16.ELEKTRİKPOTANSİYEL16.1ElektrikPotansiyel16.2NoktasalYükDağılımlarınınPotansiyeli16.3SürekliYükDağılımlarınınPotansiyeli16.4İletkenlerveEşpotansiyelYüzeyler 1

(1)

1

16. ELEKTRİK POTANSİYEL 16.1 Elektrik Potansiyel

16.2 Noktasal Yük Dağılımlarının Potansiyeli

16.3 Sürekli Yük Dağılımlarının Potansiyeli

16.4 İletkenler ve Eşpotansiyel Yüzeyler

(2)

16.1 ELEKTRİK POTANSİYEL

Hatırlatma: Korunumlu kuvvete karşı yapılan iş, iki nokta arasındaki potansiyel enerji farkına eşit oluyordu:

− Z 2

1

~Fkor·d~r= U2−U₁

Bir q yüküne ~E alanında etkiyen kuvvet:

~F = q ~E

O halde, elektrik potansiyel enerjisi tanımı:

U₂−U₁= −q Z 2

1

~E · d~r (Elektrik potansiyel enerjisi)

(3)

Elektrik Potansiyel:

Gözlem: Elektrik potansiyel enerjisi hep q yükü ile orantılı.H

Birim yükün potansiyel enerjisine elektrik potansiyel denir:

V = U

q (elektrik potansiyel)

H

Bunun tersi de doğrudur: Potansiyeli V olan bir noktaya konulan q yükünün sahip olacağı potansiyel enerji:

U = q V ^H İki nokta arasındaki potansiyel farkı:

V₂−V₁= − Z ₂

1

~E · d~r (Elektrik potansiyel farkı)

(4)

V = U

H

V₂−V₁= − Z ₂

1

(5)

V = U

H

U = q V ^H

İki nokta arasındaki potansiyel farkı:

V₂−V₁= − Z ₂

1

(6)

V = U

H

V₂−V₁= − Z ₂

1

(7)

Potansiyel Birimi: V = U/q tanımına göre:

1 joule/coulomb= 1 volt = 1 V ^H

Teknolojide potansiyel farkı yerine gerilim ve voltaj terimleri de kullanılır.H

Artı yüklere yaklaşırken potansiyel artar, eksi yüklere yaklaşırken azalır.H

Elektrik alan çizgileri yönünde gidildiğinde potansiyel azalır.H

Potansiyel skaler nicelik olduğundan, elektrik alana göre, çalışması daha kolaydır.

(8)

(9)

(10)

(11)

Potansiyel skaler nicelik olduğundan, elektrik alana göre, çalışması

(12)

Sabit Elektrik Alanın Potansiyeli

Hatırlatma:

±σ yüzey yük yoğunluğu taşıyan iki düzlem levha arasında sabit elektrik alan oluşur.H

İki levhayı, elektrik alan −x yönünde olacak şekilde yerleştirelim. x₁ konumuyla x₂ konumu arasındaki potansiyel farkı:

V (x2) −V (x1)= −Z x2

x1

(−E) dx= −EZ x2

x1

dx = E (x2−x1) H

Veya, x1= 0 orijinindeki negatif levhayı sıfır potansiyelde seçersek: V (x)= Ex (sabit elektrik alanın potansiyeli)

(13)

Hatırlatma:

İki levhayı, elektrik alan −x yönünde olacak şekilde yerleştirelim.

x₁ konumuyla x₂ konumu arasındaki potansiyel farkı:

V (x2) −V (x1)= −Z x2

x1

(−E) dx= −EZ x2

x1

dx= E (x2−x1) H

Veya, x1= 0 orijinindeki negatif levhayı sıfır potansiyelde seçersek: V (x)= Ex (sabit elektrik alanın potansiyeli)

(14)

Hatırlatma:

İki levhayı, elektrik alan −x yönünde olacak şekilde yerleştirelim.

x₁ konumuyla x₂ konumu arasındaki potansiyel farkı:

V (x2) −V (x1)= −Z x2

x1

(−E) dx= −EZ x2

x1

dx= E (x2−x1) H

Veya, x1= 0 orijinindeki negatif levhayı sıfır potansiyelde seçersek:

V (x)= Ex (sabit elektrik alanın potansiyeli)

(15)

16.2 NOKTASAL YÜK DAĞILIMLARININ POTANSİYELİ

Bir Noktasal Yükün PotansiyeliH

Orijindeki bir Q yükünün elektrik alanı: E= kQ

r² ^H

r₁ ve r₂ noktaları arasındaki potansiyel farkı ( ~E ile d~r aynı yönde): V (r2) −V (r1)= −Z r2

r1

E dr = −Z r2

r1

kQ

r² dr= −kQ

−1 r

r2

r1

= kQ 1 r₂ − 1

r₁

!

H

İntegralir₁= ∞ dan r2= r noktasına kadar alırsak: V(r) − V(∞) = kQ r ^H Potansiyelin referans noktası sonsuzda seçilirse (V (∞)= 0):

V (r)= kQ

r (Noktasal yükün potansiyeli)

(16)

16.2 NOKTASAL YÜK DAĞILIMLARININ POTANSİYELİ

Orijindeki bir Q yükünün elektrik alanı:

E= kQ r² ^H

r₁ ve r₂ noktaları arasındaki potansiyel farkı ( ~E ile d~r aynı yönde): V (r2) −V (r1)= −Z r2

r1

E dr = −Z r2

r1

kQ

r² dr= −kQ

−1 r

r2

r1

= kQ 1 r₂ − 1

r₁

!

H

V (r)= kQ

(17)

16.2 NOKTASAL YÜK DAĞILIMLARININ POTANSİYELİ

E= kQ r² ^H

r₁ ve r₂ noktaları arasındaki potansiyel farkı ( ~E ile d~r aynı yönde):

V (r2) −V (r1)= −Z r2

r1

E dr = −Z r2

r1

kQ

r² dr= −kQ

−1 r

r2

r1

= kQ 1 r₂ − 1

r₁

!

H

V (r)= kQ

(18)

16.2 NOKTASAL YÜK DAĞILIMLARININ POTANSİYELİ

E= kQ r² ^H

V (r2) −V (r1)= −Z r2

r1

E dr = −Z r2

r1

kQ

r² dr= −kQ

−1 r

r2

r1

= kQ 1 r₂ − 1

r₁

!

H

İntegralir₁= ∞ dan r2= r noktasına kadar alırsak: V(r) − V(∞) = kQ r ^H

Potansiyelin referans noktası sonsuzda seçilirse (V (∞)= 0):

V (r)= kQ

(19)

16.2 NOKTASAL YÜK DAĞILIMLARININ POTANSİYELİ

E= kQ r² ^H

V (r2) −V (r1)= −Z r2

r1

E dr = −Z r2

r1

kQ

r² dr= −kQ

−1 r

r2

r1

= kQ 1 r₂ − 1

r₁

!

H

(20)

Potansiyelin diğer bir yorumu:

Bir noktanın potansiyeli, birim yükü sonsuzdan o noktaya getirmek için yapılan iş. H

+ yükün potansiyeli pozitif, – yükün potansiyeli de negatif olur. H

Pozitif yüke yaklaştıkça potansiyel artar, negatif yüke yaklaştıkça azalır.

(21)

(22)

(23)

Çok Sayıda Noktasal Yükün Potansiyeli

Çok sayıda noktasal yükün bir P noktasındaki potansiyeli, herbir yükün potansiyelinincebirsel toplamı olur:

V = kq₁ r₁ + kq₂

r₂ + · · · +kq_N r_N =X

i

kq_i r_i

(24)

Bir Yük Dağılımının Potansiyel Enerjisi:

Çok sayıda yükten oluşan bir sistemin potansiyel enerjisi ne kadardır? H

Cevap: Bu yükleri bu konumlara getirmek için yapılan iş kadardır.H

Önceq₁ yükünü sonsuzdan alıp getiririz.

Bunun için bir iş yapmak gerekmez: −→ U₁= 0^H Sonra, q₂ yükünü getiririz.

q1 yükününV1= kq1/r potansiyelinde,

r₁₂ uzaklığına gelen q₂ yükünün potansiyel enerjisi (U = qV ): U2= q2V1= q2

kq₁

r12 = kq₁q₂ r12

(25)

Bunun için bir iş yapmak gerekmez: −→ U₁= 0^H Sonra, q₂ yükünü getiririz.

kq₁

r12 = kq₁q₂ r12

(26)

Bunun için bir iş yapmak gerekmez: −→ U₁= 0^H

Sonra, q₂ yükünü getiririz.

kq₁

r12 = kq₁q₂ r12

(27)

Bunun için bir iş yapmak gerekmez: −→ U₁= 0^H Sonra, q2 yükünü getiririz.

= qV ):

(28)

Daha sonra q₃ yükünü getirelim.

Daha önce gelmiş olan (q1, q2) yüklerinin potansiyelini içinde, sahip olduğu enerji:

U₃= q3

kq1

r13 + kq₂ r23

!

= k q1q₃ r13 + q₂q₃

r23

!

H

Sistemin toplam potansiyel enerjisi: U_top= U1+ U2+ U3= k q1q₂

r12 +q₁q₃ r13 + q₂q₃

r23

!

H

N sayıda yük için genelleme:

U_top = k

N

X

i<j

q_iq_j r_ij

(29)

U₃= q3

kq1

r13 + kq₂ r23

!

= k q1q₃ r13 + q₂q₃

r23

!

H

Sistemin toplam potansiyel enerjisi:

U_top= U1+ U2+ U3= k q1q₂ r12 + q₁q₃

r13 + q₂q₃ r23

!

H

U_top = k

N

X

i<j

q_iq_j r_ij

(30)

U₃= q3

kq1

r13 + kq₂ r23

!

= k q1q₃ r13 + q₂q₃

r23

!

H

Sistemin toplam potansiyel enerjisi:

U_top= U1+ U2+ U3= k q1q₂ r12 + q₁q₃

r13 + q₂q₃ r23

!

H

U_top = k

N

X

i<j

q_iq_j r_ij

(31)

16.3 SÜREKLİ YÜK DAĞILIMLARININ POTANSİYELİ

Bir hacim, yüzey veya eğri üzerine sürekli dağılmış yük.

H

Yüklü bölgede küçük bir dq yük elemanı. Bunun toplam potansiyele dV katkısı:

dV = k dq r ^H

Tüm yük dağılımının potansiyeli: V = k

Z dq

r (Sürekli dağılmış yükün potansiyeli H

dq elemanı, yük yoğunluğu cinsinden şöyle ifade edilir:

dq= ρ dV dq= σ dA dq= λ dL ^H

Ayrıca, potansiyelin ~E alanı cinsinden ifadesi de hesaplarda kullanılabilir: V2−V1= −

Z 2 1

~E · d~r

(32)

16.3 SÜREKLİ YÜK DAĞILIMLARININ POTANSİYELİ

H

Yüklü bölgede küçük bir dq yük elemanı.

Bunun toplam potansiyele dV katkısı:

dV = k dq r ^H

Tüm yük dağılımının potansiyeli: V = k

Z dq

Z 2 1

~E · d~r

(33)

16.3 SÜREKLİ YÜK DAĞILIMLARININ POTANSİYELİ

H

dV = k dq r ^H

Tüm yük dağılımının potansiyeli:

V = k Z dq

Z 2 1

~E · d~r

(34)

16.3 SÜREKLİ YÜK DAĞILIMLARININ POTANSİYELİ

H

dV = k dq r ^H

V = k Z dq

Z 2 1

~E · d~r

(35)

16.3 SÜREKLİ YÜK DAĞILIMLARININ POTANSİYELİ

H

dV = k dq r ^H

V = k Z dq

(36)

16.4 İLETKENLER VE EŞPOTANSİYEL YÜZEYLER

Potansiyelin aynı değerde olduğu yüzeylere eşpotansiyel yüzey denir. H

Örnek: Orijindeki q yükünün potansiyeli: V = kq

r ^H

Noktasal yükün eşpotansiyel yüzeyleri: q yükünün merkezde bulunduğu küre yüzeyleri. H

Doğrusal telin eşpotansiyel yüzeyleri: Tel eksenli silindirik yüzeyler.

(37)

16.4 İLETKENLER VE EŞPOTANSİYEL YÜZEYLER

Örnek: Orijindeki q yükünün potansiyeli:

V = kq r ^H

(38)

16.4 İLETKENLER VE EŞPOTANSİYEL YÜZEYLER

V = kq r ^H

(39)

16.4 İLETKENLER VE EŞPOTANSİYEL YÜZEYLER

V = kq r ^H

(40)

Eşpotansiyel yüzeylerin özellikleri:

İletken yüzeyleri eşpotansiyel yüzeylerdir. H

İspat: Potansiyel farkı tanımı: V2−V1= −

Z 2 1

~E · d~r

1 ve 2 noktaları iletken yüzeyinde olsun. H

Potansiyel farkı gidilen yoldan bağımsızdır. Gidilen yolu iletken içinde seçelim.

İletken içinde daima ~E= 0 olduğundan, integralin sağ tarafı sıfır olur:

~E = 0 =⇒ V2= V1

(41)

İspat: Potansiyel farkı tanımı:

V₂−V₁= − Z 2

1

~E · d~r

Potansiyel farkı gidilen yoldan bağımsızdır. Gidilen yolu iletken içinde seçelim.

~E = 0 =⇒ V2= V1

(42)

İspat: Potansiyel farkı tanımı:

V₂−V₁= − Z 2

1

~E · d~r

Potansiyel farkı gidilen yoldan bağımsızdır.

Gidilen yolu iletken içinde seçelim.

~E = 0 =⇒ V2= V1

(43)

Elektrik alan çizgileri daima eşpotansiyel yüzeylere dik olur. H

Eşpotansiyel yüzey üzerinde birbirine d~r kadar çok yakın iki nokta seçelim.

Bu iki nokta aynı potansiyelde olacağından:

V1= V2 =⇒ dV = −~E · d~r = 0 =⇒ ~E ⊥ d~r

(44)

Elektrik alan çizgileri daima eşpotansiyel yüzeylere dik olur. H

Eşpotansiyel yüzey üzerinde birbirine d~r kadar çok yakın iki nokta seçelim.

Bu iki nokta aynı potansiyelde olacağından:

V1= V2 =⇒ dV = −~E · d~r = 0 =⇒ ~E ⊥ d~r

(45)

Elektrik alan ile potansiyel arasındaki ilişki. H

V potansiyelli bir yüzeyden dik doğrultuda (yani, ~E yönünde) küçük bird~r adımıyla, V + dV olan diğer bir eşpotansiyel yüzeye varmış olalım.

~E ve d~r vektörleri aynı yönde olduğundan,

(V + dV) − V = −~E · d~r = −E dr −→ E= −dV dr ^H Eşpotansiyel yüzeye dik doğrultudaki potansiyel artış oranına potansiyel gradyanı denir.

Elektrik alan negatif potansiyel gradyanıdır.

Negatif işaretin anlamı: Elektrik alanı yönünde gidilirken potansiyel azalır.

(46)

(V + dV) − V = −~E · d~r = −E dr −→ E= −dV dr ^H

Eşpotansiyel yüzeye dik doğrultudaki potansiyel artış oranına potansiyel gradyanı denir.

Negatif işaretin anlamı: Elektrik alanı yönünde gidilirken potansiyel azalır.

(47)

(V + dV) − V = −~E · d~r = −E dr −→ E= −dV dr ^H Eşpotansiyel yüzeye dik doğrultudaki potansiyel artış oranına potansiyel gradyanı denir.

Negatif işaretin anlamı: Elektrik alanı yönünde gidilirken potansiyel

(48)

Elektrik Dipol:

Aralarında küçük a mesafesi bulunan, eşit ve zıt iki yükten oluşan sistem.

Bu nötr sistem maddenin yapısında önemli rol oynar (Nötr moleküllerin etkileşmesi, radyo/TV antenleri, yalıtkan malzemenin davranışı . . . )

H

±q yükleri y -ekseni boyunca yerleştirilmiş. Bu dipolün bir P noktasındaki potansiyeli:

V = kq r − kq

r+ ∆r = kq∆r r (r+ ∆r)

(49)

Elektrik Dipol:

Aralarında küçük a mesafesi bulunan, eşit ve zıt iki yükten oluşan sistem.

Bu nötr sistem maddenin yapısında önemli rol oynar (Nötr moleküllerin etkileşmesi, radyo/TV antenleri, yalıtkan malzemenin davranışı . . . )

±q yükleri y -ekseni boyunca yerleştirilmiş.

Bu dipolün bir P noktasındaki potansiyeli:

V = kq r − kq

r+ ∆r = kq∆r r (r+ ∆r)

(50)

Dipolden çok uzakta potansiyelin yaklaşık ifadesi:H

r a olduğunda:

∆r ≈ a cos θ r(r+ ∆r) ≈ r² V = kq

r − kq

r+ ∆r =≈ k qa cos θ r² ^H Tanım: p= q a (dipol momenti)

O halde, dipolden çok uzaklarda potansiyel: V = kp cos θ

r²

Elektrik dipolün eşpotansiyel yüzeyleri (yeşil) ve elektrik alan çizgileri (kırmızı) −→

∗ ∗ ∗ 16. Bölümün Sonu ∗ ∗ ∗

(51)

r a olduğunda:

∆r ≈ a cos θ r(r+ ∆r) ≈ r² V = kq

r − kq

r+ ∆r =≈ k qa cos θ r² ^H

Tanım: p= q a (dipol momenti) O halde, dipolden çok uzaklarda potansiyel:

V = kp cos θ r²

∗ ∗ ∗ 16. Bölümün Sonu ∗ ∗ ∗

(52)

r a olduğunda:

∆r ≈ a cos θ r(r+ ∆r) ≈ r² V = kq

r − kq

r+ ∆r =≈ k qa cos θ r² ^H Tanım: p= q a (dipol momenti)

O halde, dipolden çok uzaklarda potansiyel:

V = kp cos θ r²