Near Field Parameter Estimation of Moving Sources with Recursive Expectation Maximization Algorithm

Yinelemeli Beklenti/En Buyukleme Algoritmasi ile Hareketli Kaynaklarin Yakin-Alan Parametrelerinin Kestirimi

Near Field Parameter Estimation of Moving Sources with Recursive Expectation Maximization Algorithm

Serap (7ekli', Erdinq (7ekli2, ^Nihat Kabaoglu3, Hakan Ali (QirpanI

IElektrik ^ve Elektronik Muihendisligi B6lumui Istanbul Universitesi, Avcilar, Istanbul

{hcirpan,serapc}@istanbul.edu.tr

2Ttibitak MAM, Gebze, Kocaeli

[email protected]

3Teknik Bilimler Meslek Yuiksek Okulu Kadir Has Universitesi, Selimpa a, Istanbul

[email protected]

Ozet e uygulanamaz. Dolayisiyla dalga cephelerine dulzlem anten dalgasi (uzak-alan) diziliminin yakin-alaninda yakla*ikligi

Bu bildiride, anten diziliminin yakininda bulunan hareketli bulunan kaynaklarin konumlarinin kestiriminde, sinyal geli, kaynaklarin yaydigi sinyallerin geli, dogrultulari ve uzaklik dogrultusuyla beraber uzaklik parametresininde goz onulne parametrelerinin ortak kestirimi i,in yinelemeli en bulyulk alinmasi gerekir. Yakin-alan varsayimi sonucunda parametre olabilirlik kestirimcisi onerilmi,tir. Bu bildiride yinelemeli en vektor boyutu arttigindan daha geli,mi, konum kestirim bulyulk olabilirlik kestirim algoritmasi, sadece rasgele olmayan yontemlerine ihtiya, duyulmaktadir. Bu ama,la, daha onceki sinyal modeli i,in geli,tirilmi,tir. Bu sinyal modeline ait en qali*malarda ikinci ve daha yulksek dereceli istatistige dayali bulyulk olabilirlik i,levlerinin kapali bi,imde ,czumu alt uzay tabanli y6ntemler kullanilmi*tir [3], [4], [5].

saglanamadigi i,in, ozyinelemeli beklenti/en bulyulkleme Bu qali*mada ise kaynak sinyallerinin geli, dogrultulari algoritmasi hareketli kaynaklarin yakin-alan parametrelerinin ve uzaklik parametrelerinin ortak kestirimi i,in en bulyulk kestirimi i,in uyarlanmi*tir. Ayrica, onerilen algoritmanin olabilirlik kestirimcileri onerilmi,tir. En bulyulk olabilirlik

ba*arimlarinm destekleyen benzetim ornegi sonu,lari da kestirim yontemleri yulksek ba*arim gostermelerine ragmen

sunulmu,tur. karma*ik bir en iyileme problemi olu,tururlar. Fakat bu

bildiride en iyileme problemlerinin etkin hesabi i,in Abstract yinelemeli beklenti/en bulyulkleme (Recursive Expectation / In this paper, maximum likelihood (ML) estimator is proposed Maximization) algoritmasi kulanilmi*tir [6].

for the joint estimation of the direction of arrival (DOA) and range parameters of moving sources in the near-field of the

antenna array. ML estimation algorithm is presented for 2. Sinyal Modeli

deterministic signal model. Recursive form of the expectation Bu bildiride ilgilendigimiz kestirim problemi, kaynak maximization (REM) algoritm is suggested for the estimation konumlarini ve ^kaynak sinyallerini elde etmek i,in dizilim of the near-field parameters because there is not closed form verilerinin kullanilarak sinyallerin geli, dogrultularinin ve

solutions for the maximum likelihood functions. Moreover, uzaklik parametrelerinin ortak kestirimlerinin simulation results of the suggested algorithm are presented. yapilmasidir. N algilayicili dizi iqin ^M darbantli sinyal zamanla degi,en yonlerden gelmektedir 1. Giri 9 (t) ⁼ o01 (t) ^...OM (] ^ve algilayici qiki*larinda gozlemlenen

Darbantli sinyaller yayan kaynaklarin konumlarinin yani veriler i,in t aninda sinyal modeli x (t) ( CNX1;

sinyal geli, dogrultularinin kestirimi i,in onerilen yontemler x(t)= H(O(t))s(t) +u(t), ^t= 1,2 ..., (1)

genellikle kaynaklarin anten diziliminden uzakta (uzak-alan) ' ' '

oldugunu varsaymaktadir [1], [2], [3]. Bu varsayima gore burada dizilimyonlendirmematrisi anten dizilimine ula,an dalga cepheleri duizlem dalgasi olarak

modellenmekte, kaynaklarin konumlari ise sadece konum H (O(t)) = [d (O, (t)) ...d... d(OM (t))] e CNXM, I (2)

a,cilari ile parametrelendirilmektedir.

Uzak-alan yakla,sikligina kar,silik mikrofon dizilimi l ae yinndme vtirndn do(t eNx

kullanarak so$z geli,stirme, sualti kaynak konumu kestirimi, \m\!

radar ye ses oitesi imgeleme gibi bir,cok uygulamada kaynak m=l,... ,M meydana gelmektedir. Dizilim yoinlendirme anten diziliminin yakininda (Fresnel boilgesi veya yakin-alan) vektoirleri yakin-alan durumunda kaynaklara ait a,ci (0S) ye olabilir [4]. Bu durumda anten dizilimine ula,san yuvarsal uzkii ~eii. M N odukbleim~i..

Bu val1,sma 104E130 numaralh TUBiTAK ara,sttrma projesi tarafilndan desteklenmektedir.

1-4244-0239-5/06/$20.OO ©2006 IEEE

bilinmektedir ve rasgele degildir. ⁽ )T herhangi bir vektoruln = [N ^log 2T ^{+ N} logv ⁽⁶⁾

(t) (PNxI(x(t)oH(t(t))s(t))

devrigini gostermektedir. Gulrulltul sulreci u(t) e 0Nxl + (x(t)-H(O(t))s(t))0 bagimsiz ozde, karma*ik ve sifir ortalamali normal

dagilimlidir ve ozdegi,inti matrisi vI dir, burada (t)T eT ^T T H

V bilinmeyen gulrulltul gorunge parametresi ve I birim L ' ! j

matristir. gostermektedir. Algoritmada 19 daki parametreler e*zamanl

Kaynak sayisi M bilinmektedir, ele alinan problem olarak gulncellenmelidir. Temel olarak 9(t) ve r (t) kaynaklarin yaydigi ^zamanla degi,en i,aretlerin geli, parametreleri ile ilgilendigimiz i.in ^{algoritma sadece bu}

dogrultulari 0(t) ve uzaklik parametrelerinin r(t) parametreler itin uygulanmi*tir. I*aret ^{dalga biqimi} ye gllrllltll

yinelemeli olarak x((t) gozleminden kestirilmesidir. iqin ^yapilan kestirimler sirasi ile st [s{st...s. ]T ^{ve vt ile}

Iterasyon ba*langicinda SO ve r° i,in iyi bir ba*langiq ifade edilmektedir.

degeri yani parametrelerin ger,ek degerine yakin degerler Eksiksiz veri y (t) , dizi qiki*ini ^i,aret ve guirulltul verildigi varsayilmaktadir.

bile,enlerine ayirarak elde edilmektedir.

3. Eksik Veri Kullanilarak Yinelemeli ^T

Parametre Kestirimi

x(1), x(2),... bagimsiz, f (x;S9) olasilik yogunluk islevfi *eklinde ifade edilmektedir. m. i*arete ili*kin eksiksiz veri gozlemler olsun, burada S bilinmeyen sabit

parametredir. EM algoritmasina ifiskin eksiksiz veri Y.(t) d(Om)Sm (t)+Urn (t): (8) y (1), ^y (2), ^{... olasilik} yogunluk i,slevi f (y; S) ^ile kopesvnrmldgidar,e ^zeintmtii

karakterize~ .dletdr ^Ekisz .e ^kompleks ye ^normal dag1lhmdadir, ^ye oizdegi,sinti ^matrisi

karakterize edilmektedir. Eksiksiz veri y (t) ~~~ ^, IMkouuatna)" ^{v Urnv ko,sulu altinda} UvnI ^di,t dir, ^Ur = V/M olarak ^{=vM lrk}

Alyt))xt M(Y (0) ^{= x} (t) goktan-bire 9oktan-bire eslemefi e1eme1i olarak olarak se,ilmektedir. m=I ^{Ve logaritmik olasilik yogunluk fonksiyonu}

tanimlanmiiitir [7]. St parametresi, t gozlem sonrasinda

kestirilen degeri ifade etmektedir. AUagida verilen M

yordam sonusur (asymptotic) anlamda MLE ile ayni ^log f(y(0); 9) -4Nlog 2T+ N logCU)

sonuca yakmsayan ger9ek parametre 3 degerini MH H (9)

bulmayi amaglamaktadir [8]: + m (t)

S+= £t MxS)yxt)@) X(ym (t) ^- d(Om) ^sm (t))2

denklemdeki et adim araligini belirtmektedir ve a*agida

verilen denklemler ise sirasi ile eksiksiz bilgi matrisi ile olarak verilmektedir.

gradyan gradtan _sultun ^gradyan _gradyan vektoirunul go$stermektedir. vekt6ri$rldln vektorudur, g6stermektedir,Burada ^l Burada V , ^Vs 3'

ye go$re yeHareketli ^kaynaklar a*agidaki ,ekilde tanimlanmaktadir

t,M (St) ⁼ E [_V,VT log f (Y;,9)Ix ^{(t) ,] =, (4) H=9+O (10)}

Y (x ^(t), St) ^{= V,} log f (x (t); S)| (S) ^{r =} rO + tri 7 ,l

Eksiksiz veri y , gozlemlenen veri X 'den daha basit bir

yapidadir, dolayisiyla eksiksiz veri bilgi matrisini burada 00 = [0on1,*OOM ]T ve o = [01 ^0iM ]T

EM (st) hesaplamak kolayla*maktadir. ro = [rolI ^{r T} ve r=[rill. ,rM ^{]T dir. Geli,} dogrultulari

* _ . . ~~~~~~~~~~~~~~~ve uzakliklari @= ^oT

ET ..ET ^T ile gosterilmektedir ve

4. Gefi, Dogrultusu ve Uzaklik Parametresinin e u ^m M I

Kestirim Algoritmasi burada Er ⁼ [Om O ' rn rn ]T dir.

Bu ,cali,smada, algilayici dizisine gelen alinan i,saretler vasitasi Yinelemeli beklenti/en bulyukleme algoritmasi dogrultu ile a,i ye uzaklik parametrelerinin yakin alanda takibi ye uzaklik parametresi 0 i,iniuygulanmaktadIr.

hedeflenmi,stir. Bu yaklaima dayanarak gradyan vektoirunuln y (x (t) ; Vt )f

x (t) goizlem dizisi karma,sik ye normal dagilimdadir, 2.y 2 ) ieelr

logaritmik olabilirlik fonksiyonu

a 2 F

, log f (x (t); q) .2 ^Re 0(d" (OtX ) st, )' (x ^{(t) -H E3)t sm}

aolm ^,~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ²

2t FH] +M d'(Et4St' (1S)

Re (x(t)-H(6t)st)H(df t~~~~~~~~~~~~~~ ^{)ts )12 M1 MM m} ... ^* ..

9t+1 kestirildilinde i,saret ye gulrultul parametreleri en bulyuk

(2m + 2). ye (2m + 3). bile,senleri olabilirlik kestirim algoritmasina ile 63+ ye x()'ye goire

a,sagidaki ,sekilde hesaplanmaktadir.

alog f (x (t); 19) ^ot M) ^l\#

aolm S21 ^H~~

2r 10gt(X(t);@)ls=st 5t+l=H(fRt) x(t)d (16)

=t Re F(x (t)-H (Ot) st ) (d( )ts ) (M13) Vi+ Ltr P(ot+1)ICX (t)]

a2 Mogf(x(t);9) ^burada H(Ot+i)# matrisi, H (+1) matrisinin sozde tersini

2t ReI\.x( ^{t)- H} (ot)sl (d' (O) ~)1 ^{ifade t} etmektedir, pd ^{= p ile verilen} burada sirasiive d'(2m 3). bd(OejlOri olmatris, p(et+i) =H (ot+i)H(mt+si ) izdus,uim matrisinin

buradaslraslile ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ a*giak *ekild hesaplanaktadir

ad(r)jaml ^{=rom+tr+Z m} ortogonalxtumleyenidirvye C (t)=x(,)x)H dir.

5. Beuzetim Sonuvlar1

Eksiksiz ver matrisi blok k,egen olduundan tekilligi ^Benzetim orneginde 15 anten ye 2 kaynaktan alinan rasgele

oinlemek ye yinelemeleri kolayla,stirmak i,cin blok ko,egen olmayan i,saretler i,cin yakin-alan senaryosu ele alinmi,stir.

matris yerine eEM (vt) in ko,egen par,casi olan matris Hareketli kaynakiar birbirinden farkli konumlarda i,saret kur,anilmaktaburr yaymaktadir, farkli asi ye uzakl1k degerlerine sahiptir.

Senaryoda hedefler yani kaynakiar 400 zaman adimi boyunca /Re (x(t)-H(Ot)st)H(df( M)SM ^takip edilmiktir. Her adimda, goIPzlemlenen ei kullanilarak d a2m) 3d (Om )/aOm ^f 91mt alinan i,saret ye gulrultul sulreci gulncellenmekte ye ^{daha sonra}

kestirilmek istenen parametre vektIrunun guncellenmesi

olarak verildi~~~ine g~sre, esnasinda kullanilmaktadir. Algoritmanin her adiminda

olarada siraildie dgore .d .O. ^. ...

m O2=2m ⁺ yem 3 eksiksiz bilgl matrisi ve gradyan vektorx hesaplanmaktadir.

EM (vt )matrisi+ 2). v m + 3. Adim uzunlugu algoritmanin kararli ,ekilde Soanumas ⁱ

bile,enleri uygun sabit bir deger olarak secilmi,tir ye i,saret gunruglte

oraninin 30 dB oldugu belirlenmi,stir. $ekil 1' de dogrusal

2k ^ve yinelemeleri kolayla*tirmak iqin blok egen olmhareket yapan kaynakiarin geli,s dogrultusu ye kaynakiarin

mt yerine )E (t)t) ) ^{- H pra ) olan hareket y} aryngesi gbsterilmirb tir. Her iki kaynauln gerdek ^are

2ullanil ^r ye uzaklik parametreleri degerleri ^ile parametrelerin zaman

+M d' (e)sr S (14) adimlari boyunca kestirilen dekerleria hedeflerin takibi ,sekil

2ot21' ^de goiruelmektedir. H ekil 2' de hareketli kaynaklarin yakin-

-Re ^{( d} "(O ^{( ) (}

^{t)H )s alan} ic,einkestirilen geli dogrultusu e uzakltk ^p arametresi

vt L~ m !m ~m! ^! degerleri i,cin ortalama karesel hatalar goisterilmi,stir.

+M d'(Or)sr 2 6. Sonuvlar

Bu ,cah1,mada sinyallerin geli,s dogrultulari ye uzaklik parametrelerinin kestirimi icin yinelemeli bekilenti/en olk v l2di(grme)/ matrisinin gre, m.(2m + im. ,(2m 2) ^ve (2m 3) besyaskldeme I,saret guiruzltgi ^a ngoritmask oraninin belli bir degerin uzerinde tneri lmigotir . bulundmug

durumda algoritmanin baarkm aiesilndan cok bulyuk bir

ot M) ^{m m} h~~~~~~~~~~~areketl gostermedii gostrilmu,stir. H ner ik aynagi gerekal1 ⁱ

durumda ise algoritma hemen hemen ayni ba,earima

goSstermi,tir. Adim uzunlugunun degi,simi ile hesaplama yuekl

de g6rmekteder ^{ye uygun} sekilen ^adem uzunlugu nle hesaplama

sulreci azalmaktadir. Ayrica, iyi bir ba*langiq degeri se,imi algoritmanin ba*ariminda onemli rol oynamaktadir.

350

----Kaynakl

300 M 7 --- ~~~~~~~~~~~~~Kaynak2

300

250 68

o ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(n1

0~~~~~~~~~~~~~~~~

-50 ~~ etrlnDA 4_-_

0~ ~ ~~~~~~~~~~~7 ^{Kaaynak U}

2200

250 /,w "MxmmLklho0ra rcsigfrsohsi

3 200 /,' Processing7Vol.4 ^. K1,Jaynuakr ¹⁹

O /,St ~~~~~~~~~~~~~[2] P.. Stoicae, B. OtRstn M.uhrmann, "andmum-L.,elihood

250 "Mro-aximu Likectihod Finingand proessing lgoristohasti

ss5 ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ Chrn 150urces";_., IEEE Transacin onutc.Speh n SignalPrcsig .= # < . v~~~~~~~~~~~~Pocessin, 150-57, Vol. Sept 1990.ar196

ss5 100> ,.-,:# ~~~~~~~[2] M. Harillrd, D.fcin One- Fuhman, "axdM iimu-iensihonal

= ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~IE Trns Acig-esltousis Speech ainal Prcssigng", ^Pr hessng

Kaynakl

50,, Kaynak2 dissertation, Technische Universit\"at Mulnchen, 1997.

--- Kestirilen Uzaklikl [4] R N Challa and S Shamsunder, "High-Order Subspace-

Kestirilen Uzaklik2

o , _{0 50 100 150 200 250 300 350 400} Based Algorithms _100s150 for Passive Localization _{20 25 300} of ₃₅₀ Near-Field ₄₀₀

Zaman Indisi Zaman Indisi

Systems, and Computers}, vol.2, pp.777-78 1, Pacific ekil 250l1 l.b. ESareketllKaynaklarm Uzakllgl ve Lba. Hareketli Kaynaklarin Uzakligi Dogrultuu KaynakTakll Takibi [15] Grove2 CA. Nov. E. Stekli, B. Otsrpan, A. 1995, IEEE Computers Society "Unconditional Maximum Press.

Likelihood Approach for Localization of Near-Field Sources: Algorithm and Performance Analysis", AEU -

14 x14 rInternational Journal of Electronics and Communications,

m 200 ----Kaynakl PrTT vol. 57, ^no. 1, pp. 9-15, 2003.

° 12 [6] P. J. Chung, J. F. Fuhme, A. n . Hero, "Tracking of

ENarrow-BandMultipleMoving ^Sources Using Recursive EM

io-

tN100 '. _Kanak vAlgorithm HighResluton Aray ", 2005:1, EUROSIP 50-60. Journal Sigal roces"Proces. on Applied Signal

OK 8 k [7] A. P. Dempster, N. Laird, and D.B. Rubin, "Maximum

50 100 150 200 Kestirilen Uzklik2 Based AlgoLikelihood from Incomplete Data via the EM

CD) 6 S Algorithm", J. Roy. Statist. Soc. Ser. B, vol.39, no. 1,pp.

. *sG 1-38, 1977.

ek 1 .b. H t n ny n T [8] D. Titterington, A. F. Smith, and ^{U. E.} Makov,

1g~_1o4 In~ ~-___"Stastical AnalJsis ^of Finite Mixture Distributions"i John 0~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~~~~~~ ~vl 57, no. 1,0pp. 9-15 2003.040

10ki Alorth ",na1 EUROSIP Journalus nci Applied Signa