Birinci mertebeden çok noktalı normal diferensiyel operatörlerin bazı spektral problemleri

MATEMATİK ANABİLİM DALI

BİRİNCİ MERTEBEDEN ÇOK NOKTALI NORMAL DİFERENSİYEL OPERATÖRLERİN BAZI SPEKTRAL PROBLEMLERİ

DOKTORA TEZİ

Erdal ÜNLÜYOL

NİSAN 2011 TRABZON

II

Bu çalışmada, sonlu veya sonsuz sayıda sonlu(sınırlı) aralıkların üzerinde tanımlı Hilbert uzay değerli vektör-fonksiyonların Hilbert uzayında verilmiş regüler birinci mertebeden hiperbolik tip normal operatör katsayılı çok noktalı lineer diferensiyel ifadesinin doğurduğu minimal operatörün bütün normal genişlemelerinin sınır değerleri dilinde ifade edilişi ve bazı spektral özellikleri ayrıntılı bir şekilde incelenmiştir.

Tez konumun belirlenmesinde, tezde karşılaştığım bilimsel ve diğer problemlerde hiçbir zaman bilgisini, tecrübesini ve zamanını esirgemeden benimle ilgilenen danışman hocam sayın Prof. Dr. Zameddin İ. İSMAYİLOV’ a , danışman hocamla tanışmama vesile olan ve manevi desteğini hiçbir zaman benden eksik etmeyen hocam sayın Prof. Dr. Mehmet AKBAŞ’ a, tez izleme komitemde bulunan ve bana önerileriyle yardımcı olan sayın Prof. Dr. Vasif V. NABİYEV’ e teşekür ederim.

Karadeniz Teknik Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü ve Ordu Üniversitesi Fen-Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü’ ndeki hocalarıma ve arkadaşlarıma da ayrıca teşekür ederim.

Son olarak, maddi ve manevi desteklerini hiçbir zaman eksik etmeyen anneme, babama, eşime(çocuklarım dahil), abi ve kardeşlerime engin hoşgörü ve sabırlarından dolayı teşekür ederim.

Erdal ÜNLÜYOL Trabzon 2011

III ÖNSÖZ ...II İÇİNDEKİLER... III ÖZET…...V SUMMARY ... VI SEMBOLLER DİZİNİ...VII 1. GENEL BİLGİLER ... 1 1.1. Giriş... 1 1.2. Literatür Taraması... 2

1.3. Operatörler Teorisinin Temel Kavramları ... 6

2. YAPILAN ÇALIŞMALAR ... 27

2.1. Birinci Mertebeden Çok Noktalı Normal Diferensiyel Operatörler(Sonlu Sayıda Alt Aralıklar Durumu) ... 27

2.1.1. Minimal ve Maksimal Operatörler... 27

2.1.2. Minimal Operatörün Normal Genişlemeleri ... 33

2.1.3. Normal Genişlemelerin Ayrık Spektrumu ... 48

2.1.4. Normal Genişlemelerin Özdeğerlerinin Asimptotik Davranışı ... 52

2.1.5. Normal Genişlemelerin Özvektörlerinin Tamlığı ... 59

2.2. Birinci Mertebeden Çok Noktalı Normal Diferensiyel Operatörler (Sonsuz Sayıda Alt Aralıklar Durumu) ... 60

2.2.1. Minimal ve Maksimal Operatörler... 60

2.2.2. Minimal Operatörün Normal Genişlemeleri ... 68

2.2.3. Normal Genişlemelerin Ayrık Spektrumu ... 75

2.2.4. Normal Genişlemelerin Özdeğerlerinin Asimptotik Davranışı ... 84

2.2.5. Hiperbolik Durumda Normal Genişlemeler ve Spektrum Problemleri ... 86

2.2.6. Hiperbolik Durumda Normal Genişlemelerin Özvektörlerinin Tamlığı... 91 2.2.7. Hiperbolik Durumda Minimal Operatörün Maksimal Hiponormal Genişlemeleri92

IV 3. BULGULAR VE İRDELEMELER... 100 4. SONUÇLAR ... 102 5. ÖNERİLER... 103 6. KAYNAKLAR ... 104 ÖZGEÇMİŞ

V

Bu çalışmada reel sayılar kümesinin sayılabilir sayıda sınırlı alt aralıklar üzerinde tanımlı Hilbert uzay-değerli vektör-fonksiyonların Hilbert uzaylarının direkt toplamı üzerinde regüler birinci mertebeden normal operatör katsayılı diferensiyel ifadenin doğurduğu formal normal olan minimal operatörün normal genişlemeleriyle bu minimal operatörü oluşturan koordinat minimal operatörlerin normal genişlemeleri arasındaki bağlantısı araştırılmış ve direkt toplam üzerinde normal genişlemelerin alt aralıkların uç noktalarındaki sınır değerleri dilinde ifadesinin genel gösterimi bulunmuştur.

Daha sonra bu direkt toplam normal genişlemelerin spektrumunun ayrıklığı, ayrık spektrumun yapısı, özdeğerlerin analitik ifadesi, onların sonsuzdaki asimptotik davranışı ve özvektörlerin tamlığı gibi bazı spektral özellikleri araştırılmıştır.

En son olarak ise, bu tip genişleme ve onu oluşturan koordinat genişleme operatörlerin terslerinin arasındaki kompaktlık ilişkileri incelenmiştir.

Alınan sonuçlar örneklerle desteklenmiştir.

Anahtar Kelimeler: Formal Normal, Normal ve Hiponormal Operatör; Çok Noktalı Minimal ve Maksimal Operatör; Operatör ve Uzayların Direkt Toplamı; Özdeğer, Özvektörlerin Tamlığı; Ayrık Spektrum, Spektrum ve Rezolvent Operatör; Özdeğerlerin Asimptotik Davranışı; Kompaktlık ve Schatten-von Neumann Sınıfları.

VI

Some Spectral Problems of Multipoint Normal Differential Operators For the First-Order

In this study, a connection between normal extensions of formally normal minimal operator generated by differential expression for first-order regular type with normal operator coefficient in the Hilbert space of Hilbert space-valued vector-functions in the countable many separated bounded subintervals of real line and its normal extensions of coordinate minimal operators has been investigated. Moreover, it is described all normal extensions in direct sum of Hilbert space in terms of boundary values at the end points of the subintervals.

Furthermore, some spectral properties like discreteness of spectrum, structure of discrete spectrum, analytic expression of eigenvalues, asymptotical behaviour of eigenvalues at the infinity and completeness of eigenvectors are researched.

Finally, a compactness connections between of inverses of this type extensions and its coordinate extensions are established.

The obtained results have been supported by applications.

Key Words: Formal Normal, Normal and Hyponormal Operator; Multipoint Minimal and Maximal Operator; Direct Sum of Operators and Spaces; Eigenvalue, Compactnees of Eigenvector; Discrete Spectrum, Spectrum and Resolvent Operator; Asymptotic Behaviour of Eigenvalue, Compactness and Schatten-von Neumann Classes.

VII

 

B X : X lineer normlu uzayında lineer sınırlı operatörler uzayı

E :Birim operatör

 

AC I : I aralığı üzerinde mutlak sürekli fonksiyolar uzayı  n

_{ }

C I : I aralığı üzerinde n. mertebeden sürekli türevlenebilir fonksiyonlar uzayı

 

 

0

n

C I : I aralığı içindeki, kompakt bir küme dışında sıfır olan _C n

 

_{I ’}

daki fonksiyonlar uzayı

 

C I _{: I aralığı üzerinde her mertebeden sürekli türevlenebilir} fonksiyonlar uzayı

 

0

C I _{: I aralığı içindeki, kompakt bir küme dışında sıfır olan C I}

 

_{’ daki} fonksiyonlar uzayı

 

,1 p C H   p _{:Schatten-von Neumann sınıfı}

 





2 _{, ,}

L H a b :

 

a b, ’ den H Hilbert uzayına tanımlanan vektör fonksiyonların Hilbert uzayı



, ,



p L X 



:Lebesgue uzayları, 1 p  



,



p

l K    : K cismi üzerinde .p mertebeden yakınsak diziler uzayı, 1 p  

  

,



;





R A R



A : A operatörünün rezolvent operatörü

 

A



: A operatörünün rezolvent kümesi

 

A



: A operatörünün spektrumu

 

p A



: A operatörünün ayrık spektrumu

 

c A



: A operatörünün sürekli spektrumu

 

r A



: A operatörünün kalan spektrumu

 

l p I

W

: ,l p 1 için .l mertebeye kadar türevi _{L I}p

 

_{uzayında olan}

fonksiyonların Sobolev uzayı

 

0 l

p I

W

: ,l p  için I aralığı içindeki, kompakt bir küme dışında sıfır olan1

 

l p I

W

fonksiyonların uzayı

 



, ,



l p H a b

W

:

 

a b, ’ den H Hilbert uzayına tanımlanan vektör fonksiyonların Sobolev uzayı

VIII

kompakt bir küme dışında sıfır olan

W

_p



H a b, ,

 



fonksiyonların Sobolev uzayı

 

D A : A operatörünün tanım kümesi

 

R A : A operatörünün görüntü kümesi

 

Re , ,R R A A A : A operatörünün reel kısmı

 

, ,İ İ İm A A A : A operatörünün sanal kısmı

 

o  :Sonsuz küçük sembolü (Landau Sembolü)

■ _{:İspat sonu}

 

1.1. Giriş

Bir Hilbert uzayında lineer kapalı eşit defekt sayılarına sahip olan bir simetrik operatörün bütün maksimal simetrik ve özeşlenik genişlemelerinin tanım kümeleri dilinde ifadesi ve bu tip genişlemelerin spektral özellikleri ilk olarak John von Neumann’ ın 1929-1930 yıllarında yapılmış [1] çalışmasında ele alınmış ve bu alanda temel sonuçlara ulaşılmıştır. Ama bu alanda ilk bulgulara 1908-1910 yıllarında H. Weyl’ in bilimsel çalışmalarında da rastlanılmaktaydı. Bu genel teorinin diferensiyel ve fark operatörlerine uyarlanması uzun yıllar ve bugüne kadar yapılan çalışmalarda devam etmektedir. Yapılan işlerin geniş özeti F. S. Rofe-Beketov ve A. M. Kholkin’ in [2] kitabında verilmiştir.

Lineer normal operatörlere ait ilk incelemeler B. Sz.-Nagy [3], Y. Kilpi [4-6] ve R. Davis [7]’ in çalışmaları ile başlamıştır. 1960 yılından sonra E. A. Coddington ve G. Biriuk [8-9] bir Hilbert uzayında lineer kapalı sınırsız formal normal bir operatörün bütün maksimal formal normal genişlemelerinin tanım kümeleri dilinde ifade ederek J. von Neumann’ ın meşhur çalışmasını formal normal operatörlere genişletebilmişlerdir. Bu teorinin gelişmesinde 1980 yılından itibaren J. Stochel ve F. H. Szafraniec [10-12]’ in büyük katkıları olmuştur. Bu teorinin diferensiyel operatörlere uygulamasına ait ilk araştırmalar K. Schmüdgen [13], F. G. Maksudov ve Z. İ. İsmayilov [14-26], M. Otelbayev ve H. Biyarov [27], H. Otarov ve B. Kokebayev [28] vs. tarafından yapılmıştır.

XX yüzyılın ikinci yarısından itibaren operatör katsayılı lineer diferensiyel denklemler teorisi hızla gelişmeye başladı. Bu alanda ilk çalışmalar M. L. Gorbachuk ve V. I. Gorbachuk [29], J-L. Lions, E. Hille, R. S. Philips, M. G. Krein, S. G. Krein, Yu. M. Berezansky, B. M. Levitan, A. G. Kostyuchenko, Yu. L. Daletsky, S. Yakubov, Y. Yakubov, M. Gasımov’ a aittir [30].

Operatör katsayılı bazı iki noktalı lineer diferensiyel ifadelerin vektör-fonksiyonların Hilbert uzayında doğurduğu minimal operatörlerin normal genişlemelerinin sınır değerleri dilinde ifadesi ve spektral özellikleri Z. İ. İsmayilov’ un 1992 yılından sonraki çalışmalarında incelenmeye alınmıştır.

İki noktalı lineer diferensiyel operatörlerin kompleks değerli fonksiyonların Hilbert uzayında özeşlenik genişlemeleri ve spektral özellikleri bir çok matematikçiler tarafından

araştırılmış ve kesin sonuçlara ulaşılmıştır. Bu çalışmaların geniş özeti N. Dunford, J. T. Schwartz [31] ve F. S. Rofe-Beketov, A. M. Kholkin [2]’ in kitaplarında verilmiştir. Ama günümüzde bir çok fiziksel problemlerin, örneğin çok noktalı diferensiyel denklemler, çok parçacıklı kuantum mekaniği, elastiklik teorisi, deforme olabilen cisim mekaniği vs. alanlarında ortaya çıkan problemlerin çözümü matematikçileri sonlu veya sonsuz bir aralık üzerinde tanımlı vektör-fonksiyonların Hilbert uzayında sonlu veya sonsuz sayıda alt aralıklar durumunda çok noktalı operatör katsayılı diferensiyel operatörlerin spektral teorisinin detaylı bir şekilde incelenmesine zorlamaktadır. Bu nedenle günümüzde bu teorinin araştırılmasına büyük önem duyulmaktadır.

1.2. Literatür Taraması

Çok noktalı diferensiyel denklemler alanında ilk çalışma C. E. Wilder [32] tarafından yapılmıştır. Bu çalışmada

 

 

_{ }

_{ }

 

_{ }

_{ }

1 n n n k k k L u u x p x u  x p x   



 diferensiyel denkleminin

 

1

 

2

 

 

, 1,2, , i i i ik i W u W u W u    W u 



i  n

sınır değer koşulları ile genel çözümün yapısı araştırılmıştır. Burada

 

1 , , , : ,_n p p  p a b , p p, , ,1  p C a bn 

 

, , a a a 1  2 an b,  



_

_



1, , ,2 t n D a a a



 _ ,t 1,2, ,_ n1,

 

1    

 

0 n m m ij ij j m W    u a  



,  m ij



_{  ,} 0,1, , 1 m _ n , i1, 2, , , 1, 2, ,_ n j _{ ,}k



i, 1,2, ,i  .n

Ayrıca bu çalışmada bakılan sınır değer problemin Green fonksiyonu araştırılmıştır. Daha uzun yıllar sonra H. F. Weinberger [33]

 

2

 

2 

_{   }

_{ }

2 0 1 0 N N N k N k k L u p x u  x q x u   



  

denklemi için x x1 2 xk iç noktalarında u x

 

fonksiyonunun değerlerini içeren sınır

koşulları altında bu problemin bazı spektral özelliklerini (Green fonksiyonu, özdeğer ve özvektörler vs.) araştırmıştır.

 

pf  qf g diferensiyel denkleminin

 

   

   

 

   

 

00 f a f c f b P Q S p a f a p c f c p b f b             _   _   _           

sınır değer koşulları altında çözümün yapısı araştırılmış ve bu probleme uygun gelen operatörün özeşlenikliği incelenmiştir. Burada a b   ,, a c b  , p q g C a b, , 

 

, ,

 

0

p x  , x a b

 

, _{, ,}P Q ve S 2x2 şeklindeki reel matrislerdir.

J. W. Neuberger ile aynı yılda A. Zettl’ ın yapmış olduğu [35] çalışmasında, Neuberger’ in bu sonucunu, istenilen yüksek mertebeden diferensiyel denklemlere genişletmiştir.

1968 yılında W. S. Loud [36] çalışmasında, sonlu bir aralık üzerinde regüler durumda fonksiyonların Hilbert uzayında sonlu sayıda iç nokta durumunda lineer diferensiyel operatörlerin özeşlenikliğini araştırmıştır. Örneğin,

   

, 1

   

0 , 1

 

0 , ,

x g t x  Ax x Bx A B_

diferensiyel denkleminin ürettiği operatörün özeşlenikliği için A B 0 _{olması gerek ve}

yeter şarttır. Başka bir deyişle Green fonksiyonunun değişkenlere göre simetrik olmasıdır. Daha sonra bu sonuç sonlu tane iç nokta durumuna genelleştirilir.

A. Zettl’ ın [37] çalışmasında

 

   

 

Y t F t Y t R t diferensiyel denkleminin

 

 

 

 

0 0 p p 0, i i i , 1, 2, , 1 A Y a _A Y a _ Y a _ AY a i_{ } p_

burada F t A i

 

, , 1,2, ,i   p1, xk k şeklindeki matrisler, Y ve R k-tane koordinatlı

vektörler, a0 a1ap, sınır değer koşulları ile üretilen diferensiyel operatörün tanım

kümesindeki fonksiyonların veya onların türevlerinin sonlu sayıda süreksizlik noktası olması ihtimali durumunda onun eşleniğini, özel durumda özeşleniklik sorusunu araştırmıştır.

A. M. Krall [38] çalışmasında, Neuberger, Zettl ve Loud’ un sonlu bir aralıkta sonlu sayıda iç nokta durumunda n. mertebeden diferensiyel ifadesi için araştırdığı probleme başka bir araştırma açısından incelemiştir. Yani genişlemelerin özeşlenikliğini Green fonksiyonu yardımı ile değil, eşlenik genişlemesinin tanım kümesinde olan fonksiyonların

sınır değerleri dilinde ifadesi olarak elde edilmiştir.

J. Locker’ in [39] çalışmasında _{L a b a b}2

 

_{, , , uzayında n. mertebeden lineer}

 

,

C a b _{-katsayılı diferensiyel ifadesi için sonlu tane iç nokta olduğu durumlarda “çok} noktalı sınır değer problemi”, “çok noktalı diferensiyel operatör” kavramının kesin tanımı verilmiş, eşlenikleri hesaplanmış ve özeşleniklik durumları incelenmiştir.

1979 yılında A. N. Kochubei [40] çalışmasında, sonlu veya sonsuz sayıda lineer kapalı eşit defekt sayılarına sahip simetrik operatörlerin direkt toplamı olan simetrik operatörün, Hilbert uzaylarının direkt toplamı üzerindeki özeşlenik genişlemeleri ve sınır değerleri uzayının varlığı araştırılmıştır. En son olarak bu genişlemeler sınır değerleri dilinde ifade edilmiştir.

Fu Shou-Zhong’ un [41] çalışmasında, n. mertebeden simetrik

 

0 n k k k M p x D  



,

burada     a b , pk : ,

 

a b , k0,1, , n katsayıları bazı pürüzsüz ve

integrallenebilir, diferensiyel ifadesinin

 

a b, aralığının içinde sonlu tane singüler nokta durumunda doğurduğu minimal operatörün tüm özeşlenik genişlemeleri onun eşlenik operatörünün tanım kümesindeki fonksiyonların sınır değerleri dilinde ifade edilmiştir. Ayrıca minimal operatörün, bakılan aralığın alt aralıklar üzerinde ifade edilemeyen özeşlenik genişlemelerinin varlığı gösterilmiştir.

M. S. Sokolov’ un [42] çalışmasında, sayılabilir sayıda Hilbert uzaylarının direkt toplamı üzerinde tanımlı özeşlenik operatörlerin direkt toplam operatörünün spektral özelliği ile onu oluşturan koordinat operatörlerinin spektral özellikleri arasındaki ilişki araştırılmıştır. Özel durumda aşağıdaki sonuç ispatlanmıştır:

, 1

i i 

H bir Hilbert uzayı, T D_i:

 

H_i H_i H_i bir lineer kapalı operatör ve

1 i i   H H , 1 i i

T  _T ise, T operatörünün H Hilbert uzayında özeşlenik olması için gerek ve yeter şart her i 1 için T operatörlerinin özeşlenik olmasıdır.i

Kompleks değerli fonksiyonların Hilbert uzayında regüler ve singüler tipli Sturm-Liouville diferensiyel ifadelerinin doğurduğu minimal operatörün tüm özeşlenik genişlemelerinin sınır değerleri dilinde ifadesi ve spektral özellikleri A. Zettl’ ın [43] çalışmasında detaylı şekilde incelenmiş ve bu kitapta bu alanda 2005 yılına kadar yapılan bütün çalışmaların geniş özeti verilmiştir. Aynı problemler daha yüksek mertebeden

özeşlenik diferensiyel ifadelerin doğurduğu minimal operatörün özeşlenik genişlemeleri için [44-46] çalışmalarında araştırılmıştır.

Z. İ. İsmayilov’ un [47-49] çalışmalarında ise, sonlu iç nokta durumunda sonlu aralık üzerinde vektör-fonksiyonların Hilbert uzayında parabolik tip özeşlenik operatör katsayılı birinci mertebeden diferensiyel ifadesinin doğurduğu minimal operatörün bütün normal genişlemeleri maksimal operatörün tanım kümesindeki fonksiyonların alt aralıkların uç noktalarındaki değerleri dilinde ifade edilmiş ve bu genişlemelerin spektrum yapısı incelenmiştir. Ayrıca özdeğerlerin sonsuzdaki asimptotik davranışı araştırılmıştır.

Z. İ. İsmayilov ve E. Ünlüyol’ un [50] çalışmasında ise sonlu bir aralık üzerinde vektör-fonksiyonların Hilbert uzayında iki noktalı parabolik tip hiponormal operatör katsayılı birinci mertebeden diferensiyel ifadesinin doğurduğu minimal operatörün bütün maksimal hiponormal genişlemeleri sınır değerleri dilinde ifade edilmiş ve bazı spektral özellikleri araştırılmıştır.

Fiziksel ve tekniksel süreçler sonucu ortaya çıkan problemlerin çoğu Hilbert uzayında hem özeşlenik olmayan hem de değişken operatör katsayılı çok noktalı diferensiyel denklemlerin çözülmesiyle araştırılabilir. Örneğin, F. R. Gantmakher ve M. G. Krein’in [51] çalışmasında elastik bir cisim üzerine yerleştirilen n-tane kütlenin küçük titreşimi incelenmiştir. Özel olarak, telin üzerindeki n-tane farklı noktaya uygulanan kuvvet altındaki titreşimin veya yer değişiminin incelenmesi, kirişin üzerindeki sonlu sayıdaki noktalarda bulunan kütlelerin kirişin salınımı üzerindeki etkisi problemi incelenmiştir. Benzer problemler çok noktalı diferensiyel operatörlerin spektral teorisi problemlerine indirgenir. Diğer benzer fiziksel örnekler H. F. Weinberger [33] ve S. Timoshenko’ nun [52] çalışmasında mevcuttur. Örneğin, uzunluğu 2 birim olan teli reel sayılar doğrusunda -1 ve +1 arasına yerleştirelim ve x 0 noktasında bir noktasal m -kütlesi olsun. Tel boyunca dalganın yayılma hızı basınç ve telin yoğunluğu ile tanımlanır. Eğer bu hız v ise, yayın enine yer değişimi

 

 





 

 













2 1 , , , , 1 ,1 0, 0, 0 , 0 , xx tt xx x x y t x y t x v y t y t my t sabit y t y t  _        _{    }  

problemi ile ifade edilir.

zorundadır.

Bu problem değişkenlerine göre ayrılabilirlik durumunda



y x t

 

, X x T t

   



 

 

 

 

 

0, 1 1 0 0 0 0 X X X X X X sabit X



               

şeklindeki problemin özdeğerlerinin hesaplanması problemine indirgenir. Bu problemin öz fonksiyonları tam sistem oluşturduğundan yukarıdaki problemin y x t

 

, çözümü, öz fonksiyonların lineer kombinasyonu şeklinde kolayca ifade edilebilmektedir [36].

Tezde sonlu veya sonsuz sayıda sonlu aralıklar üzerinde tanımlı ayrılabilir Hilbert uzay-değerli vektör-fonksiyonların Hilbert uzayında sınırsız normal operatör katsayılı birinci mertebeden hiperbolik tip diferensiyel ifadesinin doğurduğu minimal operatörün bütün normal genişlemeleri alt aralıkların uç noktalarındaki değerleri dilinde ifadesi araştırılacak, alt aralıklar üzerinde tanımlı uygun diferensiyel operatör ifadesinin doğurduğu minimal operatörün normal genişlemeleri ile ilişkisi incelenecek ve bu genişlemelerin bazı spektral problemleri (spektrumın ayrıklığı, özdeğerler, özdeğerlerin sonsuzdaki asimptotik davranışı, özvektörlerin tamlığı vs.) irdelenecektir.

Tezde incelenmesi hedeflenen problemlerin kesin çözüme ulaşması Hilbert uzayında özeşlenik olmayan sınırsız operatörler teorisinin gelişmesine de önemli bir katkı sağlayacaktır.

1.3. Operatörler Teorisinin Temel Kavramları

Tanım 1: X , K cismi üzerinde bir vektör uzayı ve Y , X ’ in boş olmayan bir alt kümesi olsun. Y , X vektör uzayındaki cebirsel işlemlere göre kendi başına bir vektör uzayı oluşturuyorsa Y ’ ye, X ’de bir lineer manifold (veya X ’in bir lineer alt uzayı) denir. Örnek 1: Ap, p1 olmak üzere A:



 

xn p:

  

xn  0, , ,x x2 3  kümesi





p’de

bir lineer manifoldur.

Çözüm:

  

xn  0, , ,x x2 3 

   

, yn  0, , ,y y2 3 



A ve ,   alalım.





xn



yn

 

 0,



x2



y2,



x3



y3,

 

 0,

 

x2, x3,

 

 0,



y2,



y3,





0, , ,x x2 3





0, , ,y y2 3







 _  _ 



 

x_n 



 

y_n dolayısıyla A kümesi lineer manifolddur.

Tanım 2: X bir vektör uzayı ve x x x1, , , ,2 3  xnX olarak

verilsin.

  

1

, , , ,

2 3





n



K



 

,



olmak üzere



1 1x 



2 2x  



n nx şeklindeki sonlu

toplama x x x1, , , ,2 3  xnX elemanlarının bir lineer kombinasyonu denir. M  X ise,

M ’den alınan her sonlu sayıdaki vektörlerin lineer kombinasyonlarının tümünün kümesine M ’ nin gereni (veya lineer örtüsü) denir ve spanM olarak gösterilir. spanM , X ’de bir

lineer manifolddur ve M ’ nin ürettiği lineer manifold denir. Tanım 3: X , K cismi üzerinde bir lineer vektör uzayı olsun.

 

:X 0, , x x

   

dönüşümü her ,x y X ve her



K için (N1) x   0 x



;

(N2)



x 



x ;

(N3) x y  x  y (üçgen eşitsizliği)

özelliklerini sağlıyorsa  :X 

 

0, , x x _{dönüşümüne X üzerinde norm ve bu} durumda



X  ikilisine bir normlu vektör uzayı adı verilir. Yukarıda verilen (N,



1) – (N3)

özelliklerine norm aksiyomları denir. Bu vektör uzayı üzerinde birden fazla norm tanımlanabilir. K cismine bağlı olarak, reel normlu uzay veya kompleks normlu uzay terimleri de kullanılır. Örnek 2: E C a b K



 

, ,



kümesi, _{ }

 

, max C _{t a b} x x t 

 fonksiyonu ile bir normlu vektör uzaydır.

Gerçekten, E ’nin bir lineer vektör uzayı olduğu açıktır. x y C a b, 

 

, ve



K için,

(N1) x _C 0 ise, x _C max_{t a b ,} x t

 

   0 t a b

 

, için x t 

 

0;

(N2) _{ }

  

_{ }

 

_{ }

 

, , ,

max max max

C _{t a b t a b t a b} C x x t x t x t x











       ; (N3) _{ }

   

_{ }



 

 



, , max max C _{t a b t a b} x y  _ x t y t  _ x t  y t  ,

 

 ,

 

max max _{C C} t a b x t t a b y t x y     _.

0

lim n 0

n x x  ise,

 

xn dizisi  normuna göre x noktasına yakınsıyor denir ve0 0

X

n n

x _x ya da lim_nxn x0 notasyonlarının biriyle gösterilir. Tanım 5:



X  normlu bir uzay olsun.,



 

xn X dizisi bir Cauchy dizisidir  



0 için  n  : m n n,   için x xn m 



.

Tanım 6: Bir



X ,



normlu uzayındaki her Cauchy dizisi X içinde bir elemana yakınsıyorsa, bu



X  normlu uzayına tam normlu uzay veya Banach uzayı ya da B-,



uzayı adı verilir.

Tanım 7:



X  bir normlu uzay ve bunun bir alt kümesi A olsun.,



 

sup



: ,



0

d A  x y x A y A   

 

d A   genelleştirilmiş reel sayısına A kümesinin çapı denir. Eğer A X kümesinin çapı sonlu ise A kümesine sınırlı küme denir. X içindeki

 

xn dizisine karşılık gelen

noktalar kümesi sınırlı ise

 

xn dizisine sınırlı dizi denir.

Örnek 3: _{X   ( veya}n _{X   ) vektör uzayı için}n

(a) ₁ 1 : n _i i x x  



; (b) 1/ 1 : , 1 p n _p i p i x x p    _{ }    



 ; (c) x : max



x ii : 1, 2, , n



normlarına göre birer Banach uzayıdırlar.

Tanım 8:



X  bir normlu uzay, Y de X ’in bir lineer alt uzayı ise,





Y  de bir normlu,



uzaydır. Bu uzaya



X  uzayının normlu alt uzayı denir. Eğer Y kapalı ise,





Y  alt,



uzayına



X  normlu uzayının kapalı alt uzayı denir. Bir normlu uzayının her lineer alt,



uzayı normlu bir alt uzaydır.

Tanım 9: K  



,



bir cisim olmak üzere X bir vektör uzayı olsun. ( , ) : x  X X K

dönüşümü aşağıdaki özelliklere sahip ise ( , )  ’ ye X üzerinde bir iç çarpım,



X  , ,

 



ikilisine ise iç çarpım uzayı (veya ön Hilbert uzayı) denir:

 

H1  x X için

 

x x , 0 ve

 

x x,   0 x



;

 

H2 x y X,  için

   

x y,  y x, (kompleks eşlenik);

 

H3 x y X,  ve



K için





x y,







 

x y, ;

 

H4 x y z X, ,  için



x y z ,

    

 x z,  y z, . Örnek 4: f g C a b K, 



 

, ,



fonksiyonları için



f g, :







_ab f t g t dt

   

tanımıyla C a b K bir iç çarpım uzayıdır.



 

, ,



Gerçekten:

 

H1  f C a b K



 

, ,



için





   

 

2 , b b 0 a a f f 

_

f t f t dt

_

f t dt _, eğer



f f,







_ab f t f t dt

   





_ab f t dt

 

2 0  f  ;

 

H2 f g C a b K, 



 

, ,



için



,



b

   

b

   

a a f g 



f t g t dt



f t g t dt

   



,



b a g t f t dt g f 



 ;

 

H3  f C a b K



 

, ,



ve



K için



,



b

   

b

   



,



a a f g f t g t dt f t g t dt f g





_







_





_;

 

H4 f g h C a b K, , 



 

, ,



için



f h g ,







_ab



f t

   

h t g t dt



 





_ab



f t g t

       

h t g t dt



   

   



,

  

, b b a f t g t dt ah t g t dt f g h g 







  .

Tanım 10:



X  , ,

 



bir iç çarpım uzayı ve x X olsun. x :

 

x x, 1/2 şeklinde tanımlanan fonksiyon X üzerinde bir norm olup, bu norma iç çarpımın ürettiği

norm denir.

 



X  , ,



iç çarpım uzayı içindeki her Cauchy dizisi iç çarpımın ürettiği norma göre yakınsaksa, bu iç çarpım uzayına Hilbert uzayı denir.

Örnek 5:

   

_{2 2}

 

 

1 , : x , , : k k k l l K x y  x y 

     



dönüşümü l 2

 

üzerinde bir iç çarpımdır ve bu iç çarpıma göre l 2

 

bir Hilbert uzayıdır.

Tanım 12: Bir metrik uzayın sayılabilir yoğun bir alt kümesi varsa bu uzaya ayrılabilir

metrik uzay denir.

Tanım 13: m 0 bir tamsayı ve  , _{ ’ de parçalı sürekli diferensiyellenebilir}n _{ sınırlı}

bir tanım kümesi olsun.   _{üzerindeki fonksiyonların C  }m





_kümesinin

tümleyeni, yani mdefa sürekli diferensiyellenebilir kümesi,

  2  2 1/2 2 : m W L m D 



_



     _ _ 





normu ile Sobolev Uzayı adını alır.

W

₂m şeklinde gösterilir. Burada ₁1 1 n n n D t t           ,









1, ,



n



,

 

 1



n.

 

0 2 m

W

 ise,  içindeki kompakt bir küme dışında sıfır olan

W

₂m

 

 fonksiyonların uzayı olarak gösterilir.

Eğer  sınırlı değil ise, o zaman Sobolev uzayını aşağıdaki gibi tanımlayabiliriz. Bir



 

t t,  fonksiyonunun

W

₂m

 

 ’ ya ait olması için gerek ve yeter şart,



 

t ’ nin ve onun D

_{ }

, _m _{türevlerinin de L }2

 

_{’ ya ait olmasıdır. Son olarak,}

 

2

m

W

 uzayı aşağıdaki gibi bir iç çarpım ile bir Hilbert uzayıdır.



,



_W2m_{ }



,



_L2_{ } m D D 

 

_





  



.

Tanım 14: X kümesi üzerinde tanımlı, reel değerli,  ölçülebilir, f , 1 pp   , fonksiyonunun bir  ölçümüne göre integralinin sonlu olduğu  denklik sınıflarının ailesinin tümünü _{L X}p



, ,_

_



_{ile göstereceğiz. Bu L X}p



_{, ,}

_



_{ailesi üzerinde norm,}

1/ : , 1 p p p X f _ f d



_   p 



 şeklinde tanımlanır.



, ,



p L X 



_ailesi, 1/ : ,1 p p p X f _ f d



_   p





 normu ile bir Banach uzayıdır.

Tanım 15: x

 

t :tB, (tI,I reel eksen üzerinde bir aralık) şeklinde tanımlanan ve bir

B Banach uzayında değer alan x

 

t fonksiyonlarına vektör değerli fonksiyonlar denir. Tanım 16: X ve Y iki lineer normlu uzay olsun. A D A:

 

 X Y olan her dönüşüme

operatör adı verilir.

  

: :



D A  x X Ax tan ımlı X kümesine A operatörünün tanım kümesi denir.

 

:

 



:

 



R A AD A  y Ax x D A  Y kümesine A operatörünün değer

kümesi denir.





: : 0

Ker A  x X Ax   X kümesine A operatörünün sıfır kümesi veya

çekirdeği denir.

Örnek 6: _{Af x}

 

_{: f x f C}

 

_{, }  1

 

_{0,1 biçiminde tanımlanan A D A:}

 

_C



 

_{0,1 ,K}



operatörünün tanım kümesi _{D A}

 

_C 1

_{ }

_{0,1 dir.}

Tanım 17: A X: Y ve B X: Y operatörleri verilsin. Eğer D A

 

D B

 

ve her

 

 

x D A D B  için Ax Bx ise A ile B operatörleri eşittir denir ve A B ile gösterilir. Eğer,D A

 

D B

 

_{ve her} x D A

 

_için Ax Bx ise A operatörüne B operatörünün kısıtlaması (veya B operatörüne A operatörünün genişlemesi) denir ve

 

D A

A B ile gösterilir.

Tanım 18: A X: Y _{bir operatör ve} b Y _{bir eleman olsun. Eğer, her} x X _için

Ax b _{ise A operatörüne sabit operatör denir.}

Örnek 7: A D A:

 

C

 

0,1 , _{D A C}

 

_ 1

 

_{0,1 olmak üzere Af x}

 

_{1, Af x}

 

_5 operatörleri birer sabit operatörlerdir.

Tanım 19: A X: X operatörü verilsin. Eğer her x X için Ax x ise A operatörüne

birim (özdeşlik) operatör denir. I , E veya I ile gösterilir.X

Tanım 20: X ve Y iki normlu uzaylar, A X: Y bir operatör ve x₀X olsun. Eğer

0



  için  



0: x x 0 _X 



olan  x X için Ax Ax 0 Y 



ise, A operatörü x x 0 noktasında süreklidir denir. A operatörü her x X noktasında sürekli ise, operatöre sürekli operatör denir.

Not 1: Eğer bir A X: Y _{lineer operatörü bir noktada sürekli ise, her yerde süreklidir.} Tanım 21: X ve Y iki normlu uzay ve A X: Y olsun.

(1) Eğer x X

  için Ax _Y c x _X

olacak şekilde sabit bir c 0 sayısı varsa A operatörüne sınırlı operatör denir.

(2) X ’den Y ’ye sınırlı lineer dönüşümlerin oluşturduğu uzaya sınırlı lineer uzay denir ve B X Y



,



ile gösterilir. (3) B X Y



,



’nin normu,







 



:B X Y, , T sup T x : x 1     şeklinde tanımlanır.

Örnek 8: k t s

 

, fonksiyonu D a b

    

, x , , ,a b a b_



bölgesi üzerinde sürekli bir fonksiyon olsun.

 

: b

   

, a

y t 

_

k t s x s ds

eşitliği yardımıyla çeşitli y Ax integral operatörleri tanımlayabiliriz.

 



, ,



X Y  C a b _ olsun.

 

 

 

   

: , , , : b , a A C a b C a b Ax t 



k t s x s ds operatörü lineer ve sınırlı bir operatördür.

Tanım 22: H bir Hilbert uzayı ve A L H

 

olsun. Eğer H ’da sınırlı her E H altkümesi için A E

 

H kümesi ön kompakt ise, A operatörüne kompakt operatör denir.

Örnek 9: 2

 

, , : ,

 

:

   

, b a H L a b A H H Af t 



k t s f s ds, burada

   





2 , x ,

k L a b a b şeklinde tanımlanan operatör bir kompakt operatördür.

Çözüm : A B L a b



₂

 

,



olduğu bilinir. Şimdi A ’nın H ’da sonlu ranklı operatörlerin H normunda limiti olduğunu gösterelim.

Eğer

 

1, ,2  L a b için bir ortonormal baz ise,2



 

,



 

,

 

x

 

, , 1,2,

ij t s i t j s i j

   





2 , x ,

L a b a b için bir ortonormal bazdır. Böylece

 

, 1 , ij ij i j k  k

 

 



.

 

 

 

, 1 , n , , n ij ij i j k t s k

 

t s  



şeklinde tanımlanırsa 0 n k k  .

 

2

 

2

 

: , , n n K D K L a b L a b ,



n

 

: b n

   

, a K f t 



k t s f s ds

lineer integral operatörleri, R K

 

n span



 

1, , ,2 



n



olduğu için sonlu ranklıdır, yani

her bir integral operatörü sınırlıdır. Böylece,

0

n n

K K  k k 

olup K operatörünün kompaktlığı elde edilir.

Tanım 23: B bir Banach uzayı ve K B: B sınırlı bir lineer operatör olsun. Eğer,

1

K  ise, o zaman K ’ ya B ’ de bir daraltma operatörü denir.

Tanım 24: X ve Y iki Banach uzayı olmak üzere Z X Y:  _olsun. A D A:

 

X Y lineer operatörü için,





 





: , :

Gr  x Ax x D A  Z X Y

alt kümesine A operatörünün grafiği denir.

Tanım 25: A D A:

 

 X Y _{operatörünün grafiği} Gr A

 

, Z X Y  _{’de kapalı ise A}

operatörüne kapalı operatör denir.

 

:

A D A  X Y _{operatörünün grafiğinin kapalı olması}

 

xn D A

 

, lim_n



x Axn, n

  

 x y,

koşullarından x D A

 

ve y Ax eşitliğini sağlaması demektir.

 

x y, XxY için

 

x y, 2  x 2_X  y_Y2 olduğundan A X: Y lineer operatörü

kapalıdır ancak ve ancak

 

xn D A

 

için lim_nxn x ve lim_nAxn  y ise, x D A

 

ve

y Ax .

 



2

 

0,1 :

 

0,1 , 2

 

0,1 , 0

 

0



D A  f L f AC fL f 

şeklinde tanımlanan operatör kapalıdır.

Gerçekten, n 1, 2, için f tn

 

tn ise

  2 1 2 ₂ 0,1 0 1 ₁ 2 1 n n L f t dt n    



ve _{ } 2 1 2 2 _{2 2 2} 0,1 0 2 1 n n L n Af n t dt n      



olup A operatörü sınırsızdır. Şimdi A operatörünün kapalı olduğunu gösterelim. Bunu göstermek için, ilk önce KerA

 

0 ve R A

 

L2

 

0,1 olduğunu not edelim. g L 2

 

0,1 için

 

1

 

0

f t 



g s ds alalım. Buradan f D A

 

veAf g ’dir. g L 2

 

0,1 için 1 A g f _{ şeklinde tanımlanır.}





 

 

 

1 1 1 ₂ 2 1 0 0 A g t _ g s ds_ g s ds _ g    





olup _A1 _{sınırlı lineer operatördür. Buradan}





 

1 ₂ 1 2 2 2 1 1 0 0 A g _ A g t dt _ g dt_ g





olup _A1 _1’dır.

 

n f D A için fn  f ve Afn  h L2

 

0,1 için 1_, 1 n n

f _ A Af _A h _{olarak alındığında f A h D A} 1 _

 

_{veAf h ’dır. Dolayısıyla}

A operatörü kapalıdır.

Tanım 26: A D A:

 

 X Y operatörünün D A

 

D A

 

ve her x D A

 

için Ax Ax olacak şekilde bir kapalı A D A:

 

 X Y operatörü varsa, A ’ya kapanabilir

operatör ve A operatörüne A ’nın kapanışı denir.

Örnek 11: T D T:

 

L₂

 

0,1 , T :f xf

 

1 , D T

 

C

 

0,1 _{şeklinde tanımlanan operatör}

kapalı değil ve kapanışı yoktur. Gerçekten, C

 

0,1 L2

 

0,1 olup

 





L2

 

, n n f x _u x



 



L2

     

, ,

 

0,1 n n n n h x _u x f h C _,

ama fn

 

1 1, 1 0,  hn

 

 n1,2, . O halde Tfn x Th, n 0 olduğundan durum açıktır.

olsun. A operatörünün _{A Hilbert eşleniği}*

 

* _:



_:

 

_{için bir vard}ır, öyleki



,

  

,



, * : D A  y H  x D A z H Ax y  x z A y z

şeklinde tanımlanan operatöre denir.

A lineer operatörünün _{A eşleniği lineer ve kapalıdır.}*

Tanım 28: A , H Hilbert uzayında bir lineer operatör ve _{A , A operatörünün eşlenik}* operatörü olsun.

Eğer _{D A}

 

_{D A}

 

* _{ve her f D A}

 

_{için Af A f}  _{, yani}

 

,

f g D A

  _için



Af g,

 

 f Ag,



ise, A operatörüne simetrik operatör denir ve A A_  _{sembolüyle gösterilir.}

Eğer _{D A}

 

_{D A}

 

* _{ve her f D A}

 

_{için Af A f}  _{ise, A operatörüne}

özeşlenik operatör denir.

Tanım 29: A , H Hilbert uzayında bir lineer operatör ve _{A , A operatörünün eşlenik}* operatörü olsun.

Eğer her f H için AA f A Af _  _ f _{ise, A operatörüne üniter operatör denir.}

Tanım 30: H bir Hilbert uzayı ve P H: H bir lineer operatör olsun. Eğer 2 _ve *

P P P P

ise P operatörüne ortogonal projeksiyon (izdüşüm) operatörü denir. Eğer ,P H ’da bir ortogonal projeksiyon operatör ise,

 

ve 1

P B H P 

olduğu açıktır.

Tanım 31: H bir Hilbert uzayı ve A B H

 

_{olsun. Eğer AA}* _{A A}* _{ise, A ’ya H ’da bir}

normal operatör denir. Bu durumda _AA* _{A A}* _koşulu

R İ İ R A A A A , *, 2 R A A A   * 2 İ A A A i   koşuluna denktir.

Bir A operatörünün sınırsız olduğu durumlarda onun reel ve sanal kısımlarının komütatifliği yoklamak çok zor hesaplamalarla karşılaştırdığından bu durumlarda sınırsız bir operatörün normallik kavramını başka (daha pratik) şekilde aşağıdaki biçimde tanımlanır.

(a) _{D A}

 

_{ D A}

 

* _{ve (b)  f D A}

 

_için *

H _H

Af  A f ise, A ’ya H ’da formal normal operatör denir.

(2) Eğer A H ’da formal normal bir operatör ve onun trivial olmayan başka formal normal genişlemesi yoksa A ’ya H ’da maksimal formal normal operatör denir.

(3) Eğer A H Hilbert uzayında formal normal ve _{D A}

 

_{D A}

 

* _{ise, ona H ’da}

normal operatör denir.

Not 2: Her simetrik operatörün formal normal, her özeşlenik ve üniter operatörün ise normal olduğu açıktır.

Örnek 12: A L: 2

 

0,1 L2

 

0,1 , : 0,1a

 

  sınırlı Lebesgue ölçülebilir bir fonksiyon ve Af t

 

:a t f t f L

   

,  2

 

0,1 ise, A bir normal operatördür.

Gerçekten, A lineer bir operatör ve her f L 2

 

0,1 için

 

   

  2 2 1 1 ₂ 2 0,1 0,1 0 L L Af _ a t f t dt_ M f 



 , M : sup0 t 1a t

 

 olduğundan A B L



2

 

0,1



.

Ayrıca her f g L,  2

 

0,1 için





_{2 }

     

     





_{ } 2 1 1 * 0,1 0,1 0 0 , _L ) , L Af g 

_

a t f t g t dt

_

f t a t g t dt_ _  f A g ,

burada _{A g t}*

     

_{a t g t olup her}

 

2 0,1 f L için  

   

    2 2 2 * 0,1 0,1 0,1 L L L Af  a t f t  A f

olduğundan A bir normal operatördür.

Tanım 33: H bir Hilbert uzayı, A ise H üzerinde D A

 

H olan kapalı lineer bir operatör olsun. Eğer, her x D A

 

için Re



Ax x ,



0 oluyorsa, o zaman bu A operatörüne akkıretif operatör denir.

Tanım 34: H bir Hilbert uzayı, A ise H üzerinde D A

 

H olan kapalı lineer bir operatör olsun. Eğer her x X _için İm Ax x 



,



0 oluyorsa, o zaman bu A operatörüne

disipatif operatör denir.

 

x D T için D T

 

_ D T

 

 _ve

H H

T x _ Tx _{şartlarını sağlıyorsa, o zaman bu T} operatörüne hiponormal operatör denir.

Tanım 36: H ve1 H sırasıyla2

   

 , _H1, ,  _H2 iç çarpımlarıyla iki Hilbert uzayı olsunlar. 1 2

:

V H H bir lineer operatörü için, eğer herhangi f g H,  1 için









2 1

, _H , _H

Vf Vg  f g

sağlanıyorsa bu V operatörüne izometrik operatör denir.

Tanım 37: H Hilbert uzayında kompakt operatörlerin kümesini C H

 

veya kısaca C ile göstereceğiz. Eğer, A C  ise, o zaman A A ve

 

1/ 2

A _ A A _{operatörleri negatif} olmayan ve tamamen sürekli operatörlerdir. Bundan dolayı A ’ nın n

 

A özdeğerleri

negatif değildir ve n   iken monoton olarak _n

 

A 0. Bu sayılara A operatörünün s-sayıları veya karakteristik sayıları denir ve s A nn

 

, ile gösterilir.

Tanım 38: Operatörlerin aşağıdaki sınıflarını göz önüne alalım.

 

1 : : , p , 0 p j j C A A C  s A p    _     _ 





şeklinde tanımlanan sınıfa Schatten-von Neumann Sınıfı denir. Bu sınıf için norm,

 

1/ 1 : p p j p j A  s A       





şeklinde tanımlanır. Bu norm aşağıdaki özelliklere sahiptir. (i) A p A p,



A Cp





  ;

(ii) AB _p  A B BA_p , _p  A B A C B B H_p ,



 p, 

 



.

Eğer B operatörü üniter ise, o zaman

p p p

AB  BA  A .

Tanım 39: A bir simetrik operatör ve



reel olmayan keyfi bir sayı olsun.



A E D A



 

  

R ve R_ 



A



E D A

  

sırasıyla



A



E



ve



A



E



operatörlerinin değer kümesi olarak göstereceğiz. R_ ve R_, H Hilbert uzayının altuzaylarıdır. Bu altuzayların kapalı olması gerekmez. _

tümleyenlerine A operatörünün defekt uzayları denir ve sırasıyla N ve Nile gösterilir.

Yani N 



HR



, N 



HR



.



N ve N_ defekt uzayları sırasıyla, A operatörünün



ve A operatörünün



özdeğerlerine uygun çözüm uzaylarıdır, yani N ker A







E



, N ker A







E



.

Tanım 40: mdim , Ni ndimNi olsun. m ve n sayılarına A operatörünün defekt

sayıları (indeksleri) denir ve



m n,



çifti şeklinde gösterilir. Üst yarı düzlemdeki her



kompleks sayısı için dimN dimNi, dimN dimNi. Eğer İm



0 ise

dim , i dim i

m N n N .

Tanım 41: H bir Hilbert uzayı ve A D A:

 

H H defekt sayıları eşit (sonlu veya sonsuz) olan lineer kapalı simetrik bir operatör olsun. H bir Hilbert uzayı ve

 

* 1, : D A2

   H H lineer dönüşümler olmak üzere, eğer:

i) Her _{f g D A, }

 

* _için,



*

 

*





 



1 2 2 1

, _H , _H , ,

A f g  f A g   f  g _H  f  g _H, ii) Her ,F G  H için



 

*



1 2

: ,

f D A f F f G

     

koşulları sağlanıyorsa,



H, , 1 2



üçlüsüne A operatörünün sınır değerler uzayı denir. Ayrıca yukarıdaki bu tanımdan aşağıdaki sonucu görmek zor değildir.

 

1 2 0 f D A    f f  . Örnek 13: 02

 

2

 

2

 

2 : 0,1 0,1 0,1 A W L L _,

  

Af t _: d2₂ f t

 

dt   operatörünün defekt sayıları

 

2,2 olup, onun sınır değerler uzayı,

   







   



2 1 2 , f f 0 , 1 , f f f 0 , f 1 _      H şeklindedir [29].

Tanım 42: Eğer bir B özeşlenik operatörü için _B2 _{A ise bu B özeşlenik operatörüne} pozitif A operatörünün kare kökü denir.

Tanım 43: _Tj, _{   j} , _{operatörü yardımıyla bir}

_{ }

j

H T Hilbert uzayı tanımlayalım. H H 0 kompleks sayılar cismi üzerinde

 

 , _H0 iç çarpımı

ve





0 0 1/2 0 , _H , H

üzerinde lineer özeşlenik bir operatör olsun, öyle ki her f H 0 için Tf _H0  f _H0.

 

j D T , 0 j   kümesi









 

0 , , , , j j j j H _H f g T f T g f g D T   

iç çarpımı altında bir Hilbert uzayıdır.

 

, 0 ,

j j

H  H T   j şeklinde tanımlanan uzaya pozitif uzay, benzer şekilde

 

, 0 ,

j j

H  H T   j uzayı tanımlanabilir ve ona negatif uzay adı verilir.

 

* 0 , 0 , , , 0 j i j j j j H H    i j H H H H H H   j ve , 0 j

H   j uzayı H Hilbert uzayında yoğundur.

Tanım 44: H ayrılabilir bir Hilbert uzayı ve _L2 _{L H a b}2



_{, ,}

 



_{de H içinde sonlu}

 

_{a b,} aralığında vektör fonksiyonların Hilbert uzayı olsun. Burada U t s t s a b

 

, , , 

 

, operatörü lineer sürekli sınırlı terslenebilir ve_{U t s U s t}1

 

_{, }

 

_{, L}2_{, U t s U s t}

 

_{, }

 

_{, olsun.}

 

, , ,

 

, , U t s t s a b H Hilbert uzayında

 

_{ }

 

 

, , 0 , , , İ U t s f iA U t s f t U s s f f f D A        _{ } 

homojen diferensiyel denklemi için sınır değer probleminin çözümü olsun. Bu operatörler ailesine evolüsyon operatörler ailesi diyeceğiz.

Tanım 45: H bir Hilbert uzayı ve A D A:

 

H H _{bir lineer operatör olsun.}

 







1

 



: :

A A E L H









 _  

kompleks sayılar kümesine A operatörünün regüler noktalar kümesi (veya rezolvent

kümesi) denir.

 

A

 

 _{olmak üzere}



 



1 ; : R  A A E    operatörüne A operatörünün

rezolventası (veya çözücü operatörü) adı verilir.

Tanım 46: X bir Banach uzayı olsun. A B X

 

ve

  

, 

 

A için





R_R_ 

 

 R R_{ }

eşitliği sağlanıyorsa buna rezolvent operatörler için Hilbert eşitliği denir. Tanım 47: H bir Hilbert uzayı olsun. \



 

A kümesine A D A:

 

H H