

Örneğin (D,B)₄, (D,B)₆ ve (D,B)₈ sırasıyla 5, 8 ve 11 matris bulundurur.

Đspat: (D,B)_n’nin elemanlarını bulmak için n için tüm * üçlülerini listeleyerek başlanılabilir. Her * üçlüsü için aşağıdaki formda 



 



 + +

g s s

s g s

' '

matrisi yazılabilir; Q.PROD(W_Q) ( Q çifte dengeli matrisi ve (g,s,s^') ye eşlenmiş). Bu yöntem eşlenmiş W kelimeleriyle birlikte tüm _Q Q∈(D,B)_n matrislerinin bir listesini sağlar. W ’nun başlangıç alt kelimelerinin her biriyle Q çarpılarak _Q (R,B)_n’deki matrislerinin bir listesi elde edilir. (C,B)_n’deki matrisler (R,B)_n’deki matrislerin transpozudurlar.

Örnek 2.3.3.1. (D,B)₄ ün elemanları aşağıdaki gibi bulunur: n= 4 alındığında 4

) g s s (

g + ^' + = demektir. Burada g=1 ve (s+s^'+g)=4 veya g=2 ve 2

) g s s

( + ^'+ = alınır. Böylece s ve s^' değerleri 5 farklı biçimde bulunur. Dolayısıyla 5 tane çifte dengeli matris bulunur. Benzer biçimde (D,B)₆’ nın da 8 ve (D,B)₈’ nın 11 matrisi bulunur.

Buradan şöyle bir sonuç çıkarılabilir: n =2k olmak üzere determinantı n olan çifte dengeli matrislerin sayısı 3k-1 tanedir.

2.4. Satır Dengeli Matrisler Đçin Geçişler

Bu kısımda verilen teorem,P₁ veP₂ ,L veR ’lerin boş olmayan matris çarpımı olup

2 1 ve M

M satır dengeli ya da çifte dengeli matrisler olmak üzere M₁.P₁ =P₂.M₂ biçiminde denklemler yazılmasına yardım eder. Bu denklemlerden daha sonra dönüştürücüler için geçiş tabloları elde edilir. (L,R) dizileri için bir taban demekle şu kastedilir; (L,R) kelimelerinin sonlu bir B kümesi olup, her (L,R) dizisi bir başlangıç parçası olarak B’deki kelimelerden tam olarak birine sahiptir.

K K k 2

1S S

S

S= bir (L,R) dizisi ise ve B, (L,R) dizileri için bir taban ise H(S,B) , B tabanına ait S’nin başlangıç parçası olarak tanımlanır.

21

Bir ^W∈

{

^L,R

}

^* kelimesinin bir ara dalı demek aşağıdaki şartları sağlayan bir

}

{

^{L,R *}

V∈ kelimesi demektir:

i) V,W’nin başlangıç parçası değildir.

ii) Eğer U, V’nin herhangi has başlangıç parçası ise o zaman U, W’nin bir başlangıç parçasıdır.

Tanım 2.4.1. Her M∈(R,B)_nmatrisi için W_M kelimesinin tüm ara dallarının kümesi, B_M olarak tanımlanır. Bu durumda B_M, (L,R) dizileri için tabandır.

Teorem 2.4.1. M₁∈(R,B)_n olsun. Her V₁∈B_M ^için M₁.PROD(V₁)∈L.(C,B)_n ya da M₁.PROD(V₁)∈R.(C,B)_n dir. L veya R ,V₁’in son harfidir. Üstelik boş olmayan bir V2∈

{ }

L,R ^* kelimesi ve bir M₁.PROD(V₁)=PROD(V₂).M₂ ^olacak şekilde M₂∈(D,B)_n matrisi vardır.

Đspat: Burada incelenmesi gereken 4 durum ortaya çıkar:

1.durum : V W L

M1

1 = durumu.

Bu durumda,

=

=M PROD(W ).L )

V ( PROD .

M1 1 1 M1 



 



 + +

g s s

s g s

' '

.L= 



 



 + +

g s s

s g s

' '



 



 1 1

0

1

= 



 



 ++ ++ +

g s g s s

s s g s

' '

= 



 



 1 1

0 1

n '

) B , C .(

L g 0

s s g

s ∈



 



 + +

2.durum : V W R

M1

1 = durumu.

Bu durumda,

=



 







 



 + +

=

= 0 1

1 1 g s s

s g R s

).

W ( PROD M

) V ( PROD .

M _'

' M

1 1

1 ₁

=



 



 + ++ ++

g s s s

s g s g s

' '

' '



 



 1 0

1 1

' n

' R.(C,B)

g s s s

0

g ∈









+ +

3.durum: W URZ

M1 = ; (^U,Z∈

{ }

^{L,R * ve V}1 =^UL için ) durumu.

Bu durumda,



 



=z w y x )

Z (

PROD olsun.PROD(Z)∈D₁ olduğundan 



 



− −

− =

x z

y )) w

Z ( PROD

( ¹

dir.

1 1 M

1

1.PROD(U) M PROD(W ).(PROD(Z)) .R

M 1

−

= −

= 



 



 + +

g s s

s g s

' '



 



− −

x z

y

w 



 



 −

1 0

1 1

= 



 



 −+ −− −− −− +− +− ++ ++ gx gz sx sz y s w s gz sz w s

sx sz gy gw y s w s sz gw w s

' ' '

' ' '

olur. M₁PROD(U)’nun elemanları pozitif olduğundan s^'w−sz−gz≥0 ve bundan dolayı s^'w+gw−sz>0 dır. (w, z negatif değil )

Bu gerçeği kullanarak;

L ).

U ( PROD M

) V ( PROD .

M_{1 1} = ₁

= 



 



−− +− ++ −− −− −+ +− ++ ++ gx gz sx sz y s w s gx sx

y s

sx sz gy gw y s w s sx gy

y s

' ' '

' ' '

= L . _n

' ' '

) B , C .(

y) L w x g(z ) y x ( g

sx sz gy gw y s w s sx gy

y

s ∈



 



− +− + − −+ −+ +− + +

dir.

4.durum: W ULZ

M1 = , ( ^U,Z∈

{ }

^{L,R * ve V}1 =^UR için) durumu.

Bu durumda,



 



=z w y x )

Z (

PROD olsun.

1 1 M

1

1.PROD(U) M PROD(W ).(PROD(Z)) .L

M 1

−

= −

= 



 





+ +

−

−

−

−

−

+ + + − − − − +

+

gx sx y s gx gz

sx sz y s w s

sx gy y s sx sz

gy gw y s w s

' '

'

' '

'

dir. Bu matris pozitif elemanlıdır. Bundan dolayı −s^'y−gy+sx≥0 olur ve bu nedenle −s^'y+sx+gx>0 dır.