MATEMAT‹K NEDEN DÜNYAYA UYGUN?

Çok eski bir geçmifle sahip olan

matemati¤e, insanl›¤›n uygarlaflma

se-rüveninde yaratt›¤› en zengin ve en

soyut düflünsel faaliyetlerinden biri

olarak bak›lmas› yanl›fl olmasa gerek.

‹ki art› ikinin dört etti¤ine dair

bizle-re çok basit görünen bir aritmetik

eflitli¤in bile, üniversitelerin

matema-tik bölümlerinde okuyan ö¤renciler

için s›navlarda soruldu¤unda

ispat-lanmas› ciddi anlamda bir çaba

gerek-tirdi¤i düflünülürse, matematik

ger-çekten de soyut bir düflünsel

faaliyet-tir. Fakat bunun yan›s›ra, ayn›

eflitli-¤in, insanlar›n her türlü

faaliyetlerin-de ve dünyadaki her türlü materyalfaaliyetlerin-de

uygulama alan› da buldu¤u göz

önüne al›n›rsa matematik bir yönüyle

de "somuttur" ya da somut olanla

ilifl-kilidir diyebiliriz. Matemati¤in bir

yanda soyut bir düflünsel faaliyet

ol-mas› ya da hiçbir olgu veya deneyin

dayatmas› olmaks›z›n

yap›labilece¤i-nin düflünülmesi, di¤er yanda insan›n

içinde bulundu¤u dünya ve evrene

kusursuz bir biçimde uygunluk

gös-termesi, yani matematiksel kuram,

önerme ya da nesnelerin dünyada

uy-gulama alan› bulmas›, bafllang›c›ndan

beri hem filozoflar› hem de

matema-tikçileri düflündürmüfltür. Buna göre,

matematikteki deneyle hiçbir iliflkisi

olmad›¤› düflünülen en soyut

kuram-lar›n bile, günün birinde fiziksel ya da

teknik (mimari, mühendislik,

istatis-tik, hatta ekonomik vs.) bir uygulama

alan› buldu¤u düflünülürse, sorun

"Matematik nas›l oluyor da (ya da

ne-den) dünyaya kusursuz flekilde uygun

olabiliyor?" diye ifade edilebilir.

Üze-rine düflünülen ve bir problem olarak

görülen bu durum, matematik

felsefe-sinde de genifl bir uygulama alan›

bul-mufltur. Soruyu biraz açmak için flu

örnekler verilebilir: Örne¤in

matema-tikte √-1 say›s›ndan oluflturulan

kar-mafl›k say›lar, x

_{= -1 gibi bir cebirsel}

denklemi çözmek amac›yla

yarat›lm›fl-lard›r. Fakat gelin görün ki bir

mate-matikçinin hiçbir flekilde deneye

da-yanmadan yani d›fl dünyadaki

herhan-gi bir nesneden esinlenmeden yapt›¤›

bu buluflun, elektrik mühendisli¤inde

çok önemli bir uygulama alan› vard›r.

Karmafl›k say›lar yard›m›yla örne¤in

elektronik devre analizleri kolayca

ya-p›labilmektedir. fiimdi, nas›l oluyor

da bulunmas› s›ras›nda hiç bir

deney-den esinlenilmeyen bu tip say›lar,

fi-ziksel dünyaya bu kadar uygun

olabi-liyorlar? Bir baflka örnek de flu:

Say›-lar›n baz› özelliklerinden

yararlana-rak bulunan asal say›lar, nas›l oluyor

da günümüz dünyas›ndaki

bilgisayar-larda flifreleme yöntemlerinde

kullan›-labiliyorlar? Örnekler ço¤alt›labilir…

Fakat genel olarak tüm matematik

önermeleri ya da nesneleri; ister

de-neyle yak›n, ister uzak iliflkide

görün-sünler, hepsi ‘nas›l oluyor da d›fl

dünyada bir uygulama alan›

bulabili-MATEMAT‹K

NEDEN DÜNYAYA

UYGUN?

Y ü c e l D u r s u n

yor?’ diye sorabiliriz. ‹flte felsefenin

"analitik/sentetik ayr›m›" adl›

litera-türünün matematik felsefesindeki

aya¤›, bu konuyu kendine sorun

edin-mifltir.

Analitik/Sentetik

Ayr›m›

Analitik/sentetik ayr›m›, yarg›lar,

önermeler ya da bildirimlerle ilgili bir

ayr›md›r. Bir önermenin analitik

ol-du¤unu söyledi¤imizde, genel olarak

o önermenin do¤rulu¤unu ya da

yan-l›fll›¤›n› belirlerken olgu dünyas›na

gidip test etmenin gereksiz

oldu¤u-nu, çünkü bu tip önermelerin her

za-man biçimleri aç›s›ndan hep do¤ru

olduklar›n› ve olumsuzlar›n›

düflün-dü¤ümüzde akl›n bir çeliflkiye

düfltü-¤ünü söylemifl oluyoruz. Üstelik bu

tip önermeler bilgimize yeni bir fley

kat›p bilgimizi art›rmazlar;

dolay›s›y-la bofl içerikli önermelerdir. Bu tip

önermelere baz› örnekler verelim:

"Bir fley kendisine eflittir"

dedi¤imiz-de bu tip bir önerme, daima do¤ru

bir önermedir. Çünkü bilmekteyiz ki

düflünsel ya da madde dünyas›nda

hangi nesneyi ele al›rsak alal›m,

ald›-¤›m›z o nesne öncelikle kendisine

eflittir. Örne¤in "a¤aç, a¤açt›r"

dedi-¤im zaman ayn› tipten bir önerme

kurmufl olurum ki bu da bu

önerme-nin daima do¤ru oldu¤unu ve

olum-suzunu, yani "a¤aç, a¤aç de¤ildir"i

düflünürsem aklen bir çeliflkiye

düfle-ce¤imi gösterir. "A¤aç, a¤açt›r"

öner-mesi daima do¤ru oldu¤undan

zorun-lu bir bilgiyi dile getirir, yani baflka

türlüsü olanaks›zd›r. Bir baflka

aç›-dan bakt›¤›m›zda bu önerme ayn›

za-manda bize yeni hiçbir fley sunmaz,

çünkü biz zaten a¤ac›n a¤aç

oldu¤u-nu biliyorduk. Yine bu önermenin

do¤ru olup olmad›¤›n› anlamak için

bahçemize gidip ya da d›flar›ya ç›k›p

bir a¤aç bulmam›z o a¤ac›n a¤aç m›

ya da baflka bir fley mi oldu¤una

bak-mam›z yani test etmemiz gereksizdir.

Baflka deyiflle bu önerme aç›k bir

to-tolojidir. Bu kadar aç›k olmayan,

ya-ni ilk bak›flta totoloji oldu¤unu

he-men anlayamayaca¤›m›z analitik olan

bir baflka önerme de "bütün

bekarla-r›n evli olmayan insanlar oldu¤u"

ör-ne¤idir. "Bekar" sözcü¤ü, "evli

olma-yan insan" ifadesiyle eflanlaml›

oldu-¤undan ya da di¤er bir deyiflle

"be-kar" sözcü¤ünü araflt›r›p onu

kav-ramsal olarak çözümledi¤imizde "evli

olmayan insan" ifadesiyle

karfl›laflt›¤›-m›zdan, bu önerme de analitik bir

önermedir. Dolay›s›yla bu önerme de,

daima do¤ru, zorunlu bir önermedir.

Yani bu önerme için baflka türlüsünü

(örne¤in "benim tan›d›¤›m bir Ahmet

bey var, o hem bekard›r hem evlidir"

gibi) düflünemeyiz. Çünkü o

durum-da aklen bir çeliflkiye düfleriz. Yine

bu önermenin do¤ru olup olmad›¤›n›

anlamak için dünyadaki tüm bekar

insanlar›n evli olup olmad›klar›n› test

etmemiz, yani olguya ya da deneye

baflvurmam›z gereksizdir. Bu önerme

ayn› zamanda bizim bilgimize yeni

hiçbir fley katmaz, çünkü biz zaten

bu bilgiyi deneyle test etmeden önce

de biliyorduk. Oysa ikinci tür

öner-meler olan sentetik öneröner-meler, bu

önermelerin tersi bir durumu ifade

ederler. Onlar›n do¤ru olup

olmad›¤›-n› bilmek için, o önermenin iliflkin

ol-du¤u olguya gidip o bilgiyi

s›nama-m›z gerekir. Örne¤in, "Bütün a¤açlar

yaprakl›d›r" dedi¤im zaman, bu

tip-ten bir önermede bulunmufl olurum.

Bütün a¤açlar›n yaprakl› olup

olma-d›klar›n› anlamak için, önce

yeryü-zünde varolan a¤açlar›n hepsini

ince-lemem ve onlar›n yapraklar›na

bak-mam gerekir. E¤er bir tane bile

yap-raks›z a¤aç bulursam bu önerme

yan-l›fl, yok hiç yapraks›z a¤aç

bulamaz-sam do¤ru olacakt›r. Bu tür

önerme-ler zorunlu ve evrensel bir bilgi de

sunmazlar. Çünkü bir kimse pekala

aklen hiçbir çeliflkiye düflmeksizin,

bu önermenin olumsuzu olan "hiçbir

a¤aç yaprakl› de¤ildir"i düflünebilir.

fiu da var ki, bu önermenin dile

getir-di¤i bilgiyi olgu dünyas›nda

do¤rula-d›¤›m›z ya da yanl›fllado¤rula-d›¤›m›z zaman

art›k yeni bir bilgi edinmifl

olmakta-y›z; "bütün a¤açlar›n ya hepten

yap-rakl› oldu¤unu" ya "hiç yapyap-rakl›

ol-mad›¤›n›" ya da "k›smen yaprakl›,

k›s-men yapraks›z a¤açlar›n oldu¤unu"

ö¤reniriz. Yine bu tip önermeler

zo-runlu olmad›klar› gibi, analitik

öner-meler gibi evrensel öneröner-meler de

de-¤illerdir. Çünkü bu tipten sentetik

önermeler her zaman, her yerde ve

herkes için do¤ru ya da yanl›fl olan

önermeler de¤illerdir.

Analitik ve sentetik önermelere

iliflkin çizdi¤imiz profil bununla

kal-mamakta. 18. yüzy›l›n önemli

düflü-nürlerinden Immanuel Kant, Saf

Ak-l›n Elefltirisi adl› yap›t›nda baz›

sente-tik önermelerin bir yönüyle analisente-tik

önermeler gibi davran›p zorunlu ve

evrensel olduklar›n›, di¤er yönüyle de

deneye dayand›¤›n› iddia etti. Yani bu

tip önermeler kesin, zorunlu ve

evren-sel bir bilgi sunuyorlard›; hem de biz

bu tipten bilgileri dile getiren

önerme-leri olufltururken deney dünyas›n›n

verilerine dayanmak zorunda

kal›yor-duk. Kant bu tip sentetik önermelere

sentetik a priori önermeler ad›n›

ver-di. Yukar›da sözünü ettiklerimize de

sentetik

a posteriori önermeler dedi.

Kant, sentetik

a priori ad›n› verdi¤i

önermelere, "her de¤iflimin bir nedeni

vard›r" gibi bir önermeyi örnek

gös-terdi. Kant’a göre bu önermenin dile

getirdi¤i bilginin do¤rulu¤unu ya da

yanl›fll›¤›n› s›namak için, evrende

var-olan ve de¤iflim halindeki her fleyin

bir nedeni olup olmad›¤›n› anlama

yö-69

nünde deneye baflvurmam›z

gereksiz-dir. Çünkü "her de¤iflimin bir nedeni

vard›r" tipindeki bir ifadenin dile

ge-tirdi¤i "neden-etki" ba¤›nt›s› bizim

zi-hinsel yap›m›zda zaten vard›r. ‹flte bu

ba¤›nt›n›n bizim zihinsel yap›m›zda

ve akl› olan her yarat›¤›n zihinsel

ya-p›s›nda varolmas›ndan dolay› bu

öner-me hem zorunlu hem de evrenseldir.

Zorunludur çünkü, olgu dünyas›n›n

sürekli de¤iflen bir yap›s›na sahip

de-¤ildir. O asl›nda dünyada de¤iflen ve

de¤iflmekte olan bütün nesnelerin

bi-çimsel yap›lar›na sahiptir. Örne¤in

"Ayfle ö¤leden sonra okula gitti",

"Sa-at 5:00’da füze f›rl"Sa-at›lacak", "Günefl

6:30’da do¤acak", vs.. gibi

önermele-rin ifade ettikleri ve bizim içinde yer

ald›¤›n› zannetti¤imiz zaman, Kant’a

göre bütün de¤iflimlerin biçimidir ve

biz onun içinde de¤iliz; o bizim

içi-mizde. Ya da "bütün cisimlerin

uzay-da yer kaplad›klar›n› ve bunuzay-dan

dola-y› bir uzamlar› oldu¤unu"

belirtti¤i-mizde, bu yer kaplama özelli¤inin

ci-simlerin yap›s›n›n bir özelli¤i ve

bun-dan dolay› cisimlerde olan bir fley

de-¤il, onlar›n biçimsel yap›lar› oldu¤unu

ve bundan dolay› da bizim yap›m›zda

oldu¤unu söyler Kant. ‹flte bu iki

bi-çimsel de¤iflmez yap›n›n (uzam ve

za-man) ve biçimsel (ve dolay›s›yla

de¤ifl-mez) baflka yap›lar›n zihnimizde

ol-mas›ndan dolay› bu tip sentetik

öner-meler zorunludur. Evrensel

olmas›y-sa, bu tip biçimsel yap›lar›n evrende

70 Temmuz 2001 B‹L‹MveTEKN‹K

Bütün bu aç›klamalar ne ifade etmektedir di-ye sorulabilir. Çünkü matemati¤in tüm önermele-ri Kant’a göre, bu tip bir bilgiyi ifade eden sen-tetik a prioriönermelerdir. Bundan ne ç›-kar diye yeni bir soru sorulabilir. Yaz›-m›z›n bafl›nda ele ald›¤›m›z sorun, matemati¤in neden dünyaya uygun oldu¤u sorunuydu. Yani, örne¤in 5 + 7 = 12 gibi bir aritmetik ifade bütünüyle benim zihinsel yap›m›n bir ürünü olmas›na ra¤men, nas›l oluyor da bu ifadeyi dünyadaki bü-tün nesnelere uygulayabiliyorum? Ya da zihinsel birtak›m çal›flmalar sonucu buldu¤um, bir üçgenin iç aç›lar›n›n 180° olmas›na iliflkin bir geometrik önerme nas›l oluyor da bir mühendisin bir köprü infla ederken köprünün maddi parçalar›na uygulayabildi¤i bir önerme oluyor? Bu ve benzeri sorular›n temelin-de, ak›lsal yetilerimiz sonucunda elde etti¤imiz matematik önermelerinin bizim içinde yer ald›¤›-m›z dünyaya nas›l uygun oldu¤u ya da uygulana-bildi¤i sorunu yat›yor. ‹flte Kant’›n bu noktada verdi¤i yan›t, matematik önermelerinin sentetik a prioriolmas›yla ilintilidir. Ona göre bir kez bizim d›fl›m›zdaki her nesnenin görünüflsel özellikleri ve biçimsel yap›lar› bizim yap›m›zda oldu¤unda, bu iki fley (biçimsel yap› ve görünüflsel özellikler) bir çak›flma durumu gösterirler. Üstelik bizim zi-hinsel yap›m›z nesnelere de¤il, nesneler bize uy-gun davran›rlar. Böylece geometri çal›fl›rken zih-nimde oluflturdu¤um üçgen imgesi de d›fl dünya-da gördü¤üm (asl›ndünya-da görünüfl itibariyle bende olan) üçgensel flekle birebir uygun olur. ‹flte bu biçimsel yap›lar ve onlar›n alt›nda yer alan nesne-lerin görünüflsel yap›lar›ndan oluflturdu¤um ma-temati¤in sentetik a prioriönermeleri, bu yüzden dünyaya uygundur.

Matematik önermelerinin Kant’ç› anlamda sentetik de¤il de farkl› bir anlamda sentetik ol-du¤unu ileri sürenler de olmufltur. Yani matema-tik önermelerinin bütünüyle deneysel bir yap›da olup, zorunlu ve evrensel olmad›¤›n› (efldeyiflle sentetik a posteriorioldu¤unu) ileri süren bu gö-rüflün temsilcilerinden biri de J.S. Mill’dir. Mill, Mant›k Sistemi adl› yap›t›nda, matematik öner-melerinin tümevar›msal bir soyutlamayla elde edildi¤ini söyler. Bu noktay› aç›k k›lmak için

tü-mevar›m ile tümdengelimi biraz aç›klamak ge-rekiyor. Ben e¤er, "Bütün insanlar ölümlüdür", "Sokrates bir insand›r" dedikten sonra, "O halde Sokrates de ölümlüdür" dersem tümdenge-limsel bir sav ortaya koymufl olurum. Çünkü "Sokrates’in ölümlü oldu¤u" sonucu, bu savlamam›n öncesinde yer alan "Bütün insanlar ölümlü-dür" ve "Sokrates bir insand›r" önermelerinde zaten vard›r. Böyle-ce önBöyle-ceki önermelerde (öncüllerde) gizli olan bir bilgiyi dile getirmifl ol-maktay›m. Oysa, ku¤ular üzerine bir gözlem yap›p, gözlemim sonucunda "Bütün ku¤ular beyazd›r" dersem, tüme-var›msal bir savda bulunmufl olurum. Bu göz-lemimde inceledi¤im ku¤u say›s›, dünya yüzeyin-de yer alan bütün ku¤u say›s›na eflit olmayabilir; daha az olabilir. Ama ben yine de bu sav›mla, gözlemim d›fl›nda kalan di¤er ku¤ulara iliflkin bir genellemede bulunarak onlar›n da beyaz olmas› gerekti¤i sonucuna var›yorum. Buna karfl›l›k tüm-dengelimsel olan ilk örne¤imde gözlem yapmam gereksizdi. Yani Sokrates'i bulup onun insan olup olmad›¤›na dair t›bbi bir araflt›rma yapmam ge-reksizdi. Ak›l yürütmemde kulland›¤›m ilk öner-melerden yola ç›karak Sokrates’in insan oldu¤u-nu bilebilirim. Hem de Sokrates’e

iliflkin hiç bir deney ya da gözlem yapmaks›z›n... Fakat son örnekte, bütün ku¤ular›n beyaz oldu¤unu söy-lemeden önce mutlaka birkaç ku¤u üzerinde bir gözlem yapmam gere-kir. Daha sonra bu gözlemimi genel bir ifade fleklinde belirtebilirim. An-cak dikkat ederseniz tümevar›msal bir önermede deneyin bütün elaman-lar›n› (örne¤in bütün ku¤ular›) tü-ketmedik. Dolay›s›yla bir kimse,

ya-r›n bir gün ç›k›p, bize siyah bir ku¤u gösterebilir. Bundan dolay› "bütün ku¤ular›n beyaz oldu¤una" dair önermem zorunlu ve evrensel de¤ildir. Oysa, Sokrates’in insan oldu¤una dair ak›l yürütmemde e¤er öncüller do¤ruysa "Sokrates’in insan oldu-¤u" sav› da daima do¤ru, yani zorunlu ve evren-sel olacakt›r. ‹flte Mill, matematik önermelerinin, ikinci örne¤imizle belirtmeye çal›flt›¤›m›z gibi tü-mevar›msal oldu¤unu söylüyor. Yani biz 5 + 7 =

12 gibi bir aritmetik önermeyi elde ederken, in-sanl›k olarak birçok gözlem yapt›k ve sonucunda böyle bir önermeye ulaflt›k. Örne¤in 5 say›s›, 5 elma, 5 bilgisayar, 5 a¤aç, 5 tafl, vb birçok nes-nenin befl olma durumundan soyutlanarak elde edilmifltir. Dolay›s›yla temellerinde say›lar›n yer ald›¤› aritmetik ilkeler fiziksel yasalard›r. Onlar, birçok deney ve gözlem sonucu elde edilmifltir. Fakat bu durumda akla flu soru gelmektedir: Tü-mevar›msal bir önerme ya da ilkenin her zaman yanl›fllanabilme özelli¤i varsa ve e¤er 5 + 7 = 12 aritmetik ifadesinin de daima do¤ru oldu¤unu bi-liyorsak, nas›l oluyor da tümevar›msal bir yoldan elde edilmifl 5 + 7 = 12 ifadesi daima do¤ru ola-biliyor? Çünkü e¤er o tümevar›msal bir yoldan el-de edilmiflse, bu ifael-denin temelinel-deki say›lar› ve ifadenin kendisini elde ederken henüz gözlemle-memifl oldu¤umuz baflka nesneler ve durumlar da olabilir. ‹flin kötü taraf›, aksi bir gözlemimiz bu ifadeyi yanl›fllayabilir de. ‹flte Mill’ci görüfle göre, matematik önermeleri bu yüzden zorunlu de¤il-dir. Tabii matemati¤in zorunlulu¤unu göz ard› edemeyen ama buna ra¤men yine de Mill’ci an-lamda sentetik oldu¤unu söyleyen görüfller de vard›r. Bu görüfllerin aç›klamas› ya s›n›rs›z göz-lem yap›ld›¤› ya da bafllang›çta tümevar›msal ola-rak matematik nesnelerinin elde edildi¤i, fakat sonra matemati¤in tümevar›msal bir nitelik kazand›¤› yönündedir.

Matematik neden dünyaya uy-gundur sorununa gelince... Mill’ci anlamda bu sorunun yan›t› kolay-d›r: Çünkü matemati¤in nesneleri, tümevar›msal olarak dünyadan el-de edildi¤i için elbette ona uygun olmak zorunda olacakt›. Matema-tikle bütün yapt›¤›m›z, dünyadaki nesneleri gözlemleyerek matemati-¤in nesnelerini (say›, çizgi, düzlem vs…) ve ilkelerini (toplama, çarpma, alan bulma, vs..) bu gözlemler sonucu soyutlama yoluyla bul-makt›r. Daha sonra bu ilkeleri matemati¤in nes-nelerine uygulayarak, ak›l yürütmelerimizle öner-meleri, kuramlar›, matemati¤e ait her fleyi ortaya ç›karmaktay›z. Bundan dolay› da, yani matemati-¤e ait her fleyin bafllang›c›nda dünya olmas›ndan dolay›, matematik gerisin geriye dünyaya uygula-nabilmektedir.

Matemati¤in Sentetik Olmas›

.

Immanuel Kant

akl› olan her yarat›kta varolmas›yla

aç›klan›r. Kant, nesnelerin yaln›z bu

biçimsel yap›lar›n›n bizim zihinsel

ya-p›m›zda yer ald›klar›n› söylemekle

kalmaz; nesnelerin bütün

görünüflle-rinin de bizim zihinsel yap›m›zda yer

ald›¤›n› söyler. Örne¤in masam›n

üze-rinde duran "bardak" nedir ya da

ba-na ba-nas›l görünür diye sordu¤umda,

flu yan›t verilecektir: Bardak içine

ifl-lenmez (yani kat›), flekilli, renkli

(ör-ne¤in yeflil bardak diyelim), vs..

birta-k›m özellikleri olan bir cisimdir. ‹flte

Kant’a göre cisme ait tüm bu

özellik-ler de bizim zihinsel yap›m›zda yerini

alm›flt›r. Yani bizim deney dünyas›

de-di¤imiz fley Kant’a göre bizde olan bir

fleydir. Bizde bulunan biraz önce

sö-zünü etti¤imiz biçimsel yap›lar da

(uzam ve zaman), nesnelerin bu

özel-liklerinden önce gelirler ve onlar›

alg›-lamam›z› sa¤larlar. Kant sentetik

a

priori önermelerin sentetik olmas›

ba-k›m›ndan deneye dayand›¤›n›

söyler-ken, kastetti¤i deney, bir anlamda

nesnelerin özelliklerinden oluflan bu

ham verilerdi.

*Hacettepe Üniversitesi, Felsefe Bölümü

Kaynaklar

Immanuel Kant, Critique of Pure Reason, çev. Norman Kemp Smith, ST. Martin Press, NewYork, 1965

John Stuart Mill, System of Logic, Routledge/Thoemmes Pr., Lon-don,1997.

David Hume, ‹nsan›n Anlama Yetisi Üzerine Bir Soruflturma, çev. Oruç Aruoba, Hacettepe Yay›nlar›, Ankara, 1976

Frederick. C. Beiser, The Fate of Reason, Harvard University Press, Massachusetts, 1987

Alfred Jules Ayer, Dil, Do¤ruluk ve Mant›k, çev. Vehbi Hacikadiro¤lu, Metis Yay›nlar›, ‹stanbul, 1984.

Matemati¤e analitik olarak bakan görüflte, ma-temati¤e sentetik olarak bakan görüflte oldu¤u gibi, matemati¤in temelinde deneyin olmas› gerekti¤i kayg›s› yoktur. Bu görüflün en büyük

temsilcilerinden birisi David Hu-me’dur. Hume, ‹nsan›n Anlama Yetisi Üzerine Bir Soruflturma adl› yap›t›nda idea iliflkileri ve olgu sorunlar› aras›n-da bir ayr›m yapm›flt›r. ‹dea iliflkileri, evrende varolan herhangi bir fleye da-yanmadan, sadece düflüncenin iflle-mesiyle ortaya ç›kar›labilen iliflkiler-dir. Bu tür iliflkilere geometri, cebir, aritmetik bilimlerinin önermelerinde

rastlanabilir. Örne¤in, "hipotenüsün karesi, iki dik kenar›n karelerinin toplam›na eflittir" ya da "üç ke-re befl otuzun yar›s›na eflittir" önermeleri gibi... Hu-me’a göre bu tür önermeler "evrende varolan her-hangi bir fley üzerine dayanmazlar". Çünkü geomet-ricinin ideallefltirdi¤i daireyi ve çemberi do¤ada gö-remeyiz. Do¤ada ancak, bu ideallefltirilmifl geomet-rik nesnelere benzeyen cisimlere rastlar›z. Bu tür önermeler, do¤an›n de¤iflen yap›s›na tabi olmad›k-lar› için, yani yaln›zca akl›m›z›n iflleyiflinden elde edildikleri için kesindirler ve kesinlikleri sonsuza dek sürecektir. Bu anlamda bu tür önermelerin ter-sini düflünürsek aklen bir çeliflkiye düfleriz Hume’e göre. Di¤er yandan olgu sorunlar›, idea iliflkilerinin tersi bir yap›dad›r. Olgu sorunlar›na iliflkin önerme-lerse, idea iliflkilerine iliflkin önermelerde oldu¤u gi-bi, olumsuzlar› düflünüldü¤ünde bizi çeliflkiye düflü-recek önermeler de¤illerdir. Bu tür önermelerin olumsuzlar›n› her zaman düflünebiliriz. Örne¤in "ya-r›n Günefl do¤acak" gibi olgu sorunuyla ilgili bir önermenin olumsuzu olan "yar›n günefl do¤maya-cak" önermesini aklen hiçbir çeliflkiye düflmeden düflünebiliriz. Çünkü bu önermeler olgulara, baflka bir deyiflle evrende varolan fleylere dayanan öner-melerdir. Böylelikle Hume’un idea iliflkileri ad› ver-di¤i önermeler analitik önermelere, olgu sorunlar› ad›n› verdi¤i önermeler de sentetik önermelere denk düflmektedir. Dolay›s›yla matematik Hume’e göre analitik bir yap›dad›r. Fakat matemati¤in Hu-me’un belirtti¤i tarzda analitik olmas› durumunda akla flöyle bir soru gelmektedir: "Evrende varolan hiçbir fleye dayanmayan bu iliflkiler nas›l oluyor da evrende varolan her fleye böyle kusursuz flekilde uy-gun düflebiliyor?" Yani matemati¤in Hume’un dedi-¤i gibi analitik oldu¤unu kabul ettidedi-¤imiz zaman,

ma-temati¤in önermeleri ve dünya aras›ndaki bu uçu-rum nas›l oluyor da uygulama esnas›nda ortadan kalkabiliyor? Öyle ya, matematik, evrende varolan hiçbir fleye dayanm›yorsa, yani onlar-dan ayr› bir yap›s› varsa ve yaln›zca bizim düflüncemizin ürünüyse, nas›l oluyor da örne¤in bir Pisagor teore-mini do¤ada gördü¤ümüz her flekle uygulayabiliyoruz? Matemati¤e anali-tik olarak bakan görüfl aç›s›ndan bu sorunun yan›t› basittir: Çünkü, mate-matik, özellikle geometri, bazen görü-ye baflvursa da, bu hiçbir zaman ma-temati¤in önermeleri için zorunlu de-¤ildir; daha çok, bir tümdengelimsel zincirin do¤ru-lu¤unu do¤rudan kavrayamayan s›n›rl› anlama yeti-miz için yard›mc› birfleydir. Buna ra¤men e¤er, tanr›sal bir sonsuz anlama yetisine sahip olsayd›k, görüye baflvurmam›za da gerek kalmayacakt›.

Yani bizlerin matematik yaparken deneye bafl-vurmam›z, örne¤in Pisagor teoremini anlat›rken önümde duran ka¤›da bir dik üçgen çizmem ve onun kenarlar›n› ölçmem benim için yaln›zca yar-d›mc› bir ifllemdir. Matematikte asl›nda tümdenge-limsel bir zincir vard›r ve bu zincirin sonundaki ma-temati¤in tüm önermeleri ve kuramlar›, birkaç bafl-lang›ç önermesinden bafllar. Asl›nda

matemati¤in bütün teoremlerinde ve önermelerinde anlat›lanlar bu bafllan-g›ç önermelerinde zaten vard›r. Bizim zihinsel yap›m›z e¤er çok güçlü olsay-d›, asl›nda matematik denen bir fleye bile gerek kalmadan bu bafllang›ç önermelerinde anlat›lanlar› hemen kav-rayacakt›k. Bu bafllang›ç önermeleri de, örne¤in B. Russell’a göre birkaç mant›k aksiyomundan ibarettir. Sözü

geçen mant›k aksiyomlar›n›n en bafl›nda ise, "bir fle-yin kendine özdefl olmas›" (A=A) gelir. Her fley so-nuçta A=A demek oldu¤una göre, matematik elbette dünyaya ve evrene uygun olacakt›r. Çünkü "bir fleyin kendisine eflit olmas›" ilkesinin evrende varolan her fleye uygun oldu¤unu flimdiden söyleye-biliriz. Dolay›s›yla bu ilke, evrende varolan her fleye uygulanabilir.

Matematikçi ve filozof H. Poincaré’ye göre bu durum "tuhaf" bir durumdur. O, matemati¤in bütü-nünü oluflturan ve böylesine çok say›da kitaplar› dol-duran bütün teoremlerin, dolambaçl› yoldan "A=A"

demekten öte bir amac› olmad›¤›n› kabul edemedi-¤ini söyler. Çünkü düflünün bir kere, e¤er bu görüfl do¤ruysa matemati¤in bütün bu zenginli¤i asl›nda görünüflte bir zenginliktir. Ve bu görünüflteki zengin-li¤in ard›nda yatan neden de bizim k›t anlay›fl›m›z. Buna ra¤men, matemati¤in sentetik oldu¤unu savunan görüfl, bu aç›klamaya çabucak teslim ol-maz ve yukar›da bahsetti¤imiz gibi, matematikte, özellikle geometride deneye zorunlu olarak baflvu-ruldu¤unu iddia eder. Örne¤in geometride flekille-ri kullanmaktay›z ve bu flekiller ancak dünyadaki ci-simlerle anlaml› olabilirler. Örne¤in bir do¤ru tek bafl›na hiçbir fleyi ifade etmez... e¤er dünyada do¤-ru fleklinde bir çubuk olmasayd›. Ya da en az›ndan matematikteki do¤ru çizgi, dünyadaki bir do¤ru fleklindeki çubuktan farkl› olsa bile, bu geometrik flekil elde edilirken deneyle bir flekilde iliflkili olma-l›yd›. Bu duruma, yani geometride görüye (örne¤in flekillere) baflvuruyor olma durumuna, matemati¤in analitik oldu¤unu savlayanlardan biri olan A. J. Ayer’in yan›t› haz›rd›r: Geometride ille de flekillere baflvurmam›z gerekmez! Tümüyle kesin bir ge-ometri için flekiller gereksizdir. Biz flekilleri zihin-sel anlay›fl›m›za yard›mc› olsun diye kullan›r›z. Ayer’in sözünü etti¤i bu nokta, geometrinin yorum-lanm›fl ve yorumlanmam›fl geometri ad› verilen k›s-m›yla ilgilidir. Yorumlanmam›fl bir geometri bütünüyle flekilleri kullan-mayan ve formel bir yap›da olan ge-ometridir. O, sanki bir mant›k dizge-sine benzer. Yorumlanm›fl geometri de bu yorumlanmam›fl geometrinin bir yorumudur. Yani flekillerin art›k kullan›ld›¤› bir geometri.

Her ne kadar, yorumlanm›fl ge-ometri yorumlanmam›fl gege-ometrinin bir yorumu olsa da, yorumlanm›fl bir geometride flekillerin kullan›lmas›ndan dolay›, ma-temati¤in k›smen de olsa bir parças›n›n deneyle iliflkili olaca¤› kesindir. Dolay›s›yla matemati¤in bü-tünüyle olgu dünyas›ndan ba¤›ms›z oldu¤u ne ka-dar söylenebilir? E¤er matematik bir yönüyle olgu dünyas›na ba¤l›ysa ya da olgulardan soyutlanarak elde edilmiflse, bu durum matemati¤in bütünüyle tümdengelimsel bir zincir olmad›¤›n› gösterir. O za-man da matematikteki her fley A=A’ya indirgene-mez. E¤er indirgenemiyorsa bafllang›çtaki sorumu-za yeniden dönmüfl oluruz: Matematik neden bu dünyaya bu kadar uygundur?

71

Temmuz 2001 B‹L‹MveTEKN‹K

Matemati¤in Analitik Olmas›

.

David Hume